INSIEMI, APPLICAZIONI, RELAZIONI E PERMUTAZIONI

Capitolo INSIEMI, APPLICAZIONI, RELAZIONI E PERMUTAZIONI Gli argomenti presentati nei primi due paragrafi sono in larga parte già noti allo studente,dai corsi del primo anno Richiami sugli insiemi Il concetto di insieme èprimitivo Dire uninsiemeèunacollezionedioggetti èunatautologia [infatti cos è una collezione, se non un insieme di oggetti?] Diremo che un insieme A è assegnato quando è possibile stabilire se un oggetto x è elemento di A [e si scrive x A] ononèelementodi A [e si scrive x A] Esiste un solo insieme privo di elementi: è l insieme vuoto, denotato Assumiamo inoltre elementarmente noti gli insiemi numerici più importanti: N, Z, Q, R, C (cioè l insieme dei naturali, degli interi, dei razionali, dei reali e dei complessi Per descrivere un insieme A: - se ne possono scrivere gli elementi, elencandoli tra parentesi graffe e separandoli con virgole: ad esempio A = {a, b, c, } - si puòdescrivere(sempretraparentesigraffelaleggediappartenenzadeisuoielementi Atale scopo si fa uso di alcuni ben noti simboli logici, cioè: - quantificatori:,,!, [risp per ogni, esiste, esiste un unico, non esiste]; - implicazioni: =, =,, [risp implica, è implicato, equivale, non implica]; - congiunzioni:,,,,, [risp virgola (o separatore, e, oppure, non, tale che] La congiunzione non è talvolta indicata con / (invece di, mentre tale che èspessoindicata con : (invece di Ad esempio, l insieme P dei numeri naturali pari può essere descritto in questi modi: P = {0,, 4, 6, 8, }, oppure P = {n N n =x, x N}, oppure P = {n, n N} Definizione Siano A, B due insiemi A è detto sottoinsieme di B se a B, a A Si scrive in tal caso A B [oppure B A] e si dice che A ècontenutoin B [o che B contiene A] Si dice poi che A è contenuto propriamente in B o che B contiene propriamente A [e si scrive A B o B A] sea B ed b B b A Ogni insieme A ammette sempre i due sottoinsiemi, A,detti sottoinsiemi banali di A Gli altri (eventuali sottoinsiemi di A sono detti sottoinsiemi propri Definizione Due insiemi A, B sono detti uguali [e si scrive A = B] se hanno gli stessi elementi Si ha quindi: A = B A B e B A A, B sono detti diversi se non sono uguali [e si scrive A B] Osservazione (i Dalla definizione precedente segue, ad esempio, che {a, a} = {a} (ii Sia n N Se un insieme A èformatoda n elementi (a due a due distinti, si scrive A = n, [oppure #(A =n] e si dice che A ha cardinalità n In particolare, =0; viceversa,se A =0, allora A = Un insieme A èdettofinito se ha cardinalità n (per qualche n N; altrimenti èdettoinfinito Ad esempio N è un insieme infinito Torneremo sul concetto di cardinalità nelparagrafo3, per darne una definizione meno intuitiva

GCAMPANELLA APPUNTI DI ALGEBRA PER INFORMATICA (iii Sinoticheabbiamoutilizzatoilsimbolo = nonsolonelsensodelladef ma anche per definire un insieme In effetti, scrivendo P = {0,, 4, } abbiamo assegnato il nome P all insieme {0,, 4, } In tal caso èpiùcorrettosostituire = con :=, scrivendoquindi P := {0,, 4, } Analogamente, abbiamo usato la doppia implicazione anche per definire un concetto Ma in tal caso èpiùcorrettosostituirlacon : ovvero con def Ad esempio, avremmo dovuto scrivere (trattandosi di una definizione A = B def A B e B A Definizione 3 Sia X un insieme e siano A, B sottoinsiemi di X Sono definiti i seguenti insiemi: A B := {x X : x A e x B}, detto intersezione di A e B; A B := {x X : x A oppure x B}, detto unione di A e B; A B := {x X : x A e x B}, detto differenza di A con B; C X (A := X A = {x X : x A}, detto complementare di A in X Osservazione (i Valgono le seguenti ovvie inclusioni: A B A A B, A B B A B, A B A Inoltre A B = A C X (B e si verifica subito che A B A B, se B B A infine che A B = A A B = Si noti (ii L intersezione e l unione si generalizzano in questo modo: se {A i } i I èunafamigliadisottoinsiemi di X, A i := {x X : x A i, i I}, A i := {x X : x A i, i I} i I i I (iii Valgono le seguenti uguaglianze tra sottoinsiemi A, B, C di un insieme X [note come formule di De Morgan], la cui verifica è lasciata per esercizio: (A B C =(A C (B C; (A B C =(A C (B C; A (B C =(A B (A C; A (B C =(A B (A C Definizione 4 Due insiemi A, B sono detti disgiunti se A B = Vale il seguente risultato, noto come il Principio della somma, che per il momento accetteremo per vero [in quanto non abbiamo ancora una soddisfacente nozione di cardinalità] e che dimostreremo invece nel successivo paragrafo 3 Proposizione (Principio della somma Se A, B sono insiemi finiti disgiunti, risulta: A B = A + B Il Principio della somma si generalizza facilmente (procedendo per induzione, dal caso di due insiemi al caso di k insiemi Proposizione (Principio generalizzato della somma Se A,A,, A k sono insiemi finiti a due a due disgiunti, risulta: k A i = A + A + + A k i= Prima di dimostrare la Prop, richiamiamo brevemente il principio di induzione Principio di induzione Sia k 0 N e sia P = P(k un affermazione da dimostrare, dipendente dal naturale k, k N, k k 0 Se valgono le due seguenti condizioni: (i P(k 0 èvera, (ii P(n vera = P(n + vera [ n k 0 ], allora P(k èvera, k k 0

CAP RICHIAMI SUGLI INSIEMI 3 La (i è detta base induttiva, la (ii è detta passo induttivo, l ipotesi P(n vera [in (ii] èdetta ipotesi induttiva Si noti che il passo induttivo poteva anche essere formulato in questo modo: (ii P(n vera = P(n vera [ n>k 0 ] Dim (Prop Tale proposizione èdefinitapertuttiinaturali k [e dunque sia k 0 = ] La base induttiva è esattamente la Prop [che abbiamo assunto di aver già dimostrato] Dimostriamo quindi il passo induttivo: sia n econsideriamogliinsiemiadueaduedisgiuntia,a,, A n+ Per ipotesi induttiva: A A A n = A + + A n Idueinsiemi A A A n e A n+ sono disgiunti; dalla Prop segue che ( A A A n An+ = ( A + + A n + A n+, cioè A A A n A n+ = A + + A n + A n+ Dunque il passo induttivo è provato ed il principio d induzione ci consente di affermare che la proposizione è vera Dal principio della somma segue un importante risultato, utile nelle tecniche di conteggio: il Principio di inclusione - esclusione, cheenunceremoedimostreremonelcasoditreinsiemifiniti,mache può esserefacilmentegeneralizzatoalcasodiunnumerofinitodiinsiemi(finiti Proposizione (Principio di inclusione - esclusione Siano A, B, C tre insiemi finiti Risulta: A B C = A + B + C ( A B + A C + B C + A B C Dim Dimostriamo dapprima la seguente formula (che è il principio di inclusione - esclusione relativo a due soli insiemi: se A, B sono due insiemi finiti, si ha: ( A B = A + B A B Partiamo dalle due seguenti ovvie uguaglianze insiemistiche: A B =(A B B, A =(A B (A B Poiché (A B B = e (A B (A B =, possiamoapplicareilprincipiodellasomma: A B = A B + B, A = A B + A B Sostituendo la seconda uguaglianza nella prima si ottiene: el affermazione( ècosìprovata Siano ora A, B, C tre insiemi finiti arbitrari agli insiemi A, B Si ha: A B = A B + A + B Applichiamo ( prima agli insiemi A B, C epoi ( A B C = (A B C = A B + C (A B C = A + B A B + C (A B C Esaminiamo l ultimo addendo di tale sommatoria Utilizzando nuovamente ( : (A B C =(A C (B C In base alle formule di De Morgan, (A B C = A C + B C (A C (B C = A C + B C (A B C Sostituendo tale uguaglianza in ( si ottiene: cioè la formula cercata A B C = A + B A B + C A C B C + (A B C, NB Se invece di tre insiemi ne abbiamo ad esempio quattro, la cardinalitàdellalorounioneè ottenuta sommando le cardinalità deiquattrosottinsiemi,sottraendolecardinalitàdelleintersezioni di due di essi, sommando poi le cardinalità delleintersezioniditrediessiesottraendoinfinela

4 GCAMPANELLA APPUNTI DI ALGEBRA PER INFORMATICA cardinalità dell intersezionedeiquattroinsiemi [complessivamente 5 addendi] Dovrebbeoraessere chiaro come il principio di inclusione - esclusione si generalizzi al caso di un numero finito di insiemi Definizione 5 Sia X un insieme L insieme dei sottoinsiemi di X è detto insieme delle parti di X Èdenotato P(X Esempi Se ad esempio A = {}, P(A = {,A } Se B = {, }, P(B = {, {}, {}, B } Se infine C = {,, 3}, P(C = {, {}, {}, {3}, {, }, {, 3}, {, 3}, C } Si noti poi che P( ={ } ha cardinalità ; P ( P( = {, { } } ha cardinalità ; P (P ( P( = {, { }, {{ }}, {, { }} } ha cardinalità 4, ecc Nei precedenti esempi si può osservareche,se A = n, allora P(A = n Proviamo tale fatto Proposizione 3 Se A è un insieme finito di cardinalità n, P(A = n Dim Si procede per induzione su n 0 Base induttiva Se A =0, P(A = 0 [infatti se A =0, allora A = e P( = { } == 0 ] Passo induttivo Sia n 0e,perogniinsiemeB tale che B = n, sia P(B = n Èdaprovare che, per ogni insieme A tale che A = n +, risulta: P(A = n+ Si fissi un elemento a A In P(A consideriamoiduesottoinsiemi: = {B P(A :B a }, = {B P(A :B a } Ovviamente = P(A e = Dunque, per il principio della somma, P(A = + Ovviamente = { B A {a } } = P(A {a } Inoltre, per ogni B,risulta: B = B {a }, con B P(A {a } Gli insiemi B sono ovviamente quanti gli insiemi B Ne segue che ha la stessa cardinalità di P(A {a } Per ipotesi induttiva, P(A {a } = n Dunque P(A = + = n + n = n+ Introduciamo ora la nozione di partizione di un insieme, che avrà molta importanza nello studio delle relazioni di equivalenza [che vedremo nel paragrafo 3] Definizione 6 Sia X un insieme non vuoto e sia = {A i } i I una famiglia di suoi sottoinsiemi non vuoti èdettaricoprimento di X se A i = X èdettapartizione di X se èun ricoprimento di X ese A i A j =, se i j (cioè seisottoinsiemi A i i I sono a due a due disgiunti Esempi (i In N consideriamo i tre sottoinsiemi P =N := {n, n N}, 3N := {3n, n N}, +N = {+n, n N} { N, 3N } non èunricoprimentodi N [infatti ad esempio 5 N 3N] Invece { N, +N } è una partizione di N [la partizione dei pari e dei dispari ] (ii La famiglia = { {}, pn, p numero primo } èunricoprimentodi N [infatti, come ben noto, ogni naturale n ha un fattore primo p edunque n pn], ma non èunapartizionedi N [infatti p p p N p N, se p,p sono primi distinti] (iii Ogni insieme X ammette le due seguenti partizioni banali: = { {x}, x X }, = {X} Veniamo ora alla definizione di prodotto cartesiano di una famiglia finita di insiemi, cominciando dal caso di due insiemi Definizione 7 Dati due insiemi A, B, si chiama prodotto cartesiano di A e B l insieme

CAP RICHIAMI SUGLI INSIEMI 5 A B = { (a, b, a A, b B } L elemento (a, b A B èdettocoppia (ordinata formata da a, b rispettivamente primo e secondo fattore del prodotto cartesiano Gli insiemi A e B sono detti Osservazione 3 Le seguenti considerazioni sono pressoché ovvie [e la loro eventuale verifica è lasciata per esercizio] (i Èevidenteche (a, b (b, a, se a b [Si noti invece che {a, b} = {b, a}: le coppie sono ordinate, gli insiemi non lo sono] Inoltre: (a, b =(c, d a = c e b = d (ii Ovviamente A = B = (iii Risulta: Inoltre: A B = = A = oppure B = (A B (A C =A (B C, (iv Se A X e B Y,alloraA B X Y (A B (A C =A (B C esiha: C X Y (A B = ( C X (A Y ( X C Y (B (v Assegnati n insiemi A,A,, A n, si definisce loro prodotto cartesiano l insieme A A A n = { (a,a,, a n, a i A i } (vi Se A è un insieme e n, si scrive semplicemente A n in luogo di A A A Gli elementi } {{ } n fattori di A n vengono chiamati n-ple (di elementi di A [le -ple e le 3-ple vengono chiamate risp coppie e terne di elementi di A] Vale il seguente Principio del prodotto, la cui dimostrazione è una semplice conseguenza del Principio generalizzato della somma Proposizione 4 (Principio del prodotto Se A, B sono insiemi finiti, risulta: A B = A B Dim Siano A = m, B = n Posto A = {a,, a m },l insieme A B si può scriverecomeunione dei sottoinsiemi (a due a due disgiunti {a } B,, {a m } B In base al principio generalizzato della somma ed al fatto (evidente che {a i } B = B : A B = {a } B + + {a m } B = B + + B = m B = A B } {{ } m addendi Di tale principio esiste anche la forma generalizzata, facilmente dimostrabile per via induttiva [e la verifica è rinviata ad un esercizio del paragrafo 3] Proposizione 4 (Principio generalizzato del prodotto Sia k esiano A,A,, A k insiemi finiti Risulta: A A A k = A A A k Facendo uso del prodotto cartesiano, c è un semplice modo per disgiungere due insiemi non disgiunti Definizione 8 Dati due insiemi A, B, si chiama unione disgiunta di A e B l insieme A B := ( A {} ( B {} Ad esempio, se A = {a, b, c} e B = {c, d}, allora A B = { (a,, (b,, (c,, (c,, (d, }

6 GCAMPANELLA APPUNTI DI ALGEBRA PER INFORMATICA [mentre A B = {a, b, c, d}] Si noti che A {} e B {} sono in ogni caso disgiunti (indipendentemente da A e B Se in particolare A = m e B = n, ovviamente A B = m + n Nota Se A B =, A B viene spesso (ma impropriamente identificato con A B ESERCIZI PROPOSTI Sono assegnati tre insiemi A, B, C (i Verificare che A (B C =(A B (A C (ii Verificare che (A B C = A (B C (iii Verificare che (A B C A (B C e che tale inclusione puòesserepropria Sono assegnati tre insiemi A, B, C (i Verificare che (A B C =(A C (B C e che (A B C =(A C (B C (ii Verificare che A (B C =(A B (A C (iii Determinare un insieme T tale che A (B C =(A B T 3 Tra i numeri naturali compresi tra 00 e 999, contare quelli che hanno esattamente due cifre uguali tra loro 4 Trovare il numero dei naturali compresi tra 00 e 999 formati da cifre non nulle e a due a due distinte 5 Contare i naturali tra e 000 che non sono divisibili né per 4,né per 5,né per 6 6 Sia a R Dimostrare che, n : a n =(a (a n + a n + + a + 7 Determinare tutte le possibili partizioni di un insieme X di cardinalità 3

Richiami sulle applicazioni Cominciamo con una definizione tautologica di applicazione tra due insiemi Definizione Siano A, B due insiemi Un applicazione (o funzione f : A B è una legge che ad ogni elemento a A associa uno ed un solo elemento b B, cheèdettoimmagine di a ed è usualmente denotato f(a La tautologia di tale definizione sta nel fatto non abbiamo dato (né sipuòdare,senzaricorreread altri concetti non definiti una definizione matematica di legge Una definizione non tautologica di applicazione si potrebbe in effetti dare interpretando le applicazioni da A a B come particolari sottoinsiemi del prodotto cartesiano A B Ma, per non complicare la trattazione, converremo di assumere che anche il concetto di applicazione èprimitivo Non tutte le leggi sono comunque funzioni Siano infatti A = {a, b, c} e B = {,, 3, 4} due insiemi In base alla precedente definizione, le due seguenti leggi f, g non sono applicazioni a a b f : g : c 3 b 3 4 c 4 [infatti nella prima l elemento c non ha alcuna immagine, mentre nella seconda l elemento a ha due immagini] Invece è un applicazione ad esempio la seguente legge h: h : a b c Ovviamente due applicazioni f : A B, g : A B sono dette uguali [e si scrive f = g] se risulta f(a =g(a, a A Sono quindi diverse [e si scrive f g] se a A f(a g(a 3 4 Osservazione Descriviamo alcune applicazioni standard ( Applicazione identica Sia A un insieme È sempre definita l applicazione A : A A tale che A (a =a, a A L applicazione A èdettaapplicazione identica o identità di A ( Applicazione d inclusione Sia A A Èdefinital applicazione i : A A tale che i(a =a, a A i èdettaapplicazione canonica d inclusione (del sottoinsieme A di A in A (3 Restrizione di un applicazione Sia f : A B un applicazione e sia A A L applicazione èdettarestrizione di f ad A f A : A B tale che f A (a =f(a, a A (4 Funzione caratteristica di un sottoinsieme Sia A A L applicazione { 0, se a A χ A : A {0, } tale che χ A (a =, se a A a A,, èdettafunzione caratteristica di A in A (5 Proiezioni canoniche Siano A, B due insiemi ed A B il loro prodotto cartesiano Le due applicazioni p : A B A tale che p (a, b =a, p : A B B tale che p (a, b =b, (a, b A B,

8 GCAMPANELLA APPUNTI DI ALGEBRA PER INFORMATICA sono dette rispettivamente prima e seconda proiezione canonica [dal prodotto cartesiano A B rispettivamente ad A e a B] Definizione Siano f : A B e g : B C due applicazioni Si chiama composizione di f e g ovvero prodotto operatorio di f e g l applicazione g f : A C tale che (g f(a =g ( f(a, a A Osservazione (i Perchépossaesseredefinitalacomposizionediduefunzioniènecessario soltanto che l insieme di arrivo della prima funzione sia contenuto nell insieme di partenza della seconda (ii Date tre applicazioni f : A B, g : B C e h : C D, siverificafacilmentechevaleperil prodotto operatorio la proprietà associativa, cioè: h (g f =(h g f ( Infatti, a A: h (g f (a =h ( g(f(a = ( (h g f (a (iii Data f : A B, risulta: f A = f, B f = f Infatti, a A: (f A (a =f( A (a = f(a, ( B f(a = B (f(a = f(a { f : R R f(x =x, x R, (iv In generale, f g g f Ad esempio, posto g : R R g(x =x +, x R, (g f(x =x +, (f g(x =(x +, x R, edunque f g g f risulta: Definizione 3 Sia f : A B un applicazione f(a ={f(a, a A } Per ogni A A, l insieme èdettoimmagine di A tramite f In particolare, l insieme f(a èdettoimmagine di f ed è denotato Im f [ovvero Im(f] Per ogni b B, l insieme f (b ={a A f(a =b} èdettocontroimmagine di b tramite f Sono sinonimi di controimmagine: fibra, antiimmagine o preimmagine Piùgeneralmente,perogni B B, l insieme f (B ={a A f(a B } èdettocontroimmagine di B tramite f Ovviamente risulta f (Imf=f (B =A Si noti poi che, se A A A, alloraf(a f(a Imf; se B B B, alloraf (B f (B A Definizione 4 Sia f : A B un applicazione f èdettainiettiva se risulta, a,a A, f(a =f(a = a = a [ovvero se risulta: a a = f(a f(a, cioè se elementidistintidi A hanno immagini distinte (in B ] Invece f : A B èdettasuriettiva se b B, a A f(a =b [ovvero se Imf = B, cioè se ognielementodib è immagine di qualche elemento di A ] Infine f : A B èdettabiiettiva se è iniettiva e suriettiva In tal caso diciamo che A, B sono in biiezione o in corrispondenza biunivoca tramite f Tornando agli esempi di Osserv si verifica subito che l identità A : A A èsemprebiiettiva echel applicazioned inclusione i : A A èsempreiniettiva Inoltrelafunzionecaratteristica χ A : A {0, } èsuriettivase A A mentre le due proiezioni canoniche p,p sono sempre suriettive Si noti poi che ogni applicazione f : A B può esseresempre suriettivizzata : basta definire l applicazione f su : A Imf tale che f su (a =f(a, a A, detta suriettificazione di f Ovviamente f su èsuriettiva Inoltreogniapplicazione f : A B si fattorizza sempre nella forma f = i f su, con f su : A Imf (suriettiva e i : Imf B (iniettiva L applicazione h definita all inizio del paragrafo non èné iniettiva né suriettiva Relativamente poi alle due applicazioni f, g di Osserv(iv si verifica subito che g èbiiettivamentre f non èné

CAP RICHIAMI SULLE APPLICAZIONI 9 iniettiva né suriettiva Le due composizioni f g e g f non sono né iniettive né suriettive Osservazione 3 Sia f : A B un applicazione Ricordato che con la notazione X intendiamo la cardinalità di un insieme X, lasciamo per esercizio queste due semplici verifiche: ( f è iniettiva f (b, b B; ( f èsuriettiva f (b, b B Ne segue subito che: f èbiiettiva f (b =, b B Veniamo ora ad un importante caratterizzazione delle biiezioni Proposizione Sia f : A B un applicazione Risulta: f èbiiettiva g : B A tale che g f = A e f g = B Se tale g esiste, allora èunicaedèdettaapplicazione inversa di f, denotataf Dim (= Essendo f biiettiva, in base alla precedente osservazione: f(a =b Si definisce allora Risulta: g : B A tale che g(b =a, se f(a =b - a A : (g f(a =g(f(a = g(b =a = A (a, e dunque g f = A - b B : (f g(b =f(g(b = f(a =b = B (b, e dunque f g = B b B,! a A tale che ( = Assumiamo che esista g Verifichiamo che f è iniettiva Sia f(a =f(a Allora g(f(a = g(f(a, cioè A (a = A (a ovvero a = a Verifichiamo ora che f èsuriettiva Per ogni b B risulta: b = B (b =(f g(b =f(g(b e quindi b Imf Dunque Imf = B Ora verifichiamo l unicità di g Sia g : B A tale che g f = A e f g = B Si tratta di verificare che g = g Si ha, b B: b = B (b =(f g(b =(f g (b e dunque f(g(b = f(g (b Essendo f iniettiva, allora g(b =g (b, da cui g = g Si osserva subito che A èbiiettiva,coninversasestessa Sepoi f : A B èbiiettiva,anche f : B A lo è (ha inversa f Se infine f : A B e g : B C sono applicazioni biiettive, anche g f : A C èbiiettivaerisulta (g f = f g Infatti si verifica facilmente che (g f (f g = C e (f g (g f = A Osservazione 4 Si noti che con la stessa notazione f abbiamo denotato due oggetti diversi tra loro, su cui bisogna riflettere con attenzione f : B A denota la funzione inversa di un applicazione biiettiva f : A B; invece f (b o f (B sono insiemi, che denotano la controimmagine di un elemento b odiunsottoinsieme B di B, rispettoadunaqualsiasiapplicazione f : A B Quando f èbiiettivalacontroimmagine f (b èformatadaunsoloelemento(di A e quindi può essereidentificataconl immaginedell elemento b dell applicazione inversa f Definizione 5 Le applicazioni biiettive di un insieme finito non vuoto A in sévengonodisolito chiamate permutazioni di A Se A è un insieme formato da un solo elemento, c èun unicapermutazionedi A, edèl identità A Se invece A =, ad esempio A = {a, b} [con a b], le permutazioni di A sono esattamente, cioé { { a a a b A : f : b b, b a Se poi A =3, ad esempio A = {a, b, c} permutazioni di A sono 6, cioè [con a, b, c adueaduediversi], sipuò verificare che le

0 G CAMPANELLA APPUNTI DI ALGEBRA PER INFORMATICA a a a b a c A : b b f : b a f 3 : b b c c, c c, c a, a a a b a c f 4 : b c f 5 : b c f 6 : b a c b, c a, c b Dedicheremo allo studio delle permutazioni su un insieme finito l intero paragrafo 4 paragrafo ci occuperemo invece di due problemi di conteggio: - quante sono le applicazioni tra due insiemi finiti, - quanti sono i sottoinsiemi di una data cardinalità in un insieme finito Cominciamo con il primo problema, introducendo una notazione In questo Notazione Dati due insiemi A, B, con B A := { f : A B } denotiamo l insieme di tutte le possibili applicazioni da A a B Si noti in particolare che: - se B, B ha un solo elemento [cioè l inclusionecanonica i : B]; - se A, A = [in quanto manca l immagine di ogni elemento di A] Si noti infine che conviene considerare indeterminato [infatti contrastano tra loro due fatti: esiste l inclusione canonica i :, ma non esistono applicazioni prive di immagini] Si osservi che la strana notazione B A ègiustificatadallaproposizionechesegue Proposizione Siano A, B due insiemi finiti tali che A = m e B = n Allora B A = n m Dim Sia A = {a,, a m } Ogni applicazione f B A ècompletamenteindividuatadalla m-pla ( f(a,, f(a m B m Ogni elemento f(a i di tale m-pla può esseresceltoin n = B modi diversi [indipendentemente dalla scelta degli altri elementi della m-pla] In base al principio generalizzato del prodotto, si hanno complessivamente n n } {{ n } = n m possibili scelte per f Dunque B A = n m m Esempio Siano A = {, } e B = {a, b, c} Ogni f : A B ècompletamenteindividuata dalla coppia (f(, f( B B Gli elementi f(, f( possono essere scelti ciascuno in tre modi diversi Dunque B A è formato da 9 = 3 applicazioni, associate alle nove coppie: (a, a, (a, b, (a, c, (b, a, (b, b, (b, c, (c, a, (c, b, (c, c Si noti invece che A B èformatoda 8= 3 applicazioni, associate alle otto terne: (,,, (,,, (,,, (,,, (,,, (,,, (,,, (,, Proposizione 3 Siano A, B due insiemi finiti (i Se A > B, nonesistonoapplicazioniiniettivedaa a B (ii Se A < B, nonesistonoapplicazionisuriettivedaa a B (iii Se A = B, ogni applicazione iniettiva da A a B èanchesuriettivaeogniapplicazione suriettiva da A a B èancheiniettiva Dim Se A, B sono insiemi finiti, valgono i seguenti fatti, intuitivamente ovvi: se A B, A B ; se A B e A = B, alloraa = B Sia ora f : A B un applicazione [tra insiemi finiti] - Imf B [perché Imf B]; - Imf A [perché Imf = {f(a,, f(a m }, se A = {a,, a m }]; - f : A B è iniettiva Imf = A ; In base alle precedenti osservazioni, si ha:

- f : A B èsuriettiva Imf = B Si ha quindi: CAP RICHIAMI SULLE APPLICAZIONI (i Se f : A B è iniettiva, allora A = Imf B applicazioni iniettive da A a B (ii Se f : A B èsuriettiva, allora B = Imf A applicazioni suriettive da A a B Se quindi A > B, non esistono Se quindi A < B, non esistono (iii Sia A = B Si ha: f è iniettiva Imf = A Imf = B f è suriettiva Nota La precedente affermazione (i èunaformulazionedelcosiddettoprincipio dei cassetti (o Principio delle gabbie di piccioni: se m oggetti vanno messi in n cassetti e m>n, uncassetto deve contenere almeno due oggetti Proposizione 4 Siano A, B insiemi finiti (non vuoti, con A = m, B = n Sia m n Il numero delle applicazioni iniettive da A a B è n(n (n m + Dim Sia A = {a,, a m } e sia f : A B un applicazione iniettiva L elemento f(a puòessere scelto in B in n modi distinti Per ogni k =, m, risultachef(a k B { f(a,, f(a k } Dunque f(a k puòesseresceltoin n (k modi distinti In base al principio generalizzato del prodotto, le applicazioni iniettive da A a B sono n(n (n m + Corollario Siano A, B insiemi finiti (non vuoti, con la stessa cardinalità n Il numero delle applicazioni biettive da A a B è n(n Dim Segue dalla Prop 4 e dalla Prop 3(iii Definizione 6 Per ogni n N, n, il numero n(n èchiamato n fattoriale ed è denotato n! Si definisce poi 0! = In base al Cor, se A è un insieme finito con cardinalità n, le applicazioni biiettive di A in A [cioè le permutazioni di A] sono n! Dopo aver affrontato il problema di contare le applicazioni tra insiemi finiti, affrontiamo il problema di contare i sottoinsiemi di una data cardinalità di un insieme finito Introduciamo la seguente definizione Definizione 7 Sia A un insieme finito con n elementi Per ogni k N, tale che 0 k n, si chiama coefficiente binomiale di n su k il numero dei sottoinsiemi di A formati da k elementi Tale numero èdenotato ( n k Osservazione 5 Sia A = {a,a, a n } Allo scopo di ottenere una formula che calcoli funzione di n e k], premettiamo le seguenti elementari osservazioni: ( n 0 = [infatti èl unicosottoinsiemedi A con 0 elementi]; ( n k [in ( n n = [infatti A èl unicosottoinsiemedi A con n elementi]; ( n = n [infatti {a },, {a n } sono tutti e soli i sottoinsiemi di A con elemento]; ( n n = n [infatti A {a },, A {a n } sono tutti e soli i sottoinsiemi di A con n elementi] Proposizione 5 Per ogni n, k N, tali che k n, risulta: ( n ( k = n ( k + n k

G CAMPANELLA APPUNTI DI ALGEBRA PER INFORMATICA Dim Si fissi in A un arbitrario elemento a Per ogni sottoinsieme B di A formato da k elementi, si hanno due alternative: a B oppure a B Se a B, gli altri k elementi di B formano un insieme B di cardinalità n, contenuto in A {a } Dunque si hanno ( n k possibili sottoinsiemi B (e quindi B Se a B, i k elementi di B vanno scelti in A {a } Dunque si hanno ( n k possibili sottoinsiemi B Complessivamente i possibili sottoinsiemi B di A aventi cardinalità k sono ( ( n k + n k Osservazione 6 La proposizione precedente afferma che èpossibilecalcolare ( n k conoscendo ( icoefficientibinomiali n ( [o meglio due di essi: n ( k e n k ] Se ordiniamo su righe i binomiali con lo stesso coefficiente alto n esucolonneibinomialiconlostessocoefficiente basso k, otteniamoilseguentetriangolo,dettotriangolo di Tartaglia o triangolo di Pascal: ( 0 0 ( 0 ( ( 0 ( ( ( 3 0 ( 3 ( 3 ( 3 3 ( k ( k 0 ( k k Tenuto conto di Osserv 5 ediprop 5, ivalorinumericidelleprimerighedeltriangoloditartaglia sono: 3 3 4 6 4 5 0 0 5 6 5 0 5 6 7 35 35 7 Proposizione 6 (Formula del binomiale Per ogni n, k N, tali che k n, risulta: ( n k = n(n (n k+ k! Dim Sia A un insieme con n elementi e sia B un insieme con k elementi (con k n Otterremo la formula cercata contando in due modi diversi le applicazioni iniettive da B ad A (a Dalla Prop 4, la cardinalità delleapplicazioniiniettiveda B ad A è n(n (n k + (b Ogni applicazione iniettiva f : B A si fattorizza nella forma f = i f su, dove i : Imf A èl inclusionecanonicae f su : B Imf è la suriettivizzazione di f [ed è biiettiva, essendo f iniettiva] Imf èunsottoinsiemedi k elementi di A: dunque puòesserescelto in ( n k modi fsu èunabiiezionetra B e Imf: dunque puòesseresceltain k! modi Dalprincipio del prodotto, si hanno per l applicazione iniettiva f ( n k k!possibiliscelte Dunque si ha: k!=n(n (n k + edaciòseguelaformulacercata ( n k Proposizione 7 Per ogni n, k N, tali che 0 k n, risulta:

CAP RICHIAMI SULLE APPLICAZIONI 3 ( n k = n! k!(n k! = ( n n k Dim Se k = 0, il risultato èevidente Sia k n Si ha: ( n k = n(n (n k+ k! (n k! n! (n k! = k!(n k! Ne segue che: ( n n k = n! n! (n k! (n (n k! = (n k! k! = ( n k ( Osservazione 7 (i Il motivo per cui n k èchiamatocoefficiente binomiale discende dal fatto che vale la seguente formula [dimostrabile per induzione, cfr gli esercizi di questo paragrafo]: (x + y n = n ( n n k k x y k k=0 I coefficienti binomiali sono quindi i coefficienti dello sviluppo della potenza n-sima del binomio x+y (ii InbaseallaDef 3 ed alla Prop 3, sihasubito: n ( n n k = k=0 Concludiamo il paragrafo con la definizione di operazione su un insieme Definizione 8 A Chiamiamo operazione su un insieme non vuoto A ogni applicazione da A A ad Ad esempio sono operazioni sugli insiemi numerici N, Z, Q, R l addizione e la moltiplicazione Ad esempio èl usualeaddizionetranumeriinteri +:Z Z Z tale che +((n, m = n + m, n, m Z, Un altro esempio di operazione è la composizione sull insieme delle biiezioni di ogni insieme non vuoto A [infatti abbiamo giàosservatochelacomposizionef g di due biiezioni f,g : A A è ancora una biiezione di A] Se dunque indichiamo con S(A l insieme delle biiezioni di A in sé, èun operazionesu S(A : S(A S(A S(A tale che ((f,g = g f, f,g S(A, Le due operazioni che abbiamo considerato sono ovviamente ben diverse tra loro Però hanno in comune tre importanti proprietà: sono entrambe operazioni associative [infatti (n + m + p = n +(m + p, (f g h = f (g h], hanno entrambe un elemento neutro [si tratta di 0 per l addizione e dell applicazione identica A per il prodotto operatorio], ogni elemento ammette un elemento reciproco, cioè unelementoche,operandoconesso,restituiscel elementoneutro [ad esempio n +( n =0,f f = A ] Torneremo su tali proprietànelcap, quandointrodurremoladefinizionedigruppo ESERCIZI PROPOSTI Sia f : A B un applicazione Siano A e B sottoinsiemi non vuoti rispettivamente di A edi B Verificare che: (i f (f(a A Se f è iniettiva, f (f(a = A (ii f(f (B B Se f èsuriettiva, f(f (B = B Determinare due insiemi finiti A, B edueapplicazioni f : A B, g : B A tali che g ed f non sono biiettive, ma g f = A 3 Dati gli insiemi A = {a, b, c} e B = {, }, quante sono e come si possono scrivere le

4 G CAMPANELLA APPUNTI DI ALGEBRA PER INFORMATICA applicazioni suriettive da A a B? E le applicazioni iniettive da B ad A? 4 Sia f : R R tale che f(x =sin(x, x R Determinare f ( [, ], [, ]èl intervallochiusodiestremi, dove 5 Sia f : R {} R l applicazione tale che f(x = x x, x R, x Perogni r R, determinare f (r 6 Verificare, per induzione su n 0, che per ogni x, y R risulta: (x + y n = n ( n n k k x y k 7 Per ogni n, si ponga S n := + + 3 + + n = n k Verificare che risulta: 8 Per ogni n, si ponga k=0 S n = ( n+, n Σ n := + 3 + 5 + +(n [somma dei primi n numeri dispari] Verificare che risulta: Σ n = n, n k=

3 Relazioni su un insieme Per introdurre il concetto di relazione su un insieme, conviene partire dal concetto di grafico associato alla relazione Definizione Sia A un insieme non vuoto Ogni sottoinsieme di A A è detto grafico di una relazione ρ su A [associata a ] Tale relazione ρ è così definita: presa comunque una coppia (a,a A A, si dice che a e a sono in relazione ρ [e si scrive a ρa ] se (a,a Si dice invece che a e a non sono in relazione ρ [e si scrive a ρa ] se (a,a Le relazioni su un insieme A sono quindi quante i sottoinsiemi di A A A possiede in particolare le seguenti tre relazioni: Ogni insieme non vuoto - la relazione di uguaglianza (o relazione identica su A: aρb a = b, a, b A [il grafico èl insieme {(a, a, a A}, dettodiagonale di A] - la relazione caotica: a ρb a, b A [il grafico è l insieme A A] - la relazione vuota: a ρb, a, b A [il grafico èl insiemevuoto] Se A = {a,a,, a n } è un insieme finito, ogni relazione ρ su A può essererappresentatain forma cartesiana (o matriciale, ponendo { 0, se ai ρa j a i a j =, se a i ρa j Ad esempio, se A = {a, b, c, d} ed il grafico di ρ è {(a, a, (b, b, (c, c, (a, d, (c, d}, allora ρ è rappresentata con la seguente tavola di valori 0, : ρ a b c d a 0 0 b 0 0 0 c 0 0 d 0 0 0 0 Definizione Una relazione ρ su A èdetta: - riflessiva, se aρa, a A; - simmetrica, se aρb = bρa, a, b A; - transitiva, se aρb e bρc = aρc, a, b, c A; - antisimmetrica, se aρb e bρa = a = b, a, b A - totale, se risulta aρb oppure bρa, a, b A Una relazione riflessiva, simmetrica e transitiva èdettarelazione di equivalenza Una relazione riflessiva e transitiva èdettarelazione di pre-ordine Una relazione riflessiva, antisimmetrica e transitiva èdettarelazione di ordine Infine una relazione di ordine che èanchetotaleèdettarelazione di ordine totale Esempi (i La relazione di uguaglianza èriflessiva,simmetrica,transitiva,antisimmetrica,ma non totale (se A Dunque èunarelazionediequivalenzaediordine(nontotale (ii La relazione caotica èriflessiva,simmetrica,transitiva,totale,manonantisimmetrica La relazione vuota è simmetrica,antisimmetrica,transitiva [in modo banale], ma non è riflessiva né totale (iii La relazione ρ definita sopra non ha alcuna di queste proprietà (iv Negli insiemi numerici N, Z, Q, R è definita la relazione di disuguaglianza, in questo modo: in N e Z: a b def b = a + t, t N; in Q ed R: a b def b = a + t, t 0

6 G CAMPANELLA APPUNTI DI ALGEBRA PER INFORMATICA Si tratta di una relazione di ordine totale Esaminiamo ora tre relazioni che ci interesseranno particolarmente nel seguito: la relazione di divisibilità in N (o in Z, la relazione di congruenza modulo un intero e la relazione di equipotenza tra insiemi Definizione 3 In N introduciamo la seguente relazione di divisibilità Presi comunque a, b N: a def b b = at, t N, [a b si legge: a divide b, oppure a èundivisoredi b, oppure anche b èunmultiplodi a Se a non divide b si scrive a b ] Proposizione La relazione di divisibilità in N è una relazione di ordine(non totale Dim Presi comunque a, b, c N sono verificate le proprietà: riflessiva: a a [infatti a = a ]; transitiva: a b, b c = a c [infatti b = at, c = bs = c = ats]; antisimmetrica: a b, b a = a = b [infatti b = at, a = bs = b = bst = st = = s = = b = a] La relazione di divisibilitàsun èquindiunarelazione d ordine Manonè totale: adesempio 3 e 3 Non èneppuresimmetrica: infatti a b b a [ad esempio 4 ma 4 ] NB La relazione di divisibilità puòessereintrodottaanchein Z [con definizione analoga: a b b = at, t Z] In tal caso è solo una relazione di pre-ordine, in quanto non è verificata l antisimmetria [ad esempio, ma ] Definizione 4 Sia n un intero Sichiama relazione di congruenza modulo n la seguente relazione su Z Presi comunque a, b Z: a b (mod n def n b a [cioè b a = nt, t Z] Si dice in tal caso che a èconguente(o congruo a b modulo n In luogo di a b (mod n si può anchescrivere a b (n oppure a n b Proposizione La relazione n èunarelazionediequivalenzasu Z Dim Presi comunque a, b, c Z, sonoverificateleproprietà riflessiva: a a (mod n [infatti a a = n 0]; simmetrica: a b (mod n = b a (mod n [infatti b a = nt = a b = n( t]; transitiva: a b (mod n, b c (mod n = a c (mod n [infatti, se b a = nr, c b = ns (con r, s Z, allora c a =(c b+(b a =n(s + r equindin c a ] Definizione 5 Due insiemi X, Y sono detti equipotenti (e si scrive X Y seesisteun applica- zione biiettiva f : X Y La relazione èdettarelazione di equipotenza (nella famiglia di tutti gli insiemi Proposizione 3 La relazione di equipotenza tra insiemi è una relazione di equivalenza Dim Presi comunque tre insiemi X, Y, Z,sono verificate le proprietà riflessiva: X X [tramite la biiezione identica X ]; simmetrica: X Y = Y X [se f : X Y èbiiettiva,anche f : Y X lo è];

CAP 3 RELAZIONI SU UN INSIEME 7 transitiva: X Y, Y Z = X Z [se f : X Y, g : Y Z sono biiettive, anche g f : X Z lo è] Ci occuperemo ora esclusivamente delle relazioni di equivalenza, cioè delle relazioni riflessive, simmetriche e transitive Definizione 6 Sia ρ una relazione di equivalenza su A Per ogni a A, il sottoinsieme di A [a] =[a] ρ := {x A : aρx} èdettoclasse di equivalenza di amoduloρ Poiché ρ èsimmetrica, [a] ={x A : xρa} Proposizione 4 Sia ρ una relazione di equivalenza su A (i a [a], a A (ii [a] =[b] aρb (iii [a] [b] = a ρb Si ha: (iv Le classi di equivalenza modulo ρ (a due a due distinte formano una partizione di A Dim (i Da aρa segue che a [a] (ii ( = Poiché b [b] =[a], allora aρb ( = Sia x [a] Si ha: xρa, aρb equindi,pertransitività, xρb, cioè x [b] Dunque [a] [b] In modo analogo si verifica che [b] [a] (iii Dimostreremo, equivalentemente, che [a] [b] aρb (= Se x [a] [b], allora aρx, xρb equindi(pertransitività aρb ( = Segue da (ii e(i (iv La famiglia = ρ = { [a], a A }, formata da tutte le classi di equivalenza [a due a due distinte] di A (modulo ρ, èunricoprimento di A [in base a (i]; inoltre due classi distinte sono disgiunte [in base a (ii e(iii] Ne segue che èunapartizionedi A Osservazione Dalla proposizione precedente segue che ogni relazione di equivalenza ρ induce una partizione ρ Vale anche il viceversa Sia infatti = {A i, i I} una partizione di A (formata quindi da sottoinsiemi non vuoti; possiamo definire su A la seguente relazione ρ = ρ : aρb a, b A i, i I Si verifica subito che ρ èunarelazionediequivalenzasu A Le classi di equivalenza modulo ρ sono gli insiemi A i Si verifichi poi che ρ = eche ρ = ρ ρ Definizione 7 Sia ρ una relazione di equivalenza su A Si chiamainsieme quoziente di A modulo ρ l insieme - denotato A / -formatodalleclassidiequivalenza(adueaduedistintedi A modulo ρ ρ, cioè L applicazione A / ρ = { [a], a A } π : A A /, tale che π(a =[a], a A, ρ èovviamentesuriettivaedèchiamataproiezione canonica di A su A / ρ Delle classi di equivalenza e dell insieme quoziente modulo la relazione di congruenza introdotta nella Def 4 parleremo diffusamente nel prossimo capitolo

8 G CAMPANELLA APPUNTI DI ALGEBRA PER INFORMATICA Consideriamo invece la relazione di equipotenza introdotta nella Def 5 Dato un insieme X, la sua classe di equivalenza [X],denotatausualmente X, èdettacardinalità di X X èformata da tutti gli insiemi Y tali che esista una biiezione f : X Y In particolare, ogni insieme finito formato da n elementi (a due a due distinti è equipotente a {,,, n} ovvero a {0,,, n } Se infatti A = {a,a,,, a n }, l applicazione ècertamentebiiettiva f : {0,,, n } A tale che f(i =a i+, i =0,, n, Per indicare le cardinalità finite si utilizzano usualmente i numeri naturali-come del resto abbiamo già fattonelprimoparagrafo-inquestomodo: 0 :=, := {0}, := {0, },, k := {0,,, k }, Le cardinalità degli insiemi N ed R sono dette rispettivamente cardinalità delnumerabilee cardinalità delcontinuo Utilizzando la definizione di cardinalità data sopra siamo ora in grado di dimostrare il Principio della somma, presentatonelprimoparagrafo (cfrprop Dim (Principio della somma Siano A, B due insiemi finiti disgiunti, di cardinalitàrispettivamente m, n Sia A = {a,, a m } e B = {b,, b n } Si consideri l applicazione f : {,, m+n} A B così definita: f( = a,, f(m =a m,f(m +=b,, f(m + n =b n Tale applicazione èovviamentebiiettivaequindi A B = {,, m + n} = m + n = A + B Torniamo allo studio delle relazioni di equivalenza, verificando per prima cosa che ogni applicazione definisce una relazione di equivalenza sul suo insieme di partenza Definizione 8 Ad ogni applicazione f : A B resta canonicamente associata una relazione ρ f su A, cosìdefinita: a ρ f a f(a =f(a, a,a A Si verifica subito che ρ f èunarelazionediequivalenzasu A, dettarelazione di equivalenza associata ad f Si noti che, se f è iniettiva, la relazione ρ f è la relazione identica su A (e viceversa Inoltre [a] ρf = {x A : f(x =f(a} = f (f(a, a A Ne segue che l insieme quoziente di A modulo ρ f èdatoda A / = { f (b, b Im(f } ρ f Vedremo ora come attraverso questo insieme quoziente sia possibile iniettivizzare una qualsiasi applicazione f Proposizione 5 Sia f : A B un applicazione e sia ρ f la relazione di equivalenza associata ad f Èbendefinital applicazione F : A / B tale che F ([a] = f(a, [a] A / ρ f ρ f Inoltre F è iniettiva Dim Dimostrare che F è ben definita, significa dimostrare che la definizione di F non dipende dal rappresentante scelto in ogni classe, cioèche [a] =[a ] = F ([a] = F ([a ] Infatti: [a] =[a ] aρ f a f(a =f(a F ([a] = F ([a ]

CAP 3 RELAZIONI SU UN INSIEME 9 Dalle precedenti implicazioni (lette da destra a sinistra segue che F ([a] = F ([a ] = [a] =[a ], cioè che F è iniettiva L applicazione F agisce dunque come f, maèdefinitasu A / ρ f (e non su A La sua prerogtiva èquelladitrattaretuttiglielementidi A aventi la stessa immagine come se si trattasse di un unico elemento: dunque iniettivizza f NB Perché periniettivizzaref non abbiamo semplicemente rimpicciolito A, eliminandodaa tutti gli elementi che hanno la stessa immagine tranne uno? In qualche caso si potrebbe anche fare, ma quale elemento conservare? Si porrebbe dunque un problema di scelta e la costruzione non sarebbe standard Osservazione (i SinoticheF èl unicaapplicazione tale che F π = f, cioè talecheil seguente diagramma (di insiemi e applicazioni A f B π A / F ρ f ècommutativo [nel senso che il passaggio da un insieme ad un altro è indipendente da ogni possibile percorso (che usi le applicazioni assegnate ] Infatti, se F : A /ρ f B verifica F π = f, allora F ([a] = ( F π(a =f(a =F ([a], [a] A / ρ f Dunque F = F (ii Risulta: F èsuriettiva f èsuriettiva Infatti: F èsuriettiva b B, [a] A / ρ f tale che F ([a] = b b B, a A tale che f(a =b f èsuriettiva Concludiamo con il seguente risultato, che ci consentirà di esprimere in maniera standard ogni applicazione come prodotto operatorio di tre applicazioni: una suriettiva, una biiettiva ed una iniettiva Proposizione 6 (Teorema di decomposizione delle applicazioni Sia f : A B un applicazione tra insiemi Esiste un unica biiezione ϕ : A / ρ f Im(f tale che f = i ϕ π, cioè talecherende commutativo il diagramma: A π A / ρ f f ϕ B i Im(f Dim In base alla Prop 5, l applicazione F : A / B tale che F π = f ρ f è iniettiva La sua suriettificazione F su èquindibiiettiva Siosservapoisubitoche Imf = ImF Posto ϕ := F su e considerata l inclusione canonica i : Imf B, si ha, a A: Quindi f = i ϕ π (i ϕ π(a =(i ϕ([a] = i(ϕ([a] = i(f ([a] = i(f(a = f(a L unicità di ϕ èevidente [siverifichichese i ψ π = i ϕ π, alloraψ = ϕ] Ad esempio, assegnata l applicazione f : R R tale che f(x =x, x R, vogliamo decomporla nel senso descritto nella proposizione precedente Si ha: Imf = {r R : r } =: [, [intervallo di R]

0 G CAMPANELLA APPUNTI DI ALGEBRA PER INFORMATICA Infatti: r Imf x R : x =r x R : x = r + r + 0 Inoltre, x, y R : xρ f y x =y y = ±x Dunque [x] ={±x}, x R L insieme R / si identifica con l insieme R 0 dei reali 0 e risulta: f = i ϕ π, con ρ f π : R R / tale che π(x =[x], x R; ρ f ϕ : R / [, tale che ϕ([x] = x, [x] R / ; ρ f ρ f i :[, R tale che i(x =x, x [, ESERCIZI PROPOSTI 3 Sia A = {a, b, c} un insieme (di cardinalità 3 Sia ρ la relazione su A avente grafico = {(a, a, (a, b, (a, c, (b, b, (b, c, (c, c} Verificare se ρ è una relazione d ordine totale su A 3 Dimostrare il principio generalizzato del prodotto: se k e A,A,, A k sono insiemi finiti, si ha: A A A k = A A A k 33 Determinare una biiezione tra N e Z [ciò dimostra che Z = N, cioè che Z è numerabile]

4 Permutazioni di un insieme finito Considerato un insieme finito non vuoto X, studieremo l insieme S(X delle permutazioni di X La prima osservazione da fare è che non importa il nome e la natura degli elementi di X, mentreè ovviamente importante come gli elementi di X vengono mossi dalle singole permutazioni È lecito quindi ed èprassicomuneidentificaretalielementiconinumerinaturali,, 3, Se quindi X ha cardinalità n, potremo identificare X con {,, 3,, n} edenotares(x semplicementecon S n Dunque S n denota l insieme delle permutazioni di ogni insieme di n elementi Per indicare le permutazioni di S n vengono spesso usate lettere dell alfabeto greco come σ, τ ecc In base al Coroll di Cap, S n ha cardinalità n! Dobbiamo però stabilire la strategia da adottare per poter scrivere tutte queste n! permutazioni Possiamo procedere come segue Prima consideriamo tutte le permutazioni che trasformano in Si tratta di (n! permutazioni [quelle che permutano gli elementi dell insieme {,, n}] Poi consideriamo quelle che trasformano in Si tratta ancora di (n! permutazioni [quelle che permutano gli elementi dell insieme {, 3,, n}] Procediamo in questo modo fino ad ottenere n insiemi (a due a due disgiunti formati ciascuno da (n! permutazioni, cioé complessivamente (per il principio generalizzato della somma n! permutazioni Ora cerchiamo un modo efficiente per indicare come una permutazione σ S n agisce sui singoli elementi di X Ovviamente, ponendo σ i al posto di σ(i, possiamo scrivere σ σ σ : n σ n Ma per economia di spazio èpreferibilescriverelastessa σ nella forma ( n σ =, σ σ σ n convenendo quindi che ogni elemento della prima riga sia mandato da σ in quello disposto esattamente al di sotto Ad esempio la permutazione identica X di S 4 si scrive nella forma ( 3 4 3 4 Nel seguito del paragrafo troveremo però un modo più economico (ad una sola rigaper scrivere le permutazioni Due permutazioni possono ovviamente essere composte, secondo l operazione di prodotto operatorio (o composizione Se quindi σ, τ S n,allora ( n τ σ = τ σ τ σ τ σn ( ( 3 4 3 4 Se ad esempio σ =,τ= S 3 4 4 3 4, allora ( ( ( 3 4 3 4 3 4 τ σ = = 4 3 3 4 4 3 Osserviamo poi che, nel calcolare τ σ, primaagisceσ epoi τ Quindi, come sopra evidenziato, occorre seguire a ritroso l azione di τ σ sugli elementi,,, n Poiché ciò è in contrasto con

G CAMPANELLA APPUNTI DI ALGEBRA PER INFORMATICA la nostra abitudine di leggere da sinistra verso destra, scriveremo στ al posto di τ σ, per cui στ = ( 3 4 3 4 Dunque abbiamo convenuto di definire ( 3 4 = 4 3 στ = τ σ, σ, τ S n ( 3 4 4 3 = τ σ Tale convenzione non è generalmente adottata nei testi matematici che si occupano di questi argomenti Molti preferiscono mantenerere la notazione con il prodotto operatorio e leggere a ritroso l azione della composizione sui singoli elementi Sappiamo che ogni permutazione σ, in quanto applicazione biiettiva, èdotatadiinversa σ Assegnata σ possiamo subito ottenere σ osservando che, se σ : i σ i, allora σ : σ i i Dunque per determinare σ basta associare ad ogni elemento la sua immagine guardando σ dal basso verso l alto Ad esempio, se ( ( 3 4 3 4 σ =, allora σ = 3 4 4 3 [Si verifichi che σ σ = X = σσ ] Si osserva subito che, σ S n,risulta: σ X = σ = X σ Dunque la permutazione identica X funge da elemento neutro rispetto all operazione di composizione Un altro fatto da osservare ècheingenerale στ τσ, cioè chelacomposizionedi permutazioni non è in generale un operazione commutativa Ad esempio scelti in S 3 : ( ( 3 3 σ =,τ=, 3 3 si ha: στ = ( 3,τσ= 3 Per semplificare le notazioni porremo nel seguito, n : Ne segue che, n, m Z: σ n+m = σ n σ m ( 3 3 σ n := σ } {{ σ }, σ 0 := X, σ n := (σ n n fattori Come promesso, presentiamo ora un modo piùeconomicodiscriverelepermutazioni bisogno di introdurre certe permutazioni speciali, dette cicli Abbiamo Definizione Sia σ S n e sia k un intero tale che k n La permutazione σ èdetta ciclo o k-ciclo o ciclo di lunghezza k se c,c,, c k X, adueaduedistinti,taliche σ(c =c,σ(c =c 3,, σ(c k =c k,σ(c k =c e σ(t =t, t X, t c,c,, c k Tale k-ciclo σ èusualmentedenotato (c,c,, c k, ovvero, piùbrevemente, (c c c k vengono anche chiamati trasposizioni I -cicli Diremo poi, per brevità, che i naturali c,, c k sono elementi del ciclo (c c c k Infine, due cicli di S n, di lunghezza, sonodetticicli disgiunti se non hanno elementi in comune Ad esempio, considerata in S 5 si osserva subito che essa è il 5-ciclo ( 3 4 5 la permutazione ( 3 4 5 σ =, 3 4 5 Tale ciclo può essereanchescrittoinaltreforme:

CAP 4 PERMUTAZIONI DI UN INSIEME FINITO 3 infatti ( 3 4 5 = ( 3 4 5 = (345=(453=(534 Più in generale possiamo dire che, se k n, ogni k-ciclo si scrive in k modi diversi [basta iniziarne la scrittura da uno qualsiasi dei suoi k elementi e scriverli tutti, mantenendone l ordine, con una sorta di rotazione oraria ] Di -cicli ne esiste uno solo e coincide con la permutazione identica X Infatti, (t fissaognielementodix Ovviamente (t =(s, s X t X, l -ciclo Èfacile,assegnatounciclodi S n, scriverlo in forma di permutazione 4-ciclo σ =(354 S 6,risulta: ( 3 4 5 6 σ = 3 5 4 Ad esempio, considerato il equindi,scrivendoancheleimmaginideglialtridueelementi(cherestanofissi,siottiene ( 3 4 5 6 σ = 3 5 4 6 Osservazione (i Tutte le permutazioni di S,S,S 3 sono cicli Infatti: S = {(}, S = {(, ( }, S 3 = {(, (, ( 3, ( 3, ( 3, ( 3 } Si noti che i cicli scritti sopra ( vanno ovviamente interpretati nel corrispondente ( S n Ad esempio 3 ( S è la permutazione, mentre ( S 3 è la permutazione 3 (ii Non ogni permutazione σ S n è un ciclo Ad esempio la permutazione ( 3 4 σ = S 4 3 4 non èunciclo Sivedesubitoperòcheessacontienedueciclidisgiunti,ecioèleduetrasposizioni ( e (3 4 In effetti, essa è proprio il prodotto di queste due trasposizioni Infatti ( ( ( 3 4 3 4 3 4 ( (3 4 = = = σ 3 4 4 3 4 3 Tale fatto non è casuale,come messo in luce nella successiva Prop (iii Come si ottengono i cicli (a due a due disgiunti di una permutazione non identica σ S n? apra un ciclo con l elemento X esiconsiderinosuccessivamenteglielementi σ(, σ(σ( = σ (, σ(σ(σ( = σ 3 (, Si continui con questa procedura finché tali elementi sono ; appena si incontrerà l elemento si interrompa il procedimento, e si otterrà così il ciclo γ := (,σ(, σ(σ(, σ(σ(σ(, Si passi ora ad aprire un altro ciclo a partire dal più piccolonaturaledi X rimasto estraneo al ciclo γ Si ottiene nello stesso modo un nuovo ciclo γ, disgiunto dal precedente Dopo un numero finito di passi, tutti gli elementi di X si troveranno all interno di un (unico ciclo ed il procedimento termina Ad esempio, se σ = si ottengono i cicli (, (3, (4, (5 7 6 ( 3 4 5 6 7 S 3 4 7 5 6 7, Si può verificare,eseguendoilprodottoditalicicli,che ( (3 (4 (5 7 6 = ( (5 7 6 = σ [si noti che gli -cicli (3, (4 possono essere omessi dal prodotto, in quanto coincidono con X ] Dunque σ èprodottodeisuoiciclidisgiuntidilunghezza Si Proposizione Ogni permutazione non identica σ S n èprodottodeisuoiciclidisgiuntidi lunghezza Dim Sia σ X esiano γ,, γ t tutti i cicli (a due a due disgiunti di σ di lunghezza Bisogna verificare che σ = γ γ t, cioè che, x X, risulta σ(x =(γ γ t (x

4 G CAMPANELLA APPUNTI DI ALGEBRA PER INFORMATICA Se x non appartiene ad alcuno dei cicli γ i, allora σ(x =x =(γ γ t (x l unico k-ciclo di σ contenente x Allora: Si ha: γ i = ( x, σ(x, σ (x,, σ k (x (γ γ t (x =(γ t γ (x =(γ t γ i (x =(γ t γ i+ (σ(x = = σ(x, Altrimenti, sia γ i in quanto x non appartiene ai cicli γ,, γ i e σ(x nonappartieneaicicliγ i+,, γ t (in quanto appartene a γ i Dunque èprovatoche σ = γ γ t Osservazione (i Due cicli disgiunti di S n commutano Siano infatti γ =(c c c k e γ =(d d d h dueciclidisgiuntidis n Si tratta di verificare che (γ γ (x =(γ γ (x, x X Se x X {c,, c k,d,, d h }, allora γ (x =γ (x =x edunque (γ γ (x =(γ γ (x =x invece x {c,, c k },siha: (γ γ (x =(γ γ (x =γ (γ (x = γ (x [perché γ (x {d,, d h }], (γ γ (x =(γ γ (x =γ (γ (x = γ (x [perché x {d,, d h }] Se infine x {d,, d h },siottieneancora,conanalogheconsiderazioni,che(γ γ (x =(γ γ (x (ii Ogni k-ciclo (k èsempreesprimibilecomeprodottodi k trasposizioni non disgiunte Infatti si verifica con calcolo diretto che: (c c c k =(c c (c c 3 (c c k Ne segue che ogni permutazione σ è esprimibile come prodotto di sole trasposizioni(a due a due non disgiunte (iii Siverificaconcalcolodirettochel inversodel k-ciclo (c c c k c k è il k-ciclo (c k c k c c Infatti (c c c k c k (c k c k c c =(c (c (c k (c k = X Se Dalla Prop e dall Osserv(ii segue che ogni permutazione èrappresentabilecomeprodotto di trasposizioni (a due a due non necessariamente disgiunte Ma tale rappresentazione non èunica Ad esempio il 4-ciclo σ =(43 S 4 si può indifferentemente scrivere nella forma ( ( 3( 4, ovvero ( 4( ( 3, ovvero ( ( 3( 3( ( 4, ed in tanti altri modi C è peròunaproprietàsignificativadasottolineare [perladimostrazione,chenonè immediata, si rinvia ad esempio a wwwmatuniromait/people/campanella, Appunti di Algebra, Cap 43, pag 53] Eccola Proposizione Assegnata una permutazione σ S n, il numero delle trasposizioni di cui σ è prodotto è sempre pari o sempre dispari Ad esempio abbiamo appena visto che la permutazione σ =(43 S 4 èprodottoditreoppure di cinque trasposizioni La precedente proposizione ci dice che non avrebbe potuto essere prodotto di un numero pari di trasposizioni Si noti poi che la permutazione identica X S n (n èprodotto di un numero pari di trasposizioni Infatti ad esempio X =(( Definizione Una permutazione σ S n èdettadi classe pari se èesprimibilecomeprodottodi un numero pari di trasposizioni Altrimenti èdettadi classe dispari L insieme delle permutazioni di classe pari èdenotato A n Osservazione 3 (i Se una permutazione σ S n èprodottodi t cicli γ,, γ t, aventi lunghezze t rispettivamente k,, k t, la parità di σ èdatadallaparitàdelnumero (k i [infatti γ i è prodotto di k i trasposizioni(cfrosserv (ii] i=

CAP 4 PERMUTAZIONI DI UN INSIEME FINITO 5 ( n (ii Ci chiediamo come, assegnata una permutazione σ = S σ σ σ n, se ne possa n calcolare la parità direttamente, senzacioèricorrereallasuascritturacomeprodottodicicli Per ogni k =, n, sipone I(σ, k := { σ j : j>k e σ j <σ k } [Tale numero èdettok-simo numero delle inversioni di σ; si tratta della cardinalitàdei σ j di σ k che seguono σ k (nella seconda riga di σ] Ovviamente I(σ, n =0 Siponepoi: [detto numero delle inversioni di σ ] I(σ := I(σ, + + I(σ, n Si potrebbe verificare che: σ èdiclassepari I(σ èunnumeropari ( 3 4 5 6 Ad esempio, sia σ = S 6 5 3 4 6 Si ha: I(σ, = 5, I(σ, = 0, I(σ, 3 = 3, I(σ, 4 =, I(σ, 5 =, equindi I(σ =5+0+3++=0 Pertanto σ èdiclassepari Ineffettirisulta: σ =(6(354=(6((35(34 minori Vogliamo ora elencare le 4 permutazioni di S 4,scrivendoledirettamentecomeprodottodeiloro cicli disgiunti Èconvenientesuddividerlerispettoaquellachevienechiamatastruttura ciclica Tra le permutazioni di S 4 ci potranno essere [oltre alla permutazione identica (] -cicli, 3-cicli, 4-cicli e coppie di -cicli disgiunti Si ottengono le 4 permutazioni: ( [unico -ciclo (classe pari]; (, ( 3, ( 4, ( 3, ( 4, (3 4 [-cicli (classe dispari]; ( (3 4, ( 3( 4, ( 4( 3 [coppie di -cicli disgiunti (classe pari]; { ( 3, ( 4, ( 3 4, ( 3 4 ( 3, ( 4, ( 4 3, ( 4 3 [3-cicli (classe pari]; ( 3 4, ( 4 3, ( 3 4, ( 3 4, ( 4 3, ( 4 3 [4-cicli (classe dispari] [Si noti che per ottenere tutti i 4-cicli abbiamo fissato come primo elemento e poi permutato gli altri tre elementi; per elencare i 3-cicli abbiamo scritto sulla prima riga tutte le sequenze crescenti di tre interi (da a 4 e sotto, in corrispondenza di ciascun 3-ciclo, il suo inverso] Osservazione 4 Il lettore attento avrà probabilmente osservato che in S 4 esistono permutazioni di classe pari ed altrettante di classe dispari Si sarà quindichiestosetaleuguaglianzaèunfatto casuale o no La risposta èchenonsitrattadiunfattocasuale Dimostriamolo Se moltiplichiamo una permutazione σ per un -ciclo ne cambiamo la parità, cioè trasformiamo una permutazione pari in una dispari (e viceversa Consideriamo allora la seguente applicazione ϕ : S n S n tale che ϕ(σ =(σ, σ S n L applicazione ϕ èbiiettiva Infatti ϕ ϕ èl applicazioneidenticasu S n [essendo (ϕ ϕ(σ = ( ( ( σ = σ] e dunque ϕ ammette inversa (se stessa Poiché ϕ trasforma l insieme A n delle permutazioni pari nell insieme complementare S n A n delle permutazioni dispari (e viceversa, allora A n = S n A n Il numero delle permutazioni pari (e

6 G CAMPANELLA APPUNTI DI ALGEBRA PER INFORMATICA delle dispari è n! ESERCIZI PROPOSTI 4 Sia σ =(34(56 S 6 Determinare il minimo intero k talecheσ k = X 4 Stesso esercizio con σ =(3(45 S 5 43 Scrivere tutte le permutazioni di S 5 che contengono il ciclo ( 44 Assegnate le permutazioni σ =(34, σ =(5(34 S 5, determinare la permutazione τ S 5 tale che σ = τσ 45 Scrivere la tavola pitagorica di S 3, cioè la tavola 6 6 formata da tutti i prodotti σ i σ j, al variare di σ i,σ j in S 3 46 (i Verificare che se σ S n èunapermutazionediclassedispari,nonesistealcunapermutazione α S n tale che α = σ (ii Determinare α S 6 tale che α =(3(456 (iii Spiegare perchénonesiste α S 6 tale che α =((3456 47 (i Verificare che σ S n k N, k talecheσ k = X (ii Verificare che σ, τ S n l equazione (di primo grado σx = τ ammette una ed una sola soluzione (in S n 48 Determinare per quali σ S 4 l equazione X = σ èrisolubile 49 In S 5 sono assegnati un 3-ciclo σ ed un -ciclo τ, disgiuntitraloro SiaH l insieme formato dalle permutazioni di S 5 ottenibili come prodotti finiti di σ edi τ Determinare le permutazioni di H everificarese H èunsottogruppodi S 5 40 (i Quanti sono i 3-cicli di S 6? (ii Quante sono le permutazioni di S 6 che sono prodotto di due 3-cicli disgiunti?

Capitolo STRUTTURE ALGEBRICHE Gruppi, anelli, campi e spazi vettoriali In questo paragrafo torneremo sul concetto di operazione su un insieme e presenteremo la definizione e le proprietà di base di alcune importanti strutture algebriche [cioè insiemi con una o più operazioni],fornendonepoiqualcheesempio Come già detto nel capitolo precedente,un operazione su un insieme A è un applicazione che in generale denoteremo : A A A Per adeguarci all uso comune, scriveremo poi, (a, b A A, a b in luogo di ((a, b Definizione Un operazione su A è: ( associativa se (a b c = a (b c, a, b, c A; ( dotata di elemento neutro e se e A tale che a e = a = e a, a A; (3 dotata di reciproco di ogni elemento se a A, a A tale che a a = e = a a; (4 commutativa se a b = b a, a, b A Esempi (i L addizione + su N verifica le proprietà (, (, (4 ma non (3 [l elemento neutro è0;nonesisteilreciprocodialcunn ] (ii La moltiplicazione su N verifica le proprietà (, (, (4 ma non(3 [l elemento neutro è ; non esiste il reciproco di alcun n ] (iii L addizione + su Z (e su Q ed R verifica le proprietà(, (, (3 e (4 [l elemento neutro è 0; il reciproco di n è n] (iv La moltiplicazione su Z verifica le proprietà (, (, (4 ma non(3 [l elemento neutro è ; non esiste il reciproco di alcun n ±] (v La moltiplicazione su Q := Q {0} esu R := R {0} verifica le proprietà (, (, (3 e(4 [l elemento neutro è ; il reciproco di ogni x Q (o R è x ] Nota Come osservato, negli esempi precedenti relativi all addizione, l elemento neutro è 0 ed il reciproco èdettoopposto; relativamenteallamoltiplicazione, l elementoneutroèedilreciprocoè detto inverso Converremo nel seguito che, per ognuno degli insiemi numerici A = N, Z,Q, R, cona si intende l insieme A {0} (vi PerogniinsiemenonvuotoX, il prodotto operatorio sull insieme S(X [delle biiezioni di X in sé] verifica le proprietà (, ( e(3 L elemento neutro èl applicazioneidentica X ed il reciproco di una biiezione f è la biiezione f In base a quanto visto nel precedente capitolo, se X ha almeno tre elementi, il prodotto operatorio non verifica la proprietà (4 Definizione Si chiama gruppo ogni coppia (A, tale che A è un insieme non vuoto (detto insieme sostegno del gruppo ed èun operazionesua verificante le proprietà (, (, (3, cioè associativa, dotata di elemento neutro e dotata di reciproco di ogni elemento Un gruppo (A, èdettocommutativo (o abeliano se verifica (4, cioèècommutativa Infine, lacardinalità A dell insieme sostegno A èdettaordine del gruppo (A, Abbiamo dunque i gruppi commutativi (Z,+, (Q, +, (R, +, (Q,, (R, edigruppinoncommutativi (S(X,, X con X 3 Ricordiamo che se X = n, S(X èstatodenotato S n Il

8 G CAMPANELLA APPUNTI DI ALGEBRA PER INFORMATICA gruppo (S n, èdettogruppo simmetrico su n elementi Si noti che (N,+, (Z,, (Q,, (R, non sono gruppi [in quanto non tutti i loro elementi ammettono reciproco] Vedremo a breve altri esempi di gruppi Proposizione In ogni gruppo (A, : ( L elemento neutro èunico ( Il reciproco di ogni elemento èunico { asinistra: a b = a c = b = c (3 Vale la legge di cancellazione adestra: a b = c b = a = c (4 Ilreciprocodiunprodottoè il prodotto dei reciproci, in ordine inverso Dim ( Siano e, e due elementi neutri di (A, Allora { e e = e e = e essendo e elemento neutro, e e = e e = e essendo e elemento neutro Dunque e = e { a a ( Siano a, a = a a = e due reciproci di a Allora a a = a a = e uguaglianze, la proprietàassociativaedilfattoche e èelementoneutro: a = a e = a (a a =(a a a = e a = a Dunque, utilizzando tali (3 Verifichiamo la legge di cancellazione a sinistra [per quella a destra si procede in modo analogo] Moltiplicando l uguaglianza a b = a c asinistraper a [reciproco di a], si ottiene: a (a b =a (a c = (a a b =(a a c = e b = e c = b = c (4 Dimostriamo che (a b = b a, a, b A Per l unicitàdelreciproco,bastaverificareche: (a b (b a =e =(b a (a b Verifichiamo la prima uguaglianza [per l altra si procede in modo analogo] Si ha: (a b (b a = ( (a b b a = ( a (b b a =(a e a = a a = e In modo analogo si verifica che (a a a n = a n a a, a,a,, a n A Definizione 3 Si chiama sottogruppo di un gruppo A =(A, ogni sottoinsieme non vuoto B A tale che (B, èungruppo(rispettoallastessaoperazione di A, ovviamenteristrettaaglielementi di B Per indicare che B èunsottogruppodi A scriveremo B A (anziché B A Si verifica subito che A ed {e} sono sottogruppi del gruppo A, dettisottogruppi banali di A Gli altri sottogruppi (se ne esistono sono detti sottogruppi propri di A Esempi (i Ad esempio, Z è un sottogruppo di (Q, +, Z e Q sono sottogruppi di (R, + Inoltre Q èunsottogruppodi (R, Indicato con Q + l insieme dei razionali positivi, si osserva subito che Q + èunsottogruppodi (Q, [si noti che il prodotto di razionali positivi èpositivoe che l inverso di un razionale positivo èpositivo] Analogamente, R + èunsottogruppodi (R, (ii In S n consideriamo il sottoinsieme Σ formato dalle sole permutazioni di X = {,,, n} che fissano un dato elemento, ad esempio l elemento X Si puòsubitoverificareche Σ verificale proprietà (, (, (3 delladefinizionedigruppo Dunque Σèunsottogruppodi S n Un altro importante sottogruppo di S n è il sottogruppo A n delle permutazioni di classe pari, detto gruppo alterno su n elementi Osservazione Nello studio astratto dei gruppi si usa per lo più la notazione moltiplicativa Un gruppo viene tradizionalmente indicato con (G,, il suo elemento neutro con (o G (ed è detto unità di G ed il reciproco di un elemento g G con g (ed èdettoinverso di g Talvolta però viene anche usata la notazione additiva (G, + [e ciò avviene soprattutto nello studio dei gruppi commutativi] In tal caso l elemento neutro si indica con 0 (o 0 G (edèdettozero di G

CAP GRUPPI, ANELLI, CAMPI E SPAZI VETTORIALI 9 ed il reciproco di un elemento g G con g (ed èdettoopposto di g Spesso in uno stesso insieme coesistono due (o più operazioni Ad esempio, in Z, Q, R (ed anche in N sono definite sia l addizione che la moltiplicazione Le due operazioni non sono indipendenti, ma sono legate dalle leggi distributive Questa situazione giustifica l introduzione di una più ricca struttura algebrica, quella di anello Si tratta di un insieme dotato di due operazioni che, per semplificare le notazioni, denoteremo con + e Definizione 4 Si chiama anello ogni terna (A, +, tale che: A è un insieme non vuoto (detto sostegno dell anello, + e sono due operazioni su A (dette somma e prodotto di A, verificanti i seguenti assiomi: - (A, + èungruppocommutativo [conelementoneutro 0=0 A ]; - il prodotto èassociativo: (abc = a(bc, a, b, c A ; - valgono le due leggi distributive tra somma e prodotto: a(b + c =ab + ac, (a + bc = ac + bc, a, b, c A Definizione 5 Un anello (A, +, èdettoanello unitario se il prodotto ha elemento neutro (detto unità di A edenotato o A, cioè a = a = a, a A Si noti che l unità, se esiste, è unica (cfr Prop ( Un anello (A, +, èdettoanello commutativo se il prodotto ècommutativo,cioèse ab = ba, a, b A Un anello (A, +, èdettocampo se (A, èungruppocommutativo [ovviamente A := A {0}] Dunque un campo èunanellocommutativounitariotalecheogni a A ammette inverso a A I campi sono spesso denotati con la lettera K (o lettere contigue Osservazione (i (Z,+, è un anello commutativo unitario [abbr cu], ma non è un campo Infatti (Z, nonè un gruppo [soltanto, ammettonoinversoinz] Invece (Q, +, e(r, +, sono campi (ii In ogni anello (A, +, risulta: a 0 =0 a =0, a A Infatti a 0 = a(0 + 0 = a 0 + a 0 Dunque a 0 + 0 = a 0 + a 0 e, dalla legge di cancellazione (per la somma, segue che a 0 = 0 Analogamentesiverificache 0 a = 0 (iii In ogni anello (A, +, valgonoletreseguentiregoledicalcolo: a( b = (ab =( ab; ( a( b =ab; a(b c =ab ac, a, b, c A Per verificare la prima regola, basta osservare che a( b+ab = a ( ( b+b = a 0 =0; ( ab + ab = ( ( a+a b =0 b =0 Per la seconda [applicando la prima]: ( a( b = ( a( b = ( (ab = ab Per la terza infine [tenuto conto che si pone, per definizione: x y := x +( y], si ha: a(b c =a ( b +( c = ab + a( c =ab + ( (ac = ab ac (iv Tutti gli anelli sinora considerati sono commutativi; commutativi Negli anelli finora considerati risulta: ab =0 = a =0 o b =0 nel seguito ne troveremo anche di non Ma esistono anche anelli in cui la condizione ab =0 nonimplicanecessariamente a =0 o b =0 Tali anelli sono detti anelli non integri Quelliverificantilacondizione scrittasoprasonoinvecedetti anelli integri Un anello cu ed integroèdettodominio o dominio d integrità Ad esempio (Z,+, è un dominio d integrità Anche i campi sono domini d integrità [se infatti ab = 0ea 0, allora b = A b =(a ab = a (ab =a 0=0] Scopriremoinseguitoesempidianellinonintegri,non unitari e e non commutativi (v In un anello unitario (A, +, diremo che un elemento a è invertibile se esiste b A tale che ab = ba = Taleelementoèunico [cfr Prop (] ed èchiamatoinverso di a (e denotato

30 G CAMPANELLA APPUNTI DI ALGEBRA PER INFORMATICA a Ad esempio in (Z,+, gli elementi invertibili sono due:, ; in un campo (K, +, tutti gli elementi non nulli sono invertibili Se denotiamo con U(A l insiemedeglielementiinvertibilidia, siverificasubitoche(u(a, è un gruppo Se infatti a,a U(A [con inversi rispettivamente b,b ]alloraanche a a U(A [con inverso b b ]; ovviamente U(A esea U(A ancheilsuoinversoa U(A Definizione 6 Si chiama sottonello di un anello (A, +, ogni sottoinsieme non vuoto B A tale che (B,+, èunanello(rispettoallestesseoperazioni +, di A, ovviamenteristretteaglielementi di B Se A e B sono campi, si dirà che B èunsottocampo di A Si noti infine che {0} ed A sono sottoanelli di A, detti sottoanelli banali di A Gli altri sottoanelli di A (se ne esistono sono detti sottoanelli propri di A Ad esempio Z èunsottoanellodi (Q, +,, che a sua volta èunsottocampodi (R, +, L insieme P degli interi pari è un sottoanello(non unitariodi (Z,+, Un altra struttura algebrica di cui ci occuperemo molto diffusamente nel corso è quella di spazio vettoriale su un campo K Ilterminespaziovettorialefariferimentoalbennotoconcettodi vettore Denotiamo con V l insieme dei vettori (di un piano o dello spazio ordinario Lo studente ha imparato dalla fisica a sommare due vettori e a moltiplicare un vettore per un numero reale La somma di vettori [che si esegue con la nota regola del parallelogramma ] assegnaav struttura di gruppo commutativo La moltiplicazione di un vettore per un numero reale [che allunga o accorcia un vettore ed eventualmente lo cambia di verso (ma non di direzione] èun applicazione R V V [usualmente chiamata moltiplicazione di un vettore per uno scalare ] Tale applicazione non èun operazione,nel senso della definizione data sopra (ma spesso ci si riferisce ad essa col nome di operazione esterna È legata alla somma da importanti relazioni, quali ad esempio c(u+v = cu+cv, c R, u,v V Lo studente riconoscerà cheleprincipalirelazionitraquestedueoperazionitravettorisonogli assiomi della seguente definizione di K-spazio vettoriale (astratto Definizione 7 Sia (K, +, un campo Un insieme non vuoto V èdetto K-spazio vettoriale se èdotatodiun operazione + [detta somma], rispetto a cui (V,+ èungruppocommutativoeseè definita un applicazione K V V [detta moltiplicazione per uno scalare], tale che: - (c + dv = cv + dv, c, d K, v V ; - c(v + v =cv + cv, c K, v,v V ; - (cdv = c(dv, c, d K, v V ; - v = v, v V Gli elementi di V sono detti vettori mentre gli elementi di K sono detti scalari [seguendo una consolidata abitudine della fisica, denoteremo spesso i vettori con lettere sottolineate] Veniamo ad un importante esempio di K-spazio vettoriale Denotiamo con K n il prodotto cartesiano K K K di n copie di K I suoi elementi sono del tipo (c,c,, c n, con c,c,, c n K Come già fatto nel Cap, tali elementi sono detti n-ple di elementi di K Talvolta, per brevità, scriveremo c in luogo di (c,c,, c n Su K n èdefinitalaseguenteoperazione +:K n K n K n : (c,c,, c n +(d,d,, d n =(c + d,c + d,, c n + d n, (c,c,, c n, (d,d,, d n K n Tale operazione èdettasomma (componente per componente di n-ple Siverificaconfacilitàche (K n, + èungruppocommutativo L elementoneutroè la n-pla nulla (0, 0,, 0 Il reciproco della n-pla c =(c,c,, c n è la n-pla c =( c, c,, c n, detta n-pla opposta di c Su K n è inoltre definita la seguente moltiplicazione per uno scalare : K K n K n tale che a (c,c,, c n =(ac,ac,, a c n, a K, (c,c,, c n K n Lasciamo allo studente la semplice verifica dei quattro assiomi di tale operazione esterna (dalla precedente definizione di spazio vettoriale Concludiamo così che l insieme K n delle n-ple èun

CAP GRUPPI, ANELLI, CAMPI E SPAZI VETTORIALI 3 K-spazio vettoriale Se n =, le -ple si identificano con gli elementi di K e la moltiplicazione per uno scalare con l usuale moltiplicazione del campo K Dunqueuncampo K èancheun K-spazio vettoriale Osservazione 3 In K n possiamo definire anche il prodotto (componente per componente di n-ple, ponendo (c,c,, c n (d,d,, d n =(c d,c d,, c n d n, (c,c,, c n, (d,d,, d n K n Si verifica con facilità che (K n, +, un anello commutativo unitario [con unità =(,,, ] Se n, tale anello non è integro [ad esempio (0,, 0,, 0 (, 0, 0,, 0 = (0, 0,, 0] Nel prossimo paragrafo studieremo l insieme delle matrici a valori su un campo K: si tratta di un altro esempio di K-spazio vettoriale Veniamo ora alla definizione di sottospazio vettoriale Definizione 8 Sia V un K-spazio vettoriale Un sottoinsieme non vuoto W V è detto K-sottospazio vettoriale di V se W è un K-spazio vettoriale (rispetto alle stesse operazioni di V, opportunamente ristrette agli elementi di W Si verifica subito che V ed {0} sono K-sottospazi vettoriali di V,detti sottospazi vettoriali banali Altri esempi di sottospazi vettoriali saranno visti in seguito Osservazione 4 Potrà capitarcinelseguitodiindicarelamoltiplicazioneperunoscalarescrivendo lo scalare a destra, invece che a sinistra, cioè diconsiderareilvettore v c in luogo di cv E evidente che si tratta di un imprecisione, ma tale imprecisione non comporta conseguenze fatali Ciò dipende dal fatto che K ècommutativo Ad esempio, se prima eseguiamo il prodotto di v per lo scalare b epoimoltiplichiamoilvettore ottenuto per a, otteniamo asinistra ilvettorea(bv ed adestra ilvettore(vba D altra parte a(bv =(abv, mentre(vba = v(ba Poiché ba = ab, allora(vba si può sostituirecon a(bv Concludiamo il paragrafo presentando un importante esempio di struttura algebrica: polinomi in una indeterminata ed a coefficienti in un campo K l anello dei Si chiama polinomio P nell indeterminata X ed a coefficienti in un campo K ogni espressione formale del tipo P = P (X =a 0 + a X + a X + + a n X n [= n a i X i ], con n N, a 0,, a n K (detti coefficienti di P ex indeterminata (o incognita (su K: si tratta di un simbolo soggetto soltanto alle seguenti regole di calcolo: 0 X =0, X = X, X 0 =, X = X, X h X k = X h+k, h, k N Si noti che tra i polinomi ci sono anche gli elementi di K, detti(polinomi costanti Tra questi in paticolare ci sono il polinomio nullo 0 ed il polinomio unità Ad ogni polinomio non nullo P èassegnatoungrado, denotatodeg(p : si tratta dell esponente massimo di X, traivariaddendinonnullidi P Ai polinomi costanti c K viene perciò attribuito grado 0, mentre al polinomio nullo 0 non può essereassegnatoalcungrado [perchénoncisono addendi non nulli di 0] e si conviene allora di attribuigli grado L insieme di tutti i polinomi in X acoefficientiink viene denotato K[X] Ènotoallostudentecomeduepolinomisisomminoesimoltiplichinotraloro Presicomunque P = n a i X i,q= m a j X j K[X] e supposto ad esempio, per fissare le idee, che sia n m, si pone: i=0 j=0 P + Q =(a 0 + b 0 +(a + b X + +(a n + b n X n + b n+ X n+ + + b m X m PQ= a 0 b 0 +(a 0 b + a b 0 X +(a 0 b + a b + a b 0 X + + a n b m X n+m i=0

3 G CAMPANELLA APPUNTI DI ALGEBRA PER INFORMATICA Si puòfacilmenteverificareche (K[X], + èungruppocommutativo polinomio nullo 0 e con opposto di P il polinomio P = n ( a i X i ] i=0 [con elemento neutro il Si potrebbe poi verificare che il prodotto tra polinomi èassociativo [cioèche (PQR = P (QR, P, Q, R K[X]] e che valgono le leggi distributive tra somma e prodotto Ne segue che (K[X], +, è un anello Inoltre è facile vedere che il prodotto ècommutativoedhaunità(ilpolinomio Infinesiverifica che K[X] èunanellointegro,cioètaleche PQ =0 = P =0 o Q =0 Verifichiamo quest ultimo fatto Se per assurdo P, Q fossero entrambi non nulli, avrebbero grado 0 Poiché il grado del prodotto di due polinomi non nulli è la somma dei gradi dei due fattori [ciò che segue subito dalla definizione di prodotto], allora deg(pq = deg(0 0: assurdo Da quanto precede si ha quindi che (K[X], +, èundominiod integrità Lasciamo infine allo studente il compito di verificare che K[X] èancheunk-spazio vettoriale, con moltiplicazione per uno scalare cosìdefinita: cp = n ca i X i, c K, P = n a i X i K[X] i=0 NB Èevidentecheèpossibileconsiderarepolinomiacoefficientiinunastrutturaalgebricameno perfetta di un campo, ad esempio su un anello A Intal caso A[X] è un anello, ma in generale non èundominiod integrità i=0 ESERCIZI PROPOSTI Sia (G, ungruppoesianoa, b G Verificare che, se ab = G,alloraba = G [cioè se b è inversoadestra di a, èanche inversoasinistra di a] Si consideri in S 5 il sottoinsieme Verificare che Σ èunsottogruppodi S 5 Σ=Σ {,} := { σ S 5 : σ({, } ={, } } escriverneglielementi 3 Sia K un campo ed n un intero In K n si consideri il sottoinsieme W = {(c,c,, c n K n : c =0} Verificare se W èunsottospaziovettorialedi K n eseèunsottoanellodi K n

Matrici a valori su un campo In questo e nel successivo paragrafo presenteremo due importanti esempi di strutture algebriche, di cui ci occuperemo largamente nel corso Definizione Sia K un campo e siano m, n due interi positivi Si chiama matrice a valori in K ad m righe ed n colonne [cioè di tipo (m, n] ogniinsiemeordinatoa di mn elementi di K, disposti su m righe ed n colonne, che indicheremo genericamente nella forma: A = a a a n a a a n a m a m a mn [dove il primo indice di ogni elemento èdettoindice di riga ed il secondo indice di colonna] L insieme delle matrici (a valori in K ad m righe ed n colonne verrà indicato con (K m,n Ovviamente (K è identificabile con K, Studieremo in questo paragrafo la struttura algebrica dell insieme m,n (K Sia A m,n(k Per abbreviare le notazioni, scriveremo talvolta A =(a ij L elemento a ij [situato sulla i-esima riga e sulla j-esima colonna di A (per i =,,m, j =,,n] sarà talvolta denotato anche (A ij Inoltre indicheremo con A (i la i esima riga ( a i a i a in di A a j a j econ A (j la j-esima colonna di A Pertanto: a mj A ( A ( A = ( A ( A ( A (n = A (m Dunque la matrice A è la riga delle sue n colonne ed è la colonna delle sue m righe NB Aver detto che una matrice A è la riga delle sue colonne contrasta con il fatto che abbiamo definito soltanto matrici a valori in un campo Ma èevidentecheunamatriceèsemplicementeun contenitore di oggetti Nulla ci vieta di considerare matrici a valori in un insieme (o in una struttura algebrica ( piùgenerale Dunque, direche A è la riga delle sue n colonne significa interpretare A in,n m,(k ( Analogamente, dire che A è la colonna delle sue m righe significa interpretare A in (K m,,n Osservazione Per ogni intero n, consideriamo il prodotto cartesiano K n di n copie di K Ovviamente esiste una corrispondenza biunivoca tra gli insiemi K n, (K e (K,n n, Si vedrà nelseguitocheèconvenienteidentificare K n con n,(k, cioè identificare la n-pla a = ( a,, a n K n con la corrispondente matrice colonna a = a a n n,(k Denoteremo le matrici colonna con lettere in grassetto e le n-ple con lettere sottolineate; tuttavia alcune volte (soprattutto nell ultima parte del corso per non appesantire le notazioni indicheremo matrici colonna ed n-ple nello stesso modo Definizione Sia A m,n(k Si chiama matrice trasposta di A la matrice B n,m(k così definita: b ij = a ji, i =,,n, j =,,m

34 G CAMPANELLA APPUNTI DI ALGEBRA PER INFORMATICA La matrice B verrà denotatacon t A Ovviamente t ( t A=A Si noti che la i-sima riga [risp colonna] della trasposta di A coincide con la trasposta della i-sima colonna [risp riga] di A, cioè: Infatti: ( t A (i = t (A (i e ( t A (j = t (A (j t ( t A (i = ( ( b i b i b im = ai a i a mi = In modo analogo si verifica l altra uguaglianza a i a i a mi = t (A (i Definizione 3 Una matrice A m,n(k èdettamatrice quadrata (di ordine n se m = n La n-pla ( a,a,,a nn èdettadiagonale di A L insieme n,n(k verrà denotato,più semplicemente, con (K n Una matrice quadrata A =(a ij (K èdettatriangolare superiore [rispett triangolare n inferiore] se a ij =0, i>j [rispett a ij =0, i<j] Una matrice quadrata A (K èdettamatrice diagonale se ètriangolaresuperioreetriangolare inferiore [cioè se a ij n =0, i j] Una matrice diagonale A èdettamatrice scalare se risulta: a = a = = a nn Una particolare matrice scalare è la matrice unità I n,talechea = = a nn = Infine, una matrice quadrata A (K èdettasimmetrica se A = t A [cioè se a n ij = a ji ]edè detta antisimmetrica se A = ( t A [cioè se a ij = a ji ] Definizione 4 In m,n(k sono definite la somma di matrici ed il prodotto di una matrice per uno scalare: +: (K (K (K tale che: m,n m,n m,n : K m,n (K m,n (K tale che: (A, B A + B, con (A + B ij =(A ij +(B ij ; (c, A ca, con (ca ij = c(a ij L insieme m,n(k, dotato delle operazioni sopra definite, èun K-spazio vettoriale In particolare, l elemento neutro della somma è la matrice nulla 0 [tale che 0 ij =0, i, j]; l opposto della matrice A è la matrice A [tale che ( A ij = (A ij, i, j] Le verifiche degli assiomi di K-spazio vettoriale sono lasciate al lettore L insieme delle matrici quadrate n(k, èdotatoanchedistrutturadianello Perdescriveretale struttura dobbiamo definire un opportuna operazione di prodotto tra matrici Definizione 5 Considerati A = ( b a a a n,n(k e B = b n,(k, si definisce prodotto (righe per colonne di A per B l elemento b AB = ( b a a a n b n := a b + a b + + a n b n K b n Più generalmente,se A m,n (K e B n,p (K, si chiama matrice prodotto (righe per colonne di A per B la matrice:

CAP MATRICI A VALORI SU UN CAMPO 35 A ( B ( A ( B ( A ( B (p A ( B AB = ( A ( B ( A ( B (p A (m B ( A (m B ( A (m B (p dove A (i B (j = n a ik b kj [per i =,,m, j =,,p] k= m,p (K, [Si noti che il prodotto AB èdefinitosoltantoselecolonnedi A sono quante le righe di B Se A e B sono matrici quadrate dello stesso ordine, AB e BA sono ovviamente sempre definite e sono matrici quadrate di quello stesso ordine] Proposizione (i Il prodotto righe per colonne èassociativo,cioè: (ABC = A(BC, A m,n(k, B n,p(k, C p,q(k (ii Valgono le seguenti proprietà: (A + BC = AC + BC, A, B m,n (K, C n,p (K; A(B + C =AB + AC, A m,n (K, B, C n,p (K; AI n = A = I m A, A m,n (K; (cab = c(ab =A(cB, c K, A m,n(k, B n,p(k; t (A + B = t A + t B, A, B m,n (K; t (AB = t B t A, A m,n (K, B n,p (K (iii Per ogni intero n, (K èunanellounitario,rispettoallasommaedalprodottorighe n per colonne Se n, taleanelloènoncommutativoenonintegro Dim (i Per dimostrare l associativitàdelprodottorighepercolonne,cioèche ( (ABC = ( A(BC, i =, m, j =,, q, ij ij occorre un calcolo diretto Si ha: ( (ABC =(AB (i C ij (j = ( c j (AB i (AB ip = ( A (i B ( A (i B (p c pj = p A (i B (k c kj Poiché A (i B (k = n a it b tk, allora: k= t= ( (ABC ij = p k= t= n a it b tk c kj D altra parte: ( A(BC = A (i (BC ij (j = ( (BC j a i a in = ( B ( C (j a i a in = (BC nj B (n C (j = n a it B (t C (j Poiché B (t C (j = p b tk c kj, allora: t= k= ( A(BC ij = n a it t= k= p b tk c kj = n t= k= p a it b tk c kj Le due sommatorie sopra ottenute coincidono [infatti, in base alla commutatività della somma, è possibile scambiare l ordine di sommazione] (ii Le verifiche delle varie proprietàsonolasciateallostudente (ii Che n(k siaungrupporispettoallasommagià lo sappiamo [in quanto si tratta di un K- spazio vettoriale] In base ad (i ealleprimedueproprietàdi(ii, il prodotto righe per colonne è associativo e verifica le due leggi distributive (destra e sinistra Dunque ( (K, +, èunanello n Essendo m = n, dalla terza proprietàdi(ii, AI n = A = I n A, A n(k: dunque l anello è unitario, con unità la matrice unità I n Resta da verificare l ultima affermazione A tale scopo conviene introdurre [e possiamo farlo, più generalmente, in m,n(k] la seguente definizione di matrice elementare di posto (h, k, denotata c j c pj

36 G CAMPANELLA APPUNTI DI ALGEBRA PER INFORMATICA E hk Si ponga, per ogni h =,,m, k =,,n: { 0 se (i, j (h, k, (E hk ij = se (i, j =(h, k [in altri termini, E hk èunamatricein (K con un unico elemento non nullo, quello di posto m,n (h, k, che ha valore ] Lasciamo allo studente il compito di verificare che in n(k (conn risulta: E E = E, mentre E E = E Da ciò seguechel anello (K nonècommutativo Risultainoltre: n Dunque l anello (K nonè integro n E E =0 (matrice nulla di n(k Osservazione Le matrici elementari E hk (K, introdotte nella precedente dimostrazione, m,n godono di un importante ed immediata proprietà Risulta, per ogni A (K: m,n m n a hk E hk = A h= k= [cioè ognimatrice A m,n(k èesprimibilecomesommadimatricielementaridi ( m,n(k, 3 ciascuna moltiplicata per un opportuno scalare] Ad esempio, A = 4 5 6,3(Q coincide con E +E +3E 3 +4E +5E +6E 3 Osservazione 3 Sappiamo che gli elementi invertibili di un anello unitario formano un gruppo Dunque, nel caso dell anello (K, le matrici quadrate invertibili di ordine n formano un gruppo, n che èdenotato GL n (K ed èchiamatogruppo generale lineare di ordine n su K Vedremo nel prossimo capitolo che le matrici invertibili sono caratterizzate dal fatto di avere determinante non nullo ESERCIZI PROPOSTI Assegnate le due matrici (dipendenti da un parametro a R ( 0 A =,3 a 0 (R, B = a a 0 3, (R, (i Determinare gli eventuali a R per cui AB èunamatricetriangolaresuperiore (ii Determinare gli eventuali a R per cui BA èunamatricesimmetrica Siano A, B n(k due matrici simmetriche Verificare che la matrice AB è simmetrica A e B commutano 3 Assegnata la matrice A = 0 3,(R, verificare che le due matrici t AA e A t A 0 sono simmetriche Èvero,più in generale, che per ogni A (K, le due matrici t AA e A t A m,n sono simmetriche? Èveroche,perogni A n(k, risulta: t AA= A t A? 4 Verificare che le matrici simmetriche di n(k formano un sottospazio vettoriale di n(k Formano un sottoanello di n(k? ( 5 Si consideri in (R la matrice A = Verificare che A GL 0 (R, cioè cheesiste B (R tale che AB = I = BA

3 Classi resto modulo un intero In questo paragrafo studieremo la struttura algebrica dell insieme quoziente Z /, dove n è n la relazione di congruenza modulo n, introdotta nella Def 4 del Cap 3 Ma prima di far ciò èopportunoricordarealcunedefinizioniedalcunirisultaticertamentenotiallostudente: ladivisione euclidea in Z, il massimo comun divisore di due (o più interi ed il teorema fondamentale dell Aritmetica [Una trattazione più completaditaliconcettipuò essere trovata ad esempio in wwwmatuniromait/people/campanella, Appunti di Algebra, Cap, paragrafi,,3] La divisione euclidea in Z altro non èchel usualedivisionetranumeriinteri,chetuttiabbiamo imparato ad eseguire già nellascuolaprimaria Chesiasemprepossibileeseguiretaledivisioneè oggetto del seguente risultato (che non dimostreremo, la cui dimostrazione poggia sul Principio del minimo [che afferma: ogni sottoinsieme non vuoto di N èdotatodiminimo(cioèdelpiùpiccolo elemento, rispetto alla relazione di diseguaglianza ] Teorema Siano a, b Z, b 0 Esiste un unica coppia(q, r Z Z tale che a = bq + r, 0 r< b Gli interi q, r sono detti rispettivamente quoziente ed resto della divisione euclidea di a per b, mentre a, b ne sono rispettivamente dividendo e divisore Nel Cap 3 abbiamo definito la relazione di divisibilità in Z, cheoraricordiamo: a, b Z: Si può poisubitoverificareche a b b = at, t Z a b az bz [dove ovviamente az := {at, t Z} èl insiemedeimultipliinteridi a e bz := {bt, t Z} è l insieme dei multipli interi di b] Verifichiamo tale equivalenza: (= a b = b = at, t Z = b az = bz az ( = bz az = b = b az = b = at, t Z = a b] Rimarchiamo il fatto (forse utile nella pratica che il termine divide tra interi corrisponde al termine contiene tra gli insiemi dei multipli di tali interi Osservazione Come osservato in Cap 3, la relazione su Z èunarelazionedipre-ordine (cioè rilessivaetransitivanontotale Valgonoinoltreiseguentisemplicifatti (lacuiverificaè lasciata per esercizio: ( ogni a Z ammette come divisori ±a, ± detti divisori banali di a [ banali, in quanto ci sono sempre] Gli altri (eventuali divisori di a sono detti divisori propri di a Ad esempio 6 ha (oltre ai quattro divisori banali anche quattro divisori propri: ±, ±3; invece ad esempio 5 (così come ogni numero primo ammette soltanto i quattro divisori banali ( per ogni a Z: a 0 e a Inoltre: 0 a a =0, mentre: a a = ± (3 a b ac bc, c Z ac bc, c Z, c 0 (4 a b e a c a bx + cy, x, y Z (5 a b e b a = b = ±a Ogni studente pensa di conoscere la definizione di massimo comun divisore di due numeri interi Ma probabilmente ne conosce non la definizione, bensìunaregolapercalcolarlo Adesempio, assegnati gli interi 36, 60, il massimo comun divisore è Perché? Si puòpensarechebastascriverele fattorizzazioni dei due numeri come prodotto di primi: 36 = 3, 60 = 3 5

38 G CAMPANELLA APPUNTI DI ALGEBRA PER INFORMATICA e poi affermare che il massimo comun divisore èdatodalprodottodeiprimicomunialleduefattorizzazioni [cioè, 3], presi con il minimo esponente che compare nelle due fattorizzazioni È vero che il massimo comun divisore si calcola in questo modo, ma per accettare questa regola come definizione bisogna non solo saper fattorizzare un intero ( e questo è un gran bel problema! ma aver anche dimostrato che ogni intero 0, ± ammette una (ed una sola fattorizzazione come prodotto di numeri primi [tale fatto è vero ed è noto come Teorema fondamentale dell Aritmetica] La definizione di massimo comun divisore che conviene dare è perciò un altra Definizione Siano a, b Z, non entrambi nulli Si chiama massimo comun divisore [abbreviato MCD]dia, b ogni intero d verificante le due condizioni: (i d a e d b; (ii per ogni intero d tale che d a e d b, risultache d d Il MCD di a, b viene denotato con MCD(a, b Se MCD(a, b =, a e b sono detti coprimi (o relativamente primi Si noti che la (i affermache d èuncomunedivisoredi a, b; la (ii affermache d è il più grande tra i divisori comuni di a, b [infatti, se d d, certo d d (essendo d, d entrambi positivi] A questa definizione va fatto seguire un teorema di esistenza e unicità del MCD, la cui dimostrazione sfrutta il Principio del minimo ed utilizza la divisione euclidea Teorema (Esistenza ed unicità del MCD Se a, b Z sono non entrambi nulli, MCD(a, b esiste ed èunico Dim (Esistenza Utilizzeremo il Principio del minimo, che,come già ricordato,afferma che ogni sottoinsieme non vuoto di N possiede un elemento minimo In N definiamo il seguente sottoinsieme S = {n N : n>0 e n = ax+ by, x, y Z} Essendo tale insieme non vuoto (come facilmente si verifica, èdotatodiminimo Indichiamocon d tale minimo Poiché d S, per opportuni s, t Z, sia d = as+ bt Utilizzando la divisione euclidea tra numeri interi, verificheremo che d èun MCD di a, b Dividiamo a per d Otteniamo a = dq+ r, con 0 r<d Allora r = a dq = a (as+ btq = a( sq+b( tq Se fosse r > 0, allora r S, ma ciò contraddirebbelaminimalitàdi d in S Dunque r = 0, cioè a = dq Pertanto d èundivisoredi a In modo del tutto analogo si verifica che d èancheun divisore di b Sia ora d un altro divisore positivo di a e b Dobbiamo verificare che d èundivisoredi d Sia a = d u e b = d v, per opportuni u, v Z Allora Si conclude quindi che d èundivisoredi d d = as+ bt= d us+ d vt= d (us+ vt (Unicità Siano d, d due MCD di a, b Da d = MCD(a, b segue che d d; da d = MCD(a, b segue che d d Pertanto d d e d d Dall Osserv (5 segueche d = ±d Ma d, d sono entrambi positivi e quindi d = d Dalla defnizione di MCD segue subito che MCD(a, b = MCD(b, a echemcd(±a, ±b = MCD(a, b; inoltre MCD(a, 0 = a, a Z Dalla dimostrazione dell esistenza del MCD segue che, se d = MCD(a, b, d si può scriverecome una combinazione a coefficienti interi di a e b Taleuguaglianza vienechiamata identità dibézout Precisiamo il tutto nel seguente corollario Corollario (Identità dibézout Siano a, b Z non entrambi nulli Se d = MCD(a, b, esistono x 0,y 0 Z tali che

CAP 3 CLASSI RESTO MODULO UN INTERO 39 d = ax 0 + by 0 [identità dibézout per a, b] Ad esempio, essendo = MCD(36, 60, si ha: = 36 +60 ( Come siamo venuti a capo di tale identità? Prima di verificare che non si èprocedutoacaso, diciamo che l identità ottenuta non è unica Ad esempio si ha anche: = 36 ( 58 + 60 35 Anzi, ci sono infinite identitàdibézout per due qualsiasi interi Infatti, c Z: d = ax 0 + by 0 = ax 0 + by 0 ± abc = a(x 0 + bc+b(y 0 ac Per calcolare il MCD di due interi e calcolare un identità dibézout si ricorre ad un celeberrimo algoritmo: l algoritmo euclideo delle divisioni successive In che cosa consiste? Ci serve una premessa Lemma Siano a, b, Z, conb 0 Sia a = bq + r, con0 r< b Risulta: MCD(a, b =MCD(b, r Dim Siano d := MCD(a, b e d := MCD(b, r Basta dimostrare che: d d e d d Infatti: - se d a e d b, allorad a bq = r Dunque d b e d r Pertanto d d - se d b e d r,allorad bq + r = a Dunque d a e d b Pertanto d d Assumiamo che sia a>b 0 [se così nonfosseavremmoocasibanaliocasifacilmentericonducibili aquesto] L algoritmoeuclideodelledivisionisuccessiveconsisteinunasuccessionefinitadidivisioni euclidee (a partire dalla divisione di a per b, in modo che il divisore ed il resto (se non nullo diventino rispettivamente dividendo e divisore della divisione successiva Il procedimento si interrompe non appena si ottiene resto nullo Dunque l algoritmo èarticolatoneiseguentipassi: ( 0 a = bq + r, 0 r <b Se r > 0, si procede con il passo successivo ( 0 b = r q + r, 0 r <r Se r > 0, si procede con il passo successivo (3 0 r = r q 3 + r 3, 0 r 3 <r Se r 3 > 0, si procede con il passo successivo Poiché b>r >r >r 3 >, n N tale che r n > 0 e r n+ = 0 Ciò significachegliultimidue passi dell algoritmo sono (n 0 r n = r n q n + r n, 0 <r n <r n (n n + 0 r n = r n q n+ +0 Dal Lemma segue: MCD(a, b =MCD(b, r =MCD(r,r =MCD(r,r 3 = = MCD(r n,r n =MCD(r n, 0 = r n Dunque r n = MCD(a, b Il MCD èquindil ultimorestononnullodell algoritmo Per ottenere un identità dibézout si procede in questo modo Si isolano gli n resti ottenuti nelle divisioni successive Per ricordarsi di non eseguire semplificazioni numeriche, si conviene di scrivere tra parentesi quadre gli interi a, b ed i resti r k Si ottengono pertanto le seguenti uguaglianze: ( 0 [r ]=[a] q [b] ( 0 [r ]=[b] q [r ] (3 0 [r 3 ]=[r ] q 3 [r ]

40 G CAMPANELLA APPUNTI DI ALGEBRA PER INFORMATICA (n 0 [r n ]=[r n ] q n [r n ] Si osserva subito che, k =,, n, [r k ] ècombinazionedi [r k ] e [r k ] (convenendo in particolare di porre r 0 = b, r = a A partire da k = (se r 0, consuccessivesostituzioni si può quindiesprimereogni [r k ] come combinazione lineare di [a] e [b], con coefficienti che sono funzioni di q,, q k In conclusione, si otterrà [r n ] in funzione di [a], [b] Eliminando le parentesi quadre, si ottiene, come richiesto, un identità dibézout relativa ad a, b (con a b > 0 Esempio Calcolare il MCD e un identità di Bézout per a = 3, b = 39 Si ha: 3 > 39 > 0 Risulta: Dunque MCD(3, 39 = 3 e 3 =39 3+6 [6] = [3] [39] 3 39 =6 6+3 [3] = [39] [6] 6 6 =3 +0 [3] = [39] ([3] [39] 3 6 =[39] 6[3] + 8[39] = 6[3] + 9[39] Da ciò segue 3 = 6 3 + 9 39 ed, essendo a = 3, b = 39, si ottiene l identità di Bézout 3=6 a 9 b Per concludere le premesse al paragrafo occorre enunciare il Teorema fondamentale dell Aritmetica, acuipremettiamoladefinizionedinumeroprimo Definizione Sia p Z, p p è detto numero primo se p ha soltanto i quattro divisori banali ±, ±p (cioè p non ha divisori propri Il Teorema fondamentale dell Aritmetica viene dimostrato solitamente per induzione (su n per gli interi positivi Poi, come conseguenza, si può dimostrare la versione sugli interi ed infine la nota formula che ci permette di calcolare il MCD di due interi a partire dalla loro fattorizzazione Ci limiteremo ad enunciare i tre risultati Teorema 3 (Teorema Fondamentale dell Aritmetica (in N ( Ogni naturale n èprodottodiunnumerofinitodinumeriprimi ( Se per ogni n poniamo: n = p h p h p s h s, con tale scrittura è unica a meno dell ordine dei fattori s p,, p s primi distinti h,, h s, Corollario (Teorema Fondamentale dell Aritmetica (in Z Sia a Z, a 0,a ± L intero a si scrive in modo unico (a meno dell ordine dei fattori nella forma a = ±p h p h p s h s, dove: s, p,, p s sono numeri primi distinti, h,, h s, e vale il segno + se a>0, vale il segno se a<0 Corollario 3 Siano a, b Z, a, b 0, ± Se h a = ±p h p h p s k s, b = ±p k p k p s s con p,, p s numeri primi e h i,k i 0, allora d MCD(a, b =p d p d p s s, con d i := min{h i,k i } ( i =,, s

CAP 3 CLASSI RESTO MODULO UN INTERO 4 Nota Si osservi che, avendo assunto h i,k i 0, èstatopossibileesprimere a, b come prodotto degli stessi primi [ad esempio, posto a =36,b=60, allora a = 3 5 0,b= 3 5 ] Ora veniamo all oggetto di questo paragrafo Ricordiamo la definizione di relazione di congruenza, già datanelladef 4 del Cap 3: Sia n un intero Si chiama relazione di congruenza modulo n la seguente relazione su Z: presi comunque a, b Z, a b (mod n n b a Sappiamo che si tratta di una relazione di equivalenza su Z Osserviamo ora il seguente fatto Proposizizione Sia n esiano a, b Z a b (mod n Risulta: a, b, divisipern, hannolostessoresto Dim ( = Se a = nq + r e b = nq + r, allora b a = n(q q Dunque n b a, cioè a b (mod n (= Sia a b (mod n equindib a = nt, t Z Si tratta di verificare che r = r Dividiamo a e b per n Siha: a = nq + r,b= nq + r, con 0 r <n, 0 r <n Risulta: nt= b a = n(q q +(r r Ne segue che n r r Dalle limitazioni sui resti segue che n <r r <n Allora necessariamente r r =0 Vogliamo ora esaminare le classi di equivalenza modulo n Denoteremo con [a] n opiùsemplicemente con a [ove non sia necessario evidenziare n] la classe di equivalenza di a Z modulo n Per definizione, Poiché a n x x = a + tn, t Z, allora a =[a] n = {x Z a n x} a =[a] n = {x Z x = a + tn, t Z} = {a + tn, t Z} Pertanto denoteremo tale insieme anche nella forma a + nz (dove nz = {nt, t Z} Quante sono le classi di equivalenza modulo n? Eseguiamo la divisione euclidea di a per n esia a = nq+ r, con0 r<n Poiché ancheladivisionedi r per n ha resto r [in quanto r = n 0+r], allora a n r, cioè a = r Se poi r n r con 0 r<n, 0 r <n,allora r = r [infatti, dalle due disuguaglianze segue che n <r r<n; se quindi r r = nt,allorat = 0, cioè r = r ] Pertanto di classi di equivalenza distinte ne esistono esattamente n, tante quanti i possibili resti della divisione euclidea di un intero per n Taliclassidiequivalenzavengonochiamate classi resto modulo n Ad esempio, se n =, le classi resto modulo sono due, cioè 0=0+Z = {0, ±, ±4, } e =+Z = {±, ±3, ±5, } 0 è l insieme degli interi pari, mentre è l insieme degli interi dispari Ovviamente 0 può essere rappresentata da un qualsiasi intero pari (ad esempio 0 =, mentre può essere rappresentata da un qualsiasi intero dispari (ad esempio = Se invece n =3, abbiamotreclassirestomodulo 3, cioè 0=3Z = {3k, k Z}, =+3Z = {+3k, k Z}, =+3Z = {+3k, k Z} L insieme quoziente Z / n di Z modulo la relazione n viene indicato più semplicementecon Z n ed èchiamatoinsieme delle classi resto modulo n L insieme Z n ha cardinalità n ed formato dalle classi resto

4 G CAMPANELLA APPUNTI DI ALGEBRA PER INFORMATICA 0,,,, n Vogliamo ora assegnare a Z n una struttura algebrica Per far questo bisogna definire un operazione di somma di classi resto ed una di prodotto di classi resto Come definiamo ad esempio a + b? Sarebbe naturale dire che a + b = a + b, maperpoterlofare occorre verificare che cambiando il rappresentante delle due classi resto, il risultato è lo stesso Si tratta cioè diverificareche,se a = a e b = b, allora a + b = a + b Si dice che in tal caso la relazione di congruenza è compatibile con l addizione di Z Proposizione La relazione n ècompatibileconleoperazionidisommaeprodottoin Z (Z n, +, èunanellocommutativounitario Dim Siano a n a e b n b Bisogna verificare che: a + b n a + b e a b n a b Se infatti a a = nt, b b = ns, allora a + b (a b =n(t + s e dunque a + b n a + b Inoltre: a b a b = a b a b + a b a b = a(b b +(a a b = ans + ntb = n(as + tb Dunque a b n a b Sono quindi ben definite in Z n le due operazioni: a + b = a + b, a b = a b, a, b Z n Verifichiamo che (Z n, + èungruppocommutativo - (a + b+c = a +(b + c, a, b, c Z n ; - a + 0=a = 0+a, a Z n ; - a + a = 0= a + a, a Z n ; - a + b = b + a, a, b Z n [Le verifiche sono lasciate per esercizio] esercizio]: - (a b c = a (b c, a, b, c Z n ; Siha: - a (b + c =a b + a c, (a + b c = a c + b c, a, b, c Z n ; - a b = b a, a, b Z n - a =a = a, a Z n Si conclude che (Z n, +, èunanellocommutativounitario Valgono inoltre le seguenti proprietà [anch esse lasciate per In generale Z n non è integro Ad esempio, in Z 4, =0 e in Z 6, 3 =0 In generale in Z n non vale la legge di cancellazione Ad esempio, in Z 4 risulta: = 0, ma non puòessere cancellato, perché 0 Altro esempio, in Z : 3 4 =3 8, ma 4 8 Per approfondire la struttura algebrica di Z n ci resta da studiare il gruppo degli elementi invertibili di Z n everificareche Z n èuncampo n èunnumeroprimo Useremoquil identitàdibézout illustrata nel Coroll Proposizione 3 (Z n, +, èuncampo n èunnumeroprimo Dim (= Se per assurdo n non fosse primo, esisterebbero a, b Z tali che n = ab, con <a<n, <b<n Passando in Z n si avrebbe: edunque Z n 0=n = ab= a b sarebbe un anello non integro, mentre èuncampo (equindiè integro ( = Sia n primo e sia a Z tale che a < n Ovviamente a, n sono coprimi, cioè MCD(a, n =, equindi,calcolandoun identitàdibézout, = ar+ ns, per opportuni r, s Z Passando in Z n,siottiene:

CAP 3 CLASSI RESTO MODULO UN INTERO 43 =ar+ ns= a r + n s = a r + 0=a r Abbiamo così ottenutoche a è invertibile in Z n, con inverso r Ogni elemento non nullo di Z n è quindi invertibile e pertanto Z n èuncampo Dal risultato precedente ricaviamo che gli anelli Z n osonocampiosonoanellinonintegri Ci chiediamo, in quest ultimo caso, quali siano i loro elementi invertibili Proposizione 4 a U(Z n a, n sono interi coprimi Dim (= Se a U(Z n, esiste b Z n tale che a b = Ne segue che ab = 0 Allora, passando in Z: ab n 0, cioè ab= nt, t Z Poiché = ab+ nt, considerato l insieme S (della dimostrazione del Teor relativo agli interi a, n, risulta che S edunque(essendo necessariamenteilminimodi S il MCD tra n ed a è, cioè a, n sono interi coprimi ( = Se a, n sono coprimi, = ar + ns, per opportuni r, s Z Dunque, ripetendo un ragionamento già fatto, r è inverso di a Pertanto a U(Z n Ad esempio: U(Z 6 ={, 5}, U(Z 9 ={,, 4, 5, 7, 8}, U(Z ={, 5, 7, }, ecc e, per quanto abbiamo osservato nel primo paragrafo, tali insiemi sono gruppi rispetto al prodotto La cardinalità di U(Z n è data del numero degli interi positivi coprimi con n eminoridi n Esiste una funzione aritmetica importante, la funzione ϕ di Eulero, che esprime tale numero Definizione 3 Si chiama funzione di Eulero la funzione ϕ : N N ϕ(n = { k Z : k n e k, n sono coprimi } tale che Vale il seguente risultato, che fornisce una formula diretta per il calcolo di ϕ, in funzione della fattorizzazione di un intero come prodotto di fattori primi Proposizione 5 Se n = p r p s r s, con p,, p s primi, risulta: ϕ(n = ( p r p r (p s r s p s r s Non dimostreremo tale proposizione [rinviamo a wwwmatuniromait/people/campanella, Appunti di Algebra, Cap 6, pag 9] Vogliamo soltanto osservare che la dimostrazione consegue subito dai due seguenti risultati: (A Se r, s sono naturali coprimi, ϕ(rs = ϕ(r ϕ(s (B Se p èprimo, ϕ(p r =p r p r ( r Ad esempio, ϕ(44 = ϕ( =ϕ( 4 3 =ϕ( 4 ϕ(3 =( 4 3 (3 3 = 48 Ci poniamo ora il problema di risolvere equazioni di primo grado a coefficienti in Z n, cioè equazioni del tipo ( ax = b, con a, b Z n, a 0 L equazione ( èdettarisolubile su Z n se x Z n tale che a x = b Accanto all equazione ( consideriamo la cosiddetta equazione congruenziale ( ax b (mod n

44 G CAMPANELLA APPUNTI DI ALGEBRA PER INFORMATICA Si osserva subito che ( èrisolubilesu Z n se e solo se ( èrisolubilesu Z [cioè x Z tale che ax b (mod n] Infatti x èsoluzionedi( x èsoluzionedi( Si noti che, se ( è risolubile e x ne èunasoluzione,ogni x + nc ( c Z èancorasoluzione di ( Ma tali soluzioni corrispondono ad un unica soluzione di ( [infatti x = x + nc] Invece le soluzioni di ( compresetra0en corrispondonobiunivocamenteaquelledi( Osserviamo subito che se a U(Z n [cioè se MCD(a, n = ] l equazione ( ha un unica soluzione, che è a b Se invece a U(Z n la situazione èpiùcomplicata Cerchiamodichiarirla con due esempi (A Risolvere l equazione Si tratta di risolvere l equazione congruenziale 5 X = 0 in Z 5 X 0 (mod Assumiamo che x Z sia una soluzione di tale equazione Allora 5 x 0 (mod e quindi, per un opportuno t Z, 5x 0 = t Ne segue che 3(5x 7 t =0 edunque 3 0: assurdo Ne segue che l equazione assegnata èprivadisoluzioni,cioèè incompatibile (B Risolvere l equazione Si tratta di risolvere l equazione congruenziale 5 X = in Z 5 X (mod Si può osservarechetaleequazionehalestessesoluzionidell equazionecongruenziale 5 X 4(mod 7 [ottenuta dividendo a, b, n per il loro MCD 3] Se infatti 5 x (mod, allora, per un opportuno s Z, 5x = s equindi,dividendoper 3, 5x 4=7s, cioè 5x 4(mod 7 Viceversa, se 5 y 4(mod 7, allora 5 y 4=7t, per un opportuno t Z Moltiplicando per 3, 5 y = t equindi 5y (mod Ora risolviamo l equazione 5 X 4(mod 7 Essendo 5, 7 coprimi e 5 3=, allora, in Z 7 : X = 3 4= = 5 L equazione assegnata 5 X = ammette quindi soluzione 5 (in Z Ma, com facilmente si verifica, ammette anche altre due soluzioni: = 5+7 e 9 = 5+7 Come si giustifica tutto questo? Ci limitiamo ad enunciare il seguente risultato, che riassume l analisi della risolubilità diequazionidiprimogradoacoefficientiin Z n Proposizione 6 Assegnata l equazione ax = b su Z n,cona 0, risulta, posto d = MCD(a, n: l equazione ax = b è risolubile d b Se poi tale equazione èrisolubile,ammettein Z n d soluzioni distinte, così ottenute: se x 0 èuna di tali soluzioni, le altre sono date da x 0 + n d h, per h =,,, d Concludiamo il paragrafo enunciando un importante risultato, noto come Teorema di Eulero- Fermat,chehaestremaimportanzainCrittografia Teorema 4 (Teorema di Eulero-Fermat Sia n e sia a un intero coprimo con n [Dunque a ϕ(n =, a U(Z n ] a ϕ(n (mod n Risulta:, Un caso particolare di tale teorema, che èrelativoalcasoincuiilmodulo n èprimo, è il seguente risultato noto col nome di Piccolo Teorema di Fermat Teorema 5 (Piccolo Teorema di Fermat Siano a, p interi coprimi Se p è primo,risulta:

CAP 3 CLASSI RESTO MODULO UN INTERO 45 [Dunque a p =, a Z p ] a p (mod p Il teorema di Eulero-Fermat è un utile strumento per risolvere problemi aritmetici,come negli esempi che seguono Esempio Usando il teorema di Eulero-Fermat, calcolare le ultime due cifre di n =8 8 Si osservi che le ultime due cifre di un naturale n sono date dal resto della divisione euclidea di n per 00 In altri termini, si ottengono risolvendo la congruenza n X (mod 00 Nel caso in esame la congruenza da risolvere è 8 8 X (mod 00 Poiché MCD(8, 00 = e ϕ(00 = ϕ(4 ϕ(5 = 0 = 40, in base al teorema di Eulero- Fermat, 8 40 =8 ϕ(00 (mod 00 Dunque Le ultime due cifre di 8 8 sono 6, 8 8 = ( 8 40 8 8 =656 6 (mod 00 Esempio 3 Usando il teorema di Eulero-Fermat, calcolare le ultime tre cifre di n =7 87 Si tratta di risolvere la congruenza 7 87 X (mod 000 Si ha: MCD(7, 000 = e ϕ(000 = ϕ(8 ϕ(5 = 4 00 = 400 Allora, in base al teorema di Eulero-Fermat, 7 400 (mod 000 Allora 7 87 =(7 400 7 7 7 7 (mod 000 Si tratta quindi di calcolare 7 7 (mod 000 Essendo 7 = 4 + 3 + +, allora 7 7 7 6 7 8 7 7 (mod 000 Si ha: 7 7(mod 000, 7 49 (mod 000, 7 4 40 (mod 000, 7 8 (40 80 (mod 000, 7 6 (80 60 (mod 000 Si verifica subito che 7 6 7 8 60 80 40 (mod 000 e che 7 7 49 7 343 (mod 000 Allora 7 7 =(7 6 7 8 (7 7 40 343 543 (mod 000 Si conclude che le ultime tre cifre di 7 87 sono 5, 4, 3 ESERCIZI PROPOSTI 3 Sia p un intero Dimostrare il seguente risultato: p èprimo se p divide un prodotto, divide almeno un fattore [cioè p ab = p a o p b] Per dimostrare tale risultato si proceda come segue: ( Usando l identità di Bézout provare il seguente Lemma di Euclide: siano a, b, c Z Se a bc e MCD(a, b =,alloraa c ( Usando il lemma di Euclide, dimostrare ( = : se p ab e p a, allorap b (3 Dimostrare ( =: p ha solo fattori banali [cioè: p = xy = x = ± o y = ±] 3 Scrivere la tavola moltiplicativa di Z 6 Verificare se {0,, 4} èunsottoanellodi Z 6 33 Scrivere la tavola additiva di Z 5 e la tavola moltiplicativa Z 5 34 Dimostrare il Piccolo Teorema di Fermat, procedendo come segue: ( Facendo uso del lemma di Euclide verificare che, se p èprimoed a ècoprimocon p, gli interi a, a, 3a,, (p a sono a due a due non congruenti mod p ( Usando ( ed il lemma di Euclide, dimostrare il Piccolo teorema di Fermat, cioè:

46 G CAMPANELLA APPUNTI DI ALGEBRA PER INFORMATICA se p èprimoed a ècoprimocon p, a p (mod p 35 Calcolare le ultime due cifre del numero naturale 8 8 36 Risolvere l equazione 39 X = in Z 603 37 Risolvere l equazione congruenziale lineare 4 X 0 (mod 0

4 Omomorfismi tra strutture algebriche Se A e B sono due insiemi (senza alcuna struttura algebrica, per spostarci da A a B utilizziamo semplicemente le applicazioni da A a B Se invece A e B sono due strutture algebriche dello stesso tipo (ad esempio sono due gruppi, due anelli o due K-spazi vettoriali le applicazioni significative che ci fanno di passare da A a B sono quelle che conservano l operazione (o le operazioni delle due strutture algebriche Cosa significa? Considerati in A due elementi, possiamo procedere in due modi: o eseguire l operazione tra essi e considerare poi l immagine in B del risultato, oppure considerare l immagine in B dei due elementi ed eseguirne poi l operazione in B Diremo che l applicazione conserva l operazione se otterremo lo stesso risultato Tali applicazioni sono chiamate omomorfismi Eccone la definizione formale, a partire dai gruppi Definizione Siano (G, e (H, due gruppi e sia f : G H un applicazione f è detta omomorfismo di gruppi se risulta verificata la seguente condizione: f(a f(a =f(a a, a,a G Nella definizione precedente abbiamo messo in evidenza (usando simboli diversi il fatto che i due gruppi hanno operazioni diverse [ciòcheèovvio,essendoiduegruppidiversitraloro] Nelseguito, per non appesantire le notazioni, indicheremo nello stesso modo le due operazioni, pur continuando ad assumere che possano essere diverse Facciamo subito un esempio, forse inatteso, di omomorfismo Consideriamo i due gruppi (R +, e (R, + e l applicazione log : R + R che associa ad ogni reale positivo x il suo logaritmo naturale log(x Poichè, come noto, log(xy=log(x+log(y, x, y R +, allora log èunomomorfismotraiduegruppi Sitrattapoidiunomomorfismobiiettivo Infatti l applicazione log è invertibile, con inversa la funzione esponenziale: exp : R R + tale che exp(x =e x, x R Si noti che anche exp èunomomorfismo Infatti e x+y = e x e y, cioè exp(x + y =exp(x exp(y, x, y R Osservazione Un omomorfismo di gruppi f :(G, (H, trasformal elementoneutroe di G nell elemento neutro e di H Infatti si ha: f(e =f(e e =f(e f(e, f(e =f(e e, da cui f(e f(e =f(e e Cancellando f(e, si ottiene f(e =e Inoltre f trasforma il reciproco di un elemento nel reciproco della sua immagine, cioè f(a =f(a, dove a è il reciproco di a e f(a è il reciproco di f(a Infatti si ha: e = f(e =f(a a =f(a f(a e, ovviamente, f(a f(a = e Pertanto f(a f(a =f(a f(a equindi,cancellando f(a, f(a =f(a Con riferimento all omomorfismo log sopra considerato, si noti che log( = 0 e che, log(x = log(x x>0, Diamo ora la definizione di omomorfismo tra anelli e di omomorfismo tra spazi vettoriali Qui, per non appesantire le notazioni abbiamo denotato con lo stesso simbolo le analoghe operazioni delle due strutture algebriche Definizione Siano (A, +, e (B,+, due anelli e sia f : A B un applicazione f è detta

48 G CAMPANELLA APPUNTI DI ALGEBRA PER INFORMATICA omomorfismo di anelli se risultano verificate le seguenti condizioni: f(a +f(a =f(a + a,f(a f(a =f(a a, a,a A Definizione 3 Siano V e W due K-spazi vettoriali e sia f : V W un applicazione f è detta omomorfismo di K-spazi vettoriali se risultano verificate le seguenti condizioni: f(v +f(v =f(v + v, cf(v =f(cv, v,v,v V, c K Gli omomorfismi tra K-spazi vettoriali vengono tradizionalmente chiamati applicazioni lineari [e ci atterremo, nei capitoli successivi, a questa abitudine] Definizione 4 Ogni omomorfismo biiettivo tra due gruppi (o due anelli o due K-spazi vettoriali viene chiamato isomorfismo Due gruppi G, H (o due anelli o due spazi vettoriali sono detti isomorfi se esiste tra essi un isomorfismo; in tal caso si scrive G = H Se i due gruppi (anelli o spazi vettoriali coincidono tra loro, l isomorfismo prende nome di automorfismo Un omomorfismo iniettivo prende il nome di monomorfismo mentre un omomorfismo suriettivo prende il nome di epimorfismo Infine, un omomorfismo di un gruppo (anello o spazio vettoriale in sé prendeilnomediendomorfismo Unendomorfismo traspazivettoriali vieneanchechiamato operatore lineare Ad esempio, per quanto sopra osservato, (R, + = (R +, Si noti poi che l applicazione identica stabilisce sempre un automorfismo di ogni gruppo (anello o spazio vettoriale in sé L inclusione canonica di un sottogruppo in un gruppo èunmonomorfismo Lostessoèveroperl inclusione canonica di sottoanelli o sottospazi vettoriali Verifichiamo ora che la composizione di omomorfismi èunomomorfismoechel applicazioneinversa di un isomorfismo è un isomorfismo Proposizione (i Se f : G G e g : G G sono omomorfismi di gruppi, anche l applicazione g f : G G èunomomorfismodigruppi (ii Se f : G G è un isomorfismo di gruppi, l applicazione inversa f : G G èunomomorfismo (e quindi un isomorfismo Verificare che gli stessi risultati valgono per anelli e spazi vettoriali Dim (i Utilizzeremo per i tre gruppi la notazione moltiplicativa [ma si intende che le operazioni dei tre gruppi non sono necessariamente le stesse] Per ogni x, y G, vaverificatoche Infatti: (g f(xy=(g f(x(g f(y (g f(xy=g(f(xy = g(f(x f(y = g(f(x g(f(y = (g f(x(g f(y (ii Bisogna verificare che Sia a = f (a,b= f (b,c= f (a b f (a b =f (a f (b, a,b G Allora f(a =a,f(b =b,f(c =a b Poiché f èunomomorfismoiniettivoe f(c =a b = f(af(b =f(ab, allora c = ab, cioè, come richiesto, f (a b =f (a f (b Se f : A A è un isomorfismo di anelli, da quanto precede si ha che f : A A èun isomorfismo tra i gruppi additivi (A, + e (V,+ Con le stesse considerazioni svolte sopra si verifica poi che f (a b =f (a f (b a,b A Infine, se f : V V è un isomorfismo di K-spazi vettoriali, f è un isomorfismo tra i gruppi (V, + e (A, + e va solo verificato che f (cv =cf (v, c K, v V Se infatti f (v =v e f (cv =w, bisognaverificarechecv = w f(cv=cf(v =cv = f(w Si ha:

CAP 4 OMOMORFISMI TRA STRUTTURE ALGEBRICHE 49 equindi,essendo f iniettiva, cv = w, cioè cf (v =f (cv Si noti che la proposizione precedente ci permette di concludere che l essere isomorfi èunarelazione di equivalenza nell insieme dei gruppi (o degli anelli o degli spazi vettoriali La teoria dei gruppi si occupa di studiare quelle proprietà deigruppichesonoinvarianti per isomorfismo, cioè che,valendoperungruppo,valgonoperognigruppoadessoisomorfo Lostesso vale per la teoria degli anelli e la teoria degli spazi vettoriali Ogni omomorfismo tra due strutture algebriche definisce due importanti sottostrutture algebriche dello stesso tipo: nucleo ed immagine dell omomorfismo Prima di introdurle ci serve un criterio per riconoscere quando un sottoinsieme di una data struttura algebrica èunasuasottostruttura(dello stesso tipo Cominciamo dai gruppi [per i quali utilizziamo la notazione astratta (cfr Osserv] Proposizione Sia (G, un gruppo e sia H un sottoinsieme non vuoto di G h h H, h,h H; H èunsottogruppodi G G H; h H, h H Risulta: Dim L implicazione ( = èevidente, perché H èungruppo, rispettoall operazione (ristretta ad H Proviamo l implicazione ( = Dalla prima delle tre condizioni segue che in H èdefinitalastessa operazione di G Inoltretaleoperazioneammetteelementoneutroedinversodiognielemento, in base alle altre due condizioni L associatività vale in H, in quanto vale in G Pertanto H èun sottogruppo di G Osservazione Possiamo riscrivere le tre condizioni di Prop nella seguente forma compatta HH H; G H; H H Si osservi poi che se l operazione del gruppo G è indicata in forma additiva (cioè con +,le tre condizioni della precedente proposizione diventano: h + h H, h,h H; 0 G H; h H, h H In forma compatta quindi si scrivono nella forma: H + H H; 0 G H; H H Le tre condizioni di Prop possono essere riunificate in un unica condizione Proposizione 3 Sia (G, un gruppo e sia H un sottoinsieme non vuoto di G H èunsottogruppodi G h h H, h,h H [ovvero, in forma compatta, HH H] Risulta: Dim L implicazione ( = èevidente, perché H èungruppo Proviamol implicazione( = Scelto h H, allorahh H, cioè G H Per ogni h H, G h H, cioè h H Infine, siano h,h H: allora h H edunque h (h H, cioè h h H Osservazione 3 Per un gruppo (G, + (espresso cioè in notazione additiva la Prop 3 si enuncia nella forma: H èunsottogruppodi (G, + h h H, h,h H H H H Proposizione 4 Sia (A, +, un anello e sia B un sottoinsieme non vuoto di A B èunsottoanellodi A b b B, b b B, b,b B [ovvero, in forma compatta, B B B e BB B] Risulta:

50 G CAMPANELLA APPUNTI DI ALGEBRA PER INFORMATICA Dim (= L implicazioneèevidente Verifichiamol implicazione( = La prima condizione equivale a dire che (B,+ èunsottogruppodi (A, +; la seconda che in B èdefinital operazione di moltiplicazione (indotta da quella in A La proprietà associativa e le distributive valgono in B in quanto giàvalevanoina Proposizione 5 Sia V un K-spazio vettoriale e sia W un sottoinsieme non vuoto di V Risulta: W èun K-sottospazio vettoriale di V w w W, aw W, w,w,w W, a K Dim La prima condizione equivale a dire che (W, + èunsottogruppodi (V, +; la seconda che in W èdefinitalamoltiplicazioneperunoscalare(indottadaquellainv Gli assiomi di spazio vettoriale valgono in W in quanto valgono in V Osservazione 4 Si osserva subito che le due condizioni della proposizione precedente possono essere riunite in un unica condizione: W èun K-sottospazio vettoriale di V a w + a w W, w,w W, a,a K Ora veniamo alla definizione di nucleo ed immagine di un omomorfismo dai gruppi Al solito, cominciamo Definizione 5 Siano (G, e (G, due gruppi e sia f : G G un omomorfismo Si chiama nucleo di f la controimmagine (in G dell elementoneutrodig, cioè l insieme f ( G ={a G f(a = G }, che viene tradizionalmente denotato Ker(f (o Ker f [da kernel =nucleo] [Si noti che, se G èespressoinnotazioneadditiva, Ker(f =f (0 G ={a G f(a =0 G }] Si chiama immagine di f l immagine insiemistica Im(f (o Im f, cioè l insieme Im(f ={f(a, a G} Proveremo ora che Ker(f èunsottogruppodi G mentre Im(f èunsottogruppodi G verificheremo che il nucleo ècollegatoall iniettivitàdell omomorfismo Poi Proposizione 6 Se f :(G, (G, èunomomorfismodigruppi, Ker(f èunsottogruppodi (G, e Im(f èunsottogruppodi (G, Dim Dalla Prop, perdimostrarecheker(f èunsottogruppodi G basta verificare che ab Ker(f, a, b Ker(f Infatti, se f(a =f(b = G,alloraf(ab =f(a f(b =f(a f(b = G ( G = G Analogamente, per provare che Im(f èunsottogruppodi G basta verificare che, f(a f(b Im(f, f(a, f(b Im(f Infatti f(a f(b = f(a f(b =f(ab eovviamentef(ab Im(f Proposizione 7 Sia f :(G, (G, un omomorfismo di gruppi Risulta: f è iniettivo (cioè unmonomorfismo Ker(f ={ G } f èsuriettivo(cioèunepimorfismo Im(f =G Dim La seconda affermazione èunadefinizioneinsiemistica Dimostriamolaprima Se f è iniettivo e a Ker(f, f(a = G = f( G Ne segue che a = G,cioè Ker(f ={ G } Viceversa, sia Ker(f ={ G } e sia f(a =f(b Allora G = f(a f(b = f(a f(b =f(ab

CAP 4 OMOMORFISMI TRA STRUTTURE ALGEBRICHE 5 Dunque ab Ker(f, da cui ab = G equindi a = b Per anelli e spazi vettoriali, le due proposizioni precedenti continuano a sussistere, con analoghe dimostrazioni Esplicitiamo la definizione di nucleo e immagine nei due casi Sia f :(A, +, (B,+, un omomorfismo di anelli ed immagine di f gli insiemi Si chiamano rispettivamente nucleo di f Ker(f ={a A f(a =0 B }, Im(f ={f(a, a A} Lasciamo allo studente la verifica dei seguenti fatti: Ker(f èunsottoanellodi A; Im(f èunsottoanellodi B; f èunomomorfismoiniettivo Ker(f ={0 A }; f èunomomorfismosuriettivo Im(f =B Analogamente, sia f : V W un omomorfismo di K-spazi vettoriali Si chiamano rispettivamente nucleo di f ed immagine di f gli insiemi Si verifichi che: Ker(f ={v V f(v =0 W }, Im(f ={f(v, v V } Ker(f è un K-sottospazio vettoriale di V ; Im(f è un K-sottospazio vettoriale di W ; f èunomomorfismoiniettivo Ker(f ={0 V }; f èunomomorfismosuriettivo Im(f =W ESERCIZI PROPOSTI 4 Sia = {A 3(R a = a 3 = a = a 3 =0} Verificare se èun R-sottospazio vettoriale di 3(R e se è un sottoanello di 3(R 4 Sia n e sia f : n(k n (K l applicazione che ad ogni matrice A n(k associa la matrice ottenuta da A privandola degli elementi dell ultima riga e dell ultima colonna Verificare che f èunomomorfismodik-spazi vettoriali e determinarne nucleo ed immagine È vero che f èunomomorfismodianelli? 43 Sia τ una fissata permutazione di S n Sia f : S n S n l applicazione così definita: f(σ =τστ, σ S n Verificare che f èunautomorfismodi S n [èdettoautomorfismo di coniugio (relativo a τ] 44 Sia n e sia π : Z Z n l applicazione così definita: π(a =a, a Z Verificare che π è un omomorfismo di anelli e determinare Ker(π π è detta proiezione canonica di Z sull anello quoziente Z n 45 L applicazione f : R (R taleche ϕ(t = ( t 0 0 t, t R, èunomomorfismodispazivettorialiodianelli? Incasoaffermativo,calcolarnenucleoedimmagine 46 Sia f : V W un omomorfismo di K-spazi vettoriali (i SeW èunsottospaziovettorialedi W,verificarechef (W èunsottospaziovettorialedi V (ii SeV èunsottospaziovettorialedi V,verificarechef(V èunsottospaziovettorialedi W 47 Sia : K[X] K[X] l applicazione di derivazione, cosìdefinita: P = n a i X i K[X], P = a +a X +3a 3 X + + na n X n [se K = R, P èl usualederivataprimadelpolinomio P ] (i Verificare che è un omomorfismo di K-spazi vettoriali ma non un omomorfismo di anelli i=0

5 G CAMPANELLA APPUNTI DI ALGEBRA PER INFORMATICA (ii PostoK = R, calcolare Im (iii PostoK = R, calcolare Ker 48 In (R siconsideriilsottoinsieme H = {A (R (A =0} [si ricorda che (A denota l elemento a della matrice A] Verificare che H èun R-sottospazio vettoriale di (R e che è nucleo di un opportuno omomorfismo ϕ : (R R

5 Generalità sugli spazi vettoriali Nei precedenti paragrafi di questo capitolo abbiamo definito il concetto di spazio vettoriale, di sottospazio vettoriale e di omomorfismo tra spazi vettoriali Abbiamo inoltre presentato alcuni esempi di spazi vettoriali Ora presenteremo altri importanti concetti relativi ad uno spazio vettoriale, cominciando con alcune semplici regole di calcolo all interno di uno spazio vettoriale, che discendono con facilitàdalladefinizione Proposizione Sia V un K-spazio vettoriale (i 0v =0, v V (ii ( cv = (cv, c K, v V (iii c 0 =0, c K (iv se cv =0, allora c =0 oppure v =0 Risulta: Dim (i 0v =(0+0v =0v +0v Ne segue che 0+0v =0v +0v Cancellando, 0 =0v (ii ( cv + cv =( c + cv =0v =0 Allora ( cv èl oppostodi cv (iii c 0 = c(0 +0=c 0 + c 0 Ne segue che 0+ c 0 = c 0 + c 0 Cancellando, 0 = c 0 (iv Se c 0, allora c K Quindi v =v =(c c v = c (cv=c 0 =0 Sappiamo che è possibile eseguire in un K-spazio vettoriale V somme e moltiplicazioni per scalari Se combiniamo tra loro tali operazioni, otteniamo la definizione di combinazione lineare di vettori Definizione Assegnati in V ivettori v,v,, v n e in K gli scalari c,c,, c n,sichiama combinazione lineare dei vettori v,v,, v n,acoefficienti c,c,, c n, il vettore c v + c v + + c n v n V Assegnato un vettore v V,diremochev è combinazione lineare dei vettori v,v,, v n se esistono c,c,, c n K tali che v = c v + c v + + c n v n Il vettore nullo 0 èsemprecombinazionelinearedeivettori v,v,, v n (qualunque essi siano Infatti 0 v +0v + +0v n =0 La combinazione lineare 0v +0v + +0v n èdettacombinazione lineare banale di v,v,, v n Può talvolta avvenire che il vettore nullo 0 sia ottenibile anche come combinazione lineare non banale [cioè acoefficientinontuttinulli] di v,v,, v n In tal caso tali vettori sono detti linearmente dipendenti Ad esempio, consideriamo in R iduevettori x =(,, y=(, 4 Si ha: x + y =(, + (, 4 = (, 4 + (, 4 = (0, 0 = 0 Dunque x, y sono linearmente dipendenti Formalizziamo queste considerazioni in una definizione Definizione Assegnati i vettori v,v,, v n V, diciamo che essi sono linearmente dipendenti se esistono c,c,, c n K, nontuttinulli,talichec v + c v + + c n v n =0 In caso contrario i vettori v,v,, v n V, sono detti linearmente indipendenti v,v,, v n V sono linearmente indipendenti se risulta: c v + c v + + c n v n =0 = c = c = = c n =0 [cioè: l unica loro combinazione lineare che fornisce il vettore nullo è quella banale] Si ha quindi: Ad esempio i due vettori x =(, 3, y=(, 0 R sono linearmente indipendenti Come possiamo verificarlo? Supponiamo che sia ax+ by =0,cona, b R Allora

54 G CAMPANELLA APPUNTI DI ALGEBRA PER INFORMATICA (a, 3a+( b, 0 = (a b, 3a =(0, 0 e dunque a b =0, 3a =0 Dobbiamo quindi verificare se esistono o meno due elementi a, b R, nonentrambinulli,cherisolvono il seguente sistema di equazioni lineari (cioè di primo gradonelle variabili a, b: { a b =0 3a =0 Dalla seconda equazione, a =0 Sostituendo a =0 nellaprima,seguecheanche b =0 Siconclude che x, y sono linearmente indipendenti Dalle considerazioni appena svolte si deduce che, per stabilire se vettori di R n sono linearmente dipendenti o indipendenti, bisogna saper risolvere sistemi di equazioni lineari (in più variabili Proposizione Assegnati i vettori v,v,, v n V,risulta: v,v,, v n sono linearmente dipendenti almeno uno di essi ècombinazionelinearedeglialtri Dim (= Sia c v +c v + +c n v n =0,conc,c,, c n non tutti nulli Se ad esempio c 0, allora v = c c v c n c v n edunque v ècombinazionelinearedi v,, v n ( = Sia ad esempio v combinazione lineare di v,, v n, cioè v = c v + + c n v n Allora v c v c n v n =0 Tale combinazione lineare di 0 ènonbanaleedunque v,v,, v n sono linearmente dipendenti Osservazione (i Un singolo vettore v èlinearmentedipendente è il vettore nullo [infatti cv =0,conc 0 implica v =0] (ii Se n vettori sono linearmente dipendenti non èdettocheciascuno di essi sia combinazione lineare degli altri Ad esempio, per ogni vettore v 0,iduevettori0,vsono linearmente dipendenti [infatti 0+0v =0], ma v non ècombinazionelinearedi 0 [in quanto v c 0, c R], mentre 0 lo èdi v [infatti 0 =0v] (iii La Prop, letta in forma contrappositiva, diventa: ivettori v,v,, v n sono linearmente indipendenti nessuno di essi ècombinazionelinearedeglialtri (iv Èevidenteche,se v,, v n sono linearmente indipendenti, ogni sottoinsieme non vuoto di {v,, v n } èformatodavettorilinearmenteindipendenti Viceversa,seunsottoinsiemeproprio di {v,, v n } èformatodavettorilinearmentedipendenti,ivettori v,, v n sono linearmente dipendenti Èaltresìevidenteche,se W èunsottospaziovettorialedi V e w,, w n W,risulta: w,, w n sono linearmente indipendenti in W lo sono in V Definizione 3 Assegnati in un K-spazio vettoriale V ivettori u,u,, u t, denoteremo con u,u,, u t l insieme di tutte le possibili loro combinazioni lineari, cioè u,u,, u t = { t a i u i, a i K } i= Tale insieme èdetto sottospazio generato da u,u,, u t Si verifica facilmente, usando l Osserv 4 del paragrafo precedente, che u,u,, u t èunsottospazio vettoriale di V echeè il più piccolosottospaziovettorialedi V contenente u,u,, u t Ad esempio consideriamo i tre vettori x =(, 3, 0, y=(,,, z=(, 4, R 3 edenotiamo con W il sottospazio vettoriale da essi generato Dunque W = x, y,z = {ax+ by+ cz, a, b, c R} Consideriamo ora un vettore v R 3, ad esempio il vettore v =(3, 5, Ci chiediamo se tale vettore appartiene a W Risulta:

CAP 5 GENERALITA SUGLI SPAZI VETTORIALI 55 v W a, b, c R tali che ax+ by+ cz = v Uguagliando le tre componenti dei due vettori, si ottiene: a +b + c =3 3a + b +4c =5 b + c = Dunque v W il precedente sistema di tre equazioni lineari (nelle incognite a, b, c ammette soluzioni Lo studente probabilmente sa come risolvere tale sistema (o lo imparerà in questo corso Per il momento può verificarecheadesempiolaterna (a, b, c =(3,, 4 èsoluzioneditalesistema edunqueche v =3x y +4z Pertanto v W Dalle considerazioni appena svolte si deduce che anche per stabilire se un vettore appartiene al sottospazio generato da vettori di R n bisogna saper risolvere sistemi di equazioni lineari (in più variabili La risoluzione di sistemi di equazioni lineari (di cui ci occuperemo nel prossimo capitolo è lo strumento tecnico fondamentale nello studio degli spazi vettoriali R n (o più generalmentedei K- spazi vettoriali di dimensione finita Definizione 4 Sia V un K-spazio vettoriale I vettori u,u,, u t V sono detti sistema di generatori di V se il sottospazio vettoriale da essi generato coincide con V, cioè se u,u,, u t = V [Ovviamente i vettori u,u,, u t sono un sistema di generatori del sottospazio vettoriale u,u,, u t da essi generato] Osservazione (i Ad esempio, i due vettori e =(, 0, e =(0, K sono un sistema di generatori di K Infatti, (a, b K, risulta: (a, b =a (, 0 + b (0, = ae + be Dunque e,e = K Più in generale, gli n vettori e =(, 0, 0,, 0, e =(0,, 0,, 0,, e n =(0, 0,, 0, K n formano un sistema di generatori di K n (ii Esistono spazi vettoriali chenon ammettono sistemi di generatori formati da un numero finito di vettori Di essi non ci occuperemo ed i nostri spazi vettoriali saranno quindi, come si dice, finitamente generati Vogliamo però indicare due esempi di spazi vettoriali non finitamente generati ( Nel precedente paragrafo abbiamo considerato l anello dei polinomi K[X], a valori su un campo K, edosservatocheèancheun K-spazio vettoriale Se fosse finitamente generato, esisterebbero P,, P n K[X] tali che P,, P n = K[X] Per ogni i =, n, denotiamocond i il grado di P i eponiamo d := max{d,, d n } Ogni polinomio n di P,, P n èdellaforma c i P i Poiché il suo grado è d, ad esempio X d+ P,, P n i= Ne segue che P,, P n K[X] ( Sia I un sottoinsieme non vuoto di R e sia l insieme di tutte le funzioni da I a R Lasciamo I come esercizio la verifica che èun R-spazio vettoriale rispetto alla seguente operazione di somma: I ed alla seguente moltiplicazione per uno scalare: (f + g(x =f(x+g(x, x I, f, g I, (cf(x =cf(x, x I, f I, c R Si potrebbe verificare che, se I è un insieme infinito, I non è finitamente generato (iii Ivettorigeneratori di uno spazio vettoriale (finitamente generato non sono ovviamente unici, ma possono facilmente essere sostituiti da altri, che generino lo stesso spazio vettoriale Ad esempio possiamo considerare come sistema di generatori di R anche i due vettori x =(3, 5, y=(, Va verificato che ogni vettore (a, b R ècombinazionelinearedi x, y e cioè cheesistono r,s R tali che rx + sy =(a, b, ovvero che il sistema di equazioni lineari

56 G CAMPANELLA APPUNTI DI ALGEBRA PER INFORMATICA { 3r s = a 5r +s = b (nelle incognite r, s ammettesoluzione Lostudentepuòverificarechetalesistemahacome(unica soluzione la coppia (r, s = (a + b, 3b 5a (iv Sinotiche, seaggiungiamoadunsistemadigeneratoridiv altri vettori, otteniamo ancora un sistema di generatori Ma ovviamente èpiùutileandarenelladirezioneopposta,cioè rimpicciolire un sistema di generatori, sfrondandolo da vettori superflui Ad esempio riconsideriamo i tre vettori x =(, 3, 0, y =(,,, z =(, 4, R 3 (già considerati in un esempio precedente Proviamo a porre ax + by = z earisolvereilsistemadi equazioni lineari che se ne deduce (uguagliando le tre componenti dei vettori a +b = 3a + b =4 b = Osserviamo che tale sistema ammette soluzione (a, b =(, e dunque che z = x + y Allora èevidenteche z èsuperfluocomegeneratoredi x, y,z, in quanto ogni vettore ax + by + cz si riscrive nella forma ax + by + c( x + y =(a c x +(b + c y Dunque x, y,z = x, y Non èpossibilerimpicciolireulteriormenteilsistemadigeneratori Infattisiverificache x y e y x (cioè, in base a Osserv (iii, che i due vettori x, y sono linearmente indipendenti Le considerazioni svolte nel punto (iv dell osservazioneprecedentecihannoportatoadeterminare sistemi di generatori formati da vettori linearmente indipendenti Siamo cosìarrivatialladefinizione di base di uno spazio vettoriale Definizione 5 Sia V un K-spazio vettoriale I vettori u,u,, u n V sono detti base di V se sono linearmente indipendenti e formano un sistema di generatori di V Èevidentecheivettori e =(, 0, 0,, 0, e =(0,, 0,, 0,, e n =(0, 0,, 0, K n formano una base di K n Infatti giàabbiamoosservatochesonounsistemadigeneratori Verifichiamo quindi che sono linearmente indipendenti Sia infatti a e + a e + + a n e n =0 Poiché a e + a e + + a n e n =(a,a,, a n, allora a = a = = a n =0 La base {e,e,, e n } èdettabase canonica di K n L aggettivo canonica significa che tale base è la più naturale chesipossaconsiderarein K n [per un motivo che sarà chiaritonelprossimo esempio] Proposizione 3 Sia V un K-spazio vettoriale e siano u,, u n V Risulta: { u,, u n } èunabasedi V ogni vettore v V si scrive in modo unico come combinazione lineare dei vettori u,, u n [cioè! ( c,, c n K n tale che v = n c i u i ] i= Dim (= Poiché { } n u,, u n èunsistemadigeneratoridi V,risulta: v = c i u i (per opportuni i= c,, c n K Dimostriamo che tali coefficienti sono unici Se risultasse anche v = n d i u i, con d,, d n K, siavrebbe n (c i d i u i =0 i= Poiché u,, u n sono linearmente indipendenti, c i d i =0, i =,, n Dunque la scrittura è unica i=

CAP 5 GENERALITA SUGLI SPAZI VETTORIALI 57 ( = Per ipotesi ogni vettore v V può esserescrittonellaforma: v = n c i u i {u,, u n } èunsistemadigeneratoridi V Se poi n c i u i =0, allora i= i= Dunque n c i u i = n 0 u i e dunque, per l unicità dellacombinazionelineare, c = = c n =0 Pertantoivettori u,, u n sono linearmente indipendenti i= i= Definizione 6 Sia V un K-spazio vettoriale e sia { } u,, u n una sua base Per ogni vettore v V, se v = n c i u i, la n-pla ( c,, c n èdettan-pla delle coordinate di v rispetto alla base { } i= u,, u n Un esempio Cosideriamo in R 3 itrevettori u =(, 0, 0, u =(,, 0, u 3 =(,, Supponiamo per il momento di aver dimostrato che tali vettori formano una base di R 3 Ci chiediamo quale sia la terna delle coordinate del vettore v =(,, 3 rispetto a tale base Si tratta di determinare la terna (c,c,c 3 R 3 tale che c u + c u + c 3 u 3 = v Si ottiene il sistema di equazioni lineari c + c + c 3 = c + c 3 = c 3 =3 Probabilmente il lettore sa risolvere tale sistema ( a scala o lo imparerà nelprossimocapitolo Si può verificare comunque che la terna cercata è (,, 3 Dunque le coordinate del vettore v in base {u,u,u 3 } sono (,, 3 [ben diverse quindi dalle tre componenti,, 3div] Se invece consideriamo la base canonica {e,e,e 3 } di R 3, si verifica subito che le coordinate di v =(,, 3 sono proprio (,, 3 Dunque, rispetto alla base canonica, le coordinate di un vettore di R 3 sono esattamente le sue componenti Per questo motivo {e,e,e 3 } si chiama base canonica Ci resta il problema di verificare che {u,u,u 3 } èunabasedi R 3 Per verificare che i tre vettori sono linearmente indipendenti, bisogna verificare che il sistema di equazioni lineari c + c + c 3 =0 c + c 3 =0 c 3 =0 non ammette soluzioni diverse dalla terna (0, 0, 0 (e ciòèpraticamenteimmediato Perverificare che i tre vettori formano un sistema di generatori bisogna verificare che, per ogni terna (a, b, c R 3, il sistema di equazioni lineari (nelle incognite c,c,c 3 c + c + c 3 = a c + c 3 = b c 3 = c ammette soluzioni Si verifica facilmente che una soluzione è la terna (a b, b c, c Due commenti La risoluzione dei precedenti sistemi di equazioni lineari risulta probabilmente piuttosto agevole, in quanto i dati numerici assegnati sono semplici e il numero delle equazioni e delle variabili è molto basso E evidente che,se i dati sono più complicati,per risolvere tali sistemi occorre un po di teoria Per verificare che i tre vettori u,u,u 3 formano una base abbiamo eseguito due calcoli diversi (uno per verificare l indipendenza lineare ed uno per verificare che i vettori sono un sistema di generatori I prossimi risultati ci diranno che abbiamo fatto un lavoro parzialmente inutile: in R n,sen vettori sono linearmente indipendenti, sono automaticamente un sistema di generatori e viceversa Vogliamo introdurre il concetto di dimensione di uno spazio vettoriale e dimostrare l affermazione fatta qui sopra, in conclusione del commento Cominciamo con il seguente risultato, cheè il cuore di tutto Proposizione 4 Sia { u,, u n } un sistema di generatori di V Siano w,, w m m vettori di

58 G CAMPANELLA APPUNTI DI ALGEBRA PER INFORMATICA V Se m>n,talivettorisonolinearmentedipendenti Dim Dei vettori assegnati w,, w m, consideriamo i primi n, cioè w,, w n Se tali vettori fossero linearmente dipendenti, anche w,, w m lo sarebbero (in base all Osserv (iv e dunque non ci sarebbe altro da dimostrare Assumiamo invece che w,, w n siano linearmente indipendenti Basterà provareintalcasocherisulta: ( w,, w n = V [se infatti ( èverificato, w n+ w,, w n equindi w,, w n,w n+ sono linearmente dipendenti Allora w,, w m sono linearmente dipendenti] Per provare ( faremo vedere che, partendo dal sistema di generatori {u,, u n }, èpossibile sostituire uno dei generatori u i (ad esempio u con w ed ottenere un nuovo sistema di generatori {w,u,, u n } Partendo da tale sistema di generatori vedremo che èpossibilesostituire w con uno dei vettori u i (ad esempio u, ottenendo un sistema di generatori {w,w,u 3,, u n } Passo passo, sostituiremo tutti i w i ai vecchi generatori u i,edotterremo( Poiché V = u,, u n, w = a u + + a n u n, per opportuni a,, a n K Poiché w 0,qualchecoefficientea i ènonnullo Seadesempio a 0 siha: Dunque u w,u,, u n u = a w a a u a n a u n Ma allora V = u,u,, u n w,u,, u n equindi V = w,u,, u n Se n =, ( è provata Assumiamo n > Si ha allora w = b w + b u + + b n u n Icoefficienti b,, b n non sono tutti nulli [altrimenti w = b w edunque w,w sarebbero linearmente dipendenti, contro l ipotesi] Se, se ad esempio b 0, siottiene(operandocomesoprache u w,w,u 3,, u n,dacui V = w,w,u 3,, u n Se n =, ( èprovata Altrimenticonlastessaprocedurasiottiene V = w,w,w 3,u 4,, u n ecosìvia,sinoaverificare ( Teorema (Teorema della dimensione Se un K-spazio vettoriale V ha una base formata da n vettori, ogni altra base di V è formata da n vettori Dim Sia { } { } u,, u n una base di V e sia w,, w m un altra base di V I vettori w,, w m sono linearmente indipendenti e quindi, in base alla Prop 4, m n D altra parte { } w,, w m èunsistemadigeneratoridi V e u,, u n sono linearmente indipendenti Sempre dalla Prop 4, n m Pertanto n = m Definizione 7 Sia V un K-spazio vettoriale che ammette una base finita Il numero di vettori di tale base [e quindi di ogni altra base di V ] èdettodimensione di V esaràdenotato dim K (V oppure dim(v oanche dim V Si noti che lo spazio vettoriale nullo {0} non ha basi; gli attribuiremo comunque dimensione 0 Scriveremo talvolta V = V n per indicare che V èun K-spazio vettoriale di dimensione n K È evidente che dim(k n = n Vogliamo ora calcolare la dimensione dello spazio vettoriale (K dellematriciadm righe ed n colonne, a valori in K (introdotto nel paragrafo m,n Considerate le mn matrici elementari E hk (cfr Osserv, abbiamo giànotatochetalimatrici formano un sistema di generatori di (K Verifichiamo che tali matrici sono anche linearmente m,n indipendenti (e dunque una base dello spazio vettoriale Risulta:

Dunque, se m h= k= CAP 5 GENERALITA SUGLI SPAZI VETTORIALI 59 m h= k= n a hk E hk = a a a n a a a n a m a m a mn n a hk E hk = 0 (matrice nulla, allora a hk =0, h =,, m, k =,, n Concludiamo quindi che dim( (K = mn La base formata dalle matrici elementari èdetta m,n base canonica di (K m,n Si noti che m,n(k si identifica in modo naturale con K mn Basta scrivere le righe di ogni matrice una di seguito all altra e si ottiene una mn-pla Veniamo ora ad un altra conseguenza della Prop 4, preannunciata nel precedente commento Proposizione 5 Sia dim K (V =n Risulta: (i n vettori linearmente indipendenti formano una base (ii Un sistema di generatori di V formato da n vettori è una base Dim (i Siano u,, u n V vettori linearmente indipendenti Vogliamo dimostrare che ogni v V si esprime come loro combinazione lineare Consideriamo gli n + vettori v,u,, u n In base alla Prop 4, talivettorisonolinearmentedipendenti Sia av+ b u + + b n u n =0 una loro relazione di dipendenza lineare non banale Se per assurdo fosse a = 0, risulterebbe b u + + b n u n = 0, con b,, b n non tutti nulli Dunque u,, u n sarebbero linearmente dipendenti, contro l ipotesi Pertanto a 0 Maallora v = b a u b a u b n a u n edunque v ècombinazionelinearedi u,, u n,comerichiesto (ii Sia u,, u n = V Vogliamo dimostrare che tali vettori sono linearmente indipendenti, cioè che nessuno di essi ècombinazionelinearedeirimanenti Perassurdo,siaadesempio u combinazione lineare di u,, u n Ne segue che u,, u n = u,u,, u n = V Ma allora, poiché V ha un sistema di generatori formato da n vettori, in base alla Prop 4 non può ammetterebasiformate da n vettori Da ciò segueunassurdo Quindi u,, u n sono linearmente indipendenti Osservazione 3 Sia V un K-spazio vettoriale di dimensione finita e sia W un suo sottospazio vettoriale Risulta subito che dim(w dim(v Se poi dim(w =dim(v, allora W = V Dimostriamo la prima affermazione Sia dim(v = n e, per assurdo, dim(w > n Esisterebbero in W n+ vettorilinearmenteindipendentitalivettorisarebberolinearmenteindipendentianche in V e ciò èassurdoinbaseallaprop 4 Dunque dim(w dim(v Se poi dim(w = dim(v = n, in W esiste una base formata da n vettori Tali vettori sono linearmente indipendenti anche in V Dunque, dallaprop 5, sonoancheunabasediv Pertanto V = W Ora ci poniamo due problemi in qualche modo opposti tra loro: ( Assegnati in uno spazio vettoriale V di dimensione finita un certo numero di vettori linearmente indipendenti, èpossibile completarli, aggiungendonealtriinmododaottenereunabasedi V? ( Assegnati in uno spazio vettoriale V di dimensione finita un sistema di generatori, è possibile estrarne una base di V? La risposta èpositivainentrambiicasi Teorema (Teorema del completamento Sia dim K (V =n esiano u,, u t V t vettori linearmente indipendenti, con t<n Esistono in V n t vettori u t+,, u n tali che { u,, u t,u t+,, u n } èunabasedi V

60 G CAMPANELLA APPUNTI DI ALGEBRA PER INFORMATICA Dim Poiché t<n, u,, u t V (in base a Prop 4 Si scelga arbitrariamente un vettore u t+ V u,, u t Verifichiamo che i vettori u,, u t,u t+ sono linearmente indipendenti Sia a u + + a t u t + a t+ u t+ =0 Se fosse a t+ 0, allora u t+ u,, u t, contro l ipotesi Dunque a t+ =0 Maallora, essendo u,, u t linearmente indipendenti, anche a = = a t =0 Dunque u,, u t,u t+ sono linearmente indipendenti Se ora t + <n risulta u,, u t,u t+ V equindisipuòsceglierearbitrariamenteunvettore u t+ V u,, u t+ Come fatto sopra si verifica che i vettori u,, u t,u t+,u t+ sono linearmente indipendenti Procedendo in questo modo, dopo un numero finito di passi si perviene ad una base { u,, u t,u t+,, u n } di V Teorema 3 (Teorema dell estrazione di una base Sia dim K (V =n e sia { u,, u m } un sistema di generatori di V [si noti che in ogni caso m n, in base a Prop 4] Esistono n vettori distinti u i,, u in { u,, u m } formanti una base di V Dim Se n =, il teorema èevidente [ognivettorenonnullodi { } u,, u m èunabase] Sia dunque n Possiamo ovviamente assumere u,, u m non nulli Poniamo u i = u Tra u,, u m scartiamo via via tutti i vettori che sono combinazioni lineari dei precedenti I vettori { } superstiti sono un sistema di generatori ui,, u is di V,taliche u i u i,u i u i,u i,, u is Proveremo che tali vettori formano una base di V indipendenti Per assurdo siano linearmente dipendenti e sia [e quindi s = n], dimostrando che sono linearmente s a k u ik =0 una loro relazione di dipendenza lineare non banale Èevidentechealmenoduecoefficienti a k sono non nulli Supponiamo che a r sia l ultimo di essi Il vettore u ir può essereallorascrittocomecombinazionelinearedeivettori precedenti, cioè u ir u i,u i,, u ir Ciòcontrastaconlacatenadiinclusionistrettariportata sopra Si conclude che u i,u i,, u is sono linearmente indipendenti k= Osservazione 4 Il precedente teorema si applica ad ogni sottospazio vettoriale W di V Se W ha un sistema di generatori { u,, u t }, una sua base èottenibilescegliendotraessiilmassimo numero di vettori linearmente indipendenti Ovviamente dim(w t Presenteremo ora una formula che collega tra loro le dimensioni di certi sottospazi vettoriali di uno spazio vettoriale Tale formula è nota come formula di Grassmann Premettiamo un osservazione Osservazione 5 Siano W,W due K-sottospazi vettoriali di V Risulta: (i W W èunsottospaziovettorialedi V,dettoovviamentesottospazio intersezione di W,W (ii W + W := { w + w, w W, w W } èunsottospaziovettorialedi V,dettosottospazio somma di W,W Entrambe le affermazioni si dimostrano utilizzando la Prop 5 del precedente paragrafo Si osservi che W + W è il più piccolosottospaziovettorialecontenentesia W che W Invece W W è il più grande sottospazio vettoriale contenuto sia in W che in W Si noti infine che l unione insiemistica di due sottospazi vettoriali non è(senonincasiparticolari un sottospazio vettoriale Infatti non è chiusa rispetto alla somma di vettori (cioè la somma di due vettori in W W può nonesserein W W Teorema 4 (Formula di Grassmann Siano W,W due sottospazi vettoriali di un K-spazio vettoriale V (di dimensione finita Risulta:

CAP 5 GENERALITA SUGLI SPAZI VETTORIALI 6 dim K (W +dim K (W =dim K (W + W +dim K (W W Dim Sia n = dim(w,n = dim(w e i = dim(w W [in base all Osserv 3, i n,i n ] Si fissi in W W una base {z,, z i } Poiché W W èunsottospaziodi W, in base al Teor possiamo completare tali vettori (linearmente indipendenti sino ad ottenere una base di W Sia { } z,, z i,u,, u n i tale base Analogamente, completiamo la base {z,, z i },sinoadottenereunabase { } z,, z i,v,, v n i di W Raduniamo ora tutti i vettori sopra considerati z,, z i,u,, u n i,v,, v n i [Sono i +(n i +(n i =n + n i] Se dimostriamo che tali vettori formano una base di W + W,alloradim(W + W =dim(w +dim(w dim(w W, da cui la formula cercata Èevidentechequeivettoriformanounsistemadigeneratoridi W + W Infatti per ogni vettore w + w, il vettore w ècombinazionelinearedi z,, z i,u,, u, mentre il vettore w è n i combinazione lineare di z,, z i,v,, v n i Sia ora a z + + a i z i + b u + + b n i u n i + c v + + c n i v n i =0 Per abbreviare la scrittura, poniamo z := a z + + a i z i, u := b u + + b n i u n i, v := c v + + c n i v n i Dunque z + u + v =0 Risulta: v = (z + u W W [infatti v W e (z + u W ] Ne segue che tale vettore può essereespressoinbase {z,, z i }, per cui si ha: Ne segue che cioè ovvero v = (z + u =d z + + d i z i z + u + d z + + d i z i =0, a z + + a i z i + b u + + b n i u n i + d z + + d i z i =0, (a + d z + +(a i + d i z i + b u + + b n i u n i =0 Poiché z,, z i,u,, u n sono linearmente indipendenti, i coefficienti di tale relazione sono tutti i nulli In particolare b = = b n i =0 Maallora a z + + a i z i + c v + + c n i v n i =0 Ma anche z,, z i,v,, v n i sono linearmente indipendenti e quindi a = = a i = c = = c n i =0 Pertantoivettoriconsideratisonolinearmenteindipendenti Nel seguente esempio utilizzeremo la formula di Grassmann per determinare dimensione e base di sottospazi somma e intersezione di due sottospazi assegnati Siano u,u,u 3 tre vettori linearmente indipendenti di uno spazio vettoriale V Assegnati i due sottospazi vettoriali W = u,u 3 e W = u u,u u 3, vogliamo detrminare la dimensione ed una base di W + W edi W W Osserviamo subito che dim(w = Anche dim(w = [infatti,se a(u u +b(u u 3 =0, allora (a + bu au bu 3 =0 equindi a + b = a = b =0, dacui a = b =0; iduegeneratori di W sono linearmente indipendenti] Il sottospazio W + W ègeneratoda {u,u 3,u u,u u 3 } Poiché u u 3 u,u 3, allora W + W = u,u 3,u u Questi tre generatori sono linearmente indipendenti [infatti, sia au + bu 3 + c (u u =0; segue che a + c = c = b =0 edunque a = b = c =0] Pertanto

6 G CAMPANELLA APPUNTI DI ALGEBRA PER INFORMATICA dim(w + W =3 editregeneratoriformanounabase Sinoticheanche u W + W edunque una base èanche {u,u,u 3 } Dalla formula di Grassmann, dim(w W =+ 3 = Siosservasubitoche u u 3 W W Dunque tale vettore forma una base di W W Dalla formula di Grassmann segue che dim(w + W =dim W + dim W dim(w W =0 W W = {0} In tal caso, una base di W + W èottenutaunendounabasedi W con una di W Diremo poi che due sottospazi W,W di V sono supplementari se W +W = V e W W = {0} In tal caso V èdettosomma diretta di W,W esiscrive W W = V Concludiamo il paragrafo dimostrando che gli spazi vettoriali di una data dimensione (finita sono tutti isomorfi tra loro La teoria degli spazi vettoriali è quindi decisamente scarna: a meno di isomorfismi esiste un unico modello di spazio vettoriale n-dimensionale: K n Teorema 5 Sia V un K-spazio vettoriale di dimensione n e sia {e,e,, e n } una sua base L applicazione f : V K n tale che, v V : f(v =(c,c,, c n, se v = n c i e i, è un isomorfismo di spazi vettoriali i= Ne segue che due spazi vettoriali n-dimensionali sono isomorfi Dim L applicazione f associa ad ogni vettore le sue coordinate in base {e,e,, e n } In base alla Prop 3, f èbiiettiva Verifichiamocheèunomomorfismo [equindiunisomorfismo] Infatti, presi comunque v = n c i e i,w= n d i e i in V ed a in K, siha: i= i= f(v + w =f ( n (c i + d i e =(c i + d,, c n + d n =(c,, c n +(d,, d n =f(v+f(w, i= f(av=f ( n (ac i e =(ac i,, a c n =a (c,, c n =af(v i= Veniamo all ultima affermazione Siano V, W due K-spazi vettoriali n-dimensionali Scelta una base in V ed una in W, sono definiti i due isomorfismi f : V K n e g : W K n che associano ad ogni vettore le rispettive coordinate Tenuto conto del fatto che la composizione di isomorfismi è un isomorfismo e che l inverso di un isomorfismo è un isomorfismo, l applicazione g f : V W è un isomorfismo NB Un osservazione sulle notazioni impiegate Abbiamo indicato i vettori della base scelta in V con e,e,, e n In questo stesso modo avevamo indicato anche i vettori della base canonica di K n Ma non c è alcun rapporto tra le due cose e lo studente non deve fare confusione: non ha senso infatti parlare di base canonica in uno spazio vettoriale astratto V [dove non ci sono vettori più semplici o più naturali di altri, da scegliere per formare questa fantomatica base canonica ] Soltanto in alcuni spazi vettoriali concreti [come K n o m,n (K] troviamo una base canonica [cioè una base i cui vettori sono più adattidialtriafungeredabase] ESERCIZI PROPOSTI 5 Assegnati in R 3 iduevettori x =(, 0, ed y =(0,,, verificare che sono linearmente indipendenti e determinare un vettore z R 3 tale che {x, y,z} sia una base di R 3 5 Assegnati in R 3 ivettori x =(, 0,, y=(0,,, z=(,, 0, w=(, 0,, verificare se èpossibileestrarredaessiunabasedi R 3 53 Sono assegnate in (R le seguenti quattro matrici

A = CAP 5 GENERALITA SUGLI SPAZI VETTORIALI 63 (,A 0 0 = ( 0,A 0 3 = ( 0 0,A 4 = ( 0 0 (i Verificare che tali matrici sono linearmente dipendenti ed esprimere l ultima in funzione delle prime tre (ii Posto W = A,A,A 3,determinaredim(W eindicareunabasediw ( 0 (iii Verificare se la matrice elementare E = appartiene a W e, in caso affermativo, 0 0 scriverne le coordinate rispetto alla base di W ottenuta in (ii 54 Sia = {A 3(R a = a 3 = a = a 3 =0} Si tratta di un R-sottospazio vettoriale di 3(R (cfr Eserc 43 Determinare una base e la dimensione di 55 Sia {e,e } una base di un R-spazio vettoriale V di dimensione Siano Verificare che {f,f alla base {f,f} f = e e, f =e + e V } èunabasedi V Assegnato in V il vettore v = e e,esprimerlorispetto 56 Assegnata una base {e,e,e 3,e 4 } di un R-spazio vettoriale V avente dimensione 4, si considerino i due sottospazi vettoriali V = e e,e e 3, V = e e 4,e 3 e 4 Verificare se i due sottospazi vettoriali sono supplementari 57 Una matrice A n(k èdettaantisimmetrica se risulta a ij = a ji, i, j =,, n [cioè se A = t A] Verificare che le matrici antisimmetriche di 3(R formanounsottospaziovettoriale di dimensione 3 in 3(R e indicarne una base 58 Scelto n N, si consideri in K[X] il sottoinsieme W = W n = {P K[X] deg(p n} Verificare che W è un K-sottospazio vettoriale di K[X] Indicarne la dimensione ed una base

Capitolo 3 SISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI Generalità e algoritmo di Gauss Nel capitolo precedente abbiamo visto come per risolvere problemi legati allo studio degli spazi vettoriali lo strumento tecnico fondamentale sia la risoluzione di sistemi di equazioni lineari In questo capitolo ci occuperemo di studiare come si risolve un sistema lineare Nel presente paragrafo introdurremo alcune definizioni e descriveremo un algoritmo che permette di risolvere tali sistemi, noto come algoritmo di Gauss Definizione Un sistema di m equazioni lineari in n indeterminate (o incognite x,x,,x n, avaloriinuncampo K [abbreviato SL oppure SL(m, n, K] è un insieme di m equazioni del tipo: a x + a x + + a n x n = b a x + a x + + a n x n = b a m x + a m x + + a mn x n = b m o(informaabbreviata: { n a ij x j = b i [i =,,m], j= dove gli elementi a ij,b i K sono detti rispettivamente coefficienti e termini noti delle equazioni del SL Si chiama soluzione di tale SL ogni n-pla z =(z,z,,z n K n tale che: { n a ij z j = b i [i =,,m] j= [cioè chetrasformile m equazioni del sistema in m uguaglianze in K] Un SL privo di soluzioni è detto incompatibile; altrimentièdettocompatibile o risolubile Un SL(m, n, K èdettoomogeneo [abbreviato SLO(m, n, K] se i suoi termini noti sono tutti nulli Ovviamente un SLO è sempre compatibile: infatti ammette come soluzione la n-pla nulla 0 =(0, 0,,0, dettasoluzione banale Le altre sue (eventuali soluzioni sono dette autosoluzioni Infine, assegnato un SL(m, n, K, sostituendoitermininoticon0, siottieneunslo(m, n, K, detto sistema lineare omogeneo associato al SL dato Osservazione Con il prodotto righe per colonne èpossibileottenereunascrittura matriciale dei sistemi di equazioni lineari Assegnato infatti il SL(m, n, K: { n a ij x j = b i [i =,,m], indichiamo con X la colonna x x n AX = j= delle indeterminate, con b = b b m m,(k la colonna dei termini noti e con A =(a ij m,n(k la matrice dei coefficienti del SL Eseguendo il prodotto righe per colonne delle matrici A ed X, siha: a x + + a n x n a x + + a n x n a m x + + a mn x n Pertanto il SL assegnato può esserescrittonellaforma: AX = b = b b b m = b

66 G CAMPANELLA APPUNTI DI ALGEBRA PER INFORMATICA La matrice ( A b (K èdettamatrice completa (o matrice orlata delsl AX = b e m,n+ lo individua completamente Esiste un ovvia corrispondenza biunivoca tra m,n+(k el insieme dei SL(m, n, K Quanto alle incognite, è chiaro che il loro nome èarbitrarioepuòesseremodificato; quel che conta è il numero delle incognite ed il loro ordine È evidente che le eventuali soluzioni z = ( n z,, z n K del SL(m, n, K AX = b corrispondono biunivocamente alle matrici colonna z = z z n èopportunoidentificare z con z, cioè identificare K n con n, (K] (K tali che Az = b [Per tale motivo n, Si osservi infine che ogni soluzione z = ( z,, z n del SL AX = b esprime la colonna b come combinazione lineare delle colonne di A Infattirisulta: b = Az = ( A ( A (n z z n = n i= A (i z i Due esempi ( Èassegnatoil SL(, 3,R { x = Tale sistema ha tre incognite (di cui x èragionevolmentelaprimainformamatricialesiscrive ( 0 0 x x x 3 = ( Tale SL è compatibile e le sue soluzioni sono le terne (, b,c R 3, b, c R ( 0 ( Èassegnatoun SL con matrice completa Si tratta del SL(,, R 0 { ( ( ( x = 0 x [ovvero, scritto in in forma matriciale, = ] x =, 0 x Tale sistema èmanifestamenteincompatibile (inquantoimplica = { x =0 Il SLO(,, R ad esso associato è Le soluzioni di tale SLO formano il sottoinsieme x =0 Σ 0 = {(0,t, t R} di R Si tratta del sottospazio vettoriale (0, di R Che l insieme delle soluzioni di tale SLO sia uno spazio vettoriale non èunfattocasuale,comeoravedremo Proposizione Sia AX = 0 un SLO(m, n, K L insieme Σ 0 delle sue soluzioni èunsottospazio vettoriale di K n Dim Basta verificare che, y,z Σ 0 e a, b K, risulta ay+ bz Σ 0, ovvero [indicate con y e z le colonne corrispondenti a y, z] A (a y + b z = 0 Infatti si ha (utilizzando le proprietàdi Prop di Cap : A(ay + bz =A(a y+a(b z =a(a y+b(a z =a 0 + b 0 = 0 Sia AX = b un SL compatibile e non omogeneo In tal caso l insieme Σ delle sue soluzioni non può maiessereunsottospaziovettorialedi K n [infatti 0 Σ] Tuttavia, come ora vedremo, Σ è in corrispondenza biunivoca con il sottospazio vettoriale Σ 0 delle soluzioni del suo SLO associato Proposizione Sia AX = b un SL(m, n, K compatibile e sia z 0 una sua soluzione Denotato con Σ l insieme delle sue soluzioni e con Σ 0 il sottospazio vettoriale delle soluzioni del SLO associato AX = 0, risulta: [ Σ=z 0 +Σ 0 = {z0 + y, y Σ 0 } ] Ne segue che Σ e Σ 0 sono in corrispondenza biunivoca Dim ( Sia z Σ [cioè Az = b] Poiché, per ipotesi, Az 0 = b, allora: A ( z z 0 = Az Az0 = b b = 0

CAP 3 GENERALITà EALGORITMODIGAUSS 67 edunque z z 0 Σ 0 Pertanto z = z 0 +(z z 0 z 0 +Σ 0 ( Verifichiamo che, y Σ 0, z 0 + y Σ Infatti: A ( z 0 + y = Az 0 + Ay = b + 0 = b L ultima affermazione èovvia: l applicazione y z 0 + y stabilisce una biiezione da Σ 0 a Σ La precedente proposizione suggerisce come ottenere tutte le soluzioni di un SL compatibile non omogeneo Una volta ottenutane una soluzione, per ottenere le altre basta risolvere il SLO associato esommarnelesoluzioniaquelladel SL già ottenuta Poiché Σ non èunospaziovettoriale, nonhadiritto adunadimensione; tuttaviapossiamo in qualche modo attribuirgli la dimensione di Σ 0 Precisamente, se dim(σ 0 =t, diremo che il SL AX = b (se compatibile ha t soluzioni Questa terminologia proviene dal fatto che, come vedremo, le soluzioni dipendono da t parametri in K Poiché K ètradizionalmenteilcampor, che ha cardinalità infinita, i t parametri variano ciascuno in infiniti modi e le soluzioni sono quindi t Si noti infine che, se Σ 0 = {0}, la terminologia introdotta ci dice che il SL (se compatibile ha 0 soluzioni; poiché in questo caso il SL ha una sola soluzione, conveniamo di porre: 0 = Vogliamo ora risolvere un SL, cioèdeterminarnelesoluzioni CominciamodaiSL piùsemplici: isistemidiequazionilinearia scala (o agradini Premettiamo una definizione Definizione Siano AX = b e A X = b due SL aventi lo stesso numero di incognite Diciamo che tali SL sono equivalenti se hanno le stesse soluzioni (cioè se Σ=Σ Definizione 3 condizioni: Un SL(m, n, K AX = b è detto a scala (o a gradini se verifica le seguenti tre m n, a ij =0 se i>j, a ii 0, i =, m La matrice di un SL ascalaèdunquedeltipo a 0 a A =, con a a a mm 0 0 0 0 a mm Risolvere un SL ascalaèpiuttostosempliceeintuitivo Sicominciadall ultimaequazione,cioè a mm x m + + a mn x n = b m Se n = m, si ottiene x n = b n a nn esisostituiscetalevalorenellapenultimaequazione,ottenendo così un unica espressione per x n Sostituendo ciascuno dei valori via via trovati nell equazione precedente, si perviene ad un unica soluzione del sistema Se invece n>m, si attribuiscono alle incognite x m+,, x n valori parametrici arbitrari (in K, ad esempio t,, t n m esiottieneunvaloreper x m Si procede poi come nel caso precedente esiotterràun unicasoluzionedel SL, dipendente da n m parametri indipendenti, cioè n m soluzioni Con la convenzione fatta sopra (cioè 0 = abbiamoquindiottenutoilseguenterisultato Proposizione 3 Ogni SL(m, n, K ascalaècompatibileedha n m soluzioni Ad esempio vogliamo risolvere il SL(3, 4, R ascala x + x + x 4 = x + x 3 = x 3 x 4 =0

68 G CAMPANELLA APPUNTI DI ALGEBRA PER INFORMATICA Poniamo x 4 = t Risolvendo l ultima equazione, x 3 = t Sostituendo i valori di x 3 (e x 4 nella seconda equazione si ottiene x = t Sostituendo i valori di x,x 3 e x 4 nella prima equazione, si ottiene x = t Pertanto il SL assegnato ha le soluzioni ( t, t,t,t, t R Utilizzando la Prop, possiamootteneresubitolesoluzionidelslo associato soluzione del SL dato è z 0 =(0,, 0, 0 (ottenuta ponendo t =0 Pertanto Σ 0 =Σ z 0 = {( t, t,t,t, t R } = (,,, = (,,, Infatti, una Veniamo ora all algoritmo di Gauss (o di Gauss-Jordanperlarisoluzionediunsistemadiequazioni lineari Tale procedimento consiste nel trasformare (se possibile un assegnato SL(m, n, K AX = b in un SL agradiniadessoequivalente [che verrà poirisoltocomevistosopra] Per trasformare il SL si fa ricorso a tre tipi di operazioni sulle equazioni del SL, dette operazioni elementari (sulle equazioni, e cioè: I operazione elementare: scambiare di posizione due equazioni del SL; II operazione elementare: sostituire un equazione con un multiplo non nullo della stessa equazione; III operazione elementare: sostituire un equazione con la stessa equazione sommata ad un multiplo di un altra Tali operazioni [che del resto abbiamo già eseguito nella risoluzione empirica dei SL incontrati nel capitolo precedente] evidentemente non cambiano le soluzioni del sistema, e dunque trasformano il SL in un altro ad esso equivalente Se al sistema assegnato AX = b si sostituisce la sua matrice completa M = ( A b, le tre operazioni elementari (sulle equazioni si trasformano nelle corrispondenti operazioni elementari di riga, che indicheremo schematicamente come segue: I[M (i M (j ]; II[M (i cm (i ], con c 0; III[M (i M (i + cm (j ], con i j e c K Ad esempio, l operazione III sopra considerata sostituisce alla riga M (i la riga M (i +cm (j [ovvero sostituisce alla i esima equazione la somma della i esima con la j esima moltiplicata per c] Per abbreviare le notazioni, converremo di denotare tale operazione con III[(i a (i a +c(j a ] ed usare analoghe notazioni per le altre due operazioni Oltre alle tre operazioni elementari di riga, nell algoritmo di Gauss puòtalvoltaesserenecessario eseguire uno acambio di colonne della matrice A Ciòevidentementecorrispondeadunoscambiodelle variabili del SL Intalcasosaràpoinecessario,alterminedell algoritmo,procederealloscambiodi variabili opposto Descriviamo ora l algoritmo di Gauss, suddividendolo in blocchi di quattro passi, da ripetere un numero finito di volte Consideriamo un SL(m, n, K AX = b, conmatricecompletam = ( A b passo Si elimina ogni eventuale riga nulla di M [corrispondente all equazione banale 0 = 0] passo Si fa in modo che risulti M ( 0 (cioè A ( 0 Ciò puòessereottenutoscambiando ad esempio la colonna nulla A ( con una successiva colonna A (i non nulla [ed èmeglioscegliere l ultima colonna non nulla di A, per evitare di dover ripetere tale operazione] 3 passo Si fa in modo che risulti a = Atalescopo,se a =0 eadesempio a i 0, siesegue l operazione I[M ( M (i ] e si ottiene quindi una nuova matrice con a 0; successivamente, se a, sieseguel operazione II[M ( a M (] e si ottiene a = 4 passo Si fa in modo che risulti: a = a 3 = = a m =0 Atalescopo,bastaeseguire (per i =,,m le operazioni III[M (i M (i a i M ( ] A questo punto la matrice completa M del SL assegnato si è trasformata in una matrice del tipo

CAP 3 GENERALITà EALGORITMODIGAUSS 69 [ma si noti che in tale matrice gli elementi a, della seconda e delle successive colonne non sono ovviamente gli stessi della matrice A; abbiamomantenutolestesseletteresoltantopersemplificare le notazioni]: a 0 a 0, 0 a m con m m (e m <m aseguitodicancellazionedirighenulle Si ripete ora il blocco dei quattro passi sopra descritto, a partire dall elemento che si trova sulla seconda riga e seconda colonna di tale matrice Si eliminano quindi eventuali righe nulle e si fa in modo (operando relativamente alla seconda colonna che la matrice completa del SL diventi del tipo: a 0 0 0 a 33 0 0 a m 3 (con m m Si ripete quindi il blocco dei quattro passi a partire dalla terza riga e terza colonna, dalla quarta e così via Se nel corso del procedimento si ottiene una riga della forma ( 000 b, con b 0, il SL è incompatibile [ed il procedimento di Gauss ovviamente si interrompe] In caso contrario il SL si riduce ad un SL ascala,comerichiesto Siosserviinfineche,senelprocedimentosonostatinecessari scambi di variabili, sarànecessarioripristinarelevariabiliiniziali, procedendoagliscambiopposti Illustreremo l algoritmo con un paio di esempi Esempio Risolviamo il seguente SL(4, 4,R: x +x +3x 3 +4x 4 = x 3 +4x 4 =0 La matrice completa del SL è x +x +x 4 = x 3 + x 4 =0 3 4 0 0 4 0 0 0 0 0 Per completare il primo blocco dell algoritmo èsufficienteprocederecon III[(3 a (3 a ( a ] ottiene: 3 4 0 0 4 0 0 0 3 0 0 0 0 Iniziamo il secondo blocco dell algoritmo Poiché la seconda colonna ènulla [apartiredall elemento di posto (, ], si procede (ad esempio allo scambio di variabili x x 4 Si pone quindi: y = x,y = x 4,y 3 = x 3,y 4 = x esiottieneun SL avente matrice completa: 4 3 0 4 0 0 0 3 0 0 0 0 0 Con II[( a 4 (a ] si ottiene: 4 3 0 4 0 0 0 3 0 0 0 0 0 Si

70 G CAMPANELLA APPUNTI DI ALGEBRA PER INFORMATICA Poi, con III[(3 a (3 a +( a ] e con III[(4 a (4 a ( a ] si ottiene: 4 3 0 4 0 0 0 0 7 0 0 5 0 0 4 0 0 Iniziamo ora il terzo blocco dell algoritmo Con II[(3 a 7 (3a ] si ottiene: 4 3 0 4 0 0 0 0 0 0 5 0 0 4 0 0 Infine, con III[(4 a (4 a 5 4 (3a ], si ottiene: 4 3 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Veniamo ora al quarto ed ultimo blocco dell algoritmo: basta eliminare la quarta riga (che ènulla ed otteniamo una matrice a gradini Si ècosìottenutoil SL(3, 4, R: y +4y +3y 3 +y 4 = y 4 y 3 =0 y 3 =0 Posto y 4 = t, siha: y 3 =0,y =0,y = t Ripristiniamo le variabili di partenza: x = y = t, x = y 4 = t, x 3 = y 3 =0, x 4 = y =0 Pertanto l insieme Σ delle soluzioni del SL assegnato è: Σ= {( t, t, 0, 0, t R } Esempio Risolviamo il seguente SL(3, 4,R edilcorrispondenteslo associato: x +x +3x 4 = x + x + x 3 x 4 = 3x + x 3 + x 4 = La matrice completa del SL è M = 0 3 0 3 Per completare il primo blocco dell algoritmo èsufficienteeseguireiii[( a ( a +( a ] 0 3 0 3 3 0 3 Eseguiamo il secondo blocco Con II[( a 3 (a ] otteniamo 0 3 0 3 3 0 3 Si ottiene econiii[(3 a (3 a 3( a ] otteniamo 0 3 0 3 3 0 0 0 0 Esaminando ora l ultima riga concludiamo che il SL è incompatibile Consideriamo ora il SLO(3, 4,R asssociato Lasuamatriceè A = 0 3 0 3

CAP 3 GENERALITà EALGORITMODIGAUSS 7 [si osservi che è inutile considerare la matrice completa del SLO, in quanto la colonna dei termini noti ènullaenonvienealteratanelcorsodell algoritmo] Ripetiamo i passi dell algoritmo appena eseguito Con III[( a ( a +( a ] otteniamo 0 3 0 3 0 3 Con II[( a 3 (a ] otteniamo econiii[(3 a (3 a 3( a ] otteniamo 0 3 0 3 3 0 3 0 3 0 3 3 0 0 0 0 Eliminiamo la terza riga (nulla ed otteniamo il SLO(, 4, R a scala { x +x +3x 4 =0 Poniamo x 3 = t, x 4 = s ed otteniamo x + 3 x 3 + 3 x 4 =0 x = 3 (t + s, x = 3 t 7 3 s Ne segue che l insieme delle soluzioni di tale SLO è Σ 0 = {( 3 t 7 3 s, 3 (t + s, t,s, t, s R } ovvero Σ 0 = ( 3, 3,, 0, ( 7 3, 3, 0, Risolvere un SL con l algoritmo di Gauss può esseremoltovantaggiososesièdotatidellavelocità di un computer o se si dispone di molta pazienza (e molta carta! Quando poi il SL non ha coefficienti tutti numerici, ma alcuni di essi dipendono da parametri, l algoritmo di Gauss si complica notevolmente, in quanto si deve tener conto del possibile annullamento delle espressioni dipendenti da parametri, che vengono via via a determinarsi tramite le operazioni fondamentali di riga Per questo èutilesaperrisolvereun SL anche con mezzi più teorici,cioèutilizzandoiclassici teoremi di Cramer e di Rouché-Capelli Quest ultimo teorema poi ècentralenell AlgebraLineare, in quanto ci permette di rappresentare, usando sistemi di equazioni lineari, i sottospazi di uno spazio vettoriale Gli strumenti tecnici che ci serviranno per descrivere tali risultati e pervenire quindi ad un altro metodo per la risoluzione di un SL sono due: il determinante di una matrice quadrata ed il rango di una matrice Di essi ci occuperemo nei due paragrafi successivi ESERCIZI PROPOSTI 3 Risolvere con l algoritmo di Gauss il seguente SL(3, 5,R x 3 +x 5 = x 4 x 5 =3 x + x 3 = Dedurne una base del sottospazio vettoriale Σ 0 delle soluzioni del SLO associato 3 Al variare del parametro a R, risolvere il seguente SLO(,,R { x +(a +y =0 (a +x +(a +y =0 33 Al variare del parametro a R, risolvere il seguente SLO(3,,R

7 G CAMPANELLA APPUNTI DI ALGEBRA PER INFORMATICA x + ay =0 x +y =0 ax =0 34 Al variare dei parametri non nulli a, b R, risolvereilseguente SLO(3, 3,R ay+ bz =0 ax+ z =0 bx y =0 35 Risolvere con l algoritmo di Gauss il seguente SL(,,Z 5 { 3 x + y = x y = 0

Determinante di una matrice quadrata Se A n(k, il determinante di A èunelementodik, denotatodet(a (odet A oanche A, che èsommadi n! addendi, ciascunodeiqualièprodottodi n fattori Questi n fattori sono elementi di A evannosceltiunoinciascunarigaedunoinciascunacolonnadi A Ad ogni addendo va poi attribuito un segno Prima di completare e formalizzare la definizione di determinante, scriviamo esplicitamente il determinante di matrici quadrate di ordini, e3 Poniamo: det ( a =a, ( a a det = a a a a a a, a a a 3 det a a a 3 = a a a 33 + a a 3 a 3 + a 3 a a 3 a 3 a a 3 a a a 33 a a 3 a 3 a 3 a 3 a 33 Come si vede il determinante di una matrice di ordine 3 è la somma di 3! = 6 addendi e ciascuno di essi è prodotto di 3 fattori Tali fattori sono scelti su ciascuna delle tre righe e su ciascuna delle tre colonne della matrice Gli indici di colonna di ogni addendo definiscono una permutazione di S 3 Ad ( 3 esempio, l ultimo addendo scritto sopra corrisponde alla permutazione σ = =(3 Si 3 può osservare che il segno positivo èstatoattribuitoaquegliaddendichecorrispondonoapermutazioni di classe pari, mentre il segno negativo agli addendi corrispondenti a permutazioni di classe dispari Stesse considerazioni valgono per il determinante di una matrice di ordine e di ordine Siamo ormai pronti alla definizione generale di determinante Definizione Sia A n(k Sichiamadeterminante di A l elemento di K, denotatodet(a (o det A o A, così definito: det(a = ε(σ a σ a σ a nσn, σ S n dove S n è il gruppo delle permutazioni su n elementi ed ε(σ è il segno della permutazione σ S n, che ècosìdefinito: ε(σ =+, se σ èdiclassepari; ε(σ =, se σ èdiclassedispari Per matrici quadrate di ordine 4 il calcolo del determinante diventa sempre più impegnativo (per l alto numero degli addendi Ma, come vedremo, esiste un risultato che riduce il calcolo di un tale determinante al calcolo di più determinantidimatricidiordineinferiore: sitrattadelteorema di Laplace Per il momento elenchiamo (senza dimostrazione alcuni risultati che discendono, più o meno immediatamente, dalla definizione di determinante Proposizione Sia A =(a ij n(k Risulta: (i Se A èunamatricediagonale, det(a = n a ii In particolare det(i n = i= (ii SeA ha una riga o una colonna nulla, risulta: det(a =0 (iii det(a =det( t A (iv Sia A (i = bu + cv,con U, V,n (K e b, c K Siano B, C n(k le matrici ottenute da A sostituendo la riga A (i rispettivamente con U econ V Risulta: det(a =bdet(b+cdet(c [Analogo risultato vale per le colonne di A]

74 G CAMPANELLA APPUNTI DI ALGEBRA PER INFORMATICA (v Sia B n(k la matrice ottenuta da A scambiando tra loro due righe oppure due colonne Risulta: det(b = det(a (vi Se A ha due righe o due colonne proporzionali (o, in particolare, uguali, risulta: det(a =0 (vii (Teorema di Binet Risulta: det(ab =det(a det(b, A, B n(k (viii Per ogni A GL n (K, risulta: det(a = Ne segue in particolare che det(a 0 det(a Dei precedenti risultati, solo la dimostrazione di (vii (TeoremadiBinetpresentaqualchedifficoltà La (viii neè invece un immediata conseguenza Tutte le altre affermazioni discendono facilmente dalla definizione di determinante e dalle proprietàdellepermutazioni Combinando le proprietà (iv e(vi, si ottiene che se una riga (o colonna di A ècombinazione lineare di altre due righe (o colonne di A, det(a = 0 Dallaproprietà (iv segue poi il seguente risultato: Infatti: det(ca = ca ( ca ( ca (n det(ca =c n det(a, c K, A n(k = c A ( ca ( ca (n = c A ( A ( ca (n = = c n A ( A ( A (n = c n det(a Sempre la proprietà (iv puòessereutilepersemplificareilcalcolodeldeterminante consideriamo la matrice A = 40 0 00 0 3(R 0 60 Ad esempio Per calcolare det(a osserviamochea ( =0( 0 Dunque det(a =0det(B, con B = 40 0 0 60 Poiché poi B ( =0 4 4, allora det(b =0 =0 ( + 6 6 8 = 60 e dunque 6 0 6 det(a = 0 ( 60 = 00 Per enunciare il teorema di Laplace abbiamo bisogno della definizione di complemento algebrico di un elemento di una matrice quadrata Se ad una matrice quadrata A di ordine n togliamogli elementi della riga i-sima e della colonna j-sima, otteniamo una matrice quadrata di ordine n Tale matrice ha il suo determinante e a tale determinante puòessereattribuitounsegno: quellodi ( i+j Otteniamo un elemento di K, che viene detto complemento algebrico dell elemento a ij e che viene denotato α ij Teorema (Teorema di Laplace Sia A n(k, conn Risulta, per ogni i, j =,, n: det(a = n a it α it e det(a = n a tj α tj t= t= La prima sommatoria èdettasviluppo di Laplace di det(a rispetto alla riga i-sima È la somma deli elementi della riga A (i, ciascuno moltiplicato per il rispettivo complemento algebrico Analogamente, la seconda sommatoria è lo sviluppo di Laplace di det(a rispetto alla colonna j-sima Segue da questo risultato che, per calcolare il determinante di una matrice quadrata di ordine n, basta calcolare n determinanti di matrici quadrate di ordine n Naturalmente, nei casi concreti, sta alla furbizia dello studente eseguire lo sviluppo di Laplace rispetto alla riga o alla colonna che

CAP 3 DETERMINANTE DI UNA MATRICE QUADRATA 75 presenti il massimo numero di zeri (perchéè inutile calcolare i complementi algebrici degli elementi nulli, visto che poi vanno moltiplicati per 0 Ad esempio consideriamo la seguente matrice triangolare superiore: 3 4 0 3 4 A = 0 0 3 4 4(R 0 0 0 4 Possiamo subito affermare che il determinante di tale matrice è il prodotto degli elementi della diagonale Infatti, con sviluppi successivi sempre rispetto alla prima colonna, otteniamo: 3 4 A = 0 3 4 0 0 4 = 3 4 0 4 = 3 4 = 3 4=4 Con lo stesso ragionamento si prova che ogni matrice triangolare superiore o inferiore ha come determinante il prodotto degli elementi della sua diagonale Assegnata una matrice A n(k, possiamo considerare la matrice dei complementi algebrici dei suoi elementi Si tratta della matrice α α α n α α α n n(k, α n α n α nn che èchiamatamatrice cofattore (o matrice dei complementi algebrici di A echedenoteremo C A Tale matrice ha un importante proprietà, che ora illustriamo Data una matrice A n(k, sia B n(k la matrice ottenuta da A sostituendo la colonna A ( con la colonna A ( La matrice B ha le prime due colonne uguali e quindi [in base alla Prop (vi] det(b =0 ConlosviluppodiLaplacedi det(b rispetto alla prima colonna, si ottiene: 0=det(B = n b t α t (B, dove α t (B è il complemento algebrico in B dell elemento b t Ma b t = a t e α t (B =α t [complemento algebrico di a t in A], in quanto nel calcolo di α t (B la prima colonna di B viene eliminata ed il resto della matrice B coincide con la corrispondente parte di A Abbiamoquindi n a t α t =0 t= Alla stessa conclusione si perviene rimpiazzando la colonna j-sima con la i-sima (con i j ovvero rimpiazzando la riga j-sima con la i-sima (sempre con i j [e si usa in tal caso lo sviluppo di Laplace rispetto alle righe] Otteniamo quindi n n a ti α tj =0 e a it α jt =0, se i j t= t= In forma di prodotto righe per colonne le due precedenti uguaglianze si riscrivono rispettivamente: t= ( t C A (j A (i =0 e A (i ( t C A (j =0, se i j Infine i due sviluppi di Laplace riportati nell enunciato del Teor si riscrivono rispettivamente nella forma det(a =A (i ( t C A (i, det(a =( t C A (j A (j, i, j =,, n Tenuto conto che ( t C A (j A (i =( t C A A ji e A (i ( t C A (j =(A t C A ij, abbiamo ottenuto il seguente risultato Proposizione Sia A n(k, conn Risulta: t C A A = det(a I n = A t C A Avevamo osservato in Prop (viii cheunamatriceinvertibilea ha determinante non nullo Ora dalla Prop segue subito che, se det(a 0, allora A è invertibile Infatti, moltiplicando la

76 G CAMPANELLA APPUNTI DI ALGEBRA PER INFORMATICA precedente uguaglianza per si ottiene det(a ( tc det(a A A = In = A ( t C det(a A Pertanto abbiamo provato il seguente risultato Proposizione 3 Sia A n(k, conn Risulta: Se A è invertibile si ha: A è invertibile [cioè A GL n (K ] det(a 0 A = t C det(a A La precedente proposizione ci dice che per calcolare l inversa di una matrice occorre calcolare la matrice dei complementi algebrici, ( trasporla e poi dividere tutti gli elementi per det(a Ad esempio, a b assegnata la matrice A = GL c d (K, risulta: ( ( ( d c d b d b C A = edunque A = b a ad bc ad bc ad bc = c a c ad bc a ad bc Il Teorema di Laplace sopra enunciato è in realtà uncasoparticolaredelrisultatoeffettivamente dimostrato da Laplace Invece di eseguire lo sviluppo del determinante rispetto ad una riga o ad una colonna, Laplace ha dimostrato che èpossibile, piùgeneralmente, eseguirelosvilupporispettoad un certo numero di righe o di colonne Abbiamo innanzitutto bisogno di una definizione Definizione Sia M m,n (K Siano p, q interi positivi tali che p m e q n Si scelgano p interi {i,i,,i p } tali che si scelgano inoltre q interi {j,j,,j q } tali che i <i <<i p m; j <j < <j q n Si chiama sottomatrice di M relativa alle righe i,,i p ed alle colonne j,,j q la matrice formata dagli elementi di M ottenuti intersecando le righe M (i,,m (i p con le colonne M (j,,m (j q Tale sottomatrice verrà indicata M(i,,i p j,,j q Ad esempio, se A è la matrice triangolare superiore di 4(R consideratasopra, risultaadesempio: ( 4 A(, 3, 4 =, A(, 3, 4,, 4 = 0 4 0 0 4 0 4 0 0 4 Data una sottomatrice quadrata B di una matrice quadrata A, sichiamacomplemento algebrico di B il determinante della sottomatrice ottenuta con le righe e le colonne residue rispetto a quelle di B, conunsegnodatodallaparità delle somme degli indici delle righe e delle colonne di B Ad esempio la sottomatrice A(, 3, 4 determina come suo complemento algebrico ( +3++4 det ( A(, 4, 3 3 =( 0 0 =0, mentre il complemento algebrico di A(, 3, 4,, 4 è ( +3+4+++4 det ( A( 3 =( 6 3 =3 Possiamo ora enunciare la versione completa del Teorema di Laplace Teorema (Teorema di Laplace - versione completa Sia A n(k e sia t N, con t<n Si fissino t righe (o t colonne di A e sia B la matrice da esse formata Si considerino ora tutte le

CAP 3 DETERMINANTE DI UNA MATRICE QUADRATA 77 sottomatrici quadrate di B di ordine t Risulta: det(a coincide con la somma dei determinanti di tali sottomatrici, moltiplicati ciascuno per il rispettivo complemento algebrico [Si noti che il Teor è il caso t = ] Consideriamo ancora la precedente matrice A 4(R e fissiamone ad esempio le prime due righe ( 3 4 Otteniamo la sottomatrice B = Tale matrice possiede sei sottomatrici quadrate di 0 3 4 ordine, i cui determinanti sono: 0 =, 3 0 3 =3, 4 0 4 =4, 3 3 =0, 4 4 =0, 3 4 3 4 =0 Val la pena di calcolare soltanto i complementi algebrici delle prime tre sottomatrici sopra considerate (perché le ultime tre hanno determinante nullo Sono rispettivamente: 3 4 ( +++ 0 4 =, 0 4 ( +++3 0 4 =0, 0 3 ( +++4 0 0 =0 Segue che det(a = + 3 0+4 0+0+0+0=4 (come già noto È evidente che la migliore scelta delle righe o delle colonne rispetto a cui eseguire lo sviluppo di Laplace èquellachediminuisceilpiùpossibileicalcoli Senell esempioprecedenteavessimoscelto come matrice B quella formata dalle ultime due righe di A, ( avremmo avutounasolasottomatrice 3 4 di ordine a determinante non nullo, cioè A(3, 4 3, 4 = Il suo complemento algebrico 0 4 è ( 3+4+3+4 0 = edunque det(a = 3 4 0 4 =4 Analogorisultatoavremmoottenuto scegliendo come sottomatrice B quella formata dalle prime due colonne di A Il determinante di una matrice quadrata puòesserecalcolatoancheutilizzandol algoritmodigauss, ma con qualche variante Sia A n(k Osserviamo subito che: I[A (i A (j ] cambia il segno al determinante [cfrprop (v]; II[A (i ca (i ] moltiplica il determinante per c [cfrprop (iv]; III[A (i A (i + ca (j ] lascia invariato il determinante [cfrprop (iv,(vi]; un eventuale scambio di colonne cambia il segno del determinante Conviene allora applicare alla matrice A l algoritmo di Gauss senza peròeliminareeventualirighe nulle e senza utilizzare operazioni di tipo II, cioè senzaimporrecheglielementidiposto (i, i siano ridotti ad In questo modo ad ogni passo il determinante resta lo stesso o cambia al più disegno Alla conclusione dell algoritmo avremo una matrice triangolare superiore, il cui determinante, come già osservato,è il prodotto degli elementi della diagonale Basta allora cambiare il segno di tale prodotto, tante volte quanti sono stati gli scambi di riga (o di colonna effettuati e si ottiene det(a Calcoliamo con lo sviluppo di Laplace e con l algoritmo di Gauss il determinante della matrice 0 0 0 0 A = 0 0 Eseguiamo lo sviluppo di Laplace ad esempio rispetto alla prima colonna Otteniamo: 0 0 det(a = ( 3+ 0 + ( 4+ 0 =(3 ( 3 = 0 0 Eseguiamo ora l algoritmo di Gauss Con I[( a (3 a ] otteniamo: 0 0 0 0 0 0

78 G CAMPANELLA APPUNTI DI ALGEBRA PER INFORMATICA Con III[(4 a (4 a ( a ] otteniamo: 0 0 0 0 0 0 0 Con III[(3 a (3 a +( a ] e III[(4 a (4 a ( a ] otteniamo: 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 La matrice ottenuta ètriangolaresuperioreedilsuodeterminanteè Poiché peròabbiamo eseguito uno scambio di riga, cambiamo segno ed otteniamo, come sopra, det(a = ( = ESERCIZI PROPOSTI 3 Eseguire il calcolo del determinante delle due seguenti matrici, sfruttando opportunamente le proprietà deideterminanti(persemplificareilcalcolo 999 000 00 A = 3, B = 50 0 00 0 3 75 3 Per ogni α R, siconsiderinoleduematrici ( ( cos α sin α cos α sin α A =, B = sin α cos α sin α cos α Verificare che sono entrambe invertibili e che A = t A, B = t B (R 33 Assegnata la matrice quadrata A = 0 0 3(R, (i Calcolare la matrice dei complementi algebrici C A everificareche det(c A = ( det(a (ii Dimostrare che, A GL n (K, risulta: det(c A = ( det(a n 34 Consideriamo le matrici di (Z Quante sono? Quante e quali di esse sono quelle invertibili? Il gruppo che esse formano ècommutativo? 35 Verificare che ogni matrice antisimmetrica reale di ordine dispari ha determinante nullo (cfr Eserc 57 36 Èassegnatain 4(Q la matrice a + a 0 a 0 A =, con a, b Z b b b+ 0 0 0 Verificare, senza eseguire il calcolo diretto del determinante ma usando solo le proprietà deidetermi- nanti, che det(a è un multiplo intero di ab 37 Sia det : GL n (K K l applicazione che associa ad ogni matrice quadrata invertibile A il rispettivo determinante det(a Verificare che det èunepimorfismodelgruppo (GL n (K, sul gruppo (K, e calcolarne il nucleo 38 Sia H = {A GL n (K det(a =±} Verificare che H ènucleodiunomomorfismodi gruppi ϕ : GL n (K K Determinare poi l immagine Im(ϕ

3 Rango di una matrice Una matrice non quadrata A m,n(k nonpossiedeildeterminante, mapossiedevariesot- tomatrici quadrate e ciascuna di esse ha un determinante Se A possiede una sottomatrice quadrata di ordine t con determinante non nullo, mentre tutte le sottomatrici quadrate di A di ordine >t (ammesso che ce ne siano hanno determinante nullo, diremo che A ha rango t Ma per il momento dimentichiamoci di questa definizione Il concetto di rango, come vedremo nel prossimo paragrafo, ha un importanza centrale nella risoluzione dei SL ed ècollegatoall indipendenzalinearedellerigheedellecolonnedi A Cominciamo a dare la definizione di rango partendo proprio da questo aspetto Definizione Sia A m,n(k Indichiamo con A (,A (,, A (m le sue m righe (sono elementi di,n(k e con A (,A (,, A (n le sue n colonne (sono elementi di m,(k Chiameremo rango per righe (o rango-righe di A, denotator A, la dimensione del K-sottospazio vettoriale di,n(k generato dalle righe di A, cioè [In altri termini, r A r A = dim ( A (,A (,, A (m è il massimo numero di righe linearmente indipendenti di A] Chiameremo analogamente rango per colonne (o rango-colonne di A, denotatoc A, la dimensione del K-sottospazio vettoriale di m,(k generato dalle colonne di A, cioè [In altri termini, c A c A = dim ( A (,A (,, A (n è il massimo numero di colonne linearmente indipendenti di A] La prima cosa da osservare èche,essendoilsottospaziovettoriale A (,A (,, A (m generato da m vettori ed essendo dim(,n(k = n, allora r A min(m, n Per analoghi motivi, si osserva subito che anche c A min(m, n Vale il seguente risultato, che non dimostreremo Teorema Per ogni matrice A m,n(k, risulta: r A = c A Visto che il rango per righe ed il rango per colonne coincidono, tanto vale chiamarlo semplicemente rango Dunque introduciamo la seguente definizione Definizione Data una matrice A m,n(k, il numero naturale r A [= c A ] èdettorango di A ed èdenotato rg(a Si tratta del massimo numero di righe linearmente indipendenti di A [e coincide con il massimo numero di colonne linearmente indipendenti di A] Atitolodiesempiocalcoliamoilrangodellamatrice A = 0 3 0 3(R Le prime due righe di A sono linearmente indipendenti Infatti il SLO(3,,R a =0 aa ( + ba ( = 0, cioè a + b =0 a + b =0 non ammette autosoluzioni La terza riga è invece combinazione lineare delle prime due Infatti il SL(3,, R

80 G CAMPANELLA APPUNTI DI ALGEBRA PER INFORMATICA a = aa ( + ba ( = A (3, cioè a + b =3 a + b =0, èrisolubile,consoluzione (a, b =(, Dunque A ( + A ( = A (3 Ne segue che rg(a = Si noti che, dal Teor, le tre colonne di A devono essere linearmente dipendenti Poiché laprime due sono linearmente indipendenti [si verifichi infatti che il SLO(3,,R aa ( + ba ( = 0 non ha autosoluzioni], la terza colonna ènecessariamentecombinazionelinearedelleprimedue,ovveroil SL(3,, R a +b = aa ( + ba ( = A (3, cioè b = a +3b =0, èrisolubile Infattiammettesoluzione (a, b =( 3, e quindi A (3 = 3 A ( + A ( Osservazione (i Si osserva subito che rg(a =rg( t A, A m,n(k Infatti le righe di t A sono le colonne di A Dunque r ta = c A equindi rg( t A=rg(A (ii Si puòverificarecheconoperazionielementaridirigailrangodiunamatricenoncambia Sia infatti A m,n(k esiaadesempiob la matrice ottenuta da A con l operazione elementare III[A (i A (i + ca (j ] Le righe di B sono A (,, A (i + ca (j,, A (j,, A (m e lo spazio vettoriale da esse generato coincide, come facilmente si può verificare, conquellogenerato da A (,, A (m Dunque rg(b =rg(a Considerazioni analoghe si fanno per le operazioni elementari di riga di primo e secondo tipo (iii Se B èunasottomatricedi A, verifichiamoche rg(b rg(a Assumiamo che sia B = A(i,, i p j,, j q, con p m e q n Consideriamo allora la matrice M = A(i,, i p,, n B èunasottomatricedi M formata da p colonne di M Dunque c B c M, cioè rg(b rg(m Analogamente, M èunasottomatricedi A formata da q righe di A Dunque r M r A, cioè rg(m rg(a Si conclude che rg(b rg(m rg(a Proposizione Sia A n(k Risulta: A GL n (K det(a 0 rg(a =n Dim La prima equivalenza è già stata dimostrata(cfr Prop 3 (i det(a 0 = rg(a =n; È sufficiente allora provare che (ii rg(a =n = A GL n (K Proviamo (i Se per assurdo fosse rg(a <n, una riga (ad esempio la prima sarebbe combinazione lineare delle altre Dunque Dalla Prop (iv, det(a =c det A ( = c A ( + c 3 A (3 + + c n A (n A ( A ( + c 3 det A (3 A ( + + c n det A (n A ( A (n A (n A (n Le matrici a secondo membro hanno tutte due righe uguali e quindi hanno determinante nullo segue che det(a = 0, contro l ipotesi Proviamo ora (ii Per ipotesi, le righe A (,, A (n sono una base di,n(k Consideriamo le matrici riga elementari E = ( 00 0,, E n = ( 00 0 Possiamo esprimere ciascuna di esse come combinazione lineare della base {A (,, A (n } Dunque, per i =,, n: Ne

E i CAP 33 RANGO DI UNA MATRICE 8 = n b ij A (j = ( A ( b i b i b in = ( b i b i b in A j= A (n Icoefficienti b ij formano una matrice B n(k Si ha quindi: E i = B (i A epertanto E I n = = BA E n Dunque BA= I n, cioè B inverte a sinistra A Se ora consideriamo le colonne A (, A (n di A, anch esse formano una base [di n,(k] Possiamo esprimere le n matrici colonna elementari E = 0,, E 0 n = 0 come combinazione 0 lineare della base {A (, A (n } Otteniamo E j = n c ij A (i = ( A ( A (n i= c j c nj = A Definita la matrice C =(c ij n(k, si ha: E j = AC (j edunque Pertanto AC = I n, cioè C inverte a destra A I n = ( E E E n = AC Da AC = I n = BA segue: B = BI n = B(AC =(BAC = I n C = C, cioè B = C Pertanto A è invertibile (con inversa B c j c nj Proposizione Se A m,n(k e B n,p(k, risulta: rg(ab min { rg(a, rg(b } Se poi A m,n(k e B GL n (K, allorarg(ab =rg(a Analogamente, se C GL m (K, allora rg(ca=rg(a Dunque la moltiplicazione per una matrice invertibile non modifica il rango Dim Per definizione, Si ha: rg(ab =dim (AB (,, (AB (m (AB ( = ( ( n A ( B ( A ( B (p = a t b t t= n n ( n a t b tp = a t bt b tp = a t B (t Dunque (AB ( B (,, B (n Allo stesso modo si verifica che (AB (,, (AB (m B (,, B (n Quindi ( (AB,, (AB (m ( B,, B (n epertanto rg(ab rg(b [cioè il rango del prodotto di due matrici èminoreougualealrango della seconda matrice del prodotto] Utilizzando tale disuguaglianza e la proprietà del rango di Osserv (i si ottiene t= t= rg(ab =rg( t (AB = rg( t B t A rg( t A=rg(A, cioè rg(ab rg(a Ècosìprovatoche rg(ab min{ rg(a, rg(b } Proviamo ora che, se A m,n(k e B GL n (K, allora rg(ab =rg(a Infatti A = (ABB equindi rg(a =rg((abb rg(ab rg(a Analogamente, se C GL m (K, A = C CA equindi rg(a =rg(c CA rg(ca rg(a, cioè rg(ca=rg(a t= Come accennato all inizio del paragrafo, il rango si collega all annullamento dei determinanti delle

8 G CAMPANELLA APPUNTI DI ALGEBRA PER INFORMATICA sottomatrici quadrate di A Vediamo come, partendo da una definizione Definizione 3 Data una matrice A m,n(k, sia ρ = ρ(a l intero definito dalle due seguenti condizioni: -esistein A (almeno una sottomatrice quadrata invertibile di ordine ρ; - le sottomatrici quadrate di A di ordine >ρ (se ne esistono hanno determinante nullo Chiameremo inoltre minore (di ordine t di A il determinante di una sottomatrice quadrata di A di ordine t Pertanto ρ = ρ(a èdefinitodalleduecondizioni: esiste in A un minore non nullo di ordine ρ; i minori di ordine > ρ (se esistono sono nulli Possiamo quindi dire che ρ èl ordinemassimo dei minori non nulli di A Teorema Per ogni matrice A m,n(k, risulta: rg(a =ρ(a Dim Verifichiamo che ρ(a rg(a Poniamo ρ := ρ(a Esiste in A una sottomatrice quadrata invertibile B di ordine ρ Dalla Prop e dall Osserv (iii, ρ = rg(b rg(a Viceversa, verifichiamo che rg(a ρ(a Poniamo r := rg(a Scegliamo in Arrighe linearmente indipendenti e sia M la sottomatrice di A formata da tali righe Ovviamente rg(m = r In M esistono quindi r colonne linearmente indipendenti La matrice B formata da tali colonne (di M èunasottomatricequadratadi A avente rango r equindiinvertibile Pertanto B èunminorenonnullodi A equindi r = rg(a ρ(a Si noti che se una matrice A m,n(k ha nulli tutti i minori di un dato ordine t, sono nulli anche tutti gli eventuali minori di ordine superiore a t CiòseguesubitodalteoremadiLaplace Vogliamo calcolare il rango di una matrice A m,n(k, utilizzando il Teor Procederemo come segue: - si individua in A una sottomatrice quadrata invertibile di ordine t Allora rg(a t -se t = min{m, n}, nonesistonoina minori di ordine t + esiconcludeche rg(a =t - se invece t<min{m, n}, ènecessariocalcolareiminoridiordine t + Taliminorisonoquanti le possibili scelte di t + righe [trale m righe di A] perlepossibilisceltedit + colonne [tra le n colonne di A] Dunque sono complessivamente ( ( m n t+ t+ Se tali minori sono tutti nulli, concludiamo che rg(a = t; altrimentipossiamosolodirecherg(a t + edobbiamoprocedere al calcolo dei minori di ordine t + [seneesistono,cioèse t +<min{m, n}] In questo modo arriveremo dopo alcuni passi all individuazione del rango Ma i calcoli da fare sono decisamente troppi Ad esempio, se A 4,6(K edabbiamoindividuatounasottomatrice quadrata invertibile di ordine, i minori di ordine 3 sono ( 4 6 3( 3 =80 Seunodiessiènonnullo, allora rg(a 3 e dovremo considerare i minori di ordine 4, che sono ( 4 6 4( 4 =5 Setuttisono nulli, allora rg(a = 3; altrimenti rg(a = 4 Il risultato che segue ci offre un sensibile sconto sul numero dei calcoli da eseguire Ènotocome principio degli orlati o principio dei minori orlanti ed èdovutoakronecker(perquestoèanche chiamato teorema di Kronecker Partiamo da una definizione Definizione 4 Sia B una sottomatrice quadrata di ordine r di una matrice A m,n(k Chiameremo orlato di B il determinante di ogni sottomatrice C di A, quadrata,diordiner + ed avente B come sottomatrice [Diremo che C èottenuta orlando B con un ulteriore riga e colonna di A] Èevidenteche,se r = min{n, m}, B non ha orlati (e viceversa Consideriamo ad esempio la seguente matrice A = 3 4 3 4 3 4 4(R e fissiamone la 4 3

CAP 33 RANGO DI UNA MATRICE 83 ( 4 sottomatrice B = A(, 3, 4 = I suoi orlati sono quattro [infatti dobbiamo aggiungere 4 a B una riga tra le due disponibili (la seconda o la quarta ed una colonna tra le due disponibili (la prima o la terza] Dunque i quattro orlati di B sono i determinanti delle seguenti matrici: A(,, 3,, 4 = 4 3, A(,, 3, 3, 4 = 3 4 3 4, 3 4 4 A(, 3, 4,, 4 = 4 3 4, A(, 3, 4, 3, 4 = 3 4 4 4 3 3 [Si può verificare che i quattro orlati di B sono rispettivamente 4, 44, 44, 4] Una volta individuata in A una sottomatrice B quadrata, invertibile e di ordine t, il principio degli orlati ci consentiràdiesaminare,anzichétuttiiminoridiordine t + di A, soltantogliorlatidi B Lo sconto sta nel fatto che invece di esaminare l annullamento di ( ( m n t+ t+ minori, èsufficiente esaminare l annullamento soltanto di (m t(n t minori Ad esempio, nel caso di una matrice A 4,6(K, gli orlati di una sottomatrice quadrata di ordine sonosoltanto(4 (6 = 8 (mentre i minori di ordine 3 sono 80, come sopra osservato Enunciamo finalmente (e senza dimostrazione il principio degli orlati Teorema 3 (Principio degli orlati Sia A m,n(k Risulta: rg(a =r valgono le due seguenti condizioni: - esiste in A una sottomatrice quadrata B invertibile di ordine r; - gli orlati di B (se ne esistono sono tutti nulli Utilizzando il principio degli orlati, vogliamo calcolare il rango della seguente matrice A al variare dei due parametri reali a, b: A = a 0 b a 0 a b 0 3,4(R, Conviene considerare un minore che sia sempre non nullo (indipendentemente dal valore dei parametri e che sia di ordine più grandepossibile ( Lasceltapuòcadereadesempiosulminorecorrispondente alla sottomatrice B = A(, 3, 4 = (avente determinante Possiamo quindi già b 0 dire che rg(a 3, a, b R Per stabilire quando il rango èequandoè3,consideriamoidueorlatidib Sono a b 0 a 0 = a, 0 b a 0 b 0 = b a Pertanto { a =0 rg(a = b a =0 Se invece (a, b (,, si ha che rg(a =3 a = b = Osservazione L algoritmo di Gauss consente di calcolare il rango di una matrice Assegnata infatti A m,n(k, sia A (K la matrice ottenuta da A eseguendo l algoritmo di Gauss In particolare m m è il numero complessivo delle righe che vengono eliminate nel m,n corso del procedimento, in quanto nulle In base all Osserv (ii, rg(a =rg(a La matrice A contiene una sottomatrice quadrata di ordine m triangolare superiore ed avente tutti sulla diagonale [si tratta della matrice formata dalle prime m colonne di A ] Tale sottomatrice ha rango m edunque rg(a =m, cioè rg(a =m Illustriamo su un esempio la procedura di calcolo del rango con l algoritmo di Gauss la matrice Si consideri

84 G CAMPANELLA APPUNTI DI ALGEBRA PER INFORMATICA A = 0 0 4 0 3,4(R Applicando l algoritmo di Gauss ad A, si ottiene la matrice A = Dunque rg(a =rg(a = ( 0 0 [verificare] Sappiamo che rg( t A=rg(A Se quindi applichiamo l algoritmo di Gauss alla matrice t A (anziché ad A otterremoancoraunamatricedirango ( Infattil algoritmodigaussapplicatoad t A fornisce 0 la matrice 0 [verificare] 4 ESERCIZI PROPOSTI 0 33 Sia A = 0 5,3 (R Calcolare rg(a, come massimo numero di colonne 5 0 4 linearmente indipendenti di A 33 Calcolare il rango della seguente matrice A, interpretandolo sia come massimo numero di righe linearmente indipendenti, sia come ordine massimo dei minori non nulli: 0 0 A = 4 3 5 0 333 Al variare di a, b R, descrivereilrangodellamatrice A = a b a b b 0 334 Sia A = 0 a b a 0 c 3(R, con a 0 b c 0 Verificare che rg(a = edesprimerelaterzarigacomecombinazionelinearedelleprimedue 335 Sia A (R Verificare che ( a b rg(a <rg(a A =, con a + bc =0 e a, b, c non tutti nulli c a 336 Sono assegnate le tre matrici (a valori reali dipendenti da un parametro a R: a 0 0 A =, B = 0 ( a 0 0 a, C = 0 a 0 a a 0 Sia M = ABC Determinare rg(m, al variare di a R

4 Risoluzione di sistemi di equazioni lineari In questo paragrafo vedremo come risolvere sistemi di equazioni lineari, evitando il ricorso all algoritmo di Gauss ed utilizzando invece le nozioni e le proprietà di determinante e rango di matrici, introdotte nei due paragrafi precedenti Avremo bisogno di due teoremi: il teorema di Rouché-Capelli ed il teorema di Cramer Cominciamo da quest ultimo, che risolve completamente il problema della risoluzione dei sistemi di equazione lineari quadrati [cioè SL(n, n, K] aventi matrice dei coefficienti invertibile Sia AX = b un SL(n, n, K, con A GL n (K Proveremo che tale SL ammette un unica soluzione Tale soluzione èdatadaunaformula,dettaformula di Cramer, cheoradescriviamo Per i =,, n, sia B i la matrice quadrata ottenuta da A sostituendo la i-sima colonna di A con la colonna dei termini noti b L unicasoluzionedelnostro SL saràdatadallan-pla (det B det A,detB,,detB n Verifichiamo la formula su un esempio numerico ÈassegnatoilSL(3, 3, R x + y = x + z =0 x +y z = La matrice di tale sistema è A = 0 0 Si tratta di una matrice invertibile (essendo det A =5 Letrematrici B i sono B = 0 0 0, B = 0 0 B 3 = 0 0 Poiché det B = 3, detb =,detb 3 =6, l unicasoluzionedel SL è la terna ( 3 5, 5, 6 5 [come facilmente si verifica] Teorema (Teorema di Cramer Sia AX = b un SL(n, n, K, cona GL n (K Tale sistema ammette un unica soluzione, data dalla n-pla (det B det A,detB,,detB n dove, per i =,, n, B i è la matrice quadrata ottenuta da A sostituendone la i-sima colonna con la colonna b dei termini noti Dim Che il SL ammetta un unica soluzione èmoltosemplicedaverificare (ricordandodiinter- pretare le soluzioni del SL come colonne, invece che come n-ple Intanto si osserva subito che la colonna A b èunasoluzionedel SL [in quanto A (A b=(aa b = b] Se poi y è un altra soluzione del SL [cioè A y = b], allora A y = A(A b Cancellando la matrice A [che è invertibile], si ottiene y = A b Per verificare la formula di Cramer calcoliamo det B i usando lo sviluppo di Laplace rispetto alla i-sima colonna Si ha: det B i = b α i + + b n α ni = n b t α ti, dove α ti è il complemento algebrico dell elemento di posto (t, i della matrice A [si noti che A e B i coincidono fuori della i-sima colonna] Da un risultato sui determinanti, A = t det A C A equindi A b = t det A C A b L i-simo elemento di tale colonna è t=

84 G CAMPANELLA APPUNTI DI ALGEBRA PER INFORMATICA (t (i [( ] ( det A CA b = t det A C A b = (i det A αi α ni Questo prova la formula b b n = det A det B i Osservazione È opportuno osservare che la nozione di determinante proviene storicamente dalla formula di Cramer [anche se noi abbiamo presentato questi ( due argomenti nell ordine inverso] ( Ad a a esempio, considerato un SL(,,K AX = b, con A = b GL a a (K e b =, la b soluzione di tale SL èdatadallacoppia (x,x, con x = b a b a a a a a, x = b a b a a a a a Formule più complicate(ma analogheper SL quadrati di ordine 3, 4 ecc hanno portato,per interpretare i numeratori e i denominatori delle precedenti frazioni, a definire la nozione di determinante di matrici quadrate Veniamo ora al teorema di Rouché-Capelli Tale teorema fornisce un criterio per riconoscere se un SL ècompatibile Inoltre,conl aiutodell algoritmodigauss,individua l infinitàdellesoluzioni di un SL compatibile, cioècidice quante soluzionihailsistema Teorema (Teorema di Rouché-Capelli Sia AX = b un SL(m, n, K e sia ( A b la sua matrice completa Risulta: Se il SL ècompatibile,ammette n rg(a il SL AX = b ècompatibile rg(a =rg (( A b soluzioni Dim Nel primo paragrafo di questo capitolo abbiamo osservato che una soluzione di un SL AX = b esprime la colonna b come combinazione lineare delle colonne della matrice A Pertanto: il SL ècompatibile la colonna b ècombinazionelinearedellecolonnedi A b A (,, A (n A (,, A (n, b = A (,, A (n rg (( A b = rg(a [Si noti che l ultima implicazione = proviene dall Osserv 3 di Cap 5: due sottospazi vettoriali contenuti uno nell altro ed aventi la stessa dimensione coincidono] Supponiamo ora che il SL AX = b sia compatibile e poniamo r := rg(a =[rg (( A b ] Per semplificare le notazioni, possiamo senz altro assumere che le prime r righe di A siano linearmente indipendenti [ciò puòessereottenutoconopportuniscambidirighedellamatrice ( A b ( ] Èevidente che anche le prime r righe di A b sono linearmente indipendenti Le rimanenti m r righe sono quindi loro combinazioni lineari Dunque, per s = r +,, m: ( (s r ( (i ( r r A b s = c si A b i = c si A (i c si b i i= Denotiamo con A la matrice formata dalle prime r righe di A econ b iprimi r elementi di b Otteniamo il SL(r, n, K A X = b evogliamoverificarechetale SL èequivalenteal SL(m, n, K assegnato Denotati con Σ e Σ rispettivamente gli insiemi delle soluzioni di AX = b edi A X = b, dobbiamo verificare che Σ=Σ Ovviamente Σ Σ Viceversa, sia z Σ [e quindi A (i z = b i, per i =,, r] Allora, per s = r +,, m: A (s z = r c si A (i z = r c si b i = b s Dunque z Σ e pertanto Σ = Σ i= Possiamo quindi risolvere il SL A X = b in luogo del SL assegnato AX = b Applichiamo ad A X = b l algoritmo di Gauss Perverremo ad un SL ascala Inoltre,poiché il rango si conserva con operazioni elementari riga e poiché il SL A X = b ha un numero di equazioni uguale al rango i= i= i=

CAP 34 RISOLUZIONE DI SISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI 85 della matrice, nel corso dell algoritmo nessuna equazione può annullarsiidenticamente Siperviene perciòadun SL ascalaaventeancora r equazioni [ed n incognite] Tale SL ammette, come noto, n r soluzioni e dunque il SL AX = b ammette n r soluzioni Come si risolve quindi un SL(m, n, K AX = b? rg (( A b = rg(a Dobbiamo innanzitutto verificare che risulta: Verificato questo, se rg(a ( = r, scegliamoina r righe linearmente indipendenti ( e consideriamo le corrispondenti r righe di A b,eliminandoinveceleresiduem r righe di A b Otteniamo così un SL(r, n, K A X = b equivalente al SL assegnato La matrice A, avendo rango r, possieder colonne linearmente indipendenti e sia B la matrice (invertibile formata da tali colonne In A ci sono n r colonne esterne a B Attribuiamo valori parametrici indipendenti alle corrispondenti incognite e portiamo tali espressioni a secondo membro Quel che si ottiene è un SL(r, r, K aventematricedeicoefficientib (invertibile e termini noti dipendenti da n r parametri Con la formula di Cramer otterremo per tale sistema un unica soluzione Unica sì, ma dipendente da n r parametri Si tratta quindi delle n r soluzioni del sistema cercate La matrice B sopra considerata èdettasottomatrice fondamentale del SL Essa nonè in generale unica, ma dipende da varie scelte fatte [la scelta delle righe di A linearmente indipendenti e la scelta delle r colonne linearmente indipendenti di A ] È evidente che la scelta di B influenza il modo con cui vengono presentate le soluzioni del sistema, ma ovviamente non il complesso delle soluzioni stesse Un esempio Vogliamo risolvere il SL(3, 5, R: x x x 4 +x 5 =0 x + x + x 3 + x 5 = 3x 3x x 3 x 4 +3x 5 = La matrice A dei coefficienti e la matrice completa M del SL sono rispettivamente 0 0 0 A = 0, M = 0 3 3 3 3 3 3 ( 0 Fissiamo in A la sottomatrice B = A(, 3, 4 = (avente determinante non nullo I 0 suoi tre orlati sono tutti nulli, come si può verificare Dunque rg(a = Anche la matrice M ha rango Infatti, considerati i quattro orlati di M(, 3, 4, tre di essi coincidono con quelli di B in A, [e sono quindi già nulli],edilquartoè M(,, 3 3, 4, 6 ed è anch esso nullo, come si può verificare Dal teorema di Rouché-Capelli, il SL assegnato ècompatibileedha 5 = 3 soluzioni Per ottenere tali soluzioni eliminiamo la terza equazione del SL ed assegniamo valori parametrici alle incognite x,x,x 5 [estranee alle colonne della sottomatrice fondamentale B = A(, 3, 4] Posto x = t,x = t,x 5 = t 3, si ottiene il SL(,,R { { t t x 4 +t 3 =0 x3 = t t t 3 cioè t + t + x 3 + t 3 =, x 4 = t t +t 3 Le soluzioni del SL sono date quindi dall insieme Σ= {( t,t,t t t 3, t t +t 3,t 3, t,t,t 3 R } Ogni SLO(m, n, K AX = 0 èovviamentesemprecompatibile [inquantoammettealmenola soluzione banale 0 ] Il teorema di Rouché-Capelli conferma tale fatto [infatti rg( ( A 0 =rg(a, A m,n (K] Inoltre afferma che tale SLO ammette n rg(a soluzioni In particolare, il SLO èprivodiautosoluzioni n = rg(a Un caso importante da esaminare èquellodei SLO(n,n,K AX = 0, conrg(a =n, cioè con rango massimo possibile Ci servono alcune notazioni La matrice A possiede esattamente n minori di ordine n, non tutti nulli Ciascuno di essi è ottenuto eliminando da A una colonna Denoteremo con A i il minore ottenuto da A eliminando

86 G CAMPANELLA APPUNTI DI ALGEBRA PER INFORMATICA la i-sima colonna di A Attribuiamo ai minori A,, A n alternativamente segno + e segno ed otteniamo così la n-pla (non nulla: z := ( A, A, A 3,, ( n+ A n Proposizione Sia AX = 0 un SLO(n,n,K con rg(a =n Tale SLO ammette soluzioni, proporzionali all autosoluzione z sopra definita Dim In base al teorema di Rouché-Capelli, il SLO assegnato ha n (n = soluzioni È noto inoltre che le soluzioni di un SLO formano uno spazio vettoriale In questo caso si tratta di un sottospazio vettoriale -dimensionale di K n,chedenoteremo,alsolito,σ 0 Basterà quindi verificare che la n-pla z sopra definita èunasoluzionedi AX = 0, cioè cherisulta: A (i z =0, i =,, n, [dove z è la colonna corrispondente alla n-pla z], per concludere che Σ 0 = z Per i =,, n, consideriamo la matrice ( (i A C i :=, A ottenuta premettendo la riga A (i alla matrice A Si tratta di una matrice quadrata di ordine n con due righe uguali e quindi con determinante nullo Sviluppiamo det(c i rispettoallaprimariga Osserviamo che Ne segue che: come richiesto α =( + A = A, α =( + A = A,, α n =( +n A n ( n+ (i 0=det(C i =a i A + a i ( A +a i3 A 3 + + a in ( A n = A z, Due esempi ( Risolviamo, al variare di a R, il SLO(3, 4,R: ax +x 3 x 4 =0 x + ax 3 =0 ax + ax 3 + x 4 =0 Tale SLO ha matrice dei coefficienti A = 0 a 0 a 0 0 a a Senza prima discutere il rango di A, calcoliamola4-plaz =(A, A, A 3, A 4 a 0 A = 0 a 0, A a a =a = a 0 = a, 0 a 0 a A 3 = 0 0 0 a = a, A 0 a 4 = 0 a 0 a a =a a Ne segue: z =(a,a+, a, a a Si ha: Si osserva subito che, per ogni a R, risulta: z 0 [infatti ad esempio la seconda e terza componente di z non si annullano simultaneamente] Pertanto rg(a = 3, a R Si conclude che il SLO assegnato ha soluzioni descritte dal sottospazio vettoriale di R 4 : ( Risolviamo il SLO(3, 4,Z : Tale SLO ha matrice Σ 0 = ( a,a+, a, a a x + x + x 3 =0 x + x 3 + x 4 =0 x + x + x 4 =0

CAP 34 RISOLUZIONE DI SISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI 87 A = 0 0 3,4 (Z 0 Tale matrice ha rango 3 Infatti la sottomatrice formata dalle prime tre colonne di A ha determinante 0 0 = ++= In base alla Prop, le soluzioni del SLO sono proporzionali all autosoluzione ( 0 0, 0 0 0, 0 0, 0 = (, 0,, 0 Pertanto lo spazio vettoriale delle soluzioni del SLO è Σ 0 = (, 0,, = {(0, 0, 0, 0, (, 0,, } [Si noti che le soluzioni sono Infatti Σ 0 = Z = ] ESERCIZI PROPOSTI 34 Risolvere il seguente SLO(4, 3, R: x + y + z =0 y + z =0 x y =0 x +3y + z =0 34 Risolvere, al variare di a, b R, il seguente SL(3, 3,R: ax+ by =0 y + bz = a x az = b 343 Utilizzando il teorema di Rouché-Capelli discutere la risoluzione, al variare di tre parametri a, b, c R, delsl(,,r: { ax+ by = c 344 Rifare l Esercizio 33 (senza usare l algoritmo di Gauss 345 Rifare l Esercizio 34 (senza usare l algoritmo di Gauss 346 Èassegnatoil SL(3, 3,R: ay+ bz = c ax+ az = c bx ay =0, dipendente da tre parametri a, b, c R, cona, b 0 Determinareperqualivalorideiparametri il SL ècompatibileescrivernel insieme Σ dellesoluzioni 347 Èassegnatoil SLO(, 3,R: { bx+ ay =0 dipendente da due parametri a, b R y + az =0, Risolvere tale SLO, alvariaredeiparametri 348 Risolvere il seguente SL(3, 5,Z 3 : x + x 3 + x 5 = x + x 3 = x + x 4 + x 5 = 0 349 Èassegnatoilseguente SL(3, 3,Z 3, dipendente da un parametro a Z 3 :

88 G CAMPANELLA APPUNTI DI ALGEBRA PER INFORMATICA x + z = a x + y + z = a x + z = +a Determinare per quali eventuali a Z 3 340 Èassegnatoil SL(3, 3,R: dipendente da due parametri a, b R il SL ècompatibileecalcolarnelesoluzioni ax y + bz = a x bz =0 ax+y = b, Risolvere tale SL, alvariaredeiparametri 34 Al variare dei parametri a, b R, risolvereilseguentesl(,,r { ax + by = a b bx + ay = b a

Capitolo 4 APPLICAZIONI LINEARI Notazioni matriciali negli spazi vettoriali Introdurremo in questo paragrafo delle notazioni che ci verranno utili nel seguito del capitolo Con queste notazioni potremo anche interpretare le nozioni di indipendenza lineare e di sistema di generatori di uno spazio vettoriale (già studiate nei capitoli precedenti in termini di semplici condizioni relative al rango di matrici Il prodotto righe per colonne tra matrici si presta in modo naturale a scrivere le combinazioni lineari di vettori in un K-spazio vettoriale V Siano infatti u,, u t V e c,, c t K Poniamo U := ( u u t,t (V, c := c c t t, (K Vogliamo definire il prodotto righe per colonne tra la matrice-riga U di vettori e la matrice-colonna c di scalari A tale scopo interpreteremo la moltiplicazione tra il vettore u i ed il corrispondente scalare c i come moltiplicazione per uno scalare, cioè u i c i Porremo quindi: Uc := u c + + u t c t V Dunque Uc è la notazione matriciale che ci permette di scrivere compattamente il vettore combinazione lineare dei vettori u,, u t,concoefficientic,, c t Estendiamo tale notazione al caso del prodotto di una riga di vettori per una matrice (a piùcolonne di scalari Considerata la matrice C t,s (K, poniamo: UC:= ( UC ( UC (s,s (V Ad esempio, se U = ( u u u 3,3 (V e C = 0 0 0 0 allora UC= ( u u u + u 3 u +u 3 u u,4 (V 3,4 (K, Oltre alle matrici U,t (V, C t,s (K, sia assegnata una matrice D s,r (K Poiché le misure delle matrici lo consentono, sono definiti i prodotti righe per colonne (U CD e U(CD Si verifica subito che risulta: (U CD = U(CD Ciò seguefacilmentedall assioma [dispaziovettoriale]: (u c d = u (cd, u V, c, d K Utilizzeremo tale proprietà, indicandola come proprietà associativa del prodotto righe per colonne Se V = V n ese {e,, e K n} èunabasedi V, è noto che il generico vettore v V si scrive in modo unico come combinazione lineare di e,, e n, con coefficienti x,, x n K Come già sappiamo, la n-pla (x,, x n èdetta n-pla delle coordinate di v rispetto a tale base Se poniamo E := ( e e n,n (V, x := x n, (K, risulta subito: x n

90 G CAMPANELLA APPUNTI DI ALGEBRA PER INFORMATICA v = Ex e la matrice-colonna x èdettacolonna delle coordinate di v in base E scrittura di un vettore in base E si traduce nell implicazione: (* Ex = Ey = x = y, x, y n, (K In particolare, l unicità di Assegnati t vettori u,u,, u t V, sia U := ( u u u t,t (V la matrice riga di tali vettori Supponiamo note le coordinate di tali vettori in base E Dunque, per i =, t, sia u i = Eb i, con b i n, (K, e si ponga: B := ( b b b t n,t (K La matrice B èdettamatrice delle coordinate dei vettori u,u,, u t in base E Risulta: U = EB [infatti EB= E ( b b b t =(Eb Eb Eb t = ( u u u t = U] Ad esempio, fissata in V = V 4 R una base E = ( e e e 3 e 4 ed assegnati i tre vettori u = e e 3 + e 4, u =e + e 3, u 3 = e + e, la matrice delle coordinate dei tre vettori in base E è 0 0 B = 4,3 (R e si scriverà ( u 0 u u 3 = EB 0 0 Proveremo ora che, assegnati t vettori in uno spazio vettoriale n-dimensionale, le proprietà di essere linearmente indipendenti o di essere un sistema di generatori, si interpretano come condizioni sul rango della matrice delle loro coordinate (rispetto ad una base assegnata Proposizione Sia dim(v =n e sia E = ( e e n una base di V Siano u,, u t V e si ponga U := ( u u t Sia poi U = EB,conB n,t (K Risulta: (i u,, u t sono linearmente indipendenti rg(b =t (ii {u,, u t } èunsistemadigeneratoridi V (iii {u,, u t } èunabasedi V rg(b =n t = n e B GL n (K Dim (i Come noto: [ t ] u,, u t sono linearmente indipendenti c i u i =0 = c = = c t =0 i= c 0 0 Siano c = t, (K, 0 t = t, (K e 0= n, (K [matrici colonna c t 0 0 nulle] Ovviamente 0 = E 0 La precedente equivalenza diventa [tenuto conto dell associatività del prodotto righe per colonne e della regola (* relativa all unicitàdiscritturainbasee]: u,, u t sono linearmente indipendenti [ ] Uc =0 = c =0 t [ (EB c = E 0 = c =0 t ] [ E (Bc =E 0 = c =0 t ] [ Bc =0 = c =0 t ] L implicazione Bc =0 = c =0 t equivale a dire che il SLO(n, t, K BX = 0 non ha autosoluzioni In base al teorema di Rouché-Capelli, ciò avviene t rg(b =0 Pertantoconcludiamoche (ii Come noto: u,, u t sono linearmente indipendenti rg(b =t u,, u t = V v V, v = c u + + c t u t, c,, c t K

CAP 4 NOTAZIONI MATRICIALI NEGLI SPAZI VETTORIALI 9 Assumiamo che il generico vettore v V abbia colonna delle coordinate x, cioè che sia v = E x, con x n, (K Con le notazioni già introdotte in (i, si ha: u,, u t = V v V, v = Uc, c t, (K Ex V, Ex =(EB c, c t, (K Ex V, Ex = E(Bc, c t, (K x n, (K, x = Bc, c t, (K x n, (K, il SL(n, t, K BX = x ècompatibile Ricordato che un SL ècompatibile la colonna dei termini noti ècombinazionelinearedelle colonne della matrice dei coefficienti, si ha: u,, u t = V x n, (K, x B (,, B (t B (,, B (t = n, (K dim ( B (,, B (t = dim( rg(b =n n, (K (iii Si tratta di un immediata conseguenza delle due proposizioni precedenti, tenendo conto anche del fatto che una matrice quadrata di ordine n è invertibile se e solo se ha rango n Ad esempio i tre vettori considerati nel precedente esempio sono linearmente indipendenti, in quanto, come subito si osserva, rg(b = 3 Nonsonoinveceunsistemadigeneratoridi V (perché sono solo tre e quindi rg(b < 4 Si noti che, se U = EB e rg(b =r, unabasedi u,, u t è formata da r vettori del sistema di generatori {u,, u t },corrispondentiar colonne linearmente indipendenti di B ÈnotodallaProp di Cap 3 che le soluzioni di un SLO in n incognite formano un sottospazio vettoriale di K n Proveremo ora che, viceversa, assegnata una base E di un K-spazio vettoriale V = V n, ogni sottospazio vettoriale di V può essereespressocomeinsiemedellesoluzionidiun K opportuno SLO in n incognite, che fornisce le cosiddette equazioni cartesiane di U (in base E Proposizione Sia U = u,, u t un sottospazio vettoriale di V = V n K e sia E = ( e e n una base di V Sia, al solito, U := ( u u t = EB, con B n,t (K Indicato con v = Ex un generico vettore di V,risulta: v U rg(( B x = rg(b Posto r = rg(b, l uguaglianza rg(( B x = r si traduce in un SLO(n r, n, K, avente matrice di rango n r, le cui soluzioni sono le coordinate (in base E dituttiesoliivettoridiu Tale SLO èdettosistema di equazioni cartesiane di U in base E Dim Si ha infatti, in base al teorema di Rouché-Capelli: v U v = Uc, c t, (K Ex = EBc, c t, (K Bc = x, c t, (K rg(b =rg(( B x Fissiamo ora in B una sottomatrice quadrata invertibile B di ordine r (= rg(b In base al principio degli orlati, la condizione rg(( B x = r equivale all annullarsi degli orlati di B Ma possiamo limitarci a considerare i soli orlati di B che coinvolgono la colonna x [in quanto gli altri (se ce ne sono sono nulli] Questi orlati sono n r epossonoessereinterpretaticomepolinomidi primo grado nelle incognite x,, x n di x Dunque formano un SLO(n r, n, K, che possiamo ad esempio denotare CX =0 Tale SLO ammette come soluzioni tutte e sole le n-ple che corrispondono (in base E aivettoridiu Poiché (comesopraosservatodim(u =r, il SLO ha r soluzioni D altra parte ha n rg(c soluzioni Quindi n rg(c =r, cioè rg(c =n r NB Ogni SLO(m, n, K AX =0 equivalente a tale SLO(n r, n, K fornisce ancora un sistema di equazioni cartesiane di U Dunqueleequazioni cartesiane diunsottospazio vettorialenonsono

9 G CAMPANELLA APPUNTI DI ALGEBRA PER INFORMATICA uniche Deve comunque risultare m n r [in quanto n rg(a =r e rg(a m] e pertanto il SLO(n r, n, K ottenutohailnumerominimodiequazioninecessarieperrappresentareu Due esempi ( Torniamo ancora all esempio precedente Il sottospazio U = u,u,u 3 di V = V 4 ha equazioni ottenute imponendo la condizione rg(( B x = 3, ovvero det(( B x = 0 R [infatti la matrice ( B x 4 (R haunsolominorediordine4: det(( B x ] Si ha: x 0 0 x x = 0 x 3 0 x 0 x 0 0 x 3 + x 4 0 0 0 = x x x 3 3 x 4 =0 4 Dunque U ha equazione cartesiana x x x 3 3 x 4 =0 ( In V = V 5 èassegnatoilsottospaziovettoriale U = u,u,u, i cui tre generatori hanno, R 3 rispetto ad una base E = ( e e e 3 e 4 e 5 di V, matrice delle coordinate 0 0 B = 3 3 0 Vogliamo determinare un sistema di equazioni cartesiane di U rispetto ad E Calcoliamo rg(b Scelta in B la sottomatrice invertibile B = B(,,, si verifica subito che isuoitreorlatisononulli Dunque rg(b = Nesegueche dim(u = e U = u,u Imponiamo ora la condizione rg(( B x = Tale condizione equivale all annullamento degli orlati di B che coinvolgono la colonna x, cioè x 0 x x 3 =0, x 0 x x 4 =0, x 0 x 0 x 5 =0 Si ottiene quindi il SLO(3, 5,R: che fornisce equazioni cartesiane di U x +3x + x 3 =0 x +3x x 4 =0 x + x 5 =0, Vogliamo ora scrivere le formule di cambiamento di base e di coordinate di vettore in uno spazio vettoriale V = V n Siano E, F due basi di V In base a Prop (iii risulta: K F = EB, con B GL n (K Tale formula èdettaformula del cambiamento di base da E a F e la matrice B èdettamatrice del cambiamento di base da E a F Risulta: Abbiamo così ottenuto FB =(EB B = E (BB =EI n = E E = FB, detta formula del cambiamento di base da F a E [ed è l inversa della formula precedente] Sia ora v un generico vettore di V Esprimiamolo nelle due basi E, F : v = Ex = Fy, con x, y n,(k Usando la prima delle due formule del cambiamento di base, si ottiene Ex = EBy equindi,per unicità discrittura, x = By, detta formula del cambiamento di coordinate di vettore da F a E Moltiplicando questa uguaglianza asinistraper B si ottiene y = B x,

CAP 4 NOTAZIONI MATRICIALI NEGLI SPAZI VETTORIALI 93 detta formula del cambiamento di coordinate di vettore da E a F NB Si osservi che nelle due formule di cambiamento di base, la matrice invertibile B (o la sua inversa B èunfattoreadestra,mentrenelledueformuledicambiamentodicoordinateèun fattore a sinistra Ciònonèprivodiconseguenze: nelleformuledicambiamentodicoordinatedi vettore intervengono le righe di B (o B [come coefficienti di combinazioni lineari], mentre nelle formule di cambiamento di base intervengono le colonne di B (o B Ciò può essere osservato confrontando ad esempio le due formule F = EB e x = By, scritte in forma non compatta: f = e b + e b + + e n b n f n = e b n + e b n + + e n b nn, x = b y + b y + + b n y n x n = b n y + b n y + + b nn y n Un esempio Consideriamo in V = V due basi E =(e R e,f =(f f, tali che f = e + e, f = e e Vogliamo ottenere la formula del cambiamento di base da F a E e le due formule del cambiamento di coordinate Idatisopraforniticidannoilcambiamentodibaseda E a F edunquecorrispondonoallaformula F = EB Risulta: ( B = Il cambiamento di base da F a E èdatoda E = FB Poiché B = { e =f + f (,siha: e = f f NB Tale formula poteva naturalmente essere ottenuta direttamente dai dati sopra assegnati Infatti: f + f = e,quindie = f f ; allora e = f e =f + f Èevidenteperòchesesioperasuunospaziovettorialedidimensioneelevata,questetrasformazioni sono più complicate e quindi è preferibile svolgere i calcoli utilizzando le matrici Il cambiamento di coordinate da F a E èdatoda x = By, cioè { x = y y x = y y, mentre il cambiamento di coordinate da E a F èdatoda y = B x, cioè { y =x x y = x x ESERCIZI PROPOSTI 4 Sia V = V 3 R,conbaseE = ( e e e 3 Sono assegnati in V itrevettori u = e e, u = e e 3, u 3 = e 3 + e (i Verificare che F = ( u u u 3 èunabasedi V (ii Esprimere in base F il vettore v = e +e +3e 3 (iii Scrivere la formula di cambiamento di coordinate di vettore dalla base E alla base F (iv Esiste in V un vettore non nullo avente le stesse coordinate nelle due basi? 4 Sia V = V 3, con base E Sia F = ( f f f R 3 un altra base Indichiamo con x la colonna delle coordinate di un generico vettore v V rispetto alla base E econy la colonna delle coordinate dello stesso vettore rispetto alla base F Determinare la base F in funzione di E, sapendo che

94 G CAMPANELLA APPUNTI DI ALGEBRA PER INFORMATICA y = x x y = x x 3 y 3 = x + x 3 43 Siano {e,e,e 3 } e {f,f,f} due basi di uno spazio vettoriale V = V 3 Sia: R 3 f = e e, f = e + e 3, f =e 3 + e Assegnato il sottospazio vettoriale W = e e 3,e + e 3, determinarne un sistema di generatori espresso rispetto alla base {f,f,f} 44 Sono assegnate in V = (R le quattro matrici ( ( 0 J =, J 0 0 =, J 0 0 3 = (i Verificare che {J,J,J 3,J 4 } èunabasedi V ( (ii Esprimere in tale base la matrice A = 3 4 3 ( 0 45 Sia V = V 3 R,conbaseE Siano f,f V tali che f = e e + e 3, f = e + e 3 Verificare se esiste una base F = ( f coordinate (,, ed in base F coordinate (0,, 46 Rifare l Esercizio 55 f, J 4 = ( f 3 tale che un vettore v V abbia in base E 47 In V = V 5 R,conbaseE, èassegnatoilsottospaziovettoriale U = u,u,u 3,con u = e e + e 5, u =e e 3 + e 4, u 3 = e + e 3 e 4 +e 5 Determinare equazioni cartesiane di U, cioè un SLO in cinque incognite ed a valori in R, le cui soluzioni siano tutte e sole le coordinate dei vettori di U, in base E

Applicazioni lineari e relativa rappresentazione Abbiamo già introdotto, nel Cap 4, la definizione di applicazione lineare (o omomorfismo tra due spazi vettoriali Richiamiamola: se V, W sono due K-spazi vettoriali, un applicazione T : V W è detta applicazione lineare se verifica le due condizioni: T (v + v =T (v +T (v, T(cv=cT(v, v, v,v V, c K Le due condizioni precedenti possono essere riunificate nella sola condizione: ovvero nella condizione T (c v + c v =c T (v +c T (v, v,v V, c,c K, T (c v + + c n v n =c T (v + + c n T (v n, v,, v n V, c, c n K Come si vede, un applicazione T è lineare se e solo se conserva le combinazioni lineari, nel senso che l immagine di una combinazione lineare di vettori è la combinazione lineare dei vettori immagine, con gli stessi coefficienti Un applicazione lineare di V in V viene chiamata, come già detto nel Cap 4, operatore lineare (o anche endomorfismo di V Un operatore lineare biiettivo è detto automorfismo di V Ricordiamo alcuni fatti già noti(cfrprop e 6 di Cap 4 relativialleleapplicazionilineari Se T : V W e S : W U sono applicazioni lineari, anche S T : V U è un applicazione lineare Se T : V W èunisomorfismodi K-spazi vettoriali, anche l applicazione T : W V èun isomorfismo di K-spazi vettoriali 3 Ogni applicazione lineare T : V W definisce i due sottospazi vettoriali Ker(T =T (0 W ={v V T (v =0 W }, detto nucleo di T ; Im(T =T (V ={T (v, v V }, detto immagine di T La precedente proprietà 3 può facilmente generalizzata,verificando che,assegnata un applicazione lineare, l immagine e la controimmagine di sottospazi vettoriali sono sottospazi vettoriali Vale infatti il seguente risultato Proposizione Sia T : V W un applicazione lineare tra K-spazi vettorili Per ogni sottospazio vettoriale V di V ed ogni sottospazio vettoriale W di W,risulta: T (V èunsottospaziovettorialedi W ; T (W èunsottospaziovettorialedi V Dim Presi comunque w = T (v,w = T (v T (V [con v,v V ]epresicomunquec, d K, si ha (tenuto conto che cv + dv V : cw + dw = ct(v +dt(v =T (cv + dv T (V Analogamente, presi comunque v,v T (W [con T (v =w,t(v =w ] e presi comunque c, d K, siha: equindi cv + dv T (W T (cv + dv =ct(v +dt(v =cw + dw W Vediamo qualche esempio di applicazione lineare e di operatore lineare (i SianoV, W due K-spazi vettoriali L applicazione 0 : V W tale che 0(v =0 W, v V, [dove 0 W ovviamente è il vettore nullo di W ] è, come subito si verifica, un applicazione lineare da V a W,dettaapplicazione lineare nulla (ii Sia V un K-spazio vettoriale e si fissi in K uno scalare c L applicazione

96 G CAMPANELLA APPUNTI DI ALGEBRA PER INFORMATICA c V : V V tale che c V (v =cv, v V è, come subito si verifica, un operatore lineare di V, detto operatore di moltiplicazione per lo scalare c Si osserva poi subito che, se c 0, c V èunautomorfismodi V [con inverso c V ] Per c =, abbiamo l operatore identità V di V Per c =0, abbiamol operatore nullo 0 V di V (iii Siano T : V W, S : V W due applicazioni lineari Èdefinital applicazione T + S : V W tale che (T + S(v =T (v+s(v, v V Si verifica che T + S èun applicazionelineareda V a W,dettaapplicazione lineare somma di T, S Analogamente, se c K e T : V W èun applicazionelineare, èdefinital applicazione ct : V W tale che (ct(v =ct(v, v V Anch essa èun applicazionelineare [infatticoincidecon T c V ], ed èdettamoltiplicazione di T per lo scalare c Valgono le seguenti proprietàchesonodiimmediataverifica: c, d K, S, T, R applicazioni lineari da V a W, T +0=0+T = T, T +( T =( T +T =0, (T + S+R = T +(S + R, T + S = S + T, c (T + S =ct + cs, (c + d T = ct + dt, c(dt=(cd T, T = T Si conclude che l insieme delle applicazioni lineari da V e W èessostessoun K-spazio vettoriale, rispetto all operazione di somma [rispetto a cui èungruppocommutativo] edallamoltiplicazioneper uno scalare Tale spazio vettoriale viene denotato Hom K (V,W Osserviamo poi che, se W = V, lo spazio vettoriale Hom K (V,V èdotatoanchedell operazione di composizione di applicazione lineari Poiché, T, R, S Hom K (V,V, si ha: V T = T = T V, (T R S = T (R S, (T + S R = T R + S R e T (R + S =T R + T S, allora Hom K (V,V èunanellounitario,disolitodenotato End K (V e detto anello degli operatori lineari (o degli endomorfismi di V Infine, il gruppo degli elementi invertibili di End K (V (cioè degli automorfismi di V vieneusualmentedenotatoaut K (V Ci chiediamo quante siano le applicazioni lineari tra due spazi vettoriali o, più precisamente, quale sia la dimensione dello spazio vettoriale Hom K (V,W Abbiamo un significativo risultato, nell ipotesi che almeno il primo dei due spazi vettoriali abbia dimensione finita Sia V = V n K e sia {e,e,, e n} una sua base Ogni applicazione lineare T : V W ècompletamente individuata conoscendo gli n vettori Infatti, T (e,t(e,, T (e n W v V,sev = n c i e i,siha: T (v = n c i T (e i Dunque T (v ècalcolabileconoscendo i= ivettori T (e i (eovviamentelecoordinatediv i= Viceversa, scelti arbitrariamente in W n vettori w,w,, w n, possiamo considerare l applicazione T : V W così definita: T ( n c i e i = n c i w i, n c i e i V i= i= Tale applicazione è tautologicamente lineare in quanto è- come si dice- costruita per linearità a partire dalle n assegnazioni T (e i =w i, i =,, n Abbiamo così costruitodueapplicazioni (dipendentidallasceltadiunabase {e,e,, e n } di V La prima: i= Φ:Hom K (V,W W n associa a T Hom K (V,W la n-pla Φ(T = ( T (e,t(e,, T (e n W n Ψ:W n Hom K (V,W La seconda: associa a (w,w, w n W n l applicazione (costruita per linearità Ψ ( (w,w, w n [che denotiamo T ]talechet (e i =w i, i =,, n Queste due applicazioni sono manifestamente inverse l una dell altra e quindi creano una biiezione tra Hom K (V,W ew n Ci chiediamo allora se tali applicazioni siano isomorfismi di spazi vettoriali Intanto osserviamo subito che W n è dotato in modo ovvio di stuttura di spazio vettoriale [rispetto alle due operazioni

CAP 4 APPLICAZIONI LINEARI E RELATIVA RAPPRESENTAZIONE 97 (w,, w n +(w,, w n=(w + w,, w n + w n, c(w,, w n =(cw,, c w n ] Si ha poi, c, d K, T, S Hom K (V,W: Φ(cT + ds = = ( (ct + ds(e,, (ct + ds(e n = = c ( T (e,, T (e n + d ( S(e,, S(e n = c Φ(T +d Φ(S Dunque Φ è un isomorfismo ed abbiamo cosìprovatoilseguente risultato Proposizione Sia V = V n K e sia {e,e, e n} una sua base Per ogni K-spazio vettoriale W esiste un isomorfismo (dipendente dalla base scelta tra Hom K (V n K,W e W n Osservazione Si noti che, se dim(w =m, alloradim(w n =nm Se infatti {f,, f m } èunabasedi W,sipuò verificare che le nm n-ple: ( f, 0,, 0, (, 0,, 0,, ( 0, 0,, 0,, con i,i,, i n {,,, m}, i 0,fi fi n formano una base di W n Segue dalla Prop che dim ( Hom K (V n K,Wm K = nm Ora ci poniamo il problema di rappresentare le applicazioni lineari tra spazi vettoriali di dimensione finita Sia T : V W un applicazione lineare, con V = V n e W = W m Supponiamo che siano K K assegnate una base {e,, e n } di V ed una base {f,, f m } di W Con le notazioni introdotte nel paragrafo precedente, poniamo: E := ( e e n,n (V, F := ( f f m,m (W Al variare di v V, sia w = T (v la sua immagine Vogliamo tradurre tale uguaglianza tra vettori nella corrispondente uguaglianza tra le loro coordinate (nelle basi E, F ( Siano v = Ex e w = Fy, con x = x x n n, (K e y = T (v =T ( n e i x i = n T (e i x i = ( T (e T (e n i= i= x x n y y m m, (K Si ha: = ( T (e T (e n x Come già osservato,gli n vettori T (e,t(e,, T (e n W individuano completamente T Esprimiamo tali vettori nella base F Sia T (e =Fa,T(e =Fa,, T (e n =Fa n, con a,a,, a n m, (K Riunendo tali colonne si ottiene la matrice A =(a a a n m,n (K, che viene detta matrice dell applicazione lineare T rispetto alle basi E ed F Riunendo i vettori T (e,t(e,, T (e n in un vettore riga, abbiamo ( T (e T (e T (e n = FA Se poi, per semplificare ulteriormente le notazioni, poniamo otteniamo la formula T (E := ( T (e T (e T (e n, T (E =FA, che fornisce l azione di T sui vettori della base E rispetto alle basi E ed F e che chiameremo formula di definizione di T

98 G CAMPANELLA APPUNTI DI ALGEBRA PER INFORMATICA NB La notazione T (E vautilizzataconmoltaprecisioneedaccuratezza: sifacciaattenzionea non scriverla (o interpretarla nella forma T ( (e e e n onellaforma T ( e e e n,chenon hanno senso [in quanto T agisce su singoli vettori (e non su righe di vettori] Con tale notazione, la precedente formula ( siscrivenellaforma: T (Ex =T (E x Torniamo all uguaglianza w = T (v equindi Fy = FAx Si ha: Fy = w = T (v =T (Ex =T (E x = FAx Per l unicitàdiscritturainbase F si conclude che y = Ax Interpretando x ed y come colonne di incognite, diremo che tale uguaglianza fornisce le equazioni di T, nelle basi E, F Il significato di tali equazioni èchiaro: sostituendolecoordinatediunvettore v V al posto della colonna x, la corrispondente colonna y fornisce le coordinate di T (v In forma non compatta le precedenti equazioni si scrivono nella forma: y = a x + a x + + a n x n y = a x + a x + + a n x n y m = a m x + a m x + + a mn x n Un esempio Sia T : R 3 R 4 l applicazione lineare definita, rispetto alle basi canoniche E di R 3 ed F di R 4,dalleseguenticondizioni: T (e =(, 0, 0,, T(e =(0,,, 0, T(e 3 =(,, 0, La matrice di T rispetto alle due basi fissate è 0 0 A = 0 0 0 e le equazioni di T (sempre rispetto a tali basi sono y = x + x 3 y = x +x 3 y 3 = x y 4 = x + x 3 Assegnato ad esempio il vettore v =(,, 3 R 3,ilvettorew = T (v èottenutocalcolando Av [dove v è la colonna corrispondente al vettore v] Si ha: 0 0 Av = 4 4 = 0 0 3 0 4 edunque w =(4, 4,, 4 Potremmo anche chiederci quali altri eventuali vettori di R 3 abbiano per immagine w Ciòsignifica ovviamente determinare T (w Per ottenere tali vettori basta risolvere il SL(4, 3,R AX = w, cioè x + x 3 =4 x +x 3 =4 x = x + x 3 =4

CAP 4 APPLICAZIONI LINEARI E RELATIVA RAPPRESENTAZIONE 99 Tale SL ècompatibile [inquantohasoluzione (,, 3] Poiché rg(a =3, il SL ha 3 3 soluzioni, cioè un unicasoluzione [cheèquindi (,, 3] Dunque T (w ={v} La matrice A di un applicazione lineare T : V n W m [sempre relativamente a due basi assegnate K K E, F ]consentedideterminarefacilmenteilnucleoker(t el immagineim(t dit Si ha infatti (con le notazioni usate in precedenza: v Ker(T T (v =0 W FAx = F 0 Ax =0 [dove ovviamente 0 m, (K] Dunque Ker(T ha (in base E equazioni cartesiane date dal SLO(m, n, K AX =0 Segue, dal teorema di Rouché-Capelli, che dim(ker(t = n rg(a Relativamente ad Im(T, osserviamo che ogni vettore T (v Im(T ècombinazionelinearedi T (e,, T (e n Pertanto: Im(T = T (e,, T (e n Quindi una base di Im(T èottenutascegliendoilmassimonumerodivettorilinearmenteindipendenti tra T (e,, T (e n Poiché ( T (e T (e n = FA, basta scegliere il massimo numero possibile di colonne di A linearmente indipendenti ed i corrispondenti vettori T (e i formanounabasediim(t In particolare abbiamo ottenuto: dim(im(t = rg(a Un esempio Sia V = V 4 e sia T : V V l operatore lineare definito, rispetto ad una stessa R base E di V [sia nello spazio di partenza che in quello di arrivo] dalla matrice: 0 0 0 0 A = 0 0 Vogliamo determinare Ker(T eim(t Ker(T èottenutorisolvendoil SLO(4, 4,R AX =0 Poiché la matrice A ha rango 3 [infatti si osserva che le prime tre righe di A sono linearmente indipendenti, mentre la quarta è la somma delle prime tre], il SLO ha 4 3 = soluzioni, ovvero lo spazio vettoriale Σ 0 delle sue soluzioni èunsottospazio -dimensionaledi R 4 Per ottenere una base di Σ 0, cioè un autosoluzione,convieneutilizzarelaprop di Cap 34 Si elimina dal SLO l ultima equazione (che èsuperfluaesideterminailvettorez R 4 formato dai minori di ordine 3 (delle prime tre righe di A, presi a segni alterni Si ottiene: ( 0 0 0 0, 0 0 0 0, 0 0 0 0, 0 0 =(,,, 3 0 Dunque Σ 0 = (,,, 3 epertanto Ker(T = e e + e 3 +3e 4 Per ottenere una base di Im(T bastasceglieretrecolonnedia linearmente indipendenti Abbiamo varie alternative Ad esempio possiamo scegliere le ultime tre colonne Otteniamo quindi Im(T = e + e 3 +e 4, e + e,e 3 + e 4 Lo studente avrà forse notato (sia nell ultimo esempio che nelle considerazioni precedenti che risulta dim(ker(t + dim(im(t = dim(v

00 G CAMPANELLA APPUNTI DI ALGEBRA PER INFORMATICA [infatti (n rg(a + rg(a = n] Questa formula può essere dimostrata anche in forma intrinseca, cioè senza utilizzare la matrice A [che non è unica,in quanto dipende dalla scelta delle basi E di V ed F di W ], e vale, più generalmente, anche se W ha dimensione non finita Ridimostriamo dunque in forma intrinseca tale risultato, che è noto con il nome di teorema della nullità più rango [dove nullità sta per dimensione del nucleo ] Teorema Sia T : V W un applicazione lineare, con V = V n K dim(ker(t + dim(im(t = dim(v [= n] Risulta: Dim Assumiamo che Ker(T abbiadimensiones escegliamoneunabase {u,, u s } In base al teorema del completamento, possiamo aggiungere a tali vettori altri n s vettori v,, v n s di V, sino ad ottenere la base {u, u s,v,, v n s } di V Basteràoraverificarecheivettori T (v,, T (v n s formano una base di Im(T, e la formula sarà dimostrata Per ogni w Im(T, si ha: w = T (v =T ( s i= a i u i + n s j= b j v j = s i= a i T (u i + n s j= b j T (v j = n s j= b j T (v j [in quanto ogni T (u i =0 W ] Abbiamo quindi verificato che w T (v,, T (v n s, cioèche {T (v,, T (v n s } èunsistemadigeneratoridi W Verifichiamo ora che i vettori T (v,, T (v n s sonolinermenteindipendenti Ne segue che T ( n s j= n s j= b j v j =0 W, cioè che n s n s j= b j v j = s i= b j T (v j =0 W j= b j v j Ker(T Allora, a i u i, cioè n s j= b j v j s a i u i =0, per opportuni coefficienti a i K Poiché u, u s,v,, v n s sono linearmente indipendenti, tutti icoefficienti b j [e a i ]sononulli PertantoT (v,, T (v n s sonolinearmenteindipendenti i= Sia Osservazione Ritorniamo ad un applicazione lineare T : V n W m che, rispetto alle basi E K K di V ed F di W,abbiamatriceA m,n (K Analogamente a ciòcheèstatofattoper Ker(T, vogliamo ottenere equazioni cartesiane di Im(T, cioè unslo ad m incognite, le cui soluzioni siano le coordinate, in base F, dituttiesoliivettori di Im(T Risulta: w Im(T w = T (v, v V Fy = FAx, Ex V Ax = y, x n, (K il SL(m, n, K AX = y ècompatible rg( ( A y =rg(a Sia r = rg(a e sia B una sottomatrice quadrata invertibile di ordine r in A La condizione rg( ( A y =r equivale a che siano tutti nulli gli orlati di B Tra questi, quelli (se ce ne sono che non coinvolgono la colonna y sono già nulli [inquanto rg(a = r] Quelli che coinvolgono la colonna y sono esattamente m r Interpretando gli elementidi y come incognite, l annullamento di questi m r minori crea un SLO(m r, m, K, le cui soluzioni sono le coordinate, in base F,di tutti e soli i vettori di Im(T Facciamo un esempio Sia T : R 4 R 5 l applicazione lineare avente, rispetto alle basi canoniche E di R 4 ed F di R 5,matrice

CAP 4 APPLICAZIONI LINEARI E RELATIVA RAPPRESENTAZIONE 0 A = 3 0 0 0 0 Si osserva che rg(a = [infatti ad esempio le colonne A (,A (3 sono linearmente indipendenti, mentre A ( = A (3 A (,A (4 = A ( + A (3 ] ( Scegliamo come sottomatrice B di A la matrice B = A(,, 3 = La condizione 0 rg( ( A y = cidàl annullamentedeitreorlati [coinvolgentilacolonnadiincognite y 5, (R]: y 0 y 0 y 3 =0, y 0 y 0 y 4 =0, y 0 y 0 y 5 =0, cioè il SLO(3, 5, R y y + y 3 =0 y +4y + y 4 =0 y = y 5 =0 Si noti che una base di Im(T èdatada {(, 0,,, 0, (,, 0, 0, } [prima e terza colonna di A] Ovviamente queste due 5-ple sono una base di autosoluzioni del SLO Lasciamo al lettore la verifica che una base di Ker(T èadesempio {(,,, 0, (,, 0, } Il Teor ha un importante corollario nel caso in cui V, W hanno la stessa dimensione Corollario Sia dim(v =dim(w =n e sia T : V W un applicazione lineare T è iniettiva T è suriettiva [Dunque T è un isomorfismo è un monomorfismo è un epimorfismo] Risulta: Dim Dal Teor, dim(ker(t = 0 dim(im(t = n Quindi Ker(T ={0} Im(T =W Per concludere basta ricordare (cfr Cap 4 chet è iniettiva Ker(T ={0} Nei due risultati che seguono otteniamo la rappresentazione della combinazione lineare di due applicazioni lineari e della composizione di due applicazioni lineari Proposizione 3 Siano V = V n e W = W m, con basi rispettivamente E, F Siano c, d K e K K siano S, T : V W due applicazioni lineari aventi rispettivamente matrici A, B (rispetto ad E, F Allora: Dim Per i =, n risulta: cs+ dt : V W ha matrice ca+ db (rispetto ad E, F (cs+ dt(e i =cs(e i +dt(e i =cfa (i + dfb (i = F ( ca (i + db ( (i = F ca+ db (i Dunque ( (cs+ dt(e (cs+ dt(e n = F (ca+ db NB Utilizzando le formule T (E = F A e S(E = F B,si ha subito: (cs+ dt(e =cs(e+dt(e =cfa+ dfb= F (ca+ db Proposizione 4 Siano V = V n,w= W m e U = U p, con basi rispettivamente E, F, G Siano K K K T : V W e S : W U due applicazioni lineari, aventi rispettivamente matrici A, B (rispetto alle basi considerate Allora:

0 G CAMPANELLA APPUNTI DI ALGEBRA PER INFORMATICA Dim Per i =, n risulta: S T : V U ha matrice BA (rispetto ad E, G (S T (e i =S ( T (e i = S ( FA (i = ( S(f S(f m A (i =(GB A (i = G ( BA (i Dunque ( (S T (e (S T (e n = (G ( BA ( ( G BA (n = G ( BA ( B A (n = GBA NB Utilizzando le formule T (E = F A e S(F = G B,si ha subito: (S T (E =S ( T (E = S ( FA = S(F A =(GBA = G(BA Un esempio Siano T : R R 3 e S : R 3 R applicazioni lineari definite, rispetto alle basi canoniche E di R ed F di R 3,rispettivamentedallematrici A = 0 ( 0 0, B = 0 Vogliamo calcolare la matrice di S T : R R, rispetto alla base E Procediamo utilizzando la proposizione precedente S T ha matrice BA esiha: ( 0 BA = 0 ( 0 5 = 0 Possiamo ottenere la matrice di S T anche con un calcolo diretto nelle due matrici: Si ha quindi: T (e =f f, T(e 3 =f + f, 3 S(f =e, S(f =e, S(f =e 3 e Risulta, dai dati contenuti (S T (e =S(T (e = S(f f =S(f S(f =e 3 3 (e e = e +e ; (S T (e =S(T (e = S(f + f =S(f +S(f =4e 3 3 +(e e =5e e La matrice di S T èquindilamatrice BA già ottenuta Siosserviinfineche BA GL (R Ne segue che Ker(S T ={0} e Im(S T =R Lasciamo al lettore il compito di verificare che invece T S : R 3 R 3 ha matrice (rispetto ad F AB = 0 0 Poiché rg(ab < 3, det(ab = 0 equindi T S non èunautomorfismo Siverifichiallorache: { y + y 3 =0 - Ker(T S haequazionicartesiane eche Ker(T S = (,, ; y y 3 =0 { - Im(T S haequazionecartesiana y y +y 3 =0 eche Im(T S = (0,,, (, 0, se cambiamo le basi degli spazi vet- Concludiamo il paragrafo affrontando il seguente problema: toriali, come cambia la matrice dell applicazione lineare? Studieremo tale problema in un caso particolare, che è l unico che ci interesserà nelseguito Assumiamo che T sia un operatore lineare di V = V n eche E = (e K e n sia la base assegnata in V [sia come spazio di partenza che come spazio d arrivo dell operatore] Assumiamo poi che T abbia matrice A n(k rispettoatalebase, cioè ( T (e T (e n = EA Sia ora F = ( f f n un altra base di V e sia ( T (f T (f n = FB, con B n(k

CAP 4 APPLICAZIONI LINEARI E RELATIVA RAPPRESENTAZIONE 03 Se E ed F sono legate da una matrice di cambiamento di base C, cioé F = EC,conC GL n (K, proveremo che risulta: Poiché f = EC (i,allora i Pertanto B = C AC T (f =T (EC (i = ( T (e T (e n C (i =(EA C (i = E (AC (i i FB= ( T (f T (f n = ( E (AC ( E (AC (n = EAC Da F = EC segue che ECB = EAC equindi CB = AC concludiamo che B = C AC, comepreannunciato NB Utilizzando le formule T (E = E A e T (F = F B,si ha subito: Moltiplicando a sinistra per C FB= T (F =T (EC=T (EC =(EAC = E (AC=(FC AC = F (C AC equindi B = C AC Definizione Due matrici A, A n(k sono dette simili se esiste C GL n (K tale che A = C AC Si puòfacilmenteverificarechel esseresimili èunarelazionediequivalenzain n(k Abbiamo provato che le matrici che rappresentano un operatore lineare di V = V n sono simili Ma K si può dimostrareancheilviceversa: seduematrici A, B n(k sonosimilieb = C AC, allora esse rappresentano lo stesso operatore lineare T, aventematricea in base E ematriceb in base EC [infatti risulta: T (EC=T (E C =(EA C = E (CC AC=(EC C AC =(EC B] Osservazione 3 Si verifica subito che una matrice A n(k è simile solo a se stessa commuta con ogni matrice di GL n (K [infatti C AC = A AC = CA, C GL n (K] Si verifica poi subito che ogni matrice scalare ai n commuta con ogni matrice di M n(k [infatti risulta: (ai n M = am = M (ai n ] Viceversa si può dimostrare (manonlofacciamo che se A commuta con ogni matrice C GL n (K, A èunamatricescalare ESERCIZI PROPOSTI 4 Siano V, W due K-spazi vettoriali di dimensione n, conbasirispettivamentee, F Sia T : V W un applicazione lineare avente matrice A, rispettoallebasie, F Verificare che T è un isomorfismo A GL n (K 4 Sia E la base canonica di R 3 e sia F = ( f f =(, 0,, f Sia T : R 3 R 3 un operatore lineare tale che f =(0,,, f 3 f 3,3 (R 3, con =(,, 0 T (f =(, 0, 0, T(f =(,, 0, T(f =(,, 3 Determinare la matrice A di T rispetto alla base canonica E 43 Siano S : R 3 R 5 e T : R 5 R 3 applicazioni lineari così definite: S ( (a,a,a 3 =(0,a,a,a 3, 0, T ( (b,b,b 3,b 4,b 5 =(b,b 3,b 5, (a,a,a 3 R 3, (b,b,b 3,b 4,b 5 R 5 (i Scrivere le matrici di T S edi S T rispetto alle basi canoniche E di R 3 ed F di R 5 (ii Verificare se Ker(T S e Im(T S sono supplementari in R 3 ese Ker(S T e Im(S T lo sono in R 5 44 Èassegnatalamatrice A = 0 0 3,4 (R Sia T : R 4 R 3 l applicazione 0 lineare definita dalla matrice A, rispettoallebasicanonichee di R 4 ed F di R 3

04 G CAMPANELLA APPUNTI DI ALGEBRA PER INFORMATICA Sia poi S : R 3 R 4 l applicazione lineare definita (sempre rispetto ad F ed E dallamatrice t A Determinare la matrice dell operatore lineare S T di R 4 (rispetto ad E e calcolare dimensioni ebasidi Ker(S T eim(s T 45 Siano V = V 3 e W = W 4, con basi rispettivamente E ed F Sia T : V W definito R R rispetto a tali basi dalla matrice 0 0 0 0 A = 4,3 (R 0 0 0 Sia W il sottospazio vettoriale di W generato dai vettori w,w, aventi in base F rispettivamente coordinate (, 0,,, (,, 0, Determinare una base e la dimensione di T (W 46 Sia V = V 4 con base E Sia T : V V un operatore lineare avente in base E matrice R 0 0 A = 0 0 4(R 0 Sia U il sottospazio vettoriale di V generato dai tre vettori e + e 4,e e 3,e e 4 (i Determinare la dimensione ed una base di T (U (ii Determinare equazioni cartesiane di T (U, cioè un SLO in quattro incognite le cui soluzioni sono le coordinate dei vettori di T (U 47 Sia T un applicazione lineare da V = V 3 a W = W 4 che, espressa rispetto alle basi E = R R ( e e e ( 3 di V ed F = f f f f di W,èdefinitada 3 4 T (e =f f, T(e =f f, T(e 3 3 =f f 3 4 (i Scrivere la matrice A e le equazioni di T, rispetto alle basi E, F Calcolare poi equazioni cartesiane e basi di Ker(T ediim(t (ii Sia S : W V l applicazione lineare definita dalla matrice B = t A, rispetto alle basi F, E Determinare la formula di definizione e le equazioni di S, rispettoallebasif, E Calcolare poi equazioni cartesiane e basi di Ker(S ediim(s (iii Determinare matrice ed equazioni di T S Calcolare poi equazioni cartesiane e basi di Ker(T S ediim(t S 48 In R 3,conbasecanonicaE, sonoassegnatiiduesottospazivettoriali: U, rappresentatodalslo(, 3,R { x x =0; W,rappresentatodalSLO(, 3,R { x x 3 =0 Determinare un isomorfismo T : R 3 R 3 tale che T (U =W Esprimere T in base E 49 Sia V =(Z [= Z Z ] (i Determinare la cardinalità dell anello End(V [= End Z (V ] degli operatori lineari di V (ii Determinare il gruppo U(End(V degli elementi invertibili di End(V 40 Siano E ed F due basi di V = V n K, tali che F = EC, con C GL n (K Sia T un operatore lineare di V definito da T (E = F A Determinare la matrice di T rispetto: - alla base E sia nello spazio vettoriale di partenza che in quello di arrivo, - alla base F sia nello spazio vettoriale di partenza che in quello di arrivo, - alla base F nello spazio vettoriale di partenza ed alla base E in quello di arrivo 4 Sono assegnati i due spazi vettoriali V = V n,conbasie ed E K tali che E = EC; W = W m,conbasif ed F K tali che F = FD Sia T : V W un pplicazione lineare avente matrice A m,n (K, rispetto alle basi E ed F Qual è la matrice di T rispetto alle basi E ed F?

3 Diagonalizzazione di operatori lineari Nel precedente paragrafo abbiamo visto come sia possibile rappresentare un operatore lineare T di V = V n tramite una matrice Tale matrice non èunica,mavariaconlasceltadellabasedi V K Qual è la base migliore rispetto a cui rappresentare T? Intuitivamente si tratta di scegliere una base rispetto a cui la matrice di T sia la più semplicepossibile Unobiettivoambiziosoèsperare che la matrice possa essere diagonale Se, rispetto ad una base F = ( f f n di V, T èrappresentatodaunamatricediagonale c 0 0 0 0 c 0 0 D =, 0 0 0 c n risulta: T (f =c f,t(f =c f,, T (f n =c n f n Diciamo subito che una tale base (e quindi una rappresentazione di T con matrice diagonale in generale non esiste Ci occuperemo allora del problema di stabilire in quali occasioni una tale base esista e di come fare per ottenerla Partiamo quindi dallo studio di vettori v V che si comportano come i vettori f, cioè chesono i proporzionali alla propria immagine Sono detti autovettori di T Ecco la definizione Definizione Sia T : V V un operatore lineare e sia v V un vettore non nullo Diciamo che v è un autovettore di T se esiste uno scalare λ K tale che T (v =λv Lo scalare λ è detto autovalore di T associato a v Analogamente, un elemento λ K è detto autovalore di T se esiste un vettore non nullo v V tale che T (v =λv In tal caso v è detto autovettore di T associato a λ L insieme degli autovalori di T [che potrebbe anche essere vuoto] è chiamato spettro di T ed è denotato Λ(T [L uso della lettera λ per indicare un autovalore proviene dalla Fisica ed è universalmente accettato] Osservazione (i La richiesta che un autovettore sia un vettore non nullo èfattapernon banalizzare il concetto di autovalore Se infatti accettassimo come autovettore anche 0, ogniscalare λ K sarebbe un autovalore di T [in quanto T (0 =0= λ 0, λ K] (ii Le definizioni di autovettore e di autovalore sono intrinseche, cioènonlegateallasceltadiuna base In effetti queste definizioni valgono per ogni spazio vettoriale, anche di dimensione non finita (iii Si verifica subito che l autovalore associato ad un autovettore v èunico Seinfatti T (v = λv = µv,allora(λ µv =0 Poiché v 0,alloraλ µ = 0, cioè λ = µ Invece di autovettori associati ad un autovalore λ ce ne sono tanti Formano in effetti [se aggiungiamo il vettore nullo] un sottospazio vettoriale di V Proviamo questo fatto nella proposizione che segue Proposizione Sia T : V V un operatore lineare e sia λ K un suo autovalore L insieme {v V T (v =λv} èunsottospaziovettorialedi V Talesottospaziocoincideconilnucleodell operatorelineare T λ V Dim Èsufficienteverificaresoltantol ultimaaffermazione L operatorelineare T λ V : V V èovviamentecosìdefinito: Pertanto (T λ V (v =T (v λv, v V

06 G CAMPANELLA APPUNTI DI ALGEBRA PER INFORMATICA Ker(T λ V ={v T (v λv =0} = {v V T (v =λv} Definizione Sia T : V V un operatore lineare e sia λ K un suo autovalore Il sottospazio vettoriale Ker(T λ V èdettoautospazio di T associato all autovalore λ evienedenotato E λ (T (ovvero, più brevemente, E λ [L iniziale E di E λ segue dal fatto che gli autovettori in inglese sono chiamati eigenvectors e gli autovalori eigenvalues ] La dimensione di E λ (T viene chiamata molteplicità geometricadi λ (come autovalore di T e denotata d λ Osservazione Sia T un operatore lineare di V Come troviamo i suoi autovalori? Per ogni c K possiamo considerare l operatore lineare T c V Risulta: c èunautovaloredi T Ker(T c V {0} Infatti c èunautovaloredi T v 0 T (v =cv v 0 v Ker(T c V Esempi (i Per ogni c K, l operatore c V ammette soltanto l autovalore c, con autospazio E c = V Infatti, v V, (c V (v =cv Invece, per ogni d c, c V d V =(c d V èun automorfismo e quindi Ker(c V d V ={0} Dunque d non èautovaloredi c V (ii Esistono operatori lineari privi di autovalori Consideriamo infatti l operatore lineare T di R definito, rispetto alla base canonica di R,dallamatrice ( 0 A = 0 Assumiamo che, posto v =(x, y, risulti, per qualche λ R, T (v = λv vettoriale si traduce nell uguaglianza matriciale ( ( ( 0 x x = λ, 0 y y cioè nel SLO(,,R { y = λx x = λy, ovvero { λx+ y =0 x λy =0 Questa uguaglianza La matrice di tale SLO ha determinante λ + Tale numero reale non puòmaiesserenullo(essendo somma di quadrati e dunque positivo Ne segue che il SLO èprivodiautosoluzioniedunqueche nessun λ R ammette autovettori associati Pertanto T èprivodiautovalori (iii Ora saliamo un po rispetto al nostro standard, per dare un idea dell importanza del concetto di autovettore Denotiamo con (o l insieme delle funzioni reali definite su un intervallo aperto I R e I dotate di derivata di ogni ordine Si puòverificareconfacilitàche èunsottospaziovettorialedi [R-spazio vettoriale di tutte le funzioni reali definite su I (cfr Osserv (ii dicap 5] I Sia ora D : l operatore di derivazione, che associa ad ogni funzione f = f(x, la sua derivata prima D(f [che si tratti di un operatore lineare èbennotoallettore; infatti-comesi impara nei corsi di Calcolo - vale la proprietàdi linearità della derivata: D(af + bg=ad(f+bd(g, a, b R, f,g ] Cosa significa che f èunautovettoreassociatoadunautovalore λ? Ovviamentecherisulta D(f =λf,ovverochef èunasoluzionedell equazionedifferenzialedelprimoordine y = λy Dunque risolvere un equazione differenziale (del primo ordine significa determinare un autospazio di D Si noti poi che ogni λ R èunautovaloredi D Infatti f(x =e λx E λ (D [in quanto, come noto, D(e λx =λe λx ] Ora ci muoviamo alla ricerca di quanti più autovettori di T linearmente indipendenti sia possibile

CAP 43 DIAGONALIZZAZIONE DI OPERATORI LINEARI 07 determinare in V La speranza sarebbe quella di costruire una base di autovettori di T Proposizione Sia T : V V un operatore lineare e siano λ,, λ s suoi autovalori a due aduedistinti Siano v,, v s rispettivi autovettori associati Tali autovettori sono linearmente indipendenti Dim Si procede per induzione sul numero s degli autovalori Se s =, abbiamoununicoautovettore Essendounautovettore,èunvettorenonnulloequindi èunvettorelinearmenteindipendente (cfrosserv (i dicap 5 Sia s>esisuppongailrisultatoveropers autovalori: dunquev,, v s sono linearmente indipendenti Proviamo che anche v,, v s sono linearmente indipendenti Sia s c i v i =0 Allora equindi i= = s c T ( s i T (v i = s c i λ i v i i= i= c i v i = i= = T (0 =λ s 0 = λ s ( s c i v i = s c i λ s v i i= s c i λ i v i = s c i λ s v i i= Cancellando l ultimo addendo di queste due sommatorie [che è lo stesso vettore c s λ s v s ] si ottiene Poiché v,, v s s i= c i λ i v i = s i= i= c i λ s v i, cioè s sono linearmente indipendenti, i= i= c i (λ i λ s v i =0 c (λ λ s =0,, c s (λ s λ s =0 e, poiché λ λ s,, λ s λ s sono non nulli, allora c = = c s = 0 Dalla relazione s c i v i =0 segue allora che anche c s =0 Siconcludeche v,, v s sono linearmente indipendenti i= La proposizione precedente puòesseremiglioratanellaseguentedirezione: invecediconsiderare un solo autovettore in ogni autospazio E λi, consideriamo piùautovettorilinearmenteindipendenti in ciascun E λi Risulteràchequestiautovettori(tuttiinsiemesonolinearmenteindipendenti Quanti autovettori linearmente indipendenti potremo poi scegliere in E λi? Ovviamente al più d λi (dimensione dell autospazio Ecco il risultato in questione Proposizione 3 Sia T : V V un operatore lineare e siano λ,, λ s suoi autovalori a due a due distinti Per i =,, s, si scelgano nell autospazio E λi (T n i autovettori linearmente indipendenti v i,,, v i,ni [con n i d λi ] Risulta: i vettori sono linearmente indipendenti v,, v n,v,, v n,, v s,, v sns Dim Bisogna verificare che n s i c ij v ij =0 = c ij =0, i =, s, j =, n i Poniamo u i := n i j= i= j= c ij v ij Allora u + + u s =0 equindi u,, u s sono linearmente dipendenti Se u i =0,allora(essendov i,, v ini linearmente indipendenti c i = = c ini =0 Pertanto, se ogni u i =0, la tesi èdimostrata Se invece, per assurdo, esistesse qualche u i 0,siavrebbe:

08 G CAMPANELLA APPUNTI DI ALGEBRA PER INFORMATICA n i T (u i =T ( c ij v ij = j= n i j= c ij T (v ij = n i j= c ij λ i v ij = λ i u i equindi u i sarebbe un autovettore associato a λ i Tali u i non nulli, in base alla proposizione precedente sarebbero linearmente indipendenti Ma la loro somma è0edunquesonolinearmente dipendenti: assurdo Sia ora V = V n uno spazio vettoriale n-dimensionale e sia T un operatore lineare di V K La Prop ci garantisce che T possiede al più n autovalori distinti, cioè che Λ(T n Se infatti per assurdo T avesse n + autovalori distinti, avrebbe in corrispondenza n + vettori linearmente indipendenti [i rispettivi autovettori] La Prop 3 ci dice qualcosa di più: λ Λ(T d λ n Infatti, se per ogni λ Λ(T scegliamod λ autovettori linearmente indipendenti, questi vettori (tutti insieme sono linearmente indipendenti e dunque il loro numero complessivo è n Se in particolare λ Λ(T d λ = n, tali vettori formano una base di V Dunque V ammette una base di autovettori di T Vale anche il viceversa: assumiamo che V ammetta una base di autovettori di T Tale base deve contenere autovettori di ogni autospazio di T [in base alla Prop 3] Se Λ(T ={λ,, λ s }, i vettori di tale base si ripartiscono quindi in questo modo: v,,, v,n E λ (T, v,,, v,n E λ (T,, v s,,, v s,ns E λs (T, con n + n + + n s = n Poiché ogni n i d λi,siha: n = s n i i= s d λi = i= λ Λ(T Abbiamo così dimostrato il seguente risultato d λ n edunque λ Λ(T d λ = n Proposizione 4 Sia V = V n e T un operatore lineare di V Risulta: K esiste in V una base di autovettori di T d λ = n λ Λ(T Definizione 3 Un operatore lineare T di V = V n èdettodiagonalizzabile se V ammette una K base di autovettori di T Unatalebasediautovettorièdettabase diagonalizzante (per T Se quindi T èdiagonalizzabileedammetteunabasediautovettori F, la sua matrice in base F è una matrice diagonale e sulla diagonale compaiono tutti gli autovalori di T, ciascuno un numero di volte pari alla rispettiva molteplicità geometrica Osservazione 3 (i Un operatore lineare di V = V n che ammetta n autovalori distinti ècertamente diagonalizzabile [infatti d λi K n = n (e ogni d λi =] Ovviamenteesistonooperatorilineari i= diagonalizzabili che posseggono meno di n autovalori distinti: ad esempio sia T : R 3 R 3 avente (rispetto alla base canonica E di R 3 matrice B = a 0 0 0 a 0, con a b 0 0 b Tale operatore ha due soli autovalori: a (con d a = e b (con d b = Sinotiche,essendo B diagonale, una base di autovettori di T èproprio E Inparticolare E a (T = e,e e E b (T = e 3 (ii Ovviamenteunoperatorelineareprivodiautovalori [adesempioquellodiesempi(ii] non è diagonalizzabile Esistono comunque operatori lineari non diagonalizzabili che posseggono qualche

CAP 43 DIAGONALIZZAZIONE DI OPERATORI LINEARI 09 autovalore Eccone un esempio: Si consideri l operatore lineare T : R R avente (rispetto alla base canonica E di R matrice ( C = 0 Sia T (v =λv,conλ R che si traduce nel SLO(,,R La matrice di tale SLO è Posto v =(x, y, tale uguaglianza si scrive nella forma ( ( ( x x = λ, 0 y y { ( λ x + y =0 ( λ y =0 ( λ 0 λ Il rango di tale matrice è se λ, edèseλ = Ne segue che il SLO èprivodiautosoluzioni se λ, edha soluzioni se λ = Talisoluzionisonoproporzionaliad e Pertanto T ammette il solo autovalore con molteplicità geometrica d = [econ E (T = e ] Dunque T è non è diagonalizzabile Ci poniamo ora il problema di determinare tutti gli autovalori di un operatore lineare T,apartire da una sua matrice Sia V = V n K e sia T un operatore lineare di V Sia E una base di V e sia A n(k la matrice di T rispetto a tale base Sia λ K Dall Osserv, λ Λ(T Ker(T λ V {0} Osserviamo subito che λ V ha matrice scalare λi n in base E [in effetti λ V ha sempre matrice λi n,rispettoadognibase di V, in quanto λ V (v =λv, v V ] Segue dalla Prop 3 del precedente paragrafo che T λ V ha matrice (in base E A λi n e quindi che Ker(T λ V haequazionicartesiane(inbasee datedalslo(n, n, K (A λi n X =0 Tale SLO ammette autosoluzioni rg(a λi n <n det(a λi n =0 Interpretiamo ora λ come un incognita Allora a λ a a n a a λ a n det(a λi n = a n a n a nn λ [opportunamente sviluppato secondo la definizione di determinante] èunpolinomionell incognitaλ ed a coefficienti in K Tale polinomio viene chiamato polinomio caratteristico di A evienedenotato con P o P A Abbiamo provato il seguente fatto Proposizione 5 Sia T un operatore lineare di V = V n, avente matrice A (rispetto ad una base K E di V epolinomiocaratteristicop Sia λ K Risulta: λ Λ(T P (λ =0 In altri termini, gli autovalori di T sono tutti e soli gli zeri del polinomio caratteristico di T Se lo studente ritorna agli esempi numerici di questo paragrafo, verificheràche: T : R R,dimatriceA, hapolinomiocaratteristicop A = λ + (privodizeriin R; T : R 3 R 3,dimatriceB, hapolinomiocaratteristicop B =(a λ (b λ (conzeria, b R; T : R R,dimatriceC, hapolinomiocaratteristicop C =( λ (con unico zero R Proveremo ora che il polinomio caratteristico è un invariante di T, cioè non dipende dalla base

0 G CAMPANELLA APPUNTI DI ALGEBRA PER INFORMATICA scelta per definire la matrice di T Ciò in qualche misura è un fatto inaspettato, visto che abbiamo usato A per definirlo Alla luce di questo risultato, parleremo di polinomio caratteristico di T (e non più di A elodenoteremoconp T (piuttosto che con P A Proposizione 6 Sia T un operatore lineare di V = V n Il suo polinomio caratteristico èun K invariante di T, cioèè indipendente dalla base E di V rispetto a cui viene rappresentato T Dim Assumiamo che E, F siano due basi di V, collegatedallaformuladicambiamentodibase F = EC, con C GL n (K Supponiamo che, rispetto alla base E, T abbia matrice A eche, rispetto alla base F, T abbia matrice B Abbiamo provato, alla fine del precedente paragrafo, che risulta B = C AC Dobbiamo ora provare che det(a λi n =det(b λi n Ricordiamo (cfr l Osserv 3 del paragrafo precedente che ogni matrice scalare λi n commuta con ogni matrice di n(k Si ha quindi, usando le proprietà distributiveadestraesinistradel prodotto righe per colonne: B λi n =(C AC λi n =(C AC (C C λi n =(C AC C (CλI n = =(C AC C (λi n C=(C AC (C λi n C=C (A λi n C In base al teorema di Binet ed alle proprietà deldeterminante, det(c (A λi n C =det(c det(a λi n det(c =det(c det(a λi n det(c Si conclude che det(b λi n =det(a λi n Cosa possiamo dire a proposito del polinomio caratteristico? Innanzitutto il suo grado è n Infatti, considerato lo sviluppo del determinante A λi n,siosservacheunodegliaddendièdatoda n (a ii λ =( n λ n + i= Tutti gli altri addendi del determinante sono formati da fattori di cui almeno due si trovano al di fuori della diagonale Per questo motivo il loro grado in λ è n Il coefficiente direttore del polinomio caratteristico èquindi ( n,mentreilcoefficientedeltermine di grado n [essendo ottenuto dal solo primo addendo] è ( n (a + a + + a nn La somma degli elementi della diagonale di A èchiamatatraccia di A edenotata Tr(A Infine il termine noto è det(a Infatti il termine noto di un qualsiasi polinomio coincide con il valore che il polinomio assume in 0 ed ovviamente P T (0 = A 0 I n = det(a Abbiamo pertanto P T =( n λ n +( n Tr(A λ n + + det(a [Non abbiamo dato informazioni sugli altri coefficienti di P T,anche se non sarebbe difficile trovarne] Si noti che, essendo il polinomio caratteristico un invariante di T, anchetuttiisuoicoefficienti sono invarianti di T In particolare quindi lo sono la traccia ed il determinante Un esempio Vogliamo verificare che l operatore lineare T : R 3 R 3 definito rispetto alla base canonica E di R 3 dalla matrice 5 3 3 3 3 A = 4 3 3 0 0 èdiagonalizzabile,calcolandoneprimailpolinomiocaratteristico,quindigliautovaloriedinfineuna base di ciascun autospazio Risulta: 5 3 P T = λ 3 3 4 3 3 λ 3 0 0 λ ( =( λ ( 5 3 λ( 4 3 λ 9 =( λ ( λ 3λ + = =( λ(λ (λ = (λ (λ = λ 3 +4λ 5 λ + [Si noti che Tr(A = 4, det(a = ] Si verifica subito che T ammette gli autovalori, Determiniamo una base dell autospazio E (T Si ha

CAP 43 DIAGONALIZZAZIONE DI OPERATORI LINEARI 3 3 3 3 A I 3 = 3 3 0 0 0 Tale matrice ha rango ed il corrispondente SLO si riduce al SLO(, 3,R Tale SLO ammette { x y + z =0 soluzioni, generate ad esempio dai due vettori (,, 0, (, 0, Pertanto E (T = (,, 0, (, 0, Determiniamo ora una base dell autospazio E (T Si ha 3 3 3 A I 3 = 3 3 3 0 0 Tale matrice ha rango e ad esempio le ultime due righe sono linearmente indipendenti Il corispondente SLO si riduce al SLO(, 3,R { 3 x 3 y z =0 { x +y =0 che èequivalentea z =0, z =0 Tale SLO ha soluzioni, proporzionali a (,, 0 Pertanto Una base di autovettori di T èquindi E (T = (,, 0 {(,, 0, (, 0,, (,, 0} erispettoatalebase T ha matrice diagonale D = 0 0 0 0 0 0 [Verifica: posto C = 0, deverisultarec AC = D] 0 0 Riprendiamo le nostre considerazioni sul polinomio caratteristico P T Se λ 0 Λ(T, il polinomio λ λ 0 èunfattoredi P T Puòavvenirecheanche (λ λ 0, (λ λ 0 3,, (λ λ 0 h siano fattori di P T,mentre(λ λ 0 h+ non èfattoredi P T Diremo in tal caso che λ 0 ha moltiplicità algebrica h, (come zero di P T Nell ultimo esempio sopra considerato, l autovalore ha molteplicità algebrica, mentre l autovalore ha molteplicità algebrica Formalizziamo il concetto di molteplicità algebrica Definizione 4 Sia P T il polinomio caratteristico di un operatore lineare T di V = V n K Sia λ 0 Λ(T Diciamo che λ 0 ha molteplicità algebrica h = h λ0 se (λ λ 0 h èunfattoredi P T, mentre (λ λ 0 h+ non èunfattoredi P T [In altri termini, h è il massimo esponente i tale che (λ λ 0 i èunfattoredi P T ] Si noti che n h λ echetalediseguaglianzaèstretta P T possiede almeno un fattore iriducibile di grado Confrontiamo ora la molteplicità algebrica con quella geometrica Proposizione 7 Sia T un operatore lineare di V = V n K Sia λ 0 Λ(T La molteplicità geometrica d λ0 èminoreougualeallamolteplicitàalgebrica h λ0 Dim Per comodità discritturascriveremo h 0 in luogo di h λ0 e d 0 in luogo di d λ0 Scegliamo una base {v,, v d0 } di E λ0 (T e completiamola ad una base di V Sia F la base ottenuta In base F la matrice di T è la seguente:

G CAMPANELLA APPUNTI DI ALGEBRA PER INFORMATICA λ 0 0 0 0 λ 0 0 0 0 λ 0 0 0 0 0 0 0 [si noti che relativamente alle ultime n d 0 colonne di tale matrice non abbiamo alcuna informazione] Il polinomio caratteristico di T èquindi dove Q è un polinomio in λ di grado n d 0 matrice] Poiché (λ 0 λ d 0 P T =(λ 0 λ d 0 Q [ricavato dal calcolo del determinante della precedente èunfattoredi P T,allorah 0 d 0 Osservazione 4 Se h λ >d λ (anche per un solo autovalore λ l operatore T non può essere diagonalizzabile [in quanto d λ < n] h λ Λ λ(t Λ λ(t Analogamente, T non può esserediagonalizzabileseilpolinomiocaratteristico P T irriducibile di grado [infatti in questo caso d λ <n] h λ Λ λ(t Λ λ(t ha un fattore Concludiamo con l esempio di un operatore lineare avente una molteplicità geometricastrettamente inferiore alla corrispondente molteplicità algebrica ed anche un fattore irriducibile di grado nel polinomio caratteristico Sia T : R 5 R 5 definito rispetto alla base canonica E di R 5 dalla matrice 0 0 0 0 0 0 0 A = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Il polinomio caratteristico è P T =( λ 3 (λ + Il polinomio λ + è irriducibile su R edunquenonproduceautovalori [egiàperquestomotivo T non può esserediagonalizzabile] L unicoautovaloredi T è λ =, con h =3 Neseguesubitoche d 3 Per determinare d calcoliamo una base di E (T Tale autospazio èdescrittodalslo(5, 5, R aventematrice 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A I 3 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Tale matrice ha rango 3 Eliminando le due righe nulle, si ottiene il SLO(3, 5,R x 3 =0 x 4 + x 5 =0 x 4 x 5 =0, il quale ammette soluzioni, generate ad esempio da {e,e } Si conclude che E (T = e,e e =d <h =3 ESERCIZI PROPOSTI 43 Sia T : V n V n un operatore lineare K K (i Verificare che, se λ èunautovaloredi T, λ èunautovaloredi T

CAP 43 DIAGONALIZZAZIONE DI OPERATORI LINEARI 3 (ii Èveroche,se T èdiagonalizzabile,anche T lo è? (iii Èveroche,se T èdiagonalizzabile,anche T lo è? 43 Sia V = V n K e T un operatore lineare di V,taleche (i Verificare che 0, sonoautovaloridit T V,T 0 V e T = T (ii Verificare che gli autospazi E 0 (T, E (T sonosottospazivettorialisupplementaridiv 433 Al variare di a, b R, sia T : R 3 R 3 l operatore lineare avente matrice A = 0 a b a 0 b b b 0 [rispetto alla base canonica E di R 3 ] Per quali a, b R l operatore T èdiagonalizzabile? 434 Sia T : R 3 R 3 l operatore lineare definito, rispetto alla base canonica E, dallamatrice dipendente da un parametro reale a A = 0 a 0 3 Determinare per quali valori di a T è diagonalizzabile 435 Sia T : R 4 R 4 l operatore lineare definito, rispetto alla base canonica E, dallamatrice 5 0 4 4 0 5 6 4 A = 0 0 3 8 0 0 3 Determinare gli autovalori di T e, se esiste, una base di autovettori di T 436 Èassegnatal applicazionelineare T : R 3 R definita, rispetto alle basi canoniche dei due spazi vettoriali, dalla matrice ( 0 a A =,dipendentedaunparametroa R 0 a 437 Sia T : R R l operatore lineare definito dai seguenti dati: v =(,, T(v =(,, T (v =(, (i Determinare la matrice A di T rispetto alla base canonica E di R (ii Determinare gli autovalori di T e, se esiste, una base di autovettori di T 438 Sia T : R 3 R 3 l operatore lineare individuato dai seguenti dati: T èdiagonalizzabile, Λ(T ={0, }, E (T = (, 0,, T (W W,conW = (,,, (0,, Determinare la matrice di T rispetto alla base canonica E di R 3 439 In V = V 3 sono assegnate due basi E = ( e R e e ( 3,F = f, e = f, e 3 = f e = f Sia T : V V l operatore lineare tale che T (f =e e, (i Esprimere T in base E ed in base F + f 3 T(f =e e 3, + f T(f =e 3 3 e (ii Verificare se T èdiagonalizzabileecalcolareunabasediogniautospazio f f 3 tali che: Deter- (iii Sia U il sottospazio vettoriale di V definito in base F dal SLO(, 3,R {y y =0 minare una base di T (U (in base F Sia S : R R 3 l applicazione lineare definita dalla matrice t A (sempre rispetto alle basi canoniche Determinare per quali eventuali a R l operatore lineare S T non èdiagonalizzabile 430 Sia T : R 3 R 3 l operatore lineare definito dai seguenti dati: posto x =(, 0, R 3, T (x =(0,,, T (x =(,, 0, T 3 (x =(0,,

4 G CAMPANELLA APPUNTI DI ALGEBRA PER INFORMATICA (i Determinare la matrice A di T rispetto alla base canonica E di R 3 (ii Verificare che T è diagonalizzabile e indicarne gli autovalori (iii Assegnato il sottospazio W = T (x, T (x, determinareunabasedit (W 43 Sia V = V n e sia T : V V l operatore lineare definito, rispetto ad una base E di V, K dalla matrice A n(k Sia T : V V l operatore lineare definito, sempre rispetto ad E, dalla matrice t A (trasposta di A (i Verificare che P T = P T (ii Verificare che T èdiagonalizzabile T èdiagonalizzabile 43 Determinare, in una base opportuna, gli operatori lineari T : R 3 R 3 definiti dalle seguenti tre condizioni: E (T = (, 0,, E 0 (T = (,,, h 0 = [dove h 0 denota la molteplicità algebricadi 0 comeautovaloredi T ] 433 Sia T un operatore lineare di V = V K,talecheT 3 0 e T 4 = 0 (operatore nullo (i Verificare che Λ(T ={ 0 } (ii Verificare che T non è diagonalizzabile (iii Determinare un esempio di un siffatto operatore T di R 4 434 Èassegnatalamatrice A = 0 0 0 0 0 Verificare che esiste un polinomio non nullo M = M(x =a 0 + a x + a x + a 3 x 3,acoefficientiinR, tale che 3 a i A i =0 Confrontare il polinomio M con il polinomio caratte- [dove 0denotalamatricenulladiordine3] ristico P A i=0

Capitolo 5 ELEMENTI DI TEORIA DEI GRUPPI Gruppi ciclici Sia (G, un gruppo [con elemento neutro = G ] Preso un elemento x G, consideriamone le potenze ad esponente intero x t ( t Z, che sono così definite: x 0 =, x = x, x =(x [cioè x èl inversodi x in G], x t Da tali definizioni segue, t, s Z: = x } x {{ x }, se t, x t = x } x {{ x }, se t t fattori t fattori [e quindi, in particolare, (x t =(x t = x t ] x t x s = x t+s = x s x t, (x t s =(x s t = x ts Si noti che t =, t Z Per ogni x, sihannodueeventualità: t>0 x t =; t>0, x t Nel primo caso saremo interessati a considerare il minimo intero positivo t tale che x t = Tale esponente t sarà dettoperiodo di x, comeprecisatonellaseguentedefinizione Definizione Sia (G, un gruppo e sia x G Diremo che x ha periodo t se t è il minimo intero positivo tale che x t = [cioè x, x,, x t,mentre x t =] Scriveremo (x =t Diremo invece che x ha periodo infinito se x t, t>0, e scriveremo in tal caso (x = Ovviamente ( = [infatti =] Viceversa,se (x =, allora x = equindi x = Dunque ècaratterizzatocomel unicoelementodi G di periodo Si verifica poi subito che: (x = x e x = x Valgono i seguenti semplici risultati relativi al periodo ed alle potenze di un elemento Proposizione Sia (G, un gruppo e sia x G un elemento di periodo finito t Se x h =, allora t h [cioè h èunmultiplodi t] Si ha poi, h, k Z: Dim Dividiamo h per t: Va provato che r =0 (dacui t h x h = x k h k (mod t h = tq+ r con q, r Z e 0 r<t Si ha: =x h = x tq+ r = x tq x r =(x t q x r = q x r = x r Se fosse r>0, da x r = seguirebbeche (x r equindi (x <t: assurdo Dunque r =0 Se x h = x k,allorax h k = equindi t h k, cioè h k (mod t Viceversa, sia h k (mod t Allora h k = tq equindi x h k = x tq =, cioè = x h k Moltiplicando tale uguaglianza per x k si ottiene: x k = x k x h k = x k+h k = x h Proposizione Sia (G, un gruppo e sia x G L insieme {x h, h Z} èunsottogruppo di (G,, detto sottogruppo ciclico generato da x e denotato x Se (x =t, talesottogruppohaordinet ed è formato dalle t potenze, x,x,, x t

6 G CAMPANELLA APPUNTI DI ALGEBRA PER INFORMATICA Se (x =, le potenze x t sono a due a due distinte e quindi x = Dim Per dimostrare che x èunsottogruppodi G basta verificare che, x h,x k x, anche x h (x k x Infatti x h (x k = x h x k = x h k x Sia ora (x =t Consideriamo un arbitraria potenza x h x edividiamo h per t Sia h = tq+ r, con0 r t Procedendo come nella proposizione precedente, si ottiene x h = x r Dunque x {, x,x,, x t } equindi (essendol inclusioneoppostaovvia x = {, x,x,, x t } Resta da verificare che queste t potenze di x sono a due a due distinte Infatti, per assurdo, sia x h = x k, con 0 h<k t Dalla Prop, k h = tq, con q Z Poiché 0 <k h<t, allora 0 <tq<t: assurdo Sia infine (x = e, per assurdo, x h = x k, con h<k Procedendo come sopra si ottiene che x k h = edunque (x k h: assurdo Corollario Sia (G, un gruppo finito di ordine n Ogni elemento di G ha periodo n Dim Poiché (x = x e x G = n, ognielementodig ha periodo finito n NB Dimostreremo nel prossimo paragrafo un risultato più forte: (x èundivisoredi n Ora traduciamo i risultati precedenti nella notazione additiva: poiché iprodottidiventanosomme, le potenze ad esponenti interi di x diventeranno i multipli interi di x Sia dunque (G, + un gruppo [con elemento neutro 0 = 0 G ] Per ogni x G, se ne considerino i multipli interi tx ( t Z, che sono così definiti: 0 x =0, x = x, ( x = x [cioè ( x èl oppostodi x in G], tx= x + x + + x, se t, } {{ } tx=( x+( x+ +( x, se t } {{ } t addendi t addendi Segue che, t, s Z: tx+ sx=(t + s x = sx+ tx, [e quindi, in particolare, t ( x = (tx =( t x] t(sx=s (tx=(ts x Ovviamente t 0=0, t Z, e,perognix 0, sihannodueeventualità: t>0 tx=0; t>0, tx 0 Sussistono la seguente definizione ed i seguenti risultati, perfettamente analoghi ai precedenti Invitiamo lo studente a rifarne comunque le dimostrazioni Definizione Sia (G, + un gruppo e sia x G Diciamo che x ha periodo t se t è il minimo intero positivo tale che tx =0; scriveremointalcaso (x =t Diremoinveceche x ha periodo infinito se tx 0, t>0, e scriveremo in tal caso (x = Proposizione Sia (G, + un gruppo e sia x G Se x ha periodo finito t e h x =0, allora t h [cioè h èunmultiplo di t] Si ha poi, h, k Z: hx= kx h k (mod t Proposizione Sia (G, + un gruppo e sia x G L insieme {hx, h Z} èunsottogruppo di (G, +, detto sottogruppo ciclico generato da x e denotato x Se (x =t, talesottogruppohaordinet ed è formato dai t multipli 0, x, x,, (t x

CAP 5 GRUPPI CICLICI 7 Se (x =, i multipli tx sono a due a due distinti e quindi x = Corollario Sia (G, + un gruppo finito di ordine n Ogni elemento di G ha periodo n Veniamo ora ad alcuni esempi ( In (Z,+ ogni intero non nullo ha periodo infinito Se infatti n Z, siha: hn 0, h>0 ( In S n ogni k-ciclo ha periodo k Sia infatti γ =(c c c k unk-ciclo di S n Risulta: γ(c =c, γ (c =γ(c =c 3, γ 3 (c =γ ( γ (c = γ(c 3 =c 4, γ k (c =γ ( γ k (c = γ(c k =c k, γ k (c =γ ( γ k (c = γ(c k =c Dunque γ k (c =c e, analogamente, si verifica che γ k (c i =c i Pertanto γ k = Sn, mentre γ i Sn, i =, k Quindi (γ =k Si può inoltre verificare che, se γ,γ sono rispettivamente un k -ciclo ed un k -ciclo disgiunti, allora (γ γ =mcm(k,k [dove mcm(k,k denota il minimo comune multiplo di k,k ] Più generalmente,seunapermutazione σ S n èprodottodeiciclidisgiunti γ,, γ i di lunghezze risp k,, k i,allora (σ =mcm(k,, k i (3 Calcoliamo i periodi degli elementi di (Z, + Risulta: Analogamente, ( = [infatti = = 0, mentre h =h 0, h =,, ]; ( = 6 [infatti 6 = = 0, mentre h =h 0, h =,, 5] (3 = 4, (4 = 3, (5 =, (6 =, (7 =, (8 = 3, (9 = 4, (0 = 6, ( =, ( = (0 = Si può osservarechetuttiquesticalcolisonocompendiatinellaseguenteformula: (k = MCD(,k [dove MCD(, kdenotailmassimocomundivisoretra,k] NB Tale formula vale in ogni (Z n, +: (k = n MCD(n, k, k Z n Osservazione Ogni sottogruppo ciclico è abeliano Assumiamo infatti che G abbia notazione moltiplicativa e consideriamone un sottogruppo ciclico x Presi comunque x h,x k x, risulta: x h x k = x h+k = x k+h = x k x h Inoltre ogni sottogruppo ciclico x èfinitoonumerabile Infatti,se (x = t, allora x = t Se invece (x =, allora x è in corrispondenza biunivoca con Z [e quindi con N], tramite l applicazione biiettiva ϕ : Z x tale che ϕ(h =x h, h Z, [che ϕ sia suriettiva è ovvio; l iniettività di ϕ è stata verificata nella dimostrazione della Prop ] Veniamo ora alla definizione di gruppo ciclico, cioè gruppo che coincide con un proprio sottogruppo ciclico Definizione Un gruppo G è detto gruppo ciclico se esiste x G tale che G = x Ogni

8 G CAMPANELLA APPUNTI DI ALGEBRA PER INFORMATICA siffatto elemento x è detto generatore del gruppo ciclico Èsubitoevidentecheesistonogruppinonciclici Infattiognigruppononabeliano [adesempio ogni S n, con n 3] in base all Osserv non èciclico [Mapotremmoallorachiederci: esistono gruppi abeliani non ciclici? Risponderemo a tale domanda alla fine del paragrafo] Cerchiamo ora invece i gruppi ciclici Le due proposizioni che seguono forniscono in proposito risposte assolutamente esaurienti Proposizione 3 Il gruppo (Z,+ èungruppociclico Amenodiisomorfismièl unicogruppo ciclico infinito Dim Risulta: = {h, h Z} = Z Dunque (Z,+ è ciclico [si osservi che anche = Z] Sia ora (G, un gruppo ciclico infinito, con G = x e (x = (G, = (Z,+ Si consideri l applicazione ϕ : Z G = x tale che ϕ(h =x h, h Z Abbiamo già osservato (in Osserv che ϕ è biiettiva Si ha poi: ϕ(h + k =x h+k = x h x k = ϕ(h ϕ(k Dunque ϕ è un omomorfismo biiettivo,cioè un isomorfismo di gruppi Dobbiamo verificare che Proposizione 4 Igruppiciclicifinitidiundatoordinesonotuttiisomorfitraloro Perogni n>0 esiste un gruppo ciclico di ordine n (unico a meno di isomorfismi Dim Siano G, H due gruppi ciclici finiti di ordine n Assumiamo (ma non è restrittivoche entrambi siano dotati di struttura moltiplicativa Sia dunque: G = x, H = y, con (x = (y = n L applicazione ècertamentebiiettiva ϕ : G H tale che ϕ(x t =y t, t =0,, n, Bastaquindiverificarechesitrattadiunomomorfismo,cioèche ϕ(x t x s =ϕ(x t ϕ(x s, x t,x s G [con 0 t, s < n] Se t + s r (mod n, con 0 r<n,siha(inbaseaprop x t+s = x r e y t+s = y r Ne segue: Dunque ϕ è un isomorfismo ϕ(x t x s =ϕ(x t+s =ϕ(x r =y r, ϕ(x t ϕ(x s =y t y s = y t+s = y r Per completare la dimostrazione basta verificare che esiste sempre un gruppo ciclico finito di ordine n, n Infatti, ogni gruppo di ordine èovviamenteciclico, mentre,per n, si consideri il gruppo (Z n, +: si tratta di un gruppo ciclico [infatti = {h, h Z} = {0,,, n } = Z n ] Osservazione Esistono anche esempi di gruppi ciclici di ogni ordine n, dotatidistruttura moltiplicativa: si tratta dei cosiddetti gruppi delle radici n-sime dell unità Per radice n-sima dell unità intendiamo ogni numero complesso z = a + ib tale che z n = Si verifica subito che le radici n-sime dell unità formano un gruppo rispetto al prodotto [se infatti z n = e w n =, allora (zw n = z n (w n = ] Per n = le radici seconde dell unità sono i due numeri reali,, formanti il gruppo ciclico Per ogni n 3, le radici n-sime dell unità sono i seguenti n numeri complessi (espressi in forma trigonometrica: ζ n,k = cos kπ kπ n + isin n, k =0,,, n Nel piano di Gauss tali numeri complessi sono visualizzati come i vertici del poligono regolare n-latero inscritto nella circonferenza goniometrica [cioèdicentro (0, 0 e raggio ] ed avente un vertice nel punto (, 0 Per ulteriori dettagli sui numeri complessi e sulla loro rappresentazione nel piano di Gauss, cfr l Appendice in coda a questo paragrafo Si osserva subito che il gruppo delle radici n-sime dell unità è ciclico,generato ad esempio da ζ n, = cos π n + isin π n Infatti si puòverificareche ζ n,k =(ζ n, k, k =0,,, n Il numero complesso ζ n, corrisponde al primo vertice del poligono che si incontra dopo il vertice (, 0 percorrendo la circonferenza in verso antiorario

Esaminiamo i gruppi delle radici quarte e terze dell unità CAP 5 GRUPPI CICLICI 9 Una radice quarta dell unità è il numero complesso i (= cos π 4 + isin π 4 e le altre tre radici quarte dell unitàsonoinumericomplessi i =, i 3 = i, i 4 = Una radice terza dell unità è invece il numero complesso α = cos π 3 + isin π 3 = + i 3 Le altre due radici terze dell unità sono α = i 3,α3 = Nelle due figure che seguono visualizziamo le radici quarte e terze nel piano di Gauss i α i = = i 4 3 = α i 3 = i α Ma possiamo anche costruire i gruppi ciclici di ordine n in modo formale, o - come si dice - tramite simboli e relazioni Basta considerare un simbolo x ed assegnargli la relazione x n = Nesegue che le potenze intere di x formano il gruppo ciclico di ordine n (dotato di struttura moltiplicativa che possiamo indicare anche x x n = C n := {, x,x,, x n }, Ad esempio il gruppo C 4 = x x 4 = (ciclico di ordine 4 ha la seguente tavola moltiplicativa: x x x 3 x x x 3 x x x x 3 x x x 3 x x 3 x 3 x x In base alla Prop 4, itregruppi i, Z 4 e C 4, essendo ciclici di ordine 4, sono isomorfi tra loro Un isomorfismo tra due di essi si ottiene semplicemente associando un generatore dell uno ad un generatore dell altro Ad esempio, un isomorfismo ϕ da i a Z 4 èdefinitoapartireda ϕ(i =, da cui ϕ( = ϕ(i = ϕ(i +ϕ(i = + = e, allo stesso modo, ϕ( i = 3, ϕ( = 0 Analogamente, un isomorfismo ψ da Z 4 a C 4 èdefinitoponendo ψ( = x, da cui ψ( = ψ( ψ( = x e, analogamente, ψ(3 = x 3,ψ(0 = Apropositodeigruppicicliciciporremoleseguentidomande: (A Quanti e quali sono i generatori di un gruppo ciclico? (B Come sono fatti e quanti sono i sottogruppi di un gruppo ciclico? (C Esistono gruppi abeliani, ma non ciclici? Relativamente al problema (A, cominciamo ad esaminare il gruppo (Z,+, che, come sappiamo, amenodiisomorfismièl unicogruppociclicoinfinito

0 G CAMPANELLA APPUNTI DI ALGEBRA PER INFORMATICA Tale gruppo possiede, oltre al generatore, anche un altro generatore: [infatti, n Z, n = n( Dunque = Z] Gli altri interi non sono generatori di Z Ad esempio = =Z (interi pari, 3 = 3 =3Z (multipli di 3, ecc Se G èungruppociclicofinitodiordine n, isuoigeneratorisonotuttiesoliglielementidig di periodo n Per individuarli serve la seguente formula (che perònondimostriamo: Sia (G, un gruppo [arbitrario] e sia x G un elemento di periodo finito Risulta, t Z: (x (x t = MCD(t, (x (x [ed in notazione additiva, (tx= Si noti che tale formula è già statapresentatain MCD(t, (x coda al precedente esempio 3, relativamenteaigruppiz n ] Segue subito da questa formula che, se C n = x x n =, siha: x t èungeneratoredi C n (x t =n MCD(t, n = t, n sono coprimi Ne segue che per ottenere i generatori di C n basta determinare i ϕ(n interi t coprimi con n e compresi tra ed n econsiderarelepotenze x t corrispondenti Ad esempio, i generatori di C = x x = sono quattro: x, x 5,x 7, x Analogamente, in (Z, +, i generatori (come già vistonelprecedenteesempio3 sono, 5, 7, Nel gruppo ciclico i delle radici quarte dell unità esistonoduegeneratori: i e i Analogamente, in (Z 4, + i due generatori sono, 3 Veniamo ora al problema (B Proviamo per prima cosa che tutti i sottogruppi di un gruppo ciclico sono gruppi ciclici Proposizione 5 Isottogruppidiungruppociclicosonogruppiciclici Dim Distingueremo il caso del gruppo ciclico infinito (Z,+ dal caso dei gruppi ciclici finiti C n = x x n =, ancheseladimostrazioneèpraticamentelastessa In (Z,+ consideriamo un sottogruppo H non nullo Denotiamo con t il minimo intero positivo contenuto in H Verifichiamo che H = tz Ovviamente tz H Viceversa, sia h H Dividiamo h per t e sia h = tq +r, con0 r<t Poiché r = h tq H, per la minimalitàdi t segue che r =0 Dunque h = qt tz epertanto H tz Sia ora H un sottogruppo di C n = x x n =, con H {} Sia x t H, con t esponente minimo positivo (per cui ciò avvenga Ovviamente x t H Viceversa, sia x h H Dividiamo h per t e sia h = tq + r, con 0 r<t Poiché x r = x h tq = x h (x t q H, per la minimalitàdi t segue che r =0 Dunque x h =(x t q x t epertanto H x t Consideriamo ora un gruppo ciclico finito Abbiamo appena dimostrato che tutti i suoi sottogruppi sono ciclici Vale questo ulteriore risultato (che non dimostriamo Proposizione 6 Sia C n = x x n = un gruppo ciclico di ordine n Per ogni divisore positivo d di n, esiste in C n un unico sottogruppo di ordine d Tale sottogruppo (che èovviamenteciclico ègeneratoda x n/d Vedremo nel prossimo paragrafo che l ordine di un sottogruppo di un gruppo finito èundivisore dell ordine del gruppo (è il teorema di Lagrange Questo risultato, unito alla Prop 6, ciconsente di concludere che in C n non ci sono altri sottogruppi oltre a quelli indicati dalla Prop 6 Possiamo ad esempio calcolare i sottogruppi di C = x x = Poiché idivisoripositividi n = sono d =,, 3, 4, 6,, C possiede sei sottogruppi, cioè x /d, con d =,, 3, 4, 6, Si tratta quindi dei sottogruppi (anch essi ciclici:

CAP 5 GRUPPI CICLICI x = {}, x 6, x 4, x 3, x, x = C [aventi rispettivamente ordine,, 3, 4, 6, ] Si osservi poi che x (di ordine 6 contiene come sottogruppi x 4 (di ordine 3 e x 6 (di ordine ; inoltre x 3 (di ordine 4 contiene x 6 (di ordine Possiamo rappresentare i sottogruppi di C in questo grafico (detto reticolo dei sottogruppi di C In esso i segmenti rappresentano le inclusioni tra sottogruppi (dal basso verso l alto C = x x 3 x x 6 x 4 {} = x Un altro esempio: rappresentiamo, senza commenti, il reticolo dei sottogruppi di Z 8 In tal caso isottogruppisonoiseguenti: 8 d, cond =,, 3, 6, 9, 8 e si ha: Z 8 = 3 9 6 {0} = 8 Veniamo infine al problema (C: determinare esempi di gruppi abeliani non ciclici Un esempio di gruppo abeliano infinito e non ciclico è (Q, Infatti q = a b Q, possiamo verificare che il sottogruppo ciclico q = { a t, t Z } b t ècontenutopropriamentein Q Ad esempio, scelto un primo p coprimo con gli interi a, b, non può risultare p = at, in quanto [in base all unicità dellafattorizzazionediuninterocomeprodotto b t di primi]: se t>0, pb t a t ; se t<0, pa t b t Relativamente ai gruppi abeliani finiti, per ottenerne uno non ciclico bisogna cercarne uno i cui elementi abbiano periodi tutti inferiori all ordine del gruppo L esempio piùsemplicesitrovatrai gruppi di ordine 4 ed èchiamatogruppo di Klein (o anche gruppo dei quattro espessodenotatocon la lettera V [V è l iniziale di vier (quattro in tedesco] Tale gruppo puòesseredefinitoastrattamenteinquestomodo: denotiamo a, b, soddisfacentialleseguentirelazioni: a =,b =,ab= ba V è generato da due simboli,che Potremo quindi scrivere: V = a, b a = b =,ba= ab Dalle relazioni tra i due simboli segue subito che: a = a, b = b Inoltre

G CAMPANELLA APPUNTI DI ALGEBRA PER INFORMATICA (ab =(ab(ab =a(bab = a(abb = a b = equindi (ab = ab Tutte le possibili espressioni ottenute come prodotti finiti di potenze intere di a, b, siriduconoai quattro elementi, a,b,ab Dunque V = {, a,b,ab} Si osservi che i tre elementi hanno periodo : dunque V non èciclico Latavolamoltiplicativaditalegruppoè la seguente: a b ab a b ab a a ab b b b ab a ab ab b a Si osservi che esempi concreti di gruppi di Klein si possono trovare all interno di gruppi giàstudiati Ad esempio in S 4 sono gruppi di Klein (tra gli altri i seguenti due sottogruppi { } { } (, (, (3 4, ( (3 4, (, ( (3 4, ( 3( 4, ( 4( 3 [verificarne la chiusura rispetto al prodotto] Ce ne sono altri due: { } { } (, ( 3, ( 4, ( 3( 4, (, ( 4, ( 3, ( 4( 3 ESERCIZI PROPOSTI 5 Determinare il periodo dell elemento x 30 del gruppo ciclico C 5 = x x 5 = Indicare tutti i generatori del sottogruppo x 30 5 Determinare il reticolo dei sottogruppi di C 0 53 Determinare i sottogruppi ciclici di S 4 54 Verificare che U(Z 9 èungruppociclicoedeterminarnetuttiigeneratori 55 Verificare che un gruppo di ordine 4 non possiede elementi di periodo 3 Dedurne che un gruppo di ordine 4 o èè ciclico o èungruppodiklein [cioèche,amenodiisomorfismi,esistonodue soli gruppi di ordine 4: C 4 e V ] 56 Sia G un gruppo di ordine 6 (i Verificare che G non può possedere cinque elementi di periodo (ii Verificare che G non può possedere tre elementi di periodo 3 Ve- 57 Sono assegnati due simboli x, y legati dalle seguenti relazioni (moltiplicative: x 4 =, y =, yx = x 3 y Verificare che gli elementi generati da tali simboli sono otto e scriverne la tavola moltiplicativa rificare che formano un gruppo [che èchiamatogruppo diedrale di ordine 8] 58 (i Sia G un gruppo abeliano Verificare che l insieme H degli elementi di periodo finito di G èunsottogruppodi G (ii Se invece G non èabeliano, H può nonessereunsottogruppodig affermazione si utilizzino i seguenti dati: ( G = GL (R, A = G 0 Verificare che A, t A H mentre il prodotto A t A H Per dimostrare tale APPENDICE: RICHIAMI SUI NUMERI COMPLESSI L equazione X +=0 nonhasoluzioninelcampo R [infatti un quadrato non èmainegativo] Cerchiamo allora un insieme contenente R e contenente una soluzione(almenodella precedente

equazione Otterremo l insieme C dei numeri complessi CAP 5 GRUPPI CICLICI 3 Definizione Sia i un simbolo verificante la condizione i = L insieme delle espressioni formali a+ib, a, b R èdettoinsieme dei numeri complessi evienedenotato C Per ogni numero complesso z = a + ib C, a èdettaparte reale di z, denotatare(z; b èdettaparte immaginaria di z, denotataim(z Imponendo la regola 0 i =0,siottieneche, r R, r = r +0i C Dunque R C L insieme C può essereidentificatoconilpiano R [che prende il nome di piano di Gauss (o piano di Argand-Gauss, tramite la biiezione z = a + ib C (a, b R In particolare R (come sottoinsieme di C coincideconl asse x di R Definizione Si definiscono su C le due seguenti operazioni di addizione e moltiplicazione: +:C C C tale che (a + ib +(a + ib =(a + a +i(b + b, : C C C tale che (a + ib (a + ib =(a a b b +i(a b + a b, a + ib,a + ib C Osservazione Nell identificazione tra C ed R, la somma di due numeri complessi corrisponde alla somma di vettori di R Il prodotto di due numeri complessi coincide con l usuale moltiplicazione polinomiale delle due espressioni formali a + ib,a + ib,conl ulterioreregola: i = Proposizione (C,+, è un campo ed un R-spazio vettoriale di dimensione Dim [Lasciata per esercizio] Si noti che: 0 = 0 + i0 èl elementoneutrodellasomma; = + 0i èl elementoneutrodelprodotto; z = a ib èl oppostodi z = a+ib; per ogni numero complesso z = a + ib 0, z = a b i èl inversodi z Infine, {, i} èunabasedi C come R-spazio a +b a +b vettoriale Definizione 3 Per ogni numero complesso z = a + ib, z := a ib èdettoconiugato di z; z z = a + b èdettonorma di z; si tratta di un numero reale 0, denotaton (z; z := z z = a + b èdettomodulo di z; si tratta di un numero reale 0 Osservazione Nell identificazione tra C ed R, z è il simmetrico di z rispetto all asse x In base al teorema di Pitagora, z è la distanza tra 0 e z [cioè tral origineo =(0, 0 ed il punto (a, b, se z = a + ib] Proposizione Risulta, z, z,z C: (i z = z; z + z = z + z ; z z = z z ; z = z z R; (ii z z = z z ; (iii z + z z + z Dim La (i e la (ii sono del tutto ovvie; per la (iii basta ricordare che in un triangolo la lunghezza di un lato èminoreougualeallasommadellalunghezzadeglialtridue Ci occuperemo ora della rappresentazione trigonometrica dei numeri complessi

4 G CAMPANELLA APPUNTI DI ALGEBRA PER INFORMATICA Ad ogni numero complesso non nullo z = a + ib C resta associata una coppia (ρ, ϑ 0 dinumeri reali, così definiti: - ρ = z è il modulo di z [già definitoindef 3]; - ϑ 0 [0, π è la misura in radianti dell angolo (orientato in verso antiorario di vertice O =(0, 0 tra l asse x (positivamente orientato e la semiretta Oz Èdettoargomento principale di z Dalla trigonometria { a = ρ cosϑ0 b = ρ sinϑ 0 Osservazione 3 Sia z = a + ib C Relativamente a ϑ 0,siha: arccos ϑ 0 = π arccos Abbiamo giàosservatoche ρ = z = a + b a a +b, se b 0 a, se b<0 a +b Infatti, ϑ 0 [0, π risulta: a = ρ cosϑ 0, cioè cosϑ 0 = a ρ Ne segue: - se ϑ 0 [0,π], cioè se b 0, allora ϑ 0 =arccos a ρ =arccos a a ; +b - se ϑ 0 (π, π, cioè se b<0, allora [usando la seconda determinazione della funzione arccos cioè la funzione f(x =π arccos(x] si ottiene: ϑ 0 =π arccos a ρ =π arccos a a +b Abbiamo così costruito un applicazione Φ:C R + [0, π tale che Φ(z =(ρ, ϑ 0, z C, con ρ, ϑ 0 definiti come nella precedente osservazione Tale applicazione Φ èbiiettiva Perdimostrarlonecostruiremol inversa Poniamo Ψ:R + [0, π C tale che Ψ(ρ, ϑ 0 =ρ ( cosϑ 0 + i sinϑ 0, (ρ, ϑ0 R + [0, π Si tratta ora di verificare che risulta: [Le semplici verifiche sono lasciate al lettore] Abbiamo dunque ottenuto che, z C Ψ Φ = C, Φ Ψ = R + [0,π esiste un unica coppia (ρ, ϑ 0 R + [0, π tale che z = ρ ( cosϑ 0 + i sinϑ 0 Tale espressione è detta espressione trigonometrica di z Osservazione 4 La biiezione Ψ : R + [0, π C può essereestesaadun applicazione [suriettiva ma non iniettiva] Ne segue che ogni z C ψ : R + R C tale che ψ(ρ, ϑ =ρ ( cosϑ + i sinϑ, (ρ, ϑ R + R si scrive nella forma z = ρ ( cosϑ + i sinϑ, ancora detta espressione trigonometrica di z; ϑ è detto argomento di z Tale espressione non è però unica per z Ricordato che le funzioni cos e sin sono funzioni periodiche (di periodo π, si verifica facilmente che, z = ρ ( cosϑ + i sinϑ,z = ρ ( cosϑ + i sinϑ C, siha: z = z ρ = ρ e ϑ = ϑ +kπ, k Z Vogliamo ora calcolare il prodotto di due numeri complessi espressi in forma trigonometrica il seguente risultato Vale Proposizione 3 (i Siano z = ρ ( cosϑ + i sinϑ,z = ρ ( cosϑ + i sinϑ C Risulta:

CAP 5 GRUPPI CICLICI 5 z z = ρ ρ ( cos(ϑ + ϑ +i sin(ϑ + ϑ (ii (Formula di De Moivre Sia z = ρ ( cosϑ + i sinϑ C Per ogni n Z, risulta: ( z n = ρ n cos nϑ + i sin nϑ Dim (i Si ha: z z = ρ ρ ( cosϑ + i sinϑ ( cosϑ + i sinϑ = = ρ ρ [ (cosϑ cosϑ sinϑ sinϑ + i(sinϑ cosϑ +cosϑ sinϑ ] = ρ ρ ( cos(ϑ + ϑ +i sin(ϑ + ϑ (ii Se n>0, segue subito da (i Se n =0, ρ 0 (cos0 + i sin0 = = z 0 Sia n<0 Si osservi che, posto w := ρ ( cos( ϑ+i sin( ϑ,risultada(i che w = z Allora z n =(z n =(ρ n ( cos( n ( ϑ + sin( n ( ϑ = ρ n( cos nϑ + i sin nϑ Si noti che, posto e iϑ := cosϑ + i sinϑ, ϑ R [nota come identità dieulero], l espressione trigonometrica z = ρ(cosϑ + i sinϑ diventa nota come espressione esponenziale di z z = ρ e iϑ, La formula di De Moivre diventa: z n = ρ n e inϑ, n Z Venamo ora alla definizione di radice n-sima di un numero complesso Definizione 4 Sia z C e sia n N Si chiama radice n-sima di z ogni α C tale che α n = z Denotiamo con n z = { α C : α n = z } l insieme delle radici n-sime di z Si tratta delle soluzioni dell equazione X n = z Osservazione 5 Sia z = r(cos t + i sint 0, con r > 0 e t [0, π Denotiamo con α = ρ(cosϑ + i sinϑ un arbitrario numero complesso [ 0], almomentononnoto Poiché, in base alla formula di de Moivre, α n = ρ n (cos nϑ + i sin nϑ, allora: α n = z ρ n = r e nϑ = t +kπ, k Z ρ = n r e ϑ = t+kπ n, k Z Essendo le funzioni cos e sin periodiche di periodo π, allora n { n ( z = r cos t+kπ n + i sin } t+kπ n, k Z t+hπ Si può verificareche, h, k {0,,, n }, con h k, gli argomenti non differiscono per multipli interi di π Viceversa, h Z, esiste un unico r {0,,, n }, tale che t+hπ n = t+rπ n +qπ [basta dividere h per n: si ottiene h = nq + r, con0 r<n] Dunque si ha: n { n ( } z = r cos t+kπ n + i sin t+kπ n, k =0,,, n Concludiamo che n z èformatoesattamenteda n numeri complessi distinti, che hanno lo stesso t+kπ n e n modulo [cioè n r] e dunque (pensati in R giacciono su una stessa circonferenza di centro l origine 0eraggio n r Sono ottenuti l uno dall altro con una rotazione antioraria di angolo multiplo di π n Quindi sono i vertici di un poligono regolare n-latero, inscritto in una circonferenza di raggio n r Se in particolare consideriamo il numero complesso = cos0 + i sin0, otteniamo l insieme delle radici n-sime dell unità: n { = cos kπ kπ n + i sin n, k =0,,, n }, che ècomunementedenotato C n Per indicare le radici n-sime dell unità siusalaseguentenotazione: ζ n,k In particolare, si pone: := cos kπ n In base alla formula di De Moivre, risulta: kπ + i sin n, n, k =0,,, n ζ n := ζ n, =cos π n + i sin π n ζ n k = ζ n,k Dunque C n = { k ζ n, k =0,,, n } = { n },ζ n,ζ n,, ζ n Atitolodiesempio,scriviamotutteleradici n-sime, con n 5 Risulta:

6 G CAMPANELLA APPUNTI DI ALGEBRA PER INFORMATICA C = {}, C = {, ζ }, C 3 = {,ζ 3,ζ } 3, C 4 = {,ζ 4,ζ 4,ζ } 3 4, C 5 = {,ζ 5,ζ 5,ζ 5 3,ζ } 4 5, con ζ =, ζ 3 = + i 3,ζ 4 = i, ζ 5 =cos π 5 + i sin π 5 ζ 3 ζ 4 ζ 5 ζ 5 ζ ζ 4 ζ 3 ζ 4 3 ζ 5 3 ζ 5 4 C C C 3 C 4 C 5 Concludiamo questa introduzione ai numeri complessi con un cenno al teorema fondamentale dell Algebra Abbiamo osservato che il polinomio X + (irriducibile su R èriducibilesu C Infatti si fattorizza nel prodotto (X i(x + i Inaspettatamente, lo stesso fatto vale per ogni polinomio di grado in C[X] Questo è il contenuto del cosiddetto teorema fondamentale dell Algebra Teorema (Teorema fondamentale dell Algebra I soli polinomi irriducibili in C[X] sono i polinomi di primo grado Dunque ogni polinomio in C[X] di grado n si fattorizza nel prodotto di n fattori lineari

Teorema di Lagrange e gruppi quoziente Nel precedente paragrafo abbiamo più volte accennato al seguente importante risultato,che intendiamo ora dimostrare e che è noto come Teorema di Lagrange Teorema Sia G un gruppo finito e sia H un suo sottogruppo L ordine di H è un divisore dell ordine di G Per dimostrare il teorema di Lagrange dobbiamo prima introdurre il concetto di classe laterale destra [o sinistra] modulo un sottogruppo Definizione Sia (G, un gruppo e sia H un suo sottogruppo Sia a G Chiamiamo classe laterale destra di a modulo H [o, più semplicemente, laterale destro di a modulo H] l insieme Ha = {ha, h H} Osservazione (i Se G ha struttura additiva, il laterale destro di a modulo H è l insieme H + a = {h + a, h H} (ii Tra i laterali destri modulo H c è H stesso [infatti H = H] Si noti anzi che risulta H = Hh 0, h 0 H [infatti l inclusione H Hh 0 èovvia Viceversa,ogni h H si scrive nella forma h =(hh 0 h 0 edunque h Hh 0 ] (iii Se Ha H, Ha non può essereunsottogruppodi G, in quanto Ha [altrimenti si avrebbe =ha (per qualche h H edunquea = h H; ma allora Ha = Hh = H, control ipotesi] (iv a Ha, a G [infatti a =a Ha] (v Tutti i laterali destri modulo H hanno la stessa cardinalità Per verificare tale fatto basta osservare che Ha e H sono in corrispondenza biunivoca, tramite l applicazione H Ha tale che h ha, h H [Che tale applicazione sia suriettiva è ovvio; che sia iniettiva discende dalla legge di cancellazione: h a = h a = h = h ] Ne segue che Ha = H = Hb, a, b G Il risultato che segue ci dice quando due laterali destri coincidono Proposizione Sia H un sottogruppo di (G, Risulta: Ha = Hb ab H Dim (= Se Ha = Hb, a =a = hb, h H Ne segue che ab = h H ( = Sia ab = h 0 H Allora a = h 0 b e b = h 0 a Per ogni h H si ha: Dunque Ha Hb e Hb Ha, cioè Ha = Hb ha = hh 0 b Hb; hb = hh 0 a Ha NB Da tale equivalenza segue subito che il laterale destro Ha è rappresentato da ogni elemento a Ha [infatti a Ha = a a H = Ha = Ha] Proposizione Sia H un sottogruppo di (G, Risulta: Ha Hb = Ha = Hb

8 G CAMPANELLA APPUNTI DI ALGEBRA PER INFORMATICA Dim Sia x Ha Hb Allora x = h a = h b, h,h H Segue che h = h ab equindi ab = h h H Dalla Prop, Ha = Hb La precedente proposizione afferma che due laterali destri modulo H o coincidono o sono disgiunti Poiché inoltre [in base all Osserv (iv] ogni elemento di G appartiene ad un laterale destro modulo H, si conclude che i laterali destri modulo H formano una partizione di G Denoteremo con (H l insieme di tutti i laterali destri modulo H adueaduedistinti La d cardinalità di (H [cioè il numero dei laterali destri modulo H] èdettoindice di H in G d [A rigore dovremmo parlare di indice destro di H in G Ma come vedremo nella successiva Prop 3, non c è bisognodiutilizzarequestoaggettivo] Osservazione Come si traducono i precedenti risultati in notazione additiva? Se H èunsottogruppodi (G, +, abbiamo già osservato che il laterale destro di a modulo H è H + a Inoltre: H = H +0=H + h 0, h 0 H; H + a non èungruppo,se H + a H; H + a e H + b sono in corrispondenza biunivoca; H + a = H + b a b H; (H + a (H + b = H + a = H + b; i laterali destri modulo H formano una partizione di G Esempi (i Calcoliamo i laterali destri modulo i due seguenti sottogruppi di S 3 : H = ( 3, H = ( 3 Ovviamente H = {(, ( 3} Poiché H = ed S 3 =6, c è spazio in S 3 per due altri laterali destri modulo H Poiché ( H un altro laterale destro modulo H è H ( = { ((, ( 3( } = { (, ( 3 } Poiché (3 H H (, il terzo laterale destro modulo H è H ( 3 = { (( 3, ( 3( 3 } = { ( 3, ( 3 } [Si noti che H ( = H ( 3 e che H ( 3 = H ( 3 ] Consideriamo l altro sottogruppo H Risulta: H = {(, ( 3 ( 3 } Poiché H =3 ed S 3 =6, c è spazio in S 3 per un solo altro laterale destro modulo H Poiché adesempio ( H tale laterale destro è H ( = { ((, ( 3(, ( 3 ( } = { (, ( 3, ( 3 } [Si noti che H ( = H ( 3 = H ( 3] (ii Consideriamo in (Z,+ il sottogruppo H = 5 [= 5Z] iseguenticinque: 5Z, 5Z +, 5Z +, 5Z +3, 5Z +4 [Ad esempio 5Z +={n Z n (mod 5} = {, 8, 3,, 7,, }] I suoi laterali destri modulo H sono (iii Consideriamo in (R, il sottogruppo H = Q In tal caso i laterali destri modulo Q sono infiniti Basta verificare ad esempio che la famiglia di laterali destri { Q p, p numero primo (positivo } èunafamigliadilateralidestrimodulo Q, a due a due distinti Si ponga infatti Q p = Q q, con p, q interi primi (positivi: ne segue che p q Q Ciò è impossibile se p q Veniamo ora alla dimostrazione del teorema di Lagrange (Teor, enunciato all inizio del paragrafo Dim (Teor Essendo G finito, i laterali destri modulo H (a due a due distinti sono in numero

CAP 5 TEOREMA DI LAGRANGE E GRUPPI QUOZIENTE 9 finito [e tale numero èl indice i di H in G] Sia quindi d (H ={ Ha,Ha,, Ha i } Poiché d (H èunapartizionedi G e poiché (inbaseaosserv (v Ha t = H, t =,, i: Dunque H èundivisoredi G G = Ha + Ha + + Ha i = i H NB Da G = i H segue ovviamente che i = G H Corollario Sia G un gruppo finito di ordine n Per ogni x G, (x è un divisore di n Dim Infatti (x = x èundivisoredi G = n Corollario Sia G un gruppo finito di ordine p primo G non possiede sottogruppi propri (cioè non banali Inoltre G èciclico(diordine p Dim Sia H un sottogruppo di G Poiché H èundivisoredi p, allora H = oppure H = p, cioè H = {} oppure H = G Sia ora x G, x In base al precedente corollario, (x = oppure p Poiché (x, allora (x =p Dunque x = G Si noti che il teorema di Lagrange non si inverte Non èdettocioèche,perognidivisorepositivo t dell ordine di G, esistaing un sottogruppo di ordine t Adesempiosipotrebbeverificare che il gruppo alterno su 4 elementi A 4 [cfr Esempi (ii dicap] haordine manonpossiede alcun sottogruppo di ordine 6 [cfr wwwmatuniromait/people/campanella, Appunti di Algebra, pag76] Affrontiamo ora il seguente problema: èpossibiledefinireunastrutturadigrupposull insieme (H? Volendo definire un operazione tra due laterali destri a partire dall operazione di G, la d definizione piùnaturaleè la seguente: ( Ha Hb = Hab, Ha, Hb d (H Dobbiamo però porcilaseguentedomanda: se Ha = Ha e Hb = Hb,èveroche Hab = Ha b? La risposta a questa domanda è in generale negativa Lo verifichiamo con questo esempio Riconsideriamo in S 3 il sottogruppo H = ( 3 [cfr Esempi (i] Abbiamo già osservatoche H ( = H ( 3 e che H ( 3 = H ( 3 Si ha però [e H H ( 3] H ( H ( 3 = H ( 3 mentre H ( 3 H ( 3 = H Dunque - come si usa dire - l operazione ( non èingeneralebendefinita Ma in alcuni casi lo è Quando? Per rispondere a questa domanda è necessario introdurre le classi laterali sinistre (per confrontarle poi con le destre Ma si noti comunque giàdaorache,quandol operazione( èben definita, gli assiomi di gruppo sono certamente verificati Infatti risulta: Ha H = Ha = H Ha; (Ha Hb Hc = Ha (Hb Hc; Ha Ha = H = Ha Ha Definizione Sia H un sottogruppo di (G, e sia a G Chiamiamo classe laterale sinistra di a modulo H [o, più semplicemente, laterale sinistro di a modulo H] l insieme ah = {ah, h H} Si può facilmenteverificareche ah = bh a b H e che anche l insieme s (H dei laterali sinistri modulo H forma una partizione di G

30 G CAMPANELLA APPUNTI DI ALGEBRA PER INFORMATICA Usando i laterali sinistri si può ridimostrare(con identica dimostrazione il teorema di Lagrange Proveremo ora che la cardinalità dei laterali destri coincide con quella dei laterali sinistri,cioè che l indice destro di H in G coincide con l indice sinistro Proposizione 3 Sia H un sottogruppo di G Risulta: (H = d s (H Dim Si tratta di verificare che esiste una biiezione tra (H e d s (H Poniamo: Φ: (H d s (H tale che Ha a H, Ha d (H Osserviamo che Φ èbendefinita,cioèche,se Ha = Hb, alloraφ(ha= Φ(Hb Infatti: Ha = Hb = ab H = ba H = ba H = H = a H = b H = Φ(Ha=Φ(Hb Queste implicazioni sono in realtà equivalenze Lettedadestraasinistraprovanoche Φ è iniettiva Infine Φ è suriettiva: infatti ah s (H, risulta Φ(Ha =ah Per un gruppo abeliano G risulta: ah = Ha, a G [infatti ah = ha, h H] Per un gruppo non abeliano la situazione è invece più complicata,come cercheremo di chiarire con i due seguenti esempi Consideriamo di nuovo il gruppo S 3 e calcoliamo i laterali sinistri modulo H = ( 3 Oltre al laterale sinistro H abbiamo gli altri due laterali sinistri: ( H = {( (, ( ( 3} = {(, ( 3 }; ( 3 H = {( 3(, ( 3( 3} = {( 3, ( 3} Come si può osservare, confrontando con calcoli svolti in precedenza, ( H H (, ( 3 H H ( 3 Se invece consideriamo i laterali sinistri modulo il sottogruppo H = ( 3, oltreallateraleh abbiamo il laterale sinistro Come si vede, ( H = {( (, ( ( 3, ( ( 3 } = {(, ( 3, ( 3} ( H = H ( Si noti che tale uguaglianza non avviene però elemento per elemento Nonèverocioèche ( σ = σ (, σ H È invece vero che l uguaglianza tra i due laterali vale in modo complessivo, nel senso che: σ H, τ H tale che ( σ = τ ( Definizione 3 Si chiama sottogruppo normale ogni sottogruppo H di G tale che ah = Ha, a G Per indicare che H è normale in G si scrive di solito H G Nell esempio precedente abbiamo quindi provato che ( 3 èunsottogrupponormaledi S 3, mentre ( 3 non lo è Inoltre ogni sottogruppo di un gruppo abeliano ènormale La seguente proposizione ci spiega perché i sottogruppi normali sono importanti Proposizione 4 Sia (G, un gruppo e sia H un suo sottogruppo Sia ( l operazioneprece- dentemente definita su (H Si ha: d ( èbendefinita H èunsottogrupponormaledi G Dim (= Cominciamo col verificare che ah Ha, a G Si tratta cioè di verificare che Poiché ( èbendefinita,siha: ah Ha, a G, h H Hah = Ha Hh = Ha H = Ha

CAP 5 TEOREMA DI LAGRANGE E GRUPPI QUOZIENTE 3 Dunque aha H epertanto ah Ha Proviamo ora l inclusione opposta: Ha ah, a G Per l inclusione sopra dimostrata (applicata ad a siha: a H Ha Moltiplicando a destra per a: a Ha Ha a = H Dunque a Ha H Moltiplicando tale inclusione a sinistra per a: aa Ha ah, cioè Ha ah Abbiamo così provatoche ah = Ha, a G Pertanto H G ( = Verifichiamo che ( è ben definita, cioè che Sia aa =: h H, bb =: h H Allora Poiché H G, ah = h 3 a, h 3 H Dunque Hab = Ha b Ha = Ha,Hb= Hb = Hab = Ha b ab(a b = a(bb a = ah a Allora ab(a b = ah a = h 3 aa = h 3 h H In base alla Prop 4 eaquantoosservatoprimadelladef, se H G ( d (H, èungruppo Vale la seguente definizione Definizione 4 Se H èunsottogrupponormaledi G, il gruppo ( d (H, viene denotato (G/ H, echiamatogruppo quoziente di G modulo H [Si noti che, essendo H G, d (H = s (H equindiglielementidelgruppoquozientepossono anche essere scritti usando i laterali sinistri in luogo dei destri] Se H G, èdefinital applicazione π : G G/ H tale che π(x =Hx, x G Tale applicazione èovviamentesuriettivaedèunomomorfismodigruppi Infatti π(xy =Hxy = Hx Hy = π(x π(y, x, y G Èchiamataproiezione canonica di G sul gruppo quoziente G/ H Come già osservato,se G èabelianoognisottogruppo H ènormaleedunqueèdefinito G/ H Tra igruppinonabeliani,qualisottogruppisononormali? Losonocertamenteisottogruppidiindice ed i nuclei di omomorfismi tra gruppi, come ora dimostriamo nelle due seguenti proposizioni Proposizione 5 Sia H un sottogruppo di G Se H ha indice in G, H è normale in G Dim Poiché H ha indice, d (H = s (H = Risulta, a G H: (H ={H, Ha}, d s (H ={H, ah} Dunque G H = Ha e G H = ah Pertanto Ha = ah equindi H è normale in G Proposizione 6 Il nucleo Ker(f di un omomorfismo di gruppi f : G G èunsottogruppo normale in G Dim Verifichiamo la seguente inclusione: ( x ( Ker(f x Ker(f, x G Infatti, a Ker(f, si ha: edunque xax Ker(f Da (, moltiplicando a destra per x: f(xax =f(x f(a f(x =f(x f(x = x ( Ker(f ( Ker(f x

3 G CAMPANELLA APPUNTI DI ALGEBRA PER INFORMATICA L inclusione ( (applicata a x fornisce: x ( Ker(f x Ker(f Moltiplicando a sinistra per x si ottiene: ( Ker(f x x ( Ker(f Dunque ( Ker(f x = x ( Ker(f, x G, cioè Ker(f G Dalla Prop 6 segue facilmente il seguente importante risultato, noto come teorema fondamentale di omomorfismo (per i gruppi Teorema Ogni omomorfismo di gruppi f : G G ϕ : G/ Ker(f Im(f, così definito: ϕ(xker(f = f(x, xker(f G/ Ker(f induce l isomorfismo (di gruppi Dim Il primo fatto da verificare èchel applicazione ϕ èbendefinita: secioè xker(f =yker(f, allora f(x =f(y Infatti: xker(f =yker(f = y x Ker(f = f(y x= = f(y f(x = = f(x =f(y Ora verifichiamo che ϕ è biiettiva Per provare che ϕ è iniettiva bisogna verificare che ϕ(xker(f = ϕ(yker(f = xker(f =yker(f Basta leggere le precedenti implicazioni in senso inverso Infatti: ϕ(x Ker(f = ϕ(y Ker(f = f(x =f(y = = f(x f(y =f(x y = x y Ker(f = xker(f =yker(f Inoltre ϕ èsuriettiva Infatti, f(x Im(f, si ha: ϕ(xker(f = f(x Infine verifichiamo che ϕ èunomomorfismodigruppi Infatti: ϕ ( xker(f yker(f = ϕ ( xyker(f = f(xy =f(x f(y =ϕ ( xker(f ϕ ( yker(f Il teorema fondamentale di omomorfismo ci consente di decomporre ogni omomorfismo di gruppi f : G G nella composizione di tre omomorfismi, cioè nellaforma f = i ϕ π, dove π : G G/ Ker(f è la proiezione canonica, ϕ : G/ Ker(f Im(f èl isomorfismodelteor ed i : Im(f G èl applicazionecanonicadiinclusione[esitrattadiunmonomorfismo] Risulta infatti: (i ϕ π(x =i ϕ(π(x = i(ϕ(xker(f = i(f(x = f(x, x G La precedente uguaglianza di applicazioni può essere visualizzata nel seguente diagramma di omomorfismi di gruppi f G G π / G Kerf ϕ = i Imf tale che, x G, π x xker(f f ϕ = f(x i f(x Si usa dire che tale diagramma ècommutativo, con ciò intendendo che per passare da G a G è indifferente quale percorso si segua (cioè f oppure i ϕ π Si noti che nel Cap 3, Prop 6 avevamo ottenuto la versione insiemistica di questo risultato Un esempio Sia f : Z Z n l applicazione così definita: f(k =k Z n, k Z f èovviamenteunomomorfismosuriettivoda (Z,+ a (Z n, + Ha quindi immagine Im(f =Z n, mentre il nucleo è Ker(f ={k Z k = 0} = {k Z k 0(mod n} = nz Dal teorema fondamentale di omomorfismo, Z/ nz = Z n

CAP 5 TEOREMA DI LAGRANGE E GRUPPI QUOZIENTE 33 [e l isomorfismo ϕ trasforma il laterale k + nz nella classe resto k, k Z] Osservazione 3 Il teorema fondamentale di omomorfismo tra gruppi non è che il primo teorema fondamentale tra strutture algebriche Sussistono anche analoghi teoremi fondamentali di omomorfismo tra anelli e tra spazi vettoriali Rinviamo per questi approfondimenti a wwwmatuniromait/peo ple/campanella, Appunti di Algebra, Cap, 3] ESERCIZI PROPOSTI 5 Determinare le relazioni di equivalenza su G associate alla partizione dei laterali destri ed a quella dei laterali sinistri modulo un sottogruppo H di G 5 Determinare i sottogruppi ciclici di U(Z 5 ediresetalegruppoèciclico 53 Verificare che, a meno di isomorfismi, esistono due soli gruppi di ordine 6: C 6 e S 3 54 Verificare che U ( Z 6 / 7 èungruppociclicodiordine 4 55 Il sottogruppo ciclico ( 3 4 è normale in S 4? 56 Sia H = {A GL n (K det(a =} Verificare che èunsottogrupponormaledi GL n (K edeterminareilgruppoquoziente GL n (K/ H 57 Sia H = {A GL (Z 5 det(a =oppuredet(a =4} Verificareche H èunsottogruppo normale di GL (Z 5 e che il il gruppo quoziente GL (Z 5 / H èciclico Indicarnepoiungeneratore 58 Verificare che se G èungruppociclicoed H èunsuosottogruppo,ilgruppoquoziente G/ H èciclico 59 Si consideri in (Q, + il sottogruppo (Z, + ed il gruppo quoziente (Q/ Z, + (i Verificare che ogni elemento di Q/ Z èrappresentabileconunrazionale q tale che 0 q< (ii VerificarecheognielementodiQ/ Z ha periodo finito e dedurne che Q/ Z non èciclico 50 Nel gruppo moltiplicativo (C, siconsiderinoiduesottoinsiemi R >0 (numeri reali positivi, H = {z C z =} (i Verificare che R >0 ed H sono sottogruppi di (C, (ii Dimostrare che il gruppo quoziente C /R >0 è isomorfo a H

ESERCIZI PROPOSTI Capitolo Sono assegnati tre insiemi A, B, C (i Verificare che A (B C =(A B (A C (ii Verificare che (A B C = A (B C (iii Verificare che (A B C A (B C e che tale inclusione puòesserepropria Soluzione (i Si ha: x A (B C x A (x B C Si osservi che x B C x B x C Negando tale equivalenza, si ottiene x B C x B x C Ne segue: x A (B C x A [x B x C] [x A x B] [x A x C] (x A B (x A C x (A B (A C (ii Si ha: x (A B C (x A B (x C [x A x B] (x C x A [x B x C] x A [x B C] x A (B C (iii Da (ii e dall ovvia inclusione B C B C segue: A (B C A (B C =(A B C Un esempio in cui tale inclusione èstrettapuòessereottenutoponendo A = B = C Infatti si ha: (A A A = A =, mentre A (A A =A = A Sono assegnati tre insiemi A, B, C (i Verificare che (A B C =(A C (B C e che (A B C =(A C (B C (ii Verificare che A (B C =(A B (A C (iii Determinare un insieme T tale che A (B C =(A B T Soluzione (i Si ha: x (A B C (x A B x C [x A x B] (x C [x A x C] [x B x C] (x A C (x B C x (A C (B C Si ha: x (A B C [x A x B] x C [x A x C] [x B x C] (x A C (x B C x (A C (B C (ii Si ha: x A (B C (x A [x B x C] [x A x B] [x A x C] x (A B (A C (iii Si denoti con X un insieme contenente A B C Risulta: x A (B C x A [x B x C] [x A x B] [x A x C] [x A B] [x A (X C] x (A B T con T = A (X C Si può ancheosservareche T = X (C A Infatti: x X (C A x X x C A x C A (x A (x C x A (X C]

GCAMPANELLA APPUNTI DI ALGEBRA PER INFORMATICA 3 Tra i numeri naturali compresi tra 00 e 999, contare quelli che hanno esattamente due cifre uguali tra loro Soluzione Denotiamo con X l insieme dei naturali cercati Tale insieme X si ripartisce nei tre seguenti sottoinsiemi (a due a due disgiunti: X = {abb, con a 9, 0 b 9, b a}, X = {bab, con b 9, 0 a 9, a b}, X 3 = {bba, con b 9, 0 a 9, a b} Ciascuno dei tre insiemi ha cardinalità 8 Infattituttietresonoottenutiscegliendoa e b in 9 modi indipendenti; dunque, in base al principio del prodotto, X = X = X 3 =9 9=8 Dal principio generalizzato della somma, X = X + X + X 3 =8 3=43 4 Trovare il numero dei naturali compresi tra 00 e 999 formati da cifre non nulle e a due a due distinte Soluzione Denotiamo con X l insieme dei naturali cercati Tale insieme si identifica con l insieme di terne { } (a, b, c N 3, con a 9, b 9, c 9 e con a b c a Per i =, 9, consideriamo in X il sottoinsieme { } X i = (i, b, c, con b 9, b i econ c 9, c i, c b Poiché b può esseresceltoin 8 modidiversie c in 7 modi diversi (indipendenti dai primi, in base al principio del prodotto X i =8 7=56 Essendo {X,X,, X 9 } una partizione di X, siha,perilprincipiogeneralizzatodellasomma, X = X + X + + X 9 =9 56 = 504 5 Contare i naturali tra e 000 che non sono divisibili né per 4,né per 5,né per 6 Soluzione Poniamo I = {n N : n 000} Denotiamo poi con A 4,A 5,A 6 gli insiemi di naturali di I che sono rispettivamente divisibili per 4, 5, 6 Dunque A 4 = {4, 8,, } = {4t, t =,, [ 000 4 ]}, dove [ 000 000 4 ]=50 indicalaparteinteradelnumerorazionale 4 Analogamente: A 5 = {5, 0, 5, } = {5t, t =,, [ 000 5 ]} = {5t, t =,, 00}, A 6 = {6,, 8, } = {6t, t =,, [ 000 6 ]} = {6t, t =,, 66} Si ha quindi: A 4 =50, A 5 =00, A 6 =66 L insieme X cercato è X =(I A 4 (I A 5 (I A 6 =I ( A 4 A 5 A 6 Per ottenere X basterà alloracalcolare A 4 A 5 A 6 inclusione - esclusione Per fare ciòricorriamoalprincipiodi Si osservi che A 4 A 5 èl insiemedegli n I che sono divisibili sia per 4 che per 5, cioè chesono divisibili per il mcm di 4, 5 [che è 0] Dunque Analogamente, A 4 A 5 = {0 t, t =,, [ 000 0 ]} = {0 t, t =,, 50} A 4 A 6 = { t, t =,, [ 000 ]} = { t, t =,, 83}, A 5 A 6 = {30 t, t =,, [ 000 30 ]} = {30 t, t =,, 33} Infine, osservato che il mcm tra 4, 5, 6è 60, allora A 4 A 5 A 6 = {60 t, t =,, [ 000 60 ]} = {60 t, t =,, 6}

CAP ESERCIZI 3 Possiamo ora applicare il principio di inclusione - esclusione A 4 A 5 A 6 = A 4 + A 5 + A 6 A 4 A 5 A 4 A 6 A 5 A 6 + A 4 A 5 A 6 = =50+00+66 50 83 33 + 6 = 466 Dunque X = I (A 4 A 5 A 6 =000 466 = 534 6 Sia a R Dimostrare che, n : a n =(a (a n + a n + + a + Soluzione Procediamo per induzione su n Base induttiva Risulta: a =(a [ovvio] Passo induttivo Sia n e sia a n =(a (a n + + a + Bisogna verificare che a n =(a (a n + a n + + a + Infatti: a n =a n a + a =a(a n + (a = a(a (a n + + a ++(a = =(a [ a(a n + + a ++ ] =(a (a n + a n + + a + 7 Determinare tutte le possibili partizioni di un insieme X di cardinalità 3 Soluzione Si ponga X = {,, 3} X ammette ovviamente le due partizioni banali = { {,, 3} }, = { {}, {}, {3} } Le altre partizioni sono necessariamente costituite da un sottoinsieme di cardinalità edaunodi cardinalità (disgiunti Dunquesonoleseguentitre: 3 = { {}, {, 3} }, 4 = { {}, {, 3} }, 5 = { {3}, {, } } Sia f : A B un applicazione Siano A e B sottoinsiemi non vuoti rispettivamente di A edi B Verificare che: (i f (f(a A Se f è iniettiva, f (f(a = A (ii f(f (B B Se f èsuriettiva, f(f (B = B Soluzione (i Risulta, a A: a f ( f(a f(a f(a Se quindi a A, allora f(a f(a equindia f ( f(a Se poi f è iniettiva, basta verificare che f ( f(a A Se infatti a f ( f(a, allora f(a =f(a, a A Ma poiché f è iniettiva, a = a A (ii Risulta: f ( f (B = { f(a, a A : f(a B } = Imf B B Se poi f èsuriettiva, allora Imf = B equindi f ( f (B = B B = B Determinare due insiemi finiti A, B edueapplicazioni f : A B, g : B A tali che g ed f non sono biiettive, ma g f = A Soluzione Poniamo ad esempio A = {a, b} e B = {,, 3} { a a { a a Se f : e g : a allora g f : b 3 b b 3 b,

4 GCAMPANELLA APPUNTI DI ALGEBRA PER INFORMATICA 3 Dati gli insiemi A = {a, b, c} e B = {, }, quante sono e come si possono scrivere le applicazioni suriettive da A a B? E le applicazioni iniettive da B ad A? Soluzione Le applicazioni da A a B possono identificarsi con terne di elementi di B [intendendo che i tre elementi di ogni terna sono le immagini rispettivamente di a, b, c] Le possibili terne sono 8: (,,, (,,, (,,, (,,, (,,, (,,, (,,, (,, Solo la prima e l ultima non danno luogo ad applicazioni suriettive Pertanto le applicazioni suriettive sono le restanti 6 Le applicazioni da B ad A sono 4 =6 esiidentificanoconlecoppiedielementidi A, cioè (a, a, (a, b, (a, c, (a, d, (b, a, (b, b, (b, c, (b, d, (c, a, (c, b, (c, c, (c, d, (d, a, (d, b, (d, c, (d, d Di esse sono formate da elementi distinti e quindi corrispondono alle applicazioni iniettive cercate [Si ricordi del resto che le applicazioni iniettive sono 4 (4 +=4 3=] 4 Sia f : R R tale che f(x =sin(x, x R Determinare f ( [, ], [, ]èl intervallochiusodiestremi, dove Soluzione Risulta: sin ( [, ] = k Z [ π 4 k, π 4 + k] 5 Sia f : R {} R l applicazione tale che f(x = x x, x R, x Perogni r R, determinare f (r Soluzione Poiché f (r ={x R f(x =r}, graficamente il problema si risolve cercando le intersezioni tra il grafico della funzione e la retta y = r (parallela all asse x Nel caso in esame, f(x =r per x siscrivenellaforma x = r(x, da cui x rx+ r =0 Tale equazione ammette soluzioni per r 4 e r 0 [infatti il discriminante è = r(r 4] Dunque f (r =, se 0 <r<4; f (0 = {0}; f (4 = {}; f (r = { (r r(r 4, (r + r(r 4 }, se r<0 o r>4 r 4 0 - f (r 6 Verificare, per induzione su n 0, che per ogni x, y R risulta:

Soluzione Per induzione su n 0 Base induttiva Risulta: (x+y 0 = 0 k=0 CAP ESERCIZI 5 (x + y n = n k=0 ( n n k k x y k ( 0 0 k k x y k Infatti: (x+y 0 =, Passo induttivo Sia n Per ipotesi induttiva, sia (x + y n = n verificare che (x + y n = n ( n n k k x y k Infatti si ha: (x + y n =(x + y(x + y n =(x + y ( n ( n n k k x y k = = n k=0 = n k=0 = ( n 0 ( n k ( n k n k x y k + n k=0 x n k y k + n n x + n k= ( n k h= k=0 k=0 0 k=0 k=0 ( 0 0 k k x y k = ( 0 0 0 x y 0 = ( n k ( n n k k x y k+ = [ponendo h = k +] ( n n h h x y h = [ponendo k = h] n k x y k + n k= ( n k = x n + n [ ( ( n + n n k ]x y k + y n = k= k k = x n + n ( n n k k x y k + y n = n k= k=0 ( n n k k x y k n k x y k + ( n 0 x y n = n n k x y k 7 Per ogni n, si ponga S n := + + 3 + + n = n k Verificare che risulta: S n = ( n+, n Soluzione Per induzione su n Base induttiva Risulta: S = ( + [infatti S =, ( ( + = = ] Passo induttivo Sia n e sia S n = ( n+ Bisogna verificare che Sn+ = ( n+ Infatti S n+ = S n +(n += ( ( n+ +(n += n+ ( + n+ ( = n+ [cfr Prop 6] Nota Tale risulato puòesseredimostratoanchesenzainduzione Infatti: k= S n = ( ++ +(n + n + ( n +(n + ++ = = [ + n] + [ + (n ] + [3 + (n ] + +[(n + ] + [n +]= = n [k +(n k +]= n (n +=n(n + k= Dunque S n = n(n+ = ( n+ 8 Per ogni n, si ponga k= Σ n := + 3 + 5 + +(n [somma dei primi n numeri dispari] Verificare che risulta: Σ n = n, n Bisogna Soluzione Presentiamo due dimostrazioni: la prima usa l induzione l esercizio precedente; la seconda procede direttamente per induzione ( Risulta: Σ n = S n n k=0 k = S n S n = ( n+ ( n+ = (n+n (n+n = n

6 GCAMPANELLA APPUNTI DI ALGEBRA PER INFORMATICA ( Per induzione su n Base induttiva Risulta: Σ = [ovvio] Passo induttivo Sia n e sia Σ n = n Dobbiamo verificare che Σ n+ =(n + Infatti: Σ n+ =Σ n +(n +=n +(n +=(n + 3 Sia A = {a, b, c} un insieme (di cardinalità 3 Siaρ la relazione su A avente grafico = {(a, a, (a, b, (a, c, (b, b, (b, c, (c, c} Verificare se ρ è una relazione d ordine totale su A Soluzione La relazione ρ si scrive in forma cartesiana nel seguente modo: ρ a b c a b 0 c 0 0 Poiché la diagonale di A ècontenutain, ρ è riflessiva Poiché, se x y, xρy e yρx non sono mai simultaneamente verificate, ρ èantisimmetrica Poiché inoltre, se x y, x ρy e y ρx non sono mai simultaneamente verificate, ρ ètotale Resta da verificare che ρ ètransitiva Sitrattadiverificareche, x, y, z A (a due a due distinti, risulta: xρy, yρz = xρz Si hanno per le terne distinte (x, y, z le seguenti sei possibilità x y z xρy yρz xρz a b c sì sì sì a c b sì no b a c no b c a sì no c a b no c b a no Come si osserva, l unico caso in cui xρy e yρz si ha per (x, y, z =(a, b, c ed in tal caso xρz Pertanto ρ è transitiva e quindi è una relazione d ordine totale su A 3 Dimostrare il principio generalizzato del prodotto: se k e A,A,, A k sono insiemi finiti, si ha: Soluzione Si procede per induzione su k Base induttiva A A A k = A A A k Risulta: A A = A A [è esattamenteilprincipiodelprodotto] Passo induttivo Sia ora n esiassumaverol assertoperogniprodottocartesianoconn fattori Si consideri A A A n+ Risulta subito che A A A n+ è in corrispondenza biunivoca con A (A A n+ [tramite la biiezione (a,a, a n+ ( a, (a, a n+ ] Allora, usando l ipotesi induttiva relativamente a A A n+ : A A A n+ = A A A n+ = A ( A A n+ = A A n+ Il passo induttivo è così dimostrato Ne segue il principio generalizzato del prodotto 33 Determinare una biiezione tra N e Z [ciò dimostra che Z = N, cioè che Z è numerabile] Soluzione Si consideri l applicazione f : N Z tale che:

Tale applicazione è quindi così definita: CAP ESERCIZI 7 0 0 3 4 5 3 6 3 f(n = n se n èpari; f(n = n+ se n èdispari Per provare che f èbiiettiva,necostruiamol inversa g : Z N Dai dati precedenti osserviamo che g deve operare come segue: Quindi g è così definita: 0 0 3 4 3 5 3 6 g(n = n se n 0; g(n = n se n < 0 Si tratta ora di verificare che g f = eche f g = N Ci limitiamo alla prima verifica, Z lasciando la seconda al lettore Risulta: se n èpari: (g f(n =g ( n = n = n; se n èdispari: (g f(n =g ( n+ = ( n+ = +n +=n Dunque (g f(n =n, n N 4 Sia σ =(34(56 S 6 Determinare il minimo intero k talecheσ k = X Soluzione Pertanto k =4 Si ha: σ =((34, σ 3 = σ σ =(43(56, σ 4 = σ σ = X 4 Stesso esercizio con σ =(3(45 S 5 Soluzione Si ha: σ =(3, σ 3 = σ σ =(45, σ 4 = σ σ =(3, σ 5 = σ σ 3 =(3(45, σ 6 = σ 3 σ 3 = X Pertanto k =6 NB Il numero k cercato è in entrambi i casi il minimo comune multiplo delle lunghezze dei cicli disgiunti di σ 43 Scrivere tutte le permutazioni di S 5 che contengono il ciclo ( Soluzione In S 5 le permutazioni che contengono ( si ottengono aggiungendo il ciclo ( alle permutazioni di {3, 4, 5} Dunque sono le sei permutazioni: (, ( (3 4, ( (3 5, ( (4 5, ( (3 4 5, ( (3 5 4

8 GCAMPANELLA APPUNTI DI ALGEBRA PER INFORMATICA 44 Assegnate le permutazioni σ =(34, σ =(5(34 S 5, determinare la permutazione τ S 5 tale che σ = τσ Soluzione Da σ = τσ segue subito che τ = σ σ Pertanto τ =(5(34(34 =(5(34(43=(54 45 Scrivere la tavola pitagorica di S 3, cioè la tavola 6 6 formata da tutti i prodotti σ i σ j, al variare di σ i,σ j in S 3 Soluzione ( ( (3 (3 (3 (3 ( ( ( (3 (3 (3 (3 ( ( ( (3 (3 (3 (3 (3 (3 (3 ( (3 (3 ( (3 (3 (3 (3 ( ( (3 (3 (3 (3 ( (3 (3 ( (3 (3 (3 (3 ( ( (3 46 (i Verificare che se σ S n èunapermutazionediclassedispari,nonesistealcunapermutazione α S n tale che α = σ (ii Determinare α S 6 tale che α =(3(456 (iii Spiegare perchénonesiste α S 6 tale che α =((3456 Soluzione (i Se α = γ γ t (prodotto di cicli a due a due disgiunti, allora α = γ γ t Se γ i èprodottodi t i trasposizioni, γ i èprodottodi t i trasposizioni e quindi èdiclassepari Ne segue che α èdiclassepariedunque α σ (ii Basta considerare il 6-ciclo α =(4536 Risulta: α =(3(456 (iii Lapermutazioneσ =((3456èdiclassepariequindinonsipuòapplicarela(i Assumiamo per assurdo che sia α = σ, con α = γ γ t (prodotto di cicli disgiunti Allora σ = γ γ t e le permutazioni γ i sono a due a due disgiunte Poiché σ èprodottodiun -ciclo e di un 4-ciclo disgiunti, una delle permutazioni γ i coincide con tale -ciclo e quindi èdi classe dispari: assurdo 47 (i Verificare che σ S n k N, k talecheσ k = X (ii Verificare che σ, τ S n l equazione (di primo grado σx = τ ammette una ed una sola soluzione (in S n Soluzione (i Poiché S n è un insieme finito, h, k, h k tali che σ h = σ k Assumiamo h<k Allora σ h σ h = σ k σ h, cioè X = σ 0 = σ k h,conk h>0 (ii Sia x = σ τ x èsoluzionedell equazione σx = τ Infatti: σx= σ(σ τ=(σσ τ = X τ = τ Se poi y S n èun altrasoluzionedell equazione σx = τ, allora σy = τ = σx Ne segue che σ (σy =σ (σx, da cui y = x

CAP ESERCIZI 9 48 Determinare per quali σ S 4 l equazione X = σ èrisolubile Soluzione Se σ èdiclassedispari,l equazione X = σ non è mai risolubile, in quanto, α S 4, α èsemprediclassepari Verifichiamotaleaffermazione: se α = γ γ t (prodotto di cicli disgiunti, allora eogni γ i α = γ γ t èprodottodiunnumeropariditrasposizioni Le permu- Studieremo quindi la risolubilità di X = σ, per ogni permutazione σ di classe pari tazioni di classe pari di S 4 hanno una delle seguenti strutture cicliche: (, ( (, ( [cioè sono l -ciclo (, ocoppiedidue -ciclidisgiunti (ab(cdo3-cicli(abc] - L equazione X =( èovviamenterisolubile Infattihasoluzione ( Mahaanchealtre soluzioni: tutti i -cicli ( e tutti i prodotti di due -cicli disgiunti( ( - L equazione X =(ab(cdèrisolubile Infatti,comesubitosiverifica,ammetteleduesoluzioni (acbde(adbc - L equazione X =(abcèrisolubile Infattihasoluzione (acb, come subito si verifica Concludendo, l equazione X = σ è risolubile σ èunapermutazionediclassepari 49 In S 5 sono assegnati un 3-ciclo σ ed un -ciclo τ, disgiuntitraloro SiaH l insieme formato dalle permutazioni di S 5 ottenibili come prodotti finiti di σ edi τ Determinare le permutazioni di H everificarese H èunsottogruppodi S 5 Soluzione Poiché σ e τ sono cicli disgiunti, commutano Ogni permutazione di H è quindi della forma σ h τ k,perognih, k 0 Inoltre si ha: σ 3 = τ =( Pertanto: H = {(, σ,σ,τ,στ,σ τ} Verifichiamo che H èunsottogruppodi S 5 Evidentemente ( H; inoltre HH H [in quanto H èl insiemedituttiiprodottifinitideisuoielementi]; infineverifichiamoche H H Infatti σ = σ, (σ = σ, τ = τ, (στ = σ τ, (σ τ = στ NB Cosa avviene se σ e τ non sono disgiunti? Si hanno due possbilità: o σ e τ hanno due interi in comune o ne hanno uno solo Nel primo caso H ècontenutoinun S 3,mentrenelsecondocasoinunS 4 Nel primo caso prendiamo ad esempio in considerazione le permutazioni σ =(3,τ =(3 Si verifica in tal caso che H = {(, σ,σ,τ,στ,τσ} Nel secondo caso prendiamo invece in considerazione le permutazioni σ =(3, τ =(4 Si verifica in tal caso che H contiene ad esempio le seguenti 3 permutazioni (a due a due distinte (, σ,σ,τ,στ,τσ,σ τ, τ σ, (στ, (τ σ, (σ τ, (τ σ,στσ Non abbiamo ancora gli strumenti tecnici per affermare che H ha in tal caso ordine 4 ed è isomorfo a S 4 40 (i Quanti sono i 3-cicli di S 6? (ii Quante sono le permutazioni di S 6 che sono prodotto di due 3-cicli disgiunti? Soluzione (i Leapplicazioniiniettiveda {,, 3} a {,, 3, 4, 5, 6} corrispondono biunivocamente alle terne di interi distinti compresi tra e 6 Quante sono tali applicazioni? Sia f una siffatta applicazione L intero f( può esseresceltoin6modidiversi,l intero f( in 5 modi diversi e l intero f(3 in 4 modi diversi Complessivamente si hanno 6 5 4 = 0 applicazioni iniettive, cioè 0ternediinteridistinti Ogni3-ciclocorrispondeatreditaliterne Infatti ogni 3-ciclo (abcsiscriveintremodi:

0 G CAMPANELLA APPUNTI DI ALGEBRA PER INFORMATICA Dunque i 3-cicli di S 6 sono 0 3 =40 (abc=(bca=(cab (ii Per ottenere tutte le permutazioni di S 6 che siano prodotto di due 3-cicli disgiunti, cominciamo con l osservare che i due 3-cicli commutano e che l elemento si trova necessariamente in uno dei due 3-cicli Assumeremo quindi che le permutazioni cercate si scrivano nella forma ( ab(cde Determiniamo i 3-cicli ( ab Se poniamo a < b, otteniamo le seguenti coppie (a, b: (, 3, (, 4, (, 5, (, 6, (3, 4, (3, 5, (3, 6, (4, 5, (4, 6, (5, 6 Conseguentemente abbiamo idieci 3-cicli: ( 3, ( 4, ( 5, ( 6, ( 3 4, ( 3 5, ( 3 6, ( 4 5, ( 4 6, ( 5 6 Ad essi dobbiamo aggiungere i rispettivi inversi ( ba, cioè ( 3, ( 4, ( 5, ( 6, ( 4 3, ( 5 4, ( 6 3, ( 5 4, ( 6 4, ( 6 5 Dunque abbiamo ottenuto 0 3-cicli di tipo ( ab Ognuno di essi va ora moltiplicato per i possibili 3-cicli supplementari, che sono due e cioè: (cde e (ced Si hanno complessivamente 40 permutazioni del tipo cercato

ESERCIZI PROPOSTI Capitolo Sia (G, ungruppoesianoa, b G Verificare che, se ab = G,alloraba = G [cioè se b è inversoadestra di a, èanche inversoasinistra di a] Soluzione Si ha: ab = G = a (ab =a G = a = (a ab = a = G b = a = b = a Ne segue che ba = a a = G Si consideri in S 5 il sottoinsieme Verificare che Σ èunsottogruppodi S 5 Σ=Σ {,} := { σ S 5 : σ({, } ={, } } escriverneglielementi Soluzione Σ èl insiemedellepermutazionidi S 5 che trasformano il sottoinsieme {, } in sé e quindi necessariamente anche {3, 4, 5} in sé Ovviamente X fissa {, } (elemento per elemento e dunque X Σ Se poi σ, τ Σ, anche στ Σ Se infine σ Σ, anche σ Σ Dunque Σ S 5 Le permutazioni che fissano l insieme {, } sono (, ( Quelle che fissano l insieme {3, 4, 5} sono (, (3 4, (3 5, (4 5, (3 4 5, (3 5 4 Dunque le permuazioni di Σ sono le seguenti dodici permutazioni di S 5 : (, (3 4, (3 5, (4 5, (3 4 5, (3 5 4, (, ( (3 4, ( (3 5, ( (4 5, ( (3 4 5, ( (3 5 4 3 Sia K un campo ed n un intero In K n si consideri il sottoinsieme W = {(c,c,, c n K n : c =0} Verificare se W èunsottospaziovettorialedi K n eseèunsottoanellodi K n Soluzione (W, + èungruppoabeliano Verifichiamolo Innanzituttola n-pla nulla 0 èelemento di W Se poi (0,c,, c n, (0, d,, d n W,siha: (0, c,, c n +(0,d,, d n =(0,c + d,, c n + d n W Infine (0, c,, c n haperopposto(0, c,, c n W La moltiplicazione per uno scalare manda gli elementi di W in W Infatti, a K: a (0, c,, c n =(0,ac,, ac n W Gli assiomi di spazio vettoriale sono ovviamente verificati su W (perché lo sono in K n edunquew èunsottospaziovettorialedi K n Presi comunque (0, c,, c n, (0, d,, d n W,siha: (0, c,, c n (0, d,, d n =(0,c d,, c n d n W Lae leggi distributive tra somma e prodotto valgono in W un sottoanello di K n (perché valgonoin K n edunque W è NB Si osservi che W ammette elemento unità (0,,,, ma che tale unità nonèl unitàdi K n Assegnate le due matrici (dipendenti da un parametro a R

G CAMPANELLA APPUNTI DI ALGEBRA PER INFORMATICA A = ( 0 a 0,3(R, B = a a 0 3,(R, (i Determinare gli eventuali a R per cui AB èunamatricetriangolaresuperiore (ii Determinare gli eventuali a R per cui BA èunamatricesimmetrica Soluzione Sviluppando il prodotto righe per colonne si ottiene: ( a + AB =, BA = +a 0 +a a 0 a a + a + +a 0 3 (i La matrice AB ètriangolaresuperiore a +=0 a = a =0 { a =0 (ii La matrice BA èsimmetrica +a =+a a =a a =0 Siano A, B n(k due matrici simmetriche Verificare che la matrice AB è simmetrica A e B commutano a =0 Soluzione Per definizione, se A, B sono matrici simmetriche di n(k, allora t A = A e t B = B Poiché t (AB = t B t A,siha: AB èsimmetrica t (AB =AB t B t A = AB BA = AB 3 Assegnata la matrice A = 0 (R, verificare che le due matrici t AA e A t A 3, 0 sono simmetriche Èvero,più in generale, che per ogni A m,n(k, le due matrici t AA e A t A sono simmetriche? Èveroche,perogni A n(k, risulta: t AA= A t A? Soluzione Risulta: Come si vede, le due matrici sono simmetriche ( 5 4 t AA=, A 4 5 t A = 0 8 0 Per ogni A m,n (K la matrice t AA èsimmetrica Infatti t ( t AA= t A t ( t A= t AA Analogamente si verifica che A t A èsimmetrica Infatti t (A t A=( t ( t A t A = A t A Se A n(k, entrambe le matrici t AA e A t A sono in ( n(k Ma non èdettochecoincidano 0 Infatti, considerata ad esempio in (R la matrice A =,siha: 0 0 ( ( 0 0 0 t AA=, mentre A 0 t A = 0 0 4 Verificare che le matrici simmetriche di n(k formano un sottospazio vettoriale di n(k Formano un sottoanello di n(k? Soluzione Denotiamo con n(k le matrici simmetriche di n(k Per definizione, se A, B n(k, allora t A = A e t B = B Si ha: t (A + B = t A + t B = A + B edunquein n(k viene indotta la somma di matrici di n(k Inoltre t ( A = ( t A= A e dunque l opposta di una matrice simmetrica èsimmetrica Infinelamatricenulla 0èsimmetrica Pertanto ( n(k, + èungruppoadditivo Sepoi c K e A n (K, allora anche ca n (K

CAP ESERCIZI 3 t [infatti (ca=c t A = ca] Pertanto la moltiplicazione per uno scalare viene indotta su n(k Gli assiomi di spazio vettoriale valgono in n(k perchévalgonoin n(k Invece n(k nonèunsottoanellodi n(k Infatti il prodotto di due matrici simmetriche non è in generale una matrice simmetrica Ad esempio ( ( ( 0 0 0 = (matrice non simmetrica 0 0 0 0 0 5 Si consideri in ( (R la matrice A = 0 Verificare che A GL (R, cioè cheesiste B (R tale che AB = I = BA Soluzione ( a b Si ponga B = c d (R, con a, b, c, d elementi incogniti (in R Bisogna determinare a, b, c, d in modo che risulti AB = I = BA Si ha: ( ( ( a b a +c b+d AB = = 0 c d c d Imponendo la condizione AB = I si ottiene ( a +c =,b+d =0,c=0,d= edunque B = 0 Resta da verificare la condizione BA = I Infatti ( ( ( 0 BA = = = I 0 0 0 3 Sia p un intero Dimostrare il seguente risultato: p èprimo se p divide un prodotto, divide almeno un fattore [cioè p ab = p a o p b] Per dimostrare tale risultato si proceda come segue: ( Usando l identità di Bézout provare il seguente Lemma di Euclide: siano a, b, c Z Se a bc e MCD(a, b =,alloraa c ( Usando il lemma di Euclide, dimostrare ( = : se p ab e p a, allorap b (3 Dimostrare ( =: p ha solo fattori banali [cioè: p = xy = x = ± o y = ±] Soluzione ( Per ipotesi bc = at, t Z Dall identitàdibézout, = ar + bs, r, s Z Ne segue, moltiplicando tale uguaglianza per c: c = arc + bsc = arc + ats = a(rc + ts e dunque a c ( Poiché p a, allora a, p non hanno fattori primi comuni e quindi MCD(a, p = Dallemma di Euclide, p b (3 Se p = xy, allorap xy Per ipotesi, si ha: p x o p y Se p x,allorax = pt, t Z Dunque p = pty, dacuity = equindi y = ± Se p x,allorap y Quindi y = ps, s Z, dacuip = xps equindi =xs, cioè x = ± 3 Scrivere la tavola moltiplicativa di Z 6 Verificare se {0,, 4} èunsottoanellodi Z 6 Soluzione La tavola moltiplicativa di Z 6 è: 3 4 5 3 4 5 4 0 4 3 3 0 3 0 3 4 4 0 4 5 5 4 3

4 G CAMPANELLA APPUNTI DI ALGEBRA PER INFORMATICA Si ponga B = {0,, 4} Queste tre classi resto sono le sole in Z 6 rappresentate da interi pari Ovviamente la somma di due classi resto rappresentate da interi pari èrappresentatadaunpari Inoltre, in Z 6 si ha: =4 e 4 = Ne segue facilmente che (B,+ èungruppoabeliano Poichè ancheilprodottodidueclassirestorappresentatedainteriparièrappresentatodaunintero pari, si conclude che B èunsottoanellodi Z 6 (privo però diunità 33 Scrivere la tavola additiva di Z 5 e la tavola moltiplicativa Z 5 Esistono sottoanelli propri di Z 5? Soluzione Risulta: + 0 3 4 0 0 3 4 3 4 0 3 4 0 3 3 4 0 4 4 0 3 3 4 3 4 4 3 3 3 4 4 4 3 Si indichi con B un eventuale sottoanello proprio di Z 5 (cioè B {0} e B Z 5 Ovviamente B 0 Se B contenesse, allora B = Z 5 [infatti ogni classe resto èottenibilecomesommadipiù copie di ] Poiché B {0}, B contiene un elemento tra, 3, 4 Ma ++=, 3+3=, 4+4+4+4= Dunque necessariamente B (e quindi non èunsottoanelloproprio Pertanto Z 5 non contiene sottoanelli propri (e neppure sottogruppi propri rispetto a + 34 Dimostrare il Piccolo Teorema di Fermat, procedendo come segue: ( Facendo uso del lemma di Euclide verificare che, se p èprimoed a ècoprimocon p, gli interi a, a, 3a,, (p a sono a due a due non congruenti mod p ( Usando ( ed il lemma di Euclide, dimostrare il Piccolo teorema di Fermat, cioè: se p èprimoed a ècoprimocon p, a p (mod p Soluzione ( Per assurdo, sia ta sa (mod p, con t<s p Allora (s ta 0 (mod p, cioè p (s ta Poiché MCD(a, p =, dallemmadieuclidesegueche p s t D altra parte 0 <s t<p edunque s t pz: assurdo ( Da (i a, a, 3a,, (p a sono a due a due non congruenti mod p Quindi, a meno dell ordine, sono complessivamente congruenti a,,, p (mod p Pertanto Ne segue che 3 (p a a 3a (p a (mod p (p! (p! a p (mod p, ovvero p (p! ( a p Poiché p èprimoe (p! ècoprimocon p, MCD(p, (p! = Dal Lemma di Euclide segue che p ( a p, cioè che 0 a p (mod p, ovvero a p (mod p 35 Calcolare le ultime due cifre del numero naturale 8 8 Soluzione Si tratta di risolvere la congruenza 8 8 X (mod 00 Si ha: 8 8 = 8 4 8 Se 8 a (mod 00 e 4 8 b (mod 00, allora 8 8 ab(mod 00 Risolviamo separatamente le due equazioni 8 a (mod 00 e 4 8 b (mod 00 Per la seconda equazione si può ricorrerealteoremadieulero-fermat,essendo MCD(4, 00 = Si ha: 4 ϕ(00 (mod 00, cioè 4 40 (mod 00 Allora

CAP ESERCIZI 5 4 8 = ( 4 40 4 4 = 4 (mod 00 Per risolvere la prima congruenza 8 a (mod 00 non si può usareilteoremadieulero-fermat ed occorrono invece più calcoli Risulta: 8 = ( 40 Calcoliamo 40 (mod 00 Risulta: 0 = 5 5 =04 4 (mod 00; 40 =( 0 4 (4 4 =(4 (76 ( 4 76 (mod 00 Ne segue: 8 = ( 40 (76 76 5 (mod 00 Si conclude che 8 8 4 5 = 3 3 (mod 00 Le ultime due cifre di 8 8 sono 3, 36 Risolvere l equazione 39 X = in Z 603 Soluzione Studiamo l equazione congruenziale 39 X (mod 603 Tale equazione è compatibile: infatti MCD(39, 603 = 3 e 3 Inoltre ammette tre soluzioni comprese tra 0 e 60 Le corrispondenti classi resto (mod 603 sono le soluzioni dell equazione in assegnata Z 603 Per calcolare una soluzione dell equazione 39 X (mod 603, dividiamo per 3 tutti i suoi dati numerici, ottenendo l equazione congruenziale ad essa equivalente 3 X 4(mod 0 Per ottenerne una soluzione bisogna calcolare l inverso di 3 in Z 0 un identità dibézout relativa a 3, 0 Si ha: Dunque: 0 = 3 5 + 6, 3 = 6 + [] = [3] [6] =[3] ( [0] [3] 5 = [0] + 3 [3] Un identità di Bézout relativa a 3, 0 è quindi Passando in Z 0 si ottiene =3 3 0 =3 3 0 = 3 3 + 0=3 3 Segue che 3 3 (mod 0 e pertanto X 4 3 = 4 (mod 0 39 X (mod 603 quindi le tre soluzioni tra 0 e 60: 4 + 603 3 h, per h =0,,, cioè: 4, 35, 56 Si conclude che l equazione assegnata 39 X = in Z 603 4, 35, 56 Z 603 ha le tre soluzioni 37 Risolvere l equazione congruenziale lineare 4 X 0 (mod 0 A tale scopo usiamo L equazione congruenziale Soluzione Si ha: MCD(4, 0 = e 0 Pertanto l equazione ècompatibileedammette due soluzioni comprese tra 0 e 9 Dividiamo per i dati numerici dell equazione precedente ed otteniamo 7 X 5(mod 60 Calcoliamo l inverso di 7 mod 60, tramite l identità di Bézout relativa a 60, 7 l algoritmo euclideo delle divisioni successive a tali numeri: Ne segue: da cui: 60 = 7 8+4, 7=4 +3, 4=3 + [4] = [60] [7] 8, [3] = [7] [4], [] = [4] [3], [] = ([60] [7] 8 ([7] [4] = [60] [7] 9 + ([60] [7] 8 = [60] +[7] ( 7 Allora un identità dibézout cercata è = 60 + ( 7 7 ( 7 7(mod 60 Ne segue che Applichiamo

6 G CAMPANELLA APPUNTI DI ALGEBRA PER INFORMATICA Poiché 7 43 (mod 60, l inverso di 7 (mod 60 è 43 L equazione 7X 5(mod 60 si riscrive nella forma X 5 43 (mod 60 Poiché 5 43 = 5 35 (mod 60, tale equazione ha (unica soluzione 35 Una soluzione dell equazione congruenziale assegnata èquindi 35 el altraèdatada 35+ 0 =95 4 Sia = {A 3(R a = a 3 = a = a 3 =0} Verificare se èun R-sottospazio vettoriale di 3(R e se è un sottoanello di 3(R Soluzione Le matrici di sono della forma A = a 0 0 0 b c, a, b, c, d, e R 0 d e Poiché la somma e la moltiplicazione per uno scalare sono definite componente per componente, segue subito che, A, B e t R, anchea B e ta Pertanto èun R-sottospazio vettoriale di 3(R Se A, A,ancheAA Infatti AA = a 0 0 0 b c a 0 0 0 b c = aa 0 0 0 0 d e 0 d e 0 Si conclude che èunanello Poiché I 3, èancheunitario 4 Sia n e sia f : n(k n (K l applicazione che ad ogni matrice A n(k associa la matrice ottenuta da A privandola degli elementi dell ultima riga e dell ultima colonna Verificare che f èunomomorfismodik-spazi vettoriali e determinarne nucleo ed immagine È vero che f èunomomorfismodianelli? Soluzione Denotiamo con A la matrice ottenuta da A eliminandone gli elementi dell ultima riga e dell ultima colonna Poiché la somma e la moltiplicazione per uno scalare sono definite componente per componente, segue subito che, A, B n(k e c K, (A + B = A + B, (ca = ca Dunque f è un omomorfismo di K-spazi vettoriali Si ha: A Ker(f A = 0 a ij =0, i, j < n Inoltre Im(f = n (K Infatti, B n (K, se a tale matrice aggiungiamo un ulteriore riga eun ulteriorecolonnadielementisceltiarbitrariamentein K, otteniamo una matrice A n(k tale che f(a = B ( f non èunomomorfismodianelli Sceltaadesempiolamatrice A = 0 (R, risulta: ( f(a =(A = =(, mentre f(a f(a =A A = ( ( = ( 43 Sia τ una fissata permutazione di S n Sia f : S n S n l applicazione così definita: f(σ =τστ, σ S n Verificare che f èunautomorfismodi S n [èdettoautomorfismo di coniugio (relativo a τ] Soluzione Si ha, σ,σ S n : f(σ σ =τ (σ σ τ = τσ (τ τ σ τ =(τσ τ (τ σ τ =f(σ f(σ Dunque f è un omomorfismo Per provare che è un isomorfismo basta considerare l applicazione g : S n S n tale che g(σ =τ στ, σ S n Si ha: (f g(σ =f(τ στ=τ (τ στ τ = σ Dunque g f = Sn Analogamente si verifica che f g = Sn Quindi f èunomomorfismobiiettivodi S n in sé (cioèunautomorfismodi S n

CAP ESERCIZI 7 44 Sia n e sia π : Z Z n l applicazione così definita: π(a =a, a Z Verificare che π èunomomorfismodianelliedeterminareker(π proiezione canonica di Z sull anello quoziente Z n L omomorfismo π è detto Soluzione Si ha, a, b Z: π(a + b =a + b = a + b = π(a+π(b, π(ab=ab= a b = π(a π(b Quindi π èunomomorfismodianelli Inoltre π èsuriettivo Infatti, a Z n, a = π(a Calcoliamo Ker(π Sia a Z Si ha: Pertanto Ker(π =nz = {0, ±n, ±n, } 45 L applicazione f : R (R taleche a Ker(π a = 0 a n 0 a nz ϕ(t = ( t 0 0 t, t R, èunomomorfismodispazivettorialiodianelli? Incasoaffermativo,calcolarnenucleoedimmagine Soluzione Si tratta di verificare se: ϕ(t + s =ϕ(t+ϕ(s, t, s R; ϕ(t s =ϕ(t ϕ(s, t, s R; ϕ(ct=cϕ(t, t, c R Si ha: ( ( ( t + s 0 t 0 s 0 ϕ(t + s = = + = ϕ(t+ϕ(s; 0 t + s 0 t 0 s ( ( ( ts 0 t 0 s 0 ϕ(t s = = = ϕ(t ϕ(s; 0 ts 0 t 0 s ( ( ct 0 t 0 ϕ(ct= = c = cϕ(t 0 ct 0 t Dunque ϕ è un omomorfismo di anelli e di spazi vettoriali Risulta: Dunque ϕ è un monomorfismo Kerϕ = {t R : ϕ(t = ( 0 0 } = {0} 0 0 Inoltre ( t 0 Imϕ = {, t R} 0 t è un sottoanello ed un R-sottospazio vettoriale di (R È formato da tutte e sole le matrici scalari di (R 46 Sia f : V W un omomorfismo di K-spazi vettoriali (i SeW èunsottospaziovettorialedi W,verificarechef (W èunsottospaziovettorialedi V (ii SeV èunsottospaziovettorialedi V,verificarechef(V èunsottospaziovettorialedi W Soluzione (i Per definizione di controimmagine, f (W ={v V f(v W } Siano a, b K e v,v f (W [dunque f(v,f(v W ] av + bv f (W Infatti f(av + bv =af(v +bf(v W Bisogna verificare che

8 G CAMPANELLA APPUNTI DI ALGEBRA PER INFORMATICA (ii Siano w,w f(v, con w = f(v,w = f(v e v,v V Siano a, b K Bisogna verificare che Poiché av + bv V,allora: aw + bw f(v aw + bw = af(v +bf(v =f(av + bv f(v NB Si noti che le stesse conclusioni (i e(ii si hanno anche se f è un omomorfismo tra gruppi o tra anelli: l immagine e la controimmagine di sottoanelli (o sottogruppi sono sottoanelli (o sottogruppi 47 Sia : K[X] K[X] l applicazione di derivazione, cosìdefinita: P = n a i X i K[X], P = a +a X +3a 3 X + + na n X n [se K = R, P èl usualederivataprimadelpolinomio P ] (i Verificare che è un omomorfismo di K spazi vettoriali ma non un omomorfismo di anelli (ii PostoK = R, calcolare Im (iii PostoK = R, calcolare Ker Soluzione (i Posto c K, Q = m b j X j K[X] ep definito come nel testo, si ha: j=0 (P + Q =(a + b +(a + b X +3(a 3 + b 3 X + = (P + (Q, (cp=ca +ca X +3ca 3 X + = c (P Ne segue che è un omomorfismo di K-spazi vettoriali Ne segue che non èunomomorfismodianelli (X =X, (X (X = = Invece si ha ad esempio: (ii Risulta subito che Im = R[X] Infatti, P = n a i X i R[X], si ha: i=0 ( a 0 X + a X + 3 a X 3 + + n+ a nx n+ = P (iii Si ha subito che Ker = R Infatti ogni polinomio costante ha derivata nulla, mentre per ogni polinomio P di grado d (P hagradod 0 Dunque P Ker NB Le considerazioni svolte in (ii e(iii nonvalgonose K èuncampo Z p Ad esempio in Z [X] (X = X = 0 e, sempre in Z [X], X Im( 48 In (R siconsideriilsottoinsieme H = {A (R (A =0} [si ricorda che (A denota l elemento a della matrice A] Verificare che H èun R-sottospazio vettoriale di (R e che è nucleo di un opportuno omomorfismo ϕ : (R R i=0 Soluzione Si consideri l applicazione ϕ : (R R tale che ϕ(a =(A, A (R Si ha, A, B (R e c R: ϕ(a + B =(A + B =(A +(B = ϕ(a+ϕ(b, ϕ(ca=(ca = c(a = cϕ(a Pertanto ϕ è un omomorfismo di R-spazi vettoriali Si ha poi: Kerϕ = {A (R ϕ(a =0} = H Aquestopuntononènecessarioeseguirelaverificadirettadelfattoche H èun R-sottospazio vettoriale di (R, in quanto il nucleo di un omomorfismo è sempre un sottospazio vettoriale

CAP ESERCIZI 9 5 Assegnati in R 3 iduevettori x =(, 0, ed y =(0,,, verificare che sono linearmente indipendenti e determinare un vettore z R 3 tale che {x, y,z} sia una base di R 3 Soluzione Per provare che x, y sono linearmente indipendenti bisogna dimostrare che cioè cheilsistemadiequazionilineari ax+ by =0 = a = b =0 a =0 b =0 a + b =0 non ammette soluzioni (0, 0 Ciò è evidente: l unica soluzione è (a, b =(0, 0 Un vettore z tale che {x, y,z} sia una base di R 3 èognivettore z x, y Per ottenerne uno possiamo ad esempio considerare i tre vettori e,e,e 3 della base canonica di R 3 esceglieread esempio il primo che non sia contenuto in x, y Risulta: e x, y e = ax+ by, a, b R Ciò sitraducenelsistemadiequazionilineari a = b =0 a + b =0, che non ammette soluzioni Dunque e x, y equindi {x, y,e } èunabasedi R 3 5 Assegnati in R 3 ivettori x =(, 0,, y=(0,,, z=(,, 0, w=(, 0,, verificare se èpossibileestrarredaessiunabasedi R 3 Soluzione Iprimiduevettorix, y sono linearmente indipendenti [cfr esercizio precedente] Verifichiamo se z x, y, cioè seesistono a, b R tali che z = ax+ by Ciò sitraducenelsistema di equazioni lineari a = b = a + b =0, che ha soluzione (a, b =(, Dunque z puòessereeliminatodallalistadeivettoriassegnati Verifichiamo ora se w x, y Ciòsitraducenelsistemadiequazionilineari a = b =0 a + b =, che non ha soluzioni Segue che w x, y equindi {x, y,w} èunabasedi R 3 estratta dai quattro vettori assegnati 53 Sono assegnate in (R le seguenti quattro matrici ( ( 0 A =,A 0 0 =,A 0 3 = ( 0 0,A 4 = ( 0 0 (i Verificare che tali matrici sono linearmente dipendenti ed esprimere l ultima in funzione delle prime tre (ii Posto W = A,A,A 3,determinaredim(W eindicareunabasediw ( 0 (iii Verificare se la matrice elementare E = appartiene a W e, in caso affermativo, 0 0 scriverne le coordinate rispetto alla base di W ottenuta in (ii Soluzione (i Per rispondere a (i basta determinare a, b, c R tali che

0 G CAMPANELLA APPUNTI DI ALGEBRA PER INFORMATICA Si ha: Quindi aa + ba + ca 3 = aa + ba + ca 3 = A 4 aa + ba + ca 3 = A 4 ( a a + 0 0 ( b 0 + b 0 ( a + b a = b + c c ( 0 0 = c c ( 0 0 ( a + b a b + c c a + b =0 a = b + c =0 c = Tale sistema ammette, come facilmente si verifica, soluzione (a, b, c =(,, A A + A 3 = A 4 Pertanto (ii Per rispondere a (ii basta verificare che i tre vettori A,A,A 3 sono linearmente indipendenti, perché in tal caso dim(w =3 editrevettoriformanounabasedi W Si ponga Si ottiene aa + ba + ca 3 = 0 [matrice nulla di (R] ( a + b a = b + c c ( 0 0, cioè 0 0 a + b =0 a =0 b + c =0 c =0 Tale sistema lineare ammette come unica soluzione (a, b, c =(0, 0, 0 Pertanto A,A,A 3 sono linearmente indipendenti (iii Poniamo E = aa + ba + ca 3 everifichiamoseilcorispondentesistemalineareammette soluzione Si ottiene: a + b = ( ( a + b a 0 a =0 =, cioè b + c c 0 0 b + c =0 c =0 Segue subito che b =0 e b = Dunqueilsistemanonhasoluzioniepertanto E W 54 Sia = {A 3(R a = a 3 = a = a 3 =0} Si tratta di un R-sottospazio vettoriale di 3(R (cfr Eserc 43 Determinare una base e la dimensione di Soluzione La generica matrice A di è A = a 0 0 0 b c 0 d e Tale matrice dipende dai cinque parametri a, b, c, d, e R E,,E,,E,3,E 3,,E 3,3 È evidente che le cinque matrici elementari sono un sistema di generatori di Infatti A = ae, + be, + ce,3 + de 3, + ee 3,3 Inoltre le cinque matrici sono linearmente indipendenti, in quanto fanno parte di una base (la base canonica di 3(R Segue che formano una base di e dunque dim( = 5 55 Sia {e,e } una base di un R-spazio vettoriale V di dimensione Siano f = e e, f =e + e V

CAP ESERCIZI Verificare che {f,f} èunabasedi V Assegnato in V il vettore v = e e,esprimerlorispetto alla base {f,f} Soluzione Poiché dim(v =, perprovareche {f,f} èunabasediv basta verificare che i sono linearmente indipendenti =0 Allora vettori f,f Ne segue che Sia af + bf a (e e +b ( e + e =(a +b e (a b e =0 { a +b =0 a b =0 Tale sistema di equazioni lineari ha soltanto la soluzione (a, b = (0, 0 [infatti, dalla seconda equazione, b =a; sostituendo nella prima, si ottiene 5a =0 Allora a =0 equindi b = 0] Pertanto f,f sono linearmente indipendenti Possiamo ora esprimere i vettori e,e in funzione di {f,f} Si ha: f f =e 4 e e e = 5 e Pertanto e = 5 f + 5 f Ne segue: Abbiamo ottenuto Si ha quindi e = f +e = f 4 5 f + 5 f = 5 f + 5 f e = 5 (f +f e, = 5 ( f + f v = e e = 5 (f +f 5 ( f + f = 3 5 f + 5 f Possiamo dire che v ha coordinate (, in base {e,e } ecoordinate ( 3 5, 5 in base {f },f 56 Assegnata una base {e,e,e 3,e 4 } di un R-spazio vettoriale V avente dimensione 4, si considerino i due sottospazi vettoriali V = e e,e e 3, V = e e 4,e 3 e 4 Verificare se i due sottospazi vettoriali sono supplementari Soluzione Se due sottospazi vettoriali V,V sono supplementari, deve risultare V V = {0} I vettori di V V sono tutti e soli quelli per cui a, b, c, d R tali che a (e e +b (e e 3 =c (e e 4 +d (e 3 e 4, cioè (a + b c e ae (b + d e 3 +(c + d e 4 =0 Tale uguaglianza vettoriale si traduce nel sistema di equazioni a + b c =0 a =0 a =0 c = b che si riscrive nella forma (b + d =0 d = b c + d =0, c + d =0 Tale sistema ammette soluzioni (0, b, b, b, b R, e, in particolare, la soluzione (0,,, Segue che e e 3 =(e e 4 (e 3 e 4 V V [ciò chedelrestopotevaesserenotatosindaprincipio] Concludiamoquindicheiduesottospazinon sono supplementari NB Si puòancheprocedereinaltromodo Per prima cosa possiamo verificare che dim(v =dim(v = i := dim(v V,u:= dim(v + V, Poi,posto essendo (in base alla formula di Grassmann u + i = 4, basta verificare che u < 4 [da cui i > 0] Per provare che u<4 basta verificare che sono linearmente indipendenti i quattro vettori

G CAMPANELLA APPUNTI DI ALGEBRA PER INFORMATICA e e,e e 3,e e 4,e 3 e 4 NB Si può verificareche dim(v + V =3 Atalescopobastaverificarecheiprimitrevettori della lista precedente sono linearmente indipendenti] Ne segue che dim(v V = Unabasedi V V èdatadalvettore e e 3 57 Una matrice A n(k èdettaantisimmetrica se risulta a ij = a ji, i, j =,, n [cioè se A = t A] Verificare che le matrici antisimmetriche di 3(R formanounsottospaziovettoriale di dimensione 3 in 3(R e indicarne una base Soluzione Osserviamo che, se A èunamatriceantisimmetrica, a ii = a ii edunque a ii =0 Se quindi K Z,alloraa ii =0, i =,, n Denotiamo con le matrici antisimmetriche di 3(R La generica matrice di èdellaforma A = 0 a b a 0 c, a, b, c R b c 0 Si verifica subito che, se A, B e c, d R anche ca+ db [infatti t (ca+ db= c( t A+d( t B=cA+ db] Dunque èunsottospaziovettorialedi 3(R Risulta: 0 a b a 0 c = a 0 0 0 0 + b 0 0 0 0 0 + c 0 0 0 0 0 b c 0 0 0 0 0 0 0 0 Dunque le tre matrici antisimmetriche H = 0 0 0 0, H = 0 0 0 0 0, H 3 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 formano un sistema di generatori di Verifichiamo che tali matrici sono linearmente indipendenti (e quindi formano una base di ah + bh + ch 3 =0 Sia Poiché H = E E, H = E 3 E 3, H 3 = E 3 E 3, la precedente relazione si riscrive nella forma ae ae + be 3 be 3 + ce 3 ce 3 =0 Essendo i nove vettori E ij linearmente indipendenti, si conclude che lo sono anche i sei vettori sopra considerati Si conclude che a = b = c =0 58 Scelto n N, si consideri in K[X] il sottoinsieme W = W n = {P K[X] deg(p n} Verificare che W è un K-sottospazio vettoriale di K[X] Soluzione Se P, Q W e a, b K, siha: deg(ap + bq max(deg(p, deg(q n Indicarne la dimensione ed una base Dunque ap + bq W e pertanto W è un K-sottospazio vettoriale di K[X] Consideriamo ora gli n + monomi,x,x,, X n Preso comunque P = n risulta: P = a 0 +a X + a X + + a n X n i=0 a i X i W, Pertanto {, X,X,, X n } èunsistemadigeneratoridi W Tali monomi sono linearmente indipendenti Infatti n a i X i =0 = a 0 = a = = a n =0 i=0 [in quanto un polinomio è nullo tutti i suoi coefficienti sono nulli]

CAP ESERCIZI 3 Abbiamo così provatoche dim(w n =n + NB Rispetto alla base monomiale {, X,X,, X n } le coordinate di un polinomio coincidono con i suoi coefficienti Per questo motivo la base monomiale èunabasespecialedi W n evienedetta base canonica di W n

ESERCIZI PROPOSTI Capitolo 3 3 Risolvere con l algoritmo di Gauss il seguente SL(3, 5,R x 3 +x 5 = x 4 x 5 =3 x + x 3 = Dedurne una base del sottospazio vettoriale Σ 0 delle soluzioni del SLO associato Soluzione Il sistema ha matrice completa M = 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 Con I[( a (3 a ] si ottiene la matrice 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 Osservato che la seconda colonna ènulla,operiamoloscambiodivariabili x x 4 introdurre un nuovo set di variabili y,, y 5 tali che y = x,y = x 4,y 3 = x 3,y 4 = x,y 5 = x 5 La matrice diventa Operiamo ora con II[( a (a ] Otteniamo quindi il sistema a scala Per risolverlo poniamo y 4 = t, y 5 = s Ne segue: Il SL assegnato ha 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 Si ottiene la matrice 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 y + y 3 = y y 5 =3 y 3 +y 5 = Otteniamo successivamente: y 3 = s, y =3+s, y = s x = y = s x = y 4 = t x 3 = y 3 = s x 4 = y =3+s x 5 = y 5 = s soluzioni, descritte dall insieme Σ= { (s,t, s, 3+s, s, t, s R} Una soluzione particolare del sistema è x =(, 0,, 3, 0 (ottenuta ponendo t = s =0 Allora Σ 0 = x +Σ= { (s, t, s, s, s, t, s R } Ciò significa Poiché (s, t, s, s, s =s(, 0,,, + t(0,, 0, 0, 0, si conclude che Σ 0 ha come base i due vettori (, 0,,, e (0,, 0, 0, 0, cioè e e 3 + e 4 + e 5 ed e

6 G CAMPANELLA APPUNTI DI ALGEBRA PER INFORMATICA 3 Al variare del parametro a R, risolvereilseguente SLO(3,,R x + ay =0 x +y =0 ax =0 Soluzione Il SLO assegnato ha matrice dei coefficienti A = a a 0 [Rimarchiamo che che per i SLO è inutile considerare la matrice completa del sistema, in quanto non sussiste problema di compatibilità e d altra parte la colonna dei termini noti,essendo nulla,resta sempre inalterata con operazioni elementari di riga] Con III[( a ( a ( a ] e III[(3 a (3 a a ( a ], si ottiene la matrice a 0 a 0 a Si hanno due eventualità: (i a 0, (ii a =0 Nel caso (i, a ConII[( a a (a ] si ottiene la matrice a 0 0 a Con III[(3 a (3 a +a ( a ] si ottiene la matrice a 0 Si elimina la terza riga e si ottiene 0 0 ( { a x + ay =0 la matrice, che corrisponde al SL0(,,R a scala Tale SLO ammette 0 y =0 l unica soluzione (x, y =(0, 0 Nel caso (ii, a = e la matrice del sistema è A = 0 0 Si elimina la seconda riga e ( 0 ( si ottiene la matrice A = Con II[( 0 a ( a ] si ottiene la matrice che 0 { x =0 corrisponde al SL0(,, R ascala Tale SLO ammette l unica soluzione (x, y =(0, 0 y =0 Dunque in ogni caso il SLO èprivodiautosoluzioni 33 Al variare del parametro a R, risolvere il seguente SLO(,,R { x +(a +y =0 (a +x +(a +y =0 Soluzione Il SLO ha matrice dei coefficienti ( a + A = a + a + Con II[( a (a ] si ottiene la matrice ( a+ a + a + Con III[( a ( a (a +( a ] si ottiene la matrice ( ( a+ a+ 0 a + (a + a+ = a 0 3 a + = ( a+ 0 (a (a Risulta: se a,, il SLO ha soltanto la soluzione banale (x, y =(0, 0 Se invece a = o a =, la seconda riga ènullaepuòquindiessereeliminata Il SLO si riduce a { x +( a+ y =0 [con a =, ]

CAP 3 ESERCIZI 7 Se a = ilsistemahale soluzioni (x, y =( 3 t, t, t R Se invece a = ilsistemaha le soluzioni (x, y =( t, t, t R 34 Al variare dei parametri non nulli a, b R, risolvereilseguente SLO(3, 3,R ay+ bz =0 ax+ z =0 bx y =0 Soluzione Il SLO assegnato ha matrice dei coefficienti A = 0 a b a 0 b 0 Con I[( a ( a ] si ottiene la matrice a 0 0 a b b 0 Con II[( a a (a ] si ottiene la matrice 0 a 0 a b b 0 Con III[(3 a (3 a +b ( a ] si ottiene la matrice 0 a 0 a b 0 b a 0 Con II[( a a a (a ] si ottiene la matrice b 0 a 0 b a 0 Con III[(3 a (3 a +( a a ] si ottiene la matrice b 0 a 0 0 0 Eliminiamo la terza riga (nulla ed otteniamo la matrice del seguente sistema lineare a scala: { x a z =0 y + b a z =0 Poniamo z = t ed otteniamo successivamente y = t b a, x = t a Pertanto l insieme delle soluzioni del SLO assegnato è { ( t a, tb a,t, t R} Si tratta del sottospazio vettoriale di R 3 generato dal vettore ( a, b a, [ovvero dal vettore (, b, a] 35 Risolvere con l algoritmo di Gauss il seguente SL(,,Z 5 { 3 x + y = x y = 0 Soluzione Il sistema ha matrice completa [si osservi che = 4]: ( 3 M = 4 0 Con II[( a 3 (a ] si ottiene la matrice [si osservi che = ]: 3 ( 4 0 Con III[( a ( a ( a ] si ottiene la matrice ( 0 3 Con II[( a (a ] si ottiene la matrice [si osservi che = 3]:

8 G CAMPANELLA APPUNTI DI ALGEBRA PER INFORMATICA Si èottenutoil SL ascala ( 0 4 { x + y = il quale ammette l unica soluzione (x, y =(4, 4 y = 4, 3 Eseguire il calcolo del determinante delle due seguenti matrici, sfruttando opportunamente le proprietà deideterminanti(persemplificareilcalcolo 999 000 00 A = 3, B = 50 0 00 0 3 75 Soluzione Si osserva subito che A ( =000( +( 0 Conviene allora calcolare det(a sostituendolaprimarigadia con la combinazione lineare di matrici-riga scritta sopra Si ha: det(a =000 3 0 + 0 3 =000 4+( 8 = 399 0 Si osserva subito che B ( =5 4 Pertanto si ha: 3 0 det(b =5 4 =5 ( 3 = 75 3 3 3 Per ogni α R, siconsiderinoleduematrici ( ( cos α sin α cos α sin α A =, B = sin α cos α sin α cos α Verificare che sono entrambe invertibili e che A = t A, B = t B (R Soluzione Risulta: det(a = cos α sin α =, det(b =cos α + sin α = Essendo det(a, det(b 0, A e B sono invertibili Calcoliamone le matrici inverse Si ha: ( ( ( cos α sin α cos α sin α cos α sin α A = det(a = = = A = t A sin α cos α sin α cos α sin α cos α [l ultima uguaglianza perché A èsimmetrica] ( ( cos α sin α cos α sin α B = det(b = = t B sin α cos α sin α cos α NB Si potrebbe verificare che le matrici A, B sopra considerate sono le uniche matrici invertibili di ordine, la cui inversa coincida con la trasposta 33 Assegnata la matrice quadrata A = 0 0 3(R, (i Calcolare la matrice dei complementi algebrici C A everificareche det(c A = ( det(a (ii Dimostrare che, A GL n (K, risulta: det(c A = ( det(a n Soluzione (i Risulta:

C A = CAP 3 ESERCIZI 9 3 Si verifica subito che det(a =4,det(C A =6=4 (ii Ènoto(cfrProp di questo capitolo che t C A A = det(a I n det(ca =c n det(a, A n(k, c K Èaltresìnotoche Utilizzando le proprietà dei determinanti(tra cui il teorema di Binet si ha: ( det(a n = det ( det(a In = det (t CA A = det (t C A det(a =det ( CA det(a, cioè ( det(a n = det ( CA det(a Cancellando det(a [che è 0], siottiene det(c A = ( det(a n, come richiesto 34 Consideriamo le matrici di (Z Quante sono? Quante e quali di esse sono quelle invertibili? Il gruppo che esse formano ècommutativo? Soluzione Le matrici A (Z sono 4 =6 Infattiognunodequattroelementidiogni matrice A può essere scelto in due modi diversi [ 0 oppure ] indipendentemente dagli altri elementi Le matrici invertibili sono quelle formate esattamente da tre elementi = oppuredaduesoli elementi =, ma disposti non sulla stessa riga o colonna Sono quindi le seguenti 4 + matrici ( ( ( ( ( ( 0 0 0 0,,,,, 0 0 0 0 Tali matrici formano un gruppo rispetto al prodotto, denotato GL (Z Per verificare se tale gruppo ècommutativononcè da fare che la( verifica diretta ( 0 0 Consideriamo ad esempio le due matrici, Si ha: 0 ( ( ( ( ( ( 0 0 0 0 0 =, = 0 0 0 Dunque il gruppo GL (Z nonècommutativo 35 Verificare che ogni matrice antisimmetrica reale di ordine dispari ha determinante nullo (cfr Eserc 57 Soluzione Si noti che, A n(k, det( A =( n det(a Se A èantisimmetrica [cioè A = t A], si ha: det(a =det( t A=( n det( t A=( n det(a Se poi n è dispari(e la matrice è antisimmetrica,allora det(a = det(a e quindi det(a = 0 36 Èassegnatain 4(Q la matrice a + a 0 a 0 A =, con a, b Z b b b+ 0 0 0 Verificare, senza eseguire il calcolo diretto del determinante ma usando solo le proprietà deidetermi- nanti, che det(a è un multiplo intero di ab Soluzione Gli interi a, b si trovano rispettivamente nella prima e terza riga di A Si ha: A ( = a ( 0 +( 0 0, A (3 = b ( 0+( 0 0

30 G CAMPANELLA APPUNTI DI ALGEBRA PER INFORMATICA Allora: 0 0 0 0 0 det(a =a + b b b+ 0 b b b+ 0 0 0 0 0 Il secondo determinante ènulloperché la prima e la quarta riga (della rispettiva matrice coincidono Dunque, operando su A (3,siha: 0 0 0 0 0 0 det(a =a = ab + a b b b+ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Di nuovo, il secondo determinante ènulloperché la somma della prima e terza riga (della rispettiva matrice coincide con la seconda Si conclude che 0 0 det(a =ab ab Z 0 0 0 NB Se si vuole eseguire il calcolo di tale determinante [ad esempio con lo sviluppo di Laplace rispetto all ultima colonna], si ottiene det(a = 3ab 37 Sia det : GL n (K K l applicazione che associa ad ogni matrice quadrata invertibile A il rispettivo determinante det(a Verificare che det èunepimorfismodelgruppo (GL n (K, sul gruppo (K, e calcolarne il nucleo Soluzione Per ogni c K, sia D la matrice diagonale di ordine n, avente per diagonale la n-pla (c,,,, Poiché det(d =c, l applicazionedet èsuriettiva Per verificare che det èunomomorfismo, bastaosservareche det(ab = det(a det(b (teorema di Binet Pertanto det èunepimorfismo Risulta: Ker(det ={A GL n (K det(a =} [Abbiamo così provato che le matrici il cui determinante èformanounsottogruppodigl n (K] 38 Sia H = {A GL n (K det(a =±} Verificare che H ènucleodiunomomorfismodi gruppi ϕ : GL n (K K Determinare poi l immagine Im(ϕ Soluzione Si ponga In base al teorema di Binet, risulta, ϕ(a =det(a, A, B GL n (K: A GL n (K ϕ(ab =det(ab =(det(a det(b = det(a det(b = ϕ(aϕ(b Pertanto ϕ è un omomorfismo di gruppi Si ha: Ker(ϕ ={A GL n (K det(a =} = {A GL n (K det(a =±} = H Calcoliamo ora Im(ϕ Consideriamo in K il sottoinsieme K := {c K c = a, a K} [cioè l insiemedei c K che sono quadrati di elementi di K] Èevidenteche Im(ϕ K [infatti ogni det(a K ] Viceversa, se c = a, allora a 0 e la matrice diagonale A avente sulla diagonale gli elementi a,,,, è invertibile e verifica la condizione: Dunque c Im(ϕ det(a = a = c NB Abbiamo in particolare provato che K èunsottogruppodelgruppomoltiplicativo (K, Ad esempio, se K = R, K = R +

CAP 3 ESERCIZI 3 0 33 Sia A = 0 5,3 (R Calcolare rg(a, come massimo numero di colonne 5 0 4 linearmente indipendenti di A Soluzione Verifichiamo che le prime due colonne di A sono linearmente indipendenti Sia xa ( + ya ( =0 Tale relazione tra colonne si trasforma nel SLO(5,, R x y =0 y =0 y =0 x 5 y =0 4 y =0, che ammette soltanto la soluzione banale (x, y =(0, 0 Poniamo ora Il corrispondente SL(5,,R xa ( + ya ( = A (3 x y = y = y = x 5 y = 4 y = ammette, come subito si verifica, soluzione (x, y =( 3, e pertanto Segue che c A = rg(a = 3 A ( A ( = A (3 33 Calcolare il rango della seguente matrice A, interpretandolo sia come massimo numero di righe linearmente indipendenti, sia come ordine massimo dei minori non nulli: 0 0 A = 4 3 5 0 Soluzione Le prime due righe di A sono linearmente indipendenti [infatti si osserva subito che non sono proporzionali] Poniamo A (3 = aa ( + ba ( Otteniamo il SL(4,,R a +b =4 b = a = a b =3 Tale SL ècompatibile,con(unicasoluzione (a, b =(, Pertanto A (3 =A ( + A ( e quindi A (,A (,A (3 = A (,A ( Ora poniamo A (4 = aa ( + ba ( Otteniamo il SL(4,,R a +b =5 b = a = a b =0 Anche tale SL ècompatibile,con(unicasoluzione (a, b =(, Concludiamo che A (,A (,A (3,A (4 = A (,A (

3 G CAMPANELLA APPUNTI DI ALGEBRA PER INFORMATICA Quindi rg(a =r A = Fissiamo in A un minore di ordine non nullo Tra le molte possibili scelte, consideriamo il minore det ( A(,, = Taleminorepossiedequattrominoriorlati Severifichiamochesono tutti nulli, allora rg(a = ρ(a = Infatti: det ( A(,, 3,, 3 0 = 0 4 =0, det( A(,, 3,, 4 0 = 4 3 =0, det ( A(,, 4,, 3 0 = 0 5 =0, det( A(,, 4,, 4 0 = 5 0 =0 333 Al variare di a, b R, descrivereilrangodellamatrice A = a b a b b 0 Soluzione La sottomatrice A(, 3, 3 ha determinante a Distinguiamo due casi: (i Se a 0, rg(a 3 (i a 0, (ii a =0 Risulta in particolare rg(a = det(a =0 a + b ab =0 (ii Se a =0, A = 0 b 0 b Tale matrice ammette la sottomatrice invertibile A(,, b 0 Dunque rg(a 3 Risulta in particolare Concludendo, Altrimenti rg(a = rg(a = det(a =0 b =0 b = ± a + b ab 0 e a 0 rg(a =3 oppure b ± e a =0 334 Sia A = 0 a b a 0 c 3(R, con a 0 b c 0 Verificare che rg(a = edesprimerelaterzarigacomecombinazionelinearedelleprimedue Soluzione Con un calcolo diretto [ovvero tenendo conto che A èantisimmetricadiordinedispari] risulta subito che det(a = 0 Poiché A possiede la sottomatrice quadrata invertibile A(,,, necessariamente rg(a = Inoltreleprimeduerighesonolinearmenteindipendentiequindila terza ècombinazionelinearedelleprimedue Pertanto x, y R tali che ovvero il SL(3,,R (0 a b x +( a 0 c y =( b c 0, ay = b ax= c bx+ cy =0 ècompatibile Risultasubito: x = c a,y= b a Pertanto c a (0 a b+ b a ( a 0 c =( b c 0

CAP 3 ESERCIZI 33 335 Sia A (R Verificare che ( a b rg(a <rg(a A =, con a + bc =0 e a, b, c non tutti nulli c a Soluzione ( = Poiché det(a = (a + bc =0, rg(a < D altra parte A 0 equindi rg(a ; dunque necessariamente rg(a = Siverificapoisubitoche A =0 Pertanto rg(a =0 edunque rg(a <rg(a (= Se rg(a <rg(a, necessariamente det(a =0 [altrimenti A sarebbe invertibile come A edunque rg(a =rg(a =] Segueallorache 0 rg(a <rg(a < ( a b edunquenecessariamente rg(a = e A =0 Posto A =, la condizione A =0equivale c d al sistema a + bc =0 (a + db =0 (a + dc =0 bc + d =0 Se fosse a + d 0, allora b = c =0 equindi a = b = 0, cioè a = d =0: unacontraddizione Pertanto a + d = 0 Lamatrice A verifica quindi le condizioni: ( a b A =, con det(a = (a + bc =0 e a, b, c non tutti nulli, c a come richiesto 336 Sono assegnate le tre matrici (a valori reali dipendenti da un parametro a R: a 0 0 A =, B = 0 ( a 0 0 a, C = 0 a 0 a a 0 Sia M = ABC Determinare rg(m, al variare di a R Soluzione La matrice M èquadratadiordine4 Poiché rg(abc rg(ab rg(b, allora 0 rg(m Calcoliamo la matrice M Risulta: a + a a a a a a + a a a M = ABC = 3a a a + +3a 3a a +3a Se riusciamo ad individuare due colonne di M linearmente indipendenti ( a R potremo concludere che rg(m =, a R Scegliamo la seconda e quarta colonna di M (hanno elementi più semplici e sia N la matrice da esse formata: a a a N = a + 3a +3a Fissiamo in N la sottomatrice N(3 ed orliamola Otteniamo i tre determinanti: a a a +, a a +, a + 3a +3a, cioè (rispettivamente a(a, a + a, ( 3a Il terzo determinante si annulla a = ± 3 Ma, per ciascuno di tali valori, il primo determinante non ènullo Siconcludeche rg(n =, a R, e quindi rg(m =, a R

34 G CAMPANELLA APPUNTI DI ALGEBRA PER INFORMATICA 34 Risolvere il seguente SLO(4, 3, R: x + y + z =0 y + z =0 x y =0 x +3y + z =0 0 Soluzione Il SLO ha matrice dei coefficienti A = 0 3 Si verifica subito che rg(a = [infattileprimeduecolonnedi A sono linearmente indipendenti e A (3 =A ( A ( ] Poiché adesempioa(,, è invertibile, il SLO dato èequivalentealslo formato dalle prime due equazioni Si tratta di un sistema a scala Posto z = t, siha y = t, x = t Pertanto le soluzioni del SLO assegnato formano il sottospazio vettoriale di R 3 : Σ 0 = {( t, t, t, t R} = (,, 34 Risolvere, al variare di a, b R, il seguente SL(3, 3,R: ax+ by =0 y + bz = a x az = b La matrice A dei coefficienti e la matrice completa M del SL assegnato sono rispetti- Soluzione vamente A = a b 0 0 b, M = a b 0 0 0 b a 0 a 0 a b La sottomatrice A(, 3, ha determinante non nullo Quindi rg(a 3 Si ha: Altrimenti rg(a =3 rg(a = det(a =0 b a =0 b = ±a Se rg(a = 3 il SL ècompatibileedha 3 3 = soluzione (x, y, z, data dalla formula di Cramer: 0 b 0 x = b a a b b 0 a = b 3 + a b b a = b + a b b a, a 0 0 y = b a 0 a b b a = a 3 ab = a b + a b a b a, a b 0 z = b a 0 a 0 b = ab b a Assumiamo ora rg(a = [cioè b = ±a] e calcoliamo rg(m Ovviamente rg(m 3 Orlando M(, 3, si ottiene: a b 0 { b a =0 rg(m = det(a = 0 a =0 0 b ab =0 etalesistema(nonlineareammetteun unicasoluzione: (a, b =(0, 0 Pertanto: - se a = { b = 0, il SL ècompatibileedha soluzioni In tal caso il SL dato si riduce al y =0 SL(, 3, R e le sue soluzioni sono quindi date da {(0, 0,t, t R} x =0

CAP 3 ESERCIZI 35 - se invece b = ±a e a 0 [ovvero b 0], il SL dato è incompatibile 343 Utilizzando il teorema di Rouché-Capelli discutere la risoluzione, al variare di tre parametri a, b, c R, delsl(,,r: { ax+ by = c Soluzione Risulta, in base al teorema di Rouché-Capelli: (a, b (0, 0 il SL ècompatibile rg(( a b c = rg(( a b oppure a = b = c =0 Nel primo caso rg(( a b = rg(( a b c = ed il SL ha soluzioni Distinguiamo due casi: (i a 0 (ii a =0 Il SL si risolve ponendo y = t esiha: Σ= { ( c a b a t, t, t R} Il SL si risolve ponendo x = t esiha: Σ= { (t, c b, t R} Nel secondo caso il sistema diventa { 0=0 edovviamenteha soluzioni L insieme delle sue soluzioni è Σ = R 344 Rifare l Esercizio 33 (senza usare l algoritmo di Gauss Soluzione Il SLO assegnato ha matrice dei coefficienti A = a a 0 Ovviamente rg(a Si ha (in base al principio degli orlati applicato ad A( : rg(a = a = a a 0 =0 a =0= (incomp Dunque rg(a =, a R ( a Se a 0, possiamosceglierein A la sottomatrice invertibile A(, 3, = a 0 ( 0 Se a =0, scegliamoinvecein A la sottomatrice invertibile A(,, = In entrambi i casi il SLO dato si riduce ad un SLO(,,R avente matrice dei coefficienti di rango Tale SLO èquindiprivodiautosoluzioni, a R 345 Rifare l Esercizio 34 (senza usare l algoritmo di Gauss Soluzione Il SLO assegnato ha matrice dei coefficienti A = 0 a b a 0 b 0 Tale matrice ha rango [infatti è antisimmetrica di ordine dispari e quindi det(a = 0; inoltre possiede la sottomatrice invertibile A(, 3, 3] Il SLO assegnato èequivalenteal SLO(, 3,R { { ax+ z =0 z = ax cioè bx y =0, y = bx Lo spazio vettoriale Σ 0 delle soluzioni di tale SLO è Σ 0 = { (t, bt, at, t R } = (, b, a

36 G CAMPANELLA APPUNTI DI ALGEBRA PER INFORMATICA NB Si osservi che l ipotesi che a, b siano parametri non nulli non è stata utilizzata Era stata introdotta nell Esercizio 34 soltanto per agevolare l algoritmo di Gauss 346 Èassegnatoil SL(3, 3,R: ay+ bz = c ax+ az = c bx ay =0, dipendente da tre parametri a, b, c R, cona, b 0 Determinareperqualivalorideiparametri il SL ècompatibileescrivernel insieme Σ dellesoluzioni Soluzione Il SL ha matrice dei coefficienti A = 0 a b a 0 a b a 0 Tale matrice ha determinante nullo [come del resto tutte le matrici antisimmetriche di ordine dispari] Dunque rg(a Poiché a 0, A possiede ad esempio il minore non nullo a b 0 a = a Dunque rg(a =, a, b R Dal teorema di Rouché-Capelli, il SL ècompatibilepertuttiesoliivaloric R per cui la matrice completa M = 0 a b c a 0 a c b a 0 0 del SL ha rango Risulta: a b c { c =0 rg(m = 0 a c =0 a( bc ac =0 ac(a + b =0 a 0 0 b = a Pertanto il SL ècompatibile c =0 oppure b = a ( 0 Inentrambiicasiha 3 = soluzioni Sia c =0 Intalcasoil SL èomogeneoedèadesempioequivalenteal SLO(, 3,R formato dalle prime due equazioni del SL dato Le sue soluzioni sono proporzionali a ( a b 0 a, 0 b a a, 0 a a 0 = ( a, ab, a Dunque Σ= (a, ab, a Sia ora b = a ( 0 Ancheintalcasoil SL èequivalenteal SL(, 3,R formato dalle prime due equazioni del SL dato, cioè { { ay az = c y z = c a ovvero ax+ az = c, x + z = c a Posto x = t, siottiene z = c a + t e y = t Dunque Σ= { (t, t, c a + t, t R} 347 Èassegnatoil SLO(, 3,R: { bx+ ay =0 dipendente da due parametri a, b R y + az =0, Risolvere tale SLO, alvariaredeiparametri Soluzione La matrice dei coefficienti del SLO ( è b a 0 A = 0 a

CAP 3 ESERCIZI 37 Ovviamente rg(a [infatti A( = 0] Risulta: rg(a = b a 0 = a 0 a =0 b = a =0 a = b =0 Se (a, b (0, 0, rg(a = ed il SLO ha soluzioni, proporzionali all autosoluzione ( a 0 a, b 0 0 a, b a 0 = ( a, ab, b Pertanto l insieme delle soluzioni è il sottospazio vettoriale di R 3 : Σ 0 = ( a, ab, b Se (a, b =(0, 0, rg(a = ed il SLO dato si riduce al SLO(, 3,R { y =0 In tal caso il SLO ha soluzioni, date dal sottospazio vettoriale di R 3 : Σ 0 = (, 0, 0, (0, 0, x + x 3 + x 5 = 348 Risolvere il seguente SL(3, 5,Z 3 : x + x 3 = x + x 4 + x 5 = 0 Quante sono le sue soluzioni? Determinare una base dello spazio delle soluzioni del SLO associato Soluzione La matrice del SL è A = 0 0 0 0 0 3,5 (Z 3 0 0 Risulta rg(a = 3 [in quanto ad esempio le prime tre colonne sono linearmente indipendenti] Ne segue che il SL ècompatibile Per calcolarne le soluzioni poniamo x 4 = t, x 5 = s, con t, s Z 3 Allora x + x 3 = s = + s x + x 3 = x = t s = t + s Dalla terza equazione, x = (t + s Sostituendo nella prima, x 3 = + s (t + s =+t Infine, sostituendo nella seconda, x = (+t =+ t L insieme delle soluzioni è quindi Σ={ ( (t + s, + t, +t, t, s, t, s Z 3 } Il SL dato ha esattamente 9 soluzioni [ottenute facendo variare t, s in Z 3 ] Una soluzione di tale SL è (0,,, 0, 0 Sottraendo tale soluzione a Σ si ottengono le soluzioni del SLO associato: Σ 0 = { ( (t + s, t, t, t, s, t, s Z 3 } = (,,,, 0, (, 0, 0, 0, 349 Èassegnatoilseguente SL(3, 3,Z 3, dipendente da un parametro a Z 3 : x + z = a x + y + z = a x + z = +a Determinare per quali eventuali a Z 3 Soluzione Il SL ha matrice dei coefficienti A = 0 0 il SL ècompatibileecalcolarnelesoluzioni Risulta: det(a = 8 = 6 = 0 Pertanto rg(a Ad esempio A contiene la sottomatrice invertibile

38 G CAMPANELLA APPUNTI DI ALGEBRA PER INFORMATICA Ne segue che rg(a =, a Z 3 B = A(,, = Risulta: ( 0 il SL è compatibile la matrice completa del SL ha rango Per a il SL è incompatibile ènullol orlatodi B con la colonna dei termini noti 0 a a =0 (a + 4 a = 0 a = 0 a + Sia a = In tal caso il SL ha [= 3] soluzioni Per ottenere tali soluzioni eliminiamo la terza equazione del SL eponiamo z = t ( Z 3 Si ottiene il SL { x = t che, risolto, fornisce x = +t, y = e pertanto 340 x + y = t, Σ= { (+t,, t, t Z 3 } = { (,, 0, (0,,, (,, } Èassegnatoil SL(3, 3,R: dipendente da due parametri a, b R Soluzione ax y + bz = a x bz =0 ax+y = b, La matrice dei coefficienti del SL è A = a b 0 b a 0 Risolvere tale SL, alvariaredeiparametri Risulta: rg(a 3 [infatti A(, 3, = 0] Siha: Se a 3 Sia b =0 Risulta: rg(a = det(a =0 b ( + 3 a =0 b =0 oppure a = 3 e b 0, det(a( il SL ècompatibile,conun unicasoluzione,datadallaformuladicramer: a b 0 0 b b 0, a a b 0 b a b 0, a a 0 0 a b Intalcaso rg(a = elamatricecompletadel SL è a 0 a M = 0 0 0 a 0 0 rg(m = a a 0 0 =0 a =0 a =0 a 0 Dunque, se b =0 e a 0 il SL è incompatible Se invece a = b = 0, il SL ha soluzioni Per ottenerle eliminiamo la prima equazione del SL Il SL si riduce al SLO(, 3, R { x =0 avente come spazio delle soluzioni e 3 R 3 y =0, Sia infine b 0 e a = 3 Risulta: Anche in tal caso rg(a = elamatricecompletadel SL è M = 3 b 3 0 b 0 3 0 b

CAP 3 ESERCIZI 39 3 3 rg(m = 0 0 3 b =0 b = 4 3 Dunque, se a = 3, b 4 3 il SL è incompatible Se invece a = 3, b =a, il SL ha soluzioni Per ottenerle eliminiamo la prima equazione del SL Il SL si riduce al SL(, 3,R { x + 4 3 z =0 3 x +y = 4 3 Posto z = t, si ottiene che le soluzioni del SL sono date dall insieme Σ= { ( 4 3 t, 4 3 8 9 t, t, t R} 34 Al variare dei parametri a, b R, risolvereilseguentesl(,,r { ax + by = a b Soluzione Calcoliamo rg(a bx + ay = b a La matrice A dei coefficienti e la matrice completa M del SL sono rispettivamente ( ( a b a b a b A =, M = b a b a b a Si ha: rg(a =0 a = b =0; rg(a = det(a =0 e (a, b (0, 0 a = b e (a, b (0, 0 b = ±a e a 0; rg(a = det(a 0 b ±a ( 0 0 0 Sia rg(a =0 Intalcaso M = equindianche rg(m =0 Il SL ècompatibile 0 0 0 eha 0 = soluzioni Pertanto l insieme delle soluzioni èlospaziovettoriale Σ 0 = R Sia rg(a = Vannodiscussiduecasi: b = a, a 0; b = a, a 0 ( a a 0 Nel primo caso, M = equindianche rg(m = Il SL ècompatibileesiriduceal a a 0 SLO(,,R { ax + ay =0, chehasoluzioni Σ 0 = {(t, t, t R} = (, ( a a a Nel secondo caso, M = equindianche rg(m = Il SL ècompatibileesi a a a riduce al SL(,,R { ax ay =a,chehasoluzioniσ={( + t, t, t R} Sia rg(a = Dunque Σ = {(, } In tal caso il SL ha un unica soluzione, che si ottiene con la formula di Cramer: a b b b a a a a b b b a x = a b =, y = b a a b = b a

ESERCIZI PROPOSTI Capitolo 4 4 Sia V = V 3 R,conbaseE = ( e e e 3 Sono assegnati in V itrevettori u = e e, u = e e 3, u 3 = e 3 + e (i Verificare che F = ( u u u 3 èunabasedi V (ii Esprimere in base F il vettore v = e +e +3e 3 (iii Scrivere la formula di cambiamento di coordinate di vettore dalla base E alla base F (iv Esiste in V un vettore non nullo avente le stesse coordinate nelle due basi? Soluzione (i Si ha: F = EB, con B = 0 0 0 Poiché det(b 0, allora B GL 3 (R equindif èunabasedi V (ii Si ha: v = E = Fy = EBy edunque By = 3 3, cioè y + y 3 = y + y = y + y 3 =3 Per ottenere le coordinate di v in base F basta risolvere tale SL Utilizzando la formula di Cramer, si ottiene la soluzione (, 0, 3 Dunque v = u +3u 3 (iii Se v = Ex = Fy, la formula richiesta è y = B x Risulta: B = Quindi y = (x x x 3 y = (x + x x 3 y 3 = (x + x + x 3 (iv Sia v = Ex un vettore non nullo Tale vettore ha le stesse coordinate rispetto alle due basi Ex = Fx Ex = EBx x = Bx (B I 3 x =0 Dunque un tale vettore esiste il SLO(3, 3,R (B I 3 X =0 ammette autosoluzioni rg((b I 3 < 3 Ma risulta: B I 3 = 0 0 0 0 e det(b I 3 = 0 0 Dunque nessun vettore non nullo ha le stesse coordinate nelle due basi 4 Sia V = V 3, con base E Sia F = ( f f f R 3 un altra base Indichiamo con x la colonna delle coordinate di un generico vettore v V rispetto alla base E econy la colonna delle coordinate dello stesso vettore rispetto alla base F Determinare la base F in funzione di E, sapendo che y = x x y = x x 3 y 3 = x + x 3 Soluzione Scriviamo i dati dell esercizio in forma matriciale:

4 G CAMPANELLA APPUNTI DI ALGEBRA PER INFORMATICA [Si noti che C GL 3 (R, essendo det(c =] tale che F = EB Si ha: Da x = By e y = Cx segue: y = Cx, con C = 0 0 0 v = Ex = Fy = EBy edunque Dobbiamodeterminareunamatrice B GL 3 (R x = By x = BCx, ovvero (I 3 BC x =0, x 3, (R Ciò significa che il SLO(3, 3,R (I 3 BC X =0ammette 3 soluzioni, da cui rg(i 3 BC=0 Pertanto BC = I 3, cioè B = C La matrice B cercata èquindi B = C erisulta: C = Pertanto f = (e e e, f = 3 (e + e e, f = 3 3 (e + e + e 3 NB Potevamo ugualmente ottenere f,f,f 3 risolvendo ordinatamente i tre SL(3, 3,R: x x = x x 3 =0 x + x 3 =0, x x 3 = x + x 3 =0, (in base E, senza usare il linguaggio matriciale, x x =0 x x =0 x x 3 =0 x + x 3 = 43 Siano {e,e,e 3 } e {f,f,f} due basi di uno spazio vettoriale V = V 3 Sia: R 3 f = e e, f = e + e 3, f =e 3 + e Assegnato il sottospazio vettoriale W = e e 3,e + e 3, determinarne un sistema di generatori espresso rispetto alla base {f,f,f} 3 Soluzione Sia E = ( e e e ( 3 ed F = f f f 3 Risulta: F = EC, con C = 0 0 0 Risulta inoltre: ( e e 3 e + e 3 = EB,conB = 0 0 Pertanto ( e e 3 e + e 3 = FC B Iduegeneratoridi W in base F hanno coordinate date dalla matrice C B Si ha: C = 3 0 0 3 e C B = 3 0 0 3 0 0 = 0 3 0 3 Dunque W = f, 3 f + f + 3 f 3 44 Sono assegnate in V = (R le quattro matrici ( ( 0 J =, J 0 0 =, J 0 0 3 = (i Verificare che {J,J,J 3,J 4 } èunabasedi V ( 0, J 4 = (

(ii Esprimere in tale base la matrice A = CAP 4 ESERCIZI 43 ( 3 4 Soluzione (i Si consideri la base canonica {E,E,E,E } di V = (R Posto: risulta: Poiché C GL 4 (R, F èunabasedi V = (ii Ovviamente Si ponga: Allora: ovvero: E =(E E E E, F =(J J J 3 J 4, 0 F = EC, con C = 0 0 0 0 0 (R A =E +E +3E +4E = E 3 4 y y A = Fy, con y = y 3 y 4 4, (R A = Fy = ECy = E edunque Cy =, 3 3 4 4 y + y + y 3 + y 4 = y + y 3 + y 4 = y 3 + y 4 =3 y 4 =4 Risolvendo tale SL (a scala si ottiene y 4 =4,y 3 = y = y = e pertanto A = J J J 3 +4J 4 45 Sia V = V 3 R,conbaseE Siano f,f V tali che f = e e + e 3, f = e + e 3 Verificare se esiste una base F = ( f coordinate (,, ed in base F coordinate (0,, f f 3 tale che un vettore v V abbia in base E Soluzione Indichiamo con f un vettore non noto, avente coordinate (a, b, c R 3, in base E Se 3 tale vettore esiste ed èlinearmenteindipendenteda f,f, otterremo una base F = ( f f f 3, con F = EC,dove C = 0 a b GL 3 (R c Deve risultare Ne segue v = E = F 0 = EC 0

44 G CAMPANELLA APPUNTI DI ALGEBRA PER INFORMATICA = C 0 a =, cioè +b = +c = Tale sistema ammette la soluzione (a, b, c =(, 0, 0 Per concludere basta verificare che la matrice C ottenuta con tali valori dei parametri è invertibile [si verifica infatti che det(c = ] Pertanto il problema ammette l unica soluzione f 3 = e 46 Rifare l Esercizio 55 Soluzione Sia E = ( e e ( ed F = f f Dai dati assegnati: ( F = EC, con C = Poiché det(c 0, F èunabasedi V Pertanto Si ha: Risulta: E = FC e C = 5 ( e = 5 (f +f e, = 5 ( f + f v = E Pertanto v ha coordinate ( 3 5, 5 in base F ( ( = FC = F ( 3 5 5 47 In V = V 5 R,conbaseE, èassegnatoilsottospaziovettoriale U = u,u,u 3,con u = e e + e 5, u =e e 3 + e 4, u 3 = e + e 3 e 4 +e 5 Determinare equazioni cartesiane di U, cioè un SLO in cinque incognite ed a valori in R, le cui soluzioni siano tutte e sole le coordinate dei vettori di U, in base E Soluzione Risulta: 0 ( 0 - u u u 3 = EB, con B = 0 0 0 Poiché, come si verifica, B (,B ( sono linearmente indipendenti e B (3 =B ( B (, allora rg(b = Pertanto dim(u = edunabasedi U èadesempio {u,u } Sia ora v = Ex V Siha: v U u,u,v sono linearmente dipendenti rg( ( B ( B ( x < 3 rg( ( B ( B ( x = Poniamo A := ( B ( B ( x Fissiamo ad esempio la sottomatrice A(4, 5, ed annulliamone gli orlati Otteniamo un SLO(3, 5, R cercato: x 0 x 0 x 3 0 x 4 = 0 x 4 = 0 x 4 =0, 0 x 5 0 x 5 0 x 5 cioè x x 4 x 5 =0 x + x 5 =0 x 3 + x 4 =0

CAP 4 ESERCIZI 45 4 Siano V, W due K-spazi vettoriali di dimensione n, conbasirispettivamentee, F Sia T : V W un applicazione lineare avente matrice A, rispettoallebasie, F Verificare che T è un isomorfismo A GL n (K Soluzione Poiché dim(v = dim(w [= n], sappiamo che T è un isomorfismo Ker(T ={0} Ivettoridi Ker(T sonorappresentatidallesoluzionidelslo(n, n, K AX =0 Ker(T ={0} AX =0 non ha autosoluzioni Pertanto n rg(a =0 A GL n (K 4 Sia E la base canonica di R 3 e sia F = ( f f =(, 0,, f Sia T : R 3 R 3 un operatore lineare tale che f =(0,,, f 3 f 3,3 (R 3, con =(,, 0 T (f =(, 0, 0, T(f =(,, 0, T(f =(,, 3 Determinare la matrice A di T rispetto alla base canonica E Soluzione Idatiassegnatinell eserciziosonoiseguenti: ( F = EC, con C = 0 0 [si noti che C GL 3 (R e quindi F èunabasedi R 3 ]; 0 ( ( T (f T (f T (f = EB, con B = 0 3 0 0 Bisogna determinare A Da F = EC segue E = FC Ne segue: 3(R tale che ( T (e T (e T (e 3 = EA Allora T (e i =T ((F C (i = ( T (f T (f T (f C 3 (i ( T (e T (e T (e 3 = ( T (f T (f T (f C =(EB C = E (BC 3 La matrice richiesta èquindi A = BC Risulta: C = equindi A = BC = 0 0 NB Usando la formula di definizione T (F =EB e la formula di cambiamento di base F = EC, si ha subito: edunque A = BC T (E =T (F C =T (F C =(EBC = E(BC 43 Siano S : R 3 R 5 e T : R 5 R 3 applicazioni lineari così definite: S ( (a,a,a 3 =(0,a,a,a 3, 0, T ( (b,b,b 3,b 4,b 5 =(b,b 3,b 5, (a,a,a 3 R 3, (b,b,b 3,b 4,b 5 R 5 (i Scrivere le matrici di T S edi S T rispetto alle basi canoniche E di R 3 ed F di R 5 (ii Verificare se Ker(T S e Im(T S sono supplementari in R 3 ese Ker(S T e Im(S T lo sono in R 5 Soluzione (i Rispetto alle basi canoniche, S e T hanno rispettivamente matrici:

46 G CAMPANELLA APPUNTI DI ALGEBRA PER INFORMATICA 0 0 0 0 0 A = 0 0, B = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Ne segue che l operatore lineare T S : R 3 R 3 ha matrice (in base E BA = 0 0 0 0 0, 0 0 0 mentre l operatore lineare S T : R 5 R 5 ha matrice (in base F 0 0 0 0 0 0 0 0 0 AB = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (ii I vettori di Ker(T S sono le soluzioni del SLO(3, 3,R BAX =0, che si riduce a { x =0 Una base di Ker(T S èdataquindida {e,e 3 } Im(T S ègeneratodaivettorilecuicoordinatesonolecolonnedi BA Dunque Im(T S ha base {e } I due sottospazi sono supplementari Ker(S T è invece descritto dal SLO(5, 5,R ABX =0, cioè y =0 y 3 =0 y 5 =0 Una base di Ker(S T èdatada {f,f} Invece Im(S T ha come base {f,f,f} I due 4 3 4 sottosfpazi Ker(S T, Im(S T nonsonosupplementari[l intersezioneè f,f ] 4 44 Èassegnatalamatrice A = 0 0 3,4 (R Sia T : R 4 R 3 l applicazione 0 lineare definita dalla matrice A, rispettoallebasicanonichee di R 4 ed F di R 3 Sia poi S : R 3 R 4 l applicazione lineare definita (sempre rispetto ad F ed E dallamatrice t A Determinare la matrice dell operatore lineare S T di R 4 (rispetto ad E e calcolare dimensioni ebasidi Ker(S T eim(s T Soluzione L operatore S T ha matrice 0 0 B = t AA = 0 3 0 0 = 0 3 0 3 0 3 6 Calcoliamo rg(b Osserviamo che rg(a = [infatti A (3 = A ( + A ( ] Dunque rg(b =rg( t AA min{rg( t A, rg(a} = min{, } =, cioè rg(b ( Poiché B contiene ad esempio la sottomatrice quadrata invertibile B(,, =,allora rg(b = Ivettoridi Ker(S T sonolesoluzionidelslo(4, 4,R BX = 0 Risulta quindi: dim(ker(s T = 4 rg(b = Il SLO BX = 0 è equivalente al SLO(, 4,R formato dalle sole prime due equazioni, cioè { x + x + x 3 +3x 4 =0 x +x x 3 =0 Posto x 3 = t, x 4 = s, siottieneilsl(,,r { x + x = t 3s x +x = t

Con la formula di Cramer, si ottiene CAP 4 ESERCIZI 47 x = t s, x = t + s Pertanto la generica soluzione del SLO è ( t s, t + s, t, s, t, s R Una base di Ker(S T èadesempio {(,,, 0, (,, 0, } Dal teorema della nullità piùrango, dim(im(s T = 4 = Unabasedi Im(S T è ottenuta ad esempio dalle prime due colonne di B (linearmente indipendenti Dunque una base di Im(S T è {(,,, 3, (,,, 0} 45 Siano V = V 3 e W = W 4, con basi rispettivamente E ed F Sia T : V W definito R R rispetto a tali basi dalla matrice 0 0 0 0 A = 4,3 (R 0 0 0 Sia W il sottospazio vettoriale di W generato dai vettori w,w, aventi in base F rispettivamente coordinate (, 0,,, (,, 0, Determinare una base e la dimensione di T (W Soluzione Iduevettori w,w sono linearmente indipendenti Infatti la matrice 0 B = 0 delle loro coordinate (in base F harango Si ha: v T (W T (v W T (v w,w w,w,t(v sonolinearmentedipendenti Se v = Ex, con x = Pertanto x y z v T (W, allora T (v in base F ha coordinate 0 0 0 0 x y = 0 0 z 0 la matrice x z y y + z x 0 z ha rango 0 y y + z Orliamo il minore formato dalla seconda e terza riga di B Si ottiene che T (W èdescrittodal SLO(, 3,R x 0 z 0 z =0, 0 y =0, 0 y y + z ovvero { x + y z =0 y =0 Tale SLO ha soluzioni proporzionali a (, 0, Pertanto dim(t (W = e 46 Sia V = V 4 R T (W = e + e 3 con base E Sia T : V V un operatore lineare avente in base E matrice

48 G CAMPANELLA APPUNTI DI ALGEBRA PER INFORMATICA 0 0 A = 0 0 4(R 0 Sia U il sottospazio vettoriale di V generato dai tre vettori e + e 4,e e 3,e e 4 (i Determinare la dimensione ed una base di T (U (ii Determinare equazioni cartesiane di T (U, cioè un SLO in quattro incognite le cui soluzioni sono le coordinate dei vettori di T (U Soluzione (i T (U ègeneratodaitrevettori T (e + e 4,T(e e 3,T(e e 4, le cui coordinate in base E sono rispettivamente 0 0 0 0 0 3 A =, A =, A = 0 0 3 0 0 0 La matrice formata dalle coordinate di questi tre vettori èquindi 0 0 3 B = 0 3 0 Le ultime due colonne di B sono linearmente indipendenti e quindi rg(b = Nesegueche dim(t (U = e T (U habase e +e 3 e 3 e 4, e +3e e 3 +e 4 (ii Per ottenere un SLO le cui soluzioni sono le coordinate dei vettori v T (U, basta imporre la condizione che v, T(e e 3,T(e e 4 siano linearmente dipendenti Se v = Ex, bisognaimporre che x rg( ( x B ( B x (3 =, cioè che rg 3 x 3 3 = x 4 cioè Orlando la sottomatrice B(,, 3 si ottiene il SL(, 4, R x x x 3 = x 3 =0, x 3 3 x 4 { 5 x 5 x 5 x 3 =0 0 x 5 x 4 =0, ovvero { x x x 3 =0 x x 4 =0 NB Si noti che un altra base di T (U (convettoripiùsempliciè ottenuta risolvendo tale SLO {e e 3,e + e +e 4 }, 47 Sia T un applicazione lineare da V = V 3 a W = W 4 che, espressa rispetto alle basi E = R R ( e e e ( 3 di V ed F = f f f f di W,èdefinitada 3 4 T (e =f f, T(e =f f, T(e 3 3 =f f 3 4 (i Scrivere la matrice A e le equazioni di T, rispetto alle basi E, F Calcolare poi equazioni cartesiane e basi di Ker(T ediim(t (ii Sia S : W V l applicazione lineare definita dalla matrice B = t A, rispetto alle basi F, E Determinare la formula di definizione e le equazioni di S, rispettoallebasif, E Calcolare poi equazioni cartesiane e basi di Ker(S ediim(s (iii Determinare matrice ed equazioni di T S Calcolare poi equazioni cartesiane e basi di Ker(T S ediim(t S

CAP 4 ESERCIZI 49 Soluzione (i Si ha: 0 0 0 T (E =FA, con A = 0 0 0 T ha equazioni y = Ax, cioè y = x y = x + x y 3 = x + x 3 y 4 = x 3 Il sottospazio Ker(T haequazionicartesianedatedalslo(4, 3, R AX = 0, cioè x =0 x + x =0 x + x 3 =0 x 3 =0 Poiché, come subito si verifica, rg(a = 3, allora dim(ker(t = 3 rg(a = 3 3 = 0 Ker(T = 0, cioè T è iniettiva Dunque Il sottospazio Im(T ègeneratodaitrevettori T (e,t(e,t(e 3 ed ha dimensione rg(a =3 Pertanto tali vettori sono una base di Im(T Per ottenere equazioni cartesiane di Im(T basta imporre la condizione che si traduce in rg( ( A y =3, det( ( A y =0 Risulta: det( ( A y 0 0 y 0 y = = y 0 y 3 + y + y 3 + y 4 0 0 y 4 Dunque Im(T haequazionecartesiana y + y + y 3 + y 4 =0 (ii Poiché S ha formula di definizione B = S(f =e, S(f = e + e, Le equazioni di S sono date da x = By, cioè 0 0 0 0, 0 0 S(f = e 3 + e 3, x = y y x = y y 3 x 3 = y 3 y 4 S(f = e 4 3 Il sottospazio Ker(S haequazionicartesianedatedalslo(3, 4, R BY = 0, cioè y y =0 y y 3 =0 y 3 y 4 =0 Risulta: dim(ker(s = 4 rg(b = 4 3 = Risolvendoilprecedente SLO, si ottiene l autosoluzione (,,, Dunque Ker(S = f + f + f + f 3 4 Il sottospazio Im(S ègeneratodaiquattrovettori S(f, S(f, S(f, S(f Poiché rg(b = 3 3 4 e ad esempio le prime tre colonne di B sono linearmente indipendenti, una base di Im(S èdata dai tre vettori S(f, S(f, S(f Ma una base più semplicedi Im(S si ottiene osservando 3 che Im(S =V edunquecheunabasedi Im(S èdatada e, e, e 3 Si noti infine che Im(S

50 G CAMPANELLA APPUNTI DI ALGEBRA PER INFORMATICA non ha equazioni cartesiane [ovvero ha equazione cartesiana 0 = 0, corrispondente alla condizione rg( ( B x =3, identicamenteverificata] (iii L applicazionelinearet S : W W ha, rispetto alla base F di W, matriceab [infatti (T S(F =T (S(F = T (EB=T (E B =(FAB = FAB] Risulta: 0 0 0 AB = 0 0 0 Le equazioni di T S traducono in base F l uguaglianza vettoriale w = (T S(w Posto w = Fy e w = Fy, le equazioni cercate sono date da y = ABy, cioè y = y y y = y +y y 3 y 3 = y +y 3 y 4 y 4 = y 3 + y 4 Il sottospazio Ker(T S haequazionicartesianedatedalslo(4, 4, R AB Y = 0, cioè y y =0 y +y y 3 =0 y +y 3 y 4 =0 y 3 + y 4 =0 Si verifica subito che rg(ab = 3 Nesegueche dim(ker(t S = 4 3 = Perottenereuna base di Ker(T S èsufficientedeterminareun autosoluzionedelprecedente SLO Basta quindi estrarre dalle prime tre righe di AB (linearmente indipendenti i quattro minori di ordine 3, a segni alterni Si ottiene l autosoluzione (,,, Dunque Ker(T S = f + f + f f 3 4 Il sottospazio Im(T S hadimensionedatadarg(ab =3 Adesempioleprimetrecolonnedi AB sono linearmente indipendenti Quindi una base di Im(T S èdatada {(T S(f, (T S(f, (T S(f } 3 Un sistema di equazioni cartesiane di Im(T S èottenutadallacondizione rg( ( AB y =rg(ab [= 3] Eliminando la quarta colonna di AB, talecondizioneequivaleall annullamentodelseguentedetermi- nante: 0 y y = y 0 y 3 + y + y 3 + y 4 0 0 y 4 Dunque Im(T S haequazionecartesiana y + y + y 3 + y 4 =0 NB Si può rilevareche Im(T eim(t S hannolastessaequazioneedunquecoincidono Tale fatto non ècasuale Infatti, essendo S un applicazione suriettiva, si ha: Im(T S =(T S(W = T (S(W = T (V =Im(T 48 In R 3,conbasecanonicaE, sonoassegnatiiduesottospazivettoriali: U, rappresentatodalslo(, 3,R { x x =0; W,rappresentatodalSLO(, 3,R { x x 3 =0 Determinare un isomorfismo T : R 3 R 3 tale che T (U =W Esprimere T in base E Soluzione Il problema ha molte soluzioni Ne otterremo una procedendo come segue Per prima cosa determineremo una base {u,u } di U ed una base {w,w } di W Poi completeremo tali basi a basi di R 3,ottenendoduebasi Definiremo poi per linearità, T : R 3 R 3 F = ( u u u, G = ( w w w tale che T (u =w, T(u =w, T(u =w

CAP 4 ESERCIZI 5 T è un isomorfismo [in quanto trasforma una base in un altra base] e risulta, per costruzione, T (U =W Infine rappresenteremo T rispetto ad E Risolvendo il SLO(, 3,R { x x =0 si ottiene ad esempio la base di U {u =(,, 0, u =(0, 0, } Un ulteriore vettore u u,u èadesempio u =(, 0, 0 Dunque F = ( u u u = EC, con C = 0 0 0 GL 3 (R 0 0 Risolviamo ora il SLO(, 3,R { x x 3 =0 {w =(, 0, 0, w =(0,, } Si ottiene ad esempio la base di W Un ulteriore vettore w w,w èadesempio w =(0, 0, Dunque G = ( w w w = ED, con D = 0 0 0 0 GL 3 (R 0 Si definisce allora T tale che ( T (u T (u T (u = G = ED Invertendo la formula F = EC si ottiene E = FC, cioè: Quindi e = u, e = u u, e 3 = u T (e =T (u =ED (3, T(e =T (u u =E (D ( D (3, T(e 3 =T (u =ED ( Pertanto T in base E ha matrice: A = ( D (3 D ( D (3 D ( = 0 0 0 0 49 Sia V =(Z [= Z Z ] (i Determinare la cardinalità dell anello End(V [= End Z (V ] degli operatori lineari di V (ii Determinare il gruppo U(End(V degli elementi invertibili di End(V Soluzione (i Lo spazio vettoriale V èformatodaiquattrovettori con 0, Z Dunque V V ha cardinalità 6 (0, 0, (0,, (, 0, (,, Si fissi ora in V la base canonica {e =(, 0, e =(0, } Ènotoche End(V è in corrispondenza biunivoca con V V,tramitel applicazione Segue che End(V = 6 Φ:End(V V V tale che Φ(T = ( T (e,t(e, T End(V (ii Gli elementi di U(End(V sono tutti e soli gli operatori lineari invertibili, cioè gli automorfismi di V Formano un gruppo, usualmente denotato Aut(V Fissata la base canonica di V [sia nello spazio vettoriale di partenza che in quello di arrivo], gli automorfismi di V sono tutti e soli gli operatori lineari individuati dalle matrici invertibili di (Z, cioè dallematricidi GL (Z Si osserva facilmente che { ( ( ( ( ( ( } 0 0 0 0 GL (Z =,,,,, 0 0 0 0 [mentre le altre dieci matrici di (Z hannodeterminantenullo] Le due colonne di tali sei matrici forniscono le immagini rispettivamente dei vettori e,e, nella stessa base Ad esempio, la seconda matrice definisce l automorfismo ϕ : { e e e e,

5 G CAMPANELLA APPUNTI DI ALGEBRA PER INFORMATICA mentre l ultima matrice definisce l automorfismo ϕ 6 : { e e + e e e NB Si noti che (ϕ 3 3 =(ϕ 6 3 = V, mentre (ϕ =(ϕ 4 =(ϕ 5 = V Si potrebbe verificare che U(End(V = S 3 40 Siano E ed F due basi di V = V n K, tali che F = EC, con C GL n (K Sia T un operatore lineare di V definito da T (E = F A Determinare la matrice di T rispetto: - alla base E sia nello spazio vettoriale di partenza che in quello di arrivo, - alla base F sia nello spazio vettoriale di partenza che in quello di arrivo, - alla base F nello spazio vettoriale di partenza ed alla base E in quello di arrivo Soluzione Le matrici richieste sono rispettivamente le matrici B,B,B 3 3(K tali che: Si ha: T (E =EB, T(F =FB, T(F =EB 3 T (E =FA=(ECA = E(CA e quindi B = CA; T (F =T (EC=T (EC =(FAC = F (AC e quindi B = AC; T (F =T (EC=T (EC =(FAC = F (AC=(EC(AC=E(CAC e quindi B 3 = CAC 4 Sono assegnati i due spazi vettoriali V = V n,conbasie ed E K tali che E = EC; W = W m,conbasif ed F K tali che F = FD Sia T : V W un pplicazione lineare avente matrice A m,n (K, rispetto alle basi E ed F Qual è la matrice di T rispetto alle basi E ed F? Soluzione La formula di definizione assegnata è T (E =FA equellacercataè T (E =F A, con A m,n (K dadeterminare Siha(tenutocontocheF = F D : T (E =T (EC=T (E C = FAC=(F D AC = F (D AC Pertanto la matrice richiesta è A = D AC 43 Sia T : V n K V n K un operatore lineare (i Verificare che, se λ èunautovaloredi T, λ èunautovaloredi T (ii Èveroche,se T èdiagonalizzabile,anche T lo è? (iii Èveroche,se T èdiagonalizzabile,anche T lo è? Soluzione (i Sia v un autovettore di T associato a λ [T (v = λv] Si ha: T (v =T (T (v = T (λv=λt(v =λ v Ne segue che v èunautovettoredi T associato a λ Pertanto λ èunautovaloredi T (ii Sia F una base di autovettori di T In base F T ha matrice diagonale D Nella stessa base F, T ha matrice D,anch essadiagonale PertantoT èdiagonalizzabile (iii La risposta ènegativa Loproviamoconilseguenteesempio Sia T : R R l operatore lineare definito (rispetto alla base canonica E di R dallamatrice ( 0 A = 0 0 L operatore T non è diagonalizzabile: infatti ha il solo autovalore 0 con molteplicità geometrica [in quanto E 0 (T = e ] Si ha invece che T è diagonalizzabile, in quanto (in base E hamatrice

CAP 4 ESERCIZI 53 A = ( 0 0 0 0 [e dunque T = 0, operatorenullo(cheèdiagonalizzabile] 43 Sia V = V n K e T un operatore lineare di V,taleche (i Verificare che 0, sonoautovaloridit T V,T 0 V e T = T (ii Verificare che gli autospazi E 0 (T, E (T sonosottospazivettorialisupplementaridiv Soluzione (i Poiché T V,esistev V tale che T (v v Allora v T (v 0 esiha: T (v T (v = T (v T (v =T (v T (v =0 Pertanto v T (v Ker(T e quindi 0 Λ(T ev T (v E 0 (T Poiché T 0 V,esistev V tale che T (v 0 Pertanto Λ(T et (v E (T Allora T (T (v = T (v =T (v = T (v (ii Ovviamente E 0 (T E (T ={0} Basta quindi verificare che E 0 (T +E (T =V Si ha infatti, v V : e v T (v E 0 (T, mentre T (v E (T v = v T (v+t (v = ( v T (v + T (v NB Si noti che per ottenere un operatore lineare verificante le ipotesi dell esercizio basta determinare una matrice quadrata A 0, I n tale che A = A Ad esempio la matrice A = 0 0 0 0 3(R 0 0 0 433 Al variare di a, b R, sia T : R 3 R 3 l operatore lineare avente matrice A = 0 a b a 0 b b b 0 [rispetto alla base canonica E di R 3 ] Soluzione Per quali a, b R l operatore T èdiagonalizzabile? T ha polinomio caratteristico x a b P T = A xi 3 = a x b b b x = x ( x +(b + a Se a = b = 0, la matrice A ènullaedilpolinomiocaratteristicoè x 3 diagonalizzabile In tal caso T = 0 è Se invece (a, b (0, 0, il fattore x +(b + a di P T è irriducibile Quindi λ =0 èl unico autovalore di T ed ha molteplicità geometrica Pertanto T non èdiagonalizzabile 434 Sia T : R 3 R 3 l operatore lineare definito, rispetto alla base canonica E, dallamatrice dipendente da un parametro reale a A = Soluzione T ha polinomio caratteristico 0 a 0 3 Determinare per quali valori di a T è diagonalizzabile

54 G CAMPANELLA APPUNTI DI ALGEBRA PER INFORMATICA λ 0 P T = λ a 0 3 λ =( λ(λ 4λ +3+ a Un autovalore di T è Gli altri autovalori sono gli eventuali zeri reali del polinomio λ 4λ+3+ a Tale polinomio ammette zeri reali a 0 a Distinguiamo tre casi: a>, a <, a = Se a>, T ha soltanto l autovalore L autospazio E (T ha equazioni cartesiane date dal SLO (A I 3 X =0 Si verifica subito che la matrice A I 3 ha rango Pertanto la molteplicità geometrica dell autovalore è d =3 = Nesegueche T non èdiagonalizzabile NB Si osservi che ha molteplicità algebrica h = Dunquenecessariamente d = Se a<, T ha tre autovalori distinti: a,, + a Intalcaso T èdiagonalizzabile Se a =, T ha polinomio caratteristico P T =( λ(λ 4λ +4= (λ 3 equindi T ha soltanto l autovalore L autospazio E (T haequazionicartesianedatedalslo (A I 3 X =0 Poiché la matrice ha rango, allora d =3 = A I 3 = 0 0 0 Segueche T non èdiagonalizzabile 435 Sia T : R 4 R 4 l operatore lineare definito, rispetto alla base canonica E, dallamatrice 5 0 4 4 0 5 6 4 A = 0 0 3 8 0 0 3 Determinare gli autovalori di T e, se esiste, una base di autovettori di T Soluzione Il polinomio caratteristico è 5 x 0 4 4 0 5 x 6 4 P = A xi 4 = = 0 0 3 x 8 5 x 0 0 5 x 3 x 8 3 x = 0 0 3 x Pertanto = (5 x ( (9 x 6 = (5 x =(x 5 (x +5 Λ(T ={5, 5} Inoltre ognuno dei due autovalori ha molteplicitàalgebrica Pertantol operatoret èdiago- nalizzabile entrambi gli autovalori hanno molteplicità geometrica Calcoliamoquindiidue autospazi Per ottenere una base di E 5 (T bastarisolvereilslo(4, 4,R aventematrice 0 0 4 4 0 0 6 4 B := A 5 I 4 = 0 0 8 0 0 8 Si verifica subito che rg(b = [infatti B (3 = B ( B ( e B (4 = B (3 ] Ne segue che il SLO ha soluzioni Per ottenerle riduciamo il SLO dato al SLO(, 4,R (equivalente formato dalle sole prime due righe di B, cioè { 0 x +4x 3 +4x 4 =0 0 x +6x 3 4 x 4 =0 Posto x = t, x = s, si ottiene: x 3 =t, x 4 = t Una coppia di autovettori (indipendenti associati a 5 èadesempio v =(0,, 0, 0, v =(, 0, 4, Per ottenere invee una base di E 5 (T bastarisolvereilslo(4, 4,R aventematrice

CAP 4 ESERCIZI 55 0 0 4 4 0 0 6 4 C := A +5I 4 = 0 0 8 8 0 0 Anche C ha rango [infatti C (4 = C (3,C ( = C (3 ] Due righe di C linearmente indipendenti sono C (,C (3 ed il SLO dato si riduce al SLO(, 4,R daesseformato,cioè { 0 x +0x +6x 3 4 x 4 =0 8 x 3 +8x 4 =0 Posto x = t, x = s, si ottiene: x 3 = t s, x 4 = t + s Una coppia di autovettori (indipendenti associati a 5 èadesempio v 3 =(, 0,,, v 4 =(0,,, In base F = ( v v v 3 v 4 l operatore T ha matrice diagonale 5 0 0 0 0 5 0 0 D = 0 0 5 0 0 0 0 5 436 Èassegnatal applicazionelineare T : R 3 R definita, rispetto alle basi canoniche dei due spazi vettoriali, dalla matrice ( 0 a A =,dipendentedaunparametroa R 0 a Sia S : R R 3 l applicazione lineare definita dalla matrice t A (sempre rispetto alle basi canoniche Determinare per quali eventuali a R l operatore lineare S T non èdiagonalizzabile Soluzione L operatore lineare S T : R 3 R 3 ha matrice (rispetto alla base canonica E di R 3 t AA= 0 0 ( a 0 a = 0 0 0 0 a + a 0 a a 0 a a + Il polinomio caratteristico di S T è x 0 0 P = 0 a + x a 0 a a + x = x [ (a + x 4a ] = Pertanto = x [ (a + x a(a + x +a ] = x ( (a x ( (a + x Λ(S T ={0, (a, (a + } Se i tre autovalori 0, (a, (a + sono a due a due distinti, l operatore èovviamentediagonalizzabile Si ha: (a =(a +, itreautovalorinonsono a due a due distinti vale una delle tre condizioni (a =0, (a + =0 Tali condizioni equivalgono nell ordine a: a =0,a=,a= Esaminiamo allora la diagonalizzabilità di S T,per a = 0,, (i Sia a =0 Intalcaso S T ha matrice A 0 = 0 0 0 0 0 0 0 La matrice èdiagonaleedunque S T èdiagonalizzabile [anziè già diagonalizzato,rispettoad E] (ii Sia a = Intalcaso S T ha matrice

56 G CAMPANELLA APPUNTI DI ALGEBRA PER INFORMATICA A = 0 0 0 0 0 e Λ(S T ={0, 0, 4} Per decidere se S T èdiagonalizzabileoccorreverificareseladimensione dell autospazio E 0 (S T è BastarisolvereilSLO(3, 3,R A X =0 Tale SLO èequivalenteal SLO(, 3,R { y + z =0, cheha soluzioni, generate ad esempio da (, 0, 0, (0,, Inoltre E 4 (S T = (0,, Dunque una base di autovettori di S T è (iii Sia a = (0,,, (, 0, 0, (0,, In tal caso S T ha matrice A = 0 0 0 0 0 e Λ(S T ={0, 4, 0} Calcoliamo ancora l autospazio E 0 (S T, risolvendo il SLO(3, 3,R A X =0 Tale SLO è equivalente al SLO(, 3,R { y z =0, cheha soluzioni, generate da (, 0, 0, (0,, Inoltre E 4 (S T = (0,, Dunque una base di autovettori di S T è (0,,, (, 0, 0, (0,, Abbiamo provato che l operatore lineare S T èdiagonalizzabile, a R 437 Sia T : R R l operatore lineare definito dai seguenti dati: v =(,, T(v =(,, T (v =(, (i Determinare la matrice A di T rispetto alla base canonica E di R (ii Determinare gli autovalori di T e, se esiste, una base di autovettori di T Soluzione (i Dai dati dell esercizio si osserva che èassegnata (inbase E l immagine di T dei due vettori v, T(v Se quindi F =(v T (v èunabasedi R, T ècompletamenteindividuata, rispetto alle basi F, E Siha: ( F =(v T (v=ec, con C = Essendo C GL (R, F èunabase Siha: T (F = ( T (f T (f =(T (v T (T (v = EB, con B = Ora determiniamo la matrice A tale che Risulta: T (E =EA T (E =T (F C =T (F C =(EBC = E(BC edunquelamatricecercataè A = BC Poiché ( C = 3 risulta: A = BC = ( 3 3 3 (, 3 3 3 3 = ( (ii Il polinomio caratteristico di T è: P T = x x = x + x = x(x + ( Dunque Λ(T ={0, } T ha due autospazi -dimensionali ed èquindidiagonalizzabile Calcoliamo i due autospazi E 0 (T =Ker(T èottenutorisolvendoil SLO { x +y =0 x + y =0 Si ottiene l autosoluzione (, Dunque E 0 (T = (, E (T èottenutorisolvendoil SLO

CAP 4 ESERCIZI 57 { x +y =0 x +y =0 Si ottiene l autosoluzione (, Dunque E (T = (, = T (v NB Che T possedesse l autovalore conautovettoreassociatot (v eraevidentedaidati 438 Sia T : R 3 R 3 l operatore lineare individuato dai seguenti dati: T èdiagonalizzabile, Λ(T ={0, }, E (T = (, 0,, T (W W,conW = (,,, (0,, Determinare la matrice di T rispetto alla base canonica E di R 3 Soluzione Itrevettoriassegnati (cioèigeneratoridi E (T e di W formano un base F di R 3 Infatti F = EC, con C = 0 0, e C GL 3 (R Osserviamo ora che, in base alle due ipotesi f E (T, T (W W, T ha, in base F, matrice del tipo A = 0 0 0 a c, con a, b, c, d R 0 b d Poiché T èdiagonalizzabilee Λ(T ={0, }, allorad 0 + d =3; ma d = equindi d 0 = L autospazio E 0 (T [= Ker(T ] ha perciò dimensione edivettoriditaleautospaziosono ottenuti risolvendo il SLO AX = 0 Dunque 3 rg(a =, cioè rg(a = In A sono quindi nulli tutti i minori di ordine Quindi in particolare 0 0 a = 0 0 c = 0 0 b = 0 0 d = 0, cioè a = b = c = d =0 Si conclude che la matrice A di T in base F è A = 0 0 0 0 0 0 0 0 Ora possiamo calcolare la matrice B di T in base canonica E Risulta: T (E =T (F C =T (F C =(FA C = F (AC =EC(AC =E (CAC Dunque B = CAC Pertanto Risulta: C = 3 4 B = CAC = 3 0 0 0 439 In V = V 3 sono assegnate due basi E = ( e R e e ( 3,F = f, e = f, e 3 = f e = f Sia T : V V l operatore lineare tale che T (f =e e, (i Esprimere T in base E ed in base F + f 3 T(f =e e 3, + f T(f =e 3 3 e (ii Verificare se T èdiagonalizzabileecalcolareunabasediogniautospazio f f 3 tali che:

58 G CAMPANELLA APPUNTI DI ALGEBRA PER INFORMATICA Deter- (iii Sia U il sottospazio vettoriale di V definito in base F dal SLO(, 3,R {y y =0 minare una base di T (U (in base F Soluzione (i Si ha: E = FC, con C = 0 0 0 0 [C èovviamenteinvertibile (infatti det(c =] Inoltre Allora ( T (f T (f T (f 3 = ED, con D = 0 0 0 ( T (f T (f T (f 3 = FCD, con CD = 0 0 In base F, T ha quindi matrice B = CD Per rappresentare T in base E, osserviamoche T (e =T (f =e e 3 T (e =T ( f + f 3 = T (f T (e 3 =T (f + f =T (f Pertanto T in base E ha matrice A = +T (f = e 3 + e + e 3 =e e 3 +T (f 0 0 (ii Per calcolare il polinomio caratteristico di T possiamo usare indifferentemente la matrice B o la matrice A Useremolamatrice B (operando quindi in base F Si ha: x P T = x 0 x = x( + ( + x x = x 3 x = x(x + x Poiché x + è un polinomio irriducibile in R, T non èdiagonalizzabile Inoltre Λ(T ={0} L unico autospazio E 0 (T =Ker(T èottenutorisolvendoil SLO BY = 0, cioè y y + y 3 =0 { y y =0 y y =0 cioè y y 3 =0 y + y =0, Tale SLO ha autosoluzione (,, Dunque E 0 (T = f + f + f 3 (iii Il SLO(, 3,R {y y =0 ha soluzioni Una base di tali soluzioni è {(,, 0, (0, 0, } Dunque Risulta: Allora T (f + f =FB U = f + f,f 3 0 = F 0 = f, T(f =f 3 0 T (U = T (f + f, T(f = f,f = f 3 Una base di T (U èdunque {f } 430 Sia T : R 3 R 3 l operatore lineare definito dai seguenti dati: posto x =(, 0, R 3, T (x =(0,,, T (x =(,, 0, T 3 (x =(0,,

CAP 4 ESERCIZI 59 (i Determinare la matrice A di T rispetto alla base canonica E di R 3 (ii Verificare che T è diagonalizzabile e indicarne gli autovalori (iii Assegnato il sottospazio W = T (x, T (x, determinareunabasedit (W Soluzione (i Èassegnatoilcomportamentodi T sui tre vettori x, T(x, T (x Verifichiamo che tali vettori formano una base Sia F =(x T (x T (x Risulta: F = EC, con C = 0 0 0 Poiché det(c =, F èunabasedi R 3 Risulta, in base ai dati assegnati: T (F =(T (x T (x T 3 (x=ed, con D = 0 0 0 Per esprimere T nella base canonica E, calcoliamoe in funzione di F C = Si ha: T (E =T (F C =T (F C =(ED C = E (DC La matrice A di T in base E èquindi A = DC = 0 0 (ii Risulta: x P T = x 0 x = x( +(+x x = x( x x Risulta: E = FC,con Pertanto Λ(T ={0,, } Poiché T ha tre autovalori distinti (tutti di molteplicità algebrica T èdiagonalizzabile (iii Poniamo ( T (x T (x=eh,conh = 0 0 Ovviamente rg(h = Sia T (v =EAx, conv = Ex, genericovettoredir 3 Si ha: Si ha: v T (W T (v W rg((ax H = rg(h rg((ax H = rg((ax H = x x + x 3 0 x x + x 3 x 0 =0 Tale determinante è identicamente nullo Ciò significa che la condizione rg((ax H = è sempre verificata, v R 3,ovveroche T (W =R 3 Una base di T (W èquindi E NB I calcoli fatti in(iii sono inutili In effetti si sarebbe potuto osservare che W = Im(T [infatti Im(T = T (x, T (x, T 3 (x e T 3 (x =T (x Dunque Im(T = T (x, T (x ] Ogni volta che un sottospazio W contiene Im(T, la sua controimmagine è tutto lo spazio vettoriale di partenza (in questo caso R 3 43 Sia V = V n e sia T : V V l operatore lineare definito, rispetto ad una base E di V, K dalla matrice A n(k Sia T : V V l operatore lineare definito, sempre rispetto ad E, dalla matrice t A (trasposta di A (i Verificare che P T = P T

60 G CAMPANELLA APPUNTI DI ALGEBRA PER INFORMATICA (ii Verificare che T èdiagonalizzabile T èdiagonalizzabile Soluzione (i Si osservi che t A λi n = t A λ t I n = t (A λi n Poiché il determinante di una matrice coincide con quello della sua trasposta, allora P T = t A λi n = t (A λi n = A λi n = P T (ii Da (i segueche Λ(T =Λ(T Basta allora verificare che, λ Λ(T, d λ (T =d λ (T [cioè chelemolteplicitàgeometrichediogniautovalorecoincidono] d λ (T =dim(e λ (T = n rg(a λi n, d λ (T =dim(e λ (T = n rg( t A λi n Siha: Poiché t A λi n = t (A λi n ed il rango di una matrice coincide con quello della sua trasposta, allora da cui d λ (T =d λ (T rg( t A λi n =rg(a λi n, 43 Determinare, in una base opportuna, gli operatori lineari T : R 3 R 3 definiti dalle seguenti tre condizioni: E (T = (, 0,, E 0 (T = (,,, h 0 = [dove h 0 denota la molteplicità algebricadi 0 comeautovaloredi T ] Soluzione Poiché h 0 + h 3 e h 0 =, h, allora necessariamente h 0 + h =3 e h = Dunque T non ha altri autovalori (oltre a 0, e non èdiagonalizzabile [inquanto d 0 =<h 0 = ] Consideriamo i due autovettori v =(, 0,, v =(,, ecompletiamoliadunabasedi R 3 con un terzo vettore Indicata con E la base canonica di R 3, possiamo ad esempio scegliere come terzo vettore e 3 Infatti F = ( v v e 3 = EC e C = 0 0 0 GL 3 (R In base F, T ha matrice del tipo A = 0 a 0 0 b, con a, b, c R, 0 0 c [dove ovviamente T (e 3 =av + bv + ce 3 ] Ora verifichiamo che c =0 Abbiamoduestradedifferentidapoterseguire ( Poiché h 0 =,h =, T ha polinomio caratteristico P T =( x x = x 3 + x T ha quindi traccia [in quanto è il coefficiente di x ] Poiché la traccia è un invariante di T e Tr(A =+c, seguechec =0 ( Poiché A è triangolare superiore,gli autovalori di T (con la relativa molteplicità algebrica si leggono sulla diagonale di A Pertanto sulla diagonale devono comparire, 0, 0 Dunque c =0 Pertanto in base F T ha matrice A = 0 a 0 0 b, con a, b R 0 0 0 Poiché infine dim(ker(t = dim(e 0 (T = e dim(ker(t = 3 rg(a, allora rg(a = Osserviamo che ciò avviene b 0 Concludiamo quindi che, in base F, T ha una delle seguenti matrici

CAP 4 ESERCIZI 6 A = 0 a 0 0 b, a, b R, b 0 0 0 0 433 Sia T un operatore lineare di V = V K,talecheT 3 0 e T 4 = 0 (operatore nullo (i Verificare che Λ(T ={ 0 } (ii Verificare che T non è diagonalizzabile (iii Determinare un esempio di un siffatto operatore T di R 4 Soluzione (i Proveremo prima che, se λ Λ(T, allora λ =0 Poiproveremocheeffettivamente 0 Λ(T Sia λ Λ(T e sia u un autovettore associato Si ha: 0 = T 4 (u =T 3 (T (u = T 3 (λu =λ(t 3 (u = = λ 3 T (u =λ 4 u Da λ 4 u =0 segue che λ 4 =0 equindi λ =0 Si consideri ora un vettore v V tale che T 3 (v 0 Ovviamente T (T 3 (v = T 4 (v =0 Dunque T 3 (v Ker(T =E 0 (T e pertanto T 3 (v èunautovettoreassociatoall autovalore 0 Quindi Λ(T ={ 0 } (ii Poiché T 3 0, necessariamente T 0 Allora Ker(T V Poiché Ker(T èl unico autospazio di T,siconcludechenonesisteunabasediautovettoridiT (iii Si tratta di determinare una matrice A 4(R tale che A 4 =0 ed A 3 0 (matrice nulla Consideriamo ad esempio la seguente matrice triangolare superiore A (con diagonale tutta nulla: 0 0 0 0 0 0 A = 0 0 0 0 0 0 0 Si ha: 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A =, A 3 =, A 4 =0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Dunque l operatore T di R 4 avente (in base canonica matrice A verifica le condizioni richieste (T 3 0, T 4 = 0 434 Èassegnatalamatrice A = 0 0 0 0 0 Verificare che esiste un polinomio non nullo M = M(x =a 0 + a x + a x + a 3 x 3, a coefficienti in R, taleche 3 a i A i =0 i=0 [dove A i denota la i-sima potenza di A e0 denota la matrice quadrata nulla di ordine 3] Confrontare il polinomio M con il polinomio caratteristico P A Soluzione Calcoliamo A e A 3 Si ha: A = 0 0 0 0, A 3 = 0 0 0 0 0 0 0 0 Pertanto:

6 G CAMPANELLA APPUNTI DI ALGEBRA PER INFORMATICA a 0 + a a a 3 a +a 3 0 a 0 I 3 + a A + a A + a 3 A 3 = a a 3 a 0 a a + a 3 0 0 0 a 0 Uguagliando tale matrice con la matrice 0 3(R si ottiene il SLO(9, 4, R a 0 + a a a 3 =0, a +a 3 =0, 0=0 a a 3 =0, a 0 a a + a 3 =0, 0=0 0=0, 0=0, a 0 =0, che èequivalenteal SLO(4, 4,R a 0 =0 a a 3 =0 a 0 + a a a 3 =0 a 0 a a + a 3 =0, cioè a 0 =0 a = a 3 a a a 3 =0 a a + a 3 =0, ovvero a 0 =0 a =0 a = a 3 Tale SLO ha soluzioni ed un autosoluzione è (0,, 0, Dunque il polinomio M cercato è [a meno di un fattore di proporzionalità non nullo]: M = M(x =x + x 3 Si ha quindi M(A =0 [infatti A + A 3 =0, come si controlla subito da dati sopra ottenuti Il polinomio caratteristico P A è x 0 P A = x 0 0 0 x = += x 3 x x(x equindicoincidecon M [a meno di un fattore di proporzionalità nonnullo] Dunque P A (A =0 NB Tale fatto non ècertamentecasuale: perognimatrice A n(k, risulta: P A (A =0 Si tratta di un importante risultato: il teorema di Hamilton-Cayley

ESERCIZI PROPOSTI Capitolo 5 5 Determinare il periodo dell elemento x 30 del gruppo ciclico C 5 = x x 5 = Indicare tutti i generatori del sottogruppo x 30 Soluzione Dividiamo 30 per 5 Si ha: 30 = 5 + 5 e quindi: Allora Il sottogruppo ciclico x 30 èquindi: x 30 =(x 5 x 5 = x 5 = x 5 (x 30 = (x 5 = 5 MCD(5,5 = 5 5 =3 x 30 = x 5 = {, x 5,x 0 } Tale gruppo ha ordine 3 ed ha quindi due generatori: x 5,x 0 5 Determinare il reticolo dei sottogruppi di C 0 Soluzione Sia C 0 = x x 0 = I divisori positivi di 0 sono i seguenti naturali d =,, 4, 5, 0, 0 Esiste in C 0 un unico sottogruppo di ordine d, cioè Si ha quindi: x 0/d = C d x 0/ = x 0 = {}, x 0/ = x 0 = C, x 0/4 = x 5 = C 4, x 0/5 = x 4 = C 5, x 0/0 = x = C 0, x 0/0 = x = C 0 Il reticolo dei sottogruppi di C 0 èquindiilseguente: C 0 = x C 0 x C 0 x 4 x 5 C 5 C 4 x 0 C {} = x 0 {} 53 Determinare i sottogruppi ciclici di S 4 Soluzione S 4 possiede sei 4-cicli Ogni 4-ciclo genera un gruppo ciclico di ordine 4, al cui interno ci sono due 4-cicli (inversi tra loro Dunque S 4 possiede tre sottogruppi C 4 : ( 3 4 = {(, ( 3 4, ( 3( 4, ( 4 3 } = ( 4 3, ( 4 3 = {(, ( 4 3, ( 4( 3, ( 3 4 } = ( 3 4, ( 3 4 = {(, ( 3 4, ( (3 4, ( 4 3} = ( 4 3 Inoltre S 4 possiede otto 3-cicli Ogni 3-ciclo genera un gruppo ciclico di ordine 3, al cui interno ci sono due 3-cicli (inversi tra loro Pertanto S 4 possiede quattro sottogruppi C 3 :

64 G CAMPANELLA APPUNTI DI ALGEBRA PER INFORMATICA ( 3 = {(, ( 3, ( 3 } = ( 3, ( 4 = {(, ( 4, ( 4 } = ( 4, ( 3 4 = {(, ( 3 4, ( 4 3} = ( 4 3, ( 3 4 = {(, ( 3 4, ( 4 3} = ( 4 3 Infine S 4 possiede sei -cicli e tre coppie di -cicli disgiunti Ogni gruppo ciclico di ordine possiede un solo elemento di periodo Dunque S 4 possiede nove sottogruppi C : (, ( 3, ( 4, ( 3, ( 4, (3 4, ( (3 4, ( 3( 4, ( 4( 3 54 Verificare che U(Z 9 èungruppociclicoedeterminarnetuttiigeneratori Soluzione Risulta: Calcoliamo il periodo di Si ha: U(Z 9 ={,, 4, 5, 7, 8} = 4, 3 = 8, 4 = 6 = 7, 5 = 4 = 5, 6 = 0 = Dunque ( = 6 e pertanto U(Z 9 èciclico Si noti che in ogni C 6,se x èungeneratore,l altrogeneratoreè x 5 U(Z 9 è 5 = 5 Dunque l altro generatore di 55 Verificare che un gruppo di ordine 4 non possiede elementi di periodo 3 Dedurne che un gruppo di ordine 4 o èè ciclico o èungruppodiklein [cioèche,amenodiisomorfismi,esistonodue soli gruppi di ordine 4: C 4 e V ] Soluzione [Si noti che la prima affermazione da dimostrare èovvia,sesiassumeacquisitoilteorema di Lagrange Ma a questo punto il teorema di lagrange non lo conosciamo ancora] Sia (G, un gruppo di ordine 4 ed assumiamo, per assurdo, che G ammetta un elemento x di periodo 3 Allora, x,x G Sia y l ulteriore elemento di G Si osserva subito che (y 4 [altrimenti G sarebbe ciclico ed un gruppo C 4 non ha elementi di periodo 3] Inoltre (y 3 [altrimentianche y G equindi G 5] Necessariamente allora (y = Poiché xy G, allora xy coincide con uno degli elementi, x,x,y Ma xy (essendo y x ; xy x (essendo y ; xy x (essendo y x; xy x (essendo y Daciòl assurdo In base a quanto provato sopra, un gruppo non ciclico G di ordine 4 possiede necessariamente tre elementi di periodo Sia quindi G = {, a,b,c}, con (a = (b = (c = Si osserva subito che ab,a,b; analogamente ba,a,b Si conclude che 56 Sia G un gruppo di ordine 6 ab = c = ba G = a, b a = b =,ba= ab = V (i Verificare che G non può possedere cinque elementi di periodo (ii Verificare che G non può possedere tre elementi di periodo 3 Pertanto necessariamente (gruppo di Klein Soluzione (i Supponiamo che esista un gruppo G di ordine 6, formato (oltreché dall unità da cinque elementi x,, x 5 di periodo Verifichiamo che un tale gruppo èabeliano Infatti, i j, x i x j {x,, x 5 } equindihaperiodo Pertanto (x i x j (x i x j = D altraparte (x i x j (x j x i =x i (x j x j x i = x i x i =

Dunque x i x j = x j x i CAP 5 ESERCIZI 65 Ora calcoliamo x x In base alla legge di cancellazione, x x,x,x Allora (eventualmente rinumerando x 3,x 4,x 5 risulta: x x = x 3 Segue (moltiplicando a sinistra per x x x 3 = x equindi(moltiplicandoadestraper x 3 x x 3 = x Ora calcoliamo x x 4 Ovviamente x x 4,x,x 4 Inoltre si ha: x x 4 x [= x x 3 ] e x x 4 x 3 [= x x ] Quindi necessariamente x x 4 = x 5 Ne segue subito che x x 5 = x 4 Infine calcoliamo x x 4 Si ha: x x 4,x,x 4 Inoltre Si ècosìottenutounassurdo x x 4 x [= x x 3 ], x x 4 x 3 [= x x = x x ] e x x 4 x 5 [= x x 4 ] (ii Osserviamo che in ogni gruppo finito G il numero degli elementi di periodo 3 èsemprepari Se infatti x G e (x = 3, allora x x e (x =3 Assumiamoperassurdoche G possegga tre elementi di periodo 3 Allora ne possiede almeno quattro Se G =6, allora G contiene, x,x,y,y, con x, x,y,y di periodo 3 e distinti tra loro Poiché xy G e xy,x,x,y,y, allora xy è il sesto elemento di G Ma anche x y G e anche x y,x,x,y,y Allora x y = xy equindi x =: assurdo 57 Sono assegnati due simboli x, y, legati soltanto dalle seguenti tre relazioni (moltiplicative: x 4 =, y =, yx = x 3 y Ve- Verificare che gli elementi generati da tali simboli sono otto e scriverne la tavola moltiplicativa rificare che formano un gruppo [che èchiamatogruppo diedrale di ordine 8] Soluzione (i G contiene gli elementi, x,x,x 3,y Inoltre contiene i prodotti xy, x y, x 3 y (tutti diversi tra loro Si noti che i prodotti yx k (per k =,, 3 si identificano rispettivamente con gli elementi x 4 k y (in base alla relazione yx= x 3 y Ad esempio si ha: yx =(yxx = x 3 yx= x 3 x 3 y = x 6 y = x y Per verificare che questi otto elementi formano un gruppo basta scriverne la tavola moltiplicativa everificarechechesuciascunarigaecolonnacompaiono(unasolavoltatuttiglielementi x x x 3 y xy x y x 3 y x x x 3 y xy x y x 3 y x x x x 3 xy x y x 3 y y x x x 3 x x y x 3 y y xy x 3 x 3 x x x 3 y y xy x y y y x 3 y x y xy x 3 x x xy xy y x 3 y x y x x 3 x x y x y xy y x 3 y x x x 3 x 3 y x 3 y x y xy y x 3 x x 58 (i Sia G un gruppo abeliano Verificare che l insieme H degli elementi di periodo finito di G èunsottogruppodi G (ii Se invece G non èabeliano, H può nonessereunsottogruppodig affermazione si utilizzino i seguenti dati: Per dimostrare tale

66 G CAMPANELLA APPUNTI DI ALGEBRA PER INFORMATICA G = GL (R, A = Verificare che A, t A H mentre il prodotto A t A H ( G 0 Soluzione (i Sia (G, abelianoesianox, y H, con (x =t, (y =s Allora (xy st = x st y st =(x t s (y s t = s t = Dunque (xy st <, cioé xy H Ovviamente H esepoi x H (e (x =t, anche x H [infatti (x t =(x t = = ] (ii Si ha: A = I =( t A Dunque (A = ( t A= Siaora B = A t A Si ha: ( ( ( 5 3 3 8 B =,B =,B 3 =, 3 8 5 Si noti che (B k, < (B k+,, k Dunque B k I, k, e quindi (B = Ne segue che H non è chiuso rispetto al prodotto e quindi non è un gruppo 5 Determinare le relazioni di equivalenza su G associate alla partizione dei laterali destri ed a quella dei laterali sinistri modulo un sottogruppo H di G Soluzione Ènotodall Osserv di Cap 3 che ad ogni partizione resta associata una relazione di equivalenza, che mette in relazione due elementi se e solo se si trovano in uno stesso insieme della partizione Nel caso della partizione (H, la relazione associata ρ o, più semplicemente, ρ è d H,d d quindi così ottenuta: a, b G, Pertanto ρ d ècosìdefinita: aρ d b Ha = Hb ab H aρ d b ab H, a, b G La relazione di equivalenza associata alla partizione s (H è invece la seguente: aρ s b ah = bh a b H L insieme quoziente G / ρ d coincide quindi con d (H, mentre G/ ρ s coincide con s (H 5 Determinare i sottogruppi ciclici di U(Z 5 ediresetalegruppoèciclico Soluzione (i Si tenga conto che ϕ(5 = ϕ(3 ϕ(5 = 4=8 Risulta: U(Z 5 ={,, 4, 7, 8,, 3, 4} Poiché U(Z 5 =8, glielementidi U(Z 5 possonoavereperiodo,, 4, 8 Calcoliamo tali periodi Si ha: ( = 4 [infatti = 4, 4 = 4 = ]; (4 = [infatti 4 = ]; (7 = 4 [infatti 7 = 49 = 4, 7 4 = 4 = ]; (8 = 4 [infatti 8 = 64 = 4, 8 4 = 4 = ]; ( = [infatti = = ]; (3 = 4 [infatti 3 = 69 = 4, 3 4 = 4 = ]; (4 = [infatti 4 = 7 = 4 4=] Si vede quindi che U(Z 5 non èciclico quindi due sottogruppi C 4 : Talegruppocontienequattroelementidiperiodo 4 e = {,, 4, 8}, 7 = {, 7, 4, 3} Contiene inoltre tre elementi di periodo e quindi tre sottogruppi C : 4,, 4

CAP 5 ESERCIZI 67 53 Verificare che, a meno di isomorfismi, esistono due soli gruppi di ordine 6: C 6 e S 3 Soluzione Un gruppo di ordine 6 se è ciclico ha elementi di periodo e di periodo 3 Se non è ciclico, dal teorema di Lagrange ha elementi di periodo,, 3 In base ai risultati dell Eserc 54, il gruppo deve possedere almeno un elemento di periodo ed almeno un elemento di periodo 3 Assumiamo quindi che in (G, esistano elementi x, y, con (x =, (y = 3 Allora G contiene, x,y,y, distinti a due a due Poiché xy,x,y,y, xy èunaltroelementodi G Poichépoi xy,x,y,y,xy,alloraxy è il sesto elemento di G Consideriamo ora l elemento yx G Nel primo caso si ha: Poiché yx,x,y,y,allorasihannodueeventualità: yx = xy oppure yx = xy (xy =(xy(xy =x(yxy = x(xyy = x y = y, (xy 3 = xy y = x Ma allora (xy > 3edunquenecessariamente (xy =6 Dunque G = C 6 e S 3 Nel secondo caso si ha: yx = xy In tal caso G = S 3 Infatti risulta: G = x, y x = y 3 =,yx= xy verifica tali relazioni, con x =(,y=(3 54 Verificare che U ( Z 6 / 7 èungruppociclicodiordine 4 Soluzione Poiché ϕ(6 = 4 3 =8, U(Z 6 èungruppo(abelianodiordine 8 Risulta: U(Z 6 ={, 3, 5, 7, 9,, 3, 5} Poiché (7 = [in quanto 7 = 49 = ], allora 7, = {, 7} Il gruppo quoziente U ( Z 6 / 7 èformatoda U ( Z 6 / 7 = s ( 7 = 8 =4 Ne segue: 7 = {, 7}, 3 7 = {3, 5}, 9 7 = {9, 5}, 7 = {, 3} Per verificare se tale gruppo èciclicoodikleinesaminiamoiperiodideisuoielementi (3 7 = 9 7 7 Dunque (3 7 > equindinecessariamente (3 7 =4 [Si noti che (9 7 = mentre ( 7 = 4] U ( Z 6 / 7 = 3 7 = C4 55 Il sottogruppo ( 3 4 è normale in S 4? Segueche Soluzione Il sottogruppo H = ( 3 4 èciclicodiordine 4 Siha: H = ( 3 4 = {(, ( 3 4, ( 3( 4, ( 4 3 } Siha: L indice di H in S 4 è i = 4 4 =6 Traiseilateralisinistriconsideriamoadesempio (H e confrontiamolo con il corrispondente laterale destro H( Si ha: ( H = {( (, ( ( 3 4, ( ( 3( 4, ( ( 4 3 } = {(, ( 3 4, ( 4 3, ( 4 3}, H( = {((, ( 3 4(, ( 3( 4(, ( 4 3 ( } = {(, ( 3 4, ( 3 4, ( 4 3} Come si osserva, ( H H( Pertanto H non è normale in S 4 56 Sia H = {A GL n (K det(a =} Verificare che èunsottogrupponormaledi GL n (K edeterminareilgruppoquoziente GL n (K/ H Soluzione Si consideri l applicazione det : GL n (K K che associa ad ogni matrice invertibile il suo determinante: det(a = A A GL n (K

68 G CAMPANELLA APPUNTI DI ALGEBRA PER INFORMATICA Per il teorema di Binet, det(ab = AB = A B = det(a det(b Dunque det èunomomorfismodalgruppo (GL n (K, al gruppo (K, Infatti, a K, la matrice a 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ha determinante a Infine Ker(det ={A GL n (K det(a =} = H Segue dal teorema fondamentale di omomorfismo che H è normale in GL n (K eche GL n (K/ H = K Inoltre det èsuriettivo 57 Sia H = {A GL (Z 5 det(a =oppuredet(a =4} Verificareche H èunsottogruppo normale di GL (Z 5 e che il il gruppo quoziente GL (Z 5 / H èciclico Indicarnepoiungeneratore Soluzione Poiché 4=, allora H = {A GL (Z 5 det(a =±} = {A GL (Z 5 det(a = } Si consideri l applicazione ϕ : GL (Z 5 Z 5 Per il teorema di Binet, tale che ϕ(a =(det(a, A GL (Z 5 ϕ(ab = AB = A B = ϕ(a ϕ(b Dunque ϕ èunomomorfismodalgruppo (GL (Z 5, al gruppo (Z 5, pertanto H èunsottogrupponormaledi GL (Z 5 Infine Inoltre Ker(ϕ =H e Im(ϕ ={det(a, A GL (Z 5 } = {x, x Z 5 } = {,, 3, 4 } = {, 4} = {±} Si tratta di un gruppo ciclico di ordine due edunquetalegruppoèciclicodiordine Segue dal teorema fondamentale di omomorfismo che GL (Z 5 / H Im(ϕ Per ottenerne un generatore basta scegliere una matrice A GL (Z 5 aventedeterminante ± ( 0 Ad esempio, posto A =,siottiene 0 GL (Z 5 / H = A H 58 Verificare che se G èungruppociclicoed H èunsuosottogruppo,ilgruppoquoziente G/ H èciclico Soluzione Poiché ognigruppociclico G èabeliano,ognisuosottogruppo H ènormaleequindi G/ H èungruppo Se G è infinito, G = (Z,+ Assumiamo quindi G = Z e H = nz Se n 0, ènotoche Z/ H = Z/ nz = Z n (gruppo ciclico di ordine n Se invece H = 0Z = {0}, applicandoilteoremafondamentalediomomorfismoall applicazione identica Z : Z Z, seguesubitoche Dunque ogni gruppo Z/ H Z/ {0} = Z/ Ker(Z = Z (gruppo ciclico èciclico Sia ora G = C n = x x n = Ènotocheisottogruppidi C n sono esattamente i seguenti sottogruppi ciclici x n/d, per ogni d divisore positivo di n Poniamo quindi H = x t, con t = n d

CAP 5 ESERCIZI 69 Poiché H = (x t =d, il gruppo quoziente G/ H = C n / x t ha ordine n d = t Tale gruppo quoziente contiene i laterali x i x t, i =0,,, t, e tali laterali sono a due a due distinti, come si può verificare [seadesempio x i x t = x j x t,allora x i j x t equindi i j = tq, dacuii = j, essendo0 i, j < t] Allora Dunque G/ H èciclicodiordine t G/ H = { x t,x x t,, x t x t } = x x t = Ct 59 Si consideri in (Q, + il sottogruppo (Z, + ed il gruppo quoziente (Q/ Z, + (i Verificare che ogni elemento di Q/ Z èrappresentabileconunrazionale q tale che 0 q< (ii VerificarecheognielementodiQ/ Z ha periodo finito e dedurne che Q/ Z non èciclico Soluzione (i Ogni elemento di Q/ Z èdeltipo a b + Z, con a, b Z, b 0 Non èrestrittivoassumere b>0 [cambiando eventualmente segno ad a] Allora Ne segue: a = bh + r, conh, r Z e 0 r<b a b = h + r b, con 0 r b < a b + Z =(h + r b +Z = r b + Z Posto q = r b Q, sihache a b + Z = q + Z e 0 q< (ii Per ogni a b + Z Q/ Z si ha: Sia ora b ( a b b + Z =a b + Z = ±a + Z = Z Duque ( a b + Z b < Poiché Q/ Z è un gruppo infinito e non ha elementi di periodo, nonè isomorfo a Z equindi non èciclico 50 Nel gruppo moltiplicativo (C, siconsiderinoiduesottoinsiemi R >0 (numeri reali positivi, H = {z C z =} (i Verificare che R >0 ed H sono sottogruppi di (C, (ii Dimostrare che il gruppo quoziente C /R >0 è isomorfo a H Soluzione (i Se r, s R >0,siha: rs R >0, r R>0 Pertanto R >0 èunsottogruppodi (C, Se z,z H, ovviamente z z = z z = = equindi z z H Inoltre, da z z = segue che = z z equindi z = z Pertanto, se z H,anche z H Dunque anche H èun sottogruppo di (C, (ii Utilizziamo il Teorema fondamentale di omomorfismo, considerando l applicazione ϕ : C H tale che ϕ(z = z z, z C Si osservi che ϕ(z H [in quanto z z = z z = ] Inoltre ϕ èunomomorfismo [infatti ϕ(z z = z z z z = z z z z = ϕ(z ϕ(z ] L omomorfismo ϕ èsuriettivo [infatti, z H, ϕ(z =z] Calcoliamo Ker(ϕ Si ha: Ker(ϕ ={z C ϕ(z =} = {z C z = z } = {z C z R >0 } = R >0 Segue dal Teorema fondamentale di omomorfismo che

70 G CAMPANELLA APPUNTI DI ALGEBRA PER INFORMATICA C / = Im(ϕ cioè = H C /R >0 Ker(ϕ

ESERCIZ FINALI [in preparazione al secondo esonero] Si verifichi che U(Z 7 èungruppociclicodiordine 6 esitracciilreticolodeisuoisottogruppi Soluzione Risulta: Calcoliamo i periodi degli elementi di U(Z 7 ( = 3 Infatti = 4, 3 = 4 =8= U(Z 7 ={,, 3, 4, 5, 6} Si ha: (3 = 6 Infatti 3 = 9=, 3 3 = 6, 3 4 = 4, 3 5 = 5, 3 6 = Poiché (3 = 6, allora U(Z 7 èciclico,generatoda 3 I restanti elementi di U(Z 7 hanno iseguentiperiodi: (4 = (3 4 = (5 = (3 5 = (6 = (3 3 = (3 MCD(6,4 = 6 =3; (3 MCD(6,5 =6 (3 MCD(6,3 = 6 3 = Il gruppo U(Z 7 [= 3 = 5 ] ha due sottogruppi propri: = 4, ciclico di ordine 3 e 6, ciclico di ordine Il reticolo dei sottogruppi di U(Z 7 è il seguente: U(Z 7 6 Si considerino il gruppo moltiplicativo U(Z 6 ed il gruppo moltiplicativo U(Z 4 Dei due gruppi si determini il periodo di ogni elemento ed il reticolo dei sottogruppi I due gruppi sono isomorfi? Soluzione Igruppi U(Z 6 eu(z 4 hannoentrambiordine8 Si ha: Calcoliamo i periodi degli elementi di U(Z 6 Risulta, con semplici calcoli: U(Z 6 ={, 3, 5, 7, 9,, 3, 5} (3 = (5 = ( = (3 = 4, (7 = (9 = (5 = Infattiϕ(6 = 8 = ϕ(4 U(Z 6 possiede tre elementi di periodo e quindi tre gruppi ciclici di ordine 3, cioè 9, 7, 5 Poiché inoltre esistono quattro elementi di periodo 4, U(Z 6 possiede due gruppi ciclici di ordine 4 Si tratta di 3 =, 5 = 3

Si noti che entrambi contengono lo stesso sottogruppo ciclico 9 Infine, i tre elementi di periodo generanoungruppodiklein V = {, 7, 9, 5} [infatti tale insieme èchiusorispettoalprodotto,essendo 7 9 = 5] Ovviamente V contiene i tre sottogruppi ciclici di ordine Siamo in grado di tracciare il grafico dei sottogruppi di U(Z 6 : U(Z 6 3 5 V 9 7 5 Ora esaminiamo U(Z 4 Si ha: U(Z 4 ={, 5, 7,, 3, 7, 9, 3} Si verifica, con semplici calcoli, che U(Z 4 possiede sette elementi di periodo Quindi tale gruppo possiede sette sottogruppi ciclici di ordine Non puòpossederesottogruppiciclicidi ordine 4, ma ha vari sottogruppi di Klein Per ottenerli, basta considerare due elementi distinti di periodo e moltiplicarli tra loro I tre elemnti ottenuti generano un gruppo di Klein Scegliendo iprimigeneratoriconrappresentantiinordinecrescente(edescludendosottogruppigiàottenuti si ottengono sette sottogruppi di Klein: V = {, 5, 7, }, V = {, 5, 3, 7}, V 3 = {, 5, 9, 3}, V 4 = {, 7, 3, 9}, V 5 = {, 7, 7, 3}, V 6 = {,, 3, 3}, V 7 = {,, 7, 9} Siamo ora in grado di tracciare il grafico dei sottogruppi di U(Z 4 : U(Z 4 V V V 3 V 4 V 5 V 6 V 7 5 7 3 7 9 3 Si noti che i due gruppi U(Z 6 eu(z 4 nonsonoisomorfiperchéiperiodideiloroelementi non coincidono, mentre un isomorfismo fissa i periodi degli elementi 3 Siano E ed F due basi di V = V 5, legate dalla seguente formula di cambiamento di base: R f = e + e + e 3, f = e + e 3 + e 4, f = e 3, f = e 4, f = e 5 5 Sia U il sottospazio vettoriale di V avente in base F equazioni cartesiane y y + y 4 y 5 =0 y y 3 + y 4 =0 y + y 3 + y 5 =0

3 Determinare equazioni cartesiane di U in base E ed una base di U (sempre in base E Soluzione Dai dati assegnati, risulta: F = EC,con 0 0 0 0 0 C = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Per ogni v V, sia v = Ex = Fy Ne segue che Ex = ECy, cioè x = Cy Invertendo, y = C x Dovendo determinare tale formula, osserviamo che èpiù semplice invertire la formula x = Cy x = y + y 3 y = x 3 x 4 x = y + y + y 4 y = x 4 Infatti da x 3 = y + y segue subito y 3 = x x 3 + x 4 x 4 = y y 4 = x x 3 x 5 = y 5 y 5 = x 5 Sostituendo tale formula nelle equazioni cartesiane di U in base F, siottengonoleseguenti equazioni cartesiane di U in base E: x x 4 x 5 =0 x x =0 x x 3 +x 4 + x 5 =0 Per ottenere una base di U (rispetto ad E, risolviamo tale SLO, chehamatricedeicoefficienti: 0 0 B = 0 0 0 0 Scegliamo B(,, 3,, 3 come sottomatrice fondamentale Ponendo x 4 =,x 5 =0, siottiene la soluzione (,, 4,, 0; ponendo x 4 =0,x 5 =, siottienelasoluzione (,,, 0, Pertanto una base di U èdatada u =e +e +4e 3 + e 4, u = e + e +e 3 + e 5 4 Sia V = V 3 uno spazio vettoriale con base E Sia W il sottospazio vettoriale di equazioni R cartesiane (in base E { x x +x 3 =0 Determinareunabase F di V tale che W abbia, in tale base, equazioni cartesiane { y =0 Soluzione Una base diw èottenutarisolvendoil SLO(, 3,R { x x +x 3 =0 Siottengono le due soluzioni linearmente indipendenti (,, 0, (, 0, Pertanto W ha base w = e + e, w = e + e 3 Poiché W ha, in base F, equazione y =0, risulta: f,f 3 W = f,f Essendo W = w 3,w =, dalmomentocheèrichiestaunabase F,possiamoadsempioporre Per ottenere f f = w,f = w 3 basterà scegliereunvettoretaleche w,w,f,poniamof = e Allora Tra le infinite possibili scelte per f F = ( w f In base F, W ha equazioni cartesiane { y =0 w = EC, con C = siano linearmente indipendenti 0 0 0 0 NB Possiamo eseguire una verifica dei calcoli Da v = Ex = Fy = ECy segue x = Cy, cioè

4 x = y y 3 x = y + y x 3 = y 3 Sostituendo tale formula nell equazione x x +x 3 =0, siottiene y =0 dunque W ha in base F equazione y =0, comeprevisto 5 Sono assegnati in R 4 due sottospazi vettoriali U,U dipendenti da un parametro reale a e definiti (rispetto alla base canonica E di R 4 rispettivamentedalleseguentiequazionicartesiane: { { ax + x x 4 =0 x + ax 3 =0 x + ax 3 =0, (i Determinare per quali a R iduesottospazi U,U ax + x + x 4 =0 sono supplementari (ii Posto a =, determinare(inunabaseopportunalematricidituttiglioperatorilineari T di R 4 tali che T (U U e T (U U (iii Tra tali operatori lineari individuare quali sono automorfismi Soluzione (i Il sottospazio vettoriale U U ha equazioni cartesiane ottenute riunendo in un unico sistema i due SLO A X =0, A X =0, con ( ( a 0 0 a 0 A =, A 0 a 0 = a 0 Le equazioni cartesiane di U U sono quindi date dal SLO(4, 4,R ( A X =0 A In base alla formula di Grassmann, i due sottospazi vettoriali U,U sono supplementari ( ( A A dim(u U =0 rg =4 det 0 Risulta: A A ( a 0 A 0 a 0 det = = 4 a A 0 a 0 a 0 Dunque U,U sono supplementari a 0 (ii Se a =, U,U sono supplementari Vogliamo determinare una base F di R 4 ottenuta riunendo una base di U ed una di U Basta risolvere i due SLO (con a = Siottienead esempio per U la base eper U Allora la base u =(,,, 0, v =(0,, 0, u =(,,, 0, v =(0,, 0, 0 0 F = EC, con C = 0 0 0 0 Dai dati, T (u,t(v u,v equindi,rispettoallabase F,peropportunib i R: Analogamente, c i R: Allora T (u =b u + b v, T(v =b 3 u + b 4 v T (u,t(v u,v equindi,semprerispettoallabase F, per opportuni T (u =c u + c v, T(v =c 3 u + c 4 v

0 0 c c 3 0 0 c T (F =FB, con B = c 4 b b 3 0 0 b b 4 0 0 (iii GLiautomorfismitraglioperatori T sopra ottenuti sono tutti e soli quelli per cui det(b 0 In base al teorema di Lagrange, risulta det(b 0 b b 3 b b 4 c c 3 c c 4 0 b b 4 b b 3 e c c 4 c c 3 5 6 Sia V = V 5 uno spazio vettoriale con base E Sono assegnati due sottospazi vettoriali R W,W,definitirispettivamentedalleequazionicartesiane { x x =0 x x 3 =0 x + x 4 =0 x 3 x 4 =0, x 5 =0 (i Verificare che i due sottospazi sono supplementari determinare una base di ciascuno di essi (ii Sia T : V V l operatore lineare definito dalle seguenti condizioni: T W = W, T W =0 Determinare la matrice di T in una base opportuna, dire se T è diagonalizzabile e indicare (anche senza eseguire i calcoli la matrice di T in base E Soluzione (i I due sottospazi W,W hanno in base E rispettivamente equazioni cartesiane AX =0, BX=0, con ( 0 0 0 A =, B = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 In virtùdellaformuladigrassmann,perdimostrarecheiduesottospazisono( supplementari basta A osservare che hanno rispettivamente dimensioni 3, edimostrarecherg =5 [ciòche ( B A corrisponde a dim(w W =0] Siverificasubitoinfattiche det = 0 B Ora calcoliamo una base di W edi W Risolvendo il primo SLO, siottengonotresoluzioni linearmente indipendenti: Ad esse corrisponde la base di W : (,, 0, 0, 0, (0, 0,,, 0, (0, 0, 0, 0, e + e, e 3 + e 4, e 5 Risolvendo il secondo SLO, si ottengono due soluzioni linearmente indipendenti: Ad esse corrisponde la base di W : (, 0,, 0, 0, (0,, 0,, 0 e + e 3, e e 4 (ii Sia F la base di V ottenuta riunendo tali basi Si ottiene 0 0 0 0 0 0 F = EC, con C = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 La condizione T W = W significa che T opera come l identità suivettoridi W Analogamente, T W =0 significa che T opera come l operatore nullo sui vettori di W Ne segue che

6 0 0 0 0 0 0 0 0 T (F =FD, con D = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Poiché D èdiagonale, T èdiagonalizzabile Inbase E, T ha la seguente formula di definizione: T (E =T (F C =T (F C = FDC = ECDC Dunque, in base E, T ha matrice A = CDC 7 In R 3,conbasecanonicaE, èassegnatounoperatorelineare T : R 3 R 3 tale che: [con v R 3 T (v =(, 0,, T (v =(, 0, 0, T 3 (v =(0,, 0, T 4 (v =(0, 0, 0 vettore non assegnato] (i Determinare la matrice di T in base E (ii Verificare se T è diagonalizzabile e indicare le basi di ciascun autospazio, in base E Soluzione (i Daidatidell eserciziosinotacheèassegnatal immaginedit dei tre vettori T (v, T (v, T 3 (v Se questi tre vettori formano una base di V, la matrice di T verrà facilmente determinata, rispetto a tale base Si ha: F := ( T (v T (v T 3 (v=ec, con C = 0 0 0 0 0 Poiché det(c 0, F èunabasedi R 3 Si ha: T (F =(T (v T 3 (v T 4 (v=ed, con D = 0 0 0 0 0 0 0 Ne segue che T (E =T (F C =T (F C = EDC Dunque la matrice di T in base E A = DC = 0 0 0 0 0 0 0 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (ii T ha polinomio caratteristico X 0 P T = X 0 0 X = X 3 T ha il solo autovalore 0 ed il relativo autospazio E 0 (T =Ker(T ha dimensione [infatti d 0 = dim(ker(t = 3 rg(a =3 =] Poiché d 0 <h 0 (= 3, T non èdiagonalizzabile Per ottenere una base di E 0 (T bisognarisolvereilslo AX =0, cioè z =0 { z =0 x z =0 ovvero x =0 0=0, Pertanto E 0 (T = (0,, 0 NB Dai dati dell esercizio era già notoche T 3 (v =(0,, 0 e T 4 (v =0=0 T 3 (v T 3 (v eraaprioriunautovettoreassociatoall autovalore0 Dunque 8 Siano T : R 3 R e S : R R 3 due applicazioni lineari, dipendenti da un parametro reale a, definite,rispettoallebasicanonichee di R 3 ed F di R, in questo modo:

T (e =f f T (e =af T (e 3 =0, + f Si consideri l operatore lineare S T : R 3 R 3 (i Determinare la matrice di S T rispetto alla base E { T (f =e ae T (f =e + e 3 (ii Determinare, in funzione di a, ladimensionediim(s T ediker(s T (iii Stabilire, per a =0,,, se S T èdiagonalizzabile,spiegandoneilmotivo 7 Soluzione (i Si ha: T (E =F A e S(F =EB, con ( a 0 A =, B = 0 a 0 0 Allora S T rispetto alla base E ha matrice BA = a 0 a a 0 0 (ii Poiché dim(im(s T = rg(ba, calcoliamo rg(ba A priori rg(ba Scegliamo in BA il minore non nullo BA( = edorliamolo Inbasealprincipiodegliorlati, { rg(ba = a (a + a = a a =0 + a + a =0 a = +a =0 Dunque {, se a dim(im(s T =, se a = Di conseguenza {, se a dim(ker(s T = 3 dim(im(s T =, se a = (iii Sia a = S T ha polinomio caratteristico X 0 P S T = X 0 X = X(X X + Poiché X X + è irriducibile in R[X], allora Λ(S T ={0} Essendo d 0 = h 0 =< 3, S T non èdiagonalizzabile Sia a = 0 S T ha polinomio caratteristico X 0 0 P S T = X 0 X = X( X Allora Λ(S T ={0, }, con h 0 =,h = Perappurarese S T èdiagonalizzabile, bisogna calcolare d = dim(e (S T Tale autospazio ha equazioni cartesiane 0 0 0 0 0 x y = 0 0 z 0 La matrice ha rango e dunque d =3 = Sia a = Segueche S T non èdiagonalizzabile S T ha polinomio caratteristico X 0 P S T = 0 X 0 X = X ( X Allora Λ(S T ={0, }, con h 0 =,h = Poiché E 0 (S T =Ker(S T ha dimensione, allora d 0 = Intalcaso S T èdiagonalizzabile

8 9 In R 4 (con base canonica E sonodefiniti: { x x 4 =0 - il sottospazio vettoriale W avente equazioni cartesiane x + x 3 =0; 0 0 0 0 0 -l operatorelineare T,aventematrice A = 0 0 0 0 0 0 (i Determinare equazioni cartesiane e basi di T (W edit (W (ii Si consideri applicazione lineare T T (W : T (W T (W Determinarne la matrice rispetto alle basi di T (W edit (W ottenute in (i Soluzione (i Determiniamo una base di W, risolvendo il corrispondente SLO(, 4,R Si ottiene ad esempio la base Risulta: v = Ex T (W T (v W w =(0,,, 0, w =(, 0, 0, ivettori w,w,t(v sono linearmente dipendenti Poiché T (v =(x + x 4,x,x,x, si conclude che T (W haequazionicartesianedateda x + x 4 0 x + x 4 0 x 0 =0 x rg 0 x 0 x 0 = cioè x 0 x 0 x 0 =0 x 0 Sviluppando i due determinanti, si ottiene il SLO { x x + x 4 =0 x + x =0 Risolvendo tale SLO si ottiene ad esempio la seguente base di T (W : u =(0, 0,, 0, u =(,, 0, Calcoliamo ora equazioni cartesiane e base di T (W Tale spazio vettoriale ègeneratoda T (w,t(w I due vettori T (w =(0,, 0,, T(w =(, 0,, 0 sono linearmente indipendenti e quindi sono una base di T (W Per ottenere equazioni cartesiane di T (W bastaimporre x 0 x 0 x 0 =0 x rg 0 x 3 0 x 3 0 = cioè x 0 x 4 0 x 0 =0 x 4 0 = 0 Sviluppando i due determinanti, si ottiene il SLO { x x =0 x x 4 =0 (ii Èevidenteche,perogni u T (W, T (u W equindi T (u T (W Pertanto T T (W èun applicazionelineareda T (W at (W Disponiamo già diunabasedi T (W [cioè {u, u }] e di una base di T (W [cioè {v := T (w,v := T (w }] Si tratta allora di calcolare T (u et (u, esprimendoli in base {v,v } T ha, in base E, matrice

Allora 0 0 0 0 A = 0 0 0 0 0 0 0 T (u =EA =(0, 0, 0, 0 = 0, T (u =EA 0 0 =(,,, Ovviamente T (u = 0 = 0v +0v Determiniamo ora a, b R tali che T (u = (,,, =av + bv Deve risultare: (,,, =(0, a, 0, a+(b, 0,b,0 = (b, a, b, a Ne segue: b =,a= epertanto T (u = v + v Si conclude che l applicazione lineare T ha, rispetto alle basi indicate,matrice T (W ( 0 0 9