MATEMATICA E STATISTICA CORSO A SCIENZE BIOLOGICHE MOLECOLARI ESERCIZI PER LA PRIMA PROVA IN ITINERE DI RECUPERO ARGOMENTO: PERCENTUALI 1-Se in un anno in una popolazione i nuovi nati sono l 1,2% della popolazione e i morti l 1,7% della popolazione, di quanto è cresciuta o calata percentualmente la popolazione in un anno? RISPOSTA: 1,2%-1,7% =-0,5%, la popolazione è calata dello 0,5% in un anno. 2-I prezzi in un supermercato vengono aumentati dell 1,2% il lunedi. Il venerdi della stessa settimana i prezzi vengono abbassati dell 1,7%. Di quanto sono aumentati o diminuiti i prezzi rispetto alla settimana precedente? RISPOSTA:Se p 0 è il prezzo iniziale, il lunedi il prezzo aumentato diventa p 1 = p 0 + 1,2%p 0 ; il venerdi il prezzo p 1 viene ribassato dell 1,7%, diventando p 2 = p 1 1,7%p 1 = p 0 + 1,2%p 0 1,7%( p 0 + 1,2%p 0 )= p 0 + 1,2%p 0 1,7% p 0 1,7%1,2%p 0 = p 0 0,5%p 0 1,7%1,2% p 0 ; perciò rispetto al prezzo iniziale si ha una diminuzione complessiva di 0,5% + (1,7%)(1,2%). Questo spiega il differente risultato rispetto all es1. (vd. domanda es3) 3-I dati degli esercizi precedenti sembrano uguali. I risultati sono diversi. Perché? 4-In commercio si possono acquistare due soluzioni A e B del medesimo soluto nel medesimo solvente a diversa concentrazione. La soluzione di tipo A è al 7% mentre la soluzione del tipo B è al 50%. In quali proporzioni vanno miscelate le due soluzioni, se si vuole ottenere una terza soluzione C, concentrata al 15%? Avvertenza: Per definizione, la concentrazione di una soluzione è data dal rapporto: Quantità del soluto/ Quantità della soluzione RISPOSTA:k7% +(1-k)50%=15%, da cui k=35/43, quindi il rapporto tra la I e la II soluzione è 35/8 5-Si dispone di 1,9 kg di soluzione (di un certo soluto in un certo solvente concentrata al 45%. Calcolate la quantità di solvente che si deve aggiungere per ottenere una nuova soluzione, concentrata al 25%. RISPOSTA: Indicando con x il soluto, si ha x/1,9 =45/100, da cui la quantità di soluto x=0,855 kg; aggiungiamo y solvente in modo che 0,855/(1,9 + y)= 25/100, da cui y=1,52 kg 6-Si dispone di 2,3 kg di soluzione ( di un certo soluto in un certo solvente) concentrata al 42%. Calcolare la quantità di solvente che si deve
aggiungere alla soluzione per ottenere una nuova soluzione, concentrata al 28%. RISPOSTA:(vedi es.prec.) la quantità di solvente da aggiungere è 1,15 kg 7-Per preparare della frutta sciroppata ho predisposto 600g di sciroppo al 20%. Poi leggo sul ricettario che lo sciroppo deve essere preparato al 30%. Quanto zucchero devo aggiungere? RISPOSTA: Dalla relazione x/600 = 20/100 si ricava che la quantità di zucchero iniziale è x= 120 g; aggiungiamo z di zucchero per arrivare al 30%, si ha (z+120)/(600+z) = 30/100 da cui z=600/7 86 g 8- Il giorno 10/08/07 al distributore di benzina vicino casa di Paolo il costo della benzina era di 1,310 euro/litro. a) il 25/08/07 lo stesso distributore forniva benzina al prezzo di 1,290 euro/litro, di quanto era calato percentualmente il prezzo? b) il 9/11/07, allo stesso distributore, Paolo registrò un aumento del 4,5% del prezzo rilevato il 10/08/07; quanto costava la benzina? SOLUZIONI:a) 1,310 p%1,310 = 1,290, da cui p=1-1,290/1,310 1,5%; b) 1,310 + 4,5%1,310 =1,36895 euro/litro 9- Il peso alla nascita di Paolo risultò 3,350 Kg. a) dopo una settimana Paolo pesava 3,180 Kg, di quanto era calato percentualmente il peso? b) a un mese dalla nascita il peso di Paolo aumentò del 20% rispetto al peso iniziale, quanto pesava Paolo? SOLUZIONI: a) 3,350-3,180 = 0,170 da cui 0,170/3,350 5%, il peso è calato del 5%; b) 3,350 + 3,350(20/100) 4 kg. 10-Il giorno 7 gennaio Francesca riscontrò un aumento di peso del 10% rispetto al suo peso prima delle vacanze di Natale. Dopo un mese di dieta il peso di Francesca diminuì del 10% rispetto al peso del 7 gennaio. Il peso di Francesca è aumentato, diminuito o rimasto costante rispetto al suo peso prima delle vacanze? Perché? SOLUZIONE: Sia p 0 il peso di Francesca prima delle vacanze, il 7 gennaio il suo peso divenne p 1 = p 0 + 10% p 0 ; dopo un mese di dieta il peso divenne p 2 = p 1 10% p 1 = (p 0 + 10% p 0 ) - 10%( p 0 + 10% p 0 )= p 0 (10%)(10%) p 0, dunque il peso di Francesca è diminuito di circa l 1% rispetto al peso prima delle vacanze.
11- Un corso universitario è frequentato da 150 studenti. Alla prima sessione di esami si presentano tutti gli studenti del corso e ne viene promosso il 60%. Alla seconda sessione si presentano tutti gli studenti che non erano stati promossi alla precedente sessione, e ne viene promosso il 40%. Alla terza sessione si presentano tutti gli studenti che non erano stati promossi alle due sessioni precedenti, e ne viene promosso il 30%. Calcolare la percentruale complessiva degli studenti che risultano promossi al termine delle tre sessioni. SOLUZIONE: 60%150= 90 numero di studenti promossi alla prima sessione; gli studenti che si presentano alla seconda sessione sono 60 di questi viene promosso il 40%, dunque 40%60= 24 numero studenti promossi alla seconda sessione; alla terza sessione si presentano 36 studenti di questi viene promosso il 30%, dunque 30%36 =10.8; totale promossi 90+24+10.8 = 124.8, da cui 124.8/150 =0,832 viene promosso l 83,2% ARGOMENTO: PROPAGAZIONE DEGLI ERRORI 1- Per due grandezze x ed y sono note le seguenti limitazioni 3.25<x<5.74 1.14<y<2.78 Quali limitazioni si hanno per x-y? RISPOSTA: -2.78<-y<-1.14, da cui 3.25-2.78<x-y<5.74-1.14, dunque 0.47<x-y<4.6 2- Tre grandezze a, b, c sono legate tra loro dalla relazione 1 a - 1 b = 1 c Sapendo che 0,16< a < 0,20 e che 0,25 < b < 0,40 cosa si può dire del valore di c? RISPOSTA:100/20<1/a<100/16, dunque 5<1/a<6.25; 100/40<1/b<100/25, dunque 2.5<1/b<4, per cui 4<-1/b<-2.5, perciò 5-4<1/a-1/b<6.25-2.5, quindi 1<1/c<3.75, ed infine 100/375<c<1 4/15<c<1 3- Sapendo che 89 < x < 91, 8 < y< 10 determinare valore stimato, errore assoluto ed errore relativo di y/x. RISPOSTA: x=90 ± 1, y=9±1, sebbene l errore relativo di y sia leggermente superiore a 1/10, approssimiamo comunque il valore stimato al rapporto dei valori stimati quindi 9/90 =1/10 = 0.1; l errore relativo di y/x è dato dalla somma degli errori relativi 1/90 +1/9 =11/90; l errore assoluto è circa (1/10)(11/90) 1,2%
4- Misurando in modo approssimato due quantità x ed y si ottengono i seguenti valori: 2.98 < x < 3.02 e 1.95 < y < 2.05 Calcolare il valore stimato e l errore assoluto del prodotto xy. RISPOSTA: Si ha x=3±0.02, y=2±0.05, il valore stimato di xy è 6, l errore relativo è dato dalla somma degli errori relativi 2/300 + 5/200 =19/600, dunque l errore assoluto di xy è 6(19/600) =19/100 5-Quattro grandezze a, b, c, d sono legate tra loro dalla relazione (1-a)(1-b)=(1-c)(1-d) Sapendo che 0.50<a<0.55 0.70<b<0.75 0.9<c<0.95 Cosa si può dire del valore di d? SOLUZIONE: dalla relazione assegnata sappiamo che d=1 [(1-a)(1-b)]/(1-c) -0.55<-a<-0.50, dunque 0.45<1-a< 0.50-0.75<-b<-0.70, dunque 0.25 <1-b< 0.30-0.95<-c<-0.9, dunque 0.05<1-c<0.1, da cui 10<1/(1-c)<20 Perciò ( 0.45)(0.25)10 <[(1-a)(1-b)]/(1-c)< (0.50)(0.30)20, vale a dire 1.125<[(1-a)(1-b)]/(1-c)<3, quindi 3< -[(1-a)(1-b)]/(1-c)<-1.125, ed infine 1-3<d<1-1.125, dunque 2<d<0.125. 6- E noto che i lati di un rettangolo misurano, in cm, rispettivamente x=6±0.03 ed y=8±0.02. Calcolare valore assoluto, errore relativo ed errore assoluto dell area del rettangolo. SOLUZIONE: Valore stimato area: 48; errore relativo area 3/600 + 2/800 =3/400; errore assoluto area 48(3/400)=36/100 =36% 7- E noto che i lati di un parallelepipedo, a base quadrata, misurano, in cm, rispettivamente x=6±0.03,lato della base, ed y=8±0.02, altezza parallelepipedo. Calcolare valore assoluto, errore relativo ed errore assoluto della superficie e del volume del parallelepipedo. SOLUZIONI:La superficie S del parallelepipedo è data da S= 4xy + 2 x 2 Il valore stimato di S è dunque 4(6)(8) + 2(6)(6) =192 + 72 =264 cm 2 ; errore relativo di S = 4(3/600 + 2/800) +2(2(3/600))= 3/100 +2/100= 5/100; errore assoluto di S= 264(5/100)=13.2 cm 2 ; il volume V del parallelepipedo è dato da V= x 2 y, il valore stimato di V è dunque (6)(6)(8)=288 cm 3 ; l errore relativo di V è dato da 2(3/600) + 2/800 = 1/100+1/400= 5/400 =1/80; l errore assoluto di V è 288(1/80) =3.6 cm 3.
8-In un triangolo è noto che il lato b misura 6±0.03 cm, l area misura 24 ± 0.18 cm 2, calcolare valore stimato, errore relativo ed errore assoluto dell altezza del triangolo relativa al lato b. SOLUZIONE: Poiché l area del rettangolo è A=bh/2, si ha che h=2a/b, dunque il valore stimato di h è 48/6 = 8 cm, l errore relativo è 3/600 + 2(18/2400) = 1/200 + 3/200 = 4/200= 2/100=0.02; l errore assoluto è 8(0.02) = 0.16 cm