Analisi delle serie storiche

11 Analisi delle serie storiche Introduzione 58 11.1 L importanza della previsione a livello aziendale 58 11.2 Il modello moltiplicativo classico delle serie storiche 59 11.3 Livellamento di una serie storica annuale 61 11.4 Il metodo dei minimi quadrati e la previsione 71 11.5 Modelli autoregressivi per la determinazione del trend e per la previsione 84 11.6 Scelta del modello di previsione 93 11.7 Analisi di serie storiche a cadenza mensile o trimestrale 97 11.8 Validità e limiti dei metodi di analisi delle serie storiche 106 Riepilogo del capitolo 107 A11.1 L uso di Microsoft Excel per l analisi delle serie storiche 114 57

levine11_57-116 3-04-2002 8:27 Pagina 58 OBIETTIVI DEL CAPITOLO Presentare un modello classico per l analisi delle serie storiche Introdurre una varietà di modelli per la previsione con dati a cadenza annuale Sviluppare modelli previsivi per dati trimestrali o mensili Introduzione Nei precedenti capitoli sono stati introdotti e discussi modelli di regressione lineare assai utili a scopi previsivi. Abbiamo visto come l analisi basata sulla regressione possa costituire un valido supporto nel processo decisionale aziendale. In questo capitolo introdurremo e approfondiremo il concetto di serie storica, molto importante nell ambito della pianificazione e controllo. Inizieremo presentando serie storiche a cadenza annuale e introducendo due tecniche di livellamento ( smussamento ) per serie siffatte: medie mobili e livellamento (o smorzamento) esponenziale (paragrafo 11.3). Il discorso toccherà poi alcune importanti tecniche di interpolazione e previsione per serie annuali, dal metodo dei minimi quadrati (paragrafo 11.4) a metodologie più avanzate (paragrafo 11.5). Gli stessi metodi saranno poi estesi e adattati all analisi di serie storiche a cadenza mensile e trimestrale e in particolare al problema della valutazione della componente stagionale (paragrafo 11.7). APPLICAZIONE: Previsione delle entrate lorde annuali presso la società Eastman Kodak 11.1 La Eastman Kodak è una delle più importanti società nel campo dell immagine a livello mondiale. I suoi principi sono: la produzione su vasta scala a basso costo, la distribuzione internazionale dei prodotti, l uso massiccio della pubblicità e l attenzione nei confronti del consumatore. I livelli direttivi della Eastman Kodak hanno capito l importanza della ricerca e della continua e accurata analisi dei risultati in termini di performance della società, fondamentali quando si ha come obiettivo quello di diventare leader nel settore. Nei paragrafi 11.4 e 11.5 di questo capitolo saranno presentati i dati relativi alle entrate lorde annuali della società nel periodo compreso fra il 1975 e il 1998, che verranno utilizzati per fare delle previsioni. Un analisi di questo tipo può essere di grande aiuto al management della società per comprendere l evoluzione storica e gli eventuali cambiamenti nei livelli di performance conseguiti, per individuare concretamente la posizione ricoperta dalla Eastman Kodak all interno del settore e per valutare gli effetti futuri di alcune strategie che la società può decidere di adottare. L IMPORTANZA DELLA PREVISIONE A LIVELLO AZIENDALE Poiché le condizioni economiche e del mercato cambiano continuamente nel corso del tempo, gli operatori aziendali devono essere in grado di valutare e prevedere gli effetti di tali cambiamenti sulla salute dell azienda. È quindi necessario sviluppare delle tecniche di previsione in grado di supportare le scelte e le strategie dell azienda. L esigenza di fare previsioni caratterizza in un certo senso le società moderne. I governi devono essere in grado di prevedere l andamento di fenomeni quali la disoccupazione, l inflazione, la produzione industriale, il gettito fiscale per poter adottare politiche sociali e fiscali corrette; i responsabili del marketing all interno di una società devono riuscire a 58 CAPITOLO 11 ANALISI DELLE SERIE STORICHE

levine11_57-116 3-04-2002 8:27 Pagina 59 prevedere la domanda del prodotto, il volume delle vendite, l evoluzione dei gusti del consumatore per poter adottare corrette decisioni di politica aziendale; l amministrazione di un università deve essere in grado di prevedere l ammontare delle iscrizioni sulla base delle proiezioni della popolazione e di altri elementi a sua disposizione per poter progettare gli spazi, le strutture (mensa, pensionato). Tipi di metodi di previsione Gli approcci alla previsione sono essenzialmente due: un approccio qualitativo e un approccio quantitativo. I metodi di previsione qualitativi devono essere adottati quando non si dispone di dati storici, per esempio se si vogliono prevedere le entrate di una nuova società. Si tratta naturalmente di metodi altamente soggettivi. Tra le più importanti tecniche di previsione qualitative devono essere ricordate il factor listing method, l expert opinion, e la Delphi technique (riferimento bibliografico 4). Le tecniche di previsione quantitative al contrario si basano proprio sull uso di dati storici, dai quali l analista cerca di comprendere la struttura sottostante del fenomeno per poi utilizzarla a scopi previsivi. A loro volta i metodi di previsione quantitativi possono rientrare in due macro-categorie: metodi basati sulle serie storiche e metodi aleatori. I primi consistono nell effettuare previsioni sull andamento futuro di una variabile sulla base delle realizzazioni passate e presenti della variabile in questione. Serie Storica Una serie storica è un insieme di dati numerici registrati ad intervalli regolari di tempo. 11.2 Esempi di serie storica possono essere rappresentati dai prezzi di chiusura giornalieri di un azione, dalle pubblicazioni mensili dell indice dei prezzi al consumo, dai valori trimestrali del prodotto interno lordo oppure dai volumi di vendite annuali realizzati da una certa società. I metodi di previsione aleatori consistono nella determinazione di fattori legati alla variabile di cui si vuole effettuare la previsione. Tali metodi includono la regressione multipla con variabili ritardate, i modelli econometrici, gli indici di diffusione e altri metodi che vanno oltre gli scopi di questo testo (riferimenti bibliografici 5 e 8). Ci concentriamo quindi sull analisi delle serie storiche. IL MODELLO MOLTIPLICATIVO CLASSICO DELLE SERIE STORICHE Alla base dell analisi delle serie storiche vi è l assunzione secondo cui i fattori che hanno influenzato l andamento della serie nel passato e nel presente continuino a esercitare effetti analoghi anche nel futuro. Di conseguenza l analista non deve fare altro se non individuare e isolare tali fattori per effettuare previsioni e quindi indirizzare l attività di pianificazione e controllo aziendali. A tale scopo gli statistici hanno elaborato diversi modelli per disaggregare la serie nelle sue componenti; in questo testo verrà approfondito il modello classico moltiplicativo, che sarà utilizzato a scopi previsivi. Consideriamo a titolo di esempio la serie storica delle entrate lorde realizzate dalla società Eastman Kodak nel periodo di tempo compreso fra il 1975 e il 1998 (Figura 11.1). Volendo dare una prima caratterizzazione dei dati, osserviamo che i valori in questione hanno manifestato una tendenza all aumento nei 24 anni considerati: questa tendenza di lungo termine all incremento o al decremento dei valori della serie prende il nome di trend. Chiaramente il trend non esaurisce le informazioni rilevanti sulla serie in questione (o qualsivoglia serie storica) a meno che i dati non si trovino esattamente su una linea retta. Altre due componenti (o fattori) di estrema importanza sono la componente ciclica e quella IL MODELLO MOLTIPLICATIVO CLASSICO DELLE SERIE STORICHE 59

levine11_57-116 3-04-2002 8:27 Pagina 60 FIGURA 11.1 Andamento delle entrate lorde (in milioni di dollari) realizzate dalla società Eastman Kodak nel periodo compreso fra il 1975 e il 1998. Grafico ottenuto in Microsoft Excel. irregolare. La componente ciclica spiega gli scostamenti verso l alto o verso il basso dei dati rispetto al trend; tali scostamenti possono avere diverse durate, ma solitamente coinvolgono un periodo di tempo compreso fra due e dieci anni. I movimenti ciclici differiscono anche nell intensità oltre che nella durata e sono spesso strettamente legati ai cicli economici. In via residuale rispetto alle componenti cicliche e di trend è possibile individuare l ultima componente della serie, la componente irregolare o casuale. Infine, quando i dati non hanno una cadenza annuale e ci troviamo di fronte ad esempio a dati mensili o trimestrali, è necessario tenere conto di un quarto fattore: la stagionalità (equazione (11.2)). Nella Tabella 11.1 sono riassunte le quattro componenti. Nel modello moltiplicativo classico ciascun punto della serie storica è visto come prodotto di queste quattro componenti, come sintetizzato nelle equazioni (11.1) e (11.2) rispettivamente per serie storiche annuali e infra-annuali. Modello moltiplicativo classico per serie storiche annuali Y i T i C i I i (11.1) Dove, nell anno i T i valore della componente di trend C i valore della componente ciclica I i valore della componente irregolare Modello moltiplicativo classico per serie storiche infra-annuali Y i T i S i C i I i (11.2) Dove, con riferimento al periodo i (mese o trimestre) T i valore della componente di trend C i valore della componente ciclica I i valore della componente irregolare S i valore della componente stagionale 60 CAPITOLO 11 ANALISI DELLE SERIE STORICHE

levine11_57-116 3-04-2002 8:27 Pagina 61 Tabella 11.1 Componenti di una serie storica CLASSIFICAZIONE MOTIVI COMPONENTE DELLA COMPONENTE DEFINIZIONE DI INFLUENZA DURATA Trend Stagionale Ciclica Irregolare 11.3 Sistematica Sistematica Sistematica Non sistematica tendenza di lungo termine all incremento o al decremento dei valori della serie Fluttuazioni periodiche regolari che si ripetono annualmente Scostamenti verso l alto o verso il basso dei dati rispetto al trend, secondo le fasi di prosperità (picchi positivi), contrazione (dal picco verso il basso), depressione (in discesa verso un picco negativo), ripresa (dal picco negativo verso l alto) Fluttuazione residua di una serie una volta depurata dalle componenti sistematiche Il primo passo nell analisi di una serie storica consiste nella rappresentazione grafica dei valori, dalla quale si possono trarre le prime considerazioni di carattere qualitativo sulla serie. Osservando un grafico, infatti, è possibile intuire se i valori della serie manifestino un trend di lungo periodo oppure oscillino intorno a un immaginaria linea orizzontale, parallela all asse dei tempi. Nel paragrafo 11.3 saranno presentate alcune tecniche di livellamento adatte a cogliere le tendenze di lungo periodo in serie storiche che non presentano un andamento di trend. In particolare saranno discusse le tecniche di livellamento esponenziale e il metodo basato sulla costruzione di medie mobili. Nei paragrafi successivi vedremo invece alcuni modi per affrontare l analisi delle serie storiche che seguono un trend, in particolare allo scopo di effettuare previsioni. Nei Paragrafi 11.4 e 11.5 ci occuperemo di serie storiche annuali, mentre nel paragrafo 11.7 ci concentreremo sui metodi di previsione per dati mensili e trimestrali. LIVELLAMENTO DI UNA SERIE STORICA ANNUALE Cambiamenti nella tecnologia, nella popolazione, nella ricchezza o nel valore Condizioni climatiche, usi e costumi sociali e religiosi Interazione di diversi fattori economici variazioni nei dati dovute al caso oppure ad eventi straordinari quali scioperi, uragani, alluvioni, assassini politici e così via diversi anni 12 mesi (solo per dati infra-annuali) Solitamente da 2 a 10 anni breve durata Nella Tabella 11.2 e nella Figura 11.2 sono rappresentate le vendite annuali della General Motors Corporation (GM) nei 24 anni compresi tra il 1975 e il 1998. Esaminando il grafico è difficile stabilire se i valori della serie seguano un trend di lungo periodo, poiché le forti oscillazioni di breve periodo complicano l impressione d insieme. In situazioni di questo tipo si rivelano di particolare utilità le tecniche di livellamento a cui si è accennato prima, in grado di favorire una corretta visione delle tendenze di lungo periodo. Le medie mobili Il metodo di livellamento basato sulle medie mobili rappresenta una tecnica altamente soggettiva, in quanto dipende dalla lunghezza del periodo scelto per la costruzione delle medie. Volendo eliminare le fluttuazioni cicliche della serie, l analista deve in qualche modo stimare la durata media dei cicli all interno della serie e sulla base di questa stima procedere al calcolo delle medie mobili. Ma vediamo in dettaglio in cosa consiste una media mobile. LIVELLAMENTO DI UNA SERIE STORICA ANNUALE 61

levine11_57-116 3-04-2002 8:27 Pagina 62 Tabella 11.2 Vendite (in milioni di unità) realizzate dalla General Motors Corporation (1975-1998) ANNO VENDITE ANNO VENDITE ANNO VENDITE 1975 6.6 1983 7.8 1991 7.4 1976 8.6 1984 8.3 1992 7.7 1977 9.1 1985 9.3 1993 7.8 1978 9.5 1986 8.6 1994 8.4 1979 9.0 1987 7.8 1995 8.3 1980 7.1 1988 8.1 1996 8.4 1981 6.8 1989 7.9 1997 8.8 1982 6.2 1990 7.5 1998 8.1 Nota: Le vendite sono quelle derivanti da qualunque fonte: macchina, camion, autobus e stabilimento d oltremare. Fonte: Moody s Handbook of Common Stocks, 1980, 1989, 1993 and annual reports. Reprinted by permission of Financial Information Services, a division of Financial Communications Company, Inc. Una media mobile di periodo L consiste in una serie di medie aritmetiche calcolate su sequenze di valori osservati di lunghezza L. Indichiamo con MA(L) una media mobile di periodo pari a L. Supponiamo ad esempio di voler calcolare una media mobile con un periodo di 5 anni su una serie di 11 anni. Essendo L = 5 anni, le medie mobili corrispondenti consisteranno in una serie di medie che coinvolgono sequenze consecutive di 5 osservazioni. La prima di tali medie si ottiene quindi sommando i primi 5 valori della serie e dividendo per 5: MA(5) Y 1 Y 2 Y 3 Y 4 Y 5 5 La seconda media coinvolge i valori della serie dal secondo al sesto: MA(5) Y 2 Y 3 Y 4 Y 5 Y 6 5 FIGURA 11.2 Rappresentazione grafica delle vendite (in milioni di unità) realizzate dalla General Motors Corporation (1975-1998). Fonte: dati della Tabella 11.2. 62 CAPITOLO 11 ANALISI DELLE SERIE STORICHE

levine11_57-116 3-04-2002 8:27 Pagina 63 Questo processo continua fino al calcolo dell ultima media che sarà data da: MA(5) Y 7 Y 8 Y 9 Y 10 Y 11 5 Quando si ha a che fare con dati annuali, è conveniente che L (lunghezza del periodo di riferimento per il calcolo delle medie mobili) sia un numero dispari. Tracciando il grafico delle medie, ciascun valore ottenuto come media deve essere inserito nel punto centrale della sequenza di tempi coinvolti nella media. Nel nostro caso per esempio, la prima media mobile sarà centrata nel terzo anno, la seconda nel quarto e così via fino all ultima che si troverà in corrispondenza del nono anno della serie. In questo modo è evidente che la serie delle medie non coinvolgerà i primi due e gli ultimi due anni coperti dai dati (in generale si perdono i primi (L 1)/2 e gli ultimi (L 1)/2 periodi). Esempio 11.1 Calcolo di una media mobile con un periodo di 5 anni I seguenti dati rappresentano le entrate realizzate da una società negli 11 anni compresi fra il 1987 e il 1997. 4.0 5.0 7.0 6.0 8.0 9.0 5.0 2.0 3.5 5.5 6.5 Si calcolino le medie mobili di periodo 5 per questa serie. SOLUZIONE Le 7 medie si ottengono nel modo seguente: MA(5) Y 1 Y 2 Y 3 Y 4 Y 5 5 MA(5) Y 2 Y 3 Y 4 Y 5 Y 6 5 MA(5) Y 3 Y 4 Y 5 Y 6 Y 7 5 MA(5) Y 4 Y 5 Y 6 Y 7 Y 8 5 MA(5) Y 5 Y 6 Y 7 Y 8 Y 9 5 MA(5) Y 6 Y 7 Y 8 Y 9 Y 10 5 MA(5) Y 7 Y 8 Y 9 Y 10 Y 11 5 e devono essere centrate negli anni dal terzo al nono. 4.0 5.0 7.0 6.0 8.0 5 5.0 7.0 6.0 8.0 9.0 5 7.0 6.0 8.0 9.0 5.0 5 6.0 8.0 9.0 5.0 2.0 5 8.0 9.0 5.0 2.0 3.5 5 9.0 5.0 2.0 3.5 5.5 5 5.0 2.0 3.5 5.5 6.5 5 30.0 5 6.0 35.0 5 7.0 35.0 5 7.0 30.0 5 6.0 27.5 5 5.5 25.0 5 5.0 22.5 5 4.5 Nella pratica, le medie mobili di una serie di dati vengono determinate ricorrendo all ausilio di software (ad esempio, Microsoft Excel) per evitare di perdersi in noiosi calcoli. Nella Tabella 11.3 sono rappresentate le vendite annuali della General Motors nei 24 anni compresi fra il 1975 e il 1998 insieme con le corrispondenti medie mobili di ampiezza 3 e 7. Le stesse sono state anche rappresentate nella Figura 11.3. Osserviamo che nella serie rappresentata nella colonna C (media mobile di ordine 3) mancano il primo e l ultimo valore, mentre in quella in colonna D (media mobile di ordine 7) i valori mancanti sono i primi tre e gli ultimi tre. LIVELLAMENTO DI UNA SERIE STORICA ANNUALE 63

levine11_57-116 3-04-2002 8:27 Pagina 64 Tabella 11.3 Medie mobili di ordine 3 e di ordine 7 calcolate sulla serie delle vendite della General Motors (1975-1998) FIGURA 11.3 Rappresentazione grafica in Microsoft Excel delle medie mobili di ordine 3 e di ordine 7 calcolate sulla serie delle vendite della General Motors. Fonte: dati della Tabella 11.2. Si nota immediatamente dal grafico che la media mobile di ampiezza 7 smussa in misura notevolmente maggiore la serie originaria rispetto a quella di ordine 3. D altra parte porta a una perdita di valori più consistente (sei contro due). In generale si può dire che c è un trade-off tra la bontà del livellamento e la completezza della serie smussata. Livellamento esponenziale Il livellamento (o smorzamento) esponenziale è un altra tecnica utilizzata per smussare una serie storica di dati al fine di fornire all analista un impressione dei movimenti di lungo ter- 64 CAPITOLO 11 ANALISI DELLE SERIE STORICHE

levine11_57-116 3-04-2002 8:27 Pagina 65 mine della serie stessa. Il metodo del livellamento esponenziale è di particolare interesse poiché consente di effettuare previsioni di breve termine (ad un periodo) anche su dati che non presentano un evidente andamento di trend, come quelli relativi alle vendite della General Motors presentati nella Tabella e nella Figura 11.3. In questo senso la tecnica di livellamento rappresenta un metodo di analisi più vantaggioso rispetto alla tecnica basata sulle medie mobili. Il metodo del livellamento esponenziale consiste nell applicazione alla serie dei dati di una media mobile ponderata esponenzialmente. In questo modo, come vedremo, ciascun valore della serie smussata dipende da tutti i valori osservati precedenti, cosa che non accade quando si adotta il metodo basato sulle medie mobili. Inoltre, nel calcolo dei valori della serie livellata, i pesi assegnati a ciascun valore osservato in precedenza non sono costanti, ma decrescono passando dai più recenti a quelli più lontani nel tempo. Così ad esempio nel calcolo del livellamento esponenziale per il periodo i verrà assegnato il peso maggiore al valore osservato nel periodo i 1, un peso inferiore al valore osservato nel periodo i 2, e pesi via via decrescenti fino ad arrivare al primo valore osservato della serie, al quale è assegnato il peso minore. Come per le medie mobili, anche il calcolo del livellamento esponenziale può essere facilmente effettuato con l ausilio di Microsoft Excel o analoghi programmi di calcolo. Concentrandoci per ora sullo smussamento della serie storica osservata (anziché sugli aspetti previsivi), osserviamo che le formule per il livellamento esponenziale di una serie storica si basano su tre soli termini: il valore corrente della serie Y i, il valore della serie smussata calcolato per il periodo precedente, E i 1, e un peso, o fattore di smorzamento assegnato soggettivamente, W. Per ogni periodo i si ha quindi la seguente formula per la determinazione della serie smussata: Come ottenere il valore smussato esponenzialmente per il periodo i dove E i WY i (1 W)E i 1 (11.3) E i valore della serie smussata esponenzialmente relativo al periodo i E i 1 valore della serie smussata esponenzialmente relativo al periodo i 1 Y i valore osservato della serie storica nel periodo i W peso o fattore di smorzamento assegnato soggettivamente (0 < W < 1) E 1 Y 1 La scelta del fattore di smorzamento W è critica in quanto influisce enormemente sui risultati. Si tratta di una scelta soggettiva, tuttavia è possibile seguire la seguente regola pratica: se il nostro scopo è unicamente quello di smussare la serie eliminando le variazioni cicliche e irregolari, conviene adottare un valore basso (prossimo a zero) di W; se invece l analista vuole anche effettuare una previsione di breve periodo, si rivela più conveniente la scelta di valori elevati (prossimi a uno) di W. Con valori bassi di W infatti vengono meglio evidenziate le tendenze di lungo periodo della serie, mentre valori elevati consentono più precise previsioni di breve periodo. Livellamento Nella Tabella 11.4 sono presentati i valori della serie relativa alle vendite della General Motors dal 1975 al 1998, smussati esponenzialmente con pesi pari a 0.5 e 0.25 (i valori sono stati ottenuti in Microsoft Excel). Nella Figura 11.4 le due serie livellate sono state rappresentate graficamente insieme con la serie originaria. LIVELLAMENTO DI UNA SERIE STORICA ANNUALE 65

levine11_57-116 3-04-2002 8:27 Pagina 66 Tabella 11.4 Livellamento esponenziale della serie relativa alle vendite realizzate dalla GM nel periodo 1975-1998 Vediamo come è stata determinata la serie smussata con un fattore di smorzamento pari a 0.25. Come punto di partenza consideriamo il primo valore osservato Y 1975 = 6.6, che coincide con il primo valore della serie smussata E 1975. Quindi, utilizzando il valore osservato della serie nell anno 1976, è possibile ottenere anche il secondo valore della serie smussata, con l applicazione della semplice formula: E 1976 WY 1976 (1 W)E 1975 (0.25)(8.6) (0.75)(6.6) 7.1 milioni Negli anni successivi si procede iterativamente: E 1977 WY 1977 (1 W)E 1976 (0.25)(9.1) (0.75)(7.1) 7.6 milioni In questo modo si calcolano tutti i valori della serie smussata (ultima colonna della Tabella 11.4). E 1978 WY 1978 (1 W)E 1977 (0.25)(9.5) (0.75)(7.6) 8.075 milioni Previsione Se l analista è interessato a effettuare una previsione di breve periodo, il livellamento esponenziale può essere utilizzato nel seguente modo: il valore smussato relativo al periodo i è adottato come previsione al periodo i + 1. Previsione al periodo i 1 Ŷ i 1 E i (11.4) Ad esempio, per prevedere il numero di unità vendute dalla GM nel 1999, possiamo uti- 66 CAPITOLO 11 ANALISI DELLE SERIE STORICHE

levine11_57-116 3-04-2002 8:27 Pagina 67 FIGURA 11.4 Grafico delle serie smussate con fattori di smorzamento pari a 0.5 e 0.25 calcolate sulle vendite della GM nel periodo 1975-1998. Fonte: dati della Tabella 11.4. lizzare il valore smussato ottenuto per il 1998 (con un fattore di smorzamento pari a 0.5, avremo Ŷ1999 = 8.32 milioni di unità). Una volta che i dati relativi al 1999 diventano disponibili, l equazione (11.3) può essere utilizzata per fare una previsione al 2000: E 1999 WY 1999 (1 W)E 1998 Valore corrente smussato (W) (valore corrente osservato) (1 W) (precedente valore smussato) In termini di previsione si ha: Ŷ 2000 WY 1999 (1 W)Ŷ 1999 Nuova previsione (W)(valore corrente osservato) (1 W)(previsione corrente) OILSUPP Esercizi del Paragrafo 11.3 11.1 Applicando il metodo del livellamento esponenziale alla serie storica delle entrate di una società, supponete di aver ottenuto un valore smussato per l ultimo anno dell indagine di 32.4 milioni di dollari. Qual è la vostra previsione per l anno successivo? 11.2 Considerate una serie storica di valori registrati a partire dal 1955. Applicando una media mobile di ampiezza pari a 9 anni: (a) In quale anno risulterà centrata la prima media mobile? (b) Quanti anni vengono persi nella serie delle medie mobili? 11.3 Supponete ora di applicare alla stessa serie il livellamento esponenziale con fattore di smorzamento W 0.2. Supponete inoltre che il valore smussato della serie per l anno 1996 sia dato da: E 1996 (0.20)(12.1) (0.80)(9.4). Calcolate il valore successivo della serie smussata (E 1997 ) supponendo che il valore osservato nell anno in questione sia pari a 11.5 milioni di dollari. 11.4 I seguenti dati rappresentano il numero annuale di impiegati (in migliaia) presso una società che produce olio. LIVELLAMENTO DI UNA SERIE STORICA ANNUALE 67

levine11_57-116 3-04-2002 8:27 Pagina 68 Numero di impiegati (in migliaia) ANNO NUMERO ANNO NUMERO ANNO NUMERO 1978 1.45 1985 2.04 1992 1.65 1979 1.55 1986 2.06 1993 1.73 1980 1.61 1987 1.80 1994 1.88 1981 1.60 1988 1.73 1995 2.00 1982 1.74 1989 1.77 1996 2.08 1983 1.92 1990 1.90 1997 1.88 1984 1.95 1991 1.82 FOODTIME (a) Rappresentate i dati in un opportuno grafico. (b) Calcolate le medie mobili di ampiezza pari a 3 anni e rappresentatene la serie sullo stesso grafico. (c) Applicate il livellamento esponenziale con fattore di smorzamento W 0.5 e aggiungete la serie smussata al grafico precedente. (d) Sulla base di quanto ottenuto al punto (c), fate una previsione per il 1998. (e) Applicate ora un livellamento esponenziale con fattore di smorzamento W 0.25 e aggiungete la serie smussata al grafico precedente. (f ) Sulla base di quanto ottenuto al punto (e), fate una previsione per il 1998. (g) Confrontate i risultati ottenuti ai punti (d) e (f). 11.5 Nella seguente tabella sono rappresentate le vendite (in milioni di dollari) realizzate da una società operante nel ramo alimentare negli anni compresi fra il 1972 e il 1997. Vendite annuali (in milioni di dollari) ANNO VENDITE ANNO VENDITE ANNO VENDITE 1972 41.6 1981 53.2 1990 36.4 1973 48.0 1982 53.3 1991 38.4 1974 51.7 1983 51.6 1992 42.6 1975 55.9 1984 49.0 1993 34.8 1976 51.8 1985 38.6 1994 28.4 1977 57.0 1986 37.3 1995 23.9 1978 64.4 1987 43.8 1996 27.8 1979 60.8 1988 41.7 1997 42.1 1980 56.3 1989 38.3 MEDFAMIN (a) Rappresentate i dati in un opportuno grafico. (b) Calcolate le medie mobili di ampiezza pari a 7 anni e rappresentatene la serie sullo stesso grafico. (c) Applicate un livellamento esponenziale con fattore di smorzamento W 0.25 e aggiungete la serie smussata al grafico precedente. (d) Sulla base di quanto ottenuto al punto (c), fate una previsione per il 1998. (e) Applicate ora un livellamento esponenziale con fattore di smorzamento W 0.5 e aggiungete la serie smussata al grafico precedente. (f ) Sulla base di quanto ottenuto al punto (e), fate una previsione per il 1998. (g) Confrontate i risultati ottenuti ai punti (d) e (f). 11.6 I seguenti dati rappresentano per gli anni 1980-1996 il reddito mediano delle famiglie statunitensi con riferimento alla popolazione considerata nel suo complesso e separatamente rispetto alle 3 razze più diffuse negli Stati Uniti: bianchi, neri e ispanici. 68 CAPITOLO 11 ANALISI DELLE SERIE STORICHE

levine11_57-116 3-04-2002 8:27 Pagina 69 Reddito familiare mediano (in dollari) negli Stati Uniti ANNO COMPLESSIVO BIANCHI NERI ISPANICI 1980 33 763 35 620 20 521 26 025 1981 33 215 35 094 19 693 26 643 1982 33 105 34 657 19 642 24 910 1983 32 900 34 502 19 579 25 057 1984 33 849 35 709 20 343 25 660 1985 34 439 36 320 21 609 25 467 1986 35 642 37 471 21 588 26 272 1987 35 994 37 924 21 646 26 706 1988 36 108 38 172 21 760 27 002 1989 36 575 38 473 22 881 27 737 1990 35 945 37 492 22 420 26 806 1991 34 705 36 367 21 665 26 140 1992 34 261 36 020 20 974 25 271 1993 33 922 35 788 21 209 24 850 1994 34 158 36 026 22 261 24 796 1995 35 082 36 822 23 054 23 535 1996 35 492 37 161 23 482 24 906 Fonte: Statistical Abstract of the United States, 118th ed., 1996, U.S. Department of Commerce, Bureau of the Census, 468. UNEMPLOY (a) Rappresentate i dati in un opportuno grafico. (b) Calcolate le medie mobili di ampiezza pari a 3 anni e rappresentatene la serie sullo stesso grafico. (c) Applicate un livellamento esponenziale con fattore di smorzamento W 0.5 e aggiungete la serie smussata al grafico precedente (d) Sulla base di quanto ottenuto al punto (c), fate una previsione per il 1997. (e) Applicate ora un livellamento esponenziale con fattore di smorzamento W 0.25 e aggiungete la serie smussata al grafico precedente. (f ) Sulla base di quanto ottenuto al punto (e), fate una previsione per il 1997. (g) Confrontate i risultati ottenuti ai punti (d) e (f). (h) Quali conclusioni potete trarre in relazione all andamento del reddito mediano statunitense, sia complessivo che disaggregato rispetto ai tre gruppi dominanti? 11.7 I seguenti dati rappresentano il tasso di disoccupazione in sette paesi europei negli anni compresi fra il 1985 e il 1996. Tasso di disoccupazione (1985-1997) GRAN ANNO BELGIO DENIMARCA FRANCIA ITALIA NETHERLANDS PORTOGALLO BRETAGNA 1985 10.3 7.1 10.2 8.5 8.3 8.7 11.5 1986 10.3 5.4 10.3 9.2 8.3 8.4 11.5 1987 10.0 5.4 10.4 9.9 8.0 6.9 10.6 1988 8.9 6.1 9.9 10.0 7.5 5.5 8.7 1989 7.5 7.4 9.4 10.0 6.9 4.9 7.3 1990 6.7 7.7 9.0 9.1 6.2 4.6 7.0 1991 6.6 8.4 9.5 8.8 5.8 4.0 8.8 (Continua) LIVELLAMENTO DI UNA SERIE STORICA ANNUALE 69

levine11_57-116 3-04-2002 8:27 Pagina 70 Tasso di disoccupazione (1985-1997) (seguito) GRAN ANNO BELGIO DENIMARCA FRANCIA ITALIA NETHERLANDS PORTOGALLO BRETAGNA 1992 7.3 9.2 10.4 9.0 5.6 4.2 10.1 1993 8.9 10.1 11.7 10.3 6.6 5.7 10.4 1994 10.0 8.2 12.3 11.4 7.2 7.0 9.6 1995 a 9.9 6.8 11.5 11.8 7.3 7.2 8.8 1996 a 10.1 6.1 11.7 11.8 7.2 7.4 8.4 1997 a 9.8 5.8 11.7 11.7 7.0 7.2 8.0 a Initial, unrevised estimates. Fonte: Extracted from Table 3 of European Commission s Panorama of EU Industry 97 1 (1997): 22. BALPAY (a) Rappresentate i dati in un opportuno grafico. (b) Calcolate le medie mobili di ampiezza pari a 3 anni e rappresentatene la serie sullo stesso grafico. (c) Applicate un livellamento esponenziale con fattore di smorzamento W = 0.5 e aggiungete la serie smussata al grafico precedente. (d) Sulla base di quanto ottenuto al punto (c), fate una previsione per il 1998. (e) Applicate ora un livellamento esponenziale con fattore di smorzamento W = 0.25 e aggiungete la serie smussata al grafico precedente. (f ) Sulla base di quanto ottenuto al punto (e), fate una previsione per il 1998. (g) Confrontate i risultati ottenuti ai punti (d) e (f). (h) Cosa potete dire sull andamento del tasso di disoccupazione in questi sette paesi? 11.8 I seguenti dati riguardano il New Mexico e rappresentano il valore della bilancia dei pagamenti (differenza fra le spese federali pro capite e le tasse federali pro capite) negli ani compresi fra il 1981 e il 1995. Bilancia dei pagamenti pro capite nel New Mexico (1981-1995) BILANCIA SPESE TASSE DEI PAGAMENTI FEDERALI FEDERALI ANNO FISCALE PRO CAPITE PRO CAPITE PRO CAPITE 1981 2961 6212 3251 1982 2913 5983 3069 1983 2426 5853 3427 1984 2881 6309 3428 1985 2919 6414 3495 1986 3218 6670 3452 1987 3322 6635 3313 1988 4336 7461 3125 1989 3496 6578 3083 1990 3545 6653 3108 1991 3462 6739 3277 1992 3632 7079 3447 1993 3709 7272 3563 1994 3343 6915 3572 1995 3300 6935 3635 Fonte: D.P. Moynihan, M.E. Friar, H.B. Leonard, and J.H. Walder, The Federal Budget and the States: Fiscal Year 1995, jointly published by the John F. Kennedy School of Government, Harvard University, and the Office of Senator Daniel Patrick Moynihan, September 30, 1996, 73. 70 CAPITOLO 11 ANALISI DELLE SERIE STORICHE

levine11_57-116 3-04-2002 8:27 Pagina 71 11.4 (a) Rappresentate i dati in un opportuno grafico. (b) Calcolate le medie mobili di ampiezza pari a 3 anni e rappresentatene la serie sullo stesso grafico. (c) Applicate un livellamento esponenziale con fattore di smorzamento W 0.5 e aggiungete la serie smussata al grafico precedente (d) Sulla base di quanto ottenuto al punto (c), fate una previsione per il 1996. (e) Applicate ora un livellamento esponenziale con fattore di smorzamento W = 0.25 e aggiungete la serie smussata al grafico precedente. (f ) Sulla base di quanto ottenuto al punto (e), fate una previsione per il 1996. (g) Confrontate i risultati ottenuti ai punti (d) e (f). (h) Cosa potete dire sull andamento delle spese federali, delle entrate federali e della bilancia dei pagamenti in questo stato americano? IL METODO DEI MINIMI QUADRATI E LA PREVISIONE In una serie storica il trend è sicuramente la componente oggetto di maggiore attenzione da parte degli analisti. Lo studio del trend ci consente di effettuare previsioni sull andamento della serie nel medio e nel lungo periodo; ma anche, una volta eliminata la sua influenza sulla serie, di fare previsioni di breve periodo sull andamento ciclico generale del mercato. Come si è già accennato in precedenza, è estremamente importante, prima di effettuare l analisi vera e propria della serie storica, farsi un idea generale dell andamento della serie con l ausilio di rappresentazioni grafiche come quelle già presentate nelle pagine precedenti (Figura 11.1). In ogni caso, se la serie manifesta tendenze di lungo periodo, siano esse di tipo lineare piuttosto che non lineare, ha senso valutare un trend attraverso il noto metodo dei minimi quadrati (paragrafi 9.2 e 10.6). Il trend lineare Si è già visto nel paragrafo 9.2 come il metodo dei minimi quadrati possa essere adottato per individuare una retta del tipo: Ŷ i b 0 b 1 X i (11.5) dove Y rappresenta la variabile dipendente del modello e X la variabile indipendente in modo che i due coefficienti b 0 e b 1 siano tali da minimizzare la somma delle differenze al quadrato fra il valore osservato della serie e il valore dell interpolante stessa: n (Y i Ŷ i ) 2 minimo i 1 Si è inoltre osservato che l equazione (11.5) può essere utilizzata per effettuare una previsione dei valori della variabile dipendente Y in corrispondenza di valori della X non osservati, semplicemente sostituendo a X il valore in corrispondenza del quale si vuole prevedere la Y. Quando applichiamo il metodo dei minimi quadrati al problema di determinazione del trend di una serie storica, la variabile indipendente è il tempo, con la convenzione di far partire l asse delle ascisse (l asse dei tempi in questo caso) dal primo periodo per il quale sono disponibili i dati e quindi di considerare il primo anno o il primo trimestre o il primo mese come il periodo zero (X = 0). Se ad esempio stiamo lavorando con una serie di 24 anni, al primo verrà assegnato il valore 0, al secondo il valore 1 e così via fino al ventiquattresimo anno a cui sarà assegnato il valore 23. Come esempio riprendiamo la serie storica rappresentata nella Tabella 11.5 e nella IL METODO DEI MINIMI QUADRATI E LA PREVISIONE 71

levine11_57-116 3-04-2002 8:27 Pagina 72 Figura 11.1 e relativa alle entrate lorde (in milioni di dollari correnti) della società Eastman Kodak nei 24 anni compresi fra il 1975 e il 1998. Prima di effettuare l analisi si presenta il problema, tipico delle serie storiche di prezzi, di trasformare i prezzi correnti in prezzi reali (costanti). Ciascun valore corrente è stato quindi rapportato all indice dei prezzi al consumo (CPI) e moltiplicato per 100. I risultati sono stati riportati nella Tabella 11.6 e nella Figura 11.5. Una volta codificati i valori della variabile X da 0 a 23 è possibile ottenere facilmente l espressione della retta interpolante (trend) utilizzando il software Excel: Ŷ i 10.8654 0.02506X i dove l origine è rappresentata dall anno 1975 e le unità della variabile X sono di un anno. Nella Figura 11.6 è riportato l output Excel della regressione. EASTMANK Tabella 11.5 Entrate lorde (in milioni di dollari correnti) della società Eastman Kodak (1975-1998) ANNO VENDITE ANNO VENDITE ANNO VENDITE ANNO VENDITE 1975 5.0 1981 10.3 1987 13.3 1993 16.3 1976 5.4 1982 10.8 1988 17.0 1994 13.7 1977 6.0 1983 10.2 1989 18.4 1995 15.3 1978 7.0 1984 10.6 1990 18.9 1996 16.2 1979 8.0 1985 10.6 1991 19.4 1997 14.5 1980 9.7 1986 11.5 1992 20.2 1998 13.4 Fonte: Moody s Handbook of Common Stocks, 1980, 1989, 1993, 1996, 1998. Reprinted by permission of Financial Information Services, a division of Financial Communications Company, Inc. Tabella 11.6 Dalle entrate a prezzi correnti alle entrate a prezzi costanti (riferimento biennio 1982-1984) Fonte: Bureau of Labor Statistics, U.S. Department of Labor, and Moody s Handbook of Common Stocks, 1980, 1989, 1993, 1996, 1998. Reprinted by permission of Financial Information Services, a division of Financial Communications Company, Inc. 72 CAPITOLO 11 ANALISI DELLE SERIE STORICHE

levine11_57-116 3-04-2002 8:27 Pagina 73 Vediamo ora l interpretazione dei coefficienti della retta di regressione stimata: L intercetta b 0 10.8654 rappresenta il valore del trend nell anno base, vale a dire le entrate lorde (a prezzi costanti 1982-84) della società Eastman Kodak nell anno 1975. L inclinazione b 1 0.02506 rappresenta l aumento annuo previsto (in milioni di dollari) nelle entrate lorde della società. Una volta individuato il trend, se vogliamo effettuare una previsione delle entrate per il 1999, è sufficiente sostituire nell equazione della retta a minimi quadrati al posto della X il valore corrispondente all anno 1999 (X 25 24). Di conseguenza la nostra previsione sarà: 1999: Ŷ 25 10.8654 (0.02506)(24) 11.47 milioni di dollari costanti 1982-1984 Nonostante il trend riveli un notevole incremento di lungo periodo della serie considerata, esaminando la Figura 11.7 notiamo che i dati tendono ad allontanarsi in misura molto significativa dal trend. Nasce quindi il sospetto che l andamento generale della serie possa essere colto meglio con un trend di tipo non lineare. Vediamo ora a confronto due modelli: il primo adatta alla serie un trend quadratico, il secondo un trend esponenziale. FIGURA 11.5 Rappresentazione in un grafico a dispersione sovrapposto delle due serie relative alle entrate della Eastman Kodak a prezzi reali e a prezzi costanti. Grafico realizzato in Microsoft Excel. FIGURA 11.6 Output di Excel del modello di regressione lineare per la determinazione del trend. Fonte: dati della Tabella 11.6. b 1 b 0 IL METODO DEI MINIMI QUADRATI E LA PREVISIONE 73

levine11_57-116 3-04-2002 8:27 Pagina 74 FIGURA 11.7 Interpolazione della serie delle entrate della Eastman Kodak con un trend lineare. Fonte: dati della Tabella 11.6. Il trend quadratico Il modello quadratico (basato su un polinomio di secondo grado) è il più semplice fra i modelli non lineari. Il trend quadratico si ottiene applicando il metodo dei minimi quadrati introdotto nel paragrafo 10.6: Il trend quadratico Dove: Ŷ i b 0 b 1 X i b 2 X 2 i (11.6) b 0 intercetta stimata di Y b 1 effetto lineare stimato della variabile X sulla variabile Y b 2 effetto non lineare stimato della variabile X sulla variabile Y Ancora una volta possiamo utilizzare Microsoft Excel per i calcoli necessari alla determinazione del trend quadratico. Nella Figura 11.8 è riportato l output Excel della regressione quadratica relativa alle entrate lorde annuali (a prezzi costanti) della Eastman Kodak. Come possiamo leggere dalla tabella Excel, si ottiene: Ŷ i 8.5284 0.6624X i 0.0277X 2 i dove l origine è rappresentata dal 1975 e l unità di misura della variabile X è l anno. L equazione del trend quadratico può essere utilizzata a scopi previsivi, semplicemente sostituendo il valore di X assegnato all anno per il quale interessa una previsione della serie e calcolando il corrispondente valore di Ŷ. Per esempio, se vogliamo prevedere le entrate della Eastman Kodak per il 1999 (X 25 24), abbiamo: 1999: Ŷ 25 8.5284 0.6624(24) 0.0277(24) 2 8.47 milioni di dollari Nella Figura 11.9 sono rappresentati la serie delle entrate della società insieme con il trend quadratico. Il modello quadratico sembra in grado di interpolare la serie meglio di quanto non faccia quello lineare. 74 CAPITOLO 11 ANALISI DELLE SERIE STORICHE

levine11_57-116 3-04-2002 8:27 Pagina 75 FIGURA 11.8 Output Excel del modello di regressione quadratica per la determinazione del trend. Fonte: dati della Tabella 11.6. b 0 b 1 b 2 FIGURA 11.9 Interpolazione della serie delle entrate della Eastman Kodak con un trend quadratico. Il trend esponenziale Nel caso in cui i valori di una serie sembrano aumentare a un tasso crescente, in modo tale che la differenza percentuale fra le osservazioni sia costante nel tempo, si rivela utile applicare un modello esponenziale come quello presentato nell equazione (11.7). Il modello esponenziale dove Ŷ i b 0 b X i 1 b 0 intercetta stimata di Y (b 1 1) 100% stima del tasso di crescita annuale composto (11.7) L equazione (11.7) con una semplice trasformazione logaritmica assume la forma analitica data dall equazione (11.8): Il modello esponenziale logŷ i log b 0 X i log b 1 (11.8) IL METODO DEI MINIMI QUADRATI E LA PREVISIONE 75

levine11_57-116 3-04-2002 8:27 Pagina 76 FIGURA 11.10 Output Excel del modello di regressione esponenziale per la determinazione del trend. Fonte: dati della Tabella 11.6. Osserviamo che l equazione (11.8) è in forma lineare. Di conseguenza è possibile applicare il metodo dei minimi quadrati alla variabile log Y i e quindi ottenere la stima dell inclinazione (log b 1 ) e dell intercetta (log b 0 ). I calcoli saranno effettuati ancora una volta con l ausilio del software Excel. Nella Figura 11.10 è rappresentato l output del modello esponenziale relativo alle entrate della Eastman Kodak. Si è quindi ottenuto il seguente risultato: log Ŷ i 1.03508 0.0005565X i Dove l anno iniziale è il 1975 e l unità di misura dell asse delle ascisse è l anno. I valori di b 0 e b 1 si ottengono calcolando l antilogaritmo dei coefficienti stimati della regressione: b 0 antilog 1.03508 10.8413 b 1 antilog 0.0005565 1.00128 Quindi il trend esponenziale stimato è dato da: X Ŷ (10.8413)(1.00128) i i Dove l anno iniziale è sempre il 1975 e l unità dell asse delle ascisse è l anno. L intercetta b 0 10.8413 rappresenta il valore stimato del trend nell anno iniziale (1975); mentre il valore (b 1 1)*100% = 0.128% rappresenta la stima del tasso di crescita annuale composto nella serie delle entrate della Eastman Kodak. Analogamente a quanto visto nell applicazione dei modelli precedenti, anche nel caso del modello esponenziale per ottenere la previsione della serie in un istante futuro è sufficiente sostituire il valore di X assegnato all anno in una delle equazioni (11.7) o (11.8) e calcolare il corrispondente valore della serie stimata Ŷ. Per esempio, se vogliamo prevedere le entrate per il 1999 (X 25 = 24) dobbiamo effettuare i seguenti passaggi algebrici: 1999: log Ŷ 25 1.03508 (0.0005565)(24) 1.0484 Ŷ 25 antilog (1.0484) 11.18 milioni di dollari o 1999: Ŷ 25 (10.8413)(1.00128) 24 11.18 milioni di dollari Il trend esponenziale stimato è stato rappresentato nella Figura 11.11 insieme con la serie originaria. Possiamo osservare che fra i tre modelli considerati il modello esponenziale si rivela il meno adeguato a rappresentare l andamento della serie. b 0 b 1 76 CAPITOLO 11 ANALISI DELLE SERIE STORICHE

levine11_57-116 3-04-2002 8:27 Pagina 77 FIGURA 11.11 Interpolazione della serie delle entrate della Eastman Kodak con un trend esponenziale. Scelta del modello attraverso lo strumento delle differenze prime, delle differenze seconde e delle differenze percentuali Nelle pagine precedenti abbiamo cercato di interpolare una serie storica (la serie delle entrate della Eastman Kodak) con tre tipi di trend: lineare, quadratico ed esponenziale. Se vogliamo individuare il modello migliore per i nostri dati possiamo considerare il grafico dal quale scaturisce un idea d insieme della capacità del modello di spiegare i dati. Esistono anche tecniche più rigorose, basate sul calcolo e sull analisi delle differenze prime, seconde e percentuali fra i valori della serie. Per comprendere il significato di questo metodo di indagine, è utile riassumere alcune proprietà dei trend analizzati. Riquadro 11.1 Scelta del modello attraverso le differenze prime, seconde e percentuali Quando le osservazioni sono interpolate perfettamente da un trend lineare, le differenze prime fra i valori della serie sono costanti. Cioè: (Y 2 Y 1 ) (Y 3 Y 2 ) (Y n Y n 1 ) Quando le osservazioni sono interpolate perfettamente da un trend quadratico, le differenze seconde fra i valori della serie sono costanti. Cioè: [(Y 3 Y 2 ) (Y 2 Y 1 )] [(Y 4 Y 3 ) (Y 3 Y 2 )] [(Y n Y n 1 ) (Y n 1 Y n 2 )] Quando le osservazioni sono interpolate perfettamente da un trend esponenziale, le differenze percentuali fra i valori della serie sono costanti. Cioè: Y 2 Y 1 Y 1 100% Y 3 Y 2 Y 2 100% Y n Y n 1 Y n 1 100% Anche se non dobbiamo attenderci che uno dei trend analizzati si adatti perfettamente alla serie, le differenze prime, seconde e percentuali possono rivelarsi un utile strumento IL METODO DEI MINIMI QUADRATI E LA PREVISIONE 77

levine11_57-116 3-04-2002 8:27 Pagina 78 per scegliere il modello appropriato a un insieme di dati. Negli esempi 11.2, 11.3 e 11.4 saranno illustrati dei casi in cui uno dei trend proposto nelle pagine precedenti si adatta perfettamente alle osservazioni. Esempio 11.2 Un modello lineare con perfetto adattamento I seguenti dati rappresentano il numero di passeggeri (in milioni) che annualmente si servono di una compagnia aerea. ANNO 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 Passeggeri 30.0 33.0 36.0 39.0 42.0 45.0 48.0 51.0 54.0 57.0 Mostrate, con il metodo delle differenze prime, che il trend lineare fornisce una perfetta interpolazione della serie. SOLUZIONE ANNO 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 Passeggeri 30.0 33.0 36.0 39.0 42.0 45.0 48.0 51.0 54.0 57.0 Differenze prime 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 Osserviamo che le differenze fra valori consecutivi della serie sono costanti. Esempio 11.3 Un modello quadratico con perfetto adattamento I seguenti dati rappresentano il numero di passeggeri (in milioni) che annualmente si servono di una compagnia aerea. ANNO 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 Passeggeri 30.0 31.0 33.5 37.5 43.0 50.0 58.5 68.5 80.0 93.0 Mostrate, con il metodo delle differenze seconde, che il trend quadratico fornisce una perfetta interpolazione della serie. SOLUZIONE ANNO 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 Passeggeri 30.0 31.0 33.5 37.5 43.0 50.0 58.5 68.5 80.0 93.0 Differenze prime 1.0 2.5 4.0 5.5 7.0 8.5 10.0 11.5 13.0 Differenze seconde 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 Osserviamo che le differenze seconde fra i valori della serie sono costanti. 78 CAPITOLO 11 ANALISI DELLE SERIE STORICHE

levine11_57-116 3-04-2002 8:27 Pagina 79 Esempio 11.4 Un modello esponenziale con perfetto adattamento I seguenti dati rappresentano il numero di passeggeri (in milioni) che annualmente si servono di una compagnia aerea. ANNO 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 Passeggeri 30.0 31.5 33.1 34.8 36.5 38.3 40.2 42.2 44.3 46.5 Mostrate, con il metodo delle differenze percentuali, che il trend esponenziali fornisce una perfetta interpolazione della serie. SOLUZIONE ANNO 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 Passeggeri 30.0 31.5 33.1 34.8 36.5 38.3 40.2 42.2 44.3 46.5 Differenze prime 1.5 1.6 1.7 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 Differenze percentuali 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 Osserviamo che le differenze percentuali fra valori consecutivi della serie sono costanti. Tabella 11.7 Nella Tabella 11.7 sono rappresentate le differenze prime, seconde e percentuali relative alla serie delle entrate lorde della società Eastman Kodak. Osservando la tabella possiamo notare che nessuno dei tre modelli confrontati fornisce una perfetta interpolazione delle osservazioni. Tuttavia il trend quadratico sembra da preferire in quanto la serie delle differenze seconde manifesta un andamento più erratico e Confronto fra le differenze prime, seconde e percentuali relative alle entrate lorde (in miliardi di dollari a prezzi costanti 1982-84) della Eastman Kodak ENTRATE ENTRATE (IN MILIARDI DIFFERENZE DIFFERENZE DIFFERENZE (IN MILIARDI DIFFERENZE DIFFERENZEDIFFERENZE ANNO DI DOLLARI) PRIME SECONDE PERCENTUALI ANNO DI DOLLARI) PRIME SECONDE PERCENTUALI 1975 9.3 1987 11.7 1.2 0.6 11.4 1976 9.5 0.2 2.2 1988 14.4 2.7 1.5 23.1 1977 9.9 0.4 0.2 4.2 1989 14.8 0.4 2.3 2.8 1978 10.7 0.8 0.4 8.1 1990 14.5 0.3 0.7 2.0 1979 11.0 0.3 0.5 2.8 1991 14.2 0.3 0.0 2.1 1980 11.8 0.8 0.5 7.3 1992 14.4 0.2 0.5 1.4 1981 11.3 0.5 1.3 4.2 1993 11.3 3.1 3.3 21.5 1982 11.2 0.1 0.4 0.9 1994 9.2 2.1 1.0 18.6 1983 10.2 1.0 0.9 8.9 1995 10.0 0.8 2.9 8.7 1984 10.2 0.0 1.0 0.0 1996 10.3 0.3 0.5 3.0 1985 9.9 0.3 0.3 2.9 1997 9.0 1.3 1.6 12.6 1986 10.5 0.6 0.9 6.1 1998 8.2 0.8 0.5 8.9 Fonte: Tabella 11.6 di pagina 72. IL METODO DEI MINIMI QUADRATI E LA PREVISIONE 79

levine11_57-116 3-04-2002 8:27 Pagina 80 Esercizi del paragrafo 11.4 CPI-2 sembra fluttuare più casualmente al di sotto e al di sopra dell origine rispetto alle serie delle differenze prime e percentuali. 11.9 Supponete di applicare il metodo dei minimi quadrati per individuare il trend di una serie annuale contenente 25 osservazioni. (a) Quale valore deve essere assegnato a X in corrispondenza del primo anno della serie? (b) Quale valore deve essere assegnato a X in corrispondenza del quinto anno della serie? (c) Quale valore deve essere assegnato a X in corrispondenza dell ultimo anno della serie? (d) Quale valore deve essere assegnato a X per effettuare una previsione a 5 anni della serie? 11.10 Supponete che una serie contenente 20 osservazioni (dal 1980 al 1999): sia caratterizzata dal trend lineare Ŷ i 4.0 1.5X i. (a) Interpretate il significato dell intercetta b 0. (b) Interpretate il significato dell inclinazione b 1. (c) Calcolate il valore del trend corrispondente al quinto anno di osservazione dei dati. (d) Calcolate il valore del trend corrispondente all ultimo anno di osservazione dei dati. (e) Sulla base del modello proposto, qual è la previsione per i tre anni successivi al periodo di osservazione dei dati? 11.11 I seguenti dati rappresentano i valori di un indice dei prezzi al consumo (CPI) registrati negli Stati Uniti nei 34 anni compresi tra il 1965 e il 1998 (il periodo base è il 1982-84). L indice misura la variazione media dei prezzi di un paniere di beni e servizi acquistati da una vasta gamma di consumatori. Indice dei prezzi al consumo ANNO CPI ANNO CPI ANNO CPI 1965 31.5 1977 60.6 1989 124.0 1966 32.4 1978 65.2 1990 130.7 1967 33.4 1979 72.6 1991 136.2 1968 34.8 1980 82.4 1992 140.3 1969 36.7 1981 90.9 1993 144.5 1970 38.8 1982 96.5 1994 148.2 1971 40.5 1983 99.6 1995 152.4 1972 41.8 1984 103.9 1996 156.9 1973 44.4 1985 107.6 1997 160.5 1974 49.3 1986 109.6 1998 163.0 1975 53.8 1987 113.6 1976 56.9 1988 118.3 Fonte: Bureau of Labor Statistics, U.S. Department of Labor. GDP (a) Rappresentate i dati in un opportuno grafico. (b) Descrivete i movimenti della serie nei 34 anni considerati. 11.12 Il prodotto interno lordo (GDP) costituisce uno dei più importanti indicatori del benessere economico di un Paese e riassume le spese per il consumo individuale, gli investimenti privati, le esportazioni nette di beni e di servizi e le spese di governo. Nella seguente tabella sono rappresentati i valori del prodotto interno lordo americano registrati nel periodo di 17 anni fra il 1982 e il 1998. 80 CAPITOLO 11 ANALISI DELLE SERIE STORICHE