CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA

CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA ESERCITAZIONI DI ANALISI MATEMATICA I BREVI RICHIAMI DELLA TEORIA DEI LIMITI. Confronto di infinitesimi. Sia A sottoinsieme di R, sia 0 punto di accumulazione di A nella topologia di R quindi può anche essere 0 + o 0 e siano f e g due funzioni reali definite in A le quali siano infinitesime per che tende a 0 : f 0, g 0. 0 0 Definizione. Diciamo che f e g sono infinitesime per che tende a 0 dello stesso ordine se esistono un numero reale K 0, un intorno V di 0 ed una funzione reale h, definita su V A \ { 0 } e infinitesima per che tende a 0, tali che f g{k + h}, V A \ { 0 } Definizione. Diciamo che f è un infinitesimo per che tende a 0 di ordine superiore a g, oppure g è un infinitesimo di ordine inferiore a f se esiste un intorno V di 0 ed una funzione h definita su V A e infinitesima per che tende a 0 tali che f g h, V A \ { 0 }. Facciamo alcune considerazioni in merito a queste definizioni. Innanzitutto è ragionevole attendersi che accanto alla relazione debba sussistere una analoga relazione in cui f e g sono scambiate di posto. In effetti è così. Supponiamo che valga la relazione ; per le ipotesi fatte {K + h} K 0 0 e quindi esiste un intorno U di 0 tale che K + h 0 U V A \ { 0 } W A \ { 0 } si è posto W U V ; W è ancora intorno di 0. Allora in W A \ { 0 } è definita la funzione e sussiste la relazione K + h K + h K h K[K + h], W A \ { 0}. 3 Da e 3 segue che g f { } K + v W A \ { 0 }

h dove, K[K + h] è una funzione definita in W A \ { 0} e infinitesima per che tende a 0. Dalla relazione segue che f si annulla in un punto U A\{ 0 } se e solo se g si annulla in e quindi, in un intorno di 0, f e g sono entrambe diverse da zero oppure hanno gli stessi zeri. Supponiamo che f e g siano diverse da zero in un intorno di 0. In questa ipotesi Proposizione. f e g sono infinitesimi dello stesso ordine per che tende a 0 se e solo se la funzione f g, che è definita in un intorno di 0, è convergente per che tende a 0 ed il ite è un numero reale diverso da 0 f 0 g K 0 4 Questa proposizione è assai utile perchè suggerisce un procedimento semplice per stabilire se due infinitesimi sono dello stesso ordine. La dimostrazione di questa proposizione è elementare. Supponiamo che valga la e supponiamo che in un intorno di 0 sia f 0 e g 0 allora esiste un intorno W di 0 tale che e quindi f g K + h W A \ { 0} 0 f g K 0 Viceversa, supponiamo che f e g siano diverse da 0 in un intorno U di 0 e che valga la??. Per U A possiamo scrivere { } f f g K + g K K + h e quindi f g{k + h} Per l ipotesi 4, la funzione h f g K è infinitesima per che tende a 0. Considerazioni della stessa natura si possono fare in relazione alla Definizione. Supponiamo che f e g siano diverse da zero in un intorno U di 0 e quindi le funzioni f g e g sono definite f per U A \ { 0 }. In tali ipotesi vale la seguente proposizione Proposizione. Condizione necessaria e sufficiente perchè f sia infinitesima di ordine superiore a g è che valga f 0 oppure g 0 g 0 f + 5

Infatti se f e g sono diverse da zero in un intorno di 0 e se è vera, allora esiste un intorno W di 0 tale che f g h, W A e quindi 0 f g 0 h 0. Viceversa supponiamo che f e g siano diverse da zero in un intorno U di 0 e che 0 0. Per U A possiamo scrivere f g f g f g g h e la funzione h f g è infitinitesima per che tende a 0. ESEMPIO Consideriamo le funzioni f : sin e g : R ed entrambe infinitesime per che tende a 0. f e g sono infintesime dello stesso ordine, infatti 0 sin ESEMPIO Siano A [, ], f, g. f e g sono infinitesime per 0 e f è infinitesimo di ordine superiore a g; infatti [, ] si può scrivere Altra verifica 0 f g. f g 0 0. ESEMPIO 3 Siano A 0, ], f sin e g. f e g sono infinitesime per che tende a zero ma f e g sono infinitesimi non confrontabili tra loro. Siano f e g due funzioni reali definite in A R, entrambe infinitesime per che tende a 0, e sia α un numero reale positivo. Supponiamo che in un intorno di 0 sia definita la funzione [g] α. Definizione 3. Si dice che f è un infinitesimo per che tende a 0 di ordine α rispetto a g se f e g α sono infinitesimi dello stesso ordine. Se ciò avviene devono esistere una costante K 0, un intorno U di 0 ed una funzione h definita in U A \ { 0 } infinitesima per che tende a 0 tali che f g α [K + h] U A \ { 0 } 6 3

o anche 0 f K. 7 [g] α In tal caso diremo che K g α è la parte principale dell infinitesimo f rispetto all infinitesimo all infinitesimo g. Se esistono due numeri K e α che rendono vera la 6 o la 7 essi sono univocamente determinati. ESEMPIO 4 Siano A [0, ], f cos, g. f e g sono infinitesime per che tende a zero f è di ordine rispetto a g e la parte principale di f rispetto a g è. Infatti: 0 cos. Il seguente teorema è molto utile nello studio del ite del rapporto f g nel caso di indeterminazione 0 0. Teorema. Principio di sostituzione degli infinitesimi Siano f, g, F, G quattro funzioni definite in A R e infinitesime per che tende a 0. Supponiamo che f, g, F, G siano diverse da zero in un intorno di 0 e inoltre. F è infinitesimo di ordine superiore ad f,. G è infinitesimo di ordine superiore a g. In tali ipotesi 0 f + F g + G Dimostrazione. Esiste un introno U di 0 tale che L 0 f g L, L R. 8 f 0, g 0, f + F 0, g + G 0, U A \ { 0 }. Per ogni U A \ { 0 } risulta f + F g + G f g + F f. 9 + G g Poiché 0 F f 0 G g 0, si ha che 0 + F f + G g. 0 4

Da 9 e 0 segue la tesi. ESEMPIO 5 Si calcoli il ite Poiché 0 + +. è un infinitesimo per 0 di ordine superiore a.. è un infinitesimo per 0 di ordine superiore a, risulta 0 + + 0. ESEMPIO 6 Siano f + e g + ; f e g definite R. Si calcoli il ite 0 Consideriamo l infinitesimo per 0 + +. h f è di ordine rispetto ad h in quanto 0 f h 0 g è di ordine rispetto ad h in quando 0 g h 0 Ne segue che in 0 sarà f + F, g + G con F e G infinitesimi di ordine superiore a f e g rispettivamente. Conclusione: 0 f g 0. 5

. Il simbolo di Landau Siano f, g : A R, A intervallo di R e 0 punto di accumulazione per A. Supponiamo inoltre che f, g siano infinitesime per che tende a 0. Se f è un infinitesimo di ordine superiore rispetto a g per che tende a 0 ovvero 0 f g 0 scriveremo f og che si legge f è o-piccolo di g per che tende a 0. Quindi 0 og g 0 ESEMPIO sin o per 0 perché Possimo scrivere quindi 0 sin 0 in quanto 0 sin. sin + o. In maniera analoga si deducono le seguenti eguaglianze per che tende a zero. a a + log a + o perché log a 0 e e + + o perché 0 log + + o perché 0 log + cos + o perché 0 cos tan + o perché 0 tan Analogamente + α + α + o perchè 0 + α α 6

Infatti + α e α log+ 0 0 + α log + + oα log + 0 per il Principio di sostituzione degli infinitesimi α log + α 0 Nel ite sopra abbiamo posto α log+ ed utilizzato lo sviluppo e ++ovedi gli sviluppi, tenuto conto che per 0 si ha che 0. Si osservi che con la scrittura f og non si indica una eguaglianza tra funzioni ma l appartenenza di f ad un insieme di funzioni. Sarebbe quindi più corretto scrivere f og. Ad esempio, scriveremo 3 o, 4 3 o per 0 perché 0 0 e 4 0 0, naturalmente, per quanto osservato sopra, non potremo applicare in questo caso la proprietà transitiva dell uguaglianza e dedurre che le funzioni 3 e 4 sono uguali. Nel calcolo dei iti è utile disporre di alcune regole di calcolo con gli o-piccoli. Riportiamo qui sotto le principali nel caso degli o m per 0. In maniera analoga si procederà negli altri casi. k o n o n 3 o m ± o n o n, n m 4 o n o m o m+n 5 [o n ] m o mn 6 m o n o m+n 7 o n + o n o n 8 Dimostriamo 3 Dimostriamo 4 k o n 0 n k 0 o n n 0 Dimostriamo 5 o n ± o m o n ± om 0 ± om 0 n 0 n n 0 m m n 0 o n o m 0 n+m o n o m o n o m 0 n m 0 n 0 m 7

Dimostriamo 6 Dimostriamo 7 Dimostriamo 8 [o n ] m 0 nm m o n 0 n+m o n + o n o n + o n 0 n 0 n + o n [ o n 0 n ] m 0 o n 0 0 n n + o n n 0 + on 0. 0 n 8

ESERCIZI SUI LIMITI CALCOLARE IL VALORE DEI SEGUENTI LIMITI DI FUNZIONE + 4 + 7 0+ + 3 + 3 + 3 5 + + 3 8 0+ 0 0+ + + 3 + 3 6 + 3 3 4 arctan π 9 0+ +3 + 3 0+ a a a, a, a > 0 a 3 + log [ ] log + log 4 a a a, a > 0 5 sin a + log + log 6 0+ 7 0 sin sin sin log 4 8 0 log 4 3 9 0 4 + + 0 0+ log + + 0 tan sin 4 + 5 π arctan arctan π cos 3 0+ 6 0 cos arctan arctan 4 + arccos 7 0 log + sin cos 8 0+ e sin log + + 9 0 cos[log + ] 4 30 0+ 3 0 + 3 0 log cos 33 0 cos 3 9

34 + sin log 35 + + e log 36 0+ sin + log + + 37 0+ cos sin log + 38 0+ sin cos e 3 39 0+ log + cos esin 3 40 0+ log + + 3 [log logsin ] 4 0+ e + [log tan 4 log ] 4 0+ sin + 4 [ log log cos ] 43 0+ tan + [log loge ] sin 44 0 46 0 4 + 4 e + log4 3 cos 3 + 3 log + sin + arcsin 45 0 log + tan 3 + + arctan Calcolare al variare di R il valore dei seguenti iti di successioni: 47 n + log cos n n 48 n + 3 n n n 49 n + n log + n 50 n + n sin n 3 5 n + n n 5 n + n n n RISULTATI e 3 e 3 4 + 5 + 6 e 4 e log /3 7 log 6 8 9 0 0 a log a log 3/4 3 0 4 a a log a 5 6 e 7 0 8 log log log 4/3 9 log 0 + 3 4 5 6 7 8 0 9 30 0 3 3 33 34 35 + 36 37 0 38 3 39 3 43 log 44 45 3 4 46 40 log 4 log 4 4 log 47 per, per > 0 per < 48 + per > 0, per 0, log 3 per < 0 49 per, 0 per <, + per > 50 per 3, 0 per < 3, + per > 3 ; 5 log per < 0, + per > 0, per 0 5 + per, 0 per <. 0

Svolgimento Esercizio + + 3 + e3 log+ Posto osserviamo che per + 0+, calcolare il ite proposto equivale a calcolare il seguente: log+ e3 e 3 log + perchè 0 Svolgimento Esercizio + 0+ 0+ + + e log+ Posto osserviamo che per + 0+, calcolare il ite proposto equivale a calcolare il seguente: e log+ e +o e + o Perchè 0+ 0+ Svolgimento Esercizio 3 +. 0+ + e log Posto osserviamo che per + 0+, calcolare il ite proposto equivale a calcolare il seguente: 0+ + o Perchè 0+ 0+ Svolgimento Esercizio 4 + e log. 0+ e +o e 3 + 3 + e3 log3+ Posto osserviamo che per + 0+, calcolare il ite proposto equivale a calcolare il seguente: 0+ e 3 log3+ 0+ e 3 log[3+ 3 ] 0+ e 3 log 3 +3 log+ 3 e log 7 + +o + 0+ Perchè 0+ + o 0+, mentre e log 7 0+ +.

Svolgimento Esercizio 5 + 3 + e log3 Posto osserviamo che per + 0+, calcolare il ite proposto equivale a calcolare il seguente: 0+ e log3 0+ e log[3 3 ] 0+ e log 3 +log 3 e log 9 + 3 +o + 0+ 3 + o Perchè 0+ Svolgimento Esercizio 6 0+ 3, mentre 3 e log 9 0+ +. [ +3 + 3 + 3 ] + + 3 3 e log+ 3 + 3 + e log e4 Perchè + 3 3 e + 3, mentre per il calcolo del ite relativo + agli altri termini si procede come negli esercizi precedenti. Svolgimento Esercizio 7 Utilizziamo nel ite lo sviluppo della funzione esponenziale vedi gli sviluppi con a e a 3 : 0+ Principio di sostituzione degli infinitesimi + log + o + + log 3 + o 0+ log + log 3 log 6. Svolgimento Esercizio 8 Utilizziamo nel ite lo sviluppo della funzione esponenziale vedi gli sviluppi con a, a 3 e a 4 : 0+ + log log 3 + o + log 3 log 4 + o Abbiamo utilizzato il fatto che o o o. Quindi per il Principio di sostituzione degli infinitesimi: log log 3 0+ log 3 log 4 log 3 log 3. 4 Svolgimento Esercizio 9 Scriviamo il ite proposto nella forma 0+ e log, perché 0+ log 0. Svolgimento Esercizio 0 log Scriviamo il ite proposto nella forma 0, perché 0+ e 0+, vedi Esercizio 9 e 0+ log, quindi il ite assume la forma e che dà 0.

Svolgimento Esercizio Imetodo Effettuiamo il seguente cambiamento di variabile: arctan. Quindi per + si ha π, il ite proposto diventa π π tan π π sin cos π π cos, posto z π ed osservato che per π si che z 0, otteniamo z 0 z cos z + π z 0 z sin z. II metodo Scriviamo il ite nella forma seguente + arctan π in modo da ottenere una forma indeterminata, del tipo 0, possiamo applicare il Teorema 0 dell Hospital: Perché + + D arctan π D 0. Esercizio Scriviamo il ite nella forma + + + + + a aa a a a log a, 0 a 0 +. perchè abbiamo posto a, e per 0, 0, vedi i iti notevoli Esercizio 3 log + { [ log + log ]} + log + log [ log + log + log [ + log + log Si pone log + e si osserva che per + si ha che 0, si può quindi utilizzare log lo sviluppo log + + o. 3 ] ]

+ log + log Perché log + log + + log + log + log + log o log + + log log + log log + + o log [ log + ] 0 log + log 0. Esercizio 4 I metodo Sviluppo di Talor Osservato che per a si ha che a 0 possiamo utilizzare gli sviluppi dell esponenziale e del logaritmo: a a a a a a a a a a a a a a + o a aa a a a log a + o a a + o a a log a + o a a + o a e a log a a + a log + olog a a a a a a a log a a + + olog [ a a + ] a log a + o a a + o a + a o a + o a a + o a a log a + o a a + o a Tenuto conto delle proprietà 4 e 8 degli o-piccoli ed utilizzando il Principio di sostituzione degli infinitesimi, si ha infine a a a a a log a + o a a + o a a a a a log a a II metodo Teorema dell Hospital, notare in questo caso la differenza!! a a log a. a D a a D sin a a a a a log a cos a a a log a. Esercizio 5 + log + log + + o + o +. Perché per 0+,si applica quindi lo sviluppo del logaritmo vedi. Esercizio 6 Scriviamo l espressione nella forma e sin sin log 0+ 4 sin

e consideriamo l argomento dell esponenziale: 0+ sin sin log sin + Il valore del ite assegnato è quindi e. Esercizio 7 0+ sin sin [ sin + o + 0+ ] sin sin o sin sin sin sin log + log + o 0+ + log 4 + o log + o 0+ log log + o log 4 log + o 0 Perché 0+ log + o log 4 log + o 0+ log log Esercizio 8 log + log + o 0+ + log 4 + o log 3 + o 0+ log log + o log 4 log 3 + o log log log 4/3 Perché 0+ log + o log 4 log 3 + o 0+ log log 4/3 log log 4/3. Esercizio 9 0 Esercizio 0 Applicando il teorema dell Hospital si ha 0 log Perché assume la forma 0+ 0+ + + + 5

Utilizzando invece lo sviluppo della funzione logaritmo, cioè log + + o, con +, si ha 0+ + + o + principio di sostituzione degli infinitesimi 0+ + 0+ + 0+ +. Esercizio 0 sin cos sin 4 0 sin cos cos 4 0 sin 4 cos 4 0 4 sin Esercizio Poniamo arctan, quindi, in particolare per + si ha che 0+ tan 0+ tan Esercizio 3 arctan Osserviamo che. Infatti basta porre arctan, da cui tan, di 0 conseguenza per 0 si ha che 0. Il ite diventa. Ragionando quindi 0 tan come abbiamo fatto per ottenere gli sviluppi si ha arctan + o. Quindi il ite proposto si può risolvere nel modo che segue. 0+ 0+ cos arctan 0+ + o + o 0+ [ + o ] [ + o] Esercizio 4 Poniamo arccos, da cui cos. Per si ha che 0. Il ite proposto si scrive nella forma cos 0 Esercizio 5. 6

Poniamo π. Di conseguenza per π, 0. Il ite si scrive nella forma 0 arctan cos + π 0 arctan sin 0 + o o 0. Perché vedi Esercizio arctan + o. Esercizo 6 Vedi la risoluzione dell Esercizio Esercizio 7 Osserviamo che posto sin dalla scomposizione log+ +o vedi otteniamo log+sin sin +osin. Inoltre tenuto conto che sin +o +o+ o + o, possiamo scrivere log + sin + o + o + o da questa per 8 otteniamo log + sin + o. Di conseguenza il ite proposto diventa 0 + o + o 0 + o + o 0. Esercizio 8 Scriviamo lo sviluppo delle funzioni che compaiono nell espressione vedi ed esercizi precedenti: e sin + sin + osin + + o + o + o + + o. log+ + + +o + + +o + + +o. Sostituendo: 0 + + o + + o 0 + 0. Esercizio 9 Scriviamo lo sviluppo delle funzioni che compaiono nell espressione vedi ed esercizi precedenti: log + + o coslog + cos + o + o + o + o 4 + o 4 + o 4 + o 4 4 + o4 Perché o4 + o 4 + o 4 o 4 + o 4 o 4. Sostituiamo nel ite: 0 4 + o4 4 0 4 4. Esercizio 30 7

e log 0 0+ 0+ Perché il ite assume la forma e in quanto 0+ +. Eseercizio 3 Osserviamo che log, si tratta di una forma + e log+ + log + + o log + + [ + o] + o[ + o] + + o + o + o + + o + o + + o Sostituamo nel ite 0 + + o 0. Esercizio 3 Osserviamo che log cos log Sostituiamo nel ite [ + o 0 ] +o +o +o +o +o +o. + o 0. Esercizio 33 Tenuto conto che ] cos e logcos + logcos + o logcos + log [ + o + ] ] [ ] +o log [ + o + [ + o + o + o sostituamo nel ite 3 + o3 + o 3 + o 3 3 + o3 + o 3 3 + o3, 0 3 + o3 3 0 3 3. 8