Ex. 1 & 2: Costi, curve apprendimento ed economie di scala Economia Applicata M Andrea Bastianin
Argomenti 1. Rendimenti di scala 2. Curve di apprendimento Riferimenti: Berndt, cap. 3 Nerlove, M. (1963). Returns to scale in electricity supply, chap. 7 in C.F. Christ (ed.) Measurement in Economics: Studies on Honor of Yehuda Grunfeld, Stanfrod, Calif.: Stanford Uni. Press, pp. 167-198. Available online at: http://faculty.arec.umd.edu/mnerlove/nerlove%20- %20returns%20to%20scale.pdf
Introduzione Funzione di produzione: indica il livello massimo di output (y) che si può ottenere da una combinazione di n inputs (x i, i = 1,,n) e dato lo stato della tecnologia, A: y = f (x 1,..., x n ;A) (Esempio) Cobb-Douglas 1 input: y = AL a a>0
Cobb-Douglas 1 input
Introduzione Funzione di produzione: indica il livello massimo di output (y) che si può ottenere da una combinazione di n inputs (x i, i = 1,,n) e dato lo stato della tecnologia, A: y = f (x 1,..., x n ;A) Produttività marginale (MP i ): variazione y al variare di un solo input: MP i = y/ x i (Esempio) Cobb-Douglas 1 input: y = AL a a>0 MP L (L;A) = y/ L = aal a-1
Cobb-Douglas 1 input: produttività marginale MP L L Caso a = 1: MP L (L;A) = y/ L = aal a-1 = A
Cobb-Douglas 1 input: produttività marginale MP L L Caso a < 1 (a = 0.5): MP L (L;A) = y/ L = aal a-1 = 0.5AL -1/2
Cobb-Douglas 1 input: produttività marginale MP L L Caso a > 1 (a = 1.5): MP L (L;A) = y/ L = aal a-1 = 1.5AL 1/2
Introduzione Funzione di produzione: indica il livello massimo di output (y) che si può ottenere da una combinazione di n inputs (x i, i = 1,,n) e dato lo stato della tecnologia, A: y = f (x 1,..., x n ;A) Produttività marginale (MP i ): variazione y al variare di un solo input: MP i = y/ x i Rendimenti di scala: come varia y se tutti gli inputs vengono aumentati proporzionalmente del μ% RTS Costanti se: input = output RTS Crescenti se: input < output (economie di scala) RTS Decrescenti se: input > output (diseconomie di scala) (Esempio) Cobb-Douglas 1 input: y = AL a MP L = aal a-1 r (RTS) = a Ec. Scala = r-1
Cobb-Douglas 1 input: r=1 input = output
Cobb-Douglas 1 input: r<1 input < output
Cobb-Douglas 1 input: r>1 input > output
Introduzione (Esempio) Cobb-Douglas n inputs: y = A n i=1x i ai r (RTS) = ia i Ec. Scala = r-1 (Esempio) Cobb-Douglas 2 inputs: y = AL a K b r (RTS) = a+b Ec. Scala = r-1 Isoquanti (Curve di livello): combinazioni inputs che danno lo stesso livello di y
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Introduzione (Esempio) Cobb-Douglas n inputs: y = A n i=1x i ai r (RTS) = ia i Ec. Scala = r-1 (Esempio) Cobb-Douglas 2 inputs: y = AL a K b r (RTS) = a+b Ec. Scala = r-1 Isoquanti (Curve di livello): combinazioni inputs che danno lo stesso livello di y y /AL a K b Esponenti: cosa sono a e b?
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Esercizio 1 Obiettivo: stimare RTS con funzione di produzione Cobb- Douglas Descrizione: una utility produce elettricità (y) usando tre inputs: lavoro (x1), capitale (x2) e carbone (x3) i cui prezzi sono: salario (p1), "prezzo" del capitale (p2) e prezzo del carbone (p3) Q1. Come descriviamo la tecnologia di produzione (i.e. f di produzione)? Q2. Come descriviamo il comportamento dell impresa (i.e. min costi o max profitti)?
Esercizio 1: tecnologia Cobb-Douglas: Rendimenti di scala (RTS): r = 1 + 2 + 3 r > 1 r = 1 r < 1 RTS crescenti, RTS costanti, RTS decrescenti. Economie di scala = r-1
Esercizio 1: comportamento dell impresa Impresa minimizza i costi: sceglie il livello ottimo di input x i * necessario per produrre la quantità y 0. Domanda condizionale input x i* : q.tà ottima input necessari per produrre y 0. Funzione di costo minimo, TC(x * ): costo min per produrre y 0. x i * sarà in corrispondenza del punto di tangenza tra: isocosto: combinazioni di input che assicurano stesso TC isoquanto: combinazioni di input che assicurano stessa y Nota: nel caso con 3 inputs, isocosti e isoquanti sono superfici di livello e non curve di livello
Esercizio 1: comportamento dell impresa (2 inputs)
Esercizio 1: comportamento dell impresa (2 inputs)
Esercizio 1: dalla teoria alla pratica Imponendo che la funzione di costo sia omogenea di grado 1, dalla soluzione del problema di min dei costi, otteniamo la funzione di costo minimo (per produrre y): Omogeneità di grado 1 implica che se tutti i prezzi raddoppiano il costo raddoppia; Questa restrizione è il motivo per cui prezzi degli inputs (lavoro p1 e capitale p2) e costo totale (C) sono espressi in termini relativi (al prezzo del carbone, p3) k = f (A, ai ) r = 1 + 2 + 3
Esercizio 1: dalla teoria alla pratica Funzione di costo minimo: Equazione da stimare (aggiungo termine errore): Le stime dei RTS e degli s si ottengono come segue: r = 1/ 2 1 = r 3 2 = r 4 3 = r 1 2 Economie di scala = r 1.
Esercizio 1: dati Tipo dataset e dimensione: cross section N = 145 imprese (t = 1955) ordinate per livello produzione (kwh). des Contains data from nerlove.dta obs: 145 Nerlove (Fonte: Berndt, Ex 4) vars: 7 29 Nov 2013 12:16 size: 3,480 (99.9% of memory free) ------------------------------------------------------------------------- storage display value variable name type format label variable label ------------------------------------------------------------------------- id int %8.0g id impresa order int %8.0g id impresa costs float %9.0g TC kwh int %8.0g Quantità (kwh) p1 float %9.0g Prezzo L p2 int %8.0g Prezzo K p3 float %9.0g Prezzo carbone ------------------------------------------------------------------------- Sorted by: order
Esercizio 1: dati Tipo dataset e dimensione: cross section N = 145 imprese (t = 1955) ordinate per livello produzione (kwh). list +---------------------------------------------------+ id order costs kwh p1 p2 p3 --------------------------------------------------- 1. 1 101.082 2 2.09 183 17.9 2. 2 102.661 3 2.05 174 35.1 3. 3 103.99 4 2.05 171 35.1 144. 144 528 139.422 14359 2.31 212 33.5 145. 145 529 119.939 16719 2.3 162 23.6 +---------------------------------------------------+
0 5000 10000 15000 20000 Esercizio 1: dati 100 200 300 400 500 id impresa
Esercizio 1: dalla teoria alla pratica Equazione da stimare: * Variabile dipendente log(tc/p3) gen y = log(costs/p3) lab var y "log(tc/p3)" * Variabili esplicative: log(kwh), log(p1/p3), * log(p2/p3) gen x1 = log(kwh) gen x2 = log(p1/p3) gen x3 = log(p2/p3)
Esercizio 1: stima modello 1 * Stima OLS e salvo risultati. reg y x1 x2 x3 Source SS df MS Number of obs = 145 -------------+------------------------------ F( 3, 141) = 639.98 Model 294.667577 3 98.2225256 Prob > F = 0.0000 Residual 21.640321 141.153477454 R-squared = 0.9316 -------------+------------------------------ Adj R-squared = 0.9301 Total 316.307898 144 2.19658262 Root MSE =.39176 ------------------------------------------------------------------------------ y Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] -------------+---------------------------------------------------------------- x1.7206875.0174357 41.33 0.000.6862183.7551567 x2.5929097.2045722 2.90 0.004.1884845.9973349 x3 -.0073811.1907356-0.04 0.969 -.3844523.3696901 _cons -4.690789.8848715-5.30 0.000-6.440119-2.941459 ------------------------------------------------------------------------------. est sto mod1
Esercizio 1: RTS e s. scalar r = 1/_b[x1]. scalar alfa1 = r*_b[x2]. scalar alfa2 = r*_b[x3]. scalar alfa3 = r-alfa1-alfa2. scalar list r alfa1 alfa2 alfa3 r = 1.3875639 alfa1 =.82270007 alfa2 = -.01024173 alfa3 =.57510558
Esercizio 1: test RTS costanti RTS costanti ( input = output) se r = 1 Sappiamo che: 2 = 1/r e quindi r = 1/ 2 H 0 : RTS costanti si può testare in 2 modi Test lineare: Test non lineare H 0 : 2 = 1 H 0 : 1/ 2 = 1
Esercizio 1: test RTS costanti. * H0: beta1 = 1. test x1 = 1 ( 1) x1 = 1 F( 1, 141) = 256.63 Prob > F = 0.0000. * H0: 1/beta = 1 (test non-lineare). testnl 1/_b[x1] = 1 (1) 1/_b[x1] = 1 F(1, 141) = 133.29 Prob > F = 0.0000
Esercizio 1: diagnostica Problema: quota output imputabile a K < 0 (non-sense!) Ipotesi OLS soddisfatte? Calcolo residui e faccio grafico a dispersione (y=res,x=x1ln(kwh)). predict uhat, residuals. twoway (scatter uhat x1) (qfit uhat x1) (lowess uhat x1)
-1 0 1 2 Esercizio 1: diagnostica 0 2 4 6 8 10 log(kwh) Data NP fit Quadratic fit
Esercizio 1: modello quadratico
Esercizio 1: modello quadratico gen x12 = x1^2 reg y x1 x12 x2 x3 est sto mod2 ---------------------------------------------- Variable mod1 mod2 -------------+-------------------------------- x1.72068752***.15254654** x2.59290967***.48058593*** x3 -.00738109.07416629 x12.05051404*** _cons -4.6907889*** -3.764648*** -------------+-------------------------------- r2_a.93012899.95692168 rmse.39176199.30761191 ---------------------------------------------- legend: * p<.1; ** p<.05; *** p<.01
Esercizio 1: modello quadratico gen x12 = x1^2 reg y x1 x12 x2 x3 est sto mod2 ---------------------------------------------- Variable mod1 mod2 -------------+-------------------------------- x1.72068752***.15254654** x2.59290967***.48058593*** x3 -.00738109.07416629 x12.05051404*** _cons -4.6907889*** -3.764648*** -------------+-------------------------------- r2_a.93012899.95692168 rmse.39176199.30761191 ---------------------------------------------- legend: * p<.1; ** p<.05; *** p<.01
1 2 3 4 5 Esercizio 1: modello quadratico * Calcolo RTS gen rtsy = 1/(_b[x1]+2*_b[x12]*x1) twoway (line rtsy x1, sort) 0 2 4 6 8 10 log(kwh)
Esercizio 1: Test RTS costanti (r = 1). * Test rts costanti. test (x1=1) (x12=0) ( 1) x1 = 1 ( 2) x12 = 0 F( 2, 140) = 252.47 Prob > F = 0.0000
-1.5-1 -.5 0.5 1 Esercizio 1: diagnostica modello quadratico 0 2 4 6 8 10 log(kwh) Residuals lowess uhat2 x1
Esercizio 1: modello con dummies * Dummies gen small = order<=129 gen big = order>=501 gen med = (order>129)*(order<501) Ripetere analisi su tre campioni Confrontare con modello quadratico