UNIVERSITA DEGLI STUDI DI SASSARI DIPARTIMENTO DI SCIENZE ECONOMICHE E AZIENDALI MACROECONOMIA - Anno accademico 2016-2017, I semestre Soluzioni esercitazione (prima parte del programma), 04.11.2016. PARTE A) 1) Effetto simile alla crescita demografica; > tecnologia, > istruzione, > professionalità, ecc. Non si verifica un aumento dei lavoratori ma ogni lavoratore è in grado di produrre una maggiore quantità di beni e servizi con il fattore tempo-t rimasto costante; questo si traduce in un aumento del numero effettivo di lavoratori ed in un aumento della produzione. k = K/(L X E) = k per occupato effettivo; crescita di stato stazionario = 0; y = Y/(L X E) = y aggregato per occupato effettivo = f(k) ; crescita di stato stazionario = 0; Y/L = y X E = prodotto per occupato; crescita di stato stazionario = g; Y = y X (E X L) = prodotto totale; crescita di stato stazionario = n + g; Δ k = s f(k*) (δ+n+g) k* = 0-zero c* = f(k*) (δ+n+g) k* PMk = δ+n+g; g = tasso di progresso tecnologico labour augmenting L t x E t = N. L x efficienza L 2) < inflazione < P > D-beni della piccolo economia aperta PEA > EXP e > NX > e cioè apprezzamento di e Tasso di cambio reale, S I(r*) ε 2 ε 1 NX ( ε 2 ) NX ( ε 1 ) 0 NX NX (esportazioni nette), (S I)
3) S = I( r ) Tasso di interesse S = OFM = offerta fondi mutuabili S = insensibile ad r r 2 (OFM > DFM) < r 2 r * r 1 (OFM < DFM) > r 1 I (r) = DFM = domanda fondi mutuabili 0 S, I( r ) 4) Δ k = s f(k*) (δ+n) k* = 0-zero; vedi dettagli modello R.M.Solow parte B)2. 5) > G < SN < [S I ( r ) ] Piccola economia aperta, tasso di cambio reale ed esportazioni nette. Tasso di cambio reale, ε S I(r*) S I(r*) ε 2 ε 1 NX ( ε ) 0 NX NX NX (esportazioni nette), (S I)
6) Y = C + I + G + NX; da cui: Y C G = risparmio nazionale = S = I + NX; da cui: S I = NX; S I = deflusso di capitali; NX = afflusso di capitali ; Dunque : deflusso di capitali = afflusso di capitali (S I ) ed NX entrambi > 0 (zero) avanzo bilancia dei pagamenti (S I ) ed NX entrambi < 0 (zero) disavanzo bilancia dei pagamenti Flusso di capitali (espressi da S I ) e flusso di beni e servizi (espressi da NX dato dalla differenza fra le esportazioni e le importazioni) sono i due lati della stessa medaglia. S > I (S I) > 0-zero investimento nazionale netto estero ovvero prestiti italiani all estero S < I (S I) < 0-zero investimento estero netto in Italia ovvero prestiti dall estero S I = NX (O VALUTA = D VALUTA ) 7) MV = PQ = PIL ; v = 1/k ; k = costante; (M/P) d = k Y = L ( i, Y) b) Il PIL nominale dipende da M 8) Il tasso di cambio nominale è il prezzo relativo delle valute di due paesi, cioè il prezzo di una valuta/moneta in termini dell altra. La contabilità economica nazionale ed internazionale precisa i seguenti due criteri considerando nella definizione, sempre in primo luogo la valuta nazionale ed in secondo luogo la valuta estera (il termine X indica per e/o necessaria per ottenere ): - Criterio certo X incerto, cioè certa la quantità di valuta nazionale X incerta la quantità di valuta estera; esempio: 1 (quantità nazionale certa, valore fisso) = 1,10 $/dollari USA (quantità di valuta estera incerta, valore variabile in base all andamento del mercato valutario); - Criterio incerto X certo, cioè incerta la quantità di valuta nazionale X certa la quantità di valuta estera; esempio: 0,909 (quantità nazionale incerta, valore variabile in base all andamento del mercato valutario) = 1 $/dollari USA (quantità di valuta estera certa, valore fisso) In Europa, con l adozione della valuta euro, si è passati dal precedente criterio incerto X certo, all attuale certo X incerto, cioè il quantitativo di valuta domestica euro, che è certo necessario per l acquisto di un quantitativo di valuta estera dollari che è incerta e variabile sul mercato; per esprimere il valore nominale del tasso di cambio, si considera sempre certa e pari all unità, la valuta domestica; l inverso accade per i paesi stranieri, come ad esempio gli USA il cui valore del tasso di cambio nominale si esprime nella formula incerto X certo. (suggerimento: prima di procedere con le operazioni e rappresentazioni dei tassi di cambio è preferibile definire il paese di residenza e la valuta presa in considerazione).
Rappresentazione. Tasso di cambio flessibile U$A/euro (metodo incerto x certo, dal lato dei cittadini residenti negli USA). Tc $/ O- valuta estera = O VE Tasso di cambio di equilibrio = Tc *. D- valuta estera = D VE 0 Q*- Q valuta estera - D VE : domanda valuta estera, i cittadini USA desiderano acquistare prodotti/titoli europei, offrono $ contro sul mercato per pagare i prodotti/titoli europei in, il $ si deprezza e l si apprezza. O VE : offerta di valuta estera, i cittadini europei desiderano acquistare prodotti/titoli USA, offrono contro $ sul mercato per pagare i prodotti/titoli USA in $, il $ si apprezza e l si deprezza. Quando il tasso di cambio flessibile U$A/euro, in scala grafica, sale da 1,00 a 1,50, cioè si passa da 1,00 $ a 1,5 $ per acquistare 1,00, significa che il $ si deprezza (ne serve una maggiore quantità per l acquisto di ) e l si apprezza; questo evento stimola il desiderio dei cittadini europei, ad un cambio ad essi più favorevole, di acquistare prodotti USA e pertanto offrono sul mercato in cambio di $, dunque il deprezzamento del $ - il prezzo del $ per 1,00 - in definitiva, determina l aumento del prezzo dell, che a sua volta aumenta la quantità offerta di (legge di offerta). Crescono le esportazioni USA e si riducono quelle europee. Quando il tasso di cambio flessibile U$A/euro, in scala grafica, scende da 1,50 a 1,00, cioè si passa da 1,50 $ a 1,00 $ per acquistare 1,00, significa che il $ si apprezza (ne serve una minore quantità per l acquisto di ) e l si deprezza; questo evento stimola il desiderio dei cittadini USA, ad un cambio ad essi più favorevole, di acquistare prodotti europei e pertanto offrono $ sul mercato in cambio di, dunque l apprezzamento del $ - il prezzo del $ per 1,00 -, in definitiva, determina la diminuzione del prezzo dell, che a sua volta aumenta la quantità domandata di (legge di domanda). Diminuiscono le esportazioni USA e crescono quelle europee. Il tasso di cambio reale tra due paesi è il prezzo relativo dei beni prodotti in quei due paesi. Vale a dire, il tasso di cambio reale indica quale è il rapporto al quale i beni di un paese possono essere scambiati con quelli di un altro paese. Talvolta ci si riferisce a tale rapporto di prezzi con l espressione ragioni di scambio (le ragioni di scambio sono date dal rapporto tra il livello dei prezzi dei beni esportati ed il livello dei prezzi dei beni importati, espressi entrambi in una stessa valuta). Per vedere la relazione che esiste fra tasso di cambio reale e tasso di cambio nominale si considera un bene che molti paesi producono: le automobili. Si suppone che un automobile prodotta in Italia abbia un prezzo di 10.000,00 euro e che un automobile simile prodotta in America abbia il prezzo di 20.000,00 dollari. Per confrontare i prezzi delle due automobili si devono esprimere nella stessa valuta. Quando per acquistare un dollaro occorre un euro, 1 $ = 1, un automobile italiana si acquista con 10.000,00 dollari. Quindi, confrontando il prezzo dell automobile prodotta in Italia con il prezzo dell automobile prodotta in America, si conclude che l automobile italiana costa la metà di quella americana; in altre parole, ai prezzi correnti, si possono scambiare due automobili italiane contro un automobile americana.
Il tasso di cambio reale il prezzo relativo dei beni prodotti in due paesi differenti dipende dal tasso di cambio nominale e dai prezzi dei beni nei due paesi espressi nelle rispettive valute. I calcoli sopra effettuati si possono così riassumere: (1 euro/dollaro) x (10.000,00 euro/auto ITA) Tasso di cambio = = Reale (20.000,00 dollari/auto USA) = 1 auto americana 2 auto italiana A questi prezzi e a questo tasso di cambio nominale, con un automobile americana si ottengono due automobili italiane. Più in generale, la formula del tasso di cambio reale, con riferimento ad un generico bene prodotto nei due paesi, è la seguente (criterio certo x incerto, vale a dire, come prevede la terminologia della contabilità economica nazionale, valuta nazionale certa X valuta estera incerta ): Tasso di cambio = Reale, Epsilon, ε Tasso di cambio nominale x Prezzo del bene nazionale Prezzo del bene estero ε = e* x ( P / P* ) e* = ε x ( P* / P ) Tasso di cambio nominale = tasso di cambio reale x rapporto del livello prezzi ( P* / P ) P* = livello dei prezzi dei beni esteri (inflazione estera) P = livello dei prezzi dei beni interni (inflazione interna) ε = Epsilon = tasso di cambio reale e* = tasso di cambio nominale Il rapporto al quale un dato bene prodotto all interno può essere scambiato con un bene simile prodotto all estero dipende dunque dai prezzi del bene nei due paesi espressi nelle rispettive valute e dal rapporto di cambio tra le valute dei due paesi. Il tasso di cambio reale tra due paesi è calcolato sulla base del tasso di cambio nominale e dei livelli dei prezzi nei due paesi. In base alla suddetta definizione del tasso di cambio reale: - quando il valore del tasso di cambio reale è alto, i beni esteri sono relativamente a buon mercato ed i beni interni sono relativamente cari e si riducono le esportazioni nette; - quando il valore del tasso di cambio reale è basso, i beni esteri sono relativamente cari ed i beni interni sono relativamente a buon mercato ed aumentano le esportazioni nette. Quando il livello dei prezzi interni P aumenta, il tasso di cambio nominale e* diminuirà; la moneta nazionale si è deprezzata, ed occorrerà una maggiore quantità di moneta nazionale per acquistare una unità di valuta estera. Quando il livello dei prezzi esteri P* aumenta, il tasso di cambio nominale e* aumenterà; la moneta estera si è deprezzata, ed occorrerà una minore quantità di moneta nazionale per acquistare una unità di valuta estera.
Tasso di cambio reale, 1/tasso di cambio (certo x incerto) NX ( ε ) Nell asse y, in scala, si indica 1/ε per dimostrare - in base al criterio certo X incerto - che man mano che il tasso di cambio della valuta euro si deprezza (e dunque il valore 1/ε si riduce avvicinandosi all origine), aumentano le esportazioni dei paesi dell area euro. Esempio: il tasso di cambio varia da 1,2$ = 1 a 0.9$ = 1, cioè servono meno $ per 1, il dollaro dunque si apprezza e l euro si deprezza, cioè da [1/(1 /1,2$)] = 1,2 si passa a [1/(1 /0,9$)] = 0,9. 0 NX = 0 NX (esportazioni nette) euro Una parte dell asse orizzontale del grafico indica valori negativi di NX (quando le importazioni sono maggiori delle esportazioni, per valori a sinistra di NX = 0-zero ). ε = e* x ( P / P* ) > P > ε e < NX < P < ε e > NX 9) Agricoltore 0,20 x 100 kg = 20 VA 20 Mulino 0,90 x 100 kg = 90 VA 70 cioè 90-20 Panificio 1,50 x 120 kg = 180 VA 90 cioè 180 90 PIL = P Q = 1,50 x 120 kg = 10; totale VA 90 + 70 + 20 = 180; VA = valore aggiunto 10) Piccola economia aperta, tasso di cambio reale ed esportazioni nette. Ipotesi di perfetta mobilità di capitali e tasso di interesse interno uguale a quello internazionale. < D INTERNA < I > (S I) cioè (S I) v/destra Tasso di cambio reale, ε S I (r*) S I (r*) ε 1 ε 2 NX ( ε ) 0 NX NX NX (esportazioni nette), (S I)
PARTE B) Soluzione esercizio 1. Funzione di produzione Y = K α L 1- α ; dotazione dei fattori: K 0 (offerta di capitale) e L 0 (offerta di lavoro). a. Nel lungo periodo tutti i fattori produttivi sono pienamente occupati termini di domanda e offerta dei fattori e livello di produzione. K = K 0 ; L = L 0 ; Y- EQUILIBRIO = K 0 α L 0 1- α Prezzo del fattore produttivo, Offerta del fattore P* Domanda del fattore 0 Q* Quantità del fattore produttivo b. Spiegate se e come il livello dei salari di equilibrio dipenda dallo stock di capitale K 0. (a) prodotto totale del L per occupato PTL PML, w/p (b) prodotto marginale del L 40 35 PTL 40 30 30 20 20 PML =Domanda di lavoro 10 10 0 1 2 3 4 5 L 0 1 2 3 4 5 L-occ./QL Il prodotto marginale deriva dal prodotto totale. Nel diagramma a) è rappresentata la curva del prodotto totale del lavoro L per occupato che sale/aumenta in maniera decrescente quando vengono aggiunti nuovi input di lavoro e mantenendo costanti gli tutti altri elementi (altri fattori produttivi, tecnologia e altri elementi esogeni); ogni punto della suddetta curva rappresenta il prodotto marginale del lavoro ed unendo i punti si ottiene la curva in colore marrone (prodotto totale). Questo modello di economia è di tipo classico Il diagramma b) mostra i gradini decrescenti del prodotto marginale del lavoro. Ogni rettangolo in colore grigio indicato in b) è uguale al corrispondente rettangolo indicato in a). La zona in b) sotto la curva in colore rosso del prodotto marginale del lavoro (o somma dei rettangoli) indica il relativo prodotto totale del capitale riportato nei rettangoli in colore grigio della zona di a). La curva di PML coincide con la curva di domanda di lavoro le imprese domandano lavoro quando, in condizioni di ottimo, il PML = costo del lavoro o w/p.
Salario di equilibrio : quando il PML è uguale al costo del lavoro cioè al salario w/p PML = w/p = (1 α) K 0 α L 0 1- α 1 = (1 α) K 0 α L 0 - α Il salario di equilibrio dipende anche da K 0 (in modo direttamente proporzionale). c) Shock esogeno: riduzione della quantità di capitale; la dotazione di capitale passa da K 0 a K 1, dove K 1 < K 0. Quando K 0 diminuisce anche w/p diminuisce e viceversa Effetto d equilibrio sulla disoccupazione quando i sindacati si oppongono alla diminuzione del salario. < K1 (L D L D1 ), dopo i sindacati riportano il salario al livello iniziale w/p (w/p) =nuovo salario in assenza di sindacati Offerta di L, L O AB : disoccupazione involontaria in presenza dei sindacati che riportano il salario da (w/p) a (w/p)*; il salario diventa rigido, i lavoratori vorrebbero lavorare ma la domanda di lavoro L D1, a quel salario, è minore dell offerta di lavoro L 0. (w/p)* (w/p) A B Ai salari flessibili, si associa la disoccupazione volontaria ; in forma grafica, si avrebbe un segmento a destra del punto B, in un sistema economico di sottoccupazione di breve periodo. Domanda di L, L D L D1 0 L O L O Quantità del fattore L d) La produzione si riduce, < Y.
Crescita economica di lungo periodo; stato stazionario di regola aurea (modello del Prof. Robert Solow, N.E. 1987). Y = f (K, L) zy = f (zk, zl) Y/L = f (K/L, L/L) y = f(k) y = f(k) OFFERTA DI BENI ipotesi di rendimenti di scala costanti: moltiplicando i fattori per una costante z (positiva) il prodotto cresce della stessa proporzione z. la funzione con rendimenti di scala costanti consente di analizzare tutte le variabili del sistema economico in relazione alla grandezza della forza lavoro L ; si pone z = 1/L Il prodotto per occupato Y/L è funzione del capitale per occupato K/L, in quanto L/L che è uguale ad 1 può essere del tutto tralasciato in quanto costante. Le dimensioni dell economia sono misurate dal numero dei lavoratori e non influenzano il rapporto prodotto per occupato Y/L e capitale per occupato K/L ; per questo motivo si esprimono tutte le variabili non in riferimento all economia, bensì per singolo occupato e la simbologia delle lettere alfabetiche indicate in minuscolo rispecchia questa impostazione = funzione di produzione con pendenza positiva decrescente ad indicare la crescita con andamento del PMK (prodotto marginale del capitale) decrescente (a) prodotto totale del k per occupato (b) prodotto marginale del k PTK PMK, r 40 35 PTK 40 30 30 20 20 PMK = Domanda di K 10 10 0 1 2 3 4 5 K 0 1 2 3 4 5 K-occ./QK Il prodotto marginale deriva dal prodotto totale. Nel diagramma a) è rappresentata la curva del prodotto totale del capitale k per occupato che sale/aumenta in maniera decrescente quando vengono aggiunti nuovi input di capitale e mantenendo costanti gli tutti altri elementi (altri fattori produttivi, tecnologia e altri elementi esogeni); ogni punto della suddetta curva rappresenta il prodotto marginale del capitale ed unendo i punti si ottiene la curva in colore marrone (prodotto totale). Questo modello di economia è di tipo classico Il diagramma b) mostra i gradini decrescenti del prodotto marginale del capitale. Ogni rettangolo in colore grigio indicato in b) è uguale al corrispondente rettangolo indicato in a). La zona in b) sotto la curva in colore rosso del prodotto marginale del capitale (o somma dei rettangoli) indica il relativo prodotto totale del capitale riportato nei rettangoli in colore grigio della zona di a). La curva di PMk coincide con la curva di domanda di capitale; le imprese domandano capitale quando, in condizioni di ottimo, il PMK = costo del capitale o tasso di interesse - r. PMK = f( k + 1) - f(k)
Y = f (K, L) = y = f(k) OFFERTA DI BENI = y (OFFERTA DI BENI = y = DOMANDA DI BENI = c + i) EQUILIBRIO DEL SISTEMA y = c + i (+ G + NX) s = s/costante = f(y) c = ( 1 s )y y = c + i = ( 1 s )y + i y = c + i = y sy + i sy = i ; oppure i = sy G tralasciata ed NX non presente poiché trattasi di economia chiusa 0 < s < 1; s = propensione marginale al risparmio; s è funzione del reddito propensione marginale al consumo; 0 < c < 1; c è funzione del reddito si sostituisce il valore di c nella funzione di produzione esprimendolo in termini di risparmio, stabilendo così la relazione fra risparmio s ed y ; influenzando il risparmio s (ed i consumi) si condiziona indirettamente y riordinando i termini ed esprimendo l equazione rispetto ad i si ha: il risparmio, che è in funzione del reddito, è uguale all investimento, come dimostrato a livello aggregato con l eguaglianza S = I per ogni dato stock di capitale k la funzione di produzione y = f(k) determina la produzione aggregata del sistema economico ed il saggio di risparmio s stabilisce la ripartizione della stessa produzione y fra consumo c ed investimento i i = s f(k) Δ k = i δ k = s f(k) - δ k si sostituisce ad y la corrispondente funzione di produzione che a sua volta è pari alla funzione di capitale k per occupato; lo stock di capitale esistente k è in funzione dell accumulazione di nuovo capitale attraverso i ; il prodotto y è determinato dalla funzione di produzione f(k) e la ripartizione della stessa produzione y fra consumo c ed investimento i dipende dal saggio di risparmio s Δ k è la variazione del capitale nel tempo per effetto del suo aumento all aumentare di i che origina il PMk (prodotto marginale del capitale via via decrescente) e per effetto della sua riduzione a seguito del suo deperimento/ammortamento indicato da δ k (via via crescente) ; si raggiunge l ottimo, secondo il modello classico, spingendo la produzione fino a quando il PMk (decrescente) = δ k (crescente) e cioè fino a quando; Δ k* = s f(k*) - δ k* = 0-zero k* - stazionario e quando massimizza il massimo livello di consumo è chiamato livello di capitale k* GOLD di lungo periodo di regola aurea; in stato stazionario l ammortamento compensa interamente ed esattamente l investimento; dal capitale k* GOLD di lungo periodo di regola aurea si determina il consumo c* GOLD di lungo periodo di regola aurea mediante semplici sostituzioni nelle equazioni suindicate y = c + i c = y - i = f(k*) i = f(k*) δ k* stato stazionario ottimo quando PMk = i = δ k Δ k = s f(k*) (δ+n+g) k* = 0-zero con popolazione n e tecnologia g PMk - δ > 0 > c* GOLD finale, k < k* GOLD, > i con > s e < c nell immediato PMk - δ < 0 < c* GOLD finale, k > k* GOLD, < i con < s e > c nell immediato
(a) (b) Y, C, I Unico saggio di risparmio e regola aurea. Y(prodotto), Ammortamento, Investimento prodotto, y consumo, c c investimento, i α = pendenza α α C* gold s (risparmio) gold f (k*) i* gold δ k* f(k*) 0 k* gold k - per occupato Δ s spostamento curva s f (k*) e < C (consumo). 0 t 0 Tempo k* gold = capitale per occupato di stato stazionario Un aumento del saggio di risparmio - da parte dello stato - al tempo t 0 quando lo stock di capitale nell economia è inferiore al livello di regola aurea; l aumento del saggio di risparmio, al tempo t 0, determina una immediata riduzione del consumo iniziale ed una contemporanea espansione dell investimento; con il tempo che passa da t 0 a t 1, t 2, t n l investimento genera l aumento del prodotto e del consumo ed al nuovo stato stazionario, il nuovo consumo finale è maggiore di quello iniziale. Stato stazionario: pendenza funzione di produzione = pendenza funzione di ammortamento, cioè PMk* = δ. Il saggio di risparmio condiziona il livello di stato stazionario. Gli organi di politica economica degli stati dovrebbero adottare i provvedimenti per raggiungere il livello di capitale di regola aurea. Perché nel modello si utilizza il termine regola aurea? R.M.Solow ed i suoi collaboratori, hanno costruito un modello di crescita economica individuando, sulla base del modello classico dell economia, un livello di accumulazione di capitale ottimale che assicuri un giusto equilibrio delle risorse (capitale, investimenti, risparmi, determinazione dei consumi ottimali) fra le generazioni presenti e future con l attribuzione degli stessi pesi; la denominazione di stock di capitale al livello di stato stazionario di regola aurea, deriva dalla regola aurea della Bibbia (N.T., S.Mt. cap.7, v. 12-13 : Tutto quanto volete gli uomini facciano a voi, anche voi fatelo a loro; questa è la legge e ).
Soluzione parte B) esercizio 2. a) Funzione di produzione per occupato? Y t = AK t α Lt 1- α divido per L t, Y t / L t = (AK t/ L t ) α (L t / L t ) 1- α pongo ( Y t/ L t ) = y t, e ( K t/ L t ) = k t ; (L t / L t ) 1- α = 1 y t = A k t α b) i) k*? ii) reddito pro-capite stato stazionario? iii) tasso di crescita di K pro-capite in transizione stato stazionario? i) Δ k = s f(k*) (δ+n) k* = 0-zero da cui, riordinando i termini (δ+n) k* = s f(k*) (δ+n) k* = s A k* α poichè f(k*) = y* = A k* α, come da precedente quesito a), si ha: riordinando i termini si ha: (k*/ k* α ) = [s A/(δ+n)] poichè (k*/ k* α )= k* (1 α), (nota *) sostituendo si ha : k* (1 α) = (s A)/(δ+n) dividendo le potenze di entrambi i membri per 1 α, si ricava: 1/(1 α) k* = [(s A)/(δ+n)] (nota *): esempio numerico: 2/2 2 =2/4 = 1/2; 2/2 2 = 2 1 2 = 2 1 = 1/2 1 = 1/2 ii) y* = A k* α vedi a) y t = A k* t α iii) Δ k t = s f(k t) (δ+n) k t poichè f(k t) = y t e y t = A k t α c) Δ k t = s A k t α (δ+n) k t Δ k t > 0-zero nel caso di K < K* ; Δ k t < 0-zero nel caso di K > K* quando k < k* GOLD servono > i per arrivare a > c* GOLD ; quindi salgono i c* GOLD ; quando k < k* GOLD, [s f(k) - (δ+n) k] > 0 cioè s f(k) > (δ+n) k dunque è necessario aumentare s per aumentare i. Sono gradite le segnalazioni di eventuali errori e/o integrazioni; ai cari studenti, tutti, auguro buon lavoro, G.B.Becugna. Ricevimento studenti: nelle date ed orari indicati sul sito www.macroeconomia.uniss, c/o DiSea, Sassari, Via Muroni, n. 23, studio F9. Resto disponibile per quanto possa servire (gavinobasiliobecugna@virgilio.it).