f(xy) = f(x + y) ( f(x) + f(y) ) Problema 6 (WC15-5). Siano a, b, c reali positivi tali che ab + bc + ca = 1. Dimostrare che c + 6 3a 1

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1 Problema (WC5-). Siano a, b e c reali positivi tali che a 3 + b 3 + c 3 = a 4 + b 4 + c 4. vale: a a 2 + b 4 + c 4 + b a 4 + b 2 + c 4 + c a 4 + b 4 + c 2 Problema 2 (WC5-2old). Determinare tutte le funzioni f : R R tali che (x + y)(f(x) f(y)) = (x y)f(x + y) per ogni x, y R. Problema 3 (WC5-2new). Determinare tutte le funzioni f : R R tali che f(x f(y)) = f( x) + (f(y) 2x)f( y) per ogni x, y R. Problema 4 (WC5-3). Dato il polinomio p(x) = x 2 + 4x 4, consideriamo la successione definita per ricorrenza, a() = e n a(n) = p(n k)a(k), n 2 k= Si determini il più piccolo α R tale che a(n) 205α n per ogni n. Problema 5 (WC5-4). Trovare tutte le funzioni f dai razionali positivi ai reali positivi tali che per ogni x, y Q con x, y > 0, si abbia f(xy) = f(x + y) ( f(x) + f(y) ) Problema 6 (WC5-5). Siano a, b, c reali positivi tali che ab + bc + ca = a + 6 3b + 4 b + 6 3c + 4 c + 6 3a abc e dire quando vale l uguaglianza. Problema 7 (WC5-6). Siano a, b, c reali positivi. ( a) 2 + ( b) 2 + ( c) abc a2 + b 2 + c 2.

2 2 Problema 8 (WC5-M). Consideriamo l insieme S dei polinomi P (x) a coefficienti reali tali che {(x, y) R 2 : y 2 P (x) 2 x } = {(x, y) R 2 : x 2 P (y) 2 y }. Determinare i possibili valori di P (0) al variare di P (x) in S. Problema 9 (WC4-). Siano a, b e c reali positivi tali che a + b + c = ab + bc + ca. vale la seguente disuguaglianza e dire quando si ha l uguaglianza. a 2 + b + + b 2 + c + + c 2 + a +. Problema 0 (WC4-2). Determinare tutte le funzioni surgettive da (0, ) in s tali che per ogni x > 0 si abbia, xf(x) + f(x)f(f(x)) = 2xf(f(x)). Problema (WC4-3). Determinare A e B tali che per ogni scelta di x, y e z reali positivi si abbia, A 4x + y x + 4y + 4y + z y + 4z + 4z + x z + 4x B. Dire se per entrambe le disuguaglianze possa valere l uguaglianza. Problema 2 (WC4-4). per tutte le terne positive a, b, c che soddisfano abc =, si ha, cyc a(a + ) + ab(ab + ) 3 4. Problema 3 (WC4-5). Determinare tutte le funzioni f : R R tali che, per ogni x, y R, f(xf(y)) + y + f(x) = f(x + f(y)) + yf(x). Problema 4 (WC4-6). per ogni scelta di a, b, c, d non negativi si ha (ab) 3 + (cd) 3 [(a + c + b) (a + c + d)] 3.

3 Problema 5 (WC4-M). Sia n 2 un numero intero, e siano a,..., a n numeri reali qualunque. Siano (u 0, u,..., u n ) e (v 0, v,..., v n ) due (n+ )-uple tali che u 0 = u = v 0 = v =, u k+ = u k + a k u k per ogni k =,..., n, v k+ = v k + a n k v k per ogni k =,..., n. u n = v n. Problema 6 (WC4-M2)., per ogni intero positivo n, il polinomio p(x) = (x 2 8x + 25)(x 2 6x + 00)... (x 2 8nx + 25n 2 ) + è irriducibile in Z[x]. Problema 7 (WC4-M3). Determinare tutte le funzioni f : R R tali che f(x + y) + y f(f(f(x))) per ogni coppia di numeri reali x e y. Problema 8 (WC3-). Determinare tutti i polinomi p(x) per i quali esiste una costante reale a tale che valga l identità seguente p(x + x 2 + x 4 ) = ( + x + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 ) p(ax). Problema 9 (WC3-2). Sia f una funzione da Z in sé tale che per ogni coppia di interi x, y si abbia f è limitata. f(f(x) y) = f(y) f(f(x)) Problema 20 (WC3-3). Dato n 4, siano x, x 2,..., x n numeri reali tali che x + x x n n e x 2 + x x 2 n n 2 max(x, x 2,..., x n ) 2. 3

4 4 Problema 2 (WC3-4). I numeri reali positivi x, y e z soddisfano xyz + xy + yz + zx = x + y + z +. ( ) ( ) + x x + + y 2 + z + y + 2 5/8 x + y + z. + z 3 Problema 22 (WC3-5). se a, b e c sono le lunghezze dei lati di un triangolo acutangolo e R è il raggio della circonferenza circoscritta, allora a 4 + b 4 + c 4 a 3 + b 3 + c 3 3R Problema 23 (WC3-6). Per ogni intero n 3, si determini l insieme dei valori assunti dall espressione x + x x n + x n x 2 x 3 x n x al variare delle n-uple di reali x, x 2,..., x n che soddisfano x k x k+ per ogni k n. Si determini anche quando vengono assunti i valori estremali. Problema 24 (WC3-7). Determinare tutti gli α reali tali che esiste una e una sola funzione dai reali in sé che soddisfi per ogni x e y. f(x 2 + y + f(y)) = f(x) 2 + αy Problema 25 (WC3-8). Sia p(x) un polinomio monico a coefficienti reali di grado n 2. Supponiamo che per qualche k intero positivo, (x ) k+ divida p(x). la somma dei valori assoluti dei coefficienti di p(x) è strettamente maggiore di 2 + 2k2 n. Problema 26 (WC2-). Determinare tutte le funzioni f : R R tali che f(f(x y)) = f(x)f(y) f(x) + f(y) xy per ogni coppia di numeri reali x e y.

5 5 Problema 27 (WC2-2). + a 2 + b + c b2 + c + a c2 + a + b 2 2 per ogni terna (a, b, c) di numeri reali maggiori di. Problema 28 (WC2-3). Sia n 2 un numero intero, e siano x,..., x n numeri reali positivi tali che ( (x x n ) ) ( n + 2. x x n 2) max {x,..., x n } 4 min {x,..., x n }. Problema 29 (WC2-4). x + y 20 + z + 2 y + z 20 + x + 2 z + x 20 + y 2 per ogni terna (x, y, z) di numeri reali positivi tali che xyz =. Problema 30 (WC2-5). ( ) (ab + bc + ca) (a + b) + 2 (b + c) (c + a) 2 4 per ogni terna (a, b, c) di numeri reali non negativi. Problema 3 (WC2-6). ( (a + b)(b + c)(c + d)(d + a) abcd) 6abcd( + a)( + b)( + c)( + d) per ogni quaterna (a, b, c, d) di numeri reali positivi. Problema 32 (WC2-7). Determinare tutte le funzioni f : R R tali che per ogni coppia di numeri reali x e y. f(xf(y) + f(x)) = 2f(x) + xy

6 6 Problema 33 (WC2-8). Sia x un numero reale positivo, e siano a e b due numeri interi relativamente primi.., se x a + x a e x b + x b sono entrambi razionali, allora x n + x n è razionale per ogni n intero. 2., se x a + x a e x b + x b sono entrambi interi, allora x n + x n è intero per ogni n intero. Problema 34 (WC-). Per ogni polinomio p(x) = a n x n +a n x n + + a x + a 0 a coefficienti interi definiamo p(x) = max 0 i n a i.. Determinare se esistono due polinomi p(x) e q(x) a coefficienti interi tali che p(x) 20, q(x) 20, p(x)q(x) =. 2. Determinare se esiste un polinomio p(x) a coefficienti interi tale che (x 2 3x + )p(x) =. Problema 35 (WC-2). Sia a n la successione definita per ricorrenza da a n+ = a 2 n a n +, a = 2. Determinare il più piccolo numero reale L tale che per ogni intero positivo k. k i= a i < L Problema 36 (WC-3). Determinare, per ogni intero n 2, la più grande costante C n tale che a a 2 n n ( ) 2 a a n + C n (a a n ) 2 n per ogni n-upla di numeri reali positivi a,..., a n.

7 7 Problema 37 (WC-4). 4 (a2 + b 2 )(a 2 ab + b 2 ) 2 cyc 2 a 2 3 cyc cyc a + b per ogni terna (a, b, c) di numeri reali positivi. Problema 38 (WC-5). a 5 (b + 2c) + 2 b 5 (c + 2a) + 2 c 5 (a + 2b) 2 3 per ogni terna (a, b, c) di numeri reali positivi tali che abc =. Problema 39 (WC-6). Siano a, b, c, d numeri reali tali che. a + b + c + d = 6 e a 2 + b 2 + c 2 + d 2 = (a 3 + b 3 + c 3 + d 3 ) (a 4 + b 4 + c 4 + d 4 ) la disuguaglianza di destra vale anche assumendo soltanto l uguaglianza di destra. Problema 40 (WC-7). Siano dati k punti del piano cartesiano (x i, y i ) (con i =,..., k) a 3 a 3 non allineati. Determinare, in funzione di k, il più piccolo intero positivo d con questa proprietà: comunque si scelgano k numeri reali positivi c,..., c k, esiste sempre un polinomio P (x, y) a coefficienti reali, di grado minore od uguale a d, tale che P (x i, y i ) = c i per ogni i =,..., k. Problema 4 (WC-8). Determinare tutte le funzioni f : R R tali che f(x + y) + f(x)f(y) = f(xy) + (y + )f(x) + (x + )f(y) per ogni coppia di numeri reali x e y. Problema 42 (WC0-). Per ogni intero positivo n, poniamo f(n) = n + max { m N : 2 2m n2 n}. Determinare l immagine della funzione f.

8 8 Problema 43 (WC0-2). Siano a, b, c numeri reali positivi tali che a + b + c a + b + c. a b + b c + c a ab + bc + ca. Problema 44 (WC0-3). Sia n > 3 un numero intero. Determinare la più grando costante a n e la più piccola costante b n tali che a n n i= x i x i + x i + x i+ b n, per ogni n-upla di numeri reali positivi (x,..., x n ). sommatoria gli indici sono pensati modulo n. Si intende che nella Problema 45 (WC0-4). Siano m ed n due numeri interi, con n > m 0. Siano I e J due insiemi di indici, con I = J = n e I J = m. Per ogni k I J sia u k un vettore dello spazio. Supponiamo che u i = u j =. i I k I J j I u k 2 2 m + n. Problema 46 (WC0-5). Siano a, b, c numeri reali positivi tali che 3 + a2 + b 2 a + b + b2 + c 2 b + c + ab + bc + ca abc. Problema 47 (WC0-6). c2 + a 2 c + a ( ) 2 a + b + b + c + c + a. a 2 + b 2 + c 2 3 (a 3 b + b 3 c + c 3 a) per ogni terna (a, b, c) di numeri reali positivi.

9 Problema 48 (WC0-7). Determinare tutte le funzioni f : (0, + ) (0, + ) tali che f(x + y z) + f(2 xz) + f(2 yz) = f(x + y + z) per ogni terna (x, y, z) di numeri reali positivi tali che x + y > z. Problema 49 (WC0-8). Sia n un intero positivo, e sia (ε,..., ε n ) {0, } n. Definiamo per ricorrenza i numeri a 0,..., a n e b 0,..., b n ponendo a 0 = b 0 =, a = b = 7, e successivamente, per ogni i =,..., n, 9 a i+ = b i+ = { 2ai + 3a i se ε i = 0, 3a i + a i se ε i =, { 2bi + 3b i se ε n i = 0, 3b i + b i se ε n i =. a n = b n. Problema 50 (WC09-). Siano x, y, z numeri reali positivi tali che x + y + z = 3. x 3 y y3 z z3 x (xy + yz + zx). 27 Problema 5 (WC09-2). Siano a, a 2,..., a n numeri reali positivi tali che a a a 2 a 2... a + a a n <. a n a n n n+ a + a a n (a + a a n ). Problema 52 (WC09-3). Determinare il massimo valore possibile per la somma ciclica a a 2 + a 2 a a 2008 a a 2009 a, dove gli a i sono numeri reali tali che 0 a i per ogni i =,..., 2009.

10 0 Problema 53 (WC09-4). (x 2 + 2)(y 2 + 2)(z 2 + 2) 3(x + y + z) 2 per ogni terna (x, y, z) di numeri reali. Problema 54 (WC09-5). Siano x, y, z numeri reali positivi tali che x + y + z =. x 2 + yz 2x2 (y + z) + y2 + zx 2y2 (z + x) + z2 + xy 2z2 (x + y). Problema 55 (WC09-6). Determinare la più piccola costante C tale che x x 2 x 3 x n + + x 2 x x 3 x n x n x x 2 x n + C per ogni n-upla (x,..., x n ) [0, ] n. Problema 56 (WC09-7). Determinare tutte le funzioni f : (0, + ) R tali che f() = 2000; f(x) x ; si ha che f ( x + y + x + ) ( = f x + ) ( + f y + ) y y x per ogni coppia di numeri reali positivi x e y. Problema 57 (WC09-8). Determinare tutti i polinomi P (x) a coefficienti interi tali che, per ogni coppia (a, b) di numeri interi positivi tali che a + b è un quadrato perfetto, anche P (a) + P (b) è un quadrato perfetto. [Se serve, si può utilizzare senza dimostrazione il seguente lemma: se P (x) è un polinomio a coefficienti interi tale che P (n) è un quadrato perfetto per ogni intero n, allora P (x) = [Q(x)] 2 per un opportuno polinomio Q(x) a coefficienti interi]

11 Problema 58 (WC08-). Siano a, b, c numeri reali positivi. ( + a ) ( + b ) ( + c ) ( 2 + a + b + c ) b c a 3. abc Problema 59 (WC08-2). Determinare la più grande costante k tale che a2 + b 2 + c 2 + d 2 + e 2 k ( a + b + c + d + e ) 2 per ogni quintupla di numeri reali positivi a, b, c, d, e tali che a+b = c+d+e. Problema 60 (WC08-3). Sia m un intero positivo, e sia a n la successione definita per ricorrenza da a 0 = m 2, a n+ = a n a n, dove a n indica il più piccolo intero maggiore od uguale di a n.. Determinare tutti gli interi m per cui il primo intero che compare nella successione è a Determinare tutti gli interi m per cui nessun numero intero compare nella successione. Problema 6 (WC08-4). Siano a, b, c tre numeri reali positivi distinti. a + b a b + b + c b c + c + a c a >. Problema 62 (WC08-5). Siano a, b, c numeri reali positivi. a 3 + abc b + c + b3 + abc c + a + c3 + abc a + b a 2 + b 2 + c 2. Problema 63 (WC08-6). Siano a,..., a n una n-upla di numeri reali, e sia I {,..., n}. ( ) 2 a i ( j ) 2 a k. i I i j n k=i Determinare tutti i casi in cui si ha uguaglianza.

12 2 Problema 64 (WC08-7). Sia p(x) un polinomio monico a coefficienti interi di grado pari tale che p(n) è un quadrato perfetto per infiniti valori interi di n. p(x) è il quadrato di un polinomio a coefficienti interi. Problema 65 (WC08-8). Determinare tutte le funzioni f : (0, + ) (0, + ) tali che f(x + f(y)) = f(x + y) + f(y) per ogni coppia di numeri reali positivi x e y. Problema 66 (WC07-). + a a + + b b + + c ( b c 2 a + c b + a ) c per ogni terna di numeri reali positivi a, b, c tali che a + b + c =. Problema 67 (WC07-2). Sia n 3, e siano a,..., a n e b,..., b n numeri reali positivi tali che n a i =, i= n b 2 i =. i= Dimostare che a (b + a 2 ) + a 2 (b 2 + a 3 ) a n (b n + a n ) + a n (b n + a ) <. Problema 68 (WC07-3)., comunque si scelgano numeri reali x,...,x n, si ha che x + x 2 x x 2 + x 2 2 x n x x 2 n < n. Problema 69 (PI4-). Determinare tutte le funzioni f : [0, ) [0, ) tali che f(x + y z) + f(2 xz) + f(2 yz) = f(x + y + z) per ogni scelta di x, y, z 0 tali che x + y z. Problema 70 (PI4-2). Sia n un intero positivo.

13 . non esistono polinomi p(x) a coefficienti reali di grado n tali che p(i) = 2 i per ogni i = 0,,..., n, n+ e p(n+2) = 2 n+2 n esiste un unico polinomio p(x) a coefficienti reali che soddisfa n + 2 delle n + 3 condizioni imposte al punto precedente. Problema 7 (PI4-3). per ogni scelta dei reali non negativi x, y, z si ha che 3 x + y + z 3 3 xyz 2 3 max { ( y z) 2, ( z x) 2, ( x y) 2} Problema 72 (PI4-4). Consideriamo dei reali a, a 2, a 3, a 4, a 5 che soddisfano le seguenti equazioni, a k a 2 k a 3 k a 4 k a 5 k = k 2 per k =, 2, 3, 4, 5. Quanto vale a 37 + a a a a 5? (Scrivere il risultato sotto forma 4 di frazione.) Problema 73 (PI4-5). Determinare il minimo valore della seguente espressione a a 3 (b + c) al variare di a, b, c reali positivi tali che abc =. cyc Problema 74 (PI4-6). Determinare tutte le funzioni reali tali che per ogni coppia di reali x, y. f(f(x) + y) = f(f(x) y) + 4f(x)y, Problema 75 (PI4-7). Fissati tre numeri reali a, b, c tali che a + b + c = 0, determinare il massimo valore di ax + by + cz al variare dei reali x, y, z che rispettano il vincolo x 2 +y 2 +z 2 xy yz zx = 3.

14 4 Problema 76 (PI4-8). esiste un unica funzione f dagli interi positivi in sé tale che f() = f(2) = e f(n) = f(f(n )) + f(n f(n )), per n 3 Determinare il valore di f(2 m ) per ogni intero m 2. Problema 77 (PI3-). Determinare per quali n interi positivi la seguente equazione ha esattamente 203 soluzioni reali positive x + n = 2 x n 2. Ovviamente y denota la parte intera di y. Problema 78 (PI3-2). Per ogni n 2 intero, siano a n, b n e c n gli unici numeri interi tali che ( 3 2 ) n = an + b n c n 3 4. Si dimostri che c n (mod 3) se e solo se n 2 (mod 3). Problema 79 (PI3-3). per ogni terna a, b, c 0 per cui a + b + c = 3, si ha 3(a 4 + b 4 + c 4 ) (a 2 + b 2 + c 2 ). Problema 80 (PI3-4). Sia p(x) un polinomio a coefficienti reali di grado 2n tale che p(k) = k per k = ±, ±2,..., ±n. Quanto vale p(0)? Problema 8 (PI3-5). Dato N intero positivo e a (0, ), trovare la costante C(a, N) ottimale affinché per ogni scelta di n interi distinti k, k 2,..., k n si abbia ( n N n a i) k C(a, N) a Nk i. i= Problema 82 (PI3-6). Determinare tutte le funzioni f : R R che soddisfano l equazione per ogni coppia di reali x, y. i= f(x + yf(x)) = f(f(x)) + xf(y).

15 Problema 83 (PI3-7). Determinare il più piccolo numero reale M tale che la disuguaglianza ab ( a 2 b 2) + bc ( b 2 c 2) + ca ( c 2 a 2) M ( a 2 + b 2 + c 2) 2 valga per tutte le scelte di a, b e c reali. Problema 84 (PI3-8). Determinare tutti i polinomi a coefficienti interi p(x) tali che per ogni coppia di interi positivi a e b la cui somma è un quadrato perfetto, pure p(a) + p(b) è un quadrato perfetto. Problema 85 (PI2-). Determinare tutte le soluzioni reali del seguente sistema x + y + z = 0 x 3 + y 3 + z 3 = 8 x 7 + y 7 + z 7 = 2058 Problema 86 (PI2-2). Determinare il più grande reale k tale che a b + 2c + d + per ogni a, b, c, d > 0 b c + 2d + a + c d + 2a + b + d a + 2b + c k Problema 87 (PI2-3). Determinare tutti i polinomi reali f e g tali che per ogni x reale. (x 2 + x + ) f(x 2 x + ) = (x 2 x + ) g(x 2 + x + ), Problema 88 (PI2-4). Sia f una funzione dagli interi positivi in sé tale che f() = e f(n) = n f(f(n )) n 2. f(n + f(n)) = n per ogni intero positivo n. Problema 89 (PI2-5). Determinare tutte le funzioni f dai reali in sé tali che f(f(x + y)) = f(x + y) + f(x)f(y) xy; per ogni x, y reali. 5

16 6 Problema 90 (PI2-6). Sia n 2 e a, a 2,..., a n a + a a n =. reali positivi tali che a 2 a 3 a n a + n 2 + a a 3 a n a 2 + n a a 2 a n a n + n 2 (n ) 2. Problema 9 (PI2-7). Determinare tutte le soluzioni di con a, b, c, d, e [ 2, 2]. a + b + c + d + e = 0 a 3 + b 3 + c 3 + d 3 + e 3 = 0 a 5 + b 5 + c 5 + d 5 + e 5 = 0 Problema 92 (PI2-8). Sia n un intero positivo. esistono n reali a, a 2,..., a n nell intervallo (0, ) tali che la seguente condizione è soddisfatta per ogni i =, 2,..., n: se un polinomio p i (x) di grado n + si annulla in 0,, a, a 2,..., a i, a i+,..., a n, allora max x [0,] p i (x) = p i (a i ). Problema 93 (PI-). Siano a, b, c, d numeri reali positivi tali che a + b + c + d =. 4a + 3b + c + 4b + 3c + d + 4c + 3d + a + 4d + 3a + b 2. Problema 94 (PI-2). Sia x un numero reale positivo. Determinare, in funzione di x, il più piccolo numero naturale n per cui esistono n numeri reali nell intervallo aperto (, ) tali che la loro somma sia nulla e la somma dei loro quadrati sia uguale a x. Problema 95 (PI-3). Sia P (x) un polinomio di grado d tale che per ogni intero n con 0 n d. Determinare P (d + ). ( d + P (n) = n )

17 Problema 96 (PI-4). Siano a, b, c, d numeri reali qualsiasi. Determinare tutte le soluzioni (x, y, z, t) del seguente sistema x 2 yz zt ty = a, y 2 zt tx xz = b, z 2 tx xy yt = c, t 2 xy yz zx = d. Problema 97 (PI-5). Trovare tutte le fuzioni f : R R tali che f(x + y)f(x y) = (f(x) + f(y)) 2 4x 2 f(y) per ogni coppia di numeri reali x e y. Problema 98 (PI-6). Per ogni intero n 3 determinare il massimo valore che può assumere il prodotto di n numeri reali non negativi x, x 2,..., x n soggetti al vincolo x + x + x 2 + x x n + x n =. Problema 99 (PI-7). Determinare tutte le funzioni surgettive f : R R tali che f(x + f(x) + 2f(y)) = f(2x) + f(2y). per ogni coppia di numeri reali x e y. Problema 00 (PI-8). x 2 (y + ) + y 2 (z + ) + z 2 (x + ) 3 4(x + y + z) per ogni terna di numeri reali positivi x, y, z tali che xyz = 3(x + y + z). Problema 0 (PI0-). Sia n un intero positivo, e siano a, a 2,..., a n numeri reali positivi il cui prodotto è uguale ad. Poniamo S = a + a a n. a 2 S + a + a 2 2 S + a a 2 n S + a n. 7

18 8 Problema 02 (PI0-2). Determinare tutti i valori positivi del parametro α per cui si ha che x α + y α + z α + w α x + y + z + w per ogni quaterna di numeri reali positivi (x, y, z, w) tali che xyzw =. Problema 03 (PI0-3). Determinare tutte le funzioni f : R R tali che f(x 3 ) + f(y 3 ) = (x + y) ( f(x 2 ) + f(y 2 ) f(xy) ) per ogni coppia di numeri reali x e y. Problema 04 (PI0-4). Sia {a n } una successione di numeri reali positivi (debolmente) decrescente. Supponiamo che esista una costante reale M tale che a 0 + a a n M n N. la successione non è limitata superiormente. b n = a n+ a n Problema 05 (PI0-5). Siano a, b, c numeri reali positivi tali che a+b+c = 3. a + 3 3a + bc + b + 3 3b + ca + c + 3 3c + ab 3. Problema 06 (PI0-6). Sia p(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d un polinomio a coefficienti reali tale che min {d, b + d} > max { c, a + c }. p(x) non ha radici reali contenute nell intervallo [, ]. Problema 07 (PI0-7)., per ogni funzione f : (0, + ) (0, + ), esistono almeno due numeri reali x > 0 e y > 0 tali che f(x + y) < yf(f(x)).

19 Problema 08 (PI0-8). Sia n 2 un numero intero, e siano a, a 2,..., a n numeri reali positivi. a i a j n a i + a j 2(a + a a n ) a i a j. i<j Problema 09 (PI09-). Sia n 2 un intero, e sia i<j 9 p(x) = a n x n + a n x n a x + a 0 un polinomio a coefficienti interi. Supponiamo che a 0 sia un numero primo, e a 0 > a a n. p(x) è irriducibile tra i polinomi a coefficienti interi (cioè non è possibile scrivere p(x) come prodotto di due polinomi a coefficienti interi di grado minore di n). Problema 0 (PI09-2). Determinare tutte le funzioni f : Q + Z tali che i. f ( x) = f(x), ii. (x + )f(x ) = xf(x), per tutti gli x >. Problema (PI09-3). Siano x x 2 x n reali tali che x + x x n = 0. x 2 + x x 2 n + nx x n 0. Problema 2 (PI09-4). Consideriamo a, a 2, a 3, a 4, a 5 reali che soddisfano le seguenti equazioni a k a 2 k a 3 k a 4 k a 5 k = per k =, 2, 3, 4, 5. k2 Quanto vale a frazione.) + a 2 + a 3 + a 4 + a ? (Scrivere il risultato sotto forma di

20 20 Problema 3 (PI09-5). Trova tutti i polinomi f a coefficienti interi tali che, per ogni primo p e ogni coppia di numeri naturali u, v tali che p uv valga p f(u)f(v). Problema 4 (PI09-6). Trovare tutte le funzioni u : R R per cui esiste f : R R strettamente monotona tale che: f(x + y) = f(x)u(y) + f(y) Problema 5 (PI09-7). Si dimostri che per tutti gli a, b, c, d 0 vale (ab) /3 + (cd) /3 ((a + c + b) (a + c + d)) /3 Problema 6 (PI09-8). Siano a, b, c, d reali positivi tali che abcd = e a + b + c + d > a + b + c + d. Si dimostri che b c d a a + b + c + d < b a + c b + d c + a d. Problema 7 (PI08-). Determinare tutte le funzioni iniettive f : N N tali che f(f(n)) n + f(n) 2 per ogni n N. Problema 8 (PI08-2). Trovare tutti i polinomi p(x) a coefficienti reali tali che p( x 2 ) = p(x) p(x ). Problema 9 (PI08-3). Siano a, b, c numeri reali positivi tali che (a + b)(b + c)(c + a) = 8. a + b + c 3 27 a3 + b 3 + c 3. 3 Problema 20 (PI08-4). Siano m, n interi positivi con m dispari. Dimostrare che m ( ) 2m (2n ) k 2 m n 2k è un numero intero. k=0

21 2 Problema 2 (PI08-5). Siano a, b, c numeri reali positivi tali che a + b + + b + c + + c + a +. a + b + c ab + bc + ca. Problema 22 (PI08-6). Sia n un intero positivo.. non esistono polinomi p(x) a coefficienti reali di grado n tali che p(i) = 2 i per ogni i = 0,,..., n, n+ e p(n+2) = 2 n+2 n esiste un unico polinomio p(x) a coefficienti reali che soddisfa n + 2 delle n + 3 condizioni imposte al punto precedente. Problema 23 (PI08-7). Determinare tutte le funzioni f : (0, + ) (0, + ) tali che f(x)f(y) = 2008 f(x + yf(x)) per ogni coppia di numeri reali positivi x e y. Problema 24 (PI08-8). Sia n un intero positivo. Determinare più grande costante k n tale che ) 2 n x i i=( + x 2 i ) k n ( n i= per ogni n-upla di numeri reali x,..., x n. Problema 25 (PI07-). 3 numeri reali positivi x, y, z soddisfano l uguaglianza x(y z) y + z + y(z x) z + x + z(x y) x + y = 0 se e solo se almeno 2 di essi sono uguali tra di loro. Problema 26 (PI07-2). Sia n un numero intero. Determinare tutte le n-uple ordinate (a,..., a n ) di numeri interi tali che. a a n n 2 ; 2. a a 2 n n

22 22 Problema 27 (PI07-3). Siano a, b, c numeri reali positivi tali che a+b+c =. a 2 b + b2 c + c2 a 3(a2 + b 2 + c 2 ). Problema 28 (PI07-4). Determinare tutte le funzioni f : Q Q tali che f(x + f(y)) = f(x) + y + 7 per ogni coppia di numeri razionali x e y. Problema 29 (PI07-5). Sia p(x) un polinomio di terzo grado a coefficienti complessi. Supponiamo che esistono infinite coppie di interi x, y tali che xp(x) = yp(y).. p(x) ha almeno una radice intera; 2. la somma delle radici di p(x) è un intero pari. Problema 30 (PI07-6). Siano a, b, c numeri reali positivi tali che a 2, b 2, c 2 sono le lunghezze dei lati di un triangolo. (a + b + c)(a 2 + b 2 + c 2 )(a 3 + b 3 + c 3 ) > 4(a 6 + b 6 + c 6 ) + 2a 2 b 2 c 2. Problema 3 (PI07-7). Sia n 2 un numero intero e siano (a,..., a n ) e (b,..., b n ) due n-uple di numeri reali tali che n a 2 i =, i= n b 2 i =, i= n a i b i = 0. i= ( n ) 2 ( n ) 2 a i + b i n. i= i= Problema 32 (PI07-8). Determinare tutte le coppie di funzioni f : R R e g : R R tali che

23 23. per ogni coppia di numeri reali x e y si ha che 2. f(0) + g(0) = 0. f(x g(y + )) + y = x f(y) + f(x + g(y)); Problema 33 (PI06-). Siano p e q interi positivi, e sia P (x) = (x + ) p (x 3) q = x n + a x n + a 2 x n a n x + a n. Determinare tutte le coppie (p, q) di interi positivi per cui si ha che a = a 2. Problema 34 (PI06-2). Sia P (x) il polinomio di grado n tale che P (k) = /k per k =, 2,..., n +. Determinare P (n + 2). Problema 35 (PI06-3). Siano x, y, z numeri reali non negativi tali che x + y + z =. Determinare il massimo valore possibile per ciascuna delle seguenti espressioni x 2 y, x 2 y. sym cyc Problema 36 (PI06-4). Siano a, b, c numeri reali positivi tali che. a + b + c a + b + c. a + b + c 3 abc. 2. Determinare se necessariamente si ha che abc. Problema 37 (PI06-5). Siano a, b, c le lunghezze dei lati di un triangolo, e siano m a, m b, m c le lunghezze delle relative mediane. ( a + b + c ) 2 (a + b + c)2 4 m a m b m c a 2 + b 2 + c. 2

24 24 Problema 38 (PI06-6). Siano x, x 2,..., x n numeri reali positivi < x + x + x 2 + x x n x x 2 x n Problema 39 (PI06-7). Determinare tutte le quaterne di interi (a, b, m, n), con m > n >, per cui il polinomio x n +ax+b divide il polinomio x m +ax+b. Problema 40 (PI06-8). Determinare tutte le funzioni f : R R tali che f(x + y) + f(x)f(y) = f(xy) + 2xy + per ogni coppia di numeri reali x e y.