i) la somma e il prodotto godano delle proprietà associativa, commutativa e distributiva;

1 Spazi vettoriali 11 Definizioni ed assiomi Definizione 11 Un campo è un insieme K dotato di una operazione somma K K K, (x, y) x + y e di una operazione prodotto K K K, (x, y) xy tali che i) la somma e il prodotto godano delle proprietà associativa, commutativa e distributiva; ii) la somma ammetta un elemento neutro cioè un elemento, denotato 0, tale che x + 0 = x per ogni x K; iii) il prodotto ammetta un elemento neutro denotato 1; iv) ogni elemento x K ammetta un inverso additivo x, cioè un elemento tale che x+( x) = 0; v) ogni elemento x K, con x 0, ammetta un inverso moltiplicativo x 1, cioè un elemento tale che xx 1 = 1; Osservazione 12 Esempi significativi sono il campo dei numeri reali R, il campo dei numeri complessi C e il campo dei numeri razionali Q Di particolare interesse per l informatica è il campo con due elementi F 2 che consiste degli elementi 0 ed 1 con le operazioni 0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1, 1 + 1 = 0 e 0 0 = 0, 0 1 = 0 e 1 1 = 1 Si può verificare che tali operazioni definiscono una struttura di campo In questo corso i campi che utilizzeremo sono soltanto i campi R e C Ove non sia necessario specificare a quale dei due campi ci si riferisca, utilizzeremo la notazione K Definizione 13 Definiamo K-spazio vettoriale (o spazio vettoriale sul campo K) un insieme V dotato delle due seguenti applicazioni: 1 Somma: 2 Prodotto per scalare: +: V V V (v, w) v + w : K V V (α, v) α v 3

1 Spazi vettoriali tali che valgano le seguenti proprietà: (P1) Proprietà associativa di +: v, w, z V si ha (v + w) + z = v + (w + z) ; (P2) Proprietà commutativa di +: v, w V si ha v + w = w + v ; (P3) Esistenza dell elemento neutro di +: esiste un elemento 0 V tale che v V si ha v + 0 = v ; (P4) Esistenza dell elemento opposto o inverso relativamente a +: v V esiste w V tale che v + w = 0 useremo la notazione w = v ; (P5) Proprietà distributiva di rispetto a +: α K, v, w V si ha α (v + w) = α v + α w ; (P6) Proprietà distributiva di rispetto a + in K: α, β K, v V si ha (α + β) v = α v + β v ; (P7) Proprietà associativa di : α, β K, v V si ha (αβ) v = α (β v); (P8) Proprietà di 1: v V si ha 1 v = v Sia V è un K-spazio vettoriale Gli elementi v V sono chiamati vettori e gli elementi α K sono chiamati scalari Proposizione 14 Sia V un K-spazio vettoriale Allora: i) 0 v = 0 v V ; ii) α 0 = 0 α K,; iii) dati α K e v V allora α v = 0 se e solo se α = 0 oppure v = 0 ; iv) dati v, w, w V allora v + w = v + w se e solo se w = w In particolare l opposto di un vettore è unico v) (α v) = ( α) v = α ( v) α K, v V In particolare v = ( 1) v Dim Con le stesse ipotesi di cui sopra: i) Si ha: 0 v = (0 + 0) v = 0 v + 0 v Sommando a destra e sinistra ( 0 v) si ha: 0 = 0 v + ( 0 v) = (0 v + 0 v) + ( 0 v) = 0 v + (0 v 0 v) = 0 v + 0 = 0 v ii) Si ha: α 0 = α (0 + 0) = α 0 + α 0 Sommando a destra e sinistra ( α 0) si ha: 0 = α 0 α 0 = (α 0 + α 0) α 0 = α 0 + (α 0 α 0) = α 0 + 0 = α 0 Nel testo i vettori saranno indicati in grassetto, gli scalari in carattere normale 4

12 Esempi iii) Se α = 0 la tesi segue da quanto dimostrato in precedenza Se α 0 allora: α 1 K tale che αα 1 = 1 = α 1 α Quindi α 1 (α v) = (α 1 α) v = 1 v = v = α 1 0 = 0 iv) Sommando a destra e sinistra ( v) si ha: (v + w) + ( v) = (v + w ) + ( v) (w + v) + ( v) = (w + v) + ( v) per (P2) w + (v v) = w + (v v) w + 0 = w + 0 w = w per (P1) per (P4) per (P3) In particolare se w e w sono due opposti di v, per definzione di opposto v+w = 0 = v+w Quindi, per iv), w = w, cioè l opposto è unico v) Basta dimostrare che ( α) v e α ( v) sono l inverso di α v Infatti: Per la (iv) si ha che ( α) v = α ( v) α v + ( α) v = (α + ( α)) v = 0 v = 0 α v + α ( v) = α (v + ( v)) = α 0 = 0 In particolare nel caso α = 1, si ha ( 1) v = v 12 Esempi 121 Lo spazio banale Chiamiamo spazio banale l insieme {0} con le operazioni: Elemento neutro: 0; Inverso: 0 def 0; Concludiamo che {0} è spazio vettoriale {0} {0} V (0, 0) 0 K {0} {0} (α, 0) 0 5

1 Spazi vettoriali 122 Lo spazio K n Definiamo K n come l insieme delle n-ple di elementi di K ovvero K n def {(a 1,, a n ) tali che a 1,, a n K} Introduciamo le due operazioni di somma e prodotto per scalare con le rispettive proprietà: K n K n K n ((a 1,, a n ), (b 1,, b n )) ((a 1 + b 1 ),, (a n + b n )) Elemento neutro in K n : 0 def (0,, 0); Inverso in K n : (a 1,, a n ) = ( a 1,, a n ); K K n K n ((α, (a 1,, a n )) ((αa 1 ),, (αa n )) Si verifica che K n, con le operazioni sopra definite, è un K spazio vettoriale In particolare, R n è un R-spazio vettoriale e C n è un C-spazio vettoriale Osserviamo che R 1 = R e C 1 = C 123 C-spazio vettoriale come R-spazio vettoriale Sia V un C-spazio vettoriale Definiamo su V la seguente struttura di R-spazio vettoriale Poniamo la somma, il vettore nullo e l opposto uguali a quelli definiti sul C-spazio vettoriale V Infine poniamo il prodotto per scalare R V V (α, v) α v ove identifichiamo α R con la sua immagine in C ed utilizziamo il prodotto per scalare : C V V In particolare, il C-spazio vettoriale C = C 1 ammette una struttura di R-spazio vettoriale con somma usuale di numeri complessi; Elemento neutro di + : C 0 def (0 + i0); Inverso di + : (a + ib) = ( a ib) R C C (α, (a + ib)) α(a + ib) Notiamo quindi che è importante precisare il campo sul quale lavoriamo 6

124 Lo spazio dei polinomi a coefficienti in K 124 Lo spazio dei polinomi a coefficienti in K Definiamo K[x] come l insieme dei polinomi a coefficienti in K nell indeterminata x Dunque K[x] def { i=0 a ix i a i K, a i = 0 per i 0 } Introduciamo le due operazioni di somma e prodotto per scalare con le rispettive proprietà: K[x] K[x] K[x] ( i=0 a ix i, j=0 b jx j ) i=0 (a i + b i )x i Elemento neutro in K[x] : 0 def i=0 0xi ; Inverso in K[x] : i=0 a ix i = i=0 ( a i)x i ; K K[x] K[x] (α, i=0 a ix i ) i=0 (αa i)x i Risulta evidente che 1 i=0 a ix i = i=0 a ix i Si verifica che K[x], con le operazioni sopra definite, è un K-spazio vettoriale 125 Lo spazio di funzioni Sia S un insieme e sia W un K spazio vettoriale Sia V = F(S, W ) l insieme delle funzioni da S in W, ovvero V def {f : S W } Introduciamo le usuali operazioni: V V V (f, g) (f + g : S W ) x f(x) + g(x) Elemento neutro in V dato da 0: S W, x 0 W ; Inverso in V dato da f : S W, x f(x); K V V ((α, f) ((α f): S W ) x αf(x) Si verifica che V, con le operazioni sopra definite, è un K-spazio vettoriale 7

1 Spazi vettoriali 126 Prodotto di spazi vettoriali Siano V e W K spazi vettoriali Sia V W l insieme delle coppie ordinate { (v, w) v V, w W } Definiamo V W V W V W ( (v, w), (v, w ) ) ( (v + v ), (w + w ) ) Elemento neutro in V W dato da ( 0 V, 0 W ) ; Inverso in V W dato da ( v, w ) = ( v, w ) ; K V W V W (α, (v, w)) ( α v, α w ) Si verifica che V W, con le operazioni sopra definite, è un K-spazio vettoriale Più in generale se W i, con i I, è una famiglia di K-spazi vettoriali, si definisce il prodotto i I W i come l insieme prodotto dotato delle operazioni somma, inverso e prodotto per scalare definite componente per componente ed elemento neutro (0) 13 Spazi di matrici Sia K un campo Siano dati h ed n N con h ed n 1 Definiamo matrice h n a coefficienti in K una tabella della forma a 11 a 1n A = = ( ) a ij 1 i h1 j n a h1 a hn con a ij K per ogni 1 i h ed ogni 1 j n Denotiamo M h n (K) l insieme delle matrici h n a coefficienti in K Introduciamo le due operazioni: M h n (K) M h n (K) M h n (K) a 11 a 1n b 11 b 1n (a 11 + b 11 ) (a 1n + b 1n ), a h1 a hn b h1 b hn (a h1 + b h1 ) (a hn + b hn ) Elemento neutro in M h n (K): 0 def ( 0 0 0 0 ) ; 8

a 11 a 1n Inverso additivo in M h n (K): a h1 a hn def 14 Sottospazi vettoriali a 11 a 1n a h1 a hn K M h n (K) M h n (K) ( a 11 a 1n α a 11 αa 1n α, a h1 a hn αa h1 αa hn Si verifica che M h n (K), con le operazioni appena definite, è un K-spazio vettoriale Osservazione 15 Da questo punto in poi omettiamo il simbolo per indicare il prodotto per scalare ; 14 Sottospazi vettoriali Definizione 16 Sia V un K spazio vettoriale Si definisce sottospazio vettoriale di V un sottoinsieme W V che soddisfa le seguenti proprietà: w 1, w 2 W si ha w 1 + w 2 W (chiusura rispetto a +); w W, α K si ha αw W (chiusura rispetto a ); W Proposizione 17 Sia W V un sottospazio vettoriale di un K spazio vettoriale V Allora: i) 0 W ; ii) per ogni w W si ha w W ; iii) W con Dim (a) la somma definita dalla somma in V ; (b) elemento neutro 0; (c) l opposto definito prendendo l opposto in V ; (d) il prodotto per scalare definito dal prodotto per scalare su V ; è un K-spazio vettoriale i) Poichè W esiste un elemento w W Allora, 0 w = 0 grazie alla Proposizione 14 Ma 0 w W per l assioma (ii) di sottospazio vettoriale Quindi 0 W 9

1 Spazi vettoriali ii) Sia w W Allora, ( 1) w = w grazie alla Proposizione 14 Inoltre ( 1) w W per l assioma (ii) di sottospazio vettoriale Quindi w W iii) Per definizione di sottospazio vettoriale la somma e il prodotto per scalare sono ben definiti, cioè dati v e w W e dato α K allora i vettori v + w e α v di V sono in W Grazie ad (i) 0 W e grazie a (ii) l inverso è ben definito su W Per concludere basta allora verificare che gli assiomi P1 P8 di spazio vettoriale siano soddisfatti Questo segue dal fatto che lo sono per V 15 Esempi di sottospazi 151 Sottospazio banale Se V è un K spazio vettoriale, è immediato verificare che W = {0} V è sottospazio vettoriale 152 Sottospazio di polinomi Sia V = K[x] il K spazio vettoriale dei polinomi a coefficienti in K come definito in 124 Sia d un intero non negativo Sia W def K[x] d = { P K[x] : deg(p ) d } Allora W è chiuso rispetto a +, è chiuso rispetto a e contiene il polinomio 0 Concludiamo che W è sottospazio vettoriale di K[x] Lasciamo al lettore la verifica che K[x] d = { P K[x] : deg(p ) d } non è sottospazio di K[x] se d 1 153 Sottospazio delle funzioni di classe C n Sia I R un intervallo aperto Chiamiamo F(I, R) lo spazio delle funzioni f : I R come definito in 125 Sia C n (I, R) l insieme delle funzioni derivabili n-volte, con derivata n-esima continua Si può facilmente verificare che C n (I, R) è sottospazio vettoriale di F(I, R) per ogni n Analogamente C (I, R) = n C n (I, R) è sottospazio vettoriale di F(I, R) 154 Intersezione di sottospazi Lemma 18 Sia V un K spazio vettoriale e siano W e Z sottospazi vettoriali di V Allora W Z è il più grande sottospazio vettoriale di V contenuto sia in W che in Z Più in generale 10

155 Somma e somma diretta di sottospazi data una famiglia di sottospazi vettoriali W i di V, con i I, allora l intersezione i I W i è il più grande sottospazio vettoriale di V contenuto in W i per ogni i I Dim Daremo la dimostrazione nel caso di due sottospazi lasciando il caso generale al lettore Dimostriamo innanzitutto che W Z è un sottospazio vettoriale Prendiamo a e b W Z Segue che a e b W e a e b Z, da cui abbiamo che a + b W e a + b Z Deduciamo quindi che a + b W Z, ovvero W Z è chiuso rispetto alla somma Prendiamo ora α K e v W Z Segue naturalmente che αv W e αv Z, da cui risulta αv W Z, ovvero W Z è chiuso rispetto al prodotto per scalare Poichè 0 W e 0 Z grazie a 17 deduciamo che 0 W Z e quindi W Z Concludiamo quindi che W Z è sottospazio vettoriale di V Sia ora T V un sottospazio vettoriale contenuto sia in W che in Z Allora T W Z Quindi W Z è il più grande sottospazio vettoriale di V contenuto sia in W che in Z 155 Somma e somma diretta di sottospazi Sia V un K spazio vettoriale e W e Z due sottospazi In generale, non è vero che W Z sia un sottospazio vettoriale di V Ad esempio, se V = R 2, W è il sottospazio generato da (1, 0) e Z è il sottospazio generato da (0, 1) allora (1, 1) = (1, 0) + (0, 1) non è un elemento di W Z Ovviamo a tale problema dando la seguente definizione Definizione 19 Definiamo W + Z come l insieme dei vettori v V tali che esiste w W ed esiste z Z per cui v = w + z ovvero W + Z := {v V w W, z Z tc v = w + z} Più generalmente se W 1,, W n sono sottospazi vettoriali di V, definiamo n i=1 W i come il sottoinsieme composto dai vettori v V tali che esistono vettori w 1 W 1,, w n W n per cui v = w 1 + + w n Lemma 110 Il sottoinsieme W + Z è il più piccolo sottospazio di V contenente sia W che Z ed è chiamato la somma di W e Z In generale, se W 1,, W n sono sottospazi vettoriali di V allora n i=1 W i è il più piccolo sottospazio di V contenente W 1,, W n ed è chiamato la somma di W 1,, W n Dim Ogni vettore w W si scrive come w + 0 e 0 Z in quanto Z è sottospazio vettoriale Abbiamo quindi che w W + Z Concludiamo che W W + Z e, similmente, Z W + Z In particolare, W + Z è non vuoto Dati i vettori v 1 e v 2 W + Z esistono w 1, w 2 W e z 1, z 2 Z tali che v 1 = w 1 + z 1 e v 2 = w 2 + z 2 Quindi v 1 + v 2 = (w 1 + w 2 ) + (z 1 + z 2 ) Poichè w 1 + w 2 W e z 1 + z 2 Z concludiamo che v 1 + v 2 W + Z Se α K, allora αv 1 = αw 1 + αz 1 Poichè αw 1 W e αz 1 Z concludiamo che αv 1 W + Z Abbiamo quindi mostrato che W + Z è un sottospazio vettoriale 11

1 Spazi vettoriali Sia T V un sottospazio vettoriale contenente W e Z Dato v W + Z esistono w W e z Z tali che v = w + z Ma w e z T e quindi la loro somma v T Segue che W + Z T Il caso della somma di tre o più sottospazi vettoriali è lasciato al lettore Definizione 111 Dati W e Z sottospazi di V, diciamo che la somma è diretta se W Z = {0} in tal caso scriveremo W Z invece di W + Z Più generalmente se W 1,, W n sono sottospazi vettoriali di V, diciamo che i W i sono in somma diretta se per ogni i i sottospazi vettoriali W i ( n j=1, i W j) = {0} In tal caso scriveremo n i=1 W i invece di n i=1 W i Proposizione 112 Sia V un K spazio vettoriale e siano W, Z sottospazi vettoriali di V Allora W e Z sono in somma diretta se e solo se per ogni v W + Z esiste un unico w W ed esiste un unico z Z tali che v = w + z Più generalmente siano W 1,, W n sottospazi vettoriali di V Allora i W i sono in somma diretta se e solo se per ogni v n i=1 W i e per ogni i esiste un unico w i W i tale che v = n i=1 w i Dim Dimostriamo l implicazione diretta Prendiamo v W + Z e supponiamo che esistano due scritture: v = w + z v = w + z con w, w W e z, z Z Allora w + z = w + z, da cui W w w = z z Z Quindi w w W Z e z z W Z Poichè W Z = {0} concludiamo che w = w e z = z, ovvero la scrittura è unica Dimostriamo l implicazione inversa Sia v W Z Allora possiamo scrivere 0 = 0 W + 0 Z = v + ( v) Ovvero ho due scritture di 0, da cui v = 0 Quindi W Z = {0} Passiamo al caso generale Dimostriamo l implicazione diretta Chiamiamo I = {1,, n} Sia v i I W i e supponiamo che esistano due scritture v i = v = w i i I con v i e w i W i per ciascun i Allora, per ogni i I, vale W i v i w i = ( ) wj v j j i i I Quindi, v i w i = 0 ovvero v i = w i Questo dimostra che la scrittura è unica Dimostriamo l implicazione inversa Sia v W i j i W j Allora v = j i w j con w j W j Quindi 0 Wi = 0 = v + w j j i i I Ovvero ho due scritture di 0 Segue che v = 0 Quindi W i j i W j = {0} j i W j 12