Spazi Vettoriali I. March 31, 2015

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1 Spazi Vettoriali I March 31, Introduzione Abbiamo visto che l insieme dei vettori fisici, del piano o dello spazio, l insieme R n dellle n-uple ordinate di numer reali e l insieme M m n delle matrici reali di taglia m n hanno una proprietà che li accomuna: su entrambi gli insiemi sono definite due operazioni, l addizione e la moltiplicazione per uno scalare. Queste operazioni godono di proprietà molto simili formalmente ad alcune delle proprietà aritmetiche dei numeri che ne rendono il calcolo molto agevole. Questa struttura formale che definiremo nelle prossime righe si presenta anche in altre situazioni. Ad esempio l insieme S = x Ax = 0} delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo soddisfa le seguenti due condizioni la somma di elementi di S (soluzioni del sistema) è un elemento di S (una soluzione del sistema), il prodotto di uno scalare per un elemento di S (una soluzione del sistema) è un elemento di S (una soluzione del sistema). Quindi anche su S sono definite un addizione ed una moltiplicazione per uno scalare. Altro esempio: consideriamo l equazione differenziale y + y = 0 e osserviamo che, se y 1 (x), y 2 (x) sono due soluzioni dell equazione, ovvero due funzioni che soddisfano l equazione, anche y 1 (x) + y 2 (x) è una soluzione e lo è anche cy 1 (x) qualunque sia lo scalare c. Si impara in effetti dall Analisi che la soluzione generale dell equazione è data da c 1 sin x + c 2 cos x ove c 1, c 2 sono costanti arbitrarie. Segue che anche sull insieme delle soluzioni di questa equazione differenziale si trova la stessa struttura. Questa osservazione vale non solo per questa particolare equazione ma anche, in generale, per la classe delle equazioni differenziali lineari omogenee. La nozione di spazio vettoriale che ci accingiamo ad esporre unifica tutte queste situazioni, almeno per gli aspetti fondamentali. Un primo vantaggio è di tipo economico, non occorre ritrovare in ogni diversa situazione concreta i risultati di base che accomunano tutti gli insiemi dotati delle due operazioni di addizione e di moltiplicazione per uno scalare (più le regole di calcolo dette assiomi della struttura). Un secondo vantaggio viene dalla pulizia dei ragionamenti, tipica delle situazioni in cui i fondamenti del discorso sono chiari ed espliciti. 2 Campi Definizione Un campo K è un insieme sul quale sono definite due operazioni + e (dette addizione e moltiplicazione, rispettivamente): dati due elementi x, y K esistono due unici elementi x + y e x y di K. 1 Queste due operazioni soddisfano le seguenti condizioni, valide per tutti gli elementi a, b, c di K. C1) a + b = b + a, ab = ba (commutatività di addizione e moltiplicazione) C2) (a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) (associatività di addizione e moltiplicazione) C3) Esistono elementi distinti 0 e 1 di K tali che 0 + a = a e 1a = a (esistenza di elementi neutri per addizione e moltiplicazione) C4) Per ogni elemento a in K ed ogni elemento non nullo b in K esistono elementi c e d in K tali che a + c = 0 e bd = 1 1 Di solito non si scrive il, x y = xy, tranne in alcuni casi, p. es. 2 3 e 23 hanno significati diversi. 1

2 (esistenza di inversi per addizione e moltiplicazione) C5) a(b + c) = ab + ac (distributività di moltiplicazione su addizione) Gli elementi x + y e xy si dicono la somma ed il prodotto, rispettivamente, di x e y. Gli elemnti 0, 1 in (C3) sono chiamati zero e uno, risp. Gli elementi c, d in (C4) sono detti, rispettivamente, opposto di a ed inverso di b. Esempi 1. L insieme dei numeri razionali Q e l insieme dei numeri reali R sono campi con le operazioni usuali. 2. Il sottoinsieme Q[ 2]: = a + b 2 a, b Q} di R con le operazioni indotte dalle operazioni di R, è un campo. Ad esempio, per trovare l inverso di a + b 2, con b 0, bisogna trovare x, y tali che (a + b 2)(x + y 2) = 1. Si trova il sistema ax + 2by = 1 bx + ay = 0 che ha determinante a 2 2b 2 0 (ricordare che 2 non è un numero razionale!). Con la regola di Cramer si trova (a + b 2) 1 a = a 2 2b 2 b 2 a 2 2b 2 (Più brevemente, basta osservare che (a + b 2)(a b 2) = a 2 2b 2.) 3. Definiremo più avanti i numeri complessi che daranno un altro esempio di campo, denotato con C. 4. Gli insiemi dei numeri interi Z e dei numeri reali non negativi R 0 con le operazioni usuali non sono campi, in entrambi i casi la condizione (C4) non è soddisfatta. 5. L insieme F 2 = 0, 1} con le seguenti tabelle operative L esempio precedente si può generalizzare ai campi di interi modulari. Si costruiscono così: si parte da un numero primo p, un numero naturale divisibile solo per 1 e per se stesso, ad esempio p = 2, 3, 5, 7, 11,.... Si considera l insieme F p = 0, 1, 2,..., p 1} e per x, y F p la somma x y ed il prodotto x y sono definiti da x y = resto della divisione dell intero x + y per p x y = resto della divisione dell intero xy per p Ad esempio, se p = 5, otteniamo le seguenti tabelle operative La dimostrazione che con queste operazioni F p è un campo non è difficile, ma la tralascio perché in questo corso useremo solo i numeri reali e, quando definiremo autovalori e autovettori, i numeri complessi. Vale la pena di osservare comunque che in questi campi succede un fenomeno nuovo: se si somma 1 p volte si ottiene = p1 = 0. Questi corpi che contengono solo un numero finito di elementi giocano un ruolo importante nella Teoria dei Numeri ma anche, in ambito applicativo, nella Crittografia. Facciamo vedere che regole ben note dell algebra dei numeri reali valgono in un campo qualunque. Regole di cancellazione Se a, b, c sono elementi arbitrari di un campo K, allora valgono gli asserti seguenti. 2

3 1) Se a + b = c + b, allora a = c. 2) Se ab = cb, con b 0, allora a = c. dim. 1) Se d è opposto di b, sommando d ad ambo i membri dell identità a + b = c + b, si ottiene (a + b) + d = (c + b) + d C2 a + (b + d) = c + (b + d) C4 a + 0 = c + 0 C3 a = c. 2) Se d è inverso di b 0, moltiplicando d ad ambo i membri dell identità ab = cb, si ottiene (ab)d = (cb)d C2 a(bd) = c(bd) C4 a1 = c1 C3 a = c. Corollario Gli elementi neutri 0 e 1 sono unici; opposto ed inverso sono unici. dim. Supponiamo che 0 K soddisfi 0 + a = a per ogni a K. Da 0 + a = a, per ogni a K, segue che 0 + a = 0 + a per ogni a K e quindi 0 = 0 per la regola di cancellazione. Similmente si dimostrano gli altri asserti. Dunque ogni elemento a K ha un unico opposto che si denota con a e, se a 0, ha un unico inverso che si denota con a 1 o anche con 1 a. Segue che ( a) = a e (a 1 ) 1 = a. La sottrazione e la divisione sono definite da a b = a + ( b), a b = ab 1. Altre proprietà della moltiplicazione dei numeri reali valgono in ogni campo. Teorema Siano a, b elementi arbitrari di un campo. Valgono gli asserti seguenti. 1) a0 = 0. 2) ( a)b = a( b) = (ab). 3) ( a)( b) = ab. dim. 1) Da = 0 e (C5) segue che 0 + a0 = a0 = a(0 + 0) = a0 + a0. Cancellando, si ottiene a0 = 0. 2) Per definizione, (ab) è l unico elemento di K tale che ab + ( (ab)) = 0. Quindi per dimostrare che ( a)b = (ab), basta dimostrare che ab + ( a)b = 0. Da (C5) e da (1) segue che ab + ( a)b = [a + ( a))]b = 0b = 0. Analogamente si dimostra che a( b) = (ab). 3) Applicando (2) due volte otteniamo ( a)( b) = [a( b)] = [ (ab)] = ab. 3 Definizione di Spazio Vettoriale Ricordo che se X e Y sono insiemi, il prodotto cartesiano di X e Y, denotato con X Y è l insieme delle coppie ordinate (x, y) con x X e y Y. La definizione si estende ad un numero qualunque di fattori X 1 X 2... X n = (x 1, x 2,..., x n ) x 1 X 1, x 2 X 2,..., x n X n } Uno spazio vettoriale sul campo K è un insieme V sul quale sono definite due operazioni, l addizione e la moltiplicazione per uno scalare V V V, (v, w) v + w K V V, (c, v) cv sottoposte alle condizioni seguenti. SV1) Proprietà commutativa dell addizione. Per ogni v, w in V v + w = w + v SV2) Proprietà associativa dell addizione. Per ogni u, v, w in V (u + v) + w = u + (v + w) SV3) Elemento neutro per l addizione. Esiste un elemento 0 in V tale che, per ogni v in V v + 0 = v 3

4 SV4) Esistenza di un opposto. Per ogni v in V, esiste un elemento w in V tale che v + w = 0 SV5) Elemento neutro della moltiplicazione per scalari. Per ogni v in V, 1v = v SV6) Proprietà associativa della moltiplicazione per scalari. Per ogni a, b in K ed ogni v in V (ab)v = a(bv) SV7) Proprietà distributiva della moltiplicazione per scalari sull addizione vettoriale. Per ogni a in K ed ogni v, w in V a(v + w) = av + aw SV8) Proprietà distributiva della moltiplicazione per scalari sull addizione scalare. Per ogni a, b in K ed ogni v in V (a + b)v = av + bv Da (SV3) segue che V è non vuoto, perché contiene almeno l elemento 0. Gli elementi di V si dicono vettori (astratti). Gli elementi del campo K si dicono scalari. Per i vettori usiamo la stessa notazione con caratteri in grassetto (a stampa, caratteri sottolineati nella scrittura a mano) per analogia con il calcolo letterale con le n-uple. Vedremo esempi di spazi vettoriali in cui i vettori non sono n-uple. I vettori v +w e cv si dicono, rispettivamente, la somma di v e w e il prodotto di c e v. La proprietà (SV2) permette di scrivere la somma di più di due vettori in V senza usare le parentesi e senza che vi sia ambiguità. Esempi 1. Sappiamo che i vettori fisici, nel piano o nello spazio, formano uno spazio vettoriale sul campo reale. Sono caratterizzati da lunghezza, direzione e verso. La somma di due vettori è data dalla regola del parallelogramma. Il prodotto per uno scalare cambia la scala di un vettore e, se lo scalare è negativo anche il verso, ma la direzione resta la stessa. 2. L insieme K n delle n-uple ordinate di elementi di K, n 1. Sappiamo che è uno spazio vettoriale su K con le operazioni (a 1, a 2,..., a n ) + (b 1, b 2,..., b n ) = (a 1 + b 1, a 2 + b 2,..., a n + b n ), c(a 1, a 2,..., a n ) = (ca 1, ca 2,..., ca n ). 3. L insieme M m n (K) delle matrici di taglia m n ad elementi nel campo K. Sappiamo che è uno spazio vettoriale su K con le operazioni A = (a ij ), B = (b ij ), A + B = (a ij + b ij ), ca = (ca ij ) 4. Sia X un insieme non vuoto e sia K un campo. Denotiamo con F(X, K) l insieme delle funzioni a valori scalari f : X K. Ricordo che f = g vuol dire f(x) = g(x) per ogni x in X. Definiamo (f + g)(x) = f(x) + g(x) (cf)(x) = cf(x) Essendo una novità rispetto a quanto visto finora, verifico pazientemente tutte le condizioni SV1- SV8. Sono tutte conseguenze delle proprietà delle operazioni del campo K. SV1) (f +g)(x) = (x)+g(x) = g(x)+f(x) f +g = g+f (proprietà commutativa dell addizione di K) SV2) [(f +g)+h](x) = (f +g)(x)+h(x) = [f(x)+g(x)]+h(x) = f(x)+[g(x)+h(x)] = f(x)+(g+h)(x) = [f + (g + h)](x) (f + g) + h = f + (g + h) (proprietà associativa dell addizione di K) SV3) Denotiamo con 0 la funzione costantemente uguale a 0, 0 (x) = 0 per ogni x in X (f + 0)(x) = f(x) + 0(x) = f(x) + 0 = f(x) f + 0 = f 4

5 SV4) Denotiamo con f la funzione definita da ( f)(x) = f(x). [f + ( f)](x) = f(x) + ( f(x)) = f(x) f(x) = 0 f + ( f) = 0 SV5) (1f)(x) = 1f(x) = f(x) 1f = f SV6) [(ab)f](x) = (ab)f(x) = a(bf(x)) = a[(bf)(x)] = [a(bf)](x) (ab)f = a(bf) SV7) (proprietà associativa della moltiplicazione di K) [a(f + g)](x) = a(f + g)(x) = a[f(x) + g(x)] = af(x) + ag(x) = (af)(x) + (ag)(x) = (af + ag)(x) SV8) a(f + g) = af + ag (proprietà distributiva di K) [(a+b)f](x) = (a+b)f(x) = af(x)+bf(x) = (af)(x)+(bf)(x) = (af+bf)(x) (a+b)f = af+bf (proprietà distributiva di K) 5. Denotiamo con P(K) F(K, K) l insieme dei polinomi a coefficienti in K. Ricordo che un polinomio p(x) è un espressione del tipo p(x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, a 0, a 1,..., a n K per qualche n 0. Se a n 0, si dice che il polinomio ha grado n. Il polinomio che ha tutti i coefficienti uguali a 0 si dice il polinomio nullo che denoteremo ancora con 0. Porremo uguale a 1 il grado del polinomio nullo. Sia q(x) un altro polinomio q(x) = b m x m + b m 1 x m b 1 x + b 0. Se il campo contiene infiniti elementi (ad esempio se K = R, C), i polinomi p(x) e q(x) sono uguali se e solo n = m e a i = b i per i = 0, 1, 2,..., n. Per definire la somma di due polinomi, pareggiamo il monomio di grado massimo nelle espressioni di p(x) e q(x). Per fissare le idee, supponiamo m < n, e poniamo q(x) = b n x n + b n 1 x n b 0 con b n =... = b m+1 = 0. Possiamo definire p(x) + q(x) = (a n + b n )x n + (a n 1 + b n 1 )x n (a 1 + b 1 )x + (a 0 + b 0 ) cp(x) = ca n x n + ca n 1 x n ca 1 x + ca 0 Vale grado (p(x) + q(x)) maxgrado p(x), grado q(x)}. Lasciamo al lettore la verifica che P(K) è uno spazio vettoriale su K. 6. Una successione (a n ) in K è una funzione N K, n a n. Si può anche scrivere (a n ) = (a 1, a 2, a 3,...) (infiniti termini). Denotiamo con K = F(N, K) l insieme delle successioni. Definiamo (a n ) + (b n ) = (a n + b n ) c(a n ) = (ca n ) È facile verificare che queste operazioni coincidono con quelle definite in F(N, K) (ad una successione (a n ) è associata la funzione f : N K, f(n) = a n e, viceversa, ad una funzione f : N K, è associata la successione a n = f(n)). Segue che K è uno spazio vettoriale. 7. Siano V e W due spazi vettoriali sul campo K. Definiamo su V W le operazioni (v 1, w 1 ) + (v 2, w 2 ) = (v 1 + v 2, v 2 + w 2 ) c(v, w) = (cv, cw) Con queste operazioni V W è uno spazio vettoriale detto il prodotto cartesiano di V e W. 8. Se V = 0} è un insieme con un solo elemento 0, ponendo = 0 a0 = 0 per ogni a in K 5

6 si vede facilmente che V è uno spazio vettoriale. Si dice lo spazio vettoriale nullo. 9. Definiamo su K 2 le seguenti operazioni (a 1, a 2 ) + (b 1, b 2 ) = (a 1 + a 2, a 2 b 2 ) c(a 1, a 2 ) = (ca 1, ca 2 ) È facile verificare che (SV1), (SV2) e (SV8) non sono soddisfatte e quindi K 2 con queste operazioni non è uno spazio vettoriale. Vediamo adesso alcune conseguenze delle regole fondamentali SV1-SV8 (dette anche assiomi della teoria degli spazi vettoriali). Teorema Sia V uno spazio vettoriale su K. 1) Se u, v, w in V sono tali che u + w = v + w, allora u = v. (Regola di cancellazione) 2) L elemento neutro dell addizione è unico. 3) Per ogni v in K, esiste un unico opposto che denoteremo con v. 4) 0v = 0 per ogni v in V. 5) a0 = 0 per ogni a in K. 6) ( a)v = (av) = a( v) per ogni a in K ed ogni v in V. dim. 1) Sia z un opposto di w. Da u + w = v + w, sommando z da entrambe le parti, si ottiene (u + w) + z = (v + w) + z. Da (SV2) segue che u + (w + z) = v + (w + z) e quindi, per (SV4), u + 0 = v + 0. Da (SV3) segue infine che u = v. 2) Sia 0 un altro elemento neutro per l addizione. Dunque abbiamo v + 0 = v = 0 + v per ogni v in V. Segue che 0 SV3 = = 0. 3) Supponiamo che w, w siano opposti di v. Oltre a (SV4) abbiamo anche v + w SV1 = w + v = 0. Segue w SV3 = w + 0 SV4 = w + (v + w) SV2 = (w + v) + w = 0 + w SV3 = w 4) Abbiamo 0v + 0v SV8 = (0 + 0)v = 0v SV3 = 0v + 0 SV1 = 0 + 0v (1) 0v = 0 5) Simile a (4), la lascio al lettore. 6) Da (3) segue che il vettore (av) è l unico elemento tale che av + [ (av)] = 0. Ma av + ( a)v SV8 = [a + ( a)]v = 0v (4) = 0 e dunque (av) = ( a)v. In particolare abbiamo ( 1)v = v. Segue a( v) = a[( 1)v] SV6 = [a( 1)]v = ( a)v Da questo Teorema segue che il calcolo letterale su uno spazio vettoriale è quello a cui siamo abituati. Il vettore 0 si dice il vettore nullo. La sottrazione di vettori è definita da v w = v + ( w) Attenzione, si può dividere per uno scalare non nullo, ma non si può dividere per un vettore. 4 Sottospazi Definizione Un sottoinsieme W di uno spazio vettoriale V su un campo K si dice un sottospazio di V se W è uno spazio vettoriale su K con le operazioni di addizione e moltiplicazione per uno scalare definite su V. In ogni spazio vettoriale V, abbiamo sempre due sottospazi, detti i sottospazi triviali di V, lo spazio stesso V e ill sottospazio nullo 0} di V. Per controllare che un sottoinsieme è un sottospazio per fortuna non serve fare tutte le verifiche SV1-SV8. Le proprietà SV1, SV2, SV5, SV6, SV7, SV8 sono valide per tutti gli elementi dello spazio vettoriale e quindi anche per tutti gli elementi di un qualunque sottoinsieme. Quindi affinché 6

7 un sottoinsieme W di uno spazio vettoriale sia un sottospazio basta verificare che l addizione di V ristretta a W W dà un applicazione W W W e la moltiplicazione per uno scalare su V ristretta a K W dà un applicazione K W W e che valgano le proprietà SV3 e SV4. Più esplicitamente, un sottoinsieme W di uno spazio vettoriale V è un sottospazio se e solo se 1. W è chiuso rispetto all addizione se x W e y W, allora x + y W. 2. W è chiuso rispetto alla moltiplicazione per scalari 3. W ha uno zero. 4. Ogni elemento di W ha un opposto in W. se c K e x W, allora cx W. Il Teorema che segue fa vedere che lo zero di W deve coincidere con lo zero di V e che la condizione 4 qui sopra è superflua. Teorema Siano V uno spazio vettoriale sul campo K e W un suo sottoinsieme. Allora W è un sottospazio di V se e solo se sono soddisfatte le tre condizioni seguenti con le operazioni di V (a) 0 W. (b) se x W e y W, allora x + y W. (c) se c K e x W, allora cx W. dim. Supponiamo che W sia un sottospazio di V. Allora W è uno spazio vettoriale con le operazioni di addizione e moltiplicazione per uno scalare di V. Segue che le condizioni (b) e (c) sono soddisfatte. Se 0 è lo zero di W, abbiamo x + 0 = x per ogni x W. D altra parte, sappiamo che x + 0 = x perché x è un vettore di V. Per l unicità dello zero segue che 0 = 0. Segue che la condizione (a) è soddisfatta. Viceversa, se le condizioni (a), (b) e (c) sono soddisfatte, per quanto visto sopra, è sufficiente far vedere che l opposto di ciascun elemento di W appartiene a W. Ma se x W, allora ( 1)x W per la condizione (c). Ma il Teorema della sezione precedente ci assicura che ( 1)x = x. Segue che W è sottospazio di V. La prima cosa da fare per verificare che un sottoinsieme S di uno spazio vettoriale V è un sottospazio, è verificare se 0 sta o non sta in S. Se un sottoinsieme S di uno spazio vettoriale V non contiene il vettore nullo, S non può essere un sottospazio. Osservazione Sia V uno spazio vettoriale. Se U e W sono sottospazi di V e U W, allora U è sottospazio dello spazio vettoriale W. Se W è sottospazio di V e U è sottospazio di W, allora U è sottospazio di V. Esempi 1. Sia A una matrice m n. Lo spazio nullo o nucleo di A, che denotiamo con N(A), è l insieme delle soluzioni del sistema lineare omogeneo Ax = 0 N(A) = x K n Ax = 0} Dimostriamo che N(A) è un sottospazio di K n. Verifichiamo le condizioni (a), (b) e (c) del Teorema. (a) Sappiamo che 0 è sempre soluzione di un sistema omogeneo, dunque 0 N(A). (b) Se x, y N(A), allora Ax = 0 e Ay = 0 da cui segue A(x + y) = Ax + Ay = = 0 e quindi x + y N(A). (c) Se c K e x N(A), allora Ax = 0 e A(cx) = cax = c0 = L insieme delle soluzioni di un sistema lineare non omogeneo Ax = b con b 0 non è un sottospazio perché 0 non è soluzione del sistema. Se c 0 è una soluzione particolare del sistema, Ac 0 = b, l insieme delle soluzioni del sistema è dato da c 0 + N(A) = c 0 + x x N(A)} Infatti, se x N(A), da A(c 0 + x) = b + 0 = b segue che c 0 + x è soluzione. Viceversa, se y è soluzione, Ay = b, allora A(y c 0 ) = Ay Ac 0 = b b = 0. Segue che x: = y c 0 N(A) e y = c 0 + x c 0 + N(A). 3. Sia W = Sim n (K) M n (K) l insieme delle matrici simmetriche di ordine n 2. Sappiamo che la matrice nulla è una matrice simmetrica e quindi 0 W. Se A, B W, A = A t e B = B t, allora 7

8 (A + B) t = A t + B t = A + B e quindi A + B W. Se c K, A W, allora (ca) t = ca t = ca e quindi ca W. Segue che W è un sottospazio di M n (K). 4. Sia W = Diag n (K) M n (K) l insieme delle matrici diagonali di ordine n 2. Sappiamo che la matrice nulla è una matrice diagonale e quindi 0 W. Se A = diag (a 1, a 2,..., a n ) e B = diag (b 1, b 2,..., b n ), A + B = diag (a 1 + b 1, a 2 + b 2,..., a n + b n ) e quindi A + B W. Se c K e A = diag (a 1, a 2,..., a n ), ca = diag (ca 1, ca 2,..., ca n ) e quindi ca W. 5. Sia X un insieme e sia x 0 un fissato elemento di X. Sia W : = f F(X, K) f(x 0 ) = 0}. La funzione costante uguale a zero 0 è chiaramente nulla anche in x 0 e dunque 0 W. Se f, g W, allora f(x 0 ) = 0 e g(x 0 ) = 0. Segue che f(x 0 ) + g(x 0 ) = (f + g)(x 0 ) = 0 e quindi f + g W. Se c K e f W, f(x 0 ) = 0 cf(x 0 ) = (cf)(x 0 ) = 0 e quindi cf W. Segue che W è un sottospazio di F(X, K). 6. Lo spazio vettoriale P(K) dei polinomi a coefficienti in K è un sottospazio di F(K, K). 7. Sia n 0 un intero. Sia W = P n (K) P(K) l insieme dei polinomi di grado n a coefficienti in K. Facciamo vedere che W è un sottospazio di P(K). Poiché il polinomio nullo 0 ha grado -1, 0 W. Se p(x), q(x) W, allora grado (p(x) + q(x)) maxgrado p(x), grado q(x)} n e quindi p(x) + q(x) W. Se c K, grado (cp(x)) grado p(x) n e quindi cp(x) W. Invece l insieme dei polinomi che hanno grado esattamente uguale ad n non è un sottospazio di P(K) perché non contiene il vettore nullo che ha grado 1 < n. 8. Sia I R un intervallo aperto. Sia C k (I) F(I, R), k = 0, 1, 2,..., l insieme delle funzioni k volte derivabili con derivate continue nell intervallo I (per k = 0, sono le funzioni continue, per k = le funzioni che hanno derivate di ogni ordine, tipo i polinomi, le funzioni razionali, le funzioni trascendenti elementari, sin, cos, exp, log,...). Facciamo vedere che W = C k (I) è un sottospazio di F(I, R). Intanto la funzione nulla ha derivate di ciascun ordine e quindi 0 W. Poiché (f + g) = f + g, (f + g) = f + g,..., (f + g) (k) = f (k) + g (k), se f, g W, allora f + g W. Se c R, f W, (cf) = cf, (cf) = cf,..., (cf) (k) = cf (k), e quindi cf W. Si ha P(R) C (I)... C k (I)... C 2 (I) C 1 (I) C 0 (I) F(I, R). Si dimostra facilmente che ciascun termine in questa catena di spazi vettoriali è sottospazio dello spazio che lo precede. 9. Consideriaamo una equazione differenziale lineare omogenea di ordine n 1 a 0 (x)y n + a 1 (x)y n a n 1 y + a n (x)y = 0 ove a 0, a 1,..., a n sono funzioni in F(I, R), I intervallo. Una soluzione dell equazione è una funzione y(x) C n (I) tale che a 0 (x)y(x) n + a 1 (x)y(x) n a n 1 y(x) + a n (x)y(x) = 0 per ogni x I. L insieme delle soluzioni dell equazione fè un sottospazio di C n (I). 10. L insieme delle successioni convergenti è un sottospazio di R. L insieme delle successioni infinitesime (convergenti a zero) è un sottospazio dello spazio vettoriale delle successioni convergenti. 5 Intersezione e somma di sottospazi Proposizione Sia V uno spazio vettoriale. Se W i } è una famiglia di sottospazi di V, allora W : = i W i = x V x W i per ogni indice i} è un sottospazio di V. dim. Poiché 0 W i per ogni indice i, 0 W. Se x, y W, allora x, y W i per ogni i. Poiché ciascun W i è un sottospazio di V, x+y W i per ogni i e quindi x+y W. Similmente si procede con la moltiplicazione per uno scalare. Siano S 1 ed S 2 sottoinsiemi dello spazio vettoriale V. La somma S 1 + S 2 di S 1 ed S 2 è l insieme definito da S 1 + S 2 = x + y x S 1, y S 2 } V Proposizione Siano W 1 e W 2 sottospazi dello spazio vettoriale V. Allora (a) La somma W 1 + W 2 è un sottospazio di V. (b) Ogni sottospazio di V che contiene entrambi i sottospazi W 1 e W 2 contiene anche la somma W 1 + W 2. 8

9 dim. (a) Poiché 0 W 1 W 2 e 0 = 0+0, 0 W 1 +W 2. Se x 1 +x 2 W 1 +W 2 e y 1 +y 2 W 1 +W 2 con x 1, y 1 W 1 e x 2, y 2 W 2, allora (x 1 + x 2 ) + (y 1 + y 2 ) = (x 1 + y 1 ) + (x + y 2 ) W 1 + W 2 perché x 1 + y 1 W 1 e x 2 + y 2 W 2 essendo W 1 e W 2 sottospazi di V. Similmente, se c K, c(x 1 + x 2 ) = cx 1 + cx 2 W 1 + W 2. (b) Se W è un sottospazio che contiene sia W 1 che W 2, allora W contiene x 1 +x 2 per ogni x 1 W 1 ed ogni x 2 W 2 e quindi contiene la somma W 1 + W 2. Possiamo dire che la somma di due sottospazi è il minimo sottospazio (rispetto all inclusione ) contenente i due sottospazi. Siano V uno spazio vettoriale e W 1, W 2 sottospazi di V. Diremo che lo spazio vettoriale V è somma diretta di W 1 e W 2 e scriveremo V = W 1 W 2 se (1) W 1 W 2 = 0}, (2) V = W 1 + W 2. Esempi 1. Sia V = K n, n 2. Siano 1 p, q n interi tali che p + q = n. Poniamo W 1 = (a 1, a 2,..., a p, 0,..., 0) (a 1, a 2,..., a p ) K p }, W 2 = (0,..., 0, a p+1, a p+2,..., a n ) (a p+1, a p+2,..., a n ) K q }. Gli insiemi W 1 e W 2 sono sottospazi di V e V = W 1 W Sia V = P(K) e sia W 1 (risp. W 2 ) l insieme dei polinomi che hanno i coefficienti delle potenze pari (risp. dispari)i di x uguali a 0. Gli insiemi W 1 e W 2 sono sottospazi di V e V = W 1 W Sia V = M n (K) con K campo infinito. Sia W 1 (risp. W 2 ) l insieme delle matrici simmetriche (risp. antisimmetriche) di ordine n. Gli insiemi W 1 e W 2 sono sottospazi di V. Se A è una matrice di ordine n, allora si vede facilmente che 1 2 (A + At 1 ) W 1, 2 (A At ) W 2. Poiché A = 1 2 (A+At )+ 1 2 (A At ), abbiamo V = W 1 +W 2. Inoltre, poiché l unica matrice simmetrica e anche antisimmetrica è la matrice nulla, abbiamo W 1 W 2 = 0} e pertanto V = W 1 W Sia V = M m n (K). Definiamo W 1 = A = (a ij V a ij = 0 se i > j}, W 2 = A = (a ij V a ij = 0 se i j}. Gli insiemi W 1 e W 2 sono sottospazi di V e V = W 1 W Sia V M n (K) il sottospazio delle matrici triangolari superiori. Sia W 1 il sottospazio delle matrici diagonali di ordine n e sia W 2 = A = (a ij ) M n (K) a ij = 0 se i j}. L insieme W 2 è un sottospazio di V e V = W 1 W 2. Proposizione Sia V uno spazio vettoriale e siano W 1 e W 2 sottospazi di V. Allora V = W 1 W 2 se e solo se ogni elemento di V si scrive in uno ed un solo modo come somma di un elemento di W 1 e di un elemento di W 2. dim. Se V = W 1 W 2, allora V = W 1 + W 2 e quindi per ogni v V esistono x 1 W 1 e x 2 W 2 tali che v = x 1 + x 2. Se v = x 1 + x 2 = y 1 + y 2 con y 1 W 1 e y 2 W 2, allora (x 1 + x 2 ) (y 1 + y 2 ) = (x 1 y 1 ) + (x 2 y 2 ) = 0 da cui segue (x 1 y 1 ) = (x 2 y 2 ). Poiché x 1 y 1 W 1 e (x 2 y 2 ) W 2, segue che x 1 y 1 = (x 2 y 2 ) W 1 W 2 = 0} e quindi x 1 = y 1 e x 2 = y 2. Viceversa, supponiamo che per ogni v V esistano unici x 1 W 1 e x 2 W 2 tali che v = x 1 + x 2. Se x W 1 W 2, allora da x = x + 0 = 0 + x segue che x = 0 e quindi W 1 W 2 = 0}. Segue che V = W 1 W 2. Terminologia Prodotto cartesiano di insiemi. Spazio vettoriale. Assiomi. Vettori. Scalari. Addizione. Moltiplicazione per scalari. Somma di vettori. Prodotto di uno scalare per un vettore. Vettore nullo. Spazio vettoriale nullo. Opposto. Sottrazione. Funzioni a valori scalari. Polinomio. Grado di un polinomio. Polinomio nullo. Successione. Prodotto cartesiano di spazi vettoriali. Sottospazio. Sottospazi triviali. Sottospazio nullo. Chiusura rispetto all addizione di vettori e alla moltiplicazione per scalari. Spazio nullo o nucleo di una matrice. Intersezione di sottospazi. Somma di sottoinsiemi. Somma di sottospazi. Somma diretta di sottospazi. 9

10 Saper fare Elencare ed identificare gli assiomi di spazio vettoriale. Conoscere gli esempi fondamentali di spazi vettoriali (vettori fisici, n-uple, matrici, funzioni a valori scalari, polinomi) con le relative operazioni. Identificare negli esempi concreti il vettore nullo e l opposto di ciascun vettore. Verificare se un sottoinsieme di uno spazio vettoriale è o non è un sottospazio. Calcolare lo spazio nullo di una matrice. Riconoscere se uno spazio vettoriale è somma diretta di suoi sottospazi. Vero o Falso? Uno spazio vettoriale può avere più di un vettore nullo. L opposto di un vettore in uno spazio vettoriale V è unico. Se v è un vettore di uno spazio vettoriale V e a, b sono scalari tali che av = bv, allora a = b. In ogni spazio vettoriale ax = ay implica che x = y. Se v e w sono vettori di uno spazio vettoriale V, allora ( v)+( w) è l opposto di v + w. L insieme dei numeri interi Z con le operazioni usuali di addizione e moltiplicazione è uno spazio vettoriale. L insieme 0, 1} R è uno spazio vettoriale con le operazioni usuali. L insieme x 2 x R} è uno spazio vettoriale con le operazioni usuali. In P(K) si possono sommare solo polinomi con lo stesso grado. Se p(x) e q(x) sono polinomi in P(K) di grado n, allora p(x) + q(x) ha grado n. Se p(x) è un polinomio di grado n in P(K) e c è uno scalare non nullo, allora cp(x) ha grado n. Uno scalare non nullo è un polinomio in P(K) di grado zero. Due funzioni f e g in F(X, K) sono uguali se e solo se assumono lo stesso valore in ogni elemento di x. Sia V = R 2. Le operazioni (a 1, a 2 ) + (b 1, b 2 ) = (a 1 + b 1, a 2 b 2 ) e c(a 1, a 2 ) = (ca 1, a 2 ) rendono V uno spazio vettoriale su R. Sia V = R 2. Le operazioni (a 1, a 2 ) + (b 1, b 2 ) = (a 1 +2b 1, a 2 +3b 2 ) e c(a 1, a 2 ) = (ca 1, ca 2 ) rendono V uno spazio vettoriale su R L insieme vuoto è un sottospazio di ogni spazio vettoriale. Se V è uno spazio vettoriale diverso dallo spazio vettoriale nullo, allora V contiene un sottospazio W tale che W V. L intersezione di due sottoinsiemi di uno spazio vettoriale V è un sottospazio di V. Le soluzioni di un qualunque sistema lineare di m equazioni in n incognite a coefficienti nel campo K formano un sottospazio di K n. I punti di R 2 che stanno sulla retta di equazione y = mx + q formano un sottospazio se e solo se q = 0. L insieme S delle matrici ( ) a a + 1, a R 0 b è un sottospazio di M 2 (R). L inseme delle matrici 2 2 con determinante uguale a zero è un sottospazio di M 2 (R). L insieme S = (x, y) R 2 xy 0} è un sottospazio di R 2. Se m < n lo spazio vettoriale R m è un sottospazio di R n. Un sottoinsieme S di uno spazio vettoriale V chiuso rispetto alla moltiplicazione per scalari contiene il vettore nullo. Sia V = R 3 e sia W 1 = (x, y, z) R 3 z = 0}, W 2 = (x, y, z) R 3 y = 0}, W 3 = (x, y, z) R 3 x = 0}. Allora V = W 1 W 2 W 3. L unione insiemistica di due sottospazi di uno spazio vettoriale V è un sottospazio di V. L intersezione di due sottospazi di uno spazio vettoriale è il sottospazio nullo. 10

11 Esercizi Esercizio Sia R >0 l insieme dei numeri reali positivi. Definiamo su R >0 le seguenti operazioni x y = xy c x = x c Determinare se con queste operazioni R >0 è uno spazio vettoriale. Esercizio Sull insieme M 2 (R) definire l addizione A B = AB e usare la solita moltiplicazione per scalari. Determinare quale degli assiomi di spazio vettoriale sono soddisfatti da M 2 (R) con queste nuove operazioni. Esercizio Determinare se W è un sottospazio di V. 1. V = R 3, W = (u, v, u ) u, v R}. 2. V = M 2 (R), W = A = (a ij ) a 22 = 2a 11, a 12 = a 21 }. 3. V = F(R, R), W = f f( x) = f(x)}. 4. V = P 2 (R), W = a + bx + cx 2 abc = 0}. 5. V = R 3, W = (x, y, z) x 2 + y 2 + z 2 1}. 6. V = P(R), W = a 0 + a 1 x a n x n, a i = 0 per i dispari }. Esercizio Sia V = C 0 ([0, 1]) lo spazio vettoriale delle funzioni continue nell intervallo [0, 1]. Determinare se W = f V 1 è un sottospazio di V. Esercizio Si considerino i seguenti sottoinsiemi di R 3 0 } f(t) dt = 0 W 1 = (x, y, z) R 3 x = 3y, z = y}, W 2 = (x, y, z) R 3 2x 7y + z = 0}, W 3 = (x, y, z) R 3 x 4y z = 0}. Quale dei tre insiemi è un sottospazio di R 3? Determinare W 1 W 2, W 1 W 3 e W 2 W 3. Esercizio Sia V = M n (K). Sia W 1 = A = (a ij ) V a ij = 0 quando i j} e W 2 l insieme delle matrici simmetriche. Far vedere che W 1 e W 2 sono sottospazi di V e dimostrare che V = W 1 W 2. 11