8.1 Problema della diffusione in meccanica quantistica Prima di procedere oltre nello studio dell interazione puntuale, in questo paragrafo vogliamo dare un breve cenno alle nozioni di base della teoria della diffusione (scattering in inglese) in meccanica quantistica, rimandando per una trattazione dettagliata a [RSIII], [T]. Nel prossimo paragrafo applicheremo tali nozioni al caso specifico dell interazione puntuale. 6.4.1 Introduzione al problema ominciamo descrivendo un esperimento di diffusione nella sua forma più semplice. onsideriamo una particella lanciata da grande distanza verso un bersaglio fisso nel laboratorio. Inizialmente la particella non sente l azione del bersaglio e si muove quindi di moto libero. A mano a mano che si avvicina al bersaglio, la particella comincia a sentire l interazione; l evoluzione quindi è sostanzialmente diversa da quella libera e tale rimane fino a quando la particella si muove nelle vicinanze del bersaglio. Infine la particella si allontana dal bersaglio e, dopo un tempo sufficientemente lungo, il suo moto diviene di nuovo un moto libero che, in generale, sarà diverso da quello iniziale. Un esperimento di diffusione consiste quindi nel determinare il moto libero finale (cioè dopo l interazione col bersaglio) per un assegnato moto libero iniziale (cioè prima dell interazione col bersaglio). In particolare ci limitiamo a considerare il caso in cui l energia cinetica del moto libero finale è uguale a quella del moto libero iniziale (diffusione elastica). Passiamo ora a formulare un modello matematico che descriva un tale esperimento di diffusione. Le due ipotesi alla base del modello sono le seguenti. i) Il bersaglio è un sistema fisico il cui stato non è influenzato dalla particella e la cui azione sulla particella è descritta da un potenziale V (x) che decade rapidamente a zero per x. ii) Il moto della particella è descritto dall equazione di Schrödinger. Da tali ipotesi discende dunque che lo stato della particella al tempo t è descritto da ψ t = e i t H ψ, H = H 0 + V (x), H 0 = 2 2m (8.1) dove ψ L 2 (R d ) è il dato iniziale e d denota la dimensione dello spazio. Per quanto detto sopra, la descrizione matematica di un esperimento di diffusione si basa sostanzialmente sullo studio delle soluzioni dell equazione di Schrödinger (8.1) che si riducono ad una evoluzione libera per t (cioè molto prima dell interazione con il bersaglio) e per t + (cioè molto dopo l interazione con il bersaglio). Nel seguito discuteremo brevemente i passi successivi da compiere per arrivare a tale descrizione. 6.4.2 Stati asintoticamente liberi e operatori d onda 1
Il primo passo consiste nel caratterizzare le soluzioni dell equazione di Schrödinger che per tempi grandi si riducono ad una evoluzione libera. A questo scopo diamo la seguente definizione. Definizione 8.1.1. Lo stato ψ L 2 (R d ) si dice asintoticamente libero per t + se esiste f L 2 (R d ) tale che lim e i t H ψ e i t H 0 f = 0 (8.2) t + Analogamente si definisce uno stato asintoticamente libero per t. L insieme degli stati asintoticamente liberi per t e t + si denota con H in e H out rispettivamente. Naturalmente non tutti gli stati sono asintoticamente liberi. Per esempio ogni autovettore di H con autovalore negativo non è certamente asintoticamente libero. Il primo problema matematico è dunque dimostrare l esistenza di stati asintoticamente liberi. In altri termini occorre provare che, assegnata f L 2 (R d ), esiste ψ L 2 (R d ) tale che vale (8.2). Parlando grossolanamente, si tratta di risolvere il problema di auchy per l equazione di Schrödinger con dato iniziale assegnato a t = + (oppure a t = ). Usando il fatto che l operatore di evoluzione temporale è unitario, la (8.2) è equivalente a lim ψ t t + ei H e i t H 0 f = 0 (8.3) Quindi il problema si può riformulare così: per ogni f L 2 (R d ), provare che esiste il limite in L 2 (R d ) per t + di e i t H e i t H 0 f. Questo suggerisce la seguente altra importante definizione. Definizione 8.1.2. Si dice operatore d onda Ω + l operatore lineare definito da Ω + f = lim t + ei t H e i t H 0 f (8.4) per ogni f L 2 (R n ). Analogamente si definisce l operatore d onda Ω. Si noti che risulta H in = Ran Ω, H out = Ran Ω + (8.5) In definitiva, provare l esistenza degli stati asintoticamente liberi equivale a provare l esistenza degli operatori d onda. Se il potenziale V (x) soddisfa opportune ipotesi di regolarità e decadimento all infinito allora si dimostra effettivamente che gli operatori d onda esistono. Per esempio, in dimensione tre una condizione sufficiente è V L 2 (R 3 ). Gli operatori d onda soddisfano alcune importanti proprietà: i) Gli operatori Ω ± sono isometrici. D altra parte, in generale, Ran Ω ± L 2 (R d ) e questo significa che gli operatori d onda non sono, in generale, unitari in L 2 (R d ). 2
Quindi risulta Ω ±Ω ± = I, Ran Ω ± sono due sottospazi chiusi di L 2 (R d ) e Ω ± Ω ± = P ±, dove P ± denotano gli operatori di proiezione ortogonale su Ran Ω ±. Equivalentemente, si ha Ω ± RanΩ± = Ω 1 ± e Ω ± (RanΩ± ) = 0. ii) Vale la proprietà di intrallacciamento (interwining in inglese), cioè Ω ± = e i t H Ω ± e i t H 0. Infatti, fissati s, t e f L 2 (R), risulta e i s+t H s+t i e H 0 f = e i t H e i s H e i s H 0 e i t H 0 f. Passando al limite s si ottiene la proprietà per Ω +. Analogamente si procede per Ω. Risulta inoltre che se f D(H 0 ) allora Ω ± f D(H) e HΩ ± f = Ω ± H 0 f (verificare). iii) Ran Ω ± sono sottospazi invarianti per l azione del gruppo e i t H. Infatti, se ψ Ran Ω allora esiste f L 2 (R) tale che ψ = Ω f e si ha e i t H ψ = e i t H Ω f = Ω e i t H 0 f Ran Ω. Analogamente si procede per Ω +. 6.4.3 ompletezza asintotica e operatore di diffusione Una volta provata l esistenza degli operatori d onda si può affrontare il problema centrale della teoria della diffusione: per ogni evoluzione libera assegnata per t (cioè prima dell interazione con il bersaglio) determinare l evoluzione libera risultante per t + (cioè dopo l interazione con il bersaglio). A questo scopo è importante le seguente altra definizione. Definizione 8.1.3. Si dice che vale la condizione di completezza asintotica se risulta dove H b indica il sottospazio degli stati legati del sistema. Ran Ω = Ran Ω + = H b (8.6) La verifica che vale la condizione di completezza asintotica costituisce il secondo (e più difficile) problema matematico della teoria della diffusione. Si può dimostrare che una condizione sufficiente in dimensione tre è che V L 1 (R 3 ) L 2 (R 3 ). Nel seguito facciamo vedere come, data l esistenza degli operatori d onda e la condizione di completezza asintotica, sia possibile risolvere il problema centrale della teoria della diffusione. Sia dunque assegnata f L 2 (R) e sia quindi e i t H 0 f il moto libero assegnato per t. Sfruttando l esistenza di Ω, possiamo costruire la soluzione dell equazione di Schrödinger e i t H Ω f che per t si riduce al moto libero assegnato, cioè tale che lim t t e i H Ω f e i t H 0 f = 0 (8.7) 3
Il problema è dunque caratterizzare l andamento asintotico dell evoluzione e i t H Ω f per t +. Usando la completezza asintotica, sappiamo che Ω f Ran Ω + e quindi esiste g L 2 (R) tale che Ω f = Ω + g. Inoltre, per definizione di Ω + risulta lim t t + e i H Ω f e i t H 0 g = 0 (8.8) In altri termini, in condizioni di completezza asintotica e i t H Ω f si riduce effettivamente per t + all evoluzione libera e i t H 0 g, dove g è la soluzione dell equazione Ω + g = Ω f. Tenuto conto che l operatore inverso di Ω + è ben definito su Ran Ω +, possiamo scrivere g = Ω 1 + Ω f Sf (8.9) L operatore S si dice operatore di diffusione, o anche matrice S, e la sua determinazione equivale a risolvere il problema della diffusione: se e i t H 0 f è l evoluzione libera assegnata per t allora e i t H 0 Sf è l evoluzione libera risultante per t +. L operatore S soddisfa alcune importanti proprietà. i) S è unitario. Infatti SS = Ω +Ω (Ω +Ω ) = Ω +Ω Ω Ω + = Ω +P Ω + = (Ω +P Ω + ) = (Ω +P + Ω + ) = (Ω +Ω + ) = I. Analogamente si verifica che S S = I. ii) [S, e i t H 0 ] = 0 Infatti S e i t H 0 = Ω +Ω e i t H 0 = Ω + e i t H Ω = (e i t H Ω + ) Ω = (Ω + e i t H 0 ) Ω = e i t H 0 Ω +Ω = e i t H 0 S. Risulta inoltre che se f D(H 0 ) allora Sf D(H 0 ) e [S, H 0 ]f = 0 (verificare). iii) Se f D(H 0 ) allora (f, H 0 f) = (Sf, SH 0 f) = (Sf, H 0 Sf). Quest ultima proprietà esprime il fatto che le energie cinetiche dei moti liberi uscente e entrante coincidono e dunque la diffusione è elastica. 6.4.4 Teoria della diffusione stazionaria La semplice dimostrazione dell esistenza degli operatori d onda Ω ± e della matrice S non è naturalmente sufficiente per studiare le applicazioni del modello. Il passo ulteriore è trovare delle buone rappresentazioni di questi oggetti in termini delle autofunzioni generalizzate dell hamiltoniana H. Tali autofunzioni in alcuni casi semplici si possono determinare esplicitamente 4
e, più in generale, si possono calcolare in modo perturbativo. Questo consente dunque di calcolare anche Ω ± e S, in modo esatto o perturbativamente. La parte di teoria che studia questo problema va sotto il nome di teoria della diffusione stazionaria. 6.4.5 Teorema della diffusione nei coni Vediamo infine come la conoscenza di S consenta di fare predizioni teoriche di dati sperimentali. onsideriamo per fissare le idee il caso tridimensionale e sia un cono con vertice nell origine del sistema di riferimento; supponiamo quindi che lo sperimentatore prepari lo stato libero incidente e i t H 0 f per t e misuri poi la probabilità che, per t +, la particella si trovi nel cono. Denotiamo tale probabilità con P(f, ). Tenuto conto che la soluzione dell equazione di Schrödinger che per t si riduce a e i t H 0 f si scrive e i t H Ω f, dalla regola di Born risulta P(f, ) = lim t + ( ) dx e i t H Ω f (x) 2 (8.10) Nella proposizione seguente, nota come teorema della diffusione nei coni, si dimostra una formula che consente di calcolare P(f, ) in termini di S. Proposizione 8.1.4. Per ogni f L 2 (R 3 ) si ha P(f, ) = dk Sf(k) 2 (8.11) Dimostrazione Utilizzando il fatto che lim t + e i t H Ω f e i t H 0 Sf = 0, facciamo vedere che in (8.10) si può sostituire e i t H Ω f con e i t H 0 Sf. Posto u t e i t H Ω f e v t e i t H 0 Sf, si ha dx u t (x) 2 dx v t (x) 2 = dx ū t (x)(u t (x) v t (x)) + dx (ū t (x) v t (x))v t (x) ( ) 1/2 ( ) 1/2 ( ) 1/2 ( ) 1/2 dx u t (x) 2 dx u t (x) v t (x) 2 + dx u t (x) v t (x) 2 dx v t (x) 2 ( u t + v t ) u t v t (8.12) Siccome u t = v t = 1 e lim t + u t v t = 0, si ottiene ( ) P(f, ) = lim dx e i t H 0 Sf (x) 2 (8.13) t + Usando infine la forma asintotica per tempi grandi dell evoluzione libera si ha ( m ) 3 ( mx ) 2 P(f, ) = lim dx Sf = dk t + t t Sf(k) 2 (8.14) 5
Si verifica facilmente che la dimostrazione della proposizione procede allo stesso modo anche in dimensione due e uno. Nel primo caso i coni si riducono ad angoli con il vertice nell origine. In dimensione uno invece i coni possibili si riducono semplicemente al semiasse positivo R + e a quello negativo R. Quindi P(f, R + ) è la probabilità che, per t +, la particella si trovi sul semiasse positivo e P(f, R ) è la probabilità che, per t +, la particella si trovi sul semiasse negativo. Se si assegna un moto libero per t proveniente dal semiasse negativo con momento positivo allora P(f, R + ) rappresenta la probabilità di trasmissione e P(f, R ) la probabilità di riflessione. 6