Componenti di un sistema KNOWLEDGE-BASED DYNAMIC DATABASE PROBLEM FORMALIZATION CONTROL STRATEGY IL DATABASE DESCRIVE LA SITUAZIONE CORRENTE NELLA DETERMINAZIONE DELLA SOLUZIONE AL PROBLEMA. LA FORMALIZZAZIONE DEL PROBLEMA DEFINISCE LE REGOLE DI TRASFORMAZIONE CHE GENERANO NUOVE ASSERZIONI A PARTIRE DA QUELLE ESISTENTI. IL SISTEMA DI CONTROLLO DECIDE QUALE REGOLA USARE PER TRASFORMARE IL DATABASE, IN MODO DA GIUNGERE, DOPO VARIE ITERAZIONI, ALLA SOLUZIONE DEL PROBLEMA CONSIDERAZIONE CIASCUN COMPONENTE È FORTEMENTE DIPENDENTE DAL DOMINIO IN ESAME. 1
RAPPRESENTAZIONE SSR: LO SPAZIO DEGLI STATI STATI: OPERATORI: STRUTTURE DATI IN GRADO DI DESCRIVERE LA CONDIZIONE DEL PROBLEMA IN UN PASSO DEL PROCESSO RISOLUTIVO FUNZIONI CHE, DATO UN QUALSIASI STATO DEL PROBLEMA, NE DETERMINANO I SUCCESSORI STATO INIZIALE: STATO DA CUI SI INTENDE FAR PARTIRE IL PROCESSO RISOLUTIVO STATI FINALI: STATI RISOLUTIVI DEL PROBLEMA 2
ESEMPIO: L 8 PUZZLE STATI : CONFIGURAZIONI DEL PUZZLE (MATRICE 3x3) OPERATORI : 4 6 7 1 5 2 3 8 N = SPOSTA IL BIANCO A NORD SE IL BIANCO NON È IN RIGA 1 S = SPOSTA IL BIANCO A SUD SE IL BIANCO NON È IN RIGA 3 E = SPOSTA IL BIANCO A EST SE IL BIANCO NON È IN COLONNA 3 O = SPOSTA IL BIANCO A OVEST SE IL BIANCO NON È IN COLONNA 1 3
ESEMPIO: L 8 PUZZLE STATO INIZIALE: UNA PREFISSATA CONFIGURAZIONE DEL PUZZLE 4 6 7 1 5 2 3 8 STATO FINALE: 1 2 3 4 5 6 7 8 4
REGOLE DI RISCRITTURA PER L 8 PUZZLE 5
UNA PORZIONE DELL ALBERO DI RICERCA DEL GIOCO DEL QUINDICI 6
UN SECONDO ESEMPIO: GLI SCACCHI IL DATABASE DINAMICO DEFINISCE LO STATO CORRENTE DELLA PARTITA (POSIZIONE DEI PEZZI, PEZZI MANGIATI, ) LA FORMALIZZAZIONE DEL PROBLEMA DEFINISCE : LE REGOLE DI SPOSTAMENTO DEI PEZZI LE REGOLE GENERALI DI GIOCO (PARTITA PAREGGIATA, VINTA, REGOLE DI SCACCO) IL VALORE DEI PEZZI (ASSOLUTO O CONTESTUALE) IL SISTEMA DI CONTROLLO SULLA BASE DELLO STATO CORRENTE DEL SISTEMA, DEL SOTTOBIETTIVO CORRENTE, E DELLE REGOLE DI SPOSTAMENTO, DETERMINA LA MOSSA PIÙ CONVENIENTE 7
UN TERZO ESEMPIO: L INTEGRAZIONE SIMBOLICA IL DATABASE DINAMICO CONTIENE LO STATO DI AVANZAMENTO DELLA INTEGRAZIONE LA FORMALIZZAZIONE DEL PROBLEMA DEFINISCE REGOLE DI INTEGRAZIONE SOSTITUZIONE FORMULE RICORRENTI PER PARTI REGOLE DI CALCOLO ANALITICO DIFFERENZIAZIONE DERIVAZIONE IL SISTEMA DI CONTROLLO ANALIZZANDO IL DATABASE DECIDE SE È APPLICABILE UNA DELLE REGOLE DI INTEGRAZIONE E IN CASO AFFERMATIVO, DETERMINA I NUOVI SOTTOPROBLEMI DI 8 INTEGRAZIONE DA RISOLVERE
TEORIA DEI PROGRAMMI LOGICI SISTEMI FORMALI INTERPRETAZIONE DI UN SISTEMA FORMALE CORRETTEZZA DI UN SISTEMA FORMALE COMPLETEZZA DI UN SISTEMA FORMALE 9
INTRODUZIONE AI SISTEMI FORMALI UN SISTEMA FORMALE È COMPOSTO DI: ASSIOMI: VERITÀ NON DIMOSTRABILI REGOLE DI DERIVAZIONE (O DI INFERENZA): PERMETTONO DI RICAVARE NUOVE VERITÀ A PARTIRE DA QUELLE PREESISTENTI OGNI VERITÀ (DIMOSTRABILE O MENO) È DETTA TEOREMA FISSATO UN TEOREMA DA DIMOSTRARE, IL PROCEDIMENTO DI APPLICAZIONE SUCCESSIVA DELLE REGOLE DI INFERENZA PER DERIVARLO A PARTIRE DAGLI ASSIOMI È DETTO PROBLEM SOLVING 10
INTERPRETAZIONE DI UN SISTEMA FORMALE UN SISTEMA FORMALE NASCE CON L OBIETTIVO DI DESCRIVERE UNA PARTE DEL MONDO REALE NEL MONDO REALE ABBIAMO OGGETTI, RELAZIONI TRA OGGETTI, PROPOSIZIONI CHE ESPRIMONO PROPRIETÀ CHE POSSONO ESSERE VERE O FALSE UN SISTEMA FORMALE HA INVECE ASSIOMI E TEOREMI DERIVABILI DA ESSI MEDIANTE REGOLE DI INFERENZA (O DERIVAZIONE) 11
ISOMORFISMO TRA S.F. E MONDO REALE MONDO REALE ISOMORFISMO SISTEMA FORMALE OGGETTI SIMBOLI PROPOSIZIONI SEMPRE VERE ASSIOMI RELAZIONI TRA OGGETTI REGOLE DI INFERENZA RELAZIONI DIMOSTRABILI??? TEOREMI DERIVABILI UN ISOMORFISMO TRA S.F. E MONDO REALE REALIZZA UNA CORRISPONDENZA TRA: GLI OGGETTI DEL MONDO REALE CON I SIMBOLI USATI NEL S.F. (VARIABILI E/O COSTANTI) LE PROPOSIZIONI SEMPRE VERE NEL MONDO REALE E GLI ASSIOMI DEL S.F. LE RELAZIONI DIMOSTRABILI TRA GLI OGGETTI DEL MONDO REALE E REGOLE DI INFERENZA 12
PERTANTO L ISOMORFISMO ASSEGNA UN SIGNIFICATO AI SIMBOLI CIOÈ AGLI ASSIOMI E ALLE REGOLE D INFERENZA DEL SISTEMA FORMALE IL SISTEMA FORMALE PERMETTE DI DERIVARE TEOREMI CON LA PROCEDURA DI ESPANSIONE SENZA TENERE CONTO DELL ISOMORFISMO, OVVERO IN MANIERA STUPIDA, SENZA COSCIENZA DEL SIGNIFICATO DELLA DIMOSTRAZIONE L ISOMORFISMO APPLICATO AL CONTRARIO PERMETTE DI ASSEGNARE SIGNIFICATO AI TEOREMI DERIVATI DAL S.F. PER OTTENERE DELLE PROPOSIZIONI VERE DEL MONDO REALE CONCLUSIONE SI DERIVANO PROPOSIZIONI VERE DEL MONDO REALE SENZA CAPIRE COSA SI STA FACENDO. 13
UN PRIMO ESEMPIO: IL SISTEMA PG SIMBOLI DEL SISTEMA PG - P - G - ASSIOMI DEL SISTEMA PG a1) SE x È UNA STRINGA DI ALLORA x P G x È UN ASSIOMA IN EFFETTI a1) ESPRIME UN INSIEME INFINITO DI ASSIOMI AL VARIARE DELLA LUNGHEZZA DELLA STRINGA x. REGOLE DEL SISTEMA PG R1) SE: x P y G z È VERA, ALLORA: x P y G z CON x, y E z STRINGHE DI 14
APPLICHIAMO LA PROCEDURA DI DERIVAZIONE: P G R1 P G R1 P G X = Y = Z = X = Y = Z = P G R1 P G R1 P G X = Y = Z = X = Y = Z = R1 RICAPITOLANDO R1 X = Y = Z = TEOREMI NON DERIVABILI: P G P G P G P G TEOREMI DERIVABILI: P G P G P G P G P G P G P G P G P G 15
ISOMORFISMO OGGETTI/SIMBOLI 1 2 3 : P + SVELIAMO L ISOMORFISMO G = UN POSSIBILE ISOMORFISMO TRA PROPOSIZIONI VERE DEL MONDO REALE. ED ASSIOMI DEL SISTEMA FORMALE DETTO X UN INTERO QUALSIASI, IL SUO SUCCESSIVO È OTTENUTO SOMMANDOGLI 1: 1 + 1 = 2 P G 2 + 1 = 3 P G 3 + 1 = 4 P G : UN POSSIBILE ISOMORFISMO TRA PROPOSIZIONI DERIVABILI DEL MONDO REALE ED I TEOREMI DERIVATI DAL S.F. SE x + y = z x + y + 1 = z + 1 x P y G z x P y G z 1 + 2 = 3 1 + (2+1) = 4 P G P G 1 + 3 = 4 1 + (3+1) = 5 P G P G 16 : :
STRINGHE BEN FORMATE COME CLASSIFICARE, ALLA LUCE DELLO ISOMORFISMO QUESTE PROPOSIZIONI? 3 + 2 = 7 P G 2 + 2 + 2 + 2 = 8 P P P G LE STRINGHE BEN FORMATE DI UN SISTEMA FORMALE SONO QUELLE STRINGHE CHE, INTERPRETATE SIMBOLO PER SIMBOLO, DANNO LUOGO AD ENUNCIATI CORRETTI DAL PUNTO DI VISTA GRAMMATICALE. TRA LE STRINGHE BEN FORMATE VI SONO I TEOREMI, DEFINITI A PARTIRE DA UNO SCHEMA DI ASSIOMI E DALLE PRODUZIONI. TUTTE LE ADDIZIONI DI DUE ADDENDI CON RISULTATO ERRATO SONO STRINGHE BEN FORMATE, MA NON SONO TEOREMI. ESEMPIO DI STRINGA NON BEN FORMATA 2 + 2 + 2 + 2 = 8 P P P G ESEMPIO DI STRINGA BEN FORMATA CHE NON È UN TEOREMA: 3 + 2 = 7 P G 17
UN SECONDO ISOMORFISMO ISOMORFISMO OGGETTI/SIMBOLI 1 2 3 : P = G sottratto da UN POSSIBILE ISOMORFISMO TRA PROPOSIZIONI VERE DEL M.R. ED ASSIOMI DEL S.F. DETTO X UN INTERO QUALSIASI, ESSO È OTTENUTO DAL SUO SUCCESSIVO SOTTRAENDOGLI 1: 1 = 1 sottratto da 2 P G 2 = 1 sottratto da 3 P G 3 = 1 sottratto da 4 P G : UN POSSIBILE ISOMORFISMO TRA PROPOSIZIONI DERIVABILI DEL M.R. E TEOREMI DERIVATI DAL S.F. SE x = y sottratto da z => x = y + 1 sottratto da z + 1 x P y G z x P y G z 1 = 2 sottratto da 3 1 = (2+1) sottratto da 4 P G P G 1 = 3 sottratto da 4 1 = (3+1) sottratto da 5 P G P G : : 18
IL GIOCO MU OBIETTIVO DEL GIOCO È QUELLO DI OTTENERE UNA STRINGA A PARTIRE DA UN ALTRA UTILIZZANDO OPPORTUNE REGOLE DI TRASFORMAZIONE. LA STRINGA INIZIALE È MI LA STRINGA FINALE È MU LE REGOLE DI INFERENZA SONO: R1: SE LA STRINGA TERMINA CON I SI PUÒ AGGIUNGERE UNA U ALLA FINE MI MIU R2: DATA UNA STRINGA Mx (CON x STINGA QUALSIASI) SI PUÒ OTTENERE LA STRINGA Mxx MIU MIUIU R3: SI POSSONO SOSTITUIRE TRE I CONSECUTIVE CON UNA U MIIIU MUU R4: SI POSSONO ELIMINARE DUE U CONSECUTIVE IN UNA STRINGA MUUUI MUI 19
ALBERO DEI TEOREMI GENERATO APPLICANDO LA PROCEDURA DI DERIVAZIONE MI R1 R2 MIU MII R2 R1 R2 MIUIU MIIU MIIII R2 R2 R1 R2 R3 R3 MIUIUIUIU MIIUIIU MIIIIU MIIIIIIII MIU MUI ALLA STRINGA INIZIALE MI E AD OGNI ALTRO TEOREMA DERIVATO, IL MOTORE APPLICA UN PROCEDIMENTO DETTO DI UNIFICAZIONE CON LE REGOLE. ESSO CONSISTE NELL EFFETTUARE UNA OPPORTUNA SOSTITUZIONE CHE RENDA LA PRECONDIZIONE DI UNA REGOLA UGUALE ALLA (UNIFICABILE CON LA) STRINGA CORRENTEMENTE IN ESAME. SE L UNIFICAZIONE RIESCE, LA REGOLA È APPLICABILE ALLA STRINGA IN ESAME E DA TALE APPLICAZIONE UN 20 NUOVO TEOREMA VIENE DERIVATO.
RAGIONAMENTO INTERNO AL SISTEMA FORMALE IL RAGIONAMENTO È INTERNO QUANDO SI UTILIZZANO SOLTANTO LE REGOLE ESPLICITAMENTE DEFINITE DAL SISTEMA FORMALE.... UNA PROCEDURA DI DERIVAZIONE DI TEOREMI P0: INSERIRE GLI ASSIOMI NEL DATABASE P1: APPLICARE OGNI REGOLA APPLICABILE AI TEOREMI PRESENTI NEL DATABASE OTTENENDO NUOVI TEOREMI P2: VERIFICARE CHE TRA I NUOVI TEOREMI PRODOTTI NON VI SIA QUELLO DESIDERATO; SE È COSÌ AGGIUNGERE TALI TEOREMI AL DATABASE E RIESEGUIRE IL PASSO P1; ALTRIMENTI LA SOLUZIONE È STATA TROVATA 21
RAGIONAMENTO ESTERNO AL SISTEMA FORMALE RAGIONARE ESTERNAMENTE AL SISTEMA SIGNIFICA RAGIONARE SULLE REGOLE CHE COSTITUISCONO IL SISTEMA FORMALE, VALUTANDONE CRITICAMENTE GLI EFFETTI ESEMPI E1) IL SISTEMA FORMALE INTRODOTTO PRODURRÀ SOLTANTO TEOREMI CHE INIZIANO PER M ( TUTTE LE REGOLE NON PERMETTONO DI ELIMINARE LA M ) E2) LE REGOLE R1 E R2 HANNO L EFFETTO DI ALLUNGARE LA STRINGA, R3 ED R4 DI ACCORCIARLA 22
IMPLICAZIONI USCENDO DAL SISTEMA SIAMO IN GRADO DI RISPONDERE A QUESITI PIÙ EFFICACEMENTE DI QUANTO NON SI FACCIA ESCLUSIVAMENTE CON LE PROCEDURE DI DERIVAZIONE. USCENDO DAL SISTEMA SI POSSONO RICAVARE REGOLE IMPORTANTI CHE POSSONO, ACCANTO ALLE PRECEDENTI, COSTITUIRE UN NUOVO SISTEMA FORMALE PIÙ INTELLIGENTE ESEMPIO POSSO AGGIUNGERE LE REGOLE E1 ED E2 OTTENENDO UN NUOVO SISTEMA FORMALE CHE RISPONDE A DOMANDE DEL TIPO: È POSSIBILE OTTENERE DA MIU LA STRINGA UI? SISTEMA FORMALE SF1 UOMO REGOLE ESTERNE DI SF REGOLE INTERNE DI SF1 SISTEMA FORMALE SF REGOLE INTERNE DI SF REGOLE ESTERNE DI SF 23
RIASSUMENDO IL CICLO DI DEFINIZIONE E UTILIZZO DI UN SISTEMA FORMALE EVOLVE TRA LE FASI DI: DEFINIZIONE DEI SIMBOLI DEFINIZIONE CONTEMPORANEA DELL ISOMORFISMO DERIVAZIONE DI TEOREMI DAL SISTEMA FORMALE APPLICAZIONE ALL INVERSO DELL ISOMORFISMO PER OTTENERE PROPOSIZIONI VERE DAL MONDO REALE A PARTIRE DAI TEOREMI OTTENUTI. 24
IL SISTEMA PG IL SISTEMA PG, CON LA PRIMA INTERPRETAZIONE DATA, È COERENTE. OGNI SUO SISTEMA DERIVATO, COME: P G ESPRIME, IN BASE ALL INTERPRETAZIONE DATA UNA VERITÀ ARITMETICA 3 + 2 = 5 P G IL SISTEMA È COMPLETO RISPETTO ALLE ADDIZIONI CON UN UNICO SEGNO +. INFATTI UNA QUALSIASI VERITÀ DEL MONDO REALE È SEMPRE DERIVABILE DAL SISTEMA FORMALE... IL CHE ASSICURA CHE APPLICANDO ALL INVERSO L ISOMORFISMO, SI OTTENGONO PROPOSIZIONI VERE DAL MONDO REALE A PARTIRE DA TEOREMI DERIVANTI DAL SISTEMA FORMALE 25
COERENZA E COMPLETEZZA UN SISTEMA FORMALE CON LA SUA INTERPRETAZIONE SI DICE COERENTE SE OGNI TEOREMA DA ESSO DERIVATO INTERPRETATO (MEDIANTE L ISOMORFISMO) ESPRIME UNA PROPOSIZIONE VERA DEL MONDO REALE UN SISTEMA FORMALE CON LA SUA INTERPRETAZIONE È DETTO COMPLETO SE TUTTE LE PROPOSIZIONI VERE DEL MONDO REALE SONO ESPRESSE DA TEOREMI DERIVATI DAL SISTEMA FORMALE.. 26
COERENZA E COMPLETEZZA SE IL SISTEMA FORMALE È COERENTE E NON COMPLETO E RISPONDE NO AD UNA DOMANDA, NON È CREDIBILE, PERCHÉ LA SOLUZIONE PUÒ ESISTERE MA NON ESSERE FORMALIZZATA NEL SISTEMA FORMALE, CIOÈ COERENTE È CREDIBILE SOLO SUL SI. UN SF SE IL SISTEMA FORMALE È COMPLETO E NON COERENTE E RISPONDE SI AD UNA DOMANDA, NON È CREDIBILE, PERCHÉ NON TUTTE LE SUE DERIVAZIONI SONO VERE (POTREBBE NON ESSERE COERENTE). CIOÈ UN SF COMPLETO È CREDIBILE SUL NO. 27
COERENZA ED INTERPRETAZIONI SUPPONIAMO DI ASSEGNARE AL SISTEMA FORMALE PG UNA TERZA INTERPRETAZIONE: * 1 P + ** 2 G OTTENENDO UN SISTEMA CHE CON LA SUA INTERPRETAZIONE È ANCORA COERENTE. SUPPONIAMO DI AGGIUNGERE AL SISTEMA FORMALE PG UN ALTRO SCHEMA DI ASSIOMI x P G x CON x STRINGA DI IL NUOVO SISTEMA FORMALE È COERENTE RISPETTO ALLA NUOVA INTERPRETAZIONE P G 2 + 1 2 MA INCOERENTE RISPETTO ALLA PRIMA INTERPRETAZIONE P G 2 + 1 = 2... CONCLUSIONI 28
... COMPLETEZZA IL NUOVO SISTEMA FORMALE CON LA NUOVA INTERPRETAZIONE È COERENTE MA NON È COMPLETO! SI CONSIDERI LA PROPOSIZIONE 2 + 1 1 IL CORRISPONDENTE TEOREMA: P G NON È DERIVABILE DAL SISTEMA FORMALE 29
IL CRITERIO DI TEOREMATICITÀ LA PROCEDURA DI DECISIONE È TALE DA FAR RICAVARE TUTTI I POSSIBILI TEOREMI DAGLI ASSIOMI DI PARTENZA CRITERIO DI TEOREMATICITÀ PROCEDERE FINO A QUANDO VIENE PRODOTTA LA STRINGA IN QUESTIONE; QUANDO CIÒ AVVIENE, SI SA CHE ESSA È UN TEOREMA; SE CIÒ NON AVVIENE MAI, VUOL DIRE CHE ESSA È NON È UN TEOREMA. PROBLEMA IL CRITERIO DI TEOREMATICITÀ PUÒ RISPONDERE IN UN TEMPO INFINITO SE ESISTE UN CRITERIO DI TEOREMATICITÀ LA CUI APPLICAZIONE DURA DA UN LASSO DI TEMPO FINITO DI TEMPO, ALLORA DETTO CRITERIO SI CHIAMA PROCEDURA DI DECISIONE 30
... IMPLICAZIONI L ASSENZA DI UNA PROCEDURA DI DECISIONE COMPROMETTE LA REALIZZAZIONE DI UN SISTEMA AUTOMATICO DI RISOLUZIONE DI PROBLEMI PER IL SISTEMA FORMALE IN CONSIDERAZIONE LA PROCEDURA DI DECISIONE, DIPENDENTE DAL SISTEMA FORMALE, VA AGGIUNTA A COMPLETAMENTO DELLA PROCEDURA DI DERIVAZIONE DI TEOREMI 31
TEOREMA DI GÖDEL TUTTE LE ASSIOMATIZZAZIONI COERENTI CONTENGONO PROPOSIZIONI INDECIDIBILI IN ALTRI TERMINI, TALE TEOREMA AFFERMA CHE SE SI VUOL COSTRUIRE UN S.F. IN CUI TUTTI I TEOREMI CORRISPONDANO A PROPOSIZIONI VERE, TALE SISTEMA CONTERRÀ PROPOSIZIONI CHE NON È POSSIBILE NÉ CLASSIFICARE COME TEOREMI, NÉ STABILIRNE LA FALSITÀ (PROPOSIZIONI INDECIDIBILI). VICEVERSA, SE SI VUOL PROGETTARE UN S.F. CHE NON CONTENGA PROPOSIZIONI INDECIDIBILI, TALE SISTEMA DEVE ESSERE INCOERENTE, OVVERO ESISTERANNO TEOREMI AI QUALI CORRISPONDERANNO FALSITÀ DEL MONDO REALE. 32
TEOREMA DI GÖDEL: UNA RAPPRESENTAZIONE GRAFICA 33
S.F. COERENTI (figura pagina precedente) IL RIQUADRO PIÙ ESTERNO RAPPRESENTA L INSIEME DI TUTTE LE STRINGHE. IL RIQUADRO SUCCESSIVO RAPPRESENTA QUELLO DI TUTTE LE STRINGHE BEN FORMATE IN ACCORDO AL SISTEMA FORMALE IN ESAME. L INSIEME DEI TEOREMI È ILLUSTRATO COME UN ALBERO CHE SI SVILUPPA DA UN TRONCO (IL QUALE RAPPRESENTA L INSIEME DEGLI ASSIOMI). I RAMI SCANDAGLIANO LA REGIONE DELIMITANTE (INSIEME DELLE VERITÀ), SENZA MAI RIUSCIRE AD OCCUPARLA TUTTA. L IMMAGINE SPECULARE DELL ALBERO DEI TEOREMI RAPPRESENTA L INSIEME DELLE NEGAZIONI DEI TEOREMI: TUTTE FALSE E TUTTAVIA INCAPACI NEL LORO INSIEME DI ESAURIRE LO SPAZIO DEGLI ENUNCIATI FALSI. 34
ESEMPI DI SISTEMI INCOERENTI QUESTA PROPOSIZIONE È FALSA 35