Teoremi di Incompletezza di Gödel

Teoremi di Incompletezza di Gödel Pieri Lorenzo January 5, 2013 1 Introduzione Quello che segue è un breve riassunto della dimostrazione dei teoremi di Incompletezza di Gödel (e per il 2 è solo un accenno). Il materiale è rielaborato per renderlo più agevole rispetto alla lettura piuttosto pesante del Mendelson. Nella parte iniziale ci sono i concetti utili per la dimostrazione, ma anche tanta roba in più (la maggior parte!) che comprende quasi tutti i concetti fondamentali della logica matematica di base. Non c'è alcuna pretesa di completezza (e non poteva essere altrimenti...) in queste poche righe. 2 Denizioni Qualche nozione utile per comprendere meglio i ragionamenti. 2.1 Teoria del Primo Ordine Costituita dai seguenti elementi: 1. Un Alfabeto, ovvero un insieme di simboli. 2. Un insieme di termini (che rappresentano in modo intuitivo gli "oggetti" dell'insieme che si sta considerando) 3. Un insieme di Formule ben formate (dette Wfs: Well Formed Formulas) 4. Un insieme di Assiomi logici, ovvero un insieme di Wfs 5. Un insieme di Assiomi propri 6. Un insieme di regole di inferenza (rules of inference) L'espressione "del primo ordine" indica che c'è un insieme di riferimento e i quanticatori possano riguardare solo gli elementi di tale insieme e non i sottoinsiemi; ad esempio si può dire "per tutti gli x elementi dell'insieme vale P(x)" ma non si può dire "per tutti i sottoinsiemi A vale P(A)" (le teorie in cui ci sono quanticatori che spaziano sui sottoinsiemi dell'insieme di riferimento sono dette invece del secondo ordine). 1

2.1.1 Alfabeto Un Alfabeto è costituito dai seguenti simboli: 1. Costanti individuali (o Individual costants): a, b, c... Nozione intuitiva di oggetto della nostra teoria. Alcuni esempi: libro, Ken, Roccia, 118. 2. Variabili individuali: x, y, z... Usuale signicato del termine variabile. Ad esempi x può stare per Ken, come per 118. 3. Predicati (o Relazioni o Predicate letters): A(x 1 ), B(x 1,..., x n ),... Con la parentesi che indica il numero di argomenti. Ad esempio A(x) x è il glio di Ken, o B(x,y) x è amico di y. 4. Funzioni (o function letters): f(x 1 ), h(x 1,..., x n ),... Ad esempio f(x) la furia di x, o h(x,y) la testa di x e il cuore di y. 5. Punteggiatura:,, (, ). 6. Connettivi Logici: AND, OR, NOT, implicazione, doppia implicazione (con annesse tavole della verità e priorità di azione che sono supposte note al lettore). 7. Quanticatori: Per ogni (con simbolo ) detto quanticatore universale, Esiste almeno un (con simbolo ) detto quanticatore esistenziale. 2.1.2 Termini 1. Variabili e costanti individuali sono termini. 2. Sia f(x 1,..., x n ) una funzione ed a, b,..., n dei termini. Allora f(a, b,..., n) è un termine. 3. Nient'altro è un termine. Sia invece A(x 1,..., x n ) un predicato ed a, b,..., n dei termini. Allora A(a, b,..., n) è un formula atomica. 2.1.3 Formule ben Formate 1. Ogni formula atomica è una wfs. 2. Se α e β sono delle wfs e x è una variabile allora sono wfs anche: α β, α β, αβ, α β, α, (x)α, (x)α. 3. Nient'altro è una wfs. 2

Si denisce Sottoformula una wfs interna ad un altra wfs. Ad esempio nella wfs (x)(a(x) B(y)) troviamo le sottoformule (x)(a(x) B(y)), A(x) B(y), A(x), B(y). Una variabile interna ad una formula si dice libera se non compare in nessuna sottoformula preceduta da un quanticatore associato a tale variabile. Altrimenti si dice vincolata. Nell'esempio precedente x è vincolata mentre y è libera. Si chiama formula chiusa una wfs che non contenga variabili libere, formula aperta una che le contiene. 2.1.4 Assiomi logici Gli assiomi logici sono un insieme (innito) di formule assunte come vere (ove vero qui ha il signicato intuitivo di vero-falso del nostro linguaggio) che formalizzano tutte le deduzioni logiche che si possono fare nelle dimostrazioni matematiche. Ecco un insieme di assiomi standard (non univoco) date le wfs α, β, γ: 1. α(βα) 2. (α(βγ))((αβ)γ) 3. ( α β)(αβ) 4. ( (x)α)α per ogni wfs α in cui x è vincolata. 5. ( (x)α(x))α(t) per ogni wfs α e per ogni termine t che non contiene una variabile libera di α. 6. ( (x)(αβ))( (x)αβ) per ogni wfs α in cui x è vincolata. 7. ( (x)α) ( (x) α) 8. (α β) ( (α β)) 9. (α β) ( αβ) 2.1.5 Assiomi propri Gli assiomi propri di una teoria sono gli assiomi che specicano fatti relativi agli oggetti della teoria che non sono deducibili dalla logica pura, ma che sono invece legati alla particolare natura di quegli oggetti (come "per due punti passa una e una sola retta"). Una teoria del primo ordine che non ha assiomi propri è detta Logica dei predicati (o predicate calculus). 3

2.1.6 Regole di inferenza In una teoria del primo ordine, date le wfs φ e ξ, le regole di inferenza sono: 1. Sia φ e valga φξ. Allora posso dedurre ξ. (modus ponens) 2. Sia φ. Allora posso dedurre che (x)φ. (regola di generalizzazione) Sono modi estremamente intuitivi di trarre una conclusione date alcune premesse. Notare che la regola di generalizzazione non è necessaria in una logica proposizionale (una struttura ancora più primitiva delle teorie del primo ordine. Non è infatti dotata in generale di un sistema assiomatico e si soerma maggiormente sulla sintassi piuttosto che sulla semantica). 2.2 Interpretazione Le wfs hanno un signicato solo quando è data un interpretazione ai simboli. Un interpretazione M consiste in un insieme non vuoto D, detto dominio dell'interpretazione, e all'assegnazione ad ogni predicato A(x 1,..., x n ) una n- relazione in D, ad ogni funzione f(x 1,..., x n ) una funzione da D n in D e a ogni costante individuale un determinato elemento in D. Ad esempio A(x 1, x 2 ), preso il dominio degli interi positivi e interpretando A(a, b) come a<b, rappresenta la 2-relazione a<b che è soddisfatta da tutte le coppie ordinate (x,y) degli interi positivi tali che x<y. 2.3 Soddisfacibilità Sia Θ:Ω{V,F} una funzione detta funzione di valutazione, la quale va dall'insieme delle wfs Ω all'insieme vero-falso. Una funzione di valutazione è univocamente determinata dalla corrispettiva tavola della verità. Una wfs α si dice soddisfacibile se esiste una Θ tale che Θ(α)=V. Un interpretazione M di α in cui α è vera è detta Modello di α. Una wfs α si dice falsicabile se esiste una Θ tale che Θ(α)=F. Un interpretazione M di α in cui α è falsa è detta Contromodello di α. 2.4 Tautologia Una wfs α è una tautologia se per ogni Θ vale che Θ(α)=V. 2.5 Validità logica Una wfs α si dice logicamente valida se e solo se α è vera per ogni interpretazione M. Una wfs α si dice contraddizione se non è soddisfacibile, ovvero se α è logicamente valida. 4

2.6 Dimostrazione Una dimostrazione è una sequenza ordinata di wfs (α 1,..., α n ) tale che, per ogni indice i, o α i è un assioma o α i è conseguenza di alcune precedenti wfs in virtù di una regola di inferenza. Un teorema è una wf α tale che esiste una dimostrazione la cui ultima wf è α. Tale dimostrazione è detta dimostrazione di α. 2.7 Coerenza Una teoria del primo ordine L è detta coerente (o consistente) se non contiene wfs α tali che sia α che α sono teoremi di L. 2.8 w-coerenza Una teoria del primo ordine L è detta ω-coerente se e solo se, per ogni wf α(x) di L, se α(n) è un teorema per ogni naturale n, allora non è un teorema (x)( α(x)). Si dimostra che essere ω-coerenti implica essere coerenti. 3 Enunciati 3.1 1 Teorema di Incompletezza di Gödel In ogni teoria matematica T sucientemente espressiva da contenere l'aritmetica, esiste una formula φ tale che, se T è coerente, allora né φ né la sua negazione sono dimostrabili in T. In altri termini: In ogni formalizzazione coerente della matematica che sia sucientemente potente da poter assiomatizzare la teoria elementare dei numeri naturali (vale a dire, sucientemente potente da denire la struttura dei numeri naturali dotati delle operazioni di somma e prodotto) è possibile costruire una proposizione sintatticamente corretta che non può essere né dimostrata né confutata all'interno dello stesso sistema. 3.2 2 Teorema di Incompletezza di Gödel Sia T una teoria matematica sucientemente espressiva da contenere l'aritmetica: se T è coerente, non è possibile provare la coerenza di T all'interno di T. In altri termini: Nessun sistema coerente può essere utilizzato per dimostrare la sua stessa coerenza. 3.3 Teorema di completezza di Gödel Ogni sistema deduttivo per la logica dei predicati del primo ordine L è "completo", ovvero ogni formula logicamente valida in L è dimostrabile in L. In altri termini: In ogni logica dei predicati i teoremi sono esattamente le wfs logicamente valide. 5

3.4 Teorema di correttezza Ogni sistema deduttivo per la logica dei predicati del primo ordine L è "corretto", ovvero ogni formula dimostrabile in L è logicamente valida in L. 4 Dimostrazioni 4.1 1 Teorema di Incompletezza di Gödel 4.1.1 Dimostrazione intuitiva Associamo ad ogni wfs che può essere formulato nel sistema un numero univoco, che è chiamato il suo numero di Gödel. Ciò è fatto in modo che si possa facilmente eettuare una conversione meccanica tra le formule e i relativi numeri di Gödel, e viceversa. Dato che il sistema considerato è abbastanza potente da poter operare con i numeri, sarà ora possibile operare allo stesso modo anche con le formule. Ogni wfs F(x) ha un suo numero di Gödel che si può denotare con la scrittura G(F). La scelta della variabile libera utilizzata nell'espressione F(x) non è rilevante per l'assegnazione del numero di Gödel G(F). Deniamo ora auto-indimostrabile una formula che aerma meta-matematicamente la propria non dimostrabilità. Quindi wf F(x) è auto-indimostrabile se la wf F, applicata al suo stesso numero di Gödel, non è dimostrabile. Costruiamo ora una wf φ(z) con z numero di Gödel di un enunciato autoindimostrabile, ovvero z=g(f) per qualche F(x) auto-indimostrabile. Sia ora ξ=φ(g(φ)). Assumiamo che il nostro sistema assiomatico sia coerente, cioè se è logicamente valida (o dimostrabile) una wf, non lo è il suo opposto. -Supponiamo che ξ sia dimostrabile. Allora per denizione φ(g(φ)) è logicamente valido e inoltre z=g(φ) è il numero di Gödel di una wf auto-indimostrabile. Ma allora φ è auto-indimostrabile, quindi φ(g(φ)) è auto-indimostrabile. Ma eravamo partiti con ξ dimostrabile, quindi si arriva ad un assurdo. ξ è in conclusione non dimostrabile. -Supponiamo che la negazione di ξ sia dimostrabile. Allora per denizione, la φ(g(φ)) è una contraddizione e z=g(φ) è il numero di Gödel di una wf non auto-indimostrabile. Quindi φ(g(φ)) è dimostrabile, ma eravamo partiti da ξ non dimostrabile (cioè dalla negazione dimostrabile), quindi si arriva ad un assurdo. La negazione di ξ è in conclusione non dimostrabile. ξ non è né dimostrabile, né confutabile nel nostro sistema assiomatico. ξ è indecidibile. 4.1.2 Dimostrazione meno intuitiva! Introduciamo una 2-relazione W(u, y) tale che u è il numero di Gödel di una wf α(x) contenente la variabile libera x e y è il numero di Gödel di una dimostrazione di α(u). Una tale proposizione è ricorsiva (primitive recursive) e 6

si può dimostrare che ogni relazione ricorsiva è esprimibile in L, ove per L si intende una teoria del primo ordine contenente l'aritmetica. Quindi W(u, y) è esprimibile in L da una wf Ω(x 1, x 2 ) con x 1 e x 2 variabili libere, cioè se vale W(k 1, k 2 ) allora Ω(k 1, k 2 ) è un teorema e se vale non-w(k 1, k 2 ) allora Ω(k 1, k 2 ) è un teorema. Consideriamo ora la wf δ= (x 2 )( Ω(x 1, x 2 )) e sia m il suo numero di Gödel. Sostituiamo m in x 1 per ottenere la wf chiusa ξ= (x 2 )( Ω(m, x 2 )). Dalla denizione di W(u, y), si ha che W(m, y) vale se e solo se y è il numero di Gödel di una dimostrazione in L di ξ. Ora siamo pronti a dimostrare che: 1. Se L è coerente, allora ξ non è dimostrabile in L. 2. Se L è ω-coerente, allora ξ non è dimostrabile in L. Seguirà dal fatto che ω-coerentecoerente che ξ è indecidibile. -Assumiamo che L sia coerente e che ξ= (x 2 )( Ω(m, x 2 )) sia un teorema. Sia k il numero di Gödel della dimostrazione di ξ, quindi si ha W(m, k). Poiché Ω esprime W in L Ω(m, k) è un teorema. Da (x 2 )( Ω(m, x 2 )) segue che vale Ω(m, k). Abbiamo provato che valgono sia Ω(m, k) che Ω(m, k), quindi siamo in contraddizione con la coerenza di L. -Assumiamo che L sia ω-coerente e che ξ sia un teorema. L è coerente, quindi ξ non è un teorema. Quindi per ogni naturale n, n non è il numero di Gödel di una dimostrazione in L di ξ e W(m, n) è falsa. Quindi, per ogni n, Ω(m, n) è un teorema. Sia ora α(x 2 )=( Ω(m, x 2 )). Dalla ω-coerenza segue che non è un teorema l'aermazione (x 2 )( Ω(m, x 2 )), equivalente a (x 2 )(Ω(m, x 2 )). Ma eravamo partiti dall'assunto ξ è un teorema, che equivale a (x 2 )(Ω(m, x 2 )) è un teorema. 4.2 2 Teorema di Incompletezza di Gödel 4.2.1 Dimostrazione intuitiva Sia π un enunciato indecidibile che asserisca la propria indimostrabilità (deve esistere per quanto visto nel 1 teorema). Ad esempio sia π=π non è dimostrabile. Assumiamo per assurdo che la coerenza del sistema sia determinabile entro il sistema stesso. Abbiamo già visto che dentro al sistema assiomatico coerente si può concludere che π non è dimostrabile. Cioè si dimostra nel sistema che π non è dimostrabile. Ma per denizione π non è dimostrabile equivale proprio a π, quindi nel sistema posso dimostrare π. Avendo dimostrato π e il suo opposto, il sistema non può essere coerente. 7

5 Bibliograa 1. Introduction to Mathematical Logic, Elliot Mendelson 2. Wikipedia 8