MATEMATICA 2001 66. Quale fra le seguenti affermazioni è sbagliata? A) Tutte le funzioni ammettono la funzione inversa B) Una funzione dispari è simmetrica rispetto all origine C) Una funzione pari è simmetrica rispetto all asse delle y D) Alcune relazioni sono funzioni E) La funzione logaritmica è iniettiva L affermazione sbagliata è senz altro la A).Bisogna infatti ricordare che solo le funzioni biunivoche sono invertibili, cioè ammettono la funzione inversa, poiché solo per esse è possibile associare univocamente ad ogni elemento del dominio uno ed un solo elemento del condominio. Le altre affermazioni sono tutte corrette. Infatti: Le funzioni dispari ( f(-x) = -f(x) ) sono simmetriche rispetto all origine degli assi di riferimento; Le funzioni pari ( f(x) = f(-x) ) sono simmetriche rispetto all asse y; Alcune relazioni tra grandezze variabili possono essere delle funzioni, se assegnati valori arbitrari ad una di esse (variabile indipendente), risultino univocamente determinati i corrispondenti valori dell altra (variabile dipendente). Infine, la funzione logaritmica è iniettiva, poiché ad ogni elemento del suo insieme di definizione corrisponde almeno un elemento nel condominio. D altra parte, la funzione logaritmica è invertibile, dunque sicuramente iniettiva. 68. Nel lancio di un dado con sei facce sia E l evento: esce un numero maggiore di 2. La _ probabilità dell evento E (complementare di E) è: A) 2/3 B) 2/3 C) 3/4 D) 1/2 E) 1/3 La probabilità di un evento può essere definita come il rapporto tra il numero di casi favorevoli ed il numero di casi possibili (insieme universo U). La probabilità che almeno uno tra tutti gli eventi possibili si verifichi (il cosiddetto evento certo) è pari ad 1. L evento complementare ad un dato evento E corrisponde al verificarsi di almeno uno degli eventi esclusi dall evento dato E ( nell insieme universo U). In sintesi, sia p la probabilità dell evento E, la probabilità dell evento complementare è q = 1-p. Nel problema proposto, l evento E corrisponde all uscita dei numeri > 2, cioè : 3, 4, 5, 6, ovvero 4 casi favorevoli su 6 possibili. Pertanto: p = 4/6 = 2/3; q = 1-2/3 = 1/3. La risposta corretta è quindi la E).
La risposta A) corrisponde alla probabilità dell evento E; la risposta B) è palesemente assurda (non esistono probabilità negative!), mentre i valori in C) e D) non hanno nessun fondamento. 71. L equazione della retta perpendicolare alla bisettrice del 1 e 3 quadrante e passante per il punto P (0, -2) è: A) y = x + 2 B) y = x + 2 C) y = x 2 D) y = x E) y = x 2 Per risolvere il problema proposto sembrerebbe necessario impostare espressamente l equazione richiesta. In realtà è sufficiente osservare che: i) la retta passa per il punto P (0, -2). Ciò significa che il termine noto, cioè l intercetta tra la retta e l asse y, vale 2. Pertanto le risposte A), B), D) non possono essere accettate. ii) la retta deve avere coefficiente angolare negativo, poiché essa è perpendicolare alla bisettrice y = x del 1 e 3 quadrante. La soluzione corretta è pertanto la C). 73. Il valore dell espressione sen20 + cos20 è: A) positivo B) 1 C) 0 D) negativo E) 1 L angolo 20 appartiene al 1 quadrante. Pertanto risultano postivi sia il relativo valore del seno che del coseno e, di conseguenza, la loro somma. La risposta esatta è dunque la A). Vale la pena considerare che le risposte B), C), ed E) sono possibili solo per angoli nulli, retti o multipli dipangoli retti, mentre la risposta D) può valere per angoli non appartenenti al 1 quadrante. 74) Due eventi sono incompatibili quando: A) si verificano simultaneamente B) il verificarsi dell uno influenza la probabilità del verificarsi dell altro C) non possono verificarsi contemporaneamente D) avvengono in modi differentementi E) il verificarsi dell uno non influenza la probabilità del verificarsi dell altro Due eventi si dicono incomparibili quando NON possono verificarsi contemporaneamente. Un esempio potrebbe essere il seguente: Evento 1: l uscita di un numero pari in un lancio di un dado Evento 2: l uscita di un numero dispari in un lancio di un dado.
Si comprende subito che la risposta corretta è la C). La risposta A) descrive due eventi compatibili, tipo: Evento 1: l uscita di un numero pari in un lancio di un dado; Evento 2: l uscita di un numero maggiore di 3 in un lancio di un dado. La risposta B) definisce gli eventi condizionati; la E) gli eventi indipendenti; mentre la D) è palesemente assurda, poiché il calcolo delle probabilità non attiene al modo in cui gli eventi si verificano. 75. La soluzione dell equazione 4 + 4 + x = 4 è: A) -4 B) 12 C) -140 D) 4 E) 140 Osserviamo che per le condizioni di esistenza della radice 4 + x, deve essere verificata la condizione: 4 + x 0, verificata per x -4. La risposta C) è pertanto sbagliata. Per determinare la soluzione esatta esistono due vie: i) la risoluzione dell equazione dopo opportuna razionalizzazione; ii) la ricerca di una soluzione ragionevole, che parta dallo studio del termine 4 + x. Percorriamo questa seconda strada. Nel radicando del primo termine dobbiamo sommare 4 + x a 4 per ottenere un numero la cui radice quadrata sia 4. Tale numero è 16. Allora 4 + x deve essere uguale a 12, cioè: 4 + x = 12 cioè 4 + x = 144. Da cui x= 140. La risposta esatta è pertanto la E). 76. x e y sono due numeri reali positivi tali che y<x. Di conseguenza: A) x 2 < xy B) y + x < x + y C) 1 > x / y D) 1 < x / y E) y < x 2 Se x e y sono due numeri reali positivi tali che y è minore di x, la risposta A, che si ottiene moltiplicando entrambi i membri della disequazione per il numero x (più grande), non può essere esatta poiché ha il verso della disequazione invertito. I due membri della disequazione della risposta B sono uguali per la proprietà commutativa dell addizione, quindi varrà y+x = x+y (risposta B errata). La risposta E sarebbe sempre verificata se almeno il numero x fosse maggiore di 1, ma poiché il testo non dà questa informazione, la risposta non può essere considerata sempre corretta.considerando infine le risposte C e D si può osservare che, moltiplicando entrambi i termini delle disequazioni per y ( operazione che non cambia il verso della disequazioni poiché y è un numero positivo), si ottiene per C: y > x (risposta sbagliata perché nega l ipotesi) e per D: y < x. La risposta esatta è dunque la D.
77. In un rombo una diagonale è il doppio dell altra e l area vale 36 cm 2. Quanto vale il lato del rombo? A) 3 5 cm B) 6 5 cm C) Non si può determinare D) 6 2 cm F) 6 cm Si dice parallelogramma un quadrilatero avente i lati opposti paralleli. Si definisce rombo un parallelogramma avente tutti e quattro i lati congruenti, cioè un parallelogramma equilatero. Le proprietà del rombo sono le seguenti: - ha tutti i lati congruenti; - ha gli angoli opposti a due a due congruenti; - le diagonali lo tagliano in due parti uguali; - le diagonali sono bisettrici degli angoli opposti; - le diagonali del rombo sono sue assi di simmetria; - ciascuna diagonale del rombo lo divide in triangoli isosceli congruenti; - le diagonali del rombo sono tra loro perpendicolari; L area di un rombo si calcola con la formula: Area = diagonale maggiore(d) * diagonale minore(d) / 2. Il testo della domanda dà due informazioni: D = 2 * d ( la diagonale maggiore è il doppio della diagonale minore) Area = D * d / 2 = 36 cm 2 Quindi sarà Area = 2d * d / 2 = d 2 = 36 cm 2 da cui si ricava che la diagonale minore d vale 6 cm e la diagonale maggiore D vale 12 cm. Il lato del rombo, poiché è l ipotenusa del triangolo rettangolo i cui cateti sono le semidiagonali ( di lunghezza quindi pari a 3 cm e 6 cm), per il teorema di Pitagora avrà lunghezza pari a: 2 2 3 + 6 = 9 + 36 = 45 = 9 *5 = 3 5 cm. La risposta esatta è quindi la A.
79. Quale fra i seguenti rappresenta il grafico della funzione 2x 3y = 2 / 3? A) B) C) D) E) Un'equazione di primo grado nelle variabili x ed y, nella forma implicita ax + by + c = 0
ha per rappresentazione grafica una retta r. La forma esplicita della retta è a c y = x = mx + q b b in cui m è chiamato coefficiente angolare ed esprime la pendenza della retta sull asse delle ascisse e q viene detta ordinata all'origine, rappresentando l'ordinata del punto di intersezione della retta r con l'asse y. Nel nostro caso viene data l equazione di una retta in forma implicita: 2x 3y = 2 / 3 In forma esplicita l equazione diventa: y = 2/3 x - 2/9 in cui il coefficiente angolare m è 2/3 e l ordinata all origine q è 2/9. Essendo il coefficiente angolare non nullo, la retta è obliqua e non parallela all asse delle x (risposta A errata). Inoltre, essendo m positivo, la retta forma con l asse delle x un angolo compreso fra 0 e 90 (risposte E e C errate). La risposta corretta quindi va ricercata fra i casi B e D. Poiché l ordinata all origine q è negativa (- 2/9), la retta deve intersecare l asse delle y in un punto con ascissa nulla e ordinata negativa e quindi la risposta esatta è la D.