Modellazione dei processi produttivi

Sistemi DES Reti di Petri Equazione di stato Grafo di stato Strutture fondamentali Proprietà Analisi matriciale P-invarianti T-invarianti Sifoni Trappole Macchine a stati finiti Esempio di processo manifatturiero 1/93

Sequenziamento delle operazioni Supervisione dei sistemi Movimentazione AUTOMAZIONE INDUSTRIALE Avviamento Spegnimento Coordinamento dei sistemi Condizioni nominali Condizioni di emergenza Guasto Allarme 2/93

Derivano dai principi di conservazione della materia, dell energia, della q.tà di moto, del momento della q.tà di moto, etc. Sistema dinamico a tempo continuo Sistema dinamico a tempo discreto SISTEMA FISICO Sistema ad eventi discreti DES Sono descritti da variabili di stato Sono descritti da variabili funzioni del tempo 3/93

Spesso i sistemi fisici creati dall uomo non si riescono a modellare mediante sistemi dinamici poiché la variabile tempo limita notevolmente l analisi Sistemi manifatturieri Sistemi informativi Sistemi di comunicazione SISTEMI AD EVENTI DISCRETI Telefonia Variabili di stato Bus Valori simbolici invece che numerici Cambiano valore in modo ASINCRONO S.O. Apparente semplicità 4/93

SISTEMI DINAMICI Tempo dipendenti numerici sincrono diretti Non immediata Di difficile attuazione (enorme numero di combinazioni) Possibile perdita di vista a causa dell uso di modelli di astrazione matematica Variabili Valori delle variabili Flusso degli eventi Metodi di progetto Implementazione dei sistemi di controllo Completezza dell analisi Reale comprensione dei problemi di controllo del sistema DES Tempo indipendenti simbolici asincrono indiretti Tipicamente immediata (direttamente su codice di controllo a basso livello) Possibile senza dover contemplare tutte le situazioni Più vicini alle reali tecnologie realizzative Metodologie utili in vista delle applicazioni industriali 5/93

Processi Continui Batch Discreti Produzione dell energia Laminazione Processi chimici Sistemi di lavorazione Sistemi di assemblaggio Impianti idraulici Forni Sistemi di movimentaz. Distribuzione di gas 6/93

Modellazione dei processi con sistemi ad eventi discreti Nell Ottocento Babbage concepisce il processo di trasformazione manifatturiera come un concatenarsi di eventi discreti cioè un sistema a eventi discreti C.Babbage Economy of manufacturers and machinery, 1832 gestione e il controllo delle operazioni Dagherrotipo di C. Babbage (F. Daguerre) modelli "analitici" a "reti di code" prima macchina calcolatrice programmabile descrizione stocastica dei fenomeni e delle interconnessioni 7/93

Reti di Petri Carl Adam Petri, 1962 strumento per la modellizzazione di processi ampia diffusione nel campo dell ingegneria elettronica e informatica modellazione di architetture di microprocessori Ajmone Marsan et al., 1994 applicazioni nell industria manifatturiera modellazione di Flexible Manufacturing System (FMS) Yan et al., 1998 modellazione di sistemi just-in-time Song & Lee, 1998 Reliability Modelling Schneeweiss 1999 8/93

Nella descrizione di un processo (produttivo, organizzativo, ecc.) spesso si ha la necessità di rappresentare sottoprocessi o attività che possono essere eseguite contemporaneamente, in parallelo fra loro, ma non indipendentemente l una dall altra Potrebbe accadere che un determinato passaggio o una certa fase del processo non possa verificarsi o non possa essere attivata fintanto che altre fasi o attività non sono concluse o fino al verificarsi di determinate condizioni. situazioni di questo tipo non possono essere descritte mediante un diagramma di flusso le attività sono rigidamente serializzate Con le Reti di Petri la serializzazione degli step del procedimento viene superata due rami distinti non vengono mai percorsi contemporaneamente, ma rappresentano due strade alternative scelte secondo un criterio rigidamente deterministico dipendente dall esito della valutazione di una espressione booleana non solo permettono di rappresentare e di descrivere globalmente un processo, ma consentono anche di seguirne l evoluzione permettendo di visualizzare lo stato in cui si trova in un certo istante la rete. 9/93

Strumento Strumento di di modellazione modellazione formale formale Possono Possono rappresentare rappresentare infiniti infiniti stati stati con con un un numero numero finito finito di di nodi nodi Strumento Strumento di di analisi analisi e e verifica verifica del del comportamento comportamento di di un un sistema sistema RETIDI PETRI Gli Gli eventi eventi non non sono sono vincolati vincolati ad ad accadere accadere con con frequenza frequenza definita definita Gli Gli eventi eventi a a flusso flusso con con code code vengono vengono rappresentati rappresentati spontaneamente spontaneamente 10/93

Rete di Petri: P : = { P, T, F, M } 0 P I Posti T I Transizioni F I Relazioni di flusso M 0 I Marcatura iniziale Flusso Posto Proprietà: Transizione 1. 2. 3. P T = P T F P T T P 1. I gli insiemi dei posti e delle transizioni sono disgiunti 2. I la rete deve avere almeno un posto o una transizione 3. I F lega posti a transizioni e transizioni ai posti ma non transizioni a transizioni e posti a posti 11/93

Esempio: pressofusione La pressa 1. Posiziona lo stampo sotto il pistone della pressa 2. Scalda lo stampo 3. Scalda il forno a muffola 4. Accendi la pressa e seleziona i parametri 5. Quando lo stampo è a temperatura la macchina è pronta 6. Quando il forno è a temperatura inserisci il crogiolo 7. Quando il materiale è fuso estrai il crogiolo ed effettua la colata dentro lo stampo 8. Al termine della colata aziona la pressa 9. A fine solidificazione estrai il getto Stampo Provini Forno a muffola 12/93

Esempio: pressofusione Macchine pronte Posizionare stampo Scaldare forno Settare pressa stampo posizionato forno a temperatura pressa pronta Riscaldare stampo Fondere materiale stampo a temperatura materiale fuso colata Applicaz. pressione Prodotto finito mat. colato mat. In press. estrazione mat. solidif. solidificazione 13/93

Processo di preparazione degli spaghetti al pomodoro 1. soffriggi la cipolla 2. quando il soffritto è pronto aggiungi il pomodoro 3. quando il sugo è cotto metti a bollire l acqua 4. quando l acqua bolle aggiungi il sale 5. butta gli spaghetti nell acqua bollente 6. attendi 8 minuti 7. scola gli spaghetti 8. condisci gli spaghetti con il sugo 14/93

Ingredienti pronti Preparazione soffritto Soffritto pronto per la cottura Inizio riscaldamento Inizio bollitura Cottura soffritto Soffritto cotto Cottura degli spaghetti Spaghetti cotti Spaghetti pronti 15/93

Una Rete di Petri è un grafo che consiste di posti, transizioni ed archi che li collegano gli archi di input collegano i posti con le transizioni gli archi di output collegano le transizioni con i posti Lo stato della rete indica una sua configurazione in un determinato istante dell esecuzione del processo descritto dalla rete stessa. Una Rete di Petri evolve passando attraverso una serie di stati pezzo 1 grezzo sulla macchina Si conferisce uno stato a una Rete di Petri mediante una marcatura Assegnamento di un numero Stato della rete e marcatura naturale ad ogni posto. Le transizioni invece rappresentano le componenti attive del modello. Rappresentano le attività che possono essere realizzate modificando lo stato della rete. operazione su 1 Operaz. su 1 finita pezzo 1 grezzo sulla macchina operazione su 1 Operaz. su 1 finita 16/93

Le transizioni sono consentite (ossia possono essere realizzate) soltanto se sono abilitate, ossia soltanto se tutte le condizioni che le precedono sono verificate. transizione abilitata 2 3 4 2 3 4 transizione non abilitata Quando viene attivata una transizione vengono rimossi le marche dai posti che precedono la transizione e alcune marche vengono collocate in ognuno dei posti che seguono la transizione stessa. 2 3 4 2 3 4 17/93

grezzo sulla macchina inizio operazione pezzo in lavorazione fine operazione pezzo in attesa scambio pezzi in uscita 18/93

T : insieme dei nodi transizione P : insieme dei nodi posto Pre : matrice delle marcature per lo scatto Post : matrice delle marcature create dallo scatto rete di Petri: N = (T, P, Pre, Post, M 0 ) 24/93

Matrice PRE La macchina deve essere pronta Il nuovo pezze deve essere arrivato in posizione 25/93

Scatto di transizione 28/93

RETE DI PETRI MARCATA: {N, M 0 } 29/93

GRAFO DI STATO: {N, M 0 } 30/93

GRAFO DI STATO: (N, M 0 ) 34/93

MATRICE DI INCIDENZA 44/93

EQUAZIONE DI STATO 45/93

EQUAZIONE DI TRANSIZIONE 46/93

Sequenze ammissibili: percorso ammissibile nel grafo degli stati No: S 143 S 125 Si: S 124 S 412 S 142 S 1245 S 4152 47/93

Altro esempio: Una piccola azienda di produzione e confezionamento di dolci ha diverse linee di produzione. Occorre modellare il comportamento del processo ai fini dell assorbimento di energia elettrica per non incorrere in superamenti della potenza contrattuale. Il problema è tipico della progettazione dell impianto elettrico dove è difficile individuare il valore economico della potenza contrattuale 48/93

Approfondimenti sulle reti di Petri 49/93

Proprietà di base delle Reti di Petri Non determinismo Data una rete di Petri marcata con matrice di marcatura M e dato S l insieme delle transizioni abilitate in M, solamente una di queste viene scelta a caso per lo scatto Non si fa nessun riferimento al tempo Serve una nuova valutazione della futura transizione abilitata a scattare Località della rete: L evoluzione del sistema è locale e ciò è garantito dall indipendenza degli eventi 50/93

Esempio di una evoluzione di una rete: P3 P1 e P2: sottorete produttori P3 e P4: sottorete consumatori C1 P5 e P6: sottorete consumatori C2 t1 P1 t2 P7 t3 2 P4 t4 t1 è l assegnazione delle materie prime t2 è la produzione: gli oggetti da produrre in P1 sono prodotti finiti in P2 P2 2 2 t5 P5 4 4 P6 t6 P7 rappresenta una coda tra i produttori e i consumatori t3 e t5 sono le attività di assegnazione dei prodotti ai consumatori t4 e t6 sono le attività di consumo dei prodotti da parte dei consumatori 51/93

P3 P1 t3 t4 Una transizione abilitata in A è t2 M 0 t1 t2 P7 2 P4 P2 2 2 t5 P5 t6 4 4 P6 P3 Allo scatto di t2 ci sono quattro possibili transizioni abilitate: t1, t2, t3 e t5 Scatto di t2 t1 P1 P2 t2 2 P7 t3 2 2 t5 P4 P5 t4 t6 4 4 P6 P3 Allo scatto di t3 si ha una nuova configurazione Se volessimo aumentare i prodotti e/o i produttori sarebbe sufficiente aumentare le marche rispettive Scatto di t4 t1 P1 P2 t2 2 P7 t3 2 2 t5 P4 P5 4 4 P6 t4 t6 52/93

Strutture fondamentali Due transizioni sono: in sequenza Se t1 precede in una data marcatura t2 e lo scatto di t1 abilita t2 in conflitto strutturale Se e solo se hanno un posto di ingresso in comune in conflitto effettivo Se sono in conflitto strutturale e, poiché le marche non sono sufficienti ad abilitarle entrambe, lo scatto di una transizione disabilita l altra 53/93

in concorrenza strutturale Se non condividono nessun posto di ingresso e quindi l una non disabilita l altra in concorrenza effettiva La concorrenza strutturale implica la concorrenza effettiva poiché se sono abilitate entrambe le marche sono sufficienti ad entrambe le transizioni Transizione di sincronizzazione Più posti a monte Transizione di inizio di concorrenza Più posti a valle 54/93

Proprietà delle reti di Petri Raggiungibilità: [M > M1 [ M > Una marcatura M 1 è raggiungibile a partire da M se esiste almeno una sequenza di transizioni che permetta il passaggio da M a M 1 Insieme delle marcature raggiungibili a partire da M M 1 raggiungibile da M Reversibilità: Una rete {N,M 0 } è reversibile se per ogni marcatura raggiungibile da M 0, M 0 è raggiungibile da questa marcatura M [ M >, M [ M > 0 0 Home state: Uno stato M* della rete {N,M 0 } è detto di home state se per ogni marcatura raggiungibile da M 0, M* è raggiungibile da questa marcatura M [ M >, M * [ M > 0 55/93

Limitatezza: Assenza di accumulo di marcature indesiderate nella rete Posto k-limitato: Rete k-limitata: Rete limitata: In tutte le marcature raggiungibili dalla rete non si supera mai il valore di k Tutti i posti della rete sono k-limitati. Rete k-limitata per qualche valore finito di k Esempio di rete non limitata la sequenza di scatti t1, t2, t3 può avvenire infinite volte accumulando marcature in P4 56/93

Rete binaria: Rete 1-limitata (ovvero k-limitata con k=1) Affinché una rete sia binaria la marcatura iniziale M0 e tutte le marcature da essa raggiungibili devono avere solo 0 e 1 Qualunque rete può essere resa binaria con l aggiunta di opportuni posti detti complementari Introduzione del posto P6 con significato complementare a P5: le marcature rappresentano le postazioni libere nel buffer Sistema produttoriconsumatori con buffer intermedio 57/93

Vivezza: Capacità della rete di evolvere bene ovvero senza che si blocchi mai Transizione viva: Se e solo se per ogni marcatura raggiungibile da M 0 esiste un altra marcatura raggiungibile dalla prima nella quale la transizione risulta abilitata M [ M >, M [ M > t. c. t abilitata in M 0 Rete viva: Se tutte le transizioni sono vive Considerazioni: Una transizione è viva se da una qualunque marcatura M raggiungibile nella rete è possibile raggiungerne un altra M* in cui t è abilitata. Se questa transizione scatta in M* si raggiunge una marcatura M** che per definizione è raggiungibile da quella iniziale. Pertanto M** ricade nella definizione di vivezza. La transizione è allora ancora viva e a partire da M** raggiunge M*** e così via. In una rete viva tutte le transizioni possono scattare infine volte qualunque sia la marcatura raggiungibile da quella iniziale 58/93

Marcatura viva: Se e solo se per ogni transizione esiste una marcatura raggiungibile da M tale che la transizione risulta abilitata t T, M* [ M > t. c. t abilitata in M * A partire dalla marcatura viva è possibile far scattare una qualunque transizione PROPRIETÀ: Una rete è viva se e solo se tutte le sue marcature raggiungibili dalla marcatura iniziale sono vive Marcatura morta: Se e solo se nessuna transizione è abilitata in M 59/93

P3 Limitatatezza: SI Vivezza: NO Reversibilità: NO P1 t3 t4 t1 t2 P7 2 P4 P2 2 2 t5 4 P6 P5 4 t6 Limitatatezza: SI Vivezza: NO Reversibilità: SI Limitatatezza: NO Vivezza: SI Reversibilità: SI Limitatatezza: SI Vivezza: SI Reversibilità: NO Esempi di Murata 60/93

Analisi delle reti di Petri Insieme di raggiungibilità: Insieme R(N,M 0 ) più piccolo di marcature tale che: M R( N, M ) 0 0 La marcatura iniziale appartiene all insieme M* R( N, M ), t T t. c. M *[ t > M ** M ** R( N, M ) 0 0 Tutte le marcature iniziali raggiungibili dall insieme di raggiungibilità appartiengono all insieme Grafo di raggiungibilità G(N,M 0 ) C Grafo di stato {N,M 0 } completo e minimo 61/93

Rete di Petri Grafo di raggiungibilità 62/93

Analisi matriciale Metodo di analisi che sfrutta le informazioni contenute nella matrice di incidenza Caratteristiche statiche Caratteristiche che dipendono dalla topologia della rete e non dalla marcatura P-Invarianti Sifoni T-Invarianti Trappole Vettori colonna Insiemi di posti 63/93

P-invarianti: Insiemi di posti tali che la somma pesata delle marche che contengono rimane costante per tutte le marcature raggiungibili Def.: Un vettore è P-invariante se: M R( N, M ), x ' t. c. x ' M = x ' M 0 0 Eq. Di stato: Moltiplico a sinistra per x valida per ogni s non vuoto Se x è invariante allora: 64/93

Gli invarianti si trovano dalle: Eq. 1 Eq. 2 Infinite soluzioni: Se un x è un P-invariante allora anche k x con k intero lo è Se un x1 e x2 sono P-invarianti allora anche x = x1 + x2 lo è Problema: determinare il più piccolo insieme di P-invarianti in grado di generare tutte le soluzioni delle equazioni 65/93

Supporto di un P-invariante: P-invariante a supporto minimo: Insieme dei posti corrispondenti ad elementi non nulli di x Un p-invariante è detto a supporto minimo se il suo supporto non contiene quello di nessun altro P-invariante della rete P-invariante canonico: Un p-invariante è detto a canonico se il massimo comun divisore dei suoi elementi non nulli è 1 Un P-invariante composto di soli elementi positivi permette di identificare un gruppo di posti dove si conserva non tanto il numero di marche ma una loro combinazione lineare Gli P-invarianti positivi sono detti componenti conservative di una rete 66/93

Esempio di P-invariante negativo Il numero di marche in P1 è vincolato ad essere uguale a quello di P2 Generatore di P-invarianti positivi: Il più piccolo insieme di P-invarianti positivi PI k tale che ogni altro P-invariante della rete è ottenibile tramite ombinazione lineare degli invarianti di PI k Gli elementi dell insieme si chiamano P-invarianti minimi Proposizione 1 Un P-invariante è minimo se e solo se è canonico e a supporto minimo Proposizione 2 L insieme generatore di P-invarianti è finito ed è unico 67/93

Rete coperta da P-invarianti: Ogni posto della rete appartiene al supporto di almeno un P-invariante Rete conservativa: Rete coperta da P-invarianti non negativi p P, x P-invariante t. c. p x et x( p) > 0 Proposizione 3 Una rete conservativa è limitata In una rete conservativa il numero di marche non cresce mai indefinitamente. Non è detto il contrario 68/93

Esempi: Reti coperte dal P-invariante [1,1,1] Qualunque sia la marcatura iniziale il numero delle marche si mantiene costante Questa rete è viva Due processi diversi si devono sincronizzare ovvero deve esistere una attesa reciproca Gli P-invarianti minimi sono: [1,1,0,0] e [0,0,1,1] 69/93

Calcolo degli P-invarianti minimi Algoritmo di Colom e Silva In matrice identità di dimensione n 70/93

T-invarianti: In modo duale agli P-invarianti rappresentano possibili sequenze di scatti che riportano la rete alla marcatura iniziale Def.: Un vettore (colonna) y è T-invariante se è soluzione dell equazione: Eq. 3 Se y è un vettore delle occorrenze coincidente con un T-invariante allora: Osservazione: La presenza di un T-invariante non implica che sia veramente possibile ritornare alla posizione di partenza Il significato di un T-invariante y è quello che, se fosse possibile far scattare ogni transizione del supporto di y in un ordine qualunque ma un numero di volte pari a quello definito da y allora lo stato della rete potrebbe tornare al valore iniziale al termine della sequenza 71/93

Confrontando l Eq. 2 con l Eq. 3 Eq. 2 Eq. 3 Si deduce che: gli T-invarianti di una rete con matrice di incidenza C coincidono con gli P-invarianti di una rete con matrice di incidenza C e viceversa La matrice di incidenza C si ottiene dalla rete con matrice C scambiando i posti con le transizioni senza alterare gli indici dei nomi e invertendo il verso degli archi Se non di invertisse il verso degli archi, si otterrebbe una matrice di incidenza C Ad ogni modo C x=0 equivale a -C x=0 così come Cy=0 equivale a -C y=0 pertanto si otterrebbero gli stessi T-invarianti e P-invarianti 72/93

Sifoni: Rappresenta un insieme di posti che complessivamente tende a perdere marche durante l evoluzione della rete e che, una volta arrivati a zero, non è più in grado di riacquistarne Notazione per le matrici dei Pre e dei Post: WX Y Pre[X] XW Y Post[X] Def.: Un sifone S è un insieme di posti se e solo se: S S Tutte le transizioni di ingresso per un sifone sono anche di uscita ma esistono delle transizioni di uscita che non sono di ingresso 73/93

Esempio: Sifone: infatti: é contenuto in: Sifone: infatti: é contenuto in: 74/93

Sifone minimo.: Un sifone S è minimo se e solo se esiste un altro sifone S tale che: S ' S Proprietà L unione di sifoni è un sifone Sifone di base: Un sifone di base è un sifone che non può essere ottenuto come unione di altri sifoni Proprietà Se S è un sifone privo di marche in una certa marcatura M allora è priva di marche anche ogni marcatura raggiungibile M [M> In presenza di un sifone non marcato tutte le transizioni di SW sono morte e la rete in con S non viva 75/93

Trappole: È il duale del sifone e rappresenta un insieme di posti che complessivamente tende ad acquistare marche durante l evoluzione della rete e che, una volta presa almeno una marca a zero, non è più in grado di smarcare contemporaneamente tutti i suoi posti Def.: Una trappola S è un insieme di posti se e solo se: S S Tutte le transizioni di uscita per una trappola sono anche di ingresso ma esistono delle transizioni di ingresso che non sono di uscita 76/93

Esempio: Trappole: infatti: é contenuto in: Trappole anche: e 77/93

Proprietà L unione di trappole è una trappola Proprietà Se S è una trappola marcata in una certa marcatura M allora rimane marcata in ogni marcatura raggiungibile M [M> Proprietà Il supporto di un P-invariante con elementi non negativi è un sifone o una trappola Non tutti i sifoni o trappole di una rete sono pericolosi ai fini della vivezza. Il legame tra queste strutture e la vivezza non è semplice Proprietà Se M è una marcatura morta allora l insieme dei posti privi di marche: È un sifone non marcato 78/93

Proprietà Se ogni sifone contiene una trappola marcata in una marcatura M allora non esiste in [M> una marcatura morta Se infatti, per assurdo, esistesse una simile marcatura M allora i posti senza marche in M costituiscono un sifone senza marche contraddicendo l ipotesi N.B.: non è detto che una rete in cui ogni sifone contiene una trappola sia viva Esempio precedente: Sifoni marcati che non contengono trappole Infatti tramite la sequenza [ t3 t1 t2 t1 ] è possibile raggiungere M = [ 2 0 0 0 ] che è morta 79/93

Macchine a stati finiti La macchina a stati finiti è un automa Macchina a stati finiti: È una rete di Petri tale che: t T, t = 1 et t = 1 j j j Proprietà : È strettamente conservativa Il numero di marche nella rete non cambia mai Il sistema è finito e pure il grafo di raggiungibilità Se la marcatura iniziale contiene una sola marca allora la rete è binaria Se la rete è fortemente connessa (cioè è possibile andare da un nodo all altro seguendo una relazione di flusso) e se ha almeno un gettone Allora la rete è viva 80/93

Grafo marcato Sottoclasse delle reti di Petri in cui ogni posto ha esattamente una transizione di ingresso e una di uscita Grafo marcato: Proprietà : È una rete di Petri tale che: p P, p = 1 et p = 1 i i i Mentre la macchina a stati può avere al suo interno dei conflitti (un posto con molte transizioni in uscita), il grafo marcato non può modellare conflitti A differenza della macchina a stati, il grafo marcato può modellare la creazione e la distruzione di marche necessarie per la simultaneità necessaria per la sincronizzazione Un grafo marcato è vivo se e solo se ogni suo ciclo contiene almeno un posto con una marca Sequenza di posti ottenuta con un flusso in cui la transizione di ingresso al primo posto della sequenza è anche quella di uscita all ultimo posto 81/93

Reti a scelta libera Sono reti che non ammettono confusione Scelta libera: È una rete di Petri tale che: t T, p P, t = { p } opp p = { t } j i j i i j Per ogni arco da un posto ad una transizione o quel posto è l unico posto in ingresso a quella transizione (non c è sincronizzazione) oppure quella transizione è l unica transizione in uscita da quel posto (non ci sono conflitti) I conflitti potenziali sono controllati: I conflitti accadono solo se il posto è in ingresso a molte transizioni Se un posto è in ingresso a molte transizioni allora esso è l unico ingresso per tutte le transizioni O tutte le transizioni sono permesse o non lo è nessuna Scelta libera 82/93

Una macchina a stati e un grafo marcato sono reti a scelta libera ma non vale il viceversa Tipica situazione di confusione Non è chiaro a priori quale delle due transizioni scatterà CONFLITTO 83/93

Reti a scelta libera estesa Scelta libera estesa: È una rete di Petri tale che: t T, p, un arco da tutti i posti di ingresso a t a tutte le trasizioni di uscita di p j i j i Se due posti hanno una transizione di uscita in comune, allora quei posti hanno le stesse transizione di uscita: Rete a scelta libera estesa Una rete a scelta libera estesa è una rete a scelta libera ma non vale il viceversa Teorema di Commoner: una rete a scelta libera estesa è viva se i suoi sifoni contengono una trappola trasformazione in rete a scelta libera 84/93

Reti a scelta asimmetrica Scelta libera asimmetrica: È una rete di Petri tale che: p p p p opp p p i j i j i j Esempio di scelta asimmetrica Proprietà Una rete a scelta asimmetrica è viva se (ma non solo se) tutti i sifoni contengono una trappola 85/93

Diagramma di Venn per le relazioni tra le classi di reti di Petri 86/93

Esempio di processo manifatturiero Il processo in esame è costituito da due centri di lavoro, due robot e due nastri trasportatori. Ogni centro è servito da un robot per le operazioni di carico e scarico. Un nastro è usato per i pezzi da lavorare, con un massimo per entrambi di due alla volta. L altro nastro è usato per i pallet vuoti. Ci sono tre pallet disponibili nel sistema. Ogni pezzo da lavorare è manipolato su M1 e M2, in questo ordine. Centro di lavoro M1 Centro di lavoro M2 Semilavorati Robot 1 Robot 2 Nastro trasportatore 2 Prodotti finiti Pallet Nastro trasportatore 1 Pallet 87/93

Marcatura iniziale: Matrice di incidenza: 89/93

Unico T-invariante: Gli P-invarianti minimi sono 6: Supporti agli P-invarianti: Ogni posto della rete appartiene ad almeno un P-invariante dunque la rete è CONSERVATIVA e LIMITATA 90/93

Marcature raggiungibili dalla rete: 91/93

Grafo di raggiungibilità 92/93

Analisi del grafo di raggiungibilità Dal grafo di deduce che la rete progettata è viva Infatti: a partire da ogni marcatura raggiungibile, è possibile raggiungerne un altra in cui una determinata transizione sia abilitata Lo si poteva vedere anche considerando che la rete di Petri è un grafo marcato poiché gli unici sifoni che contiene sono i supporti dei P-invarianti che sono inizialmente marcati, allora la rete è viva 93/93