Attività laboratoriale per introdurre i sistemi di numerazione Questa fase è di tipo laboratoriale, non viene introdotto l argomento con una lezione frontale, si cerca prima di effettuare una lezione che coinvolga la classe e quindi si cerca di mantenere vivo il loro interesse e di sviluppare un po la loro curiosità. Consideriamo delle monetine e delle banconote, l utilizzo di oggetti che si conoscono e si sanno usare facilita il confronto con oggetti astratti quali i numeri. Per acquistare qualsiasi cosa abbiamo bisogno dei soldi. La monetina di minor valore che noi usiamo è il centesimo: Moneta Centesimo Prendiamo delle monetine da un centesimo e formiamo un blocchetto di dieci monetine. Quando le contiamo diciamo che dieci monetine da un centesimo sono dieci centesimi e noi / 09
abbiamo un altra monetina che vale proprio dieci centesimi. 0 Monete Centesimo = Dieci centesimi 2 / 09
Moneta Quindi quando acquistiamo qualche cosa o diamo dieci monetine da un centesimo o diamo una sola monetina che vale dieci centesimi. Ora facciamo un altro blocchetto di dieci monetine da dieci centesimi. Quando le contiamo diciamo che abbiamo dieci monete da dieci centesimi oppure diciamo che abbiamo un euro. Cioè dieci monetine da dieci centesimi sono uguali ad un euro e noi abbiamo un altra moneta che vale proprio un euro. 0 Monete 3 / 09
Dieci centesimi = Euro Moneta Prendiamo ora dieci monete da un euro e facciamo un altro blocchetto, contiamole e vediamo che abbiamo dieci euro, noi abbiamo una banconota che vale proprio dieci euro. Dunque quando acquistiamo delle cose possiamo pagare o dando dieci monete da un euro o dando una sola banconota da dieci euro. 0 4 / 09
Monete Euro = Dieci euro 5 / 09
Moneta Se raggruppiamo dieci banconote da dieci euro otteniamo cento euro e anche in questo caso abbiamo una banconota da cento euro. Quindi invece di avere nel borsellino dieci banconote da dieci euro possiamo avere una sola banconota da cento euro. 0 Monete 6 / 09
Dieci Euro = Cento Euro Moneta Osserviamo ora quello che abbiamo fatto. Possiamo vedere che ad ogni mucchietto di dieci monete o dieci banconote corrisponde una moneta o una banconota. 7 / 09
Quindi sono stati effettuati dei raggruppamenti di oggetti a dieci a dieci, ma la moneta che andiamo a sostituire ai vari blocchetti è di pari valore. Pertanto possiamo dire che: Il nostro sistema di numerazione è decimale, in quanto dieci sono i simboli e le unità vengono raggruppate di dieci in dieci. In questa fase di lavoro non parliamo di ordini e non diamo nozioni sull argomento teorico, si cerca solo di far capire il concetto di raggruppamento e di sostituzione di un oggetto con uno di pari valore, ma di tipo diverso. La visione degli oggetti e l uso dei soldi, che conosciamo, ci permettere di far comprendere facilmente e in modo immediato quello che vogliamo trasmettere. La visione che si ha è simile a quella che rappresento nella tabella che segue. 0 0 0 8 / 09
0 9 / 09
0 / 09
/ 09
= = = = 2 / 09
3 / 09
Possiamo sostituire 0 monete dello stesso tipo con moneta di tipo diverso. Quello che abbiamo fatto è raggruppare sempre in blocchetti di dieci, quindi quello che è stato fatto è contare fino a dieci e poi sostituire dieci con uno. Riguardiamo bene, a dieci monetine da un centesimo abbiamo sostituito una monetina da dieci centesimi. Quindi al posto di dieci monete abbiamo una moneta che vale 0 volte la monetina precedente. Quello che stiamo facendo è usare un sistema di numerazione decimale, cioè un sistema di numerazione che ad ogni gruppo di dieci cose ne sostituisce una sola. Le cifre e i sistemi di numerazione 4 / 09
Fin dai tempi più antichi l uomo ha avvertito la necessità di contare, per esempio il suo bestiame, gli alberi del suo campo, i suoi oggetti di valore,... Quindi fin dalle più antiche civiltà emerse la necessità di trovare un procedimento che consentisse di rappresentare i numeri. Poiché la serie dei numeri naturali è illimitata, dovremmo adoperare infiniti simboli, ma questo è impossibile. Quindi bisogna cercare un sistema con un insieme limitato di simboli, che combinati opportunamente tra loro esprimano qualsiasi numero naturale. Ci sono infiniti numeri e ad ogni numero bisogna far corrispondere un simbolo. Poiché abbiamo infiniti numeri, è facile pensare che ci vogliono infiniti simboli per scrivere tutti i numeri. Ma pensiamo a questa cosa, conosciamo infiniti simboli per scrivere un numero? Non possiamo ricordarci infiniti simboli, quindi questo vuol dire che c è qualche procedimento che ci consente di rappresentare i numeri usando pochi simboli. 5 / 09
Abbiamo detto che per scrivere i numeri usiamo dei simboli, i simboli che usiamo noi ora per scrivere i numeri sono: 0 2 3 4 5 6 7 8 9 Questi simboli vengono chiamate cifre. I simboli utilizzati per scrivere un numero sono chiamati cifre. Quando scriviamo 3562 Abbiamo scritto un numero e questo numero è formato da cinque simboli, quindi da cinque cifre. Che sono: 3 5 6 2 Quando scriviamo il numero: 565464 usiamo sette cifre che sono: 6 / 09
5 6 5 4 6 4 Quando scriviamo il numero: 2 abbiamo un numero con due cifre che sono: 2 Possiamo scrivere anche numeri come: 9 che è costituito da una sola cifra che è 9 Dunque le cifre sono: 0 2 3 4 5 6 7 8 9 7 / 09
Scrivendo le cifre una vicina all altra otteniamo un numero. Quello che abbiamo trovato è un insiemi di simboli con cui scrivere i numeri, quello che stiamo facendo è trovare un sistema di numerazione. Un sistema di numerazione è formato da una serie di simboli con i quali si rappresentano alcuni numeri e da un insieme di regole con le quali questi simboli vengono raggruppati per rappresentare tutti i numeri possibili. Vedremo che ci sono modi diversi di scrivere i numeri e quindi ci sono diversi sistemi di numerazione. Attività laboratoriale sul funzionamento del sistema decimale Prendiamo di nuovo la monetina da un centesimo, poiché è la più piccola delle monetine che viene usata in Europa, diciamo che questa monetina è una unità del primo, in quanto non ci sono monete di valore inferiore al centesimo: Unità del primo Abbiamo visto che dieci monetine da un centesimo sono pari ad una moneta da dieci centesimi, 8 / 09
diciamo quindi che questa seconda moneta ha lo stesso valore delle dieci monetine da un centesimo ma è una unità del secondo, quindi dieci unità del primo formano una unità del secondo 0 Unità del primo = Unità del secondo Poi abbiamo preso dieci monete da dieci centesimi e abbiamo visto che hanno lo stesso valore di una moneta da un euro. 9 / 09
Quindi dieci unità del secondo sono uguali ad una unità del terzo : 0 Unità del secondo = Unità del terzo Abbiamo poi preso dieci monete da un euro e abbiamo visto che hanno lo stesso valore di una sola banconota da dieci euro. 20 / 09
Quindi dieci unità del terzo sono uguali ad una sola unità del quarto : 0 Unità del terzo = 2 / 09
Unità del quarto Infine avevamo preso dieci banconote da dieci euro e avevamo visto che hanno lo stesso valore di una banconota da cento euro. Quindi dieci unità del quarto sono uguali ad una unità del quinto : 0 Unità del quarto = 22 / 09
Unità del quinto Quindi: Centesimo Unità del 0 Centesimi Unità del 2 23 / 09
Euro Unità del 3 0 Euro Unità del 4 00 Euro Unità del 5 24 / 09
Dunque Ogni volta che raggruppiamo dieci unità dello stesso, cioè delle cose dello stesso tipo, formiamo un unità dell successivo, cioè abbiamo una cosa diversa, ma di uguale valore che è di un superiore alla precedente. I popoli antichi (babilonesi, cinesi, greci, romani) per fare i conti usavano l abaco: una tavoletta con scanalature numerate contenenti sassolini mobili opportunamente disposti. In seguito questo strumento fu sostituito da un altro formato da bacchette di legno o fili metallici, nei quali venivano infilate delle palline. Da questo è derivato il pallottoliere che ancora oggi viene usato dai bambini molto piccoli. Nell abaco verticale le bacchette corrispondono da destra a sinistra, alle: unità, decine, centinaia, unità di migliaia e così via, cioè: 0 palline in una bacchetta equivalgono a pallina nella bacchetta successiva a sinistra. 25 / 09
Quindi ad esempio il numero 423 si può rappresentare in questo modo: Il funzionamento del sistema decimale Ora vediamo di trasportare quello che è stato detto raggruppando le monetine ai numeri. Il numeri infatti si comportano come i regoli e le monetine. Nel sistema di numerazione decimale si rappresentano tutti i numeri naturali usando solo dieci simboli. I dieci simboli utilizzati in questo sistema di numerazione si chiamano cifre e sono: 0 2 3 4 5 6 7 8 9 Con questi simboli si rappresentano anche i primi dieci numeri naturali da zero a nove. Abbiamo detto che questo sistema di numerazione si chiama decimale perché usiamo dieci simboli. Nel caso dei numeri abbiamo che il numero è il più piccolo e si dice unità del primo : 26 / 09
Unità del primo Dieci unità del primo formano una unità del secondo che viene chiamata anche decina, quindi il numero 0 indica la decina 0 Unità del primo = Unità del secondo = Decina 27 / 09
Dieci unità del secondo formano una unità del terzo che viene chiamata anche centinaio, quindi il numero 00 indica il centinaio 0 Unità del secondo = 0 Decina = = 28 / 09
Unità del terzo Unità del terzo = = Centinaio 29 / 09
Centinaio Dieci unità del terzo formano una unità del quarto che viene chiamata anche mi gliaio, quindi 000 indica un migliaio. 0 Unità del terzo = 0 Centinaia = = 30 / 09
Unità del quarto Unità del quarto = = Migliaio 3 / 09
Migliaio Dieci unità del quarto formano una unità del quinto che viene chiamata anche decina di migliaia, infatti 0.000 (diecimila) si chiama anche decina di migliaia: 0 Unità del quarto = 0 Migliaia = = 32 / 09
Unità del quinto Unità del quinto = Decina di Migliaia 33 / 09
Decina di Migliaia Dieci unità del quinto formano una unità del sesto che viene chiamata anche ce ntinaio di migliaia, infatti 00.000 (centomila) indica le centinaia di migliaia: 0 Unità del quinto = 0 Decine di Migliaia = = 34 / 09
Unità del sesto Unità del sesto = = Centinaia di Migliaia 35 / 09
Centinaio di Migliaia Dieci unità del sesto formano una unità del settimo che viene chiamata anche milione : 0 Unità del sesto = 0 Centinaia di Migliaia = 36 / 09
= Unità del settimo Unità del settimo = = Milione 37 / 09
Milione Continuando così si trovano le unità degli altri ordini, cioè i miliardi o bilioni, i trilioni, ecc. Unità, decine, centinaia... si dicono unità intere del, 2, 3.... Per ricordare queste cose possiamo utilizzare la seguente tabella: classe dei MILIARDI classe dei MILIONI classe delle MIGLIAIA classe delle 38 / 09
UNITA 2 0 9 8 39 / 09
7 6 5 4 3 2 40 / 09
centinaia Di miliardi decine di miliardi unità di miliardi centinaia di 4 / 09
milioni decine Di milioni unità Di milioni centinaia di migliaia decine di 42 / 09
migliaia unità di migliaia centinaia semplici decine semplici unità semplici Il sistema di numerazione decimale è fondato sulla convenzione che ogni cifra posta a sinistra di un altra è di immediatamente maggiore. 43 / 09
Oppure in modo diverso possiamo dire che: Ogni unità di un dato rappresenta 0 unità dell immediatamente inferiore. Ad esempio: decina semplice = 0 unità semplici centinaio semplice = 0 decine semplici Scriviamo 22: classe dei MILIARDI classe dei MILIONI classe delle MIGLIAIA classe delle 44 / 09
UNITA 2 0 9 8 45 / 09
7 6 5 4 3 2 46 / 09
centinaia Di miliardi decine di miliardi unità di miliardi centinaia di 47 / 09
milioni decine Di milioni unità Di milioni centinaia di migliaia decine di 48 / 09
migliaia unità di migliaia centinaia semplici decine semplici unità semplici 49 / 09
2 2 Si ha che il 2 scritto a destra rappresenta il numero di unità semplici o di primo, il 2 scritto a sinistra rappresenta quello delle decine o di secondo e l quello delle centinaia di migliaia o del terzo. 50 / 09
Quindi possiamo notare che le due cifre 2 all interno del numero hanno un significato diverso. La loro posizione all interno del numero ha cambiato il loro significato, il 2 a destra ci dice che ci sono 2 oggetti, il 2 a sinistra ci dice che ce ne sono 2 decine e quindi ci sono 20 oggetti. Scriviamo 377: classe dei MILIARDI classe dei MILIONI classe delle MIGLIAIA classe delle UNITA 5 / 09
2 0 9 8 52 / 09
7 6 5 4 3 2 53 / 09
centinaia Di miliardi decine di miliardi unità di miliardi centinaia di 54 / 09
milioni decine Di milioni unità Di milioni centinaia di migliaia decine di 55 / 09
migliaia unità di migliaia centinaia semplici decine semplici unità semplici 56 / 09
3 7 7 Si ha che il 7 scritto a destra rappresenta il numero di unità semplici o di primo, il 7 scritto a sinistra rappresenta quello delle decine o di secondo e l 3 quello delle centinaia di migliaia o del terzo. 57 / 09
Scriviamo 222: classe dei MILIARDI classe dei MILIONI classe delle MIGLIAIA classe delle UNITA 2 58 / 09
0 9 8 7 6 59 / 09
5 4 3 2 centinaia 60 / 09
Di miliardi decine di miliardi unità di miliardi centinaia di milioni decine 6 / 09
Di milioni unità Di milioni centinaia di migliaia decine di migliaia unità 62 / 09
di migliaia centinaia semplici decine semplici unità semplici 63 / 09
2 2 2 Si ha che il 2 scritto a destra rappresenta il numero di unità semplici o di primo, il 2 scritto alla sua sinistra rappresenta quello delle decine o di secondo e il 2 scritto ancora più a sinistra quello delle centinaia di migliaia o del terzo. Scriviamo 999: classe dei 64 / 09
MILIARDI classe dei MILIONI classe delle MIGLIAIA classe delle UNITA 2 65 / 09
0 9 8 7 6 5 66 / 09
4 3 2 centinaia Di miliardi decine di 67 / 09
miliardi unità di miliardi centinaia di milioni decine Di milioni unità Di 68 / 09
milioni centinaia di migliaia decine di migliaia unità di migliaia centinaia semplici 69 / 09
decine semplici unità semplici 70 / 09
9 9 9 Si ha che il 9 scritto a destra rappresenta il numero di unità semplici o di primo, il 9 scritto alla sua sinistra rappresenta quello delle decine o di secondo e il 9 scritto ancora più a sinistra quello delle centinaia di migliaia o del terzo. Si vede così che ogni cifra ha un valore particolare che dipende dalla posizione che ha nel numero, ecco perché il sistema decimale viene anche detto sistema posizionale. Il nostro sistema di numerazione è posizionale, in quanto il valore delle cifre dipende dalla loro posizione. I numeri romani I Romani usavano dei numeri diversi da noi, essi avevano dei numeri principali che indicavano con delle lettere: 7 / 09
Numeri decimali 5 0 50 00 500?000 Numeri romani principali I V 72 / 09
X L C D M A partire da questi numeri scrivevano gli altri numeri. L insieme dei simboli e delle regole usate dai Romani per scrivere i numeri ci dà il sistema di numerazione romano, che funziona in modo diverso dal sistema di numerazione decimale. In base ai numeri che loro usavano per scrivere 2, facevano il seguente ragionamento: siccome 2 è fatto da + allora possiamo scriverlo come: 2 = II E per scrivere 3? Facevano lo stesso ragionamento: siccome 3 è dato da + + si può scrivere: 3 = III 73 / 09
Pensiamo al numero 4, siccome 4 = + + + se volessimo continuare con questo ragionamento dovremmo scrivere: 4 = IIII Ma noi sappiamo che per ottenere 4 possiamo anche fare: 5 = 4 Allora i romani hanno pensato di scrivere il numero 5 e di farlo precedere dal numero, cioè di scrivere il numero 4 in questo modo: IV Quindi si considera il numero principale più a destra che compare nella scrittura e si sottrae il valore del numero principale scritto a sinistra. Per il numero 6 invece ritorniamo ad usare il ragionamento precedente, siccome 6 è dato da 5 + allora: 6 = VI e così per 7 = 5 + + si scrive: 74 / 09
7 = VII e per l 8 = 5+ + + abbiamo: 8 = VIII Per il 9 invece si fa lo stesso ragionamento fatto per il 4, siccome 0 = 9 scriviamo: 9 = IX Quindi non si scrivono mai quattro simboli uguali vicino, ma al massimo tre. I Romani usavano la seguente convenzione: Il sistema di numerazione romana è fondato sulla convenzione che se alla destra di un numero se ne scrive un altro di valore uguale o minore, il suo valore si aggiunge al primo, mentre se si scrive alla sua sinistra un simbolo di valore minore, il suo valore viene sottratto. Quindi il numero 8 = 0 + 5 + 3 = 0 + 5 + + + si scriverà: 75 / 09
8 = XVIII Mentre il numero 9 = 0 + 9 si scriverà: XIX E il numero presente nel nome della vostra scuola è quindi: 23 = XXIII in quanto 23 = 20 + 3 = 0 + 0 + 3. Il sistema di numerazione romano funziona diversamente da quello decimale, qui per scrivere un numero non facciamo nessun raggruppamento e il simbolo ha sempre lo stesso valore all interno del numero, infatti quando scriviamo 23 = XXIII la X vale sempre 0 e il simbolo I vale sempre. Per scrivere i numeri romani noi dobbiamo fare delle operazioni di somma e sottrazione usando sempre i simboli principali, e quindi questo sistema di numerazione non è posizionale, ma viene detto sistema additivo. Il sistema di numerazione Romano è un sistema di numerazione additivo, perchè ogni numero è rappresentato dalla somma delle cifre che lo compongono. 76 / 09
Gli antichi sistemi di numerazione Abbiamo visto che per contare possiamo raggruppare gli oggetti in blocchetti, ma prima ancora di usare questo metodo gli uomini primitivi usavano fare delle tacche su pezzi di legno o di pietra o ossa di animali. Figuratevi che esiste un osso di lupo del 30000 a.c. con 55 tacche che dovrebbero corrispondere agli animali uccisi da quell uomo. Però quando le cose da contare sono tante fare delle incisioni su un oggetto non risolveva il problema, quindi i vari popoli cercarono di pensare a dei metodi per scrivere i numeri. I Sumeri Il primo popolo che inventò un sistema di numerazione furono i Sumeri che nel III millennio a.c. iniziarono ad usare dei simboli a forma di cuneo per rappresentare i numeri. In effetti i Sumeri usarono solo 2 simboli: Che rappresenta il numero 77 / 09
Che rappresenta il numero 0 I numeri da a 59 erano rappresentati nel seguente modo: 20 2 78 / 09
30 3 40... 79 / 09
50 0 5 80 / 09
52 2... 3 8 / 09
59... 82 / 09
Vediamo che questo modo di scrivere i numeri è molto simile a quello che usarono i Romani per il loro sistema di numerazione, infatti anche in questo caso aggiungiamo tanti simboli uguali, ma i simboli hanno sempre lo stesso valore in qualunque posizione si trovano. Quindi potremmo dire che i Sumeri usavano un sistema di numerazione additivo come poi fecero i romani. Ma questo è vero solo in parte e vediamo perché. Abbiamo detto che quelli sono i numeri fino a 59, ma allora dopo come erano scritti i numeri? Il numero 60 loro lo scrivevano così: Che rappresenta il numero 60 Il numero e il numero 60 erano scritti con gli stessi simbolo Che rappresenta il numero 83 / 09
Che rappresenta il numero 60 E qui le cose si complicano, infatti da questo punto in poi in base alla posizione che ha questo simbolo cambia il suo valore e il suo significato. Nel nostro sistema di numerazione per leggere bene separiamo le cifre con un puntino, mentre loro le separavano lasciando uno spazio vuoto. Anche qui iniziano ad esserci grandezze di diverso, non solo, ma quando mettiamo vicino due simboli che rappresentano il 60 non abbiamo 60+60 = 20 ma 60 x 60 = 3600 Quindi il sistema usato dai Sumeri era misto, era additivo fino al numero 59 e poi diventa posizionale. Ed è molto difficile non solo da scrivere un numero, ma anche da leggere un 84 / 09
numero in questo sistema di numerazione. Gli Egiziani Circa quattromila anni fa nacque, a opera degli Egizi, un sistema di numerazione in cui si adoperavano sette simboli: Che rappresenta il numero Che rappresenta il numero 0 85 / 09
Che rappresenta il numero 00 Che rappresenta il numero?000 Che rappresenta il numero 0?000 86 / 09
Che rappresenta il numero 00?000 Che rappresenta il numero?000?000 Gli Egizi per rappresentare un numero mettevano tanti oggetti dello stesso tipo uno vicino all altro e il loro valore si sommava. Ad esempio: 4 = 36 = 87 / 09
Quindi gli egizi usavano il sistema di numerazione additivo, coma poi fecero i Romani. Pensate come era lungo scrivere un numero in questo modo I Greci I Greci invece avevano un sistema di numerazione in cui non c erano dei numeri. I Greci usavano per rappresentare i numeri tutte le lettere dell alfabeto greco, più altre lettere di un alfabeto ancora più antico, come mostra questo schema: Poi c erano anche questi altri simboli: Sommato il valore dei simboli messi uno vicino all altro si otteneva il numero. Anche questo sistema di numerazione era di tipo additivo, ma anche qui bisognava ricordarsi un sacco di simboli e poi era facile confondersi fra la scrittura delle parole e la scrittura dei 88 / 09
numeri. I Maya I Maya erano una civiltà che si è sviluppata in America centro meridionale e non avevano contatti e rapporti con le civiltà dell Oriente e dell Europa. I primi venti numeri usati dai Maya erano i seguenti: La novità della numerazione Maya era la presenza dello zero rappresentato con un ovale molto simile ad un occhio semichiuso, come quello per scrivere il numero venti. Anche questo sistema come quello dei Sumeri è additivo fino a questo punto, poi per i numeri maggiori di venti diventa posizionale e non solo, ma i numeri non venivano scritti da sinistra verso destra, ma dal basso verso l alto. Quindi la scrittura diventa complessa ed era difficilissimo per altri che non la conoscevano bene riuscire ad utilizzare questo sistema di numerazione. I Cinesi 89 / 09
I cinesi adoperavano due distinti sistemi di numerazione. Il primo sistema si serviva di nove simboli diversi per i primi nove numeri interi e dei simboli aggiuntivi per i numeri 0, 00, 000, ecc. Il secondo sistema si serviva di bastoncini affiancati in vario modo fra loro per rappresentare i numeri da a 9 e le decine da 0 a 90. Guardandoli ci accorgiamo che è già difficile scrivere ogni cifra immaginate quanto era complesso scrivere un numero grande o leggerlo. Gli Indiani e gli Arabi Gli indiani furono i primi ad usare un sistema di numerazione formato da dieci simboli diversi e che fosse posizionale, quindi sistema di numerazione da cui poi è derivato il nostro. Le cifre indiane sono le seguenti: 90 / 09
Potete iniziare a vedere che alcune iniziano a somigliare a quelle che usiamo noi oggi, vedete il 2 il 3 e lo 0. Gli Arabi appresero dagli indiani questo sistema di numerazione e lo insegnarono ad altre civiltà, quindi in Arabia, Siria, Iran, Egitto e in altri paesi islamici le cifre divennero: Qui le cifre che assomigliano di più alle nostre sono l, il 9 e lo 0. Poi nei paesi europei le cifre indo-arabe si trasformarono gradualmente nel seguente modo: Così noi oggi usiamo questi simboli con le regole che abbiamo visto in precedenza. Sistemi di numerazione non decimale Gli antichi popoli usavano le mani per dirsi quante cose avevano, poiché ogni mano ha 5 dita, vuol dire che raggruppavano le cose a blocchi di 5. 9 / 09
Usando due mani alla volta si è passato ad usare un sistema che raggruppava le cose a dieci a dieci, in quanto due mani hanno dieci dita. Ogni dito è fatto da delle falangi, contando le falangi di ogni mano, vediamo che ogni dito ha tre falangi tranne il pollice che ne ha due, quindi ci sono 4 falangi a mano e se utilizziamo tutte e due le mani abbiamo 28 falangi. In India, in Cina e in Indonesia e in seguito in Inghilterra nel VII secolo per contare usavano raggruppamenti di 28 come il numero delle falangi. Alcuni popoli usavano sia le mani che i piedi per contare e quindi 20 dita, perciò i raggruppamenti erano di 20 in 20. Infatti ad esempio i francesi per dire 80 dicono ancora quatrevingt, che vuol dire quattro volte venti. Gli egiziani riuscirono a rappresentare tutti i numeri sino a 9999 ed erano in grado di eseguire 92 / 09
addizioni, sottrazioni, moltiplicazioni e anche calcoli più complessi. Spesso si pensa che la Matematica ed il suo apprendimento siano difficoltosi e riservati solo a quei pochi eletti che nascono con il "bernoccolo" della matematica, ma ciò non è vero! La Matematica può rivelarsi molto piacevole e addirittura appassionante se la si libera da modalità noiose e ripetitive dell insegnamento. Ciò che fa la differenza è il come, più altri fattori di contorno. Infatti, pur non perdendo di vista l obiettivo da raggiungere, i ragazzi possono impararne le strategie risolutive e i contenuti anche in modo interessante e divertente e, soprattutto, in prima persona. Per realizzare questa possibilità è sufficiente creare un ambiente di apprendimento che sia in sintonia con le naturali curiosità dei bambini e che, contemporaneamente, li coinvolga sul piano emotivo o della fantasia. Quale ambiente migliore allora di quello delle favole? Ecco che le vicende di Alice nel Paese delle Meraviglie ( Alice è stata creata, guarda caso, dalla fantasia del matematico inglese C. L. Dodgson, che si firmava con lo pseudonimo Lewis Carroll ) diventano il contenitore ideale per dispiegare i concetti e le curiosità inerenti i sistemi di numerazione non decimali. Charles Lutwidge Dodgson (832-898), matematico di professione e difensore di Euclide, è noto in tutto il mondo con il nome di Lewis Carroll e come autore di Alice's Adventures in Wonderland a cui ha fatto seguito Throug h the Looking-Glass and What Alice Found There (traduzione italiana: 93 / 09
Attraverso lo specchio ). Qualcuno ha attribuito il successo di questi libri per bambini al fatto che non tentassero, come altre opere per bambini dell'epoca, di insegnare una morale. Allo stesso tempo, l'umorismo e il gusto del paradosso hanno reso questi testi interessanti anche per gli adulti. Ai due romanzi s'ispirò il film Alice nel paese delle meraviglie di Walt Disney del 95. La favola diventa laboratorio di Matematica! Quale binomio straordinario! In questo modo per i ragazzi il percorso didattico diventa una specie di affascinante iniziazione alle basi del calcolo non decimale in cui sono accompagnati, quasi per mano, da una ragazzina piacevole ed imprevedibile come Alice. E lei, essa stessa una bambina, che li guiderà in un viaggio, che possiede il "magico sapore dell avventura", attraverso un argomento veramente meraviglioso e ricco di sorprese come quello dei sistemi di numerazione. Alice decide di cimentarsi in sistemi di numerazione a base non decimale, cioè di avventurarsi attraverso i Sistemi Alternativi. La giustificazione dell introduzione di questi sistemi compare nel capitolo II del libro e che non può essere compreso se non si conoscono le tabelline costruite utilizzando sistemi di numerazione con base superiore a 0. La favola diventa così terreno fertile per dare la spinta all apprendimento di questo argomento che, a volte, potrebbe sembrare complesso anche ad un adulto! Ma che i bambini, se opportunamente stimolati, possono vivere come un indovinello o un gioco enigmistico. 94 / 09
Infatti nella stupenda favola di Alice nel paese delle meraviglie, scritta da Lewin Carroll, si narra che Alice dopo aver mangiato dodici invitati su cui c era scritto Mangiami si sentì un po confusa. Provò paura e per vincere quella strana sensazione e riprendersi, cominciò a contare in modo un po misterioso: 5 x 4 = 2 6 x 4 = 3. Guardando come contava Alice possiamo pensare che Alice non sapesse fare i conti. Ma facciamo prima una osservazione, noi usiamo un sistema di numerazione in cui usiamo 0 simboli 0,,2,3,4,5,6,7,8,9 e con questi riusciamo a scrivere tutti i numeri. 95 / 09
Se avessimo solo 2 simboli 0 e possiamo scrivere comunque tutti i numeri, ma in modo diverso e così di seguito come mostra questa tabella BASE 2 BASE 4 BASE 5 BASE 8 BASE 0 0 0 0 0 96 / 09
0 0 2 2 2 2 97 / 09
3 3 3 3 00 0 4 4 4 0 98 / 09
0 5 5 0 2 6 6 3 99 / 09
2 7 7 000 20 3 0 8 00 2 4 00 / 09
9 00 22 20 2 0 Facciamo noi i conti e vediamo se Alice conosceva la matematica. Sappiamo tutti che: 5 x 4 = 20 ma questo cosa vuol dire? 0 / 09
20 nel sistema decimale 2 raggruppamenti di 0 Resta 0 2 0 Ma allora Alice ha sbagliato i conti, vediamo che non è così, non ha sbagliato a fare i calcoli sta soltanto effettuando delle moltiplicazioni con un sistema di numerazione non decimale. Dunque il numero 20 in questo nuovo sistema di numerazione è uguale al numero 2 nel sistema di numerazione decimale, quindi si scrive: 20 = 2 Dunque quando Alice dice che: 5 x 4 = 2 non ha sbagliato i conti, ma ha solo usato un sistema di numerazione che raggruppa le cose in 02 / 09
blocchi di 8. Sistema di numerazione decimale Sistema di numerazione in base 8 5 x 4 = 20 5 x 4 = 2 Come funziona questo sistema di numerazione? Ogni 8 oggetti ho un di superiore (come se fosse la nostra decina rapportata al sistema di numerazione decimale), ma mi restano 2 oggetti (che considero come le mie unità nel sistema di numerazione decimale) quindi il numero che viene a formarsi è 8. 20 nel sistema in base 8 raggruppamento di 8 Restano 2 03 / 09
2 Controlliamo l altro calcolo che faceva Alice: 6 x 4 = 3 Sappiamo tutti che nel sistema di numerazione decimale: 6 x 4 = 24 cioè 24 nel sistema decimale 2 raggruppamento di 0 Restano 4 2 4 04 / 09
Nel sistema di numerazione in base 8, cioè considerando raggruppamenti di 8 oggetti si ha 6 x 4 = 6 24 nel sistema in base 8 raggruppamento di 8 Restano 6 6 quindi ha sbagliato i conti? Lei dice: 6 x 4 = 3 ma questo calcolo non è valido in nessuno dei due sistemi di numerazione che abbiamo considerato fino ad ora quindi ora ha sbagliato i conti? 05 / 09
Sistema di numerazione decimale Sistema di numerazione in base 8 Sistema di numerazione?!? 6 x 4 = 24 6 x 4 = 6 6 x 4 = 3 No non ha sbagliato, ha cambiato di nuovo sistema di numerazione, ha utilizzato un sistema di numerazione che raggruppa le cose in blocchi di 2. Cioè 06 / 09
24 nel sistema in base 2 raggruppamento di 2 Restano 3 3 Quindi Sistema di numerazione decimale Sistema di numerazione in base 8 Sistema di numerazione in base 2 07 / 09
6 x 4 = 24 6 x 4 = 6 6 x 4 = 3 Dunque Alice non faceva altro che divertirsi ad usare dei sistemi di numerazione che non erano decimali. Ma oltre a divertirci con i numeri, perché ci serve sapere queste cose? Siete proprio sicuri che non vi servono e che voi non usate sistemi di numerazione diversi? Osserviamo: da quanti secondi è formato un minuto? Da 60 secondi. E un ora da quanti minuti è formata? Da 60 minuti. Allora quando diciamo che ore sono stiamo usando un sistema di numerazione che usa raggruppamenti di 60, quindi un sistema di numerazione particolare. Infatti ogni raggruppamento di 60 secondi lo chiamate minuto, e ogni raggruppamento di 60 minuti lo chiamate ora. 08 / 09
Quindi tutti noi abbiamo imparato ad usare dei sistemi di numerazione che non sono decimali, senza neanche accorgercene. Anche quando andiamo a fare la spesa avete mai fatto caso alle cose che sono negli scaffali e che non sono raggruppati in blocchi da dieci? Ad esempio, nel pacchetto dei salatini, quanti salatini ci sono? Nella confezione di uova, quante uova ci sono? 09 / 09