IL MODELLO DI CRESCITA DI SOLOW

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1 IL MODELLO DI CRESCITA DI SOLOW C. SARDONI Indice 1. Introduzione 1 2. La funzione di produzione well-behaved 1 3. La dinamica: il modello di solow 3 4. Il progresso tecnico 6 Appendice A. La distribuzione del reddito nella Cobb-Douglas 9 Riferimenti bibliografici 9 1. Introduzione Il modello di crescita di Solow (1956) si basa sull uso di una funzione di produzione cosiddetta well-behaved, cioè con delle precise proprietà. Questa funzione di produzione è introdotta e spiegata nel paragrafo 2. Il paragrafo 3 considera il modello di crescita di Solow, mentre il paragrafo 4 è dedicato ad alcune sue estensioni e generalizzazioni. 2. La funzione di produzione well-behaved Consideriamo un economia con due soli fattori della produzione, capitale e lavoro; una generica funzione di produzione è Si ipotizzano rendimenti di scala costanti, vale a dire che Y = F (K, L) (2.1) F (λk, λl) = λf (K, L) (2.2) che equivale ad assumere che la funzione è omogenea di primo grado. Si assumono poi rendimenti decrescenti per entrambi i fattori, cioè F (K, L) K F (K, L) L > 0 and 2 F (K, L) K 2 < 0 (2.3) > 0 and 2 F (K, L) L 2 < 0 Date: 11 dicembre

2 2 C. SARDONI Spesso si usa una forma intensiva della funzione di produzione, che si ottiene dividendo entrambi i fattori per L: 1 Y L = F (K L, L L ) che scriviamo come = f() (2.4) La funzione (2.4) ha le stesse proprietà della (2.1), cioè f(0) = 0 f () > 0 f () < 0 dove f () denota la derivata prima di f rispetto a e f () la derivata seconda. Queste proprietà possono essere espresse anche nel modo seguente: Note anche come condizioni di Inada. f(0) = 0 (2.5) f (0) = f ( ) = La funzione Cobb-Douglas. Introduciamo ora una funzione di produzione specifica, la funzione Cobb-Douglas che ha la seguente forma Y = F (K, L) = α L 1 α (2.6) con F K = αkα 1 L 1 α (2.7) F L = (1 α)l α K α Si noti anche che gli esponenti di K e L, α e (1 α) esprimono rispettivamente l elasticità della produzione rispetto al capitale e rispetto al lavoro. 2 Anche per la Cobb-Douglas prendiamo la sua forma intensiva: ( K = f L, L ) = Kα L 1 α = α (2.8) L L 1 Si noti che questa trasformazione è possibile grazie all ipotesi di rendimenti di scala costanti. 2 L elasticità della produzione Y rispetto al capitale K è Y K K Y = [αkα 1 L α ] K Y = α L elasticità della produzione rispetto al lavoro è Y KL L Y = [(1 α)lα K α ] L = (1 α). Y Si veda l Appendice A per l analisi della distribuzione del reddito che deriva dalla Cobb-Douglas.

3 IL MODELLO DI CRESCITA DI SOLOW 3 3. La dinamica: il modello di solow 3.1. Lo stato stazionario. Assumiamo innanzi tutto che il lavoro L cresca al tasso n, vale a dire dl dt = L = nl e quindi n = L L Per quanto riguarda il capitale K, abbiamo K = sy δk (3.1) dove δk (con 0 < δ < 1) denota la quota dello stoc di capitale che si erode di periodo in periodo. Dalla (3.1) abbiamo che sy = K + δk Tutto il risparmio sy è investito e destinato all aumento dello stoc di capitale ( K) e al rimpiazzo del capitale eroso (δk). In un economia chiusa e senza settore pubblico, l equilibrio si realizza quando Y = C + I = C + K + δk Passiamo alla forma intensiva e calcoliamo. = ( ) K K t L = L 1 t nk Essendo K = K = sy δk e Y = f(), si ottiene t L = K = sf() (δ + n) (3.2) t L La funzione di produzione considerata è rappresentata graficamente qui sotto. Il punto di equilibrio è lo stato stazionario, dove l investimento è giusto sufficiente a rimpiazzare il capitale eroso (δ) e far crescere lo stoc di capitale proporzionalmente alla popolazione. In tal modo, in il rapporto capitale/lavoro () resta costante, cioè si ha = = 0. t 3.2. Il tasso di crescita dell output. Usando la funzione Cobb-Douglas calcoliamo il tasso di crescita dell output, cioè. Essendo = α, si ha = D altro canto, poiché = s α (δ + n), si ottiene = (3.3) sα α(s + n) (3.4) 1 α Dalla (3.3) si vede che il tasso di crescita di è positivo fintanto che è positivo ed è nullo per = 0, cioè nello stato stazionario. Dalla (3.4) si ricava che un aumento della propensione marginale al risparmio, s, ha un effetto ambiguo sul

4 4 C. SARDONI ( +n) =f() sf() * Figura 1. La funzione di produzione tasso di crescita. Un aumento di s ha un effetto positivo sul primo termine della (3.4), ma negativo sul secondo. Inoltre si osserva anche che un aumento di n e/o δ provoca una riduzione del tasso di crescita. 3 Il valore di stato stazionario di e si ricava anche analiticamente. In stato stazionario deve essere = 0 il che implica dalla (3.2) che s α = (δ + n) ovvero [ s = (δ + n) [ s = (δ + n) ] 1 1 α ] α 1 α (3.5) (3.6) Lo stoc di capitale e l output pro-capite di stato stazionario sono crescenti in s e decrescenti in δ e n. Quanto detto si può descrivere graficamente. 3 Se si parte da uno stato stazionario, dove = 0, un aumento di n e/o δ determina un tasso di crescita negativo che porterà l economia a un nuovo stato stazionario più basso.

5 IL MODELLO DI CRESCITA DI SOLOW 5 =f() (n+δ) s'f() sf() * *' Figura 2. L effetto di un aumento della propensione al risparmio: l aumento di s a s provoca una rotazione verso sinistra della funzione del risparmio e si determina un nuovo stato stazionario caratterizzato da un più elevato e un più elevato. ( +n) =f() ( '+n') sf() * Figura 3. L effetto di un aumento di δ e/o n: l aumento di n e/o δ provoca una rotazione verso sinistra della retta (δ + n) e si determina un nuovo stato stazionario caratterizzato da un più basso e un più basso.

6 6 C. SARDONI 3.3. La golden rule. La cosiddetta golden rule determina lo stato stazionario al quale è associato il massimo consumo pro-capite ottenibile dall economia. Il consumo pro-capite è c = (1 s)f() e, in stato stazionario è c = (1 s)f( ) = f( ) (n + δ) (3.7) Al crescere di s cresce con effetto positivo su e c, ma cresce anche l effetto negativo dovuto alla presenza di n e δ. Il massimo di c si ottiene quando la sua derivata prima rispetto a s è uguale a zero, c s = 0 cioè f( ) = n + δ (3.8) s Il valore di determinato dalla (3.8) dà il valore massimo di c. Se va oltre questo valore, il consumo pro-capite diminuisce La convergenza dei tassi di crescita. L implicazione del modello è che le economie che hanno inizialmente uno stoc di capitale pro-capite più basso crescono più rapidamente di quelle con uno stoc più elevato. 4 Ne deriva pertanto che tutte le economie convergono verso lo stesso stato stazionario. Considerando la funzione Cobb-Douglas, il tasso di crescita del prodotto procapite, in base alla (3.4), può essere scritto = α(sα 1 δ n) (3.9) che è decrescente in. 5 Ciò, espresso in termini di confronto fra diverse economie, significa che le economie povere, con un basso crescono più rapidamente di quelle ricche con un elevato. Pertanto si dovrà assistere ad un processo di convergenza verso un comune stato stazionario. 4. Il progresso tecnico Il progresso tecnico è introdotto assumendo che esso fa crescere la produttività del lavoro, il che può essere espresso considerando la nozione di lavoro effettivo. Il lavoro effettivo è ottenuto moltiplicando il numero dei lavoratori L per un fattore A > 0 che misura il grado di progresso tecnico in un dato momento che ha effetto sulla effettiva capacità produttiva dei lavoratori. 4 Questa è una conseguenza immediata dell ipotesi di rendimenti decrescenti del capitale. 5 α 1 = 1 1 α.

7 IL MODELLO DI CRESCITA DI SOLOW 7 La funzione di produzione diventa quindi, e, nella sua forma Cobb-Douglas, Y = F (K, AL) Y = K α (AL) 1 α (4.1) Il tasso di crescita della tecnologia (A) è assunto essere esogenamente dato, Ȧ t A t = g > 0 La forma intensiva della funzione di produzione si ottiene dividendo per AL. Avremo pertanto = K AL t = sf (K, AL) AL (g + n + δ) = sf() (g + n + δ) (4.2) Lo stato stazionario si ha quando = 0 e dalla (4.2) ciò si realizza per ( = s δ + n + g) ) 1 1 α (4.3) che è decrescente in g. Per quanto riguarda il tasso di crescita del prodotto pro-capite, tenendo conto che Y L = Kα (AL) 1 α = A α L si ha = Ȧα + α α 1 A A α = Ȧ A + α = g + α Essendo = sf() (δ + g + n), abbiamo quindi ( ) sf() = g + α δ g n (4.4) (4.5) Si noti che quando è =, cioè quando si è in stato stazionario, si ha che sf() =)δ + g + n) e quindi il termine in parentesi della (4.5) è uguale a zero. Perciò, in stato stazionario il tasso di crescita del prodotto pro-capite è pari al tasso di crescita della tecnologia, g. = g (4.6)

8 8 C. SARDONI 4.1. Il capitale umano. Il capitale umano si forma principalmente attraverso l istruzione che viene considerata come una forma di investimento. Introduciamo il capitale umano nel modello di Solow, indicandolo con H. La funzione di produzione diventa Y = F (K, AL, H) che nella forma Cobb-Douglas è Ponendo = K AL e η = H AL, abbiamo Abbiamo inoltre, Y = K α (AL) 1 α β H β (4.7) = Y AL = Kα H β (AL) 1 α β AL = α η β (4.8) = s α η β (δ + n + g) (4.9) η = s η α η β η(δ + n + g) (4.10) s > 0 indica la quota del prodotto totale risparmiata e investita in capitale fisico; s η è invece la quota investita in capitale umano. 6 Lo stato stazionario si ha quando = η = 0. Attraverso diversi passaggi si ottengono i valori di e η di stato stazionario, = η = ( s β η s 1 β δ + n + g ) 1 1 α β ( s α sη 1 α ) 1 1 α β δ + n + g (4.11) (4.12) è crescente in s η e η è crescente in s. Infatti un aumento di s η determina un aumento di η e quindi di, che consente un maggiore investimento in capitale fisico. D altro canto un aumento di s determina un aumento di e quindi di che consente una maggiore investimento in capitale umano. 6 Si assume che sia il capitale fisico sia quello umano si deprezzano allo stesso tasso δ.

9 IL MODELLO DI CRESCITA DI SOLOW 9 Appendice A. La distribuzione del reddito nella Cobb-Douglas In equilibrio, in concorrenza perfetta, la remunerazione dei fattori è uguale alla loro produttività marginale. Pertanto dalla (2.7) abbiamo r = F K = αkα 1 L α w = F L = (1 α)lα K α La remunerazione totale del capitale è Mentre quella del lavoro è Essendo Y = K α L 1 α, ne risulta che Kα α 1 L 1 α = αk α L 1 α (A.1) L(1 α)l α K α = (1 α)l 1 α K α (A.2) Y = αy + (1 α)y (A.3) Il prodotto totale è interamente distribuito fra i due fattori della produzione in quote che dipendono dall elasticità del prodotto rispetto al capitale e al lavoro (α e (1 α). 7 Riferimenti bibliografici Solow, R. M.: 1956, A contribution to the theor of economic growth, Quarterl Journal of Economics 70(1), Questo è vero solo in quanto la somma di α e 1 α è ovviamente uguale ad 1.