Lavoro ed energia Daniel Gessuti indice 1 Lavoro e potenza 1 Lavoro di una forza costante 1 Lavoro di una forza non costante 2 Potenza 3 2 Forme di energia 4 Energia cinetica 4 Energia potenziale gravitazionale 5 3 Energia potenziale elastica 6 Esercizi 7 Lavoro e potenza 7 Forme di energia 8 1 lavoro e potenza 1.1 Lavoro di una forza costante Per introdurre il concetto di lavoro di una forza costante partiamo dai due esempi indicati nella figura 1. Consideriamo prima di tutto un corpo di massa m. Su tale corpo agisce la forza peso diretta verticalmente dall alto verso il basso. Pertanto anche il corpo cadrà lungo la verticale dall alto verso il basso. Lo spostamento indotto dalla forza-peso e la forza-peso hanno in questo caso la stessa direzione e lo stesso verso. m m Fp Fp Fp Fp (a) Corpo che case sotto l azione della forza peso. (b) Corpo che scivola lungo un piano inclinato. Figura 1 Esempi di forze. 1
Nel secondo caso abbiamo un corpo posto su un piano inclinato. La forza peso agisce ancora lungo la verticale ma, mentre la sua componente perpendicolare al piano è equilibrata dalla reazione vincolare, la sua componente parallela al piano rimane attiva e provoca un moto rettilineo uniformemente accelerato del corpo lungo il piano inclinato. Dai precedenti esempi viene naturale definire una grandezza fisica in cui entri solo la componente della forza parallela allo spostamento. Questa grandezza fisica prende il nome di lavoro, e la indicheremo con il simbolo L. Se la componente parallela della forza ha lo stesso verso del vettore spostamento allora il lavoro L compiuto dalla forza costante di intensità F è dato dal prodotto della componente parallela della forza per lo spostamento L = F s ed è una grandezza positiva. Se invece la componente parallela della forza ha verso opposto rispetto al verso dello spostamento il lavoro si definisce come L = F s. Il lavoro resistente è una grandezza negativa. Notazione 1. Nelle precedenti righe abbiamo utilizzato la notazione F per indicare la componente della forza F parallela alla direzione del moto; indicheremo con F la componente della forza F perpendicolare alla direzione del moto. L unità di misura del lavoro nel Sistema Internazionale prende il nome di joule (simbolo J). Dal momento che il lavoro è una forza per uno spostamento avremo che 1 J = 1 N 1 m. Inoltre, poiché nella definizione di lavoro entrano solo le intensità dei vettori forza parallela e spostamento, il lavoro è una grandezza fisica scalare. Come conseguenza immediata della definizione di lavoro abbiamo che, quando la forza è perpendicolare allo spostamento la componente della forza parallela allo spostamento e di conseguenza anche il lavoro compiuto sono uguali a zero. Come prima applicazione, andiamo a calcolare qual è il lavoro necessario per sollevare una cassa di massa 10 kg fino ad un altezza h = 10 m. La forza peso della cassa è F p = 10 kg 9.8 N/kg = 98 N. Dovremo perciò applicare una forza di 98 N nella direzione dello spostamento per sollevare la cassa. Dal momento che la forza applicata alla cassa e lo spostamento sono due vettori paralleli e con lo stesso verso, il lavoro L necessario per sollevare la cassa è dato da: L = 98 N 10 m = 980 J. Ovviamente tale lavoro è proporzionale al peso della cassa e all altezza alla quale la vogliamo portare. Tale lavoro è inoltre indipendente dal percorso fatto ma dipende solo dall altezza h alla quale solleviamo il corpo. Infatti, per sollevare la stessa cassa lungo un piano inclinato di lunghezza pari ad l e di altezza h = 10 m, dobbiamo compiere un lavoro pari alla componente della forza parallela allo spostamento: F = mgh/l per lo spostamento l. Il lavoro compiuto è perciò dato da: L = mg h l = mgh = 980 J, l ossia è uguale al lavoro calcolato in precedenza. 1.2 Lavoro di una forza non costante Nella sezione precedente abbiamo definito il lavoro compiuto da una forza costante, ossia una forza che ha la stessa intensità in ogni punto dello spazio. Notiamo come, nel caso di una forza costante, se rappresentiamo in un diagramma cartesiano la forza in ordinata e lo spostamento in ascissa otteniamo che il lavoro compiuto dalla forza F è dato dall area del rettangolo in figura 2. n questa sezione vogliamo generalizzare la definizione di lavoro al caso di una forza non costante. Un tipico esempio di forza non costante è dato dalla legge di Hooke. La forza che applichiamo a una molla per allungarla di una certa quantità x è direttamente proporzionale all allungamento x che vogliamo produrre: F = kx, dove k è la costante elastica della molla. Se in un diagramma cartesiano poniamo in ordinata la forza F applicata alla molla e in ascissa 2
F s Figura 2 Lavoro di una forza costante. F s Figura 3 Lavoro di una forza non costante. l allungamento x della molla, otteniamo una semiretta passante per l origine (vedi immagine 3). Come nel caso di una forza costante il lavoro era dato dall area del rettangolo, nel caso della forza elastica il lavoro necessario per allungare la molla di una quantità x è dato dall area del triangolo disegnato nella figura riportata sopra. Avremo pertanto L = 1 2 Fx = 1 2 kx2. Ad esempio, se abbiamo una molla di costante elastica k = 200 N/m e vogliamo allungarla di una quantità x = 5 cm dobbiamo compiere un lavoro pari a L = 1/2kx 2 = 0.25 J. Lo stesso lavoro è necessario per comprimere la molla della stessa quantità. 1.3 Potenza Consideriamo un uomo di peso 700 N il quale deve salire al quarto piano di un edificio, posto ad h = 20 m dal suolo. Può decidere di prendere le scale oppure di usare l ascensore. Siccome il lavoro in questo caso non dipende dal percorso ma solo dall altezza, avremo che in entrambi i casi il lavoro che bisogna compiere è L = Ph = 14000 J. Qual è la differenza tra questi due casi? L ascensore consente di coprire il dislivello di 20 m in un tempo minore perché la potenza dell ascensore è in generale superiore alla potenza muscolare dell uomo. In fisica la potenza P si definisce come il rapporto tra il lavoro L che viene compiuto e l intervallo di tempo t impiegato a compierlo, ossia P = L/ t. È chiaro che, dal momento che l intervallo di tempo t compare al denominatore, una macchina sarà tanto più potente quanto meno tempo impiega per compiere un certo lavoro (nel nostro esempio i 14000 J necessari per salire al quarto piano). Dal momento che il lavoro 3
compare invece al numeratore nella definizione di potenza, una macchina sarà tanto più potente quanto più lavoro riesce a compiere in 1 s. L unità di misura della potenza nel Sistema Internazionale è il watt (simbolo W). Dalla definizione di potenza discende che 1 W = 1 J 1 s 1. In altre parole una macchina ha una potenza di 1 W quando è in grado di compiere un lavoro di 1 J in un intervallo di tempo pari a 1 s. Il watt è un unità di misura piccola e infatti sono molto più utilizzati i suoi multipli, come il kilowatt (1 kw = 103 W), il megawatt (1 MW = 106 W) e il gigawatt (1 GW = 109 W). Ad esempio quando diciamo che un asciugacapelli ha la potenza di 1.6 kw vuol dire che ogni secondo è in grado di compiere un lavoro pari a 1600 J. Molto utilizzato come unità di misura di potenza è anche il cavallo-vapore (simbolo CV). Il fattore di conversione con il watt è il seguente: 1 CV = 735.5 W. Esiste poi il cavallo vapore britannico (simbolo hp per horse-power): 1 hp = 745.7 W. 2 forme di energia 2.1 Energia cinetica Supponiamo di applicare una forza F orizzontale e costante a un corpo di massa m, inizialmente fermo e posto su un piano orizzontale e senza attrito. Per il secondo principio della dinamica avremo che la forza F produce un accelerazione a tale per cui F = ma. Il lavoro che dobbiamo compiere per spostare il corpo di una quantità s è pertanto uguale a L = Fs = mas. Dal momento che siamo in presenza di un moto rettilineo uniformemente accelerato possiamo usare la legge oraria per riscrivere il lavoro compiuto come s = 1 2 at2 L = 1 2 ma2 t 2. Poiché in un moto uniformemente accelerato la velocità è data da v = at, avremo che il lavoro L può essere riscritto come L = 1 2 mv2. Questo lavoro rimane immagazzinato nel corpo sotto forma di energia cinetica: E c = 1 2 mv2. Se il corpo non è inizialmente fermo ma possiede una sua velocità iniziale v i, allora il lavoro che dobbiamo compiere per portarlo a una velocità v f è dato da L = 1 2 mv f 2 1 2 mv i 2. Possiamo perciò dire che il lavoro L compiuto dalle forze sul corpo in esame è uguale alla variazione dell energia cinetica del corpo. Questa relazione prende anche il nome di teorema dell energia cinetica. Un corpo che è in movimento, ossia che possiede un energia cinetica, è a sua volta in grado di compiere lavoro. Dal momento che l energia (cinetica ma non solo) è la capacità che un corpo ha di compiere un lavoro, la sua unità di misura nel Sistema Internazionale è la stessa del lavoro, ossia il joule (J). Ad esempio, se un corpo ha una massa di 100 kg e si muove a una velocità di 20 m/s possiede un energia cinetica pari a E c = 210 4 J. 4
Esempio 1. Supponiamo di avere un corpo di massa m = 100 kg. Qual è il lavoro che dobbiamo compiere per accelerarlo da 0 a 10 km/h oppure da 10 a 20 km/h? Risposta: Prima di tutto convertiamo le velocità nelle unità del Sistema Internazionale. Dal momento che il fattore di conversione vale 3.6 avremo che 10 km/h = 10/3.6 m/s = 2.78 m/s. Analogamente 20 km/h = 5.56 m/s. Dal momento che il corpo parte da fermo, per portarlo da 0 a 2.78 m/s dobbiamo compiere un lavoro pari all energia cinetica finale: L = 1 2 mv2 = 386 J. Per portare invece il corpo da 2.78 a 5.56 m/s dobbiamo compiere un lavoro che è uguale alla differenza di energia cinetica: L = 1 2 mv f 2 1 2 mv i 2 = 1159 J. Il lavoro che dobbiamo compiere per passare da 10 a 20 km/h è maggiore rispetto al lavoro che dobbiamo compiere per passare da 0 a 10 km/h. In generale avremo che, all aumentare della velocità di un corpo, un ulteriore aumento di velocità richiede un lavoro sempre maggiore (anche perché un lavoro sempre maggiore è necessario per vincere le forze d attrito che abbiamo trascurato in questo esercizio). Distanza di arresto di un veicolo: Anche per frenare un corpo dobbiamo applicare una forza che è la forza d attrito. In questo caso il lavoro fatto dalle forze d attrito è L = F a s = kmgs, dove F a rappresenta la forza di attrito ed è definita così F a = kmg dove k è il coefficiente d attrito, s lo spazio di frenata, m la massa del veicolo e g = 9.8m/s 2. Questo lavoro serve per decelerare il corpo dalla velocità v a 0. Dunque L = 1 2 mv2 da cui kmgs = 1 2 mv2. Dunque lo spazio di frenata dipende dalla velocità del corpo v e, attraverso il coefficiente d attrito k, dalle condizioni dell asfalto: s = v 2 /(2kg). Ad esempio a 100 km/h = 27.8 m/s e per un coefficiente d attrito k = 0.6 abbiamo che s = 66 m. Tale spazio quadruplica al raddoppiare della velocità, ossia nelle stesse condizioni di asfalto a 200 km/h lo spazio di frenata diventa uguale a 264 m! Lo spazio di frenata aumenta anche al diminuire del coefficiente di attrito (ad esempio in condizioni di ghiaccio o asfalto bagnato). È importante poi sottolineare come, per avere la distanza d arresto del veicolo, allo spazio di frenata dobbiamo aggiungere lo spazio di reazione, ossia lo spazio percorso dal veicolo tra l istante in cui il guidatore percepisce il pericolo e l istante in cui comincia ad azionare i freni. Questo spazio dipende dai tempi di reazione del conducente ma aumenta anch esso linearmente all aumentare della velocità. 2.2 Energia potenziale gravitazionale Per sollevare un corpo ad una certa altezza h abbiamo visto che dobbiamo compiere un lavoro, cioè applicare una forza diretta verticalmente dal basso verso l alto e pari al peso del corpo che vogliamo sollevare: L = F parallelh = mgh. Per sollevare un corpo dobbiamo dunque consumare dell energia. Questa energia non viene persa ma rimane immagazzinata nel corpo sotto forma di energia potenziale gravitazionale: E p = mgh. 5
L energia potenziale gravitazionale è l energia che un corpo possiede per il fatto di trovarsi ad una certa altezza dal suolo. Se abbiamo un corpo di massa m ad una certa altezza h dal pavimento, la forza-peso del gesso è in grado di compiere un lavoro. Infatti, se lasciamo libero il gesso, la sua velocità aumenta al passare del tempo. In questo modo possiamo recuperare sotto forma di energia cinetica il lavoro che avevamo fatto per sollevare il gesso e che era rimasto immagazzinato sotto forma di energia potenziale gravitazionale: E p = mgh. Abbiamo visto nelle precedenti sezioni che il lavoro necessario per sollevare il corpo a una certa altezza h lungo un piano inclinato è uguale al lavoro necessario per sollevare lo stesso corpo verticalmente. Di conseguenza anche l energia potenziale gravitazionale dipenderà solo dall altezza h a cui è posto il corpo e non dipenderà dal percorso che ha compiuto il corpo per arrivare in tale posizione. Vogliamo sottolineare anche come l energia potenziale gravitazionale sia sempre definita a partire da un livello di riferimento che viene assunto come il livello ad altezza h = 0. In generale la scelta di questo riferimento è arbitraria. L importante è valutare poi tutte le altezze a partire da tale livello di riferimento. Finora abbiamo introdotto due forme di energia: l energia cinetica, dovuta al movimento di un corpo e l energia potenziale gravitazionale, dovuta al fatto che un corpo si trova ad una certa altezza dal suolo. In generale un corpo può trovarsi a una certa altezza e possedere una certa velocità, quindi un corpo può possedere sia energia cinetica che energia potenziale gravitazionale. Torna allora utile definire un ulteriore forma di energia, detta energia meccanica E m e data dalla somma dell energia cinetica e dell energia potenziale gravitazionale: E m = E c + E p. Quando noi teniamo il gesso fermo ad un altezza h dal suolo esso possiede solo energia potenziale gravitazionale. Dunque l energia meccanica coincide con l energia potenziale gravitazionale E m = E p. Man mano che il corpo scende perde parte della sua energia potenziale gravitazionale ed aumenta la sua velocità. In altre parole, l energia potenziale gravitazionale si trasforma progressivamente in energia cinetica. L energia meccanica gode di una proprietà importantissima: in assenza di attrito l energia meccanica si conserva. Questo principio va sotto il nome di principio di conservazione dell energia. Quando il corpo arriva al suolo la sua energia potenziale gravitazionale diventa nulla perché l altezza dal suolo è h = 0. In questa configurazione l energia meccanica coincide con l energia cinetica E m = E c e possiamo dire che l energia potenziale gravitazionale iniziale si è interamente trasformata in energia cinetica. 2.3 Energia potenziale elastica Abbiamo visto nelle precedenti sezioni che, se portiamo un corpo a un altezza h, esso è in grado di compiere lavoro perché possiede energia potenziale gravitazionale. L energia potenziale gravitazionale non è l unica possibile forma di energia potenziale. Ad esempio sappiamo che, per comprimere o allungare una molla, dobbiamo compiere un lavoro. Questo lavoro rimane immagazzinato sotto forma di energia potenziale elastica. Una molla compressa o allungata di una certa quantità x è infatti a sua volta in grado di compiere un lavoro pari al lavoro che è stato compiuto per comprimerla o allungarla. Abbiamo già calcolato tale lavoro L = 1 2 kx2. Possiamo pertanto concludere che una molla di costante elastica k compressa o allungata di una quantità x possiede energia potenziale elastica E el = 1 2 kx2. 6
Avendo introdotto un altra forma di energia dobbiamo ora andare a generalizzare il concetto di energia meccanica e il principio di conservazione dell energia. Infatti l energia potenziale elastica è a tutti gli effetti una forma di energia meccanica. Pertanto l energia meccanica di un corpo viene ad essere la somma di tre possibili forme di energia: l energia cinetica, l energia potenziale gravitazionale e l energia potenziale elastica: E m = E c + E p + E el. Anche il principio di conservazione dell energia va modificato come segue: in assenza di attrito l energia meccanica E m = E c + E p + E el =costante. Questo vuol dire che l energia meccanica si può trasformare da una forma all altra ma si conserva, nel senso che la somma di energia cinetica e potenziale (gravitazionale ed elastica) rimane costante nel tempo. Ad esempio, quando un carrello va a comprimere una molla, la sua energia cinetica si converte in energia potenziale elastica E c = 1 2 mv2 E el = 1 2 kx2. Viceversa se comprimiamo una molla collegata a un carrello, l energia elastica della molla si converte in energia cinetica del carrello che acquista una certa velocità. L energia meccanica del sistema si conserva, pertanto la velocità del carrello v e la massima compressione della molla x sono legate tra loro dalla relazione 1 2 mv2 = 1 2 kx2. Come vedremo meglio negli esercizi, da questa relazione possiamo trovare di quanto viene compressa una molla di costante elastica k da un carrello di massa m e velocità v oppure qual è la velocità acquisita da un carrello di massa m, messo in moto da una molla di costante elastica k compressa di una quantità x. Un esempio qualitativo del principio di conservazione dell energia meccanica ci viene dal salto con l asta in atletica leggera: per poter saltare in alto nella fase di rincorsa l atleta deve per prima cosa correre il più possibile per aumentare al massimo la velocità orizzontale e di conseguenza la sua energia cinetica. Nella fase di piegamento l energia cinetica viene convertita in energia potenziale elastica dell asta, nella fase di salto l energia potenziale elastica dell asta viene convertita in energia cinetica dell atleta (con il vettore velocità diretto verticalmente dal basso verso l alto) e in energia potenziale gravitazionale. Nella fase di superamento dell asticella tutta l energia meccanica è energia potenziale gravitazionale. Nella fase di caduta l energia potenziale gravitazionale si converte progressivamente in energia cinetica (con il vettore velocità diretto verticalmente dall alto verso il basso). Nella fase di atterraggio tutta l energia meccanica diventa energia potenziale elastica del materasso. 3 esercizi 3.1 Lavoro e potenza Esercizio 1. Quale lavoro compie un ciclista di massa m = 65 kg per scalare una salita al 7% lunga 800 m? [3.57 10 4 J] 7
Esercizio 2. Una gru compie un lavoro di 90.000 J per sollevare un certo carico di massa 500 kg in 20 s. Si determini a quale altezza viene sollevato il carico e qual è la potenza sviluppata dalla macchina? [4500 W] Esercizio 3. Una pompa solleva 200 l d acqua a un altezza di 30 m in un minuto. Calcolare il lavoro compiuto dalla pompa e la sua potenza sapendo che la densità dell acqua è δ = 1000 kg/m 3. [980 W] 3.2 Forme di energia Esercizio 4. Si calcoli l energia cinetica di un auto di massa m = 800 kg che si muove a una velocità di 50 km/h? Quanto vale la stessa energia cinetica se la velocità passa a 100 km/h? [3.136 10 5 J] Esercizio 5. Un corpo di massa 30 kg si sta muovendo con una velocità di 15 m/s. Per un tratto pari a 5 m viene sottoposto a una forza costante avente la stessa direzione e lo stesso verso dello spostamento. La sua velocità finale diventa 30 m/s. Calcolare la forza applicata al corpo e il tempo necessario per produrre la variazione di velocità. [2 10 3 N; 0.3 s] Esercizio 6. Una scatola di massa 8 kg si trova in cima a un piano inclinato lungo 5 m e inclinato di 45. Quanto vale la sua energia potenziale gravitazionale? [278.6 J] Esercizio 7. Si determini la costante elastica di una molla che, allungata di 5 cm rispetto alla lunghezza di riposo, acquista un energia potenziale elastica di 15 J. [1.2 10 4 N/m] Esercizio 8. Con quale velocità arriva al suolo un corpo di massa 3 kg lasciato cadere da fermo e in assenza di attrito da un altezza di 20 m? [19.8 m/s] Esercizio 9. Quale altezza raggiunge un corpo lanciato verso l alto con velocità 10 m/s? [5.1 m] Esercizio 10. Un pendolo di massa m = 200 g e lunghezza l = 140 cm viene sollevato di h = 10 cm dalla sua posizione di equilibrio. Si calcoli la massima velocità raggiunta dal pendolo nella sua oscillazione e l energia meccanica del sistema. [0.196 J] Esercizio 11. Un carrello di massa m = 3 kg si muove su un piano orizzontale con velocità costante v = 5 m/s. Ad un certo punto va a comprimere una molla di costante elastica k = 700 N/m e si ferma. Stabilire di quanto viene compressa la molla. [0.33 m] Esercizio 12. Una biglia di massa m = 300 g viene attaccata ad una molla compressa di 10 cm e disposta orizzontalmente. Lasciando il sistema libero di evolvere la biglia acquista una velocità di 4 m/s quando la molla ripassa per la sua posizione di riposo. Qual è la costante elastica della molla? [480 N/m] 8