Note introduttive Il software econometrico Easy Reg è scaricabile gratuitamente da internet (http://econ.la.psu.edu/~hbierens/easyreg.htm) Per importare i dati in Easy Reg bisogna: 1. Cambiare le impostazioni internazionali del computer, in particolare bisogna utilizzare come separatore decimale il punto e non la virgola. 2. trasformare i dati dal formato.xls al formato.csv Per importare i dati in Easy Reg bisogna seguire il percorso: File Choose an input file Choose an excel file in CSV format Alla fine chiede di creare una cartella che chiamerà EASYREG.DAT dove andrà ad inserire dei file (output, input e grafici). Esercizio 1 Utilizzando i dati del file ELECTRIC.XLS su 123 compagnie in USA nel 1970, analizzare i costi di produzione nell industria dell elettricità. Le variabili presenti nel file sono: Costi di produzioni (misurati in milioni di dollari per anno) Output (misurato in migliaia di kwh per anno) Prezzo del lavoro (misurato in dollari per lavoratore per anno) Prezzo del capitale (misurato in dollari per unità di capitale per anno) Prezzo del carburante (misurato in dollari per milione) Utilizzando il modello di regressione lineare analizzare il costo di produzione nell industria dell elettricità e commentare i risultati. Se alcune variabili risultano non essere statisticamente significative al livello di significatività del 5%, provate ad ometterle variabili ed a ripetere l esercizio. Risoluzione Per stimare il modello cross-section (notare che la dimensione temporale è fissa, cioè l unico anno è il 1970, mentre ciò che varia è la dimensione spaziale), dopo aver importato i dati del file ELETTRIC.csv, si segue il seguente percorso: serviranno per la stima del modello (variabili dipendenti e indipendenti, in questo caso Cost, Output, Price Lab., Price K., Price Fuel) In questo esercizio rispondere no alla domanda Do you want to use a subset of observations? Continue selezionare la variabile dipendente (Cost) e i regressori (Output, Price Lab., Price K., Price Fuel). Otteniamo le seguenti stime: X(1) = Output X(2) = Price Lab. X(3) = Price K. X(4) = Price Fuel 1
X(5) = 1 Esercitazione di econometria Parametro Stima P-Value b(1) 0.00473 [0.00000] b(2) 0.00363 [0.00059] b(3) 0.28008 [0.03054] b(4) 0.78346 [0.00000] b(5) -70.49511 [0.00000] R-square 0.943799 Adjusted R-square 0.941894 I p-value dei coefficienti dei regressori e dell intercetta sono tutti inferiori a 0.05, pertanto possiamo concludere sono significativamente diversi da zero al livello di significatività del 5%. Esercizio 2 Considerare il file CASE.csv con informazioni sui prezzi delle case e stimare il seguente modello: Prezzo = 1 + 2 D1 + 3 D2 + e D1 = la casa ha aria condizionata D1 =1 non ce l ha D1 = 0 D2 = la casa ha una stanza di ricreazione D2 = 1 non ce l ha D2=0 Queste dummy implicitamente classificano le case disponili nel data set in 4 gruppi a seconda delle varie combinazioni Ancora stimare il seguente modello Prezzo = 1 + 2 D1 + 3 D2+ 4 X1 + 5 X2 +e X1 = grandezza del lotto X2 = numero delle stanze da letto Discutere la significatività delle variabili e delle varie combinazioni Risoluzione Per stimare il primo modello cross-section dell esercizio, dopo aver importato i dati del file CASE.csv, si segue lo stesso percorso dell esercizio precedente: serviranno per la stima del modello (variabili dipendenti e indipendenti, in questo caso Sale Price, Air Cond, Rec Room) rispondere no alla domanda Do you want to use a subset of observations? Continue selezionare la variabile dipendente (Sale Prices), i regressori (Air Cond, Rec Room). Le stime del primo modello sono di seguito riportate: Dependent variable: Y = sale price X(1) = air cond X(2) = rec room X(3) = 1 2
Parametro Stima P-Value b(1) 24454.7772 [0.00000] b(2) 13728.6484 [0.00000] b(3) 57934.1331 [0.00000] R-square 0.243489 Adjusted R-square 0.240702 Esercitazione di econometria Dalle stime si può notare che le variabili dummy Air cond e Rec room sono significative (tutti i p-value sono pari a 0) ma l R-square è basso. Stimiamo il secondo modello cross-section dell esercizio: serviranno per la stima del modello (variabili dipendenti e indipendenti, in questo caso Sale Price, Air Cond, Rec Room, Lot size, #bedroom) rispondere no alla domanda Do you want to use a subset of observations? Continue selezionare la variabile dipendente (Sale Prices), i regressori (Air Cond, Rec Room, Lot size, #bedroom). Le stime del primo modello sono di seguito riportate: Dependent variable: Y = sale price X(1) = air cond X(2) = rec room X(3) = lot size X(4) = #bedroom X(5) = 1 Model: Y = b(1)x(1) +...+ b(5)x(5) + U Parametro Stima P-Value b(1) 17443.9306 [0.00000] b(2) 9485.86779 [0.00002] b(3) 5.07648 [0.00000] b(4) 8840.09654 [0.00000] b(5) 8551.35961 [0.02206] R-square 0.482869 Adjusted R-square 0.479046 Le variabili esplicative del modello sono tutte significative (i p-values sono tutti inferiori a 0.05). Inoltre, rispetto al modello precedente, l (Adjusted) R-square è più alto e di conseguenza il fit del modello è migliore. 3
Esercizio 3 Il file FOREST.XLS contiene dati sulle seguenti variabili: Deforestazione Densità di popolazione Percentuale di crescita delle terre coltivate Percentuale di crescita delle terre dedicate al pascolo permanenti. Utilizzando il modello di regressione lineare analizzare la relazione fra deforestazione e densità di popolazione. Aggiungere successivamente le altre due variabili su indicate e commentare i risultati della regressione multipla. Create poi una variabile dummy uguale ad uno quando il fattore di crescita delle terre dedicate al pascolo permanenti è positiva ed uguale a zero quando la crescita è nulla (o negativa). Inserite la suddetta dummy nel modello e commentatene i risultati. Risoluzione Stimiamo il primo modello richiesto dall esercizio: Forest loss = 1 + 2 Pop Dens + e Le stime del modello sono riportate nella tabella che segue: Dependent variable: Y = Forest loss X(1) = Pop dens X(2) = 1 Modello: Y = b(1)x(1) + b(2)x(2) + U, Parametro Stima P-Value b(1) 0.00084 [0.00000] b(2) 0.59996 [0.00000] R-square 0.434479 Adjusted R-square 0.426162 Il secondo modello richiesto dall esercizio è: Forest loss = 1 + 2 Pop Dens + 3 Crop Ch + 4 Pasture Ch + e Le stime del modello sono riportate nella tabella che segue: Dependent variable: Y = Forest loss X(1) = Pop dens X(2) = Crop ch X(3) = Pasture ch X(4) = 1 4
Parametro Stima P-Value b(1) 0.00081 [0.00000] b(2) -0.00397 [0.69717] b(3) 0.02797 [0.00518] b(4) 0.56567 [0.00002] R-square 0.495245 Adjusted R-square 0.472302 Esercitazione di econometria Nel primo modello la variabile densità della popolazione è significativa. Nel secondo modello invece tutte le variabili sono significative tranne che Percentuale di crescita delle terre coltivate (Crop ch). Notare che il fit del secondo modello è migliore, infatti l Adjusted R-square è più alto nel secondo modello. Dopo aver costruito la dummy 1, cioè una variabile uguale ad uno quando il fattore di crescita delle terre dedicate al pascolo permanenti è positiva ed uguale a zero quando la crescita è nulla (o negativa), la inseriamo nel modello ottenendo i seguenti risultati: Dependent variable: Y = Forest loss X(1) = Pop dens X(2) = Crop ch X(3) = Pasture ch X(4) = I[Pasture ch>0] X(5) = 1 Parametro Stima P-Value b(1) 0.0008 [0.00000] b(2) -0.00363 [0.72587] b(3) 0.03112 [0.02940] b(4) -0.08217 [0.75572] b(5) 0.57928 [0.00004] R-square 0.495996 Adjusted R-square 0.46498 La variabile dummy non è significativa. Questo significa che la crescita positiva delle terre dedicate al pascolo permanente non spiega in maniera statisticamente significativa la variabile deforestazione. 1 La variabile dummy si può costruire direttamente in Easy Reg, seguendo il percorso Menù Input Transform Variables Dummy=I(x>a) ecc 5
Esercizi sui test di restrizioni lineari Esercizio 1 Considerare il file INV.csv con dati sulla funzione di investimento e stimare il seguente modello Investimenti = 1 + 2 t + 3 real GNP + 4 interest rate + 5 inflation rate + Dove t è il time trend. Testare la veridicità delle seguenti ipotesi di restrizioni lineari: 1. unica restrizione 4 + 5 = 0 (gli investitori sono interessati solo a variazioni del tasso di interesse reale) 2. J=3 restrizioni: 2 =0 (no trend); 3 = 1 (propensione marginale ad investire = 1), 4 + 5 = 0 (gli investitori si adeguano a movimenti del tasso di interesse reale) Risoluzione punto 1 Il primo passo, prima di fare un test sulle restrizioni lineari, è stimare il modello. In Easy Reg, dopo aver importato i dati del file INV.csv, si segue il seguente percorso: serviranno per la stima del modello (var. dipend. e indip.) In questo esercizio rispondere no alla domanda Do you want to use a subset of observations? Continue selezionare la variabile dipendente (Real Investment), i regressori (Real GNP, Interest Rate, inflation rate) Inserire il Trend Stimando il modello otteniamo le seguenti stime: Dependent variable: Y = Real Investment X(1) = Real GNP X(2) = Interest rate X(3) = Inflation Rate X(4) = t (1968 = 1) X(5) = 1 Model: Y = b(1)x(1) +...+ b(5)x(5) + U, 6
Parametro Stima P-Value b(1) 0.67048 [0.00000] b(2) -0.00244 [0.04100] b(3) 0.00006 [0.96179] b(4) -0.01659 [0.00000] b(5) -0.50921 [0.00000] R-square 0.973476 Adjusted R-square 0.962867 Esercitazione di econometria Dopo aver ottenuto l output che contiene le stime per effettuare il test di restrizioni lineari, bisogna seguire il seguente percorso: Continue Options Wald test of Linear Parameters Restictions Selezionare i parametri su cui deve essere effettuato il test sulle restrizioni lineari, cioè i parametri che si riferiscono alle variabili Interest Rate e Inflation rate Test linear restrictions Inserire i valori dei coefficienti dei parametri della restrizione lineare e cioè 0 1 1 OK No more restrictions Il risultato del test è il seguente 2 : Wald test: b(1) 0.67048 12.454 24.189 b(2) -0.00244-2.044-2.606(*) b(3) 0.00006 0.048 0.062(*) b(4) -0.01659-8.595-14.611 b(5) -0.50921-9.435-18.332 Null hypothesis: 1.a(2)+1.a(3) = 0. where the a()'s are the parameters indicated by (*) Null hypothesis in matrix form: Rb = c, where R = 0. 1. 1. 0. 0. and c = 0. Wald test on the basis of the standard variance matrix: Wald test statistic: 3.27 Asymptotic null distribution: Chi-square(1) p-value = 0.07043 Significance levels: 10% 5% Critical values: 2.71 3.84 Conclusions: reject accept Wald test on the basis of White's heteroskedasticity consistent variance matrix: 2 Si riporta in corsivo il risultato che fornisce Easy Reg (può servire per controllare se i risultati sono gli stessi!) 7
Wald test statistic: 4.97 Asymptotic null distribution: Chi-square(1) p-value = 0.02581 Significance levels: 10% 5% Critical values: 2.71 3.84 Conclusions: reject reject Quindi l ipotesi che gli investitori sono interessati solo a variazioni del tasso di interesse reale non può essere rifiutata al livello di significatività del 5%. Risoluzione punto 2 Terminato il primo test si può seguire il seguente percorso per effettuare un alto test: More tests Selezionare i parametri su cui deve essere effettuato il test sulle restrizioni lineari, cioè i parametri che si riferiscono alle variabili real gnp, Interest Rate e Inflation rate, trend Test linear restrictions Inserire i valori dei coefficienti dei parametri della 1^ restrizione lineare e cioè 0 0 0 0 1 Inserire i valori dei coefficienti dei parametri della 2^ restrizione lineare e cioè 1 1 0 0 0 Inserire i valori dei coefficienti dei parametri della 2^ restrizione lineare e cioè 0 0 1 1 0 3 No more restrictions I risultati del test sono i seguenti: Wald test: b(1) 0.67048 12.454 24.189(*) b(2) -0.00244-2.044-2.606(*) b(3) 0.00006 0.048 0.062(*) b(4) -0.01659-8.595-14.611(*) b(5) -0.50921-9.435-18.332 Null hypothesis: 0.a(1)+0.a(2)+0.a(3)+1.a(4) = 0. 1.a(1)+0.a(2)+0.a(3)+0.a(4) = 1. 0.a(1)+1.a(2)+1.a(3)+0.a(4) = 0. where the a()'s are the parameters indicated by (*) Null hypothesis in matrix form: Rb = c, where R = 0. 0. 0. 1. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 1. 0. 0. and c = 0. 1. 0. Wald test on the basis of the standard variance matrix: Wald test statistic: 3959.10 Asymptotic null distribution: Chi-square(3) p-value = 0.00000 3 L ordine dei coefficienti delle restrizioni lineari può variare a seconda dell ordine con cui si inseriscono le variabili. 8
Significance levels: 10% 5% Critical values: 6.25 7.81 Conclusions: reject reject Wald test on the basis of White's heteroskedasticity consistent variance matrix: Wald test statistic: 6037.60 Asymptotic null distribution: Chi-square(3) p-value = 0.00000 Significance levels: 10% 5% Critical values: 6.25 7.81 Conclusions: reject reject Esercitazione di econometria Concludendo, le tre restrizioni non vengono accettate congiuntamente. Esercizio 2 Il file TRANSP.XLS contiene dati sull industria dei trasporti di 25 stati americani sulle seguenti variabili: Value Added: valore aggiunto (misurato in milioni di dollari) Kapital: Capitale impiegato nella produzione Labour: Lavoro impiegato nella produzione. Utilizzare una funzione di produzione di tipo Cobb-Douglas, linearizzarla e, attraverso una regressione lineare, analizzare la produzione nell industria dei trasporti. Testare infine se l ipotesi di rendimenti costanti di scala è verificata. Risoluzione La funzione Cobb-Douglas è la seguente: b(1) b(2) Y = m* L * K Per linearizzare il modello e quindi per poter stimare un modello di regressione lineare dobbiamo effettuare la seguente trasformazione logaritmica: log( Y) = log m+ b(1) ilog( L) + b(2) ilog( K) In una funzione di produzione Cobb-Douglas, i rendimenti di scala sono costanti quando b(1) + b(2) = 1 Quindi si tratta di effettuare un test di restrizioni lineari (una sola restrizione in questo caso). Effettuando la stima del modello, si ottengono le seguenti stime OLS dei parametri: LN[Value Added] X(1) = LN[Capital] X(2) = LN[Labor] X(3) = 1 9
Parametro Stima P-Value b(1) 0.24543 [0.02163] b(2) 0.80518 [0.00000] b(3) 1.84442 [0.00000] R-square 0.973076 Adjusted R-square 0.970628 (N.B. Ricordarsi di trasformare prima le variabili in logaritmi!) A questo punto, dopo aver ottenuto l output (come per il punto precedente) Continue Options Wald test of Linear Parameters Restictions Selezionare i parametri su cui deve essere effettuato il test sulle restrizioni lineari, cioè i coefficienti b(1) e b(2) e Test linear restrictions Inserire i valori dei coefficienti dei parametri della restrizione lineare e cioè 1 1 1 OK No more restrictions Il test viene accettato al livello di significatività del 5%, cioè viene accettata l ipotesi di rendimenti di scala costanti in una funzione di produzione Cobb-Douglas. Il risultato è il seguente: Wald test on the basis of the standard variance matrix: Wald test statistic: 1.54 Asymptotic null distribution: Chi-square(1) p-value = 0.21451 Significance levels: 10% 5% Critical values: 2.71 3.84 Conclusions: accept accept Wald test on the basis of White's heteroskedasticity consistent variance matrix: Wald test statistic: 1.45 Asymptotic null distribution: Chi-square(1) p-value = 0.22805 Significance levels: 10% 5% Critical values: 2.71 3.84 Conclusions: accept accept 10
Esercizio sul test di cambiamento strutturale Considerare il file WAR.csv con dati sull occupazione in Korea in periodo di guerra (1947-1953) e di pace (1954-1962) e stimare il seguente modello Total employment = 1 + 2 t + 3 deflator + 4 GNP + 5 armed forced + (*) Testare la veridicità delle seguenti ipotesi: 1. I vettori dei coefficienti sono uguali nei due periodi 2. Le intercette sono diverse nei due periodi (facoltativo). Risoluzione punto 1 L ipotesi da testare è che nel 1953 ci sia stato un cambiamento (dovuto al passaggio dal un periodo di guerra ad un periodo di pace) che abbia modificato significativamente tutti i parametri del modello (*). Non è possibile effettuare la verifica dell ipotesi di cambiamento strutturale direttamente con Easy Reg. Tuttavia possiamo costruire la statistica test attraverso semplici calcoli e utilizzando alcune informazioni che ci fornisce Easy Reg quando si stimano i modelli. Ricordiamo che l ipotesi nulla del test di cambiamento strutturale è: H 0 : tutti i paramenti non risentono di un cambiamento strutturale nel passaggio da un periodo di guerra ad un periodo di pace, pertanto sono significativamente uguali nei due sottoperiodi. Il modello non vincolato (cioè quello in cui i paramenti sono liberi di variare nei due sottoperiodi) è 1 y X 1 1 0 u y 1 1 = + X += u y = X u (**) 2 0 2 2 2 2 Il modello vincolato invece è: y1 X 1 y = + u y = X (***) 2 2 dove X1 e X2 sono le matrici che contengono regressori nei due sottocampioni. La statistica test che si utilizza è la seguente, che si distribuisce come una F di Fisher con (J,n1+n2-2k) gradi di libertà. e*' e* eej ' F = ee ' ( n + n 2 k) 1 2 F J ; n1+n2-2k La statistica precedente si può facilmente calcolare perché: ( e *' e *) è la somma dei quadrati dei residui del modello vincolato (***) cioè il modello stimato sull intero campione (1947-1962); ( ee) ' è pari a ( e 1 ' e 1 + e 2 ' e 2 ), dove ( e 1 ' e 1 ) è la somma dei quadrati dei residui del modello stimato nel campione (1947-1953) e ( e 2 ' e 2 ) è la somma dei quadrati dei residui del modello stimato nel campione 1954-1962 (Modello **). 11
Per ottenere questi valori, si devono stimare i seguenti modelli: il modello completo (con l intero campione di dati) e due modelli separati nei due sottocampioni. 1. Per stimare il modello vincolato: serviranno per la stima del modello (var. dipend. e indip.) In questo esercizio rispondere no alla domanda Do you want to use a subset of observations? Continue selezionare la variabile dipendente (Total), i regressori (Deflator, GNP, Armed Forced) Inserire il Trend Dall output della stima ricavare RSS (Residual Sum of Squares), cioè ee(=5133389.212540) ' 2. Per stimare il modello non vincolato dobbiamo effettuare due stime: serviranno per la stima del modello (var. dipend. e indip.) In questo esercizio rispondere yes alla domanda Do you want to use a subset of observations? definire il limite superiore (upperbound) e il limite inferiore (lowerbound) dell intervallo dei dati (1947-1953) Continue selezionare la variabile dipendente (Total), i regressori (Deflator, GNP, Armed Forced) Inserire il Trend Dall output della stima ricavare RSS (Residual Sum of Squares), cioè e1' e 1 (= 508675.792709 ) serviranno per la stima del modello (var. dipend. e indip.) In questo esercizio rispondere yes alla domanda Do you want to use a subset of observations? definire il limite superiore (upperbound) e il limite inferiore (lowerbound) dell intervallo dei dati (1954-1962) Continue selezionare la variabile dipendente (Total), i regressori (Deflator, GNP, Armed Forced) Inserire il Trend Dall output della stima ricavare RSS (Residual Sum of Squares), cioè e2' e 2 (= 801552.469862 ) A questo punto possiamo calcolare la statistica test: F = (5133389.212540-508675.792709-801552.469862)/5 764632.1898 = = 2.334 (508675.792709 + 801552.469862)/(7+9-10) 327557.0656 Dalle tavole si ricava che F(5,6;0.05)=4.39 Poiché 2.334 < 4.39 l ipotesi nulla non può essere rifiutata. Deduciamo che non c è stato un cambiamento significativo dei parametri dopo il 1953, cioè il passaggio da un periodo di guerra ad un periodo di pace non ha fatto cambiare in maniera significativa la relazione tra le variabili del modello. 12
Risoluzione punto 2 Il punto 2 si svolge allo stesso modo del punto 1. Ciò che cambia è il modello completo (cioè il modello vincolato). Infatti in questo modello dobbiamo mantenere distinte le intercette, cioè dobbiamo inserire due variabili i 1 e i 4 2 con le seguenti caratteristiche: i1 deve avere valore 1 nell intervallo di dati 1947-1953 e valore 0 dopo il 1953 e i 2 deve avere valore 0 nell intervallo di dati 1947-1953 e valore 1 dopo il 1953 (Attenzione a non inserire l intercetta nel modello vincolato, altrimenti avremmo un problema di multicollinearità perfetta perché l intercetta= i 1 + i 2 ) Seguendo le stesse informazioni dell esercizio precedente, otteniamo il seguente valore di F: e*' e* eej ' F = ee ' ( n + n 2 k) 1 2 F J ; n1+n2-2k (3327218.81-508675.79-801552.46)/4 504247.64 F = = = 2.31 (508675.792710+ 801552.469855)/(7+9-10) 218371.4 Dalle tavole si ricava che F(4,6;0.05) = 4.53 2.31 < 4.53 l ipotesi nulla non può essere rifiutata. Deduciamo che non c è stato un cambiamento significativo dei parametri (esclusa l intercetta) dopo il 1953. 4 Come nel file warp3.csv 13