1 Relazioni 1. definizione di relazione; 2. definizione di relazione di equivalenza; 3. definizione di relazione d ordine Definizione Una corrispondenza tra due insiemi A e B è un sottoinsieme R del prodotto cartesiano A B. Una corrispondenza tra A e B si dice relazione su A se A = B. Esempi 1. Sia R + l insieme dei numeri reali positivi. Un esempio di corrispondenza tra R + e R è il seguente: R = {(x, x), x R + }, dove con x si indica l insieme dei numeri reali che elevati al quadrato danno x. 2. essere parenti; (vari gradi); 3. avere gli occhi dello stesso colore; avere gli occhi azzurri; 4. parallelismo. 5. a, b Z sono in relazione se e solo se sono entrambi pari o entrambi dispari. Qualche proprietà: 1) R gode della proprietà riflessiva se x A, x R x; 2) R gode della proprietà simmetrica se x, y A, xry implica yrx; 3) R gode della proprietà transitiva se x, y, z A, xry e yrz implica xrz; 4) R gode della proprietà antisimmetrica se xry e yrx implicano x = y. Definizione Una relazione R su un insieme A si dice relazione di equivalenza se gode delle proprietà 1), 2), 3). Definizione Una relazione R su un insieme A si dice relazione d ordine se gode delle proprietà 1), 3), 4). 1
1.1 Classi di equivalenza e insieme quoziente Una relazione di equivalenza R su un insieme A permette di ripartire A in sottoinsiemi a due a due disgiunti. Per esempio, la relazione dell esempio 5 divide i numeri interi tra numeri pari e numeri dispari Definizione Sia R una relazione di equivalenza su un insieme A e si consideri un elemento a A. Si definisce classe di equivalenza di a rispetto a R l insieme [a] R = {x A : xra}. Si dice rappresentante della classe [a] R un qualsiasi suo elemento Osservazione Per ogni a A, l insieme [a] R è diverso dall insieme, in quanto a [a] R ; inoltre, [a] R = [b] R se e solo se arb, cioè b A è un rappresentante di [a] R se e solo se arb. Strettamente legate alle relazioni di equivalenza su un insieme A sono le partizioni di A. Definizione Sia X un insieme diverso dal vuoto e si consideri una collezione X i, i I di sottoinsiemi di X. {X i } si dice partizione di X se valgono: 1) i I l insieme X i ; 2) se i j, allora X i X j = ; 3) i I X i = X. Una relazione di equivalenza determina una partizione e viceversa una partizione determina una relazione di equivalenza (come?) 2 Costruzione dei numeri interi Definiamo l insieme dei numeri interi Z a partire dall insieme dei numeri naturali N. Le operazioni di somma e prodotto nell insieme N godono delle proprietà commutativa e associativa, lo 0 è l elemento neutro per la somma e 1 è l elemento neutro per il prodotto. Però, dato x N, x 0, non esiste un elemento x (opposto di x) tale che x + x = 0. Da questo segue che in N non è definita la differenza tra due numeri. Si costruisce allora un insieme Z, detto insieme dei numeri interi; Z contiene N e in Z esiste l opposto di 2
ogni numero In modo analogo (dal punto di vista concettuale) si possono costruire i numeri razionali Q. Z viene costruito in modo tale che sia possibile identificare N con un sottoinsieme di Z, e che su Z sia possibile definire una somma, denotata ancora con +, rispetto a cui Z sia un gruppo. Su Z viene definito anche un prodotto, rispetto a cui però Z non è gruppo, il che porta alla costruzione dei numeri razionali. Per costruire Z, si considera la seguente relazione di equivalenza R sull insieme X = N N: (a, b)r(c, d) a + d = b + c. La definizione di R sembra artificiosa. In realtà se sapessimo già fare la sottrazione, dire a + d = b + c equivale a dire a b = c d (per esempio, il numero 2 corrisponde alla classe di (0, 2) che è anche la classe di (3, 5)). Definiamo ora le nuove operazioni di somma e prodotto su X, a partire dalle operazioni di somma e prodotto definite in N. La delicatezza del procedimento sta nel fatto che il risultato dell operazione non deve dipendere dal rappresentante della classe che si sceglie. Teorema La relazione R è una relazione di equivalenza nell insieme X. Denotato con Z l insieme quoziente X R, si definiscono su Z le seguenti operazioni di somma, denotata con +, e di prodotto, denotata con : [(a, b)] R + [(c, d)] R = [(a + c, b + d)] R, [(a, b)] R [(c, d)] R = [(ac + bd, ad + bc)] R. Dimostrazione Le proprietà riflessiva e simmetrica seguono immediatamente dalla definizione; per quanto riguarda la proprietà transitiva, si considerino tre coppie (a, b), (c, d), (e, f) X e si supponga (a, b)r(c, d), (c, d)r(e, f); ciò significa a + d = b + c e c + f = e + d; segue allora (a + d) + (c + f) = (b + c) + (e + d), e quindi (a + f) + (c + d) = (b + e) + (c + d). Per la legge di cancellazione in N, segue (a + f) = (b + e), cioè (a, b)r(e, f). Per provare che la somma e il prodotto sopra definite sono due operazioni in Z, bisogna provare che dall ipotesi segue: (a, b)r(a 1, b 1 ), (c, d)r(c 1, d 1 ) 3
1) (a + c, b + d)r(a 1 + c 1, b 1 + d 1 ); 2) (ac + bd, ad + bc)r(a 1 c 1 + b 1 d 1, a 1 d 1 + b 1 c 1 ). Proviamo 1). Per ipotesi a + b 1 = b + a 1 e c + d 1 = d + c 1 ; quindi (a + c) + (b 1 + d 1 ) = (b + d) + (a 1 + c 1 ) e anche ((a + c), (b + d))r((a 1 + c 1 ), (b 1 + d 1 )). Ora proviamo 2). Bisogna dimostrare che ac + bd + a 1 d 1 + b 1 c 1 = ad + bc + a 1 c 1 + b 1 d 1. Sommando al primo membro b 1 c e a 1 d, troviamo (ac + bd + a 1 d 1 + b 1 c 1 ) + b 1 c + a 1 d = (a + b 1 )c + (b + a 1 )d + a 1 d 1 + b 1 c 1 = (a 1 + b)c + (b 1 + a)d + a 1 d 1 + b 1 c 1 = (ad + bc) + a 1 c + b 1 d + a 1 d 1 + b 1 c 1 = (ad + bc) + a 1 (c + d 1 ) + b 1 (d + c 1 ) = (ad + bc) + a 1 (c 1 + d) + b 1 (d 1 + c) = (ad + bc + a 1 c 1 + b 1 d 1 ) + b 1 c + a 1 d; per concludere ricorda che, dati x, y, c N, se x + c = y + c, allora x = y. Ci abbiamo guadagnato qualcosa? Che proprietà valgono in Z? Teorema La somma e il prodotto in Z godono delle proprietà commutativa e associativa; l elemento 0 Z = [(0, 0)] R è l elemento neutro per la somma e l elemento 1 Z = [(1, 0)] R è l elemento neutro per il prodotto. Ogni elemento z in Z ha l opposto, che viene indicato con z. Posto infatti z = [(a, b)] R, risulta z = [(b, a)] R. Dimostrazione La dimostrazione segue dalle analoghe proprietà di cui godono la somma e il prodotto in N. 0 Z = [(0, 0)] R = {(a, a), a N}; 0 Z è elemento neutro per la somma, poiché [(b, c)] R, [(a, a)] R + [(b, c)] R = [(a + b, a + c)] R = [(b, c)] R ; l elemento [(b, a)] R è l opposto di [(a, b)] R, in quanto [(a, b)] R + [(b, a)] R = [(a + b, b + a)] R = 0 Z. Come N, anche Z è un insieme totalmente ordinato, come viene detto nella seguente proposizione. Proposizione La relazione Z così definita: [(a, b)] R Z [(c, d)] R c + b a + d 4
è una relazione d ordine totale su Z. Valgono inoltre le seguenti due proprietà: x, y, z Z, x y x + z y + z; z, y, z Z, z 0 Z, x y xz yz. Dimostrazione La prima cosa da chiedersi è se la relazione sia ben definita, ovvero se la scrittura [(a, b)] R Z [(c, d)] R sia indipendente dalla scelta dei rappresentanti. Gli elementi di Z si dicono numeri interi. Denotato con N il sottoinsieme di Z costituito dai numeri maggiori o uguali a 0 Z, detto insieme degli interi positivi, è facile riconoscere che N = {[(n, 0)] R, n N}. Considerata la funzione i : N Z, i(n) = [(n, 0)] R si verifica facilmente: i(n 1 + n 2 ) = i(n 1 ) + i(n 2 ); i(n 1 n 2 ) = i(n 1 ) i(n 2 ). Come si è soliti dire, la funzione i considerata nella precedente proposizione conserva le operazioni cioè, in base alla Definizione??, i è un omomorfismo iniettivo tra le strutture algebriche (N, +, ) e (Z, +, ). Esercizio Si dimostri che z = [(a, b)] R 0 Z se e solo se [(a, b)] R = [(n, 0)] R per qualche n N. 2.1 Esercizi 1. Si dimostri per induzione che un insieme di n elementi ha 2 n elementi; 2. Si prepari una lezione introduttiva sul principio di induzione (per esempio con gli esercizi proposti in aula); 3. Si provi che per ogni n 1 il numero 3 4n 1 è divisibile per 5. (questo esercizio sarà utile quando introdurremo RSA, e allora sarà anche spunto per una lezione); 4. Cosa posso dire del numero di relazioni di equivalenza su un insieme di 3 elementi? 5. si cerchi una costruzione dei numeri razionali come quoziente dell insieme Z Z tramite una opportuna relazione di equivalenza (Z = Z\{0} In particolare si pensi a una lezione sulla definizione di somma sui razionali. 5