La probabilità composta

La probabilità composta DEFINIZIONE. Un evento E si dice composto se il suo verificarsi è legato al verificarsi contemporaneo (o in successione) degli eventi E 1, E 2 che lo compongono. Consideriamo il lancio consecutivo di due monete e calcoliamo la probabilità che esca contemporaneamente testa su entrambe le monete. se con il lancio della prima moneta esce testa, con la seconda si può ottenere testa o croce: (T; T) e (T; C) se con il lancio della prima moneta esce croce, con la seconda si può ottenere testa o croce: (C; T) e (C; C) Complessivamente i casi possibili sono quattro: (T; T) (T; C) (C; T) (C; C) Area 3 - Capitolo 2 - PAG. 466 1

La probabilità composta Consideriamo l estrazione di due assi da un mazzo di 40 carte senza rimettere la carta estratta nel mazzo: il numero complessivo di carte della prima estrazione (40) è diverso da quello della seconda (39); se alla prima estrazione è stato estratto un asso significa che nella seconda estrazione il numero complessivo di assi è 3. Rispetto all esempio della diapositiva precedente, questo esempio presenta una differenza notevole: nel primo esempio l esito del primo lancio non influenza quello del secondo; nel secondo esempio la seconda estrazione è dipendente dalla prima. DEFINIZIONE. Due eventi composti si dicono indipendenti se il verificarsi di uno qualsiasi di essi non modifica la probabilità del verificarsi dell altro evento. Due eventi composti si dicono dipendenti se il verificarsi di uno qualsiasi di essi modifica la probabilità del verificarsi dell altro evento. La probabilità che si verifichi l evento E 2 nell ipotesi che l evento E 1 si sia già realizzato è detta probabilità condizionata ed è indicata con la scrittura p(e 2 /E 1 ). Area 3 - Capitolo 2 - PAG. 466 2

Eventi indipendenti Consideriamo il lancio di una moneta e calcoliamo la probabilità che su due lanci esca entrambe le volte testa. Per ogni lancio esiste una probabilità su due che venga testa. 1 1 2 2 1 2 Per calcolare la probabilità che esca due volte testa consecutivamente dobbiamo quindi calcolare quanti sono nel complesso i casi possibili e quanti quelli favorevoli. Nel nostro caso 1 2 1 2 1 2 1 4 1 lancio 2 lancio TEOREMA (DELLA PROBABILITÀ COMPOSTA). La probabilità di un evento E, costituito da due eventi indipendenti E 1 ed E 2, si ottiene effettuando il prodotto delle probabilità di ciascun evento. In simboli: 1 2 Area 3 - Capitolo 2 - PAG. 467 3

Eventi dipendenti Consideriamo un urna contenente 15 palline rosse e 5 bianche e calcoliamo la probabilità di ottenere, in due estrazioni consecutive, prima una pallina rossa poi una bianca: per l evento E 1 estrazione di una pallina rossa abbiamo per l evento E 2 estrazione di una pallina bianca abbiamo 1 15 20 3 4 2 5 19 In questo caso, la probabilità dell evento composto E viene estratta prima una pallina rossa poi una bianca è data dal prodotto 1 2 / E 1 3 4 5 19 15 76 TEOREMA (DELLA PROBABILITÀ COMPOSTA). La probabilità di un evento E, costituito da due eventi dipendenti E 1 ed E 2, si ottiene moltiplicando la probabilità dell evento E 1 per la probabilità condizionata dell evento E 2 (nell ipotesi che il primo evento si sia verificato); in simboli: 1 2 / E 1 Area 3 - Capitolo 2 - PAG. 468 4

2 La probabilità frequentista Si parla di probabilità frequentista nel caso in cui si ha a disposizione un numero molto grande di osservazioni che avvengono sempre nelle stesse condizioni. DEFINIZIONE. Sia n il numero di prove eseguite, tutte uguali e nelle medesime condizioni, ed f il numero degli esiti favorevoli. La probabilità frequentista p(e) di un evento E è data dalla frequenza relativa dell evento, cioè dal rapporto tra f e n f n In generale: TEOREMA (LEGGE DEI GRANDI NUMERI O LEGGE EMPIRICA DEL CASO). Se sottoponiamo un evento casuale ad un numero elevato di prove, mantenendo sempre le condizioni iniziali, otteniamo una frequenza che si avvicina molto alla probabilità teorica; aumentando il numero di prove, la frequenza tende a coincidere sempre più con la probabilità teorica. Area 3 - Capitolo 2 - PAG. 472 5

2 La probabilità soggettiva La probabilità soggettiva misura la fiducia che un individuo, basandosi su conoscenze e opinioni in merito a una determinata situazione, ripone nell avverarsi di un evento. Si tratta di una scommessa la cui valutazione di esito dipende esclusivamente dal giudizio personale di chi scommette. Nel caso di una partita di calcio, ad esempio, un certo individuo può valutare la probabilità che si verifichi l evento della vittoria di una squadra sull altra al 60%; giudica equo pagare 60 per riceverne in cambio 100 (guadagnandone così 40); un altro individuo potrebbe assegnare allo stesso evento una probabilità diversa. DEFINIZIONE. La probabilità soggettiva p(e) di un evento E è il rapporto tra il prezzo P che un individuo è disposto a pagare e la somma S che vuole ricevere in caso si verifichi l evento. P S Area 3 - Capitolo 2 - PAG. 474 6