CAPITOLO 1 CENNI STORICI 1. Gli abachi: calcolare con sassi e palline..... 1 2. I bastoncini di Nepero...... 7 3. Un antico calcolatore analogico: riga+compasso...... 10 4. Oltre le quattro operazioni: equazioni di secondo grado. 15 5. Teoremi limitativi per la macchina riga+compasso: altre macchine...... 17 6. Un potente calcolatore analogico: il regolo calcolatore... 20 7. Pascal e Leibniz: filosofi fabbricano calcolatrici...... 24 8. Babbage, Ada Lovelace e la programmazione... 27 9. Turing: la logica matematica per una teoria astratta dei calcolatori...... 29 10. L architettura di Von Neumann... 32 CAPITOLO 2 MACCHINE A MEMORIA FINITA: GLI AUTOMI 1. Macchine che ricordano: gli automi.. 37 2. Esempi...... 41 3. Automi: interpretazioni diverse.... 43 4. Cose che un automa non potrà mai fare...... 45 5. Automi isolati ed il tema dell eterno ritorno...... 48 6. Riflessioni e divagazioni...... 50 7. Leibniz ed un mondo fatto di 0 ed 1...... 52 8. Reti sequenziali (macchine digitali)...... 58 9. La logica degli stoici per costruire automi...... 61 10. Il teorema di completezza funzionale...... 67 11. Porte logiche...... 68 12. Reti di porte logiche...... 72 13. Macchine digitali: registri + reti di porte logiche.... 77 14. Ricerche aperte: algebre funzionalmente complete per essere più veloci... 81 15. Ricerche aperte: gruppo delle porte reversibili e calore.. 85 Letture: R. Cartesio, Gli animali sono macchine (Dal Discorso sul metodo)...... 89
CAPITOLO 3 MACCHINE A MEMORIA INFINITA 1. La computabilità per i matematici: terne di Peano e ricorsione....... 93 2. Le funzioni primitive ricorsive... 96 3. Linguaggi funzionali e codifiche... 101 4. Funzioni ricorsive... 103 5. Macchine che eseguono istruzioni: macchine astratte.... 107 6. Macchine a registri...... 112 7. Linguaggi evoluti: WHILE, FOR...... 116 8. La nozione di funzione computabile: tesi di Church.... 118 9. Codifica dei programmi e macchine universali...... 121 10. Estendere le definizioni ad insiemi codificabili. 124 11. Turing: una definizione matematica di calcolatore... 126 II CAPITOLO 4 COSE CHE UN CALCOLATORE NON POTRA MAI FARE 1. Problemi che un calcolatore può risolvere: la nozione di problema decidibile... 131 2. Problemi che un calcolatore può risolvere a metà: la nozione di problema semi-decidibile..... 136 3. Forma logica di un problema, decidibilità e semi-decidibilità.......... 144 4. Ridurre un problema ad un altro... 148 5. Problemi che un calcolatore non potrà mai risolvere: il Problema della fermata... 150 6. Il Teorema di Rice: non può esistere una macchina capace di controllare le altre macchine...... 156 7. Computabilità e decidibilità in teoria degli insiemi... 160 8. Computabilità e decidibilità in analisi... 163 9. Computabilità e decidibilità in algebra... 167 10. Macchine che rispondono in tempi ragionevoli: teoria della complessità...... 169 Letture: G. Gerla, Destini Programmati... 173
CAPITOLO 5 CALCOLO DELLE IDEE: LINGUAGGIO E RISCRITTURA 1. Nuovo ruolo del linguaggio: calcolare con le parole.. 179 2. Dall algebra retorica al calcolo letterale. 180 3. Cartesio e Leibniz: inutile discutere, calcoliamo... 183 4. Macchine che parlano correttamente: linguaggi formali... 187 5. Macchine che parlano correttamente: le grammatiche.. 189 6. Estendere il tutto agli insiemi non numerici... 194 7. Problemi matematici che nessun computer potrà mai risolvere......... 197 8. Calcoli con le relazioni binarie... 199 9. Giochi, labirinti, solitari. 203 10. I sistemi di riscrittura... 206 11. Riscrittura come programmazione: (Mathematica)... 209 12. Un esempio, la derivazione simbolica... 213 Letture: J. L. Borges, La Biblioteca di Babele... 217 III CAPITOLO 6 CALCOLO DELLE IDEE: MACCHINE CHE RAGIONANO 1. Stoici ed Aristotelici per l Intelligenza Artificiale... 225 2. I linguaggi della logica... 229 3. Abbreviazioni ed esempi. 235 4. Cosa è la verità: interpretare un linguaggio... 238 5. Sistemi di riscrittura per la logica... 245 6. Calcolare con gli insiemi: operatori e punti fissi... 251 7. Operatori algebrici in algebra e geometria... 255 8. La macchina di Hilbert per produrre teoremi... 258 9. Limiti delle macchine che producono teoremi... 264 10. La logica come linguaggio di programmazione 268 11. Calcolatori che elaborano teorie: la logica induttiva 271 Letture: Th. Hobbes Leviatano I cap. V...... 275 Letture: A.Turing, Macchine Calcolatrici ed Intelligenza 277
CAPITOLO 7 MACCHINE CHE APPRENDONO E SI EVOLVONO 1. Un neurone per fare calcoli....... 295 2. Un neurone non è sufficiente: le reti neurali.... 299 3. Reti neurali digitali......... 301 4. Macchine che riconoscono: il Perceptron...... 305 5. Macchine che apprendono dall'esperienza... 309 6. Reti neurali che ricordano......... 310 IV CAPITOLO 8 MACCHINE CAPACI DI NON ESSERE PRECISE 1. Cosa sono e come riconoscere le nozioni vaghe.... 313 2. Insiemi fuzzy: modelli matematici per la vaghezza... 315 3. Unione, intersezione ed altre operazioni..... 318 4. Paradossi: mucchi di grano, uomini calvi e girini.. 321 5 La soluzione di Russell e Frege: niente vaghezza.... 324 6. La soluzione della logica fuzzy.... 325 7. Macchine che utilizzano le conoscenze di un vecchio esperto...... 327 8. Ragionamenti approssimati per il controllo fuzzy..... 332 9. Logiche a più valori per andare più veloci...... 337 10. Macchine libere di scegliere.. 339 Letture: L. Coen, A. Varzi, Il circolo della vaghezza, da La Stampa, 28 aprile 2001...... 343 Indice analitico...... 349 Bibliografia........ 357
INTRODUZIONE Questo libro è una rielaborazione dei miei appunti del corso di teoria della computabilità. Il corso mira a definire una teoria astratta della computabilità ed ad affrontare la questione: che cosa è un "algoritmo"? Questa domanda potrebbe non sembrare troppo interessante in quanto, come è noto, gli algoritmi sono la parte più noiosa della matematica. Infatti un algoritmo è, per definizione, una successione di operazioni da eseguire secondo delle regole fisse e quindi in esso non può entrare né fantasia né momenti di invenzione. Tuttavia un altro modo di interpretare tale domanda è collegarla agli oggetti di più avanzata e sorprendente tecnologia da cui siamo circondati: i calcolatori. Infatti definire e studiare la nozione di algoritmo equivale a definire e studiare che cosa può essere fatto da una macchina. Allora possiamo anche dire che scopo del libro è affrontare la questione, un po più interessante, che cosa è un calcolatore e che cosa può fare? Tale domanda non viene posta per i calcolatori che possiamo trovare oggi in un negozio o in un laboratorio ma per tutti i possibili calcolatori che potranno essere costruiti dall uomo. Allora forse è meglio riformulare la domanda al modo seguente: esistono cose che una macchina costruita dall uomo non può e non potrà mai fare? Domanda che a sua volta si trascina appresso una serie di altre domande affascinanti come: - può una macchina avere memoria? - può una macchina apprendere dall'esperienza? - può una macchina fare ragionamenti? - può una macchina riconoscere gli oggetti che la circondano? - può una macchina essere intelligente? - la mente umana è una macchina? Nel libro esistono molte lacune dovute alla mia pigrizia. Ad esempio manca un adeguato sviluppo della teoria della complessità e delle macchine probabilistiche. Mancano gli algoritmi genetici, quelli relativi alla vita artificiale e molte altre cose. Si rimanda per tali argomenti a libri più completi.