Analisi delle serie storiche

11 Analisi delle serie storiche Introduzione 58 11.1 L importanza della previsione a livello aziendale 58 11.2 Il modello moltiplicativo classico delle serie storiche 59 11.3 Livellamento di una serie storica annuale 61 11.4 Il metodo dei minimi quadrati e la previsione 71 11.5 Modelli autoregressivi per la determinazione del trend e per la previsione 84 11.6 Scelta del modello di previsione 93 11.7 Analisi di serie storiche a cadenza mensile o trimestrale 97 11.8 Validità e limiti dei metodi di analisi delle serie storiche 106 Riepilogo del capitolo 107 A11.1 L uso di Microsoft Excel per l analisi delle serie storiche 114 57

levine11_57-116 3-04-2002 8:27 Pagina 58 OBIETTIVI DEL CAPITOLO Presentare un modello classico per l analisi delle serie storiche Introdurre una varietà di modelli per la previsione con dati a cadenza annuale Sviluppare modelli previsivi per dati trimestrali o mensili Introduzione Nei precedenti capitoli sono stati introdotti e discussi modelli di regressione lineare assai utili a scopi previsivi. Abbiamo visto come l analisi basata sulla regressione possa costituire un valido supporto nel processo decisionale aziendale. In questo capitolo introdurremo e approfondiremo il concetto di serie storica, molto importante nell ambito della pianificazione e controllo. Inizieremo presentando serie storiche a cadenza annuale e introducendo due tecniche di livellamento ( smussamento ) per serie siffatte: medie mobili e livellamento (o smorzamento) esponenziale (paragrafo 11.3). Il discorso toccherà poi alcune importanti tecniche di interpolazione e previsione per serie annuali, dal metodo dei minimi quadrati (paragrafo 11.4) a metodologie più avanzate (paragrafo 11.5). Gli stessi metodi saranno poi estesi e adattati all analisi di serie storiche a cadenza mensile e trimestrale e in particolare al problema della valutazione della componente stagionale (paragrafo 11.7). APPLICAZIONE: Previsione delle entrate lorde annuali presso la società Eastman Kodak 11.1 La Eastman Kodak è una delle più importanti società nel campo dell immagine a livello mondiale. I suoi principi sono: la produzione su vasta scala a basso costo, la distribuzione internazionale dei prodotti, l uso massiccio della pubblicità e l attenzione nei confronti del consumatore. I livelli direttivi della Eastman Kodak hanno capito l importanza della ricerca e della continua e accurata analisi dei risultati in termini di performance della società, fondamentali quando si ha come obiettivo quello di diventare leader nel settore. Nei paragrafi 11.4 e 11.5 di questo capitolo saranno presentati i dati relativi alle entrate lorde annuali della società nel periodo compreso fra il 1975 e il 1998, che verranno utilizzati per fare delle previsioni. Un analisi di questo tipo può essere di grande aiuto al management della società per comprendere l evoluzione storica e gli eventuali cambiamenti nei livelli di performance conseguiti, per individuare concretamente la posizione ricoperta dalla Eastman Kodak all interno del settore e per valutare gli effetti futuri di alcune strategie che la società può decidere di adottare. L IMPORTANZA DELLA PREVISIONE A LIVELLO AZIENDALE Poiché le condizioni economiche e del mercato cambiano continuamente nel corso del tempo, gli operatori aziendali devono essere in grado di valutare e prevedere gli effetti di tali cambiamenti sulla salute dell azienda. È quindi necessario sviluppare delle tecniche di previsione in grado di supportare le scelte e le strategie dell azienda. L esigenza di fare previsioni caratterizza in un certo senso le società moderne. I governi devono essere in grado di prevedere l andamento di fenomeni quali la disoccupazione, l inflazione, la produzione industriale, il gettito fiscale per poter adottare politiche sociali e fiscali corrette; i responsabili del marketing all interno di una società devono riuscire a 58 CAPITOLO 11 ANALISI DELLE SERIE STORICHE

levine11_57-116 3-04-2002 8:27 Pagina 59 prevedere la domanda del prodotto, il volume delle vendite, l evoluzione dei gusti del consumatore per poter adottare corrette decisioni di politica aziendale; l amministrazione di un università deve essere in grado di prevedere l ammontare delle iscrizioni sulla base delle proiezioni della popolazione e di altri elementi a sua disposizione per poter progettare gli spazi, le strutture (mensa, pensionato). Tipi di metodi di previsione Gli approcci alla previsione sono essenzialmente due: un approccio qualitativo e un approccio quantitativo. I metodi di previsione qualitativi devono essere adottati quando non si dispone di dati storici, per esempio se si vogliono prevedere le entrate di una nuova società. Si tratta naturalmente di metodi altamente soggettivi. Tra le più importanti tecniche di previsione qualitative devono essere ricordate il factor listing method, l expert opinion, e la Delphi technique (riferimento bibliografico 4). Le tecniche di previsione quantitative al contrario si basano proprio sull uso di dati storici, dai quali l analista cerca di comprendere la struttura sottostante del fenomeno per poi utilizzarla a scopi previsivi. A loro volta i metodi di previsione quantitativi possono rientrare in due macro-categorie: metodi basati sulle serie storiche e metodi aleatori. I primi consistono nell effettuare previsioni sull andamento futuro di una variabile sulla base delle realizzazioni passate e presenti della variabile in questione. Serie Storica Una serie storica è un insieme di dati numerici registrati ad intervalli regolari di tempo. 11.2 Esempi di serie storica possono essere rappresentati dai prezzi di chiusura giornalieri di un azione, dalle pubblicazioni mensili dell indice dei prezzi al consumo, dai valori trimestrali del prodotto interno lordo oppure dai volumi di vendite annuali realizzati da una certa società. I metodi di previsione aleatori consistono nella determinazione di fattori legati alla variabile di cui si vuole effettuare la previsione. Tali metodi includono la regressione multipla con variabili ritardate, i modelli econometrici, gli indici di diffusione e altri metodi che vanno oltre gli scopi di questo testo (riferimenti bibliografici 5 e 8). Ci concentriamo quindi sull analisi delle serie storiche. IL MODELLO MOLTIPLICATIVO CLASSICO DELLE SERIE STORICHE Alla base dell analisi delle serie storiche vi è l assunzione secondo cui i fattori che hanno influenzato l andamento della serie nel passato e nel presente continuino a esercitare effetti analoghi anche nel futuro. Di conseguenza l analista non deve fare altro se non individuare e isolare tali fattori per effettuare previsioni e quindi indirizzare l attività di pianificazione e controllo aziendali. A tale scopo gli statistici hanno elaborato diversi modelli per disaggregare la serie nelle sue componenti; in questo testo verrà approfondito il modello classico moltiplicativo, che sarà utilizzato a scopi previsivi. Consideriamo a titolo di esempio la serie storica delle entrate lorde realizzate dalla società Eastman Kodak nel periodo di tempo compreso fra il 1975 e il 1998 (Figura 11.1). Volendo dare una prima caratterizzazione dei dati, osserviamo che i valori in questione hanno manifestato una tendenza all aumento nei 24 anni considerati: questa tendenza di lungo termine all incremento o al decremento dei valori della serie prende il nome di trend. Chiaramente il trend non esaurisce le informazioni rilevanti sulla serie in questione (o qualsivoglia serie storica) a meno che i dati non si trovino esattamente su una linea retta. Altre due componenti (o fattori) di estrema importanza sono la componente ciclica e quella IL MODELLO MOLTIPLICATIVO CLASSICO DELLE SERIE STORICHE 59

levine11_57-116 3-04-2002 8:27 Pagina 60 FIGURA 11.1 Andamento delle entrate lorde (in milioni di dollari) realizzate dalla società Eastman Kodak nel periodo compreso fra il 1975 e il 1998. Grafico ottenuto in Microsoft Excel. irregolare. La componente ciclica spiega gli scostamenti verso l alto o verso il basso dei dati rispetto al trend; tali scostamenti possono avere diverse durate, ma solitamente coinvolgono un periodo di tempo compreso fra due e dieci anni. I movimenti ciclici differiscono anche nell intensità oltre che nella durata e sono spesso strettamente legati ai cicli economici. In via residuale rispetto alle componenti cicliche e di trend è possibile individuare l ultima componente della serie, la componente irregolare o casuale. Infine, quando i dati non hanno una cadenza annuale e ci troviamo di fronte ad esempio a dati mensili o trimestrali, è necessario tenere conto di un quarto fattore: la stagionalità (equazione (11.2)). Nella Tabella 11.1 sono riassunte le quattro componenti. Nel modello moltiplicativo classico ciascun punto della serie storica è visto come prodotto di queste quattro componenti, come sintetizzato nelle equazioni (11.1) e (11.2) rispettivamente per serie storiche annuali e infra-annuali. Modello moltiplicativo classico per serie storiche annuali Y i T i C i I i (11.1) Dove, nell anno i T i valore della componente di trend C i valore della componente ciclica I i valore della componente irregolare Modello moltiplicativo classico per serie storiche infra-annuali Y i T i S i C i I i (11.2) Dove, con riferimento al periodo i (mese o trimestre) T i valore della componente di trend C i valore della componente ciclica I i valore della componente irregolare S i valore della componente stagionale 60 CAPITOLO 11 ANALISI DELLE SERIE STORICHE

levine11_57-116 3-04-2002 8:27 Pagina 61 Tabella 11.1 Componenti di una serie storica CLASSIFICAZIONE MOTIVI COMPONENTE DELLA COMPONENTE DEFINIZIONE DI INFLUENZA DURATA Trend Stagionale Ciclica Irregolare 11.3 Sistematica Sistematica Sistematica Non sistematica tendenza di lungo termine all incremento o al decremento dei valori della serie Fluttuazioni periodiche regolari che si ripetono annualmente Scostamenti verso l alto o verso il basso dei dati rispetto al trend, secondo le fasi di prosperità (picchi positivi), contrazione (dal picco verso il basso), depressione (in discesa verso un picco negativo), ripresa (dal picco negativo verso l alto) Fluttuazione residua di una serie una volta depurata dalle componenti sistematiche Il primo passo nell analisi di una serie storica consiste nella rappresentazione grafica dei valori, dalla quale si possono trarre le prime considerazioni di carattere qualitativo sulla serie. Osservando un grafico, infatti, è possibile intuire se i valori della serie manifestino un trend di lungo periodo oppure oscillino intorno a un immaginaria linea orizzontale, parallela all asse dei tempi. Nel paragrafo 11.3 saranno presentate alcune tecniche di livellamento adatte a cogliere le tendenze di lungo periodo in serie storiche che non presentano un andamento di trend. In particolare saranno discusse le tecniche di livellamento esponenziale e il metodo basato sulla costruzione di medie mobili. Nei paragrafi successivi vedremo invece alcuni modi per affrontare l analisi delle serie storiche che seguono un trend, in particolare allo scopo di effettuare previsioni. Nei Paragrafi 11.4 e 11.5 ci occuperemo di serie storiche annuali, mentre nel paragrafo 11.7 ci concentreremo sui metodi di previsione per dati mensili e trimestrali. LIVELLAMENTO DI UNA SERIE STORICA ANNUALE Cambiamenti nella tecnologia, nella popolazione, nella ricchezza o nel valore Condizioni climatiche, usi e costumi sociali e religiosi Interazione di diversi fattori economici variazioni nei dati dovute al caso oppure ad eventi straordinari quali scioperi, uragani, alluvioni, assassini politici e così via diversi anni 12 mesi (solo per dati infra-annuali) Solitamente da 2 a 10 anni breve durata Nella Tabella 11.2 e nella Figura 11.2 sono rappresentate le vendite annuali della General Motors Corporation (GM) nei 24 anni compresi tra il 1975 e il 1998. Esaminando il grafico è difficile stabilire se i valori della serie seguano un trend di lungo periodo, poiché le forti oscillazioni di breve periodo complicano l impressione d insieme. In situazioni di questo tipo si rivelano di particolare utilità le tecniche di livellamento a cui si è accennato prima, in grado di favorire una corretta visione delle tendenze di lungo periodo. Le medie mobili Il metodo di livellamento basato sulle medie mobili rappresenta una tecnica altamente soggettiva, in quanto dipende dalla lunghezza del periodo scelto per la costruzione delle medie. Volendo eliminare le fluttuazioni cicliche della serie, l analista deve in qualche modo stimare la durata media dei cicli all interno della serie e sulla base di questa stima procedere al calcolo delle medie mobili. Ma vediamo in dettaglio in cosa consiste una media mobile. LIVELLAMENTO DI UNA SERIE STORICA ANNUALE 61

levine11_57-116 3-04-2002 8:27 Pagina 62 Tabella 11.2 Vendite (in milioni di unità) realizzate dalla General Motors Corporation (1975-1998) ANNO VENDITE ANNO VENDITE ANNO VENDITE 1975 6.6 1983 7.8 1991 7.4 1976 8.6 1984 8.3 1992 7.7 1977 9.1 1985 9.3 1993 7.8 1978 9.5 1986 8.6 1994 8.4 1979 9.0 1987 7.8 1995 8.3 1980 7.1 1988 8.1 1996 8.4 1981 6.8 1989 7.9 1997 8.8 1982 6.2 1990 7.5 1998 8.1 Nota: Le vendite sono quelle derivanti da qualunque fonte: macchina, camion, autobus e stabilimento d oltremare. Fonte: Moody s Handbook of Common Stocks, 1980, 1989, 1993 and annual reports. Reprinted by permission of Financial Information Services, a division of Financial Communications Company, Inc. Una media mobile di periodo L consiste in una serie di medie aritmetiche calcolate su sequenze di valori osservati di lunghezza L. Indichiamo con MA(L) una media mobile di periodo pari a L. Supponiamo ad esempio di voler calcolare una media mobile con un periodo di 5 anni su una serie di 11 anni. Essendo L = 5 anni, le medie mobili corrispondenti consisteranno in una serie di medie che coinvolgono sequenze consecutive di 5 osservazioni. La prima di tali medie si ottiene quindi sommando i primi 5 valori della serie e dividendo per 5: MA(5) Y 1 Y 2 Y 3 Y 4 Y 5 5 La seconda media coinvolge i valori della serie dal secondo al sesto: MA(5) Y 2 Y 3 Y 4 Y 5 Y 6 5 FIGURA 11.2 Rappresentazione grafica delle vendite (in milioni di unità) realizzate dalla General Motors Corporation (1975-1998). Fonte: dati della Tabella 11.2. 62 CAPITOLO 11 ANALISI DELLE SERIE STORICHE

levine11_57-116 3-04-2002 8:27 Pagina 63 Questo processo continua fino al calcolo dell ultima media che sarà data da: MA(5) Y 7 Y 8 Y 9 Y 10 Y 11 5 Quando si ha a che fare con dati annuali, è conveniente che L (lunghezza del periodo di riferimento per il calcolo delle medie mobili) sia un numero dispari. Tracciando il grafico delle medie, ciascun valore ottenuto come media deve essere inserito nel punto centrale della sequenza di tempi coinvolti nella media. Nel nostro caso per esempio, la prima media mobile sarà centrata nel terzo anno, la seconda nel quarto e così via fino all ultima che si troverà in corrispondenza del nono anno della serie. In questo modo è evidente che la serie delle medie non coinvolgerà i primi due e gli ultimi due anni coperti dai dati (in generale si perdono i primi (L 1)/2 e gli ultimi (L 1)/2 periodi). Esempio 11.1 Calcolo di una media mobile con un periodo di 5 anni I seguenti dati rappresentano le entrate realizzate da una società negli 11 anni compresi fra il 1987 e il 1997. 4.0 5.0 7.0 6.0 8.0 9.0 5.0 2.0 3.5 5.5 6.5 Si calcolino le medie mobili di periodo 5 per questa serie. SOLUZIONE Le 7 medie si ottengono nel modo seguente: MA(5) Y 1 Y 2 Y 3 Y 4 Y 5 5 MA(5) Y 2 Y 3 Y 4 Y 5 Y 6 5 MA(5) Y 3 Y 4 Y 5 Y 6 Y 7 5 MA(5) Y 4 Y 5 Y 6 Y 7 Y 8 5 MA(5) Y 5 Y 6 Y 7 Y 8 Y 9 5 MA(5) Y 6 Y 7 Y 8 Y 9 Y 10 5 MA(5) Y 7 Y 8 Y 9 Y 10 Y 11 5 e devono essere centrate negli anni dal terzo al nono. 4.0 5.0 7.0 6.0 8.0 5 5.0 7.0 6.0 8.0 9.0 5 7.0 6.0 8.0 9.0 5.0 5 6.0 8.0 9.0 5.0 2.0 5 8.0 9.0 5.0 2.0 3.5 5 9.0 5.0 2.0 3.5 5.5 5 5.0 2.0 3.5 5.5 6.5 5 30.0 5 6.0 35.0 5 7.0 35.0 5 7.0 30.0 5 6.0 27.5 5 5.5 25.0 5 5.0 22.5 5 4.5 Nella pratica, le medie mobili di una serie di dati vengono determinate ricorrendo all ausilio di software (ad esempio, Microsoft Excel) per evitare di perdersi in noiosi calcoli. Nella Tabella 11.3 sono rappresentate le vendite annuali della General Motors nei 24 anni compresi fra il 1975 e il 1998 insieme con le corrispondenti medie mobili di ampiezza 3 e 7. Le stesse sono state anche rappresentate nella Figura 11.3. Osserviamo che nella serie rappresentata nella colonna C (media mobile di ordine 3) mancano il primo e l ultimo valore, mentre in quella in colonna D (media mobile di ordine 7) i valori mancanti sono i primi tre e gli ultimi tre. LIVELLAMENTO DI UNA SERIE STORICA ANNUALE 63

levine11_57-116 3-04-2002 8:27 Pagina 64 Tabella 11.3 Medie mobili di ordine 3 e di ordine 7 calcolate sulla serie delle vendite della General Motors (1975-1998) FIGURA 11.3 Rappresentazione grafica in Microsoft Excel delle medie mobili di ordine 3 e di ordine 7 calcolate sulla serie delle vendite della General Motors. Fonte: dati della Tabella 11.2. Si nota immediatamente dal grafico che la media mobile di ampiezza 7 smussa in misura notevolmente maggiore la serie originaria rispetto a quella di ordine 3. D altra parte porta a una perdita di valori più consistente (sei contro due). In generale si può dire che c è un trade-off tra la bontà del livellamento e la completezza della serie smussata. Livellamento esponenziale Il livellamento (o smorzamento) esponenziale è un altra tecnica utilizzata per smussare una serie storica di dati al fine di fornire all analista un impressione dei movimenti di lungo ter- 64 CAPITOLO 11 ANALISI DELLE SERIE STORICHE

levine11_57-116 3-04-2002 8:27 Pagina 65 mine della serie stessa. Il metodo del livellamento esponenziale è di particolare interesse poiché consente di effettuare previsioni di breve termine (ad un periodo) anche su dati che non presentano un evidente andamento di trend, come quelli relativi alle vendite della General Motors presentati nella Tabella e nella Figura 11.3. In questo senso la tecnica di livellamento rappresenta un metodo di analisi più vantaggioso rispetto alla tecnica basata sulle medie mobili. Il metodo del livellamento esponenziale consiste nell applicazione alla serie dei dati di una media mobile ponderata esponenzialmente. In questo modo, come vedremo, ciascun valore della serie smussata dipende da tutti i valori osservati precedenti, cosa che non accade quando si adotta il metodo basato sulle medie mobili. Inoltre, nel calcolo dei valori della serie livellata, i pesi assegnati a ciascun valore osservato in precedenza non sono costanti, ma decrescono passando dai più recenti a quelli più lontani nel tempo. Così ad esempio nel calcolo del livellamento esponenziale per il periodo i verrà assegnato il peso maggiore al valore osservato nel periodo i 1, un peso inferiore al valore osservato nel periodo i 2, e pesi via via decrescenti fino ad arrivare al primo valore osservato della serie, al quale è assegnato il peso minore. Come per le medie mobili, anche il calcolo del livellamento esponenziale può essere facilmente effettuato con l ausilio di Microsoft Excel o analoghi programmi di calcolo. Concentrandoci per ora sullo smussamento della serie storica osservata (anziché sugli aspetti previsivi), osserviamo che le formule per il livellamento esponenziale di una serie storica si basano su tre soli termini: il valore corrente della serie Y i, il valore della serie smussata calcolato per il periodo precedente, E i 1, e un peso, o fattore di smorzamento assegnato soggettivamente, W. Per ogni periodo i si ha quindi la seguente formula per la determinazione della serie smussata: Come ottenere il valore smussato esponenzialmente per il periodo i dove E i WY i (1 W)E i 1 (11.3) E i valore della serie smussata esponenzialmente relativo al periodo i E i 1 valore della serie smussata esponenzialmente relativo al periodo i 1 Y i valore osservato della serie storica nel periodo i W peso o fattore di smorzamento assegnato soggettivamente (0 < W < 1) E 1 Y 1 La scelta del fattore di smorzamento W è critica in quanto influisce enormemente sui risultati. Si tratta di una scelta soggettiva, tuttavia è possibile seguire la seguente regola pratica: se il nostro scopo è unicamente quello di smussare la serie eliminando le variazioni cicliche e irregolari, conviene adottare un valore basso (prossimo a zero) di W; se invece l analista vuole anche effettuare una previsione di breve periodo, si rivela più conveniente la scelta di valori elevati (prossimi a uno) di W. Con valori bassi di W infatti vengono meglio evidenziate le tendenze di lungo periodo della serie, mentre valori elevati consentono più precise previsioni di breve periodo. Livellamento Nella Tabella 11.4 sono presentati i valori della serie relativa alle vendite della General Motors dal 1975 al 1998, smussati esponenzialmente con pesi pari a 0.5 e 0.25 (i valori sono stati ottenuti in Microsoft Excel). Nella Figura 11.4 le due serie livellate sono state rappresentate graficamente insieme con la serie originaria. LIVELLAMENTO DI UNA SERIE STORICA ANNUALE 65

levine11_57-116 3-04-2002 8:27 Pagina 66 Tabella 11.4 Livellamento esponenziale della serie relativa alle vendite realizzate dalla GM nel periodo 1975-1998 Vediamo come è stata determinata la serie smussata con un fattore di smorzamento pari a 0.25. Come punto di partenza consideriamo il primo valore osservato Y 1975 = 6.6, che coincide con il primo valore della serie smussata E 1975. Quindi, utilizzando il valore osservato della serie nell anno 1976, è possibile ottenere anche il secondo valore della serie smussata, con l applicazione della semplice formula: E 1976 WY 1976 (1 W)E 1975 (0.25)(8.6) (0.75)(6.6) 7.1 milioni Negli anni successivi si procede iterativamente: E 1977 WY 1977 (1 W)E 1976 (0.25)(9.1) (0.75)(7.1) 7.6 milioni In questo modo si calcolano tutti i valori della serie smussata (ultima colonna della Tabella 11.4). E 1978 WY 1978 (1 W)E 1977 (0.25)(9.5) (0.75)(7.6) 8.075 milioni Previsione Se l analista è interessato a effettuare una previsione di breve periodo, il livellamento esponenziale può essere utilizzato nel seguente modo: il valore smussato relativo al periodo i è adottato come previsione al periodo i + 1. Previsione al periodo i 1 Ŷ i 1 E i (11.4) Ad esempio, per prevedere il numero di unità vendute dalla GM nel 1999, possiamo uti- 66 CAPITOLO 11 ANALISI DELLE SERIE STORICHE

levine11_57-116 3-04-2002 8:27 Pagina 67 FIGURA 11.4 Grafico delle serie smussate con fattori di smorzamento pari a 0.5 e 0.25 calcolate sulle vendite della GM nel periodo 1975-1998. Fonte: dati della Tabella 11.4. lizzare il valore smussato ottenuto per il 1998 (con un fattore di smorzamento pari a 0.5, avremo Ŷ1999 = 8.32 milioni di unità). Una volta che i dati relativi al 1999 diventano disponibili, l equazione (11.3) può essere utilizzata per fare una previsione al 2000: E 1999 WY 1999 (1 W)E 1998 Valore corrente smussato (W) (valore corrente osservato) (1 W) (precedente valore smussato) In termini di previsione si ha: Ŷ 2000 WY 1999 (1 W)Ŷ 1999 Nuova previsione (W)(valore corrente osservato) (1 W)(previsione corrente) OILSUPP Esercizi del Paragrafo 11.3 11.1 Applicando il metodo del livellamento esponenziale alla serie storica delle entrate di una società, supponete di aver ottenuto un valore smussato per l ultimo anno dell indagine di 32.4 milioni di dollari. Qual è la vostra previsione per l anno successivo? 11.2 Considerate una serie storica di valori registrati a partire dal 1955. Applicando una media mobile di ampiezza pari a 9 anni: (a) In quale anno risulterà centrata la prima media mobile? (b) Quanti anni vengono persi nella serie delle medie mobili? 11.3 Supponete ora di applicare alla stessa serie il livellamento esponenziale con fattore di smorzamento W 0.2. Supponete inoltre che il valore smussato della serie per l anno 1996 sia dato da: E 1996 (0.20)(12.1) (0.80)(9.4). Calcolate il valore successivo della serie smussata (E 1997 ) supponendo che il valore osservato nell anno in questione sia pari a 11.5 milioni di dollari. 11.4 I seguenti dati rappresentano il numero annuale di impiegati (in migliaia) presso una società che produce olio. LIVELLAMENTO DI UNA SERIE STORICA ANNUALE 67

levine11_57-116 3-04-2002 8:27 Pagina 68 Numero di impiegati (in migliaia) ANNO NUMERO ANNO NUMERO ANNO NUMERO 1978 1.45 1985 2.04 1992 1.65 1979 1.55 1986 2.06 1993 1.73 1980 1.61 1987 1.80 1994 1.88 1981 1.60 1988 1.73 1995 2.00 1982 1.74 1989 1.77 1996 2.08 1983 1.92 1990 1.90 1997 1.88 1984 1.95 1991 1.82 FOODTIME (a) Rappresentate i dati in un opportuno grafico. (b) Calcolate le medie mobili di ampiezza pari a 3 anni e rappresentatene la serie sullo stesso grafico. (c) Applicate il livellamento esponenziale con fattore di smorzamento W 0.5 e aggiungete la serie smussata al grafico precedente. (d) Sulla base di quanto ottenuto al punto (c), fate una previsione per il 1998. (e) Applicate ora un livellamento esponenziale con fattore di smorzamento W 0.25 e aggiungete la serie smussata al grafico precedente. (f ) Sulla base di quanto ottenuto al punto (e), fate una previsione per il 1998. (g) Confrontate i risultati ottenuti ai punti (d) e (f). 11.5 Nella seguente tabella sono rappresentate le vendite (in milioni di dollari) realizzate da una società operante nel ramo alimentare negli anni compresi fra il 1972 e il 1997. Vendite annuali (in milioni di dollari) ANNO VENDITE ANNO VENDITE ANNO VENDITE 1972 41.6 1981 53.2 1990 36.4 1973 48.0 1982 53.3 1991 38.4 1974 51.7 1983 51.6 1992 42.6 1975 55.9 1984 49.0 1993 34.8 1976 51.8 1985 38.6 1994 28.4 1977 57.0 1986 37.3 1995 23.9 1978 64.4 1987 43.8 1996 27.8 1979 60.8 1988 41.7 1997 42.1 1980 56.3 1989 38.3 MEDFAMIN (a) Rappresentate i dati in un opportuno grafico. (b) Calcolate le medie mobili di ampiezza pari a 7 anni e rappresentatene la serie sullo stesso grafico. (c) Applicate un livellamento esponenziale con fattore di smorzamento W 0.25 e aggiungete la serie smussata al grafico precedente. (d) Sulla base di quanto ottenuto al punto (c), fate una previsione per il 1998. (e) Applicate ora un livellamento esponenziale con fattore di smorzamento W 0.5 e aggiungete la serie smussata al grafico precedente. (f ) Sulla base di quanto ottenuto al punto (e), fate una previsione per il 1998. (g) Confrontate i risultati ottenuti ai punti (d) e (f). 11.6 I seguenti dati rappresentano per gli anni 1980-1996 il reddito mediano delle famiglie statunitensi con riferimento alla popolazione considerata nel suo complesso e separatamente rispetto alle 3 razze più diffuse negli Stati Uniti: bianchi, neri e ispanici. 68 CAPITOLO 11 ANALISI DELLE SERIE STORICHE

levine11_57-116 3-04-2002 8:27 Pagina 69 Reddito familiare mediano (in dollari) negli Stati Uniti ANNO COMPLESSIVO BIANCHI NERI ISPANICI 1980 33 763 35 620 20 521 26 025 1981 33 215 35 094 19 693 26 643 1982 33 105 34 657 19 642 24 910 1983 32 900 34 502 19 579 25 057 1984 33 849 35 709 20 343 25 660 1985 34 439 36 320 21 609 25 467 1986 35 642 37 471 21 588 26 272 1987 35 994 37 924 21 646 26 706 1988 36 108 38 172 21 760 27 002 1989 36 575 38 473 22 881 27 737 1990 35 945 37 492 22 420 26 806 1991 34 705 36 367 21 665 26 140 1992 34 261 36 020 20 974 25 271 1993 33 922 35 788 21 209 24 850 1994 34 158 36 026 22 261 24 796 1995 35 082 36 822 23 054 23 535 1996 35 492 37 161 23 482 24 906 Fonte: Statistical Abstract of the United States, 118th ed., 1996, U.S. Department of Commerce, Bureau of the Census, 468. UNEMPLOY (a) Rappresentate i dati in un opportuno grafico. (b) Calcolate le medie mobili di ampiezza pari a 3 anni e rappresentatene la serie sullo stesso grafico. (c) Applicate un livellamento esponenziale con fattore di smorzamento W 0.5 e aggiungete la serie smussata al grafico precedente (d) Sulla base di quanto ottenuto al punto (c), fate una previsione per il 1997. (e) Applicate ora un livellamento esponenziale con fattore di smorzamento W 0.25 e aggiungete la serie smussata al grafico precedente. (f ) Sulla base di quanto ottenuto al punto (e), fate una previsione per il 1997. (g) Confrontate i risultati ottenuti ai punti (d) e (f). (h) Quali conclusioni potete trarre in relazione all andamento del reddito mediano statunitense, sia complessivo che disaggregato rispetto ai tre gruppi dominanti? 11.7 I seguenti dati rappresentano il tasso di disoccupazione in sette paesi europei negli anni compresi fra il 1985 e il 1996. Tasso di disoccupazione (1985-1997) GRAN ANNO BELGIO DENIMARCA FRANCIA ITALIA NETHERLANDS PORTOGALLO BRETAGNA 1985 10.3 7.1 10.2 8.5 8.3 8.7 11.5 1986 10.3 5.4 10.3 9.2 8.3 8.4 11.5 1987 10.0 5.4 10.4 9.9 8.0 6.9 10.6 1988 8.9 6.1 9.9 10.0 7.5 5.5 8.7 1989 7.5 7.4 9.4 10.0 6.9 4.9 7.3 1990 6.7 7.7 9.0 9.1 6.2 4.6 7.0 1991 6.6 8.4 9.5 8.8 5.8 4.0 8.8 (Continua) LIVELLAMENTO DI UNA SERIE STORICA ANNUALE 69

levine11_57-116 3-04-2002 8:27 Pagina 70 Tasso di disoccupazione (1985-1997) (seguito) GRAN ANNO BELGIO DENIMARCA FRANCIA ITALIA NETHERLANDS PORTOGALLO BRETAGNA 1992 7.3 9.2 10.4 9.0 5.6 4.2 10.1 1993 8.9 10.1 11.7 10.3 6.6 5.7 10.4 1994 10.0 8.2 12.3 11.4 7.2 7.0 9.6 1995 a 9.9 6.8 11.5 11.8 7.3 7.2 8.8 1996 a 10.1 6.1 11.7 11.8 7.2 7.4 8.4 1997 a 9.8 5.8 11.7 11.7 7.0 7.2 8.0 a Initial, unrevised estimates. Fonte: Extracted from Table 3 of European Commission s Panorama of EU Industry 97 1 (1997): 22. BALPAY (a) Rappresentate i dati in un opportuno grafico. (b) Calcolate le medie mobili di ampiezza pari a 3 anni e rappresentatene la serie sullo stesso grafico. (c) Applicate un livellamento esponenziale con fattore di smorzamento W = 0.5 e aggiungete la serie smussata al grafico precedente. (d) Sulla base di quanto ottenuto al punto (c), fate una previsione per il 1998. (e) Applicate ora un livellamento esponenziale con fattore di smorzamento W = 0.25 e aggiungete la serie smussata al grafico precedente. (f ) Sulla base di quanto ottenuto al punto (e), fate una previsione per il 1998. (g) Confrontate i risultati ottenuti ai punti (d) e (f). (h) Cosa potete dire sull andamento del tasso di disoccupazione in questi sette paesi? 11.8 I seguenti dati riguardano il New Mexico e rappresentano il valore della bilancia dei pagamenti (differenza fra le spese federali pro capite e le tasse federali pro capite) negli ani compresi fra il 1981 e il 1995. Bilancia dei pagamenti pro capite nel New Mexico (1981-1995) BILANCIA SPESE TASSE DEI PAGAMENTI FEDERALI FEDERALI ANNO FISCALE PRO CAPITE PRO CAPITE PRO CAPITE 1981 2961 6212 3251 1982 2913 5983 3069 1983 2426 5853 3427 1984 2881 6309 3428 1985 2919 6414 3495 1986 3218 6670 3452 1987 3322 6635 3313 1988 4336 7461 3125 1989 3496 6578 3083 1990 3545 6653 3108 1991 3462 6739 3277 1992 3632 7079 3447 1993 3709 7272 3563 1994 3343 6915 3572 1995 3300 6935 3635 Fonte: D.P. Moynihan, M.E. Friar, H.B. Leonard, and J.H. Walder, The Federal Budget and the States: Fiscal Year 1995, jointly published by the John F. Kennedy School of Government, Harvard University, and the Office of Senator Daniel Patrick Moynihan, September 30, 1996, 73. 70 CAPITOLO 11 ANALISI DELLE SERIE STORICHE

levine11_57-116 3-04-2002 8:27 Pagina 71 11.4 (a) Rappresentate i dati in un opportuno grafico. (b) Calcolate le medie mobili di ampiezza pari a 3 anni e rappresentatene la serie sullo stesso grafico. (c) Applicate un livellamento esponenziale con fattore di smorzamento W 0.5 e aggiungete la serie smussata al grafico precedente (d) Sulla base di quanto ottenuto al punto (c), fate una previsione per il 1996. (e) Applicate ora un livellamento esponenziale con fattore di smorzamento W = 0.25 e aggiungete la serie smussata al grafico precedente. (f ) Sulla base di quanto ottenuto al punto (e), fate una previsione per il 1996. (g) Confrontate i risultati ottenuti ai punti (d) e (f). (h) Cosa potete dire sull andamento delle spese federali, delle entrate federali e della bilancia dei pagamenti in questo stato americano? IL METODO DEI MINIMI QUADRATI E LA PREVISIONE In una serie storica il trend è sicuramente la componente oggetto di maggiore attenzione da parte degli analisti. Lo studio del trend ci consente di effettuare previsioni sull andamento della serie nel medio e nel lungo periodo; ma anche, una volta eliminata la sua influenza sulla serie, di fare previsioni di breve periodo sull andamento ciclico generale del mercato. Come si è già accennato in precedenza, è estremamente importante, prima di effettuare l analisi vera e propria della serie storica, farsi un idea generale dell andamento della serie con l ausilio di rappresentazioni grafiche come quelle già presentate nelle pagine precedenti (Figura 11.1). In ogni caso, se la serie manifesta tendenze di lungo periodo, siano esse di tipo lineare piuttosto che non lineare, ha senso valutare un trend attraverso il noto metodo dei minimi quadrati (paragrafi 9.2 e 10.6). Il trend lineare Si è già visto nel paragrafo 9.2 come il metodo dei minimi quadrati possa essere adottato per individuare una retta del tipo: Ŷ i b 0 b 1 X i (11.5) dove Y rappresenta la variabile dipendente del modello e X la variabile indipendente in modo che i due coefficienti b 0 e b 1 siano tali da minimizzare la somma delle differenze al quadrato fra il valore osservato della serie e il valore dell interpolante stessa: n (Y i Ŷ i ) 2 minimo i 1 Si è inoltre osservato che l equazione (11.5) può essere utilizzata per effettuare una previsione dei valori della variabile dipendente Y in corrispondenza di valori della X non osservati, semplicemente sostituendo a X il valore in corrispondenza del quale si vuole prevedere la Y. Quando applichiamo il metodo dei minimi quadrati al problema di determinazione del trend di una serie storica, la variabile indipendente è il tempo, con la convenzione di far partire l asse delle ascisse (l asse dei tempi in questo caso) dal primo periodo per il quale sono disponibili i dati e quindi di considerare il primo anno o il primo trimestre o il primo mese come il periodo zero (X = 0). Se ad esempio stiamo lavorando con una serie di 24 anni, al primo verrà assegnato il valore 0, al secondo il valore 1 e così via fino al ventiquattresimo anno a cui sarà assegnato il valore 23. Come esempio riprendiamo la serie storica rappresentata nella Tabella 11.5 e nella IL METODO DEI MINIMI QUADRATI E LA PREVISIONE 71

levine11_57-116 3-04-2002 8:27 Pagina 72 Figura 11.1 e relativa alle entrate lorde (in milioni di dollari correnti) della società Eastman Kodak nei 24 anni compresi fra il 1975 e il 1998. Prima di effettuare l analisi si presenta il problema, tipico delle serie storiche di prezzi, di trasformare i prezzi correnti in prezzi reali (costanti). Ciascun valore corrente è stato quindi rapportato all indice dei prezzi al consumo (CPI) e moltiplicato per 100. I risultati sono stati riportati nella Tabella 11.6 e nella Figura 11.5. Una volta codificati i valori della variabile X da 0 a 23 è possibile ottenere facilmente l espressione della retta interpolante (trend) utilizzando il software Excel: Ŷ i 10.8654 0.02506X i dove l origine è rappresentata dall anno 1975 e le unità della variabile X sono di un anno. Nella Figura 11.6 è riportato l output Excel della regressione. EASTMANK Tabella 11.5 Entrate lorde (in milioni di dollari correnti) della società Eastman Kodak (1975-1998) ANNO VENDITE ANNO VENDITE ANNO VENDITE ANNO VENDITE 1975 5.0 1981 10.3 1987 13.3 1993 16.3 1976 5.4 1982 10.8 1988 17.0 1994 13.7 1977 6.0 1983 10.2 1989 18.4 1995 15.3 1978 7.0 1984 10.6 1990 18.9 1996 16.2 1979 8.0 1985 10.6 1991 19.4 1997 14.5 1980 9.7 1986 11.5 1992 20.2 1998 13.4 Fonte: Moody s Handbook of Common Stocks, 1980, 1989, 1993, 1996, 1998. Reprinted by permission of Financial Information Services, a division of Financial Communications Company, Inc. Tabella 11.6 Dalle entrate a prezzi correnti alle entrate a prezzi costanti (riferimento biennio 1982-1984) Fonte: Bureau of Labor Statistics, U.S. Department of Labor, and Moody s Handbook of Common Stocks, 1980, 1989, 1993, 1996, 1998. Reprinted by permission of Financial Information Services, a division of Financial Communications Company, Inc. 72 CAPITOLO 11 ANALISI DELLE SERIE STORICHE

levine11_57-116 3-04-2002 8:27 Pagina 73 Vediamo ora l interpretazione dei coefficienti della retta di regressione stimata: L intercetta b 0 10.8654 rappresenta il valore del trend nell anno base, vale a dire le entrate lorde (a prezzi costanti 1982-84) della società Eastman Kodak nell anno 1975. L inclinazione b 1 0.02506 rappresenta l aumento annuo previsto (in milioni di dollari) nelle entrate lorde della società. Una volta individuato il trend, se vogliamo effettuare una previsione delle entrate per il 1999, è sufficiente sostituire nell equazione della retta a minimi quadrati al posto della X il valore corrispondente all anno 1999 (X 25 24). Di conseguenza la nostra previsione sarà: 1999: Ŷ 25 10.8654 (0.02506)(24) 11.47 milioni di dollari costanti 1982-1984 Nonostante il trend riveli un notevole incremento di lungo periodo della serie considerata, esaminando la Figura 11.7 notiamo che i dati tendono ad allontanarsi in misura molto significativa dal trend. Nasce quindi il sospetto che l andamento generale della serie possa essere colto meglio con un trend di tipo non lineare. Vediamo ora a confronto due modelli: il primo adatta alla serie un trend quadratico, il secondo un trend esponenziale. FIGURA 11.5 Rappresentazione in un grafico a dispersione sovrapposto delle due serie relative alle entrate della Eastman Kodak a prezzi reali e a prezzi costanti. Grafico realizzato in Microsoft Excel. FIGURA 11.6 Output di Excel del modello di regressione lineare per la determinazione del trend. Fonte: dati della Tabella 11.6. b 1 b 0 IL METODO DEI MINIMI QUADRATI E LA PREVISIONE 73

levine11_57-116 3-04-2002 8:27 Pagina 74 FIGURA 11.7 Interpolazione della serie delle entrate della Eastman Kodak con un trend lineare. Fonte: dati della Tabella 11.6. Il trend quadratico Il modello quadratico (basato su un polinomio di secondo grado) è il più semplice fra i modelli non lineari. Il trend quadratico si ottiene applicando il metodo dei minimi quadrati introdotto nel paragrafo 10.6: Il trend quadratico Dove: Ŷ i b 0 b 1 X i b 2 X 2 i (11.6) b 0 intercetta stimata di Y b 1 effetto lineare stimato della variabile X sulla variabile Y b 2 effetto non lineare stimato della variabile X sulla variabile Y Ancora una volta possiamo utilizzare Microsoft Excel per i calcoli necessari alla determinazione del trend quadratico. Nella Figura 11.8 è riportato l output Excel della regressione quadratica relativa alle entrate lorde annuali (a prezzi costanti) della Eastman Kodak. Come possiamo leggere dalla tabella Excel, si ottiene: Ŷ i 8.5284 0.6624X i 0.0277X 2 i dove l origine è rappresentata dal 1975 e l unità di misura della variabile X è l anno. L equazione del trend quadratico può essere utilizzata a scopi previsivi, semplicemente sostituendo il valore di X assegnato all anno per il quale interessa una previsione della serie e calcolando il corrispondente valore di Ŷ. Per esempio, se vogliamo prevedere le entrate della Eastman Kodak per il 1999 (X 25 24), abbiamo: 1999: Ŷ 25 8.5284 0.6624(24) 0.0277(24) 2 8.47 milioni di dollari Nella Figura 11.9 sono rappresentati la serie delle entrate della società insieme con il trend quadratico. Il modello quadratico sembra in grado di interpolare la serie meglio di quanto non faccia quello lineare. 74 CAPITOLO 11 ANALISI DELLE SERIE STORICHE

levine11_57-116 3-04-2002 8:27 Pagina 75 FIGURA 11.8 Output Excel del modello di regressione quadratica per la determinazione del trend. Fonte: dati della Tabella 11.6. b 0 b 1 b 2 FIGURA 11.9 Interpolazione della serie delle entrate della Eastman Kodak con un trend quadratico. Il trend esponenziale Nel caso in cui i valori di una serie sembrano aumentare a un tasso crescente, in modo tale che la differenza percentuale fra le osservazioni sia costante nel tempo, si rivela utile applicare un modello esponenziale come quello presentato nell equazione (11.7). Il modello esponenziale dove Ŷ i b 0 b X i 1 b 0 intercetta stimata di Y (b 1 1) 100% stima del tasso di crescita annuale composto (11.7) L equazione (11.7) con una semplice trasformazione logaritmica assume la forma analitica data dall equazione (11.8): Il modello esponenziale logŷ i log b 0 X i log b 1 (11.8) IL METODO DEI MINIMI QUADRATI E LA PREVISIONE 75

levine11_57-116 3-04-2002 8:27 Pagina 76 FIGURA 11.10 Output Excel del modello di regressione esponenziale per la determinazione del trend. Fonte: dati della Tabella 11.6. Osserviamo che l equazione (11.8) è in forma lineare. Di conseguenza è possibile applicare il metodo dei minimi quadrati alla variabile log Y i e quindi ottenere la stima dell inclinazione (log b 1 ) e dell intercetta (log b 0 ). I calcoli saranno effettuati ancora una volta con l ausilio del software Excel. Nella Figura 11.10 è rappresentato l output del modello esponenziale relativo alle entrate della Eastman Kodak. Si è quindi ottenuto il seguente risultato: log Ŷ i 1.03508 0.0005565X i Dove l anno iniziale è il 1975 e l unità di misura dell asse delle ascisse è l anno. I valori di b 0 e b 1 si ottengono calcolando l antilogaritmo dei coefficienti stimati della regressione: b 0 antilog 1.03508 10.8413 b 1 antilog 0.0005565 1.00128 Quindi il trend esponenziale stimato è dato da: X Ŷ (10.8413)(1.00128) i i Dove l anno iniziale è sempre il 1975 e l unità dell asse delle ascisse è l anno. L intercetta b 0 10.8413 rappresenta il valore stimato del trend nell anno iniziale (1975); mentre il valore (b 1 1)*100% = 0.128% rappresenta la stima del tasso di crescita annuale composto nella serie delle entrate della Eastman Kodak. Analogamente a quanto visto nell applicazione dei modelli precedenti, anche nel caso del modello esponenziale per ottenere la previsione della serie in un istante futuro è sufficiente sostituire il valore di X assegnato all anno in una delle equazioni (11.7) o (11.8) e calcolare il corrispondente valore della serie stimata Ŷ. Per esempio, se vogliamo prevedere le entrate per il 1999 (X 25 = 24) dobbiamo effettuare i seguenti passaggi algebrici: 1999: log Ŷ 25 1.03508 (0.0005565)(24) 1.0484 Ŷ 25 antilog (1.0484) 11.18 milioni di dollari o 1999: Ŷ 25 (10.8413)(1.00128) 24 11.18 milioni di dollari Il trend esponenziale stimato è stato rappresentato nella Figura 11.11 insieme con la serie originaria. Possiamo osservare che fra i tre modelli considerati il modello esponenziale si rivela il meno adeguato a rappresentare l andamento della serie. b 0 b 1 76 CAPITOLO 11 ANALISI DELLE SERIE STORICHE

levine11_57-116 3-04-2002 8:27 Pagina 77 FIGURA 11.11 Interpolazione della serie delle entrate della Eastman Kodak con un trend esponenziale. Scelta del modello attraverso lo strumento delle differenze prime, delle differenze seconde e delle differenze percentuali Nelle pagine precedenti abbiamo cercato di interpolare una serie storica (la serie delle entrate della Eastman Kodak) con tre tipi di trend: lineare, quadratico ed esponenziale. Se vogliamo individuare il modello migliore per i nostri dati possiamo considerare il grafico dal quale scaturisce un idea d insieme della capacità del modello di spiegare i dati. Esistono anche tecniche più rigorose, basate sul calcolo e sull analisi delle differenze prime, seconde e percentuali fra i valori della serie. Per comprendere il significato di questo metodo di indagine, è utile riassumere alcune proprietà dei trend analizzati. Riquadro 11.1 Scelta del modello attraverso le differenze prime, seconde e percentuali Quando le osservazioni sono interpolate perfettamente da un trend lineare, le differenze prime fra i valori della serie sono costanti. Cioè: (Y 2 Y 1 ) (Y 3 Y 2 ) (Y n Y n 1 ) Quando le osservazioni sono interpolate perfettamente da un trend quadratico, le differenze seconde fra i valori della serie sono costanti. Cioè: [(Y 3 Y 2 ) (Y 2 Y 1 )] [(Y 4 Y 3 ) (Y 3 Y 2 )] [(Y n Y n 1 ) (Y n 1 Y n 2 )] Quando le osservazioni sono interpolate perfettamente da un trend esponenziale, le differenze percentuali fra i valori della serie sono costanti. Cioè: Y 2 Y 1 Y 1 100% Y 3 Y 2 Y 2 100% Y n Y n 1 Y n 1 100% Anche se non dobbiamo attenderci che uno dei trend analizzati si adatti perfettamente alla serie, le differenze prime, seconde e percentuali possono rivelarsi un utile strumento IL METODO DEI MINIMI QUADRATI E LA PREVISIONE 77

levine11_57-116 3-04-2002 8:27 Pagina 78 per scegliere il modello appropriato a un insieme di dati. Negli esempi 11.2, 11.3 e 11.4 saranno illustrati dei casi in cui uno dei trend proposto nelle pagine precedenti si adatta perfettamente alle osservazioni. Esempio 11.2 Un modello lineare con perfetto adattamento I seguenti dati rappresentano il numero di passeggeri (in milioni) che annualmente si servono di una compagnia aerea. ANNO 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 Passeggeri 30.0 33.0 36.0 39.0 42.0 45.0 48.0 51.0 54.0 57.0 Mostrate, con il metodo delle differenze prime, che il trend lineare fornisce una perfetta interpolazione della serie. SOLUZIONE ANNO 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 Passeggeri 30.0 33.0 36.0 39.0 42.0 45.0 48.0 51.0 54.0 57.0 Differenze prime 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 Osserviamo che le differenze fra valori consecutivi della serie sono costanti. Esempio 11.3 Un modello quadratico con perfetto adattamento I seguenti dati rappresentano il numero di passeggeri (in milioni) che annualmente si servono di una compagnia aerea. ANNO 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 Passeggeri 30.0 31.0 33.5 37.5 43.0 50.0 58.5 68.5 80.0 93.0 Mostrate, con il metodo delle differenze seconde, che il trend quadratico fornisce una perfetta interpolazione della serie. SOLUZIONE ANNO 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 Passeggeri 30.0 31.0 33.5 37.5 43.0 50.0 58.5 68.5 80.0 93.0 Differenze prime 1.0 2.5 4.0 5.5 7.0 8.5 10.0 11.5 13.0 Differenze seconde 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 Osserviamo che le differenze seconde fra i valori della serie sono costanti. 78 CAPITOLO 11 ANALISI DELLE SERIE STORICHE

levine11_57-116 3-04-2002 8:27 Pagina 79 Esempio 11.4 Un modello esponenziale con perfetto adattamento I seguenti dati rappresentano il numero di passeggeri (in milioni) che annualmente si servono di una compagnia aerea. ANNO 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 Passeggeri 30.0 31.5 33.1 34.8 36.5 38.3 40.2 42.2 44.3 46.5 Mostrate, con il metodo delle differenze percentuali, che il trend esponenziali fornisce una perfetta interpolazione della serie. SOLUZIONE ANNO 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 Passeggeri 30.0 31.5 33.1 34.8 36.5 38.3 40.2 42.2 44.3 46.5 Differenze prime 1.5 1.6 1.7 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 Differenze percentuali 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 Osserviamo che le differenze percentuali fra valori consecutivi della serie sono costanti. Tabella 11.7 Nella Tabella 11.7 sono rappresentate le differenze prime, seconde e percentuali relative alla serie delle entrate lorde della società Eastman Kodak. Osservando la tabella possiamo notare che nessuno dei tre modelli confrontati fornisce una perfetta interpolazione delle osservazioni. Tuttavia il trend quadratico sembra da preferire in quanto la serie delle differenze seconde manifesta un andamento più erratico e Confronto fra le differenze prime, seconde e percentuali relative alle entrate lorde (in miliardi di dollari a prezzi costanti 1982-84) della Eastman Kodak ENTRATE ENTRATE (IN MILIARDI DIFFERENZE DIFFERENZE DIFFERENZE (IN MILIARDI DIFFERENZE DIFFERENZEDIFFERENZE ANNO DI DOLLARI) PRIME SECONDE PERCENTUALI ANNO DI DOLLARI) PRIME SECONDE PERCENTUALI 1975 9.3 1987 11.7 1.2 0.6 11.4 1976 9.5 0.2 2.2 1988 14.4 2.7 1.5 23.1 1977 9.9 0.4 0.2 4.2 1989 14.8 0.4 2.3 2.8 1978 10.7 0.8 0.4 8.1 1990 14.5 0.3 0.7 2.0 1979 11.0 0.3 0.5 2.8 1991 14.2 0.3 0.0 2.1 1980 11.8 0.8 0.5 7.3 1992 14.4 0.2 0.5 1.4 1981 11.3 0.5 1.3 4.2 1993 11.3 3.1 3.3 21.5 1982 11.2 0.1 0.4 0.9 1994 9.2 2.1 1.0 18.6 1983 10.2 1.0 0.9 8.9 1995 10.0 0.8 2.9 8.7 1984 10.2 0.0 1.0 0.0 1996 10.3 0.3 0.5 3.0 1985 9.9 0.3 0.3 2.9 1997 9.0 1.3 1.6 12.6 1986 10.5 0.6 0.9 6.1 1998 8.2 0.8 0.5 8.9 Fonte: Tabella 11.6 di pagina 72. IL METODO DEI MINIMI QUADRATI E LA PREVISIONE 79

levine11_57-116 3-04-2002 8:27 Pagina 80 Esercizi del paragrafo 11.4 CPI-2 sembra fluttuare più casualmente al di sotto e al di sopra dell origine rispetto alle serie delle differenze prime e percentuali. 11.9 Supponete di applicare il metodo dei minimi quadrati per individuare il trend di una serie annuale contenente 25 osservazioni. (a) Quale valore deve essere assegnato a X in corrispondenza del primo anno della serie? (b) Quale valore deve essere assegnato a X in corrispondenza del quinto anno della serie? (c) Quale valore deve essere assegnato a X in corrispondenza dell ultimo anno della serie? (d) Quale valore deve essere assegnato a X per effettuare una previsione a 5 anni della serie? 11.10 Supponete che una serie contenente 20 osservazioni (dal 1980 al 1999): sia caratterizzata dal trend lineare Ŷ i 4.0 1.5X i. (a) Interpretate il significato dell intercetta b 0. (b) Interpretate il significato dell inclinazione b 1. (c) Calcolate il valore del trend corrispondente al quinto anno di osservazione dei dati. (d) Calcolate il valore del trend corrispondente all ultimo anno di osservazione dei dati. (e) Sulla base del modello proposto, qual è la previsione per i tre anni successivi al periodo di osservazione dei dati? 11.11 I seguenti dati rappresentano i valori di un indice dei prezzi al consumo (CPI) registrati negli Stati Uniti nei 34 anni compresi tra il 1965 e il 1998 (il periodo base è il 1982-84). L indice misura la variazione media dei prezzi di un paniere di beni e servizi acquistati da una vasta gamma di consumatori. Indice dei prezzi al consumo ANNO CPI ANNO CPI ANNO CPI 1965 31.5 1977 60.6 1989 124.0 1966 32.4 1978 65.2 1990 130.7 1967 33.4 1979 72.6 1991 136.2 1968 34.8 1980 82.4 1992 140.3 1969 36.7 1981 90.9 1993 144.5 1970 38.8 1982 96.5 1994 148.2 1971 40.5 1983 99.6 1995 152.4 1972 41.8 1984 103.9 1996 156.9 1973 44.4 1985 107.6 1997 160.5 1974 49.3 1986 109.6 1998 163.0 1975 53.8 1987 113.6 1976 56.9 1988 118.3 Fonte: Bureau of Labor Statistics, U.S. Department of Labor. GDP (a) Rappresentate i dati in un opportuno grafico. (b) Descrivete i movimenti della serie nei 34 anni considerati. 11.12 Il prodotto interno lordo (GDP) costituisce uno dei più importanti indicatori del benessere economico di un Paese e riassume le spese per il consumo individuale, gli investimenti privati, le esportazioni nette di beni e di servizi e le spese di governo. Nella seguente tabella sono rappresentati i valori del prodotto interno lordo americano registrati nel periodo di 17 anni fra il 1982 e il 1998. 80 CAPITOLO 11 ANALISI DELLE SERIE STORICHE

levine11_57-116 3-04-2002 8:27 Pagina 81 Prodotto interno lordo (GDP) in dollari costanti. Periodo 1982-1998 ANNO GDP REALE ANNO GDP REALE ANNO GDP REALE 1982 4620.3 1988 5865,2 1994 6608.4 1983 4803.7 1989 6062.0 1995 6742.2 1984 5140.1 1990 6136.3 1996 6906.8 1985 5323.5 1991 6079.4 1997 6928.4 1986 5487.7 1992 6244.4 1998 7188.4 1987 5649.5 1993 6386.1 Fonte: U.S. Bureau of Economic Analysis see Statistical Abstract of the United States, 118th ed., 1999, Bureau of the Census, U.S. Department of Commerce, 715. FEDRECPT (a) Rappresentate i dati in un opportuno grafico. (b) Adattate alla serie un trend lineare e riportatelo sul grafico. (c) Quali sono le vostre previsioni del GDP americano per gli anni 1999 e 2000? (d) Cosa potete dire in generale sull andamento della serie analizzata? 11.13 Nella seguente tabella sono riportate le entrate federali americane (tasse sul reddito, tasse sulle successioni e donazioni, imposte sul consumo, ) a prezzi correnti, registrate nel periodo compreso fra il 1978 e il 1998. Entrate federali americane a prezzi correnti. Periodo 1982-1998 ANNO ENTRATE ANNO ENTRATE ANNO ENTRATE 1978 399.6 1985 734.2 1992 1091.3 1979 463.3 1986 769.3 1993 1154.4 1980 517.1 1987 854.4 1994 1258.6 1981 599.3 1988 909.3 1995 1351.8 1982 617.8 1989 991.2 1996 1453.1 1983 600.6 1990 1032.0 1997 1579.3 1984 666.5 1991 1055.0 1998 a 1657.9 a Stima preliminare. Fonte: U.S. Office of Management and Budget see Statistical Abstract of the United States, 118th ed., 1998, Bureau of the Census, U.S. Department of Commerce, 339. JPMORGAN (a) Costruite la serie delle entrate a prezzi costanti dividendo ciascun valore della tabella per il corrispondente valore dell indice dei prezzi al consumo (Esercizio 11.11) e moltiplicando il risultato per 100. (b) Rappresentate la serie delle entrate a prezzi correnti in un opportuno grafico. (c) Adattate alla serie un trend lineare e riportatelo sul grafico. (d) Quali sono le vostre previsioni per gli anni 1999 e 2000? (e) Ripetete i punti (a)-(d) sulla serie delle entrate a prezzi costanti e confrontate i risultati. 11.14 Nella seguente tabella sono riportati i depositi totali (in milioni di dollari) di una delle più grandi banche americane, la J. P. Morgan, nei 19 anni compresi fra il 1979 e il 1997. Depositi totali (in milioni di dollari) della J. P. Morgan. Periodo 1979-1997 ANNO DEPOSITI ANNO DEPOSITI 1979 30 279 1989 39 158 1980 35 594 1990 37 557 1981 36 024 1991 36 976 (Continua) IL METODO DEI MINIMI QUADRATI E LA PREVISIONE 81

levine11_57-116 3-04-2002 8:27 Pagina 82 Depositi totali (in milioni di dollari) della J. P. Morgan. Periodo 1979-1997 (seguito) ANNO DEPOSITI ANNO DEPOSITI COCACOLA 1982 37 910 1992 32 519 1983 38 070 1993 40 402 1984 38 760 1994 43 085 1985 39 845 1995 46 438 1986 42 960 1996 52 724 1987 43 987 1997 58 879 1988 42 469 Fonte: Moody s Handbook of Common Stocks, 1989, 1998. (a) Rappresentate i dati in un opportuno grafico. (b) Adattate alla serie un trend lineare e riportatelo sul grafico. (c) Adattate alla serie un trend quadratico e riportatelo sul grafico. (d) Adattate alla serie un trend esponenziale e riportatelo sul grafico. (e) Quale fra i modelli applicati vi sembra il più appropriato a rappresentare l andamento dei dati? (f) Usando il modello che ritenete più appropriato, prevedete il valore dei depositi della banca per il 1998. 11.15 Nella seguente tabella sono riportate le entrate a prezzi correnti della società Coca-Cola nei 24 anni compresi fra il 1975 e il 1998. Entrate a prezzi costanti della società Coca-Cola. Periodo 1975-1998 ANNO ENTRATE ANNO ENTRATE ANNO ENTRATE 1975 2.9 1983 6.6 1991 11.6 1976 3.1 1984 7.2 1992 13.0 1977 3.6 1985 7.9 1993 14.0 1978 4.3 1986 7.0 1994 16.2 1979 4.5 1987 7.7 1995 18.0 1980 5.3 1988 8.3 1996 18.5 1981 5.5 1989 9.0 1997 18.9 1982 5.9 1990 10.2 1998 18.8 Fonte: Moody s Handbook of Common Stocks, 1980, 1989, 1993, 1997. Reprinted by permission of Financial Information Services, a division of Financial Communications Company, Inc. and Standard and Poor s Corp., New York: McGraw-Hill, Inc., April, 1999. (a) Rappresentate i dati in un opportuno grafico. (b) Adattate alla serie un trend quadratico e riportatelo sul grafico. (c) Quali sono le vostre previsioni per il 1999 e il 2000? (d) Costruite la serie delle entrate a prezzi costanti dividendo ciascun valore della tabella per il corrispondente valore dell indice dei prezzi al consumo (Esercizio 11.11) e moltiplicando il risultato per 100. (e) Rappresentate in un grafico la nuova serie. (f ) Adattate alla serie delle entrate a prezzi costanti un trend lineare e riportatelo sul grafico. (g) Adattate alla serie un trend quadratico e riportatelo sul grafico. (h) Adattate alla serie un trend esponenziale e riportatelo sul grafico. 82 CAPITOLO 11 ANALISI DELLE SERIE STORICHE

levine11_57-116 3-04-2002 8:27 Pagina 83 DJIA (i) Usando il modello che ritenete più appropriato, prevedete il valore delle entrate a prezzi costanti per gli anni 1999-2000. (j) Confrontate tale previsione con quella ottenuta nel punto (c). (k) Cosa potete concludere circa l andamento delle due serie analizzate? 11.16 I dati della seguente tabella rappresentano i valori di chiusura dell indice Dow Jones Industrial Average (DJIA) nei 20 anni compresi fra il 1979 e il 1998. Valori di chiusura dell indice DJIA (Dow Jones Industrial Average). Periodo 1979-1998 ANNO DJIA ANNO DJIA 1979 0838.7 1989 2753.2 1980 0,0964.0 1990 2633.7 1981 0,0875.0 1991 3168.8 1982 1046.5 1992 3301.1 1983 1258.6 1993 3754.1 1984 1211.6 1994 3834.4 1985 1546.7 1995 5117.1 1986 01896.0 1996 6448.3 1987 1938.8 1997 7908.3 1988 2168.6 1998 9181.4 Fonte: Yahoo.com, June 16, 1999. Reprinted by permission of TIBCO Software. TSMODEL1 (a) Rappresentate i dati in un opportuno grafico. (b) Adattate alla serie un trend lineare e riportatelo sul grafico. (c) Adattate alla serie un trend quadratico e riportatelo sul grafico. (d) Adattate alla serie un trend esponenziale e riportatelo sul grafico. (e) Quale fra i modelli applicati vi sembra il più appropriato a rappresentare l andamento dei dati? (f) Usando il modello che ritenete più appropriato, prevedete il valore dell indice per il 1999. 11.17 Applicando a ciascuna delle serie riportate nella tabella il metodo di scelta del modello basato sulle differenze prime, seconde e percentuali, ANNO 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 Serie storica I 10.0 15.1 24.0 36.7 53.8 74.8 100.0 129.2 162.4 199.0 Serie storica II 30.0 33.1 36.4 39.9 43.9 48.2 53.2 58.2 64.5 70.7 Serie storica III 60.0 67.9 76.1 84.0 92.2 100.0 108.0 115.8 124.1 132.0 (a) Determinate il modello più appropriato a rappresentare l andamento dei dati (b) Calcolate i coefficienti della corrispondente equazione. (c) Prevedete il valore della serie per l anno 2000. 11.18 Per ciascuna delle tre serie riportate nella tabella, ANNO 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 Serie storica I 100.0 115.2 130.1 144.9 160.0 175.0 189.8 204.9 219.8 235.0 Serie storica II 100.0 115.2 131.7 150.8 174.1 200.0 230.8 266.1 305.5 351.8 (a) Rappresentate in due differenti grafici la serie dei dati e il suo logaritmo e confrontate, sulla base del risultato grafico, la bontà dei modelli lineare ed esponenziale. IL METODO DEI MINIMI QUADRATI E LA PREVISIONE 83

levine11_57-116 3-04-2002 8:27 Pagina 84 GROSSREV (b) Determinate l equazione del trend che avete scelto per rappresentare i dati. (c) Prevedete il valore della serie per l anno 2000. 11.19 Nella seguente tabella sono rappresentati i dati relativi alle entrate lorde (a prezzi costanti del 1995) di una società, nel periodo compreso fra il 1984 e il 1987. Entrate annuali lorde a prezzi costanti ANNO ENTRATE ANNO ENTRATE 1984 13.0 1991 26.2 1985 14.1 1992 29.0 1986 15.7 1993 32.8 1987 17.0 1994 36.5 1988 18.4 1995 41.0 1989 20.9 1996 45.4 1990 23.5 1997 50.8 11.5 1 Occorre osservare che il livellamento esponenziale (paragrafo 11.3) e i modelli autoregressivi sono dei casi particolari dei modelli ARIMA (modelli autoregressivi integrati a media mobile) sviluppati da Box and Jenkins (op. cit. 3). (a) Scegliete il modello che secondo voi rappresenta le osservazioni in modo ottimale, basandovi sul metodo delle differenze prime, seconde e percentuali. (b) Fornite l equazione del trend corrispondente. (c) Prevedete il valore del trend per l anno 2000. MODELLI AUTOREGRESSIVI PER LA DETERMINAZIONE DEL TREND E PER LA PREVISIONE I modelli autoregressivi 1 rappresentano uno strumento molto utile per affrontare il problema della previsione in relazione a una serie storica annuale. Spesso si osserva una forte correlazione fra valori consecutivi di una serie; si parla in questo caso di autocorrelazione, del primo ordine quando si considerano valori adiacenti, del secondo ordine se ci si riferisce alla relazione che intercorre tra i valori della serie a distanza di due periodi e, in generale, del p-esimo ordine se i valori considerati distano fra loro p periodi. I modelli autoregressivi consentono appunto di sfruttare questi legami di dipendenza per ottenere utili previsioni del comportamento futuro della serie. Nelle equazioni (11.9), (11.10) e (11.11) sono rappresentati tre importanti modelli autoregressivi: Modello autoregressivo del primo ordine Y i A 0 A 1 Y i 1 i (11.9) Modello autoregressivo del secondo ordine Y i A 0 A 1 Y i 1 A 2 Y i 2 i (11.10) Modello autoregressivo del p-esimo ordine dove Y i A 0 A 1 Y i 1 A 2 Y i 2 A p Y i p i Y i valore osservato della serie al tempo i (11.11) 84 CAPITOLO 11 ANALISI DELLE SERIE STORICHE

levine11_57-116 3-04-2002 8:27 Pagina 85 Osserviamo che la forma del modello autoregressivo del primo ordine (equazione 11.9) è del tutto simile a quella del modello di regressione lineare semplice (equazione 9.1), così come il modello auto regressivo del p-esimo ordine (equazione 11.11) può essere visto come un modello di regressione multipla (equazione 10.1). In questo contesto i parametri sono stati chiamati A 0, A 1,., A p e le relative stime saranno indicate con le corrispondenti lettere minuscole a 0, a 1,, a p. Scegliere fra modelli autoregressivi di diverso ordine significa stabilire l ampiezza delle relazioni fra osservazioni ritardate con cui si intende lavorare. Il modello autoregressivo del primo ordine coinvolge solo le relazioni fra variabili consecutive della serie storica, nel modello autoregressivo del secondo ordine oltre alle relazioni fra osservazioni consecutive si tiene conto anche dei legami fra osservazioni ritardate di due periodi, e così via fino al modello autoregressivo del p-esimo ordine che coinvolge tutte le relazioni fra variabili che distano 1, 2,.., p periodi. La scelta non è quindi facile; esiste inoltre un trade-off fra la semplicità dei modelli di ordine più basso e l eventuale maggior capacità esplicativa di quelli di ordine superiore. Occorre inoltre tenere conto della lunghezza della serie (n) rispetto alla quale p, l ordine del modello, non deve essere eccessivamente elevato. Con l aiuto dei seguenti esempi sarà infatti chiaro che nella stima di A p, il coefficiente della p-esima variabile autoregressiva, il numero di osservazioni che entrano in gioco è n p. Esempio 11.5 Schema dei confronti in un modello autoregressivo del primo ordine Data la seguente serie composta da n = 7 valori annuali consecutivi: ANNO 1 2 3 4 5 6 7 Serie 31 34 37 35 36 43 40 Mostrate i confronti fra osservazioni che entrano in gioco in un modello autoregressivo del primo ordine. SOLUZIONE ANNO, Y i 1 valore osservato della serie al tempo i 1 Y i 2 valore osservato della serie al tempo i 2 Y i p valore osservato della serie al tempo i p A 0 costante da stimare con il metodo dei minimi quadrati A 1, A 2,..., A p parametri autoregressivi da stimare con il metodo dei minimi quadrati i componente di errore non autocorrelata, di media nulla e con varianza costante MODELLO AUTOREGRESSIVO i DEL SECONDO ORDINE (Y i RISPETTO A Y i 1 ) 1 31 2 34 31 3 37 34 4 35 37 5 36 35 6 43 36 7 40 43 MODELLI AUTOREGRESSIVI PER LA DETERMINAZIONE DEL TREND E PER LA PREVISIONE 85

levine11_57-116 3-04-2002 8:27 Pagina 86 Poiché Y 1 = 31 è il primo valore della serie, si osserva che nell analisi della regressione si perde uno dei confronti. Quindi in questo caso (n = 7) il modello autoregressivo del primo ordine viene a basarsi su n 1 = 6 coppie di osservazioni. Esempio 11.6 Schema dei confronti in un modello autoregressivo del secondo ordine Data la seguente serie composta da n = 7 valori annuali consecutivi: ANNO 1 2 3 4 5 6 7 Serie 31 34 37 35 36 43 40 Mostrate i confronti fra osservazioni che entrano in gioco in un modello autoregressivo del secondo ordine. SOLUZIONE ANNO, MODELLO AUTOREGRESSIVO DEL SECONDO ORDINE i (Y i RISPETTO Y i 1 E Y i RISPETTO Y i 2 ) 1 31 e 31 2 34 31 e 34 3 37 34 e 37 31 4 35 37 e 35 34 5 36 35 e 36 37 6 43 36 e 43 35 7 40 43 e 40 36 Poiché Y 1 = 31 è il primo valore della serie, si osserva che nell analisi della regressione si perdono due dei confronti. Quindi in questo caso (n = 7) il modello autoregressivo del secondo ordine viene a basarsi su n 2 = 5 coppie di osservazioni. Una volta scelto il modello e applicato il metodo dei minimi quadrati per stimare i parametri, occorre definire criteri che consentano di valutare la capacità di adattamento del modello scelto. Una possibilità consiste nello stimare un modello con un numero abbastanza elevato di parametri, per poi stabilire se sia il caso di eliminarne alcuni. Si tratta in pratica di risolvere un problema di verifica di ipotesi sulla significatività dei parametri che via via si vengono a trovare in corrispondenza dell ultimo ordine del modello. In un modello autoregressivo di ordine p faremo quindi le seguenti ipotesi sul parametro A p (parametro autoregressivo di ordine massimo): H 0 : A p 0 (il parametro di massimo ordine è uguale a zero) H 1 : A p 0 (il parametro di massimo ordine è diverso da zero) Il test statistico per la verifica delle due ipotesi è dato dall equazione (11.2) Test t per la significatività del parametro autoregressivo di ordine massimo t a p A p S ap (11.12) 86 CAPITOLO 11 ANALISI DELLE SERIE STORICHE

levine11_57-116 3-04-2002 8:27 Pagina 87 dove a p stima del parametro autoregressivo di ordine massimo A p S ap deviazione standard di a p 2 Per ottenere i gradi di libertà dobbiamo sottrarre a n il numero di parametri del modello (p parametri di inclinazione + 1 intercetta) e il numero di confronti fra le osservazioni che vengono persi (p nel nostro caso). Si può dimostrare che questo test segue una distribuzione t di Student con n 2p 1 gradi di libertà 2. Quindi, fissato il livello di significatività, l ipotesi nulla deve essere rifiutata se il valore osservato della statistica test è maggiore in modulo del valore critico t n 2p 1 della distribuzione t di Student corrispondente. Si arriva quindi alla seguente regola decisionale: Rifiutare H 0 se t t n 2p 1 oppure t t n 2p 1 ; accettare H 0 altrimenti Nella Figura 11.12 sono riportate le regioni di rifiuto e di accettazione del test descritto. Se il valore osservato della statistica test ci porta a non rifiutare l ipotesi nulla A p = 0, dobbiamo concludere che il modello analizzato contiene un numero eccessivamente elevato di parametri. La componente autoregressiva di ordine massimo viene quindi scartata e, una volta determinato il nuovo modello, il procedimento deve essere ripetuto sul parametro A p 1, che rappresenta il nuovo parametro autoregressivo di massimo ordine. La procedura continua fino a quando l ipotesi nulla non viene rifiutata. Quando ciò accade, l analista può essere sicuro della significatività dell ultimo parametro autoregressivo e può quindi utilizzare il modello selezionato a scopi previsivi. Una volta individuato il numero ottimo di componenti autoregressive con il metodo sopra descritto, è possibile procedere alla stima dei parametri. Il modello autoregressivo del p-esimo ordine stimato Ŷ i a 0 a 1 Y i 1 a 2 Y i 2 a p Y i p dove Ŷ i valore stimato della serie al tempo i Y i 1 valore osservato della serie al tempo i 1 Y i 2 valore osservato della serie al tempo i 2 Y i p valore osservato della serie al tempo i p a 0, a 1, a 2,..., a p parametri stimati (11.13) FIGURA 11.12 Regioni di rifiuto e di accettazione di un test di significatività a due code sul parametro autoregressivo di ordine massimo A p. t n 2p 1 0 t n 2p 1 t Regione di rifiuto Regione di accettazione Regione di rifiuto Valore critico A p 0 Valore critico MODELLI AUTOREGRESSIVI PER LA DETERMINAZIONE DEL TREND E PER LA PREVISIONE 87

levine11_57-116 3-04-2002 8:28 Pagina 88 Supponiamo ora di trovarci nell istante n: in che modo il modello può essere utilizzato per effettuare delle stime a j istanti futuri? Utilizzo del modello autoregressivo a scopi previsivi Ŷ n j a 0 a 1 Ŷ n j 1 a 2 Ŷ n j 2 a p Ŷ n j p dove a 0, a 1, a 2,..., a p parametri stimati j numero di anni nel futuro Ŷ n j p previsione effettuata all istante n per l istante se j p 0 Ŷ n j p valore osservato di Y n j p se j p 0 Y n j p (11.14) Osserviamo che, quando applichiamo a scopi previsivi un modello autoregressivo del p- esimo ordine, il numero di osservazioni che entrano in gioco della previsione è sempre pari a p, a prescindere dalla distanza j nel futuro del valore che vogliamo prevedere. Quindi se p = 3, una previsione a j periodi successivi all istante n si baserà unicamente sui valori osservati negli anni n, n 1, n 2. Applicando l equazione (11.14) otteniamo la seguente previsione a un anno: Ŷ n 1 a 0 a 1 Y n a 2 Y n 1 a 3 Y n 2 La previsione a un anno entra in gioco nella determinazione della previsione a due anni: Ŷ n 2 a 0 a 1 Ŷ n 1 a 2 Y n a 3 Y n 1 Procedendo iterativamente si ottengono le previsioni agli anni successivi: Ŷ n 3 a 0 a 1 Ŷ n 2 a 2 Ŷ n 1 a 3 Y n Ŷ n 4 a 0 a 1 Ŷ n 3 a 2 Ŷ n 2 a 3 Ŷ n 1 E così via. Nel Riquadro 11.2 sono sintetizzati i principali passaggi richiesti per l applicazione del modello autoregressivo: Riquadro 11.2 Analisi di una serie storica annuale attraverso i modelli autoregressivi 1. Scegliete l ordine p del modello iniziale. 2. Rappresentate in un foglio di lavoro Microsoft Excel le variabili Y n 1, Y n 2,,Y n p (predittori) ritardate rispettivamente di 1, 2,,p periodi (Tabella 11.8). 3. Stimate un modello di regressione multipla con i predittori rappresentati dalle variabili Y ritardate. 4. Effettuate un test per la significatività del parametro autoregressivo di ordine massimo A p. (a) Se il test porta a rifiutare l ipotesi nulla, il modello con p predittori deve essere scelto per rappresentare la serie e per effettuare previsioni (equazioni 11.3 e 11.4). 88 CAPITOLO 11 ANALISI DELLE SERIE STORICHE

levine11_57-116 3-04-2002 8:28 Pagina 89 (b) Se il test porta ad accettare l ipotesi nulla, l ultimo predittore deve essere scartato. Considerate ora il modello con un regressore in meno. Verificate la significatività del parametro autoregressivo di ordine massimo del nuovo modello. La procedura continua fino ad individuare un modello il cui parametro autoregressivo di ordine massimo risulta significativo. 5. Il modello così selezionato può essere utilizzato per interpolare le osservazioni (equazione 11.3) e per prevedere valori futuri della serie (equazione 11.4). Riprendiamo l esempio relativo alle entrate lorde a prezzi costanti 1982-84 della società Eastman Kodak per il periodo compreso fra il 1975 e il 1998 (Tabella 11.6). Nella Tabella 11.8 sono riportati, insieme alle osservazioni, i predittori per modelli autoregressivi fino al terzo ordine. Notiamo che nelle variabili ritardate a 1, 2 e 3 periodi vengono persi rispettivamente 1, 2 e 3 valori rispetto alle 24 osservazioni della serie originaria. Esempio 11.7 Scelta del modello autoregressivo appropriato Scegliete il modello autoregressivo più appropriato fra quelli di ordine compreso tra 1 e 3 per interpolare la serie delle entrate lorde della società Eastman Kodak. SOLUZIONE La Tabella 11.8 serve come punto di partenza per la determinazione di un modello autoregressivo del terzo ordine. Il modello stimato, ottenuto con l ausilio di Microsoft Excel, è: Ŷ i 2.7673 1.285Y i 1.5957Y i 2 0.0634Y i 3 Tabella 11.8 Predittori di modelli autoregressivi del primo, secondo e terzo ordine sulla serie delle entrate lorde della società Eastman Kodak (1975-1998) MODELLI AUTOREGRESSIVI PER LA DETERMINAZIONE DEL TREND E PER LA PREVISIONE 89

levine11_57-116 3-04-2002 8:28 Pagina 90 dove l origine è rappresentata dal 1978 e l unità è l anno. A questo punto conviene applicare il test per la verifica della significatività di A 3, il parametro autoregressivo di ordine massimo. Sulla base del modello autoregressivo di ordine 3, il valore della stima di A 3 è pari a a 3 = 0.0634, con un errore standard S a3 0.2509. Si vuole quindi verificare l ipotesi nulla H 0 : A 3 0 contro l alternativa H 1 : A 3 0 Applicando l equazione (11.12) otteniamo il valore osservato della statistica test: t a 3 0.0634 S a3 0.25089 0.253 Con = 0.05, il valore critico della distribuzione t di Student con n 2p 1 =17 gradi di libertà è pari a t 17 = 2.1098. Poiché t = 0.253 < t 17 = 2.1098 (e anche p-value = 0.803 > = 0.05) l ipotesi nulla, secondo cui il parametro A 3 sarebbe uguale a zero, non può essere rifiutata. La componente autoregressiva di terzo ordine deve essere eliminata. A questo punto determiniamo un nuovo modello autoregressivo di ordine 2, ottenendo i seguenti risultati: Ŷ i 2.900 1.256Y i 1 0.516Y i 2 dove l origine è rappresentata dal 1977 e l unità è sempre l anno. Dobbiamo ora verificare che il parametro autoregressivo di secondo ordine sia significativo. Si vuole quindi verificare l ipotesi nulla H 0 : A 2 0 contro l alternativa H 1 : A 2 0 Applicando ancora una volta l equazione (11.12) otteniamo il valore osservato della statistica test: t a 2 S a2 0.516 0.206 2.51 RIQUADRO A Output Excel del modello autoregressivo del terzo ordine implementato sulle entrate lorde della Eastman Kodak. 90 CAPITOLO 11 ANALISI DELLE SERIE STORICHE

levine11_57-116 3-04-2002 8:28 Pagina 91 RIQUADRO B Output Excel del modello autoregressivo del secondo ordine implementato sulle entrate lorde della Eastman Kodak. Con 0.05, il valore critico della distribuzione t di Student con n 2p 1 19 gradi di libertà è pari a t 19 2.093. Poiché t 2.51 > t 19 2.093 (e anche: p-value 0.021 < 0.05) l ipotesi nulla, secondo cui il parametro A 2 sarebbe uguale a zero, deve essere rifiutata. La componente autoregressiva di secondo ordine deve essere considerata significativa e non può essere eliminata dal modello. Siamo quindi giunti alla conclusione che il modello autoregressivo di secondo ordine è il più appropriato per rappresentare le osservazioni. Avendo scelto il modello autoregressivo del secondo ordine, qualsiasi previsione per il futuro si baserà esclusivamente sui tre parametri stimati a 0 2.90, a 1 1.256 e a 2 0.516 e sugli ultimi due valori osservati della serie (Y 23 9,034 e Y 24 8.22). In particolare le previsioni per gli anni 1999 e 2000 si ottengono nel modo seguente: Ŷ n j 2.900 1.256Ŷ n j 1 0.516Ŷ n j 2 1999: 1 anno prima Ŷ 25 2.900 1.256(8.22) 0.516(9.034) 8.56 milioni di dollari 2000: 2 anni prima 2.900 1.256(8.56) 0.516(8.22) 9.41 milioni di dollari Ŷ 26 Nella Figura 11.13 sono riportati i valori della serie delle entrate lorde della Eastman Kodak insieme con i valori previsti sulla base del modello autoregressivo del secondo ordine. Esercizi del Paragrafo 11.5 11.20 Considerate una serie storica di 40 osservazioni e supponete di voler stimare un modello autoregressivo del quinto ordine sui valori della serie. (a) Quanti valori vengono persi nello sviluppo del modello? (b) Quanti parametri devono essere stimati? (c) Quali dei valori originari entrano in gioco nelle previsioni? (d) Esprimete analiticamente il modello. (e) Rappresentate in un equazione la previsione a j periodi futuri. 11.21 Considerate una serie storica di 17 osservazioni. Supponete di aver stimato un modello autoregressivo del terzo ordine, ottenendo le seguenti stime dei parametri, con i corrispondenti errori standard: a 0 4.50 a 1 1.80 a 2 0.80 a 3 0.24 0.50 0.30 0.10 S a1 S a2 (a) Adottando un livello di significatività = 0.05, valutate la bontà del modello. S a3 MODELLI AUTOREGRESSIVI PER LA DETERMINAZIONE DEL TREND E PER LA PREVISIONE 91

levine11_57-116 3-04-2002 8:28 Pagina 92 FIGURA 11.13 Modello autoregressivo del secondo ordine sulla serie delle entrate lorde della Eastman Kodak. (b) Supponendo che le tre osservazioni più recenti siano: Y 15 23 Y 16 28 Y 17 34 Prevedete il valore della serie per i periodi 18 e 19. (b) Supponendo che le tre osservazioni più recenti siano: 0.45 0.35 0.15 S a1 S a2 Come cambierebbero le vostre considerazioni sul modello? 11.22 Fate riferimento ai dati dell Esercizio 11.14 (depositi totali della J.P. Morgan nei 19 anni compresi fra il 1979 e il 1997). (a) Stimate un modello autoregressivo del terzo ordine, verificando al livello 0.05 la significatività del parametro di ordine maggiore. (b) Stimate un modello autoregressivo del secondo ordine, verificando al livello 0.05 la significatività del parametro di ordine maggiore. (c) Stimate un modello autoregressivo del primo ordine, verificando al livello 0.05 la significatività del parametro di ordine maggiore. (d) Scelto il modello che considerate più appropriato, prevedete il valore della serie per gli anni compresi tra il 1998 e il 2001. 11.23 Fate riferimento ai dati dell Esercizio 11.15 (entrate a prezzi correnti della società Coca- Cola nei 24 anni compresi fra il 1975 e il 1998). (a) Stimate un modello autoregressivo del terzo ordine, verificando al livello 0.05 la significatività del parametro di ordine maggiore. (b) Se necessario, stimate un modello autoregressivo del secondo ordine, verificando al livello 0.05 la significatività del parametro di ordine maggiore. (c) Se necessario, stimate un modello autoregressivo del primo ordine, verificando al livello 0.05 la significatività del parametro di ordine maggiore. (d) Scelto il modello che considerate più appropriato, prevedete il valore della serie per gli anni 1999 e 2000. 11.24 Fate riferimento ai dati dell Esercizio 11.16 (valori di chiusura dell indice Dow Jones Industrial Average (DJIA) nei 20 anni compresi fra il 1979 e il 1998). (a) Stimate un modello autoregressivo del terzo ordine, verificando al livello 0.05 la significatività del parametro di ordine maggiore. (b) Se necessario, stimate un modello autoregressivo del secondo ordine, verificando al livello 0.05 la significatività del parametro di ordine maggiore. (c) Se necessario, stimate un modello autoregressivo del primo ordine, verificando al livello 0.05 la significatività del parametro di ordine maggiore. S a3 92 CAPITOLO 11 ANALISI DELLE SERIE STORICHE

levine11_57-116 3-04-2002 8:28 Pagina 93 11.6 (d) Scelto il modello che considerate più appropriato, prevedete il valore della serie per gli anni compresi tra il 1999 e 2001. SCELTA DEL MODELLO DI PREVISIONE Nei paragrafi 11.4 e 11.5 sono stati presentati sei metodi alternativi per effettuare previsioni su una serie storica: il modello basato sul trend lineare, il modello quadratico, il modello esponenziale (paragrafo 11.4) e i modelli autoregressivi del primo, secondo e terzo ordine (paragrafo 11.5). A questo punto viene spontaneo domandarsi se esista effettivamente un modello ottimo fra quelli di cui disponiamo per effettuare previsioni su una serie storica. Vediamo ora alcuni strumenti estremamente utili per la scelta del modello. Riquadro 11.3 Linee guida per la scelta di un modello per l analisi di una serie storica e la previsione del suo comportamento futuro 1. Analisi dei residui. 2. Misura della grandezza dell errore residuo attraverso il metodo delle differenze al quadrato. 3. Misura della grandezza dell errore residuo attraverso il metodo delle differenze in valore assoluto. 4. Applicazione del principio di parsimonia. Vediamo ora nei dettagli questi strumenti di valutazione del modello e di scelta fra modelli alternativi. Analisi dei residui Analogamente a quanto visto per l analisi della regressione (paragrafi 9.5 e 10.2), i residui del modello si ottengono come differenza fra i valori osservati e i valori ottenuti con il modello stesso ( interpolati ): (Y i Ŷ i ) e i. Dal grafico dei residui (Figura 11.14) è possibile valutare la capacità del modello di cogliere le diverse componenti della serie storica. Quando il modello interpola adeguatamente le osservazioni, i residui assumono il tipico andamento casuale esemplificato nel riquadro A della figura; nei riquadri da B a D sono invece riportati residui che seguono andamenti sistematici, segnalando l inadeguatezza dei rispettivi modelli a cogliere le componenti di trend (riquadro B), ciclica (riquadro C) o stagionale (riquadro D) della serie. Misura della grandezza dell errore residuo attraverso il metodo delle differenze al quadrato e delle differenze in valore assoluto Supponiamo di dover scegliere fra due modelli che, dal punto di vista dell andamento dei residui, sembrano spiegare altrettanto bene la nostra serie storica. In questo caso abbiamo bisogno di un altro metodo che ci aiuti nella scelta del modello. Gli analisti hanno proposto diverse misure di sintesi per la valutazione dell errore residuo del modello (op. cit. 1, 2, 10, 11) alcune delle quali sono state già presentate con riferimento all analisi della regressione. Ci riferiamo in particolare al metodo, basato sul principio dei minimi quadrati, dell errore standard della stima S YX (paragrafo 9.3, equazione 9.8), il quale può essere calcolato SCELTA DEL MODELLO DI PREVISIONE 93

levine11_57-116 3-04-2002 8:28 Pagina 94 e i Y i Y i e i Y i Y i 0 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Residui con andamento casuale (A) Modello adeguato 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Residui con andamento sistematico (C) Modello incapace di cogliere la componente ciclica e i Y i Y i e i Y i Y i 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Residui con andamento sistematico (B) Modello incapace di cogliere il trend 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Residui con andamento sistematico (D) Modello incapace di cogliere la componente stagionale (dati mensili) FIGURA 11.14 Analisi dei residui per valutare i modelli. come somma delle differenze al quadrato fra i valori osservati e quelli interpolati utilizzando il modello. Naturalmente se il modello interpola perfettamente le osservazioni, il valore di questo indicatore sarà zero; il valore dell indice tende ad aumentare considerando modelli sempre meno adatti alla rappresentazione della serie. Alcuni autori reputano questo indice inadeguato in quanto, basandosi sugli scostamenti quadratici, porta a una eccessiva penalizzazione di modelli in cui si abbiano singoli errori di previsione particolarmente elevati. Viene quindi reputato più affidabile un indice che coinvolge le differenze in valore assoluto fra valori osservati e valori previsti, il MAD (deviazione media assoluta): Deviazione media assoluta MAD n Y i Ŷ i i 1 n (11.15) Il MAD rappresenta quindi una misura della bontà del modello. A valori più bassi dell indice corrispondono modelli che interpolano meglio le osservazioni. Abbiamo così a disposizione un altro criterio che ci consente di vagliare modelli alternativi per la stessa serie storica: sceglieremo il modello con MAD minimo. Il principio di parsimonia Quando diversi modelli sembrano essere equivalenti sulla base dei criteri descritti in precedenza, nella scelta dobbiamo tenere presente un ultima considerazione intuitiva: a parità di performance, deve essere preferito il modello più semplice (principio di parsimonia). Fra i modelli descritti, i più parsimoniosi sono naturalmente quelli basati sul trend lineare e quadratico, seguiti dal modello autoregressivo di ordine 1. Fra i modelli più complessi invece vanno menzionati i modelli autoregressivi di ordine superiore al primo e il modello esponenziale. Confronto fra quattro metodi di previsione Riprendiamo l esempio relativo alle entrate della società Eastman Kodak nel periodo di 24 anni compreso fra il 1975 e il 1998. Con riferimento a questa serie siamo interessati a con- 94 CAPITOLO 11 ANALISI DELLE SERIE STORICHE

levine11_57-116 3-04-2002 8:28 Pagina 95 frontare i modelli lineare, quadratico, esponenziale e autoregressivo del secondo ordine (il modello autoregressivo del terzo ordine è già stato scartato con l analisi della significatività del parametro di ordine 3 Esempio 11.7). Nella Figura 11.15 sono stati riportati i residui dei quattro modelli concorrenti. Osserviamo innanzitutto che i tre modelli basati sul metodo dei minimi quadrati hanno residui che seguono un andamento strutturato ciclicamente (riquadri A, B e C): i tre modelli non sono in grado di cogliere la componente ciclica della serie. Di questi tre modelli il migliore sembra comunque essere quello quadratico che, almeno nei primi anni dell analisi, sembra fluttuare in modo più casuale intorno all origine. Nessuno dei tre modelli si rivela in ogni caso adeguato a rappresentare le grosse fluttuazioni cicliche che la serie ha fatto registrare in anni più recenti (la ciclicità nei residui diventa più marcata negli ultimi anni in tutti e tre i casi). I residui del modello autoregressivo del secondo ordine hanno un andamento completamente diverso rispetto a quelli dei modelli precedenti (riquadro D) manifestando il minor ammontare di componente strutturata. Questo primo criterio ci porta quindi ad individuare nel modello autoregressivo il modello più adatto a rappresentare la serie, mentre i due modelli peggiori sembrano essere quelli basati sul trend lineare ed esponenziale. Per avere una conferma di questa intuizione iniziale, è utile in ogni caso riferirsi agli indicatori sintetici presentati in precedenza: l errore standard della stima (S XY ) e la deviazione media assoluta (MAD), in grado di misurare la grandezza complessiva dell errore residuo. I conti sono stati realizzati con Excel (Tabella 11.9) e ci portano alle stesse conclusioni cui eravamo giunti con la semplice analisi qualitativa dei residui: secondo entrambi gli indici il modello migliore è quello autoregressivo, seguito dal modello quadratico, lineare ed esponenziale. Una volta scelto il modello (riferimento bibliografico 4 per una modellistica più completa sulle serie storiche) è molto importante valutare la sua capacità previsiva ex post. Via RIQUADRO A Modello lineare. RIQUADRO B Modello quadratico. RIQUADRO C Modello esponenziale. RIQUADRO D Modello autoregressivo del secondo ordine. FIGURA 11.15 Grafici dei residui di quattro modelli per la rappresentazione di una serie storica. SCELTA DEL MODELLO DI PREVISIONE 95

levine11_57-116 3-04-2002 8:28 Pagina 96 Tabella 11.9 Confronto fra quattro metodi di previsione utilizzando gli indici S XY e MAD Esercizi del paragrafo 11.6 FEDSPEND via che nuovi valori si rendono disponibili questi vanno confrontati con quelli che erano stati previsti dal modello. Se le differenze sono eccessive, il modello deve essere adeguato opportunamente, ricorrendo a delle procedure di controllo adattivo (riferimento bibliografico 2). 11.25 Supponete di avere stimato il trend con un modello lineare su una serie di 12 osservazioni e di aver ottenuto i seguenti residui: 2.0 0.5 1.5 1.0 0.0 1.0 3.0 1.5 4.5 2.0 0.0 1.0 (a) Calcolate l indice S XY e interpretate i risultati. (b) Calcolate l indice MAD e interpretate i risultati. 11.26 Con riferimento ai dati dell Esercizio 11.25, supponete che il primo e l ultimo residuo siano in realtà 12.0 (anziché 2.0) e 11.0 (anziché 1.0). (a) Calcolate l indice S XY e interpretate i risultati. (b) Calcolate l indice MAD e interpretate i risultati. 11.27 I seguenti dati rappresentano le spese federali pro capite effettuate in tre stati americani (Alabama, Arizona, Louisiana) nei 15 anni compresi fra il 1981 e il 1995. Real federal spending per capita (in constant 1995 dollars), 1981-1995 REAL FEDERAL SPENDING PER CAPITA (IN CONSTANT 1995 DOLLARS) FISCAL YEAR ALABAMA ARIZONA LOUISIANA 1981 4091 3996 4142 1982 4046 4036 3599 1983 4212 4084 3582 1984 4284 4242 3552 96 CAPITOLO 11 ANALISI DELLE SERIE STORICHE

levine11_57-116 3-04-2002 8:28 Pagina 97 1985 4497 4289 3864 1986 4620 4654 3895 1987 4719 4784 3636 1988 4629 4367 3783 1989 4664 4439 4136 1990 5139 4590 4268 1991 5277 4526 4537 1992 5559 4520 4975 1993 5599 4765 5261 1994 5631 4633 5442 1995 5534 4686 5353 Fonte: D.P. Moynihan, M.E. Friar, H.B. Leonard, and J.H. Walder, The Federal Budget and the States: Fiscal Year 1995, jointly published by the John F. Kennedy School of Government, Harvard University, and the Office of Senator Daniel Patrick Moynihan, September 30, 1996, 43, 45, 60. 11.7 Per ciascuna delle tre serie: (a) Rappresentate i dati in un grafico. (b) Determinate l equazione del trend lineare. (c) Prevedete il valore del trend per gli anni 1996 1999. (d) Effettuate un analisi dei residui. (e) Calcolate l errore standard della stima (S YX ). (f) Calcolate il MAD. (g) Sulla base dei risultati ottenuti ai punti (d), (e) e (f), siete soddisfatti della previsione fatta al punto (c)? Commentate. 11.28 Sulla base dei risultati ottenuti negli Esercizi 11.14 e 11.22 riguardo ai depositi della J.P. Morgan: (a) Effettuate un analisi dei residui per ciascun modello considerato. (b) Calcolate l errore standard della stima (S XY ) per ciascun modello considerato. (c) Calcolate il MAD per ciascun modello considerato. (d) Sulla base dei risultati ottenuti ai punti (a), (b) e (c) e ricordando anche il criterio della parsimonia, quale fra i modelli analizzati vi sembra il più idoneo a prevedere i valori futuri della serie? Commentate. 11.29 Sulla base dei risultati ottenuti negli Esercizi 11.15 e 11.23 riguardo alle entrate annuali della società Coca Cola: (a) Effettuate un analisi dei residui per ciascun modello considerato. (b) Calcolate l errore standard della stima (S XY ) per ciascun modello considerato. (c) Calcolate il MAD per ciascun modello considerato. (d) Sulla base dei risultati ottenuti ai punti (a), (b) e (c) e ricordando anche il criterio della parsimonia, quale fra i modelli analizzati vi sembra il più idoneo a prevedere i valori futuri della serie? Commentate. 11.30 Sulla base dei risultati ottenuti negli Esercizi 11.16 e 11.24 riguardo ai valori di chiusura dell indice Dow Jones Industrial Average: (a) Effettuate un analisi dei residui per ciascun modello considerato. (b) Calcolate l errore standard della stima (S XY ) per ciascun modello considerato. (c) Calcolate il MAD per ciascun modello considerato. (d) Sulla base dei risultati ottenuti ai punti (a), (b) e (c) e ricordando anche il criterio della parsimonia, quale fra i modelli analizzati vi sembra il più idoneo a prevedere i valori futuri della serie? Commentate. ANALISI DI SERIE STORICHE A CADENZA MENSILE O TRIMESTRALE Finora ci siamo concentrati sull analisi di serie storiche a cadenza annuale. Tuttavia, numerose serie storiche di carattere economico sono registrate con una cadenza trimestrale o ANALISI DI SERIE STORICHE A CADENZA MENSILE O TRIMESTRALE 97

levine11_57-116 3-04-2002 8:28 Pagina 98 mensile, ma anche settimanale, giornaliera o oraria. Si è già accennato (Tabella 11.1) al fatto che, quando i dati sono disponibili ad intervalli infra-annuali, è necessario considerare un ulteriore componente della serie: la componente stagionale. In questo paragrafo presenteremo un approccio all analisi di serie storiche mensili o trimestrali, basato sui metodi di regressione discussi nel Capitolo 10. Nella Tabella 11.10 e nella Figura 11.16 sono rappresentate le spese private mensili per abitazioni (a prezzi costanti 1995) in una piccola città americana dal gennaio 1992 fino a dicembre 1997. PRIRECON Tabella 11.10 Spese private mensili per abitazioni (a prezzi costanti 1995) in una piccola città americana (gennaio 1992-dicembre 1997) ANNO MESE 1992 1993 1994 1995 1996 1997 Gennaio 10.2 11.2 12.5 12.6 13.2 13.0 Febbraio 9.7 11.0 12.0 12.0 12.5 12.7 Marzo 11.3 12.7 13.9 14.2 14.4 14.8 Aprile 12.4 14.3 15.4 15.6 15.8 15.9 Maggio 13.6 16.2 17.0 17.1 17.1 17.1 Giugno 14.5 17.7 18.2 18.3 18.1 17.7 Luglio 14.8 18.4 18.6 18.9 18.7 17.9 Agosto 15.3 18.6 18.8 19.3 18.9 18.0 Settembre 15.0 18.1 18.4 18.7 18.1 16.8 Ottobre 15.0 18.0 18.2 18.7 17.8 16.3 Novembre 14.2 16.7 17.1 17.7 16.7 14.7 Dicembre 12.4 14.2 14.5 15.0 14.0 12.2 FIGURA 11.16 Spese private mensili per abitazioni (a prezzi costanti 1995) in una piccola città americana (gennaio 1992-dicembre 1997). Fonte: dati della Tabella 11.10. Per l analisi di serie storiche mensili come quella descritta, riprendiamo il classico modello moltiplicativo, aggiungendo alle componenti di trend, ciclica e irregolare (equazione 11.4) un nuovo fattore rappresentato dalla componente stagionale. Y i T i S i C i I i 98 CAPITOLO 11 ANALISI DELLE SERIE STORICHE

levine11_57-116 3-04-2002 8:28 Pagina 99 Previsione per serie storiche mensili o trimestrali con il metodo dei minimi quadrati Cercheremo ora di introdurre nel modello di regressione la componente stagionale, combinando le tecniche basate sui minimi quadrati presentate nel paragrafo 11.4 con la modellistica per regressori di tipo categorico di cui si è discusso nel paragrafo 10.7. Il trend esponenziale ad esempio può essere adattato ad osservazioni a cadenza mensile nel seguente modo: Il modello esponenziale con dati mensili dove Ŷ i b 0 b X i 1 b M 1 2 b M 2 3 b M 3 4 b M 4 5 b M 5 6 b M 6 7 b M 7 8 b M 8 9 b M 9 10 b M 10 11 b M 11 12 b 0 intercetta stimata di Y (b 1 1) 100% stima del tasso di crescita mensile composto X i valore assegnato al mese b 2 moltiplicatore di gennaio (rif. dicembre) b 3 moltiplicatore di febbraio (rif. dicembre) b 4 moltiplicatore di marzo (rif. dicembre).... b 12 moltiplicatore dicembre-novembre M 1 1 se gennaio, 0 altrimenti M 2 1 se febbraio, 0 altrimenti M 3 1 se marzo, 0 altrimenti. M 11 1 se novembre, 0 altrimenti (11.16a) Il modello esponenziale con dati trimestrali Ŷ i b 0 b X i 1 b Q 1 2 b Q 2 3 b Q 3 4 (11.17a) dove b 0 intercetta stimata di Y (b 1 1) 100% stima del tasso di crescita trimestrale composto X i valore assegnato al trimestre b 2 moltiplicatore del primo trimestre (rif. quarto trimestre) b 3 moltiplicatore del secondo trimestre (rif. quarto trimestre) b 4 moltiplicatore del terzo trimestre (rif. quarto trimestre) Q 1 1 se primo trimestre, 0 altrimenti Q 2 1 se secondo trimestre, 0 altrimenti Q 3 1 se terzo trimestre, 0 altrimenti ANALISI DI SERIE STORICHE A CADENZA MENSILE O TRIMESTRALE 99

levine11_57-116 3-04-2002 8:28 Pagina 100 Osserviamo che le variabili M i (i 1,, 11) e Q i (i = 1, 2, 3) sono delle variabili dummy necessarie per introdurre le componenti mensile e trimestrale. Passando al logaritmo naturale (logaritmo in base e) in entrambi i membri delle equazioni (11.16a) e (11.17a) otteniamo le equazioni (11.16b) e (11.17b). Il modello esponenziale con dati mensili ln Ŷ i ln b 0 X i ln b 1 M 1 ln b 2 M 2 ln b 3 M 3 ln b 4 M 11 ln b 12 (11.16b) Il modello esponenziale con dati trimestrali ln Ŷ i ln b 0 X i ln b 1 Q 1 ln b 2 Q 2 ln b 3 Q 3 ln b 4 (11.17b) Osserviamo che le equazioni (11.16b) e (11.17b) sono in forma lineare. Di conseguenza è possibile applicare il metodo dei minimi quadrati alla variabile log Y i e quindi ottenere le stime delle inclinazioni (log b i i = 1,..., 12) e dell intercetta (log b 0 ). I coefficienti b 0, b 1,, b 12 stimati si ricaveranno poi con una semplice trasformazione antilogaritmica. Il modello presentato può sembrare molto complesso, tuttavia occorre osservare che, in ciascun periodo, mese o trimestre che sia, solo una delle variabili dummy del modello è diversa da zero. Questo porta ad una drastica semplificazione dell equazione. Per dati mensili ad esempio, le equazioni (11.6b) e (11.6a) si riducono nel modo seguente: In gennaio: Ŷ i ln b 0 X i ln b 1 M 1 ln b 2 quindi passando agli antilogaritmi In febbraio: In marzo: Ŷ i b 0 b X i 1 b M 1 2 Ŷ i ln b 0 X i ln b 1 M 2 ln b 3 quindi passando agli antilogaritmi Ŷ i b 0 b X i 1 b M 2 3 Ŷ i ln b 0 X i ln b 1 M 3 ln b 4 quindi passando agli antilogaritmi Ŷ i b 0 b X i 1 b M 3 4. In novembre: In dicembre: Ŷ i ln b 0 X i ln b 1 M 11 ln b 12 Ŷ i b 0 b X i 1 b M 11 12 quindi passando agli antilogaritmi Ŷ i ln b 0 X i ln b 1 quindi passando agli antilogaritmi Ŷ i b 0 b X i 1 Notiamo che il modello per il mese di dicembre, mese che rappresenta il periodo base del modello, si ottiene ponendo pari a zero tutte le variabili dummy. Per dati trimestrali invece, le equazioni (11.7b) e (11.7a) si riducono nel modo seguente: Nel primo trimestre: Ŷ i ln b 0 X i ln b 1 Q 1 ln b 2 quindi passando agli antilogaritmi Nel secondo trimestre: Nel terzo trimestre: Nel quarto trimestre: Ŷ i b 0 b X i 1 b Q 1 2 Ŷ i ln b 0 X i ln b 1 Q 2 ln b 3 quindi passando agli antilogaritmi Ŷ i b 0 b X i 1 b Q 2 3 Ŷ i ln b 0 X i ln b 1 Q 3 ln b 4 quindi passando agli antilogaritmi Ŷ i b 0 b X i 1 b Q 3 4 Ŷ i ln b 0 X i ln b 1 quindi passando agli antilogaritmi Ŷ i b 0 b X i 1 100 CAPITOLO 11 ANALISI DELLE SERIE STORICHE

levine11_57-116 3-04-2002 8:28 Pagina 101 FIGURA 11.17 Output Excel del modello su dati mensili. In questo caso, il periodo di base del modello è quello relativo al quarto trimestre, che si ottiene assumendo nulle tutte le variabili dummy del modello stesso. Per mostrare un applicazione del modello descritto, riprendiamo l esempio relativo alle spese private mensili per abitazioni (a prezzi costanti 1995) in una città americana nel periodo compreso fra il gennaio 1992 e il dicembre 1997 (Tabella 11.10). Nella Figura 11.17 è riportato l output Excel del modello nei logaritmi. Notiamo che il modello sembra interpretare correttamente le osservazioni: i valori dei coefficienti di determinazione R 2 aggiustato e non aggiustato sono molto elevati (84.5% e 81.3% rispettivamente); il test statistico F segnala un ottima significatività congiunta dei coefficienti del modello (p-value = 0.000); quasi tutti i coefficienti sono singolarmente significativi, eccetto quello relativo al mese di marzo che segnala una variazione solo casuale della componente stagionale in quel mese rispetto al mese di riferimento (dicembre). Passando agli antilogaritmi otteniamo le seguenti stime dei coefficienti: COEFFICIENTI DELLA REGRESSIONE ln b i b i e lnb i b 0 : Y intercetta 2.51683 12.3893 b 1 : Inclinazione del codice di mese 0.00241 1.0024 b 2 : Gennaio 0.09862 0.9061 b 3 : Febbraio 0.14032 0.8691 b 4 : Marzo 0.00831 1.0083 b 5 : Aprile 0.10132 1.1066 b 6 : Maggio 0.19218 1.2119 b 7 : Giugno 0.25310 1.2880 b 8 : Luglio 0.27688 1.3190 b 9 : Agosto 0.28978 1.3361 b 10 : Settembre 0.25198 1.2866 b 11 : Ottobre 0.23900 1.2700 b 12 : Novembre 0.16756 1.1824 ANALISI DI SERIE STORICHE A CADENZA MENSILE O TRIMESTRALE 101

levine11_57-116 3-04-2002 8:28 Pagina 102 Interpretazione delle stime: L intercetta b 0 12.3893 rappresenta il valore del trend all inizio del periodo (gennaio 1992). Il valore (b 1 1) 100% 0.24% è la stima del tasso di crescita mensile composto della serie analizzata. b 2 0.9061 è il moltiplicatore stagionale per il mese di gennaio con riferimento al mese base di dicembre. Rispetto al mese di dicembre, in gennaio si spende il 9.4% in meno in abitazioni. b 3 0.8691 è il moltiplicatore stagionale per il mese di febbraio con riferimento al mese base di dicembre. Rispetto al mese di dicembre, in febbraio si spende il 13.1% in meno in abitazioni. b 4 1.0083 è il moltiplicatore stagionale per il mese di marzo con riferimento al mese base di dicembre. Rispetto al mese di dicembre, in marzo si spende lo 0.8% in meno in abitazioni.. b 12 1.1824 è il moltiplicatore stagionale per il mese di novembre con riferimento al mese base di dicembre. Rispetto al mese di dicembre, in novembre si spende il 18.2% in più in abitazioni. Vediamo ora in che modo il modello proposto può essere utilizzato per interpolare la serie ed effettuare delle previsioni. A titolo di esempio, supponiamo di voler stimare la spesa per abitazioni relativa ai mesi di novembre e dicembre 1997. Ci affideremo alle seguenti equazioni: Per novembre 1997: Ŷ 71 2.51683 70(0.00241) 0.16756 2.85309 quindi passando agli antilogaritmi Ŷ 71 17.341 Per dicembre 1997: Ŷ 72 2.51683 71(0.00241) 2.68794 quindi passando agli antilogaritmi 14.701 In modo del tutto analogo a quanto descritto nei paragrafi precedenti, anche in questo caso la bontà del modello può essere valutata attraverso il calcolo degli indici S YX e MAD. Volendo poi utilizzare il modello per effettuare previsioni a ciascun mese dell anno 2000, si hanno le seguenti relazioni: Ŷ 97 Ŷ 72 Gennaio 2000: 2.51683 96(0.00241) 0.09862 2.64957 quindi passando agli antilogaritmi Ŷ 97 14.148 Febbraio 2000: Ŷ 98 2.51683 97(0.00241) 0.14032 2.61028 quindi passando agli antilogaritmi Ŷ 98 13.603 Marzo 2000: Ŷ 99 2.51683 98(0.00241) 0.00831 2.76132 quindi passando agli antilogaritmi Ŷ 99 15.821 102 CAPITOLO 11 ANALISI DELLE SERIE STORICHE

levine11_57-116 3-04-2002 8:28 Pagina 103. Novembre 2000: Ŷ 107 Ŷ 107 2.51683 106(0.00241) 0.16756 2.93985 quindi passando agli antilogaritmi 18.913 Dicembre 2000: Ŷ 108 2.51683 107(0.00241) 2.77470 quindi passando agli antilogaritmi 16.034 Ŷ 108 Esercizi del Paragrafo 11.7 11.31 Supponete di aver stimato (col metodo dei minimi quadrati) il seguente modello esponenziale su una serie storica mensile, con riferimento in particolare al mese di gennaio: Ŷ i 2.0 0.01 X i 0.10 Gennaio Calcolate l antilogaritmo dei coefficienti e interpretate: (a) il valore dell intercetta b 0 ; (b) il tasso di crescita mensile; (c) il moltiplicatore del mese di gennaio. 11.32 Se vogliamo costruire un modello per l interpolazione e la previsione di una serie storica settimanale, di quante variabili dummy abbiamo bisogno per tenere conto della componente stagionale? 11.33 Supponete di aver stimato (col metodo dei minimi quadrati) il seguente modello esponenziale su una serie storica trimestrale (I trimestre 1995 IV trimestre 1998): S&PSTKIN Ŷ i 3.0 0.10X i 0.25Q 1 0.20Q 2 0.15Q 3 Calcolate l antilogaritmo dei coefficienti e interpretate: (a) il valore dell intercetta b 0 ; (b) il tasso di crescita trimestrale; (c) il moltiplicatore relativo al secondo trimestre. 11.34 Fate riferimento al modello esponenziale presentato nell Esercizio 11.33. (a) Calcolate il valore interpolato per il quarto trimestre 1996. (b) Calcolate il valore interpolato per il primo trimestre 1997. (c) Prevedete il valore della serie per il quarto trimestre 1999. (d) Prevedete il valore della serie per il primo trimestre 2000. 11.35 Nella seguente tabella sono riportati i valori di un indice dei prezzi (Standard & Poor) dal primo trimestre 1994 fino al quarto trimestre 1998. Valori trimestrali dell indice dei prezzi Standard & Poor ANNO TRIMESTRE 1994 1995 1996 1997 1998 1 445.77 500.71 645.50 757.12 1101.75 2 444.27 544.75 670.63 885.14 1133.84 3 462.69 584.41 687.31 947.28 1017.01 4 459.27 615.93 740.74 970.43 1229.23 Fonte: Standard & Poor s Current Statistics, January 1998, 29. Reprinted by permission of Financial Information Services, a division of Financial Communications Company, Inc., and Yahoo.com, June 24, 1999. (a) Fornite un opportuna rappresentazione grafica delle osservazioni. (b) Adattate alla serie un modello esponenziale con componente stagionale trimestrale. ANALISI DI SERIE STORICHE A CADENZA MENSILE O TRIMESTRALE 103

levine11_57-116 3-04-2002 8:28 Pagina 104 REALGNP (1) Qual è il valore interpolato per il terzo trimestre del 1998? (2) Qual è il valore interpolato per il quarto trimestre del 1998? (3) Prevedete, in base al modello, i valori della serie relativi a tutti i trimestri degli anni 1999 e 2000. (4) Interpretate il tasso di crescita trimestrale. (5) Interpretate il valore del moltiplicatore relativo al secondo trimestre. 11.36 Nella seguente tabella sono riportati i valori dell indicatore economico GNP (Gross National Product) registrati a partire dal primo trimestre 1990 fino al quarto trimestre 1997. Valori trimestrali del GNP (a prezzi costanti 1992) ANNO TRIMESTRE 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1 6152.6 6047.5 6175.7 6327.9 6524.5 6703.7 6826.4 7101.6 2 6171.6 6074.7 6214.2 6359.9 6600.3 6708.8 6926.0 7159.6 3 6142.1 6090.1 6260.7 6393.5 6629.5 6759.2 6943.8 7217.6 4 6079.0 6105.3 6327.1 6436.9 6688.6 6796.5 7017.4 7250.0 a a Stima. Fonte: Survey of Current Business, December 1997. UNLDREG (a) Fornite un opportuna rappresentazione grafica delle osservazioni. (b) Adattate alla serie un modello esponenziale con componente stagionale trimestrale. (1) Qual è il valore interpolato per il terzo trimestre del 1997? (2) Qual è il valore interpolato per il quarto trimestre del 1997? (3) Prevedete, in base al modello, i valori della serie relativi a tutti i trimestri degli anni 1998 e 1999. (4) Interpretate il tasso di crescita trimestrale. (5) Interpretate il valore del moltiplicatore relativo al primo trimestre. 11.37 Nella seguente tabella sono riportati i prezzi medi della benzina (per gallone) registrati in diverse città americane nel periodo compreso tra gennaio 1990 e dicembre 1997. Prezzi medi della benzina per gallone (prezzi correnti) ANNO MESE 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 Gennaio 1.042 1.247 1.073 1.117 1.043 1.129 1.129 1.261 Febbraio 1.037 1.143 1.054 1.108 1.051 1.120 1.124 1.255 Marzo 1.023 1.082 1.058 1.098 1.045 1.115 1.162 1.235 Aprile 1.044 1.104 1.079 1.112 1.064 1.140 1.251 1.231 Maggio 1.061 1.156 1.136 1.129 1.080 1.200 1.323 1.226 Giugno 1.088 1.160 1.179 1.130 1.106 1.226 1.299 1.229 Luglio 1.084 1.127 1.174 1.109 1.136 1.195 1.272 1.205 Agosto 1.190 1.140 1.158 1.097 1.182 1.164 1.240 1.253 Settembre 1.294 1.143 1.158 1.085 1.177 1.148 1.234 1.277 Ottobre 1.378 1.122 1.154 1.127 1.152 1.127 1.227 1.242 Novembre 1.377 1.134 1.159 1.113 1.163 1.101 1.250 1.213 Dicembre 1.354 1.123 1.136 1.070 1.143 1.101 1.260 1.177 Fonte: Bureau of Labor Statistics, U.S. Department of Labor, ser. ID: APU000074714, extracted February 2, 1998. (a) Con l applicazione dell indice dei prezzi al consumo presentato nell Esercizio 11.11, costruite la serie dei valori a prezzi costanti 1982-84 (dividete per CPI e moltiplicate il risultato per 100). (b) Fornite un opportuna rappresentazione grafica delle osservazioni. (c) Adattate alla serie un modello esponenziale con componente stagionale mensile. 104 CAPITOLO 11 ANALISI DELLE SERIE STORICHE

levine11_57-116 3-04-2002 8:28 Pagina 105 CREDIT (1) Qual è il valore interpolato per il mese di novembre 1997? (2) Qual è il valore interpolato per il mese di dicembre 1997? (3) Prevedete, in base al modello, i valori della serie per tutti i 12 mesi del 1998. (4) Interpretate il tasso di crescita mensile. (5) Interpretate il valore del moltiplicatore relativo al mese di luglio. 11.38 Nella seguente tabella sono riportate le spese mensili associate ad una nota carta di credito. Spese associate a una carta di credito ANNO MESE 1997 1998 1999 Gennaio 31.9 39.4 45.0 Febbraio 27.0 36.2 39.6 Marzo 31.3 40.5 Aprile 31.0 44.6 Maggio 39.4 46.8 Giugno 40.7 44.7 Luglio 42.3 52.2 Agosto 49.5 54.0 Settembre 45.0 48.8 Ottobre 50.0 55.8 Novembre 50.9 58.7 Dicembre 58.5 63.4 Fonte: Dati reali raccolti da uno degli autori. TOYS-REV (a) Rappresentate graficamente le osservazioni. (b) Fornite una prima descrizione intuitiva dell andamento mensile della serie. (c) In generale l ammontare di spese associate alla carta di credito vi sembra in aumento o in diminuzione? (d) Adattate alla serie un modello esponenziale con componente stagionale mensile. (e) Interpretate il tasso di crescita mensile. (f) Interpretate il valore del moltiplicatore relativo al mese di gennaio. (g) Quale valore prevedete, in base al modello, per il mese di marzo 1999? (h) Quale valore prevedete, in base al modello, per il mese di aprile 1999? 11.39 Nella seguente tabella sono riportate le entrate trimestrali della società Toys, fatte registrare a partire dal primo trimestre 1992 fino al terzo trimestre 1998. Entrate trimestrali della società Toys (1992-98) ANNO TRIMESTRE 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1 1026 1172 1286 1462 1493 1646 1924 2 1056 1249 1317 1452 1614 1736 1989 3 1182 1346 1449 1631 1715 1883 2142 4 2861 3402 3893 4200 4605 4668 Fonte: Standard & Poor s Stock Reports, November 1995, November 1998. New York: McGraw- Hill, Inc. (a) Pensate che le entrate della società siano soggette a variazioni stagionali? (b) Fornite un opportuna rappresentazione grafica delle osservazioni. Il vostro grafico supporta l ipotesi che avete fatto al punto (a)? (c) Adattate alla serie un modello esponenziale con componente stagionale trimestrale. (1) Interpretate il valore del tasso di crescita trimestrale. (2) Commentate i quattro moltiplicatori trimestrali. ANALISI DI SERIE STORICHE A CADENZA MENSILE O TRIMESTRALE 105

levine11_57-116 3-04-2002 8:28 Pagina 106 FORD-REV (3) Qual è la vostra previsione per il quarto trimestre del 1998? (4) Quali valori prevedete per i quattro trimestri del 1999? 11.40 Nella seguente tabella sono riportate le entrate trimestrali della società Ford Motor Company, fatte registrare a partire dal primo trimestre 1992 fino al terzo trimestre 1998. Entrate trimestrali della società Ford Motor Company (1992-98) ANNO TRIMESTRE 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1 24 560 26 760 30 400 34 783 36 261 36 202 36 584 2 26 840 29 420 33 770 36 389 37 937 40 265 37 289 3 23 330 24 500 30 660 31 418 33 960 36 096 32 640 4 25 410 27 840 33 643 34 547 38 833 39 952 Fonte: Standard & Poor s Stock Reports, November 1995, November 1998. New York: McGraw-Hill, Inc. VUL-REV (a) Pensate che le entrate della società siano soggette a variazioni stagionali? (b) Fornite un opportuna rappresentazione grafica delle osservazioni. Il vostro grafico supporta l ipotesi che avete fatto al punto (a)? (c) Adattate alla serie un modello esponenziale con componente stagionale trimestrale. (1) Interpretate il valore del tasso di crescita trimestrale. (2) Commentate i quattro moltiplicatori trimestrali. (3) Qual è la vostra previsione per il quarto trimestre 1998? (4) Quali valori prevedete per i quattro trimestri del 1999? 11.41 Nella seguente tabella sono riportate le entrate trimestrali della società Vulcan Materials, fatte registrare a partire dal primo trimestre 1992 fino al terzo trimestre 1998. Entrate trimestrali della società Vulcan Materials (1992-98) ANNO TRIMESTRE 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1 211 214 217 294 309 341 359 2 284 306 327 383 419 445 466 3 312 336 360 422 444 478 510 4 271 282 350 362 398 414 Fonte: Standard & Poor s Stock Reports, November 1995, November 1998. New York: McGraw-Hill, Inc. 11.8 (a) Pensate che le entrate della società siano soggette a variazioni stagionali? (b) Fornite un opportuna rappresentazione grafica delle osservazioni. Il vostro grafico supporta l ipotesi che avete fatto al punto (a)? (c) Adattate alla serie un modello esponenziale con componente stagionale trimestrale. (1) Interpretate il valore del tasso di crescita trimestrale. (2) Commentate i quattro moltiplicatori trimestrali. (3) Qual è la vostra previsione per il quarto trimestre 1998? (4) Quali valori prevedete per i quattro trimestri del 1999? VALIDITÀ E LIMITI DEI METODI DI ANALISI DELLE SERIE STORICHE La validità dei metodi, come quelli descritti in questo capitolo, che si basano sulla conoscenza del passato e del presente per prevedere l evolversi futuro di un fenomeno è accettata da sempre. Se effettivamente non si verificasse nessun cambiamento nei fattori che, nel passato, hanno influenzato l attività economica, i metodi descritti rappresenterebbero uno strumento validissimo per la previsione degli andamenti futuri dell economia e quindi per la valuta- 106 CAPITOLO 11 ANALISI DELLE SERIE STORICHE

levine11_57-116 3-04-2002 8:28 Pagina 107 RIEPILOGO DEL CAPITOLO zione delle migliori strategie aziendali. Naturalmente una simile stabilità non è realistica e di fronte al cambiamento le tecniche presentate non possono non sembrarci ingenue e meccaniche. Proprio per superare alcuni dei limiti dell analisi classica delle serie storiche sono stati elaborati in anni recenti modelli più complessi (modelli econometrici) in grado di considerare l incidenza di fattori quali il giudizio personale dell analista, l esperienza manageriale, il progresso tecnologico, l evoluzione dei gusti e dei bisogni. Tale modellistica (riferimenti bibliografici 2, 3, 6 e 10) va oltre gli scopi di questo libro, in cui si è voluto dare un quadro delle tecniche classiche di analisi delle serie storiche e di previsione degli andamenti futuri, le quali rappresentano pur sempre un valido punto di partenza per l analista e per il manager e un utile strumento di supporto decisionale aziendale. In questo capitolo, come potete osservare nel diagramma di riepilogo, sono stati presentati diversi metodi per l analisi di serie storiche annuali: le medie mobili, il livellamento esponenziale, i modelli lineari, quadratici ed esponenziali, i modelli autoregressivi. Si è inoltre discusso un metodo di regressione con l aggiunta di variabili dummy, utile per cogliere la componente stagionale e tentare un approccio previsivo su serie rilevate con cadenza mensile o trimestrale. PAROLE CHIAVE componente casuale 60 metodo di previsione qualitativo 59 componente ciclica 59 modelli autoregressivi 84 componente irregolare 60 modello autoregressivo componente stagionale 60 del p-esimo ordine 84 deviazione media assoluta (MAD) 94 modello autoregressivo livello esponenziale 75 del primo ordine 84 media mobile 62 modello autoregressivo del secondo ordine 84 metodi di previsione aleatori 59 modello moltiplicativo classico metodi di previsione basati per serie storiche 60 sulle serie storiche 59 modello moltiplicativo classico 60 modello quadratico 74 previsione 84 principio di parsimonia 94 serie storica 59 tecniche di previsione quantitative 59 trend lineare 71 trend 59 Previsione di una serie storica Rappresentazione grafica dei valori Sì Trend? No Trend lineare Trend quadratico Trend esponenziale Modelli autoregressivi Smoothing esponenziale Medie mobili Tabella riassuntiva del capitolo 11. RIEPILOGO DEL CAPITOLO 107

levine11_57-116 3-04-2002 8:28 Pagina 108 Verifica della comprensione Esercizi di riepilogo del Capitolo 11.42 Perché sono importanti le tecniche di previsione? 11.43 Cosa si intende esattamente per serie storica? 11.44 Descrivete le componenti del modello moltiplicativo classico per l analisi di una serie storica. 11.45 Qual è la differenza fra le medie mobili e il livellamento esponenziale? 11.46 Sotto quali circostanze il modello basato su un trend esponenziale deve essere ritenuto il più appropriato? 11.47 In cosa consiste la particolarità dei modelli di regressione discussi in questo capitolo? 11.48 In cosa differiscono i modelli autoregressivi rispetto agli altri approcci per la previsione di una serie storica? 11.49 Quali sono i criteri per la scelta del modello appropriato in un caso concreto? 11.50 Commentate il significato degli indici S YX e MAD nella scelta del modello. 11.51 In che modo le tecniche di previsione su dati mensili o trimestrali differiscono da quelle discusse in relazione a serie con cadenza annuale? POLIO 11.52 I seguenti dati rappresentano l incidenza della poliomielite (numero di casi su 100.000 persone) registrata a cadenza quinquennale nel periodo compreso fra il 1915 e il 1955. Tassi di incidenza della poliomielite ANNO 1915 1920 1925 1930 1935 1940 1945 1950 1955 GAPAC Tasso 3.1 2.2 5.3 7.5 8.5 7.4 10.3 22.1 17.6 Fonte: Data are taken from B. Wattenberg, ed., The Statistical History of the United States: From Colonial Times to the Present, ser. B303 (New York: Basic Books, 1976). (a) Rappresentate i dati in un opportuno grafico. (b) Adattate alla serie un trend lineare e disegnatelo sul precedente grafico. (c) Prevedete l incidenza della malattia per gli anni 1960, 1965 e 1970. 11.53 Nella seguente tabella sono riportate le entrate lorde (a prezzi correnti) della società Georgia-Pacific Corporation nei 24 anni compresi fra il 1975 e il 1998. Entrate lorde (a prezzi correnti) della società Georgia-Pacific Corporation ANNO ENTRATE ANNO ENTRATE ANNO ENTRATE 1975 2.4 1983 6.5 1991 11.5 1976 3.0 1984 6.7 1992 11.8 1977 3.7 1985 6.7 1993 12.3 1978 4.4 1986 7.2 1994 12.7 1979 5.2 1987 8.6 1995 14.3 1980 5.0 1988 9.5 1996 13.0 1981 5.4 1989 10.1 1997 13.1 1982 5.4 1990 12.7 1998 13.3 Fonte: Moody s Handbook of Common Stocks, 1980, 1989, 1993, 1997. Reprinted by permission of Financial Information Services, a division of Financial Communications Company, Inc., and Standard and Poor s Corp., New York: McGraw-Hill, Inc., April 1999. (a) Calcolate le entrate la prezzi costanti 1982-84, dividendo ciascun valore della tabella per l indice dei prezzi al consumo (Esercizio 11.11) e moltiplicando il risultato per 100. (b) Rappresentate la nuova serie di dati in un grafico. (c) Individuate il trend lineare. (d) Individuate il trend quadratico. (e) Individuate il trend esponenziale. 108 CAPITOLO 11 ANALISI DELLE SERIE STORICHE

PMORRIS (f) Stimate un modello autoregressivo del terzo ordine e verificate la significatività del parametro autoregressivo di ordine tre ( = 0.05). (g) Se necessario, stimate un modello autoregressivo del secondo ordine e verificate la significatività del parametro autoregressivo di ordine due ( = 0.05). (h) Se necessario, stimate un modello autoregressivo del primo ordine e verificate la significatività del parametro autoregressivo di ordine uno ( = 0.05). (i) Analizzate i residui dei tre modelli considerati ai punti (c) (e) e del modello autoregressivo più appropriato fra quelli stimati ai punti (f) (h). ( j) Calcolate l indice per tutti i modelli considerati al punto (i). S YX (k) Calcolate l indice MAD per tutti i modelli considerati al punto (i). (l) Sulla base dei risultati ottenuti ai punti (i) (k), e tenendo conto anche del principio di parsimonia, quale fra i modelli confrontati vi sembra il più idoneo a prevedere l andamento futuro della serie? (m) Utilizzate il modello scelto al punto (l) per effettuare una previsione per gli anni 1999-2000. 11.54 Nella seguente tabella sono riportate le entrate lorde (a prezzi correnti) della società Philip Morris nei 24 anni compresi fra il 1975 e il 1998. Entrate lorde (a prezzi correnti) della società Philip Morris ANNO ENTRATE ANNO ENTRATE ANNO ENTRATE 1975 3.6 1983 13.0 1991 56.5 1976 4.3 1984 13.8 1992 59.1 1977 5.2 1985 16.0 1993 60.9 1978 6.6 1986 25.9 1994 65.1 1979 8.1 1987 28.2 1995 66.1 1980 9.6 1988 31.7 1996 69.2 1981 10.7 1989 44.8 1997 72.0 1982 11.6 1990 51.3 1998 74.4 Fonte: Moody s Handbook of Common Stocks, 1980, 1989, 1993, 1997. Reprinted by permission of Financial Information Services, a division of Financial Communications Company, Inc., and Standard and Poor s Corp., New York: McGraw-Hill, April 1999. (a) Calcolate le entrate la prezzi costanti 1982-84, dividendo ciascun valore della tabella per l indice dei prezzi al consumo (Esercizio 11.11) e moltiplicando il risultato per 100. (b) Rappresentate la nuova serie di dati in un grafico. (c) Individuate il trend lineare. (d) Individuate il trend quadratico. (e) Individuate il trend esponenziale. (f ) Adattate alla serie un modello autoregressivo del terzo ordine e verificate la significatività del parametro autoregressivo di ordine tre ( = 0.05). (g) Se necessario, adattate alla serie un modello autoregressivo del secondo ordine e verificate la significatività del parametro autoregressivo di ordine due ( = 0.05). (h) Se necessario, adattate alla serie un modello autoregressivo del primo ordine e verificate la significatività del parametro autoregressivo di ordine uno ( = 0.05). (i) Analizzate i residui dei tre modelli considerati ai punti (c) (e) e del modello autoregressivo più appropriato fra quelli stimati ai punti (f) (h). (j) Calcolate l indice S XY per tutti i modelli considerati al punto (i). (k) Calcolate l indice MAD per tutti i modelli considerati al punto (i). (l) Sulla base dei risultati ottenuti ai punti (i) (k), e tenendo conto anche del principio di parsimonia, quale fra i modelli confrontati vi sembra il più idoneo a prevedere l andamento futuro della serie? (m) Utilizzate il modello scelto al punto (l) per effettuare una previsione per gli anni 1999-2000. ESERCIZI DI RIEPILOGO DEL CAPITOLO 109

levine11_57-116 3-04-2002 8:28 Pagina 110 MCDONALD 11.55 Nella seguente tabella sono riportate le entrate lorde (a prezzi correnti) della società Mc Donald s Corporation nei 24 anni compresi fra il 1975 e il 1998. Entrate lorde (a prezzi correnti) della società McDonald s Corporation ANNO ENTRATE ANNO ENTRATE ANNO ENTRATE 1975 1.0 1983 3.1 1991 6.7 1976 1.2 1984 3.4 1992 7.1 1977 1.4 1985 3.8 1993 7.4 1978 1.7 1986 4.2 1994 8.3 1979 1.9 1987 4.9 1995 9.8 1980 2.2 1988 5.6 1996 10.7 1981 2.5 1989 6.1 1997 11.4 1982 2.8 1990 6.8 1998 12.4 Fonte: Moody s Handbook of Common Stocks, 1980, 1989, 1993, 1997. Reprinted by permission of Financial Information Services, a division of Financial Communications Company, Inc., and Standard and Poor s Corp., New York: McGraw-Hill, April 1999. SEARS (a) Calcolate le entrate la prezzi costanti 1982-84, dividendo ciascun valore della tabella per l indice dei prezzi al consumo (Esercizio 11.11) e moltiplicando il risultato per 100. (b) Rappresentate la nuova serie di dati in un grafico. (c) Individuate il trend lineare. (d) Individuate il trend quadratico. (e) Individuate il trend esponenziale. (f ) Adattate alla serie un modello autoregressivo del terzo ordine e verificate la significatività del parametro autoregressivo di ordine tre ( = 0.05). (g) Se necessario, adattate alla serie un modello autoregressivo del secondo ordine e verificate la significatività del parametro autoregressivo di ordine due ( = 0.05). (h) Se necessario, adattate alla serie un modello autoregressivo del primo ordine e verificate la significatività del parametro autoregressivo di ordine uno ( = 0.05). (i) Analizzate i residui dei tre modelli considerati ai punti (c) (e) e del modello autoregressivo più appropriato fra quelli stimati ai punti (f) (h). (j) Calcolate l indice S XY per tutti i modelli considerati al punto (i). (k) Calcolate l indice MAD per tutti i modelli considerati al punto (i). (l) Sulla base dei risultati ottenuti ai punti (i) (k), e tenendo conto anche del principio di parsimonia, quale fra i modelli confrontati vi sembra il più idoneo a prevedere l andamento futuro della serie? (m) Utilizzate il modello scelto al punto (l) per effettuare una previsione per gli anni 1999-2000. 11.56 Nella seguente tabella sono riportate le entrate lorde (a prezzi correnti) della società Sears, Roebuck & Company nei 24 anni compresi fra il 1975 e il 1998. Entrate lorde (a prezzi correnti) della società Sears, Roebuck & Company ANNO ENTRATE ANNO ENTRATE ANNO ENTRATE 1975 13.1 1983 35.9 1991 57.2 1976 17.7 1984 38.8 1992 52.3 1977 19.6 1985 40.7 1993 50.8 1978 22.9 1986 42.3 1994 54.6 1979 24.5 1987 48.4 1995 34.9 110 CAPITOLO 11 ANALISI DELLE SERIE STORICHE

levine11_57-116 3-04-2002 8:28 Pagina 111 WALMART 1980 25.2 1988 50.3 1996 38.2 1981 27.4 1989 53.8 1997 41.3 1982 30.0 1990 56.0 1998 41.3 Fonte: Moody s Handbook of Common Stocks, 1980, 1989, 1993, 1997. Reprinted by permission of Financial Information Services, a division of Financial Communications Company, Inc., and Standard and Poor s Corp., New York: McGraw-Hill, April 1999. (a) Calcolate le entrate prezzi a costanti 1982-84, dividendo ciascun valore della tabella per l indice dei prezzi al consumo (Esercizio 11.11) e moltiplicando il risultato per 100. (b) Rappresentate la nuova serie di dati in un grafico. (c) Individuate il trend lineare. (d) Individuate il trend quadratico. (e) Individuate il trend esponenziale. (f ) Adattate alla serie un modello autoregressivo del terzo ordine e verificate la significatività del parametro autoregressivo di ordine tre ( = 0.05). (g) Se necessario, adattate alla serie un modello autoregressivo del secondo ordine e verificate la significatività del parametro autoregressivo di ordine due ( = 0.05). (h) Se necessario, adattate ala serie un modello autoregressivo del primo ordine e verificate la significatività del parametro autoregressivo di ordine uno ( = 0.05). (i) Analizzate i residui dei tre modelli considerati ai punti (c) (e) e del modello autoregressivo più appropriato fra quelli stimati ai punti (f) (h). (j) Calcolate l indice S XY per tutti i modelli considerati al punto (i) (k) Calcolate l indice MAD per tutti i modelli considerati al punto (i) (l) Sulla base dei risultati ottenuti ai punti (i) (k), e tenendo conto anche del principio di parsimonia, quale fra i modelli confrontati vi sembra il più idoneo a prevedere l andamento futuro della serie? (m) Utilizzate il modello scelto al punto (l) per effettuare una previsione per gli anni 1999-2000. 11.57 Nella seguente tabella sono riportate le entrate trimestrali fatte registrare dalla società Wal- Mart Stores nel periodo di 7 anni compreso fra il 1992 e il 1998. Entrate trimestrali della società Wal-Mart Stores (1992-1998) WORKWEEK ANNO TRIMESTRE 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1 9280 11 650 13 920 17 690 20 440 22 772 25 409 2 10 340 13 030 16 237 19 942 22 723 25 587 28 366 3 10 630 13 680 16 827 20 418 22 913 25 644 28 777 4 13 640 17 122 20 361 24 448 27 550 30 856 35 386 Fonte: Standard & Poor s Stock Reports, November 1995, November 1998. New York: McGraw-Hill, Inc. (a) Quali fra le componenti che in generale compongono una serie storica riuscite ad individuare nei dati riportati nella tabella? (b) Rappresentate i valori in un grafico. (c) Adattate alla serie un modello esponenziale con componente trimestrale. (d) Interpretate i valori dei moltiplicatori trimestrali. (e) Effettuate una previsione a tutti i trimestri degli anni 1999 e 2000. 11.58 Nella seguente tabella è riportato il numero medio di ore di lavoro settimanali per addetti alla produzione nel ramo manifatturiero, calcolato mensilmente a partire dal gennaio 1992 fino a dicembre 1997. ESERCIZI DI RIEPILOGO DEL CAPITOLO 111

levine11_57-116 3-04-2002 8:28 Pagina 112 Numero medio di ore di lavoro settimanali nel ramo manifatturiero ANNO MESE 1992 1993 1994 1995 1996 1997 Gennaio 40.8 41.3 41.7 42.2 40.1 41.8 Febbraio 41.0 41.5 41.2 41.9 41.4 41.9 Marzo 41.0 41.1 42.0 41.8 41.3 42.1 Aprile 41.0 41.6 41.9 41.5 41.5 42.1 Maggio 41.1 41.3 42.0 41.4 41.6 42.0 Giugno 41.1 41.2 42.0 41.4 41.7 41.8 Luglio 41.1 41.4 42.0 41.3 41.6 41.8 Agosto 41.1 41.4 42.0 41.5 41.7 41.8 Settembre 41.0 41.6 41.9 41.5 41.7 41.9 Ottobre 41.1 41.5 42.1 41.5 41.7 42.0 Novembre 41.2 41.6 42.1 41.5 41.7 42.1 Dicembre 41.2 41.7 42.1 41.2 42.0 42.1 a a Stima. Fonte: Standard & Poor s Current Statistics, January 1998, 7. Reprinted by permission of Financial Information Services, a division of Financial Communications Company, Inc. (a) Rappresentate i valori in un grafico. (b) Adattate alla serie un modello esponenziale con componente mensile e utilizzatelo per effettuare una previsione della serie a tutti i mesi del 1998. IL CASO ANALISI DI UNA SERIE STORICA DI TASSI DI CAMBIO Supponete di essere membro di una società finanziaria che investe a livello internazionale. I vostri soci, per stabilire la politica degli investimenti, hanno bisogno di una previsione dei valori futuri dei tassi di cambio rispetto al dollaro americano di diverse valute quali il dollaro canadese, il franco francese, il marco tedesco, lo yen giapponese e la sterlina inglese. Nella tabella sono riportati i cambi (rispetto al dollaro americano) registrati negli anni dal 1967 al 1997. Analizzate opportunamente le cinque serie storiche proposte, utilizzando gli strumenti appresi in questo capitolo, e prevedete i tassi di cambio delle cinque valute rispetto al dollaro americano per gli anni 1998-1999 e 2000. CURRENCY Tassi di cambio di cinque valute rispetto al dollaro americano DOLLARO FRANCO MARCO YEN STERLINA ANNO CANADESE FRANCESE TEDESCO GIAPPONESE INGLESE a 1967 1.0789 4.921 3.9865 362.13 275.04 1968 1.0776 4.953 3.9920 360.55 239.35 1969 1.0769 5.200 3.9251 358.36 239.01 1970 1.0444 5.529 3.6465 358.16 239.15 1971 1.0099 5.510 3.4830 347.79 244.42 1972 0.9907 5.044 3.1886 303.13 250.34 1973 1.0002 4.454 2.6715 271.31 245.25 1974 0.9780 4.811 2.5868 291.84 234.03 1975 1.0175 4.288 2.4614 296.78 222.17 1976 0.9863 4.783 2.5185 296.45 180.48 1977 1.0633 4.916 2.3236 268.62 174.49 112 CAPITOLO 11 ANALISI DELLE SERIE STORICHE

levine11_57-116 3-04-2002 8:28 Pagina 113 1978 1.1405 4.509 2.0097 210.39 191.84 1979 1.1713 4.257 1.8343 219.02 212.24 1980 1.1693 4.225 1.8175 226.63 232.46 1981 1.1990 5.440 2.2632 220.63 202.43 1982 1.2344 6.579 2.4281 249.06 174.80 1983 1.2325 7.620 2.5539 237.55 151.59 1984 1.2952 8.736 2.8455 237.46 133.68 1985 1.3659 8.980 2.9420 238.47 129.74 1986 1.3896 6.926 2.1705 168.35 146.77 1987 1.3259 6.012 1.7981 144.60 163.98 1988 1.2306 5.960 1.7570 128.17 178.13 1989 1.1842 6.380 1.8808 138.07 163.82 1990 1.1668 5.447 1.6166 145.00 178.41 1991 1.1460 5.647 1.6610 134.59 176.74 1992 1.2085 5.294 1.5618 126.78 176.63 1993 1.2901 5.663 1.6533 111.20 150.20 1994 1.3656 5.552 1.6228 102.21 153.16 1995 1.3027 4.853 1.5014 103.35 152.84 1996 1.3704 5.184 1.5415 115.87 171.26 1997 1.4296 6.024 1.7986 130.38 165.18 a In cents per pound. Fonte: Board of Governors of the Federal Reserve System, Table B-107. IL CASO IL CASO SPRINGVILLE HERALD Si è discusso dell importanza che riveste per il giornale il ramo delle consegne a domicilio, per incrementare le quali i responsabili di marketing del quotidiano hanno messo a punto una serie di strategie di cui si è parlato nei precedenti capitoli. Ora il giornale vuole verificare se effettivamente l impegno ha prodotto i risultati sperati. A tal fine i responsabili hanno raccolto informazioni dettagliate sul numero di abbonamenti per consegna a domicilio in un periodo di due anni (Tabella SH11.1). SH11 Tabella SH11.1 Numero di abbonamenti per consegna a domicilio in un periodo di 24 mesi MESE ABBONAMENTI MESE ABBONAMENTI 1 75 327 13 90 507 2 77 116 14 91 927 3 79 341 15 93 878 4 80 983 16 94 784 5 82 326 17 96 109 6 82 879 18 97 189 7 84 006 19 97 899 8 85 119 20 99 208 9 86 182 21 100 537 10 87 418 22 102 028 11 88 063 23 103 977 12 89 444 24 106 375 IL CASO SPRINGVILLE HERALD 113

levine11_57-116 3-04-2002 8:28 Pagina 114 (a) Analizzate opportunamente i valori della serie e individuate un modello che vi consenta di effettuare previsioni. (b) Prevedete il numero di abbonamenti per i 4 mesi successivi. (c) Siete in grado di utilizzare il vostro modello per previsioni a oltre un anno nel futuro? BIBLIOGRAFIA 1. Bails, D.G., e L.C. Peppers, Business Fluctuations: Forecasting Techniques and Applications (Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, 1982). 2. Bowerman, B.L., e R.T. O Connell, Forecasting and Time Series, 3d ed. (North Scituate, MA: Duxbury Press, 1993). 3. Box, G.E.P., G.M. Jenkins, e G.C. Reinsel, Time Series Analysis: Forecasting and Control, 3d ed. (Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, 1994). 4. Brown, R.G., Smoothing, Forecasting, and Prediction (Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, 1963). 5. Chambers, J.C., S.K. Mullick, e D.D. Smith, How to Choose the Right Forecasting Technique, Harvard Business Review 49, no. 4 (July August 1971): 45 74. 6. Frees, E.W., Data Analysis Using Regression Models: The Business Perspective (Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, 1996). 7. Hanke, J.E., e A.G. Reitsch, Business Forecasting, 6th ed. (Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, 1998). 8. Mahmoud, E., Accuracy in Forecasting: A Survey, Journal of Forecasting 3 (1984): 139 159. 9. Microsoft Excel 2000 (Redmond, WA: Microsoft Corp., 1999). 10. Newbold, P., Statistics for Business and Economics, 4th ed. (Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, 1994). 11. Wilson, J.H., e B. Keating, Business Forecasting (Homewood, IL: Irwin, 1990). A11.1 L USO DI MICROSOFT EXCEL PER L ANALISI DELLE SERIE STORICHE L uso di Excel per il calcolo delle medie mobili Per mostrare l applicazione del calcolo di una media mobile con l uso di Excel, aprite il file GM.XLS e considerate il foglio di lavoro Data. Selezionate Strumenti Analisi dei dati e scegliete l opzione media mobile. Inserite C1 : C25 nel campo Intervallo di input, selezionate l opzione Etichette nella prima riga, inserite l ordine della media mobile (in questo caso 3) nel campo Intervallo e scegliete un opportuno Intervallo di output (ad esempio D2:D25). Fate clic sul tasto OK e otterrete nella colonna D la media mobile di ordine 3 calcolata sulle osservazioni. Ripetete il procedimento richiedendo di calcolare la media mobile di ordine 7. Si osserva che in entrambi i casi Excel non posiziona correttamente l output in corrispondenza della parte centrale della serie, ma lo sposta di qualche cella verso il basso. Potete correggere l errore con un semplice tagliaincolla che sposti la serie delle medie mobili di ordine tre a partire dalla terza cella e quella delle medie di ordine 7 a partire dalla quinta cella, in modo da centrare correttamente le medie. L uso di Excel per il livellamento (o smorzamento) esponenziale Scegliete ora, all interno del percorso Strumenti Analisi dei dati l opzione Smorzamento esponenziale. Inserite C1:C25 nel campo Intervallo di input, selezionate l opzione Etichette nella prima riga. Se volete ottenere valori smussati con un W = 0.25, inserite il valore 1 W = 0.75 nel campo Fattore di smorzamento e scegliete un opportuno Intervallo di output (ad esempio F2:F25). Ripetete il procedimento scegliendo un fattore di smorzamento pari a 0.5. Anche in questo caso dovete incollare le formule una riga più in alto rispetto a quella automaticamente scelta da Excel. A questo punto potete utilizzare Autocomposizione grafico per rappresentare i valori, le medie mobili e i valori smorzati, seguendo le indicazioni fornite nell Appendice 2.1. 114 CAPITOLO 11 ANALISI DELLE SERIE STORICHE

levine11_57-116 3-04-2002 8:28 Pagina 115 L uso di Excel per la determinazione del trend col metodo dei minimi quadrati La determinazione di un trend col metodo dei minimi quadrati con riferimento a una serie storica si traduce nell applicazione di un modello di regressione. Si rimanda pertanto a quanto detto nelle Appendici 9.1 (per la stima di un trend lineare), 10.1 (per la stima di un trend non lineare). In particolare se vogliamo adattate alla serie un modello esponenziale dobbiamo semplicemente effettuare la trasformazione logaritmica delle osservazioni e considerare la nuova variabile come variabile dipendente in un modello di regressione lineare. L uso di Excel per la determinazione di modelli autoregressivi Anche i modelli autoregressivi si riducono a modelli di regressione multipla: in questo caso i regressori (variabili indipendenti) sono le variabili ritardate. A titolo di esempio aprite il file EAST- MANK.XLS e posizionatevi sul foglio di lavoro Data. Copiate per comodità le colonne relative al valore assegnato all anno e alla variabile dipendente (entrate lorde) in un nuovo foglio di lavoro (colonne A e B). Per creare la variabile ritardata di un periodo inserite la formula =B2 nella cella C3 e copiatela nella stessa colonna fino alla riga 25. Ricordate di inserire il simbolo #N/A nella cella rimasta vuota (C2) in modo tale che il contenuto della cella sia considerato come un valore mancante ai fini della regressione. In modo del tutto analogo create nelle colonne D e D le variabili ritardate di 2 e 3 periodi. A questo punto potete utilizzare l opzione Strumenti Analisi dei dati Regressione per stimare i parametri del modello (vedi anche Appendice 9.1). L uso di Excel per calcolare l indice MAD (deviazione media assoluta) Excel non prevede il calcolo automatico dell indice MAD per i modelli descritti. Tuttavia il MAD può essere agevolmente calcolato applicando ai residui del modello le formule di Excel. Si è visto che tutti i modelli presentati possono essere visti come casi particolari di modelli di regressione. Uno degli output Excel del modello di regressione è dato dai residui. Il MAD si ottiene applicando ai valori assoluti dei residui (=ASS()) la funzione MEDIA. Il calcolo del MAD diventa un po più complesso nel caso di trend esponenziale. In questo caso infatti il modello restituisce il logaritmo (in base 10) dei valori previsti e quindi, prima di calcolare i residui del modello, occorre passare all antilogaritmo e quindi calcolare i residui basandosi su quest ultimo valore. Si tratta cioè di applicare la funzione: Per esempio POTENZA (10; 2) = 100 = 10 2. POTENZA(numero; potenza) APPENDICE 115