Presentazione. Maria Fait Responsabile dei centri territoriali per l insegnamento/apprendimento della matematica

Indice PRESENTAZIONE... 5 INTRODUZIONE... 7 MODALITÀ DI LAVORO... 8 MAPPA CONCETTUALE... 9 FRAZIONE COME OPERATORE... 11 FRAZIONE COME NUMERO... 29 FRAZIONE COME RAPPORTO... 39 CONCLUSIONE... 61 BIBLIOGRAFIA... 63 3

Presentazione Nasce un nuovo contributo di ricerca-azione prodotto da Roberto Battisti, responsabile del centro territoriale di matematica Basso Sarca. La traccia del lavoro parte dalla costruzione di una mappa concettuale elaborata da un gruppo di ricerca IPRASE, a seguito di alcuni interventi della prof.ssa Nicolina Malara dell Università di Modena. È stato scelto l argomento Numeri razionali 1 sia per l importanza che detto contenuto ha nella scuola di base, sia per gli scarsi risultati che i test IPRASE hanno evidenziato. I commenti sugli esiti ottenuti nella soluzione dei problemi riflettono sulle difficoltà incontrate dagli alunni ed emerge una metodologia che ci sembra particolarmente significativa per l insegnamento/apprendimento della matematica. Materiale sperimentato in più classi, fresco, volutamente non raffinato, potremmo definirlo semilavorato ; proprio quello che noi riteniamo utile per gli insegnanti desiderosi di provare nuove strategie. Ci auguriamo che lo sforzo iniziato possa divenire proficuo anche per altri e che ne segua una riflessione comune. Maria Fait Responsabile dei centri territoriali per l insegnamento/apprendimento della matematica 1 Numeri razionali è scaricabile collegandosi al sito: http://www.iprase.tn.it/servizi/poli.asp 5

Introduzione L idea di lavorare su quest'argomento nasce molto tempo fa, circa 6-7 anni or sono, quando l Iprase decise di costituire un gruppo di ricerca formata da diversi insegnanti di matematica e coordinati della professoressa Maria Fait. La motivazione che si percepiva era forte, avvincente e si basava principalmente su due fatti: il tema in discussione viene da sempre considerato importante e fondamentale per tutta la scuola dell obbligo e non solo, perciò ad esso viene dedicato moltissimo tempo e molte risorse; d altra parte analizzando i test proposti a tutte le scuole del Trentino, che dovevano verificare le conoscenze e le competenze acquisite su quest'argomento, venivano messi in luce dei risultati non certamente positivi e soddisfacenti. Partendo proprio da queste considerazioni, il gruppo dapprima cercò di suscitare e mettere in evidenza questa problematica, confrontandosi sulle proprie realtà classe, sulle metodologie utilizzate, sui sistemi d'insegnamento/apprendimento e poi, data la complessità, s'indirizzò verso lo studio e la formulazione di un possibile top-down dell argomento per rendere evidente i nodi principali e le conoscenze/competenze irrinunciabili. Si arrivò quindi alla costruzione di una mappa concettuale. Il passo successivo fu quello di incominciare a produrre per ogni nodo una batteria d'esercizi/problemi, accompagnati da un analisi a priori, che analizzava i contenuti matematici, le motivazioni didattiche e le difficoltà previste. L utilizzo poi di questi materiali in classe sia come approccio, sia in itinere, sia come verifica avrebbe potuto darci delle indicazioni più dettagliate sugli errori commessi dai ragazzi e sulle effettive difficoltà incontrate. Conoscere i punti difficili e delicati di un processo d'apprendimento permette all insegnante di operare con un attenzione maggiore sia nella fase di programmazione sia nella fase operativa e di svolgere infine un'azione più calibrata e mirata in fase di recupero e potenziamento. Questo in sintesi era lo scopo del progetto. Il lavoro, iniziato così dal gruppo di ricerca sopra menzionato, è stato poi sviluppato, approfondito e portato a termine in questi ultimi anni. Si è raccolto i materiali esistenti, si è provveduto a costruirne di nuovi per completare i nodi mancanti, sono stati proposti in classe e sono stati tabulati i risultati. Tutti i dati pubblicati nascono da esperienze testate in classe; sono state coinvolte 10 7

i dati pubblicati nascono da esperienze testate in classe; sono state coinvolte 10 classi per un campione complessivo di circa 220 ragazzi. In quest'attività ho potuto usufruire della collaborazione del gruppo di ricerca, che lavora presso il centro territoriale di matematica Basso Sarca; un particolare ringraziamento va all insegnante Maria Marcantoni e a Luisa Mariech, che si sono occupate del progetto grafico. Modalità di lavoro Le schede di lavoro sono state messe a punto e proposte nelle classi in vari momenti durante la trattazione dell argomento; per lo più come approccio, ma anche come addestramento, potenziamento o verifica di conoscenze e di competenze. La modalità preferita di somministrazione nella classe è stata quella di lavoro a coppie con tempi prefissati di consegna. Alla fine di ogni attività di lavoro si è sempre dedicato uno spazio per la discussione allargata a tutta la classe per analizzare i risultati ottenuti e le strategie utilizzate dalle varie coppie. Gli esercizi o problemi contrassegnati dall asterisco, che compaiono nelle varie schede, sono stati scelti e tradotti dal testo inglese di E. Harper, Mathematics for Secondary School, come compare nella bibliografia. 8

FRAZIONE COMPLEMENTARE UTILIZZAZIONE di una FRAZIONE come OPERATORE FRAZIONI che OPERANO sull intero nello stesso modo (FRAZIONI EQUIVALENTI) confronto UNITÀ FRAZIONARIE somma o multiplo CONFRONTO di FRAZIONI con lo stesso denominatore con lo stesso numeratore con denominatore e numeratore diversi 9 un tutto FRAZIONE come PARTE DI un insieme DIAGRAMMI (aerogrammi istogrammi) PERCENTUALI FRAZIONE come OPERATORE PROBLEMI OPERAZIONI NUMERI IRRAZIONALI INSIEME Q FRAZIONE come QUOZIENTE di NUMERI NATURALI PROPRIETÀ delle OPERAZIONI in Q NUMERI DECIMALI PROPORZIONI NUMERI Riflessioni sulla TABELLA della DIVISIONE incompleta in N (ampliamento del concetto di numero) FRAZIONE come RAPPORTO tra FRAZIONE come NUMERO GRANDEZZE NON OMOGENEE OMOGENEE GRANDEZZE FRAZIONE come MISURA SISTEMA METRICO DECIMALE COMMENSURABILI PROBABILITÀ RAPPRESENTAZIONI di FRAZIONI sulla RETTA GRANDEZZE NON COMMENSURABILI

NUMERII RAZIIONALII Analisi della frazione come operatore Schede di lavoro accompagnate da un analisi a priori (aspetti matematici, motivazioni didattiche, difficoltà previste) e da un analisi a posteriori (per le prime sei schede). Le schede sono state utilizzate quasi esclusivamente come approccio all argomento e quindi mettono in evidenza le conoscenze apprese e maturate alla scuola elementare; si è scelto di fare lavorare i ragazzi a coppie, il tempo concesso per ogni scheda è stato di 15 minuti. 11

Scheda n 1 (*) Osserva la seguente figura e completa è del quadrato di partenza è del quadrato di partenza è del quadrato di partenza è del quadrato di partenza è del quadrato di partenza Confronta tra loro le varie sagome e scrivi le tue considerazioni 13

CONTENUTI MATEMATICI Frazione come parte di Unità frazionarie Confronto tra unità frazionarie Superficie come somma di superfici MOTIVAZIONI DIDATTICHE Riconoscere graficamente unità frazionarie diverse Confrontare unità frazionarie diverse DIFFICOLTÀ PREVISTE Comprendere che un unità frazionaria può essere scomposta in altre unità frazionarie Confrontare unità frazionarie Analisi risposte Tipologia quesito Risposte corrette Quesito a 100% Quesito b 30% Quesito c 90% Quesito d 40% Quesito e 64% Nel quesito b il 50% delle risposte sbagliate da come valore 1/4, il 25% 1/6, altri 1/5, 1/12 o non rispondono; nel quesito d, invece risponde per il 30% 1/4, altri 1/9, 1/6, 1/10, 1/12, pochi non rispondono; nel quesito e la maggior parte degli errori si concentra su 1/12, altri 1/7, 1/17, rispondono tutti. Le difficoltà emerse sia dalle risposte sia dalla discussione dei risultati con i ragazzi si sono rilevate essere: mancanza di operatività e manualità nell effettuare scomposizioni concrete sul disegno proposto; non riconoscere aree equivalenti aventi forme diverse e quindi frazioni equivalenti come loro rappresentazione; a livello operativo molti hanno tentato di suddividere il quadrato grande in unità più piccole, che di volta in volta prendono in esame, senza curarsi di quello che hanno appena risolto, come fosse sempre un problema nuovo e quindi non tengono conto delle nuove conoscenze appena apprese; altri invece scelgono unità di misura per le aree poco opportune, ma molto casuali. 14

Scheda n 2 (*) RIFLETTI Il rettangolo è ricoperto da 4 sagome A B C D a. Quale sagoma ricopre i 3/8 dell area totale? Quale sagoma ricopre i 1/6 dell area totale? b. Quale frazione dell area totale è ciascuna delle altre sagome? c. Hai bisogno di carta punteggiata Disegna due rettangoli di 6 cm e 4 cm di lato sulla carta punteggiata Colora un area di 7/6 di 24 cm 2 CONTENUTI MATEMATICI Frazione come parte di Unità frazionaria Confronto di frazioni Frazione come operatore Operatore frazionario che origina una grandezza maggiore di quella su cui opera Concetto di superficie Scomposizione di un poligono in altri poligoni MOTIVAZIONI DIDATTICHE Lettura e interpretazione grafica di una frazione Individuazione di un operatore che determina una grandezza maggiore rispetto a quella su cui opera DIFFICOLTÀ PREVISTE Riconoscere operatori diversi Rappresentare graficamente un operatore che determina una grandezza maggiore di quella inizialmente assegnata Comprendere che una frazione il cui numeratore è maggiore del denominatore vista come operatore su una data grandezza genera una grandezza maggiore di questa 15

Analisi risposte Tipologia quesito Risposte corrette Quesito a 60% Quesito b 30% Quesito c 75% Nel caso a i 6 quadretti rappresentanti la sagoma A vengono individuati come 1/6 dell area totale, senza quindi riferirsi al totale dei quadretti, che sono 24; analoga situazione si presenta anche nel caso b, dove si contano solo i quadretti delle sagome senza confrontarli con il totale, per cui abbiamo risposte del tipo (C =1/4 o D = 1/5). Altri invece, sempre nel caso b, sono frenati perché trovano che la sagoma D = 5/24 non si può ridurre, per cui pensano di aver sbagliato. Nel caso c l errore più comune è quello di dividere il rettangolo in sette parti per poter rispondere alla consegna di 7/6. 16

Scheda n 3 (*) Quale operatore frazionario individua la parte colorata della sagoma ad L? E quale individua la parte non colorata? Come sono tra loro i due operatori? CONTENUTI MATEMATICI Frazione come operatore Frazione come parte di Frazione complementare MOTIVAZIONI DIDATTICHE Individuare operatori frazionari Riconoscere che sommando due operatori complementari si ottiene l intero DIFFICOLTÀ PREVISTE Individuare graficamente unità frazionarie adeguate Sommare unità frazionarie Individuare operatori complementari non palesemente evidenti Analisi risposte Alle prime due domande risponde correttamente il 100% del campione, mentre alla terza solo il 60%. Gli errori messi in evidenza sono fondamentalmente di due tipi: il 35% afferma che 1/3 e 2/3 sono equivalenti o uguali, considerando solo il denominatore della frazione che rappresenta la parte quadrettata del rettangolo mentre il 5% mette in rilievo che 2/3 è multiplo di 1/3, senza osservare che la somma delle due frazioni corrisponde ad un intero e quindi si tratta di un multiplo particolare. 17

Scheda n 4 (*) a) Uno di questi triangoli ha i 5\8 della sua area colorati. Individua qual è? A) B) C) b) Quale triangolo ha la parte maggiore di area colorata rispetto agli altri due? c) Quale frazione della sua area è colorata? d) Quale frazione del triangolo C è colorata? CONTENUTI MATEMATICI Frazione come parte di Confronto di frazioni Operatori equivalenti Operatore di operatore MOTIVAZIONI DIDATTICHE Lettura grafica di una frazione Applicazioni della frazione come operatore Multipli di unità frazionarie operatore unico DIFFICOLTÀ PREVISTE Associare a superfici equivalenti operatori equivalenti Individuare una frazione di frazione (operatore di operatore) 18

Analisi risposte Tipologia quesito Risposte corrette Quesito a 85% Quesito b 75% Quesito c 70% Quesito d 60% Nel quesito a il 15% che sbaglia sceglie a caso, in quanto non riesce a trovare nei tre casi proposti la frazione corrispondente a 5/8, dimostrando di non conoscere la possibilità offerta dalle frazioni equivalenti. I quesiti b e c sono intimamente collegati; infatti chi sbaglia il confronto proposto nel caso c, riporta l errore nel caso dopo. Il 25% che sceglie il triangolo A (caso b), pensando che 10/16 sia maggiore di 3/4, analizzando solo i numeri presenti senza fare un confronto rispetto a uno stesso parametro, risponde poi che la frazione dell area colorata è 10/16. Nel quesito d le risposte sbagliate sono tutte dello stesso tipo: 3/5 o 6/10. Si identifica una parte con il tutto ; era corretto rispondere 3/8 o 6/16, per cui si nota come il numero, che rappresenta il numeratore è corretto, mentre quello che rappresenta il denominatore non va affatto bene. 19

Scheda n 5 (*) Questa scheda è stata proposta ai ragazzi come lavoro di addestramento a coppie, mentre si affrontava lo studio degli algoritmi delle operazioni con le frazioni. SFIDA Claudio scrive un messaggio ad Elsa su un foglio rettangolare di carta da lettera. Poi lo piega a metà, poi di nuovo a metà, poi ancora a metà fino ad arrivare ad un area di 16 + 8 7 cm 2 a metà ancora a metà ancora a metà Quest area misura 16 + 8 7 cm 2 Disegna come può essere la carta da lettera di Claudio. Scrivi le dimensioni dei suoi lati. CONTENUTI MATEMATICI Operatore di operatore Operatori equivalenti Coppie moltiplicative Superfici MOTIVAZIONI DIDATTICHE Individuare operatore risultato dalla composizione di più piegature Individuare coppie moltiplicative Stimare misure DIFFICOLTÀ PREVISTE Associare all area del rettangolo delle coppie moltiplicative Individuare la soluzione ottimale 20

Analisi risposte Alla prima domanda risponde correttamente il 45% del campione, offrendo queste soluzioni: la maggior parte dei ragazzi segue la strategia più comune: 16+7/8 = (135/8)*2*2*2 = 135 cm². una piccola parte invece lo risolve applicando la proprietà distributiva: (16+7/8)*8 = (16*8)+(7/8*8) = 128+7 = 135 cm² Il 25% incorre nell errore di moltiplicare il numero misto per 3, confondendo il numero dei passaggi con il fattore moltiplicativo, che è 8. Il 30% non sa rispondere. Solo il 25% prosegue nel risolvere il secondo quesito, proponendo questa soluzione: matematicamente le coppie di numeri che possono giustificare il prodotto 135 possono essere (1,135) (3,45) (5,27) (9,15) la coppia probabile come carta da lettera è quella data dai numeri 9 e 15. 21

Scheda n 6 Questa scheda fa parte della seconda prova del nono rally matematico transalpino svoltosi nel 2001; abbiamo analizzato le risposte di 22 classi, di cui 5 quinte elementari, 11 prime medie e 5 seconde medie: Decorazioni Un pittore ha dipinto quattro figure diverse su un muro. Ha utilizzato dei barattoli di colore della stessa grandezza: 18 barattoli di rosso per una figura, 21 barattoli di blu per un altra figura, 27 barattoli di giallo per un altra figura ancora e alcuni barattoli di nero per la figura che resta. Alla fine del suo lavoro, tutti i barattoli erano vuoti. Indicate il colore di ogni figura Quanti barattoli di colore nero ha utilizzato? Spiegate come avete trovato la risposta 22

Analisi risposte Le risposte corrette sono state 14 su 22, il 64%, di cui 5 su 6 per le quinte, 6 su 11 per le prime e 3 su 5 per le seconde. Le strategie utilizzate: calcolo del numero di quadretti per ogni figura (area, solo qualcuno ne parla esplicitamente) associazione del numero di barattoli di colore al numero dei quadretti presenti nelle figure scoperta della relazione esistente fra il numero di quadretti e il numero di barattoli (1 quadretto = 3 barattoli); nessuno adopera le formule per calcolare l area delle figure, ma tutti utilizzano il conteggio dei quadretti, nelle figure più complesse qualcuno adotta la strategia dell equiestensione e dell equivalenza (ottagono quadrato ottagono); altri, 2 su 14, appartenenti alle prime, trovano il massimo comun divisore tra i numeri 18, 21, 27, che è 3 (numero di barattoli per dipingere un quadretto) e poi calcolando il numero di quadretti di ogni figura trovano il numero di barattoli corrispondenti e il colore adatto. Le soluzioni non corrette sono 8 su 22, il 36%, e gli errori sono: mancanza di identificazione del colore per ogni figura pur in presenza di un ragionamento corretto; mancanza di identificazione dei colori, perché non scoprono la relazione fra area e barattoli; non trovano la relazione giusta fra area e barattoli per un errore di calcolo dell area del triangolo (30 barattoli per 10 quadretti, rettangolo 8 quadretti per 27 barattoli) non notano la relazione fra area e barattoli e quindi provano calcoli basati sull addizione; es. (18+21+27):3 = 22, numero barattoli neri!!! o identificano il colore del triangolo e da lì cercano gli altri non basandosi sulla proporzionalità. 23

Scheda n 7 (*) RIFLETTI a) Marco vuole fare una bandiera. Vuole che 1\6 della sua area sia rossa 3\8 della sua area sia gialla 2\15 della sua area sia verde e il resto nera Hai bisogno di carta punteggiata Disegna la bandiera di Marco per lui CONTENUTI MATEMATICI Frazione come operatore Operatore di operatore Somma di operatori Multiplo Scomposizione di una figura in altre figure Superficie di una figura come unione di superfici MOTIVAZIONI DIDATTICHE Essere in grado di rappresentare una parte di parte Dalla rappresentazione grafica alla comprensione della somma di operatori Lavorare con superfici Individuare procedimenti e relazioni Impostare ipotesi di soluzioni diverse Stimolare l operatività manuale DIFFICOLTÀ PREVISTE Lavorare contemporaneamente con operatori diversi su una stessa grandezza Trovare una grandezza adeguata su cui operare, individuare il multiplo ottimale (m.c.m) Sommare operatori Riflettere su operatori equivalenti Individuare soluzioni diverse e confrontarle 24

b) Un sacchetto da 1 kg di zucchero ha un buco ed è pieno solo per i 2\5; quanti grammi di zucchero sono rimasti dentro al sacchetto? CONTENUTI MATEMATICI Frazione come operatore Frazione come parte di Frazione complementare MOTIVAZIONI DIDATTICHE Riconoscere l operatore complementare Comprendere che l operatore complementare permette di risolvere più velocemente certi quesiti DIFFICOLTÀ PREVISTE Comprendere il significato di operatore complementare Comprendere che l operatore complementare è un operatore che permette di velocizzare risoluzioni 25

Scheda n 8 (*) ATTIVITÀ: disegnare una scala di misura di peso a) Questa scala deve indicare: I kg interi I decimi di kg Gli ottavi di kg fino a 2 kg Disegna la scala in modo che sia facilmente leggibile b) Sulla tua scala disegna frecce per indicare: 1\2 kg 7\10 kg 2\5 kg 9\8 kg 7\4 kg c) Elenca le cinque quantità frazionarie CONTENUTI MATEMATICI Frazione come parte di Unità frazionaria Frazione come operatore Confronto di frazioni Ordinamento di frazioni Concetto di misura (misure di peso) Operatore frazionario che origina una grandezza maggiore di quella su cui opera MOTIVAZIONI DIDATTICHE Rappresentare graficamente un opportuna scala di misura di peso Confrontare graficamente le frazioni e ordinarle DIFFICOLTÀ PREVISTE Individuare una scala di misura adeguata Individuare graficamente un operatore che determina una parte maggiore dell intero Comprendere che l operatore frazione non rappresenta sempre una parte inferiore alla grandezza su cui opera 26

Scheda n 9 (*) Il diagramma a canne d organo indica che circa 280 cittadini britannici su 1000 possiedono automobili 280 Ricorda = 0,28 = 28% 1000 a) Approssimativamente, quale percentuale di cittadini degli U.S.A. possiedono automobili? b) In un paese circa il 42% delle persone possiedono automobili. Quale paese è? c) Quante persone in più su 100 possiedono automobili negli U.S.A. rispetto al Regno Unito? STANDARDS OF LIVING PRIVATE CARS per 1000 Inhabitans 500 400 300 200 S F G N SW UK US J S Svizzera F Francia G Germania SW Svezia UK Regno Unito US U.S.A. N Olanda J Giappone CONTENUTI MATEMATICI Frazioni (come operatori) equivalenti Percentuale Diagrammi a canne d organo Confronto di percentuali MOTIVAZIONI DIDATTICHE Comprendere modi diversi di indicare una stessa percentuale Saper leggere ed interpretare un diagramma relativo a percentuali Confrontare percentuali e operatori frazionari Calcolare percentuali DIFFICOLTÀ PREVISTE Interpretare un grafico a barre in percentuale Trasformare una percentuale in una frazione Calcolare percentuali utilizzando frazioni 27

Scheda n 10 Il valore di un automobile si svaluta del 15% nel 1 anno e del 10% del prezzo dell anno precedente ogni anno successivo Stefano acquista un automobile del valore di 20 000 Dopo quanti anni il suo valore diventa inferiore a 10 000? CONTENUTI MATEMATICI Frazione di frazione Percentuale Variazione percentuale MOTIVAZIONI DIDATTICHE Tradurre dati reali in situazione matematica Scrivere una percentuale sotto forma di frazione Calcolare variazioni in percentuale Stimare risultati DIFFICOLTÀ PREVISTE Correlare variazioni di percentuale Far corrispondere la variazione percentuale ad una frazione di frazione Stimare l attendibilità dei risultati 28

NUMERI RAZIONALI Analisi della frazione come numero Schede di lavoro accompagnate da un analisi a priori (aspetti matematici, motivazioni didattiche, difficoltà previste) e da un analisi a posteriori sulle strategie utilizzate. Le schede sono state utilizzate come approccio all argomento; anche in questo caso i ragazzi hanno lavorato a coppie, il tempo concesso per ogni scheda è stato di 15 minuti. 29

Scheda n 1 (*) Calcola mentalmente e scrivi sotto solamente le risposte: Operazioni con le frazioni 1) Calcola mentalmente e scrivi solamente le risposte: FARINA 3 Kg a. La farina viene divisa in sacchi da ½ kg. Quanti sacchi riempi? 5 Kg b. La farina viene divisa in 15 sacchi uguali. Quanti Kg. contiene ogni sacco? 4 m c. Una striscia di plastica è divisa in pezzi da ⅓ m. Quanti pezzi si ottengono? d. Una canoa percorre 10 km viaggiando 2½ Km all ora. Quanto tempo impiega per compiere il viaggio? e. Ogni ½ ora Piero percorre a piedi ⅔ di km di strada. Quanti km percorrerà in 3 ore? f. Un robot si sposta di ½ Km alla velocità di ¼ di km/h. Quanto tempo impiegherà? Dopo aver trovato le risposte adeguate ad ogni quesito, mostra graficamente ed operativamente il percorso utilizzato. CONTENUTI MATEMATICI Frazione come quoziente di numeri naturali Operazioni con le frazioni MOTIVAZIONI DIDATTICHE Presentazione di situazioni problematiche reali Scelta dell operazione da associare alle situazioni Divisione di una quantità in parti Transcodificazione del testo in operazioni con simboli verifica utilizzo varie unità di misura DIFFICOLTÀ PREVISTE Scegliere operazioni adatte in contesti diversi Utilizzare varie unità di misura Conoscere il concetto e l algoritmo della divisione e moltiplicazione 31

Analisi risposte Quesito a (3:1/2 = 6) Il 70% ragiona così: 2 sacchi contengono 1 chilo, quindi 2*3 = 6; Il 20% usa l addizione di frazioni,1/2+1/2+1/2+1/2+1/2+1/2 e conta il numero di volte che ha usato la frazione, cioè 6; Il 10% ricorre alla divisione, trasformando la frazione in numero decimale, 3:0,5 = 6; Quesito b (5:15 = 1/3) La maggior parte con il fare la divisione 5:15, ma quando osserva il risultato che ottiene, 0,333.., allora il 20% si ferma e accetta questo risultato, mentre i rimanenti ricorrono alla riduzione ai minimi termini della frazione 5/15 per trovare la frazione equivalente 1/3. Quesito c (4:1/3 = 12) Si ripete la stessa situazione vista nel caso a con gli stessi esiti, eccetto per l uso della divisione, in quanto i pochi che l utilizzano si accorgono subito che questa strategia non è opportuna (4:0,33.. =?) e lo risolvono usando la somma di frazioni. Quesito d (10:(2+1/2) = 4) Il 70% usa questa strategia, 1 ora per 2,5 km; 2 ore per 5 km; 3 ore per 7,5 km; quindi 4 ore per 10 km; Il 30% utilizza la divisione, 10:2,5 = 4 Nessuno usa l algoritmo della divisione fra frazioni, 10:5/2 = 10*2/5 = 4. Quesito e (2/3*6 = 4) Tutti adottano la stessa strategia, 2/3 km ogni ½ h, 4/3 km ogni 1 h, 6/3 km ogni 1 e ½ h, 8/3 km ogni 2 h, 10/3 km ogni 2 e ½ h, 12/3 km ogni 3 h, quindi 4 km. Quesito f (1/2:1/4 = 2) Tutti adottano la stessa strategia additiva, vista anche sopra negli altri quesiti come preponderante,1/4+1/4 = 2/4 =1/2 km da percorrere, e contano il numero di volte che hanno usato la frazione, 2, che è il tempo impiegato. 32

Scheda n 2 Uno studente di liceo contesta la valutazione ricevuta in storia argomentando al padre che la colpa di quell insufficiente è solamente dovuta al fatto che l insegnante non conosce la matematica. Infatti racconta che il professore ha l abitudine di scrivere sotto forma di frazione la valutazione dei questionari; ad esempio se le risposte corrette sono 8 su 10 scrive 8/10. Quindi racconta di avere ricevuto due questionari di verifica in cui egli ha totalizzato rispettivamente 9/20 e 6/15. Il giudizio complessivo dell insegnante è stato insufficiente in quanto egli ha usato questa scrittura 9/20+6/15 = 15/35, che corrispondendo a meno della metà del totale, nella sua classificazione, equivale ad insufficiente. Secondo lo studente questa conclusione è sbagliata perché l insegnante, a- doperando quella scrittura, sarebbe dovuto arrivare a questo risultato 9/20+6/15 = 51/60, che corrispondendo ad un valore superiore alla metà del totale, significa almeno buono. Dopo aver analizzato le due situazioni, secondo te chi ha ragione? Spiega in maniera dettagliata il ragionamento che hai utilizzato per arrivare alla soluzione. CONTENUTI MATEMATICI Rapporto Addizione con frazioni Valore medio MOTIVAZIONI DIDATTICHE Presentazione di una situazione di distrazione per una riflessione sull uso dell addizione Applicazione del concetto di addizione, di rapporto e del valore medio in contesti ambigui DIFFICOLTÀ PREVISTE Confondere il concetto di addizione con l applicazione del suo algoritmo Sapersi orientare in situazioni che sembrano paradossali, fornendo spiegazioni motivate Comprendere che l addizione non è pertinente alla situazione presa in esame 33

Scheda n 3 (*) a) Ogni parte indicata sopra questa linea rappresenta 1/12 di metro. Che cosa rappresenta ogni parte indicata sotto la linea? 0 m 1m b) Accoppia ogni quantità frazionaria ad una distanza indicata sulla figura: - 3/10 di m - ½ di m - 6/5 di m - ¾ di m - 5/6 di m C A E 0 m D 1 m B c) Elenca le quantità frazionarie sopra indicate in ordine crescente. CONTENUTI MATEMATICI Operatori equivalenti Frazione come parte di Confronto di frazioni Unità frazionarie Concetto di misura (misure di lunghezza) MOTIVAZIONI DIDATTICHE Interpretazione di rappresentazioni grafiche di frazioni Confronto grafico di frazioni Individuare frazioni equivalenti Ordinare frazioni DIFFICOLTÀ PREVISTE Individuare parti equivalenti Associare a lunghezze congruenti operatori equivalenti Ordinare operatori diversi 34

Scheda n 4 (*) 1) Questa asse è stata segata in 7 parti uguali. Quale di queste è la miglior stima per la lunghezza di ogni parte? 3m A: circa 0,3 m B: circa 0,4 m C: circa 0,5 m Copia e completa: 3 m : 7 = m 2) Questa asse è stata segata in 8 parti uguali. Qual è la lunghezza di ogni parte? Per trovare la risposta Mario ha utilizzato questa procedura: 5m 5m 8 50 decimi 8 0,6 m e 20 centesimi 8 0,62 m e 40 millesimi 8 0,625m (⅝) m Un altra asse della stessa lunghezza poi è stata segata il 6 parti uguali. Qual è la lunghezza di ogni parte? Prova ad usare la stessa procedura di Mario per trovare la soluzione. 5m 6 50 decimi 6 0,8 m e 20 centesimi 6 0,83 m e 20 millesimi 6 0,83 m e 20 decimillesimi 6 Mario aveva preparato una tabella di possibili lunghezze tra cui poter scegliere quella più adatta: 0,82 0,83 0,84 0,832 0,833 0,834 0,8332 0,8333 0,8334 0,83332 0,83333 0,83334 Prova ad aiutarlo a scegliere la misura più accettabile, motivando la tua scelta. 35

CONTENUTI MATEMATICI Numeri decimali finiti e periodici Stima ed approssimazione MOTIVAZIONI DIDATTICHE Saper rappresentare con una frazione sia i numeri decimali finiti che periodici Saper utilizzare approssimazioni in contesti reali in contrapposizione a quelli matematici DIFFICOLTÀ PREVISTE Conoscere l algoritmo della divisione Saper distinguere le tre opzioni e saper spiegare la scelta effettuata 36

Scheda n 5 (*) Dopo quante moltiplicazioni 2\3 x 2\3 x 2\3. il risultato che ottieni sarà < di 3\10? Dopo quante moltiplicazioni 1 1\3 x 1 1\3 x 1 1\3 x.il risultato che ottieni sarà > di 10? La lettera T mostrata qui è stata ampliata adoperando una fotocopiatrice con un fattore di ingrandimento di 1 1\2. La T risultante è stata nuovamente ampliata con un fattore di 2 1\3. Quanto grande e ampia sarà la T finale? ⅔ m ⅓ m Calcola l area dei vetri occorrenti per ogni sezione della finestra qui rappresentata. Controlla poi che la somma delle quattro aree equivalgono ad 1 m² di vetro ¼ m ¾ m 37

Scheda n 6 (*) a. Quante divisioni 2\3 : 2\3 : 2\3..sono necessarie prima che il risultato sia > 10? b. Quante divisioni 1 1\2 : 1 1\2 : 1 1\2.sono necessarie prima che il risultato sia < 0,1? Continua dividendo qui ½ m ¼ m c. Continua dividendo il quadrato di 1m in questo modo Qual è l area del quadrato rosso? Qual è l area del successivo quadrato rosso più largo? Qual è l area del quinto quadrato rosso più largo? Se continui a dividere così, quale frazione dell intero quadrato sarà eventualmente rosso? Quale risultato otterrai da questa addizione infinita? (1\2) 2 + (1\4) 2 + (1\8) 2 + (1\16) 2 +. ½ m ½ m 38

NUMERI RAZIONALI Analisi della frazione come rapporto Schede di lavoro accompagnate da un analisi a posteriori. Gli aspetti/contenuti matematici sono dichiarati nella scaletta sotto, dove è proposto anche un possibile percorso come motivazione didattica e come interpretazione della tematica in discussione, certamente non rigoroso e vincolante. Aspetti matematici: a) Presentazione dell argomento con situazioni problematiche b) Approccio storico-linguistico c) Correlazione tra rapporto e operazione di divisione d) Possibilità di diverse forme di scrittura e) Rapporti diretti ed inversi f) Rapporto fra grandezze omogenee g) Rapporto fra grandezze non omogenee h) Problemi storici, sfide 39

a) Situazioni problematiche 1) Aldo, un muratore, per fare del buon calcestruzzo mescola 3 carriole di sabbia con una carriola di cemento e aggiunge acqua quanto basta; Luigi, suo figlio, mescola 3 bicchieri di sabbia con un bicchiere di cemento e aggiunge acqua quanto basta. Ottengono entrambi lo stesso tipo di calcestruzzo? Motiva la tua risposta. 2) La classe divisa in 4 gruppi deve preparare una soluzione di solfato di rame (CuSO 4 ) in acqua (H 2 O) con queste consegne: il gruppo A adopera 1,5 g. di solfato di rame e 30 ml di acqua il gruppo B adopera 2,5 g. di solfato di rame e 50 ml di acqua il gruppo C adopera 4 g. di solfato di rame e 80 ml di acqua il gruppo D adopera 5,5 g. di solfato di rame e 110 ml di acqua Osserviamo le 4 soluzioni così preparate, avranno lo stesso colore (cioè avranno la stessa concentrazione di solfato di rame in acqua)? Per facilitare il confronto si può prelevare da ogni soluzione la stessa quantità (es. 10 ml) e introdurla in altrettante provette. Dopo questa valutazione colorimetrica, illustra brevemente la tua risposta, analizzando i dati numerici in tuo possesso. Analisi risposte La maggior parte degli alunni rileva che le soluzioni presentano lo stesso colore e lo giustificano così: a) 1,5:30=0,05; 2,5:50=0,05; 4:80=0,05, 5,5:110=0,05; trovano quindi che in un ml di acqua sono contenuti sempre 0,05 g. di solfato di rame b) se moltiplico per 10 il soluto questo è sempre la metà del solvente c) 30:1,5=20; 50:2,5=20; 80:4=20; 110:5,5=20; trovano quindi che un g. di solfato di rame è sempre sciolto in 20 ml di acqua. 41

3) In un urna ci sono 10 palline: 6 rosse e 4 verdi: In un altra invece ci sono 15 palline: 9 rosse e 6 verdi. Si vince se si estrae una pallina rossa. Indica in quale delle due urne conviene pescare (scegli la risposta che ritieni migliore e motivala). a) conviene pescare nella prima urna perché le verdi sono 2 di meno che nella seconda b) conviene pescare nella seconda urna perché le rosse sono 3 di più che nella prima c) è indifferente pescare nella prima o nella seconda urna perché 6/10=9/15 Analisi risposte La quasi totalità degli alunni ha scelto la risposta c, solo il 10% la risposta b. Per arrivare alla risposta c vari sono stati i percorsi seguiti: la maggior parte ha seguito l indicazione data e ha confrontato le palline rosse con le totali, procedendo alla riduzione ai minimi termini delle frazioni così ottenute (3/5) altri invece hanno fatto il rapporto fra le verdi nei due casi, fra le rosse nei due casi e fra i totali nei due casi, ottenendo così lo stesso rapporto (2/3) altri ancora, se pur in numero minore, hanno analizzato il rapporto fra rosse e verdi in ogni situazione e hanno trovato lo stesso quoziente (6/4=9/6=1,5) 42

b) Approccio storico-linguistico La classe, divisa in gruppi, ricerca su vari dizionari il termine rapporto e annota i vari significati trovati; si avvia una discussione con l intera classe sull uso di questo termine nel linguaggio storico-naturale e in quello prettamente scientifico. Esercitazione sul lessico Sfogliando il dizionario alla voce rapporto ho trovato questi significati: relazioneinformazione-riunione-connessione-quoziente fra due grandezze-quoziente fra due valori. Ogni frase contiene dei puntini, che stanno al posto del termine rapporto ; inserisci in questo spazio una delle voci evidenziate sopra, facendo attenzione a scegliere la più opportuna in ogni occasione. Esiste senza dubbio fra il lampo che vedo e il tuono che sento; Riguardo l affronto subito da Aldo, dovrò inoltrare. all autorità giudiziaria; Il comandante della caserma convocò. di tutti i suoi soldati; Poter contare su di amicizia con qualcuno è una cosa che ti fa sentire meglio; Il fra lo spazio percorso da una macchina e il tempo che impiega a percorrerlo si chiama velocità; Dovrò scrivere.. su quello che è successo; Il reti nello sport del calcio è il numero che si ottiene dividendo il numero delle reti realizzate per quello delle reti subite. 43

c) Identificazione di rapporto con l operazione di divisione 1) Marco e Alberto sono due fratelli, il primo ha 30 anni e il secondo 15. Qual è la differenza di età fra di loro? Qual è il rapporto fra le loro età? Trascorrendo il tempo come diventerà la loro differenza e il loro rapporto? Per rispondere a questo quesito prepara una tabella di dati opportuni, ed illustra che cosa hai scoperto. Tempo Differenza Rapporto Oggi 30-15=15 30/15=2 Fra 5 anni 35-20=15 35/20=1,75 Fra 10 anni 40-25=15 40/25=1,6 Fra 20 anni 50-35=15 50/35=1,4 Fra 40 anni 70-55=15 70/55=1,26 Fra 60 anni 90/75=15 90/75=1,2 Fra 100 anni 130-115=15 130/115=1,13043. Mentre la differenza rimane costante nel tempo, il rapporto varia e tende all unità (invecchiando le persone anche fisicamente tendono a somigliarsi maggiormente!!!). Procedendo nel tempo il rapporto potrà mai arrivare a valere uno? 44

2) Una partita di calcio è terminata in parità e quindi si procede ai calci di rigore. I tiri fatti e le reti segnate dai giocatori di una squadra sono elencati nella seguente tabella: Nome giocatore Tiri effettuati Reti segnate Carlo 10 4 Giorgio 5 2 Matteo 3 1 Marino 7 3 Vittorio 8 3 Quale giocatore è stato più bravo? Perché? Quale giocatore è stato meno abile? Perché? Analisi risposte Quest esercizio ha evidenziato una certa selettività, in quanto presenta una duplice difficoltà, anche se di ordine diverso: la prima, che in verità è stata mostrata solo da pochi (10%), è quella di giudicare in base alla differenza fra tiri e reti, per cui risulta che il più bravo è Matteo e il meno abile è Carlo la seconda invece è stata quella di individuare (25%) correttamente che per giudicare bisognasse scegliere il rapporto mediante la divisione, solo che hanno operato con i termini nell ordine come erano scritti e ottenuti i valori numerici non hanno saputo interpretare adeguatamente, facendo risultare il più bravo Matteo e il meno a- bile Marino, proprio il contrario di quello che doveva essere. 45

3) (*) Nella vetrina di un negozio di sport trovo queste due proposte per due biciclette importanti: O F F E R T I S S I M A 160 252 anziché anziché 200 300 Quale tra queste due offerte è conveniente accettare, se desideri avere la più alta riduzione in percentuale? Analisi risposte La stessa analisi vista per l esercizio precedente vale anche per questo, anche se con percentuali di risposte errate minori, dovute forse al fatto che in questo caso si fa esplicitamente riferimento alla strada da seguire (riduzione in percentuale). 46

d) Possibilità di scrittura (*) 1) Qual è di più? 1/3 del bicchiere di limonata o il 30% di esso 3/4 di 80 kg o 70% di 80 kg 1/2 di 50 cm o 55% di 50 cm 1/10 di 12 l o 12% di 12 l 73/100 del bicchiere di limonata o 72% di esso 40/100 di 50 kg o 42% di 50 kg 3/10 di 75 cm o 28% di 75 cm 2/5 di 100 cm o 25% di 100 cm 1/8 di 80 l o 8% di 80 l 1/5 di 5 m o 5% di 5 m 2) (*) Parliamo di percentuali Ecco alcuni modi in cui % viene usato. Scrivi la risposta ad ogni domanda che segue. a) Questa è l etichetta del grembiule di Rupinder. b) Sono in forma al 100 per cento Sono in forma al 99 per cento 100% COTONE Cosa significa? Marco Paolo c) Luca Cosa intendono Marco, Luca e Paolo? Sono in forma al 120 per cento d) Lo sapevi? Circa il 60% di te è acqua. Scrivi l insegna in altro modo. Non usare il % o per cento. 1) Quanto di te non è acqua? 2) A quanti chilogrammi circa corrisponde? 47

Analisi risposte Sono due esercizi di tipo tradizionale sulla notazione frazionaria e percentuale e come tali non hanno creato particolari problemi, se non mettere in rilievo (circa il 10% del campione) qualche difficoltà nel confrontare le due notazioni. Il secondo esercizio proposto è forse più interessante dal punto di vista didattico, in quanto è calato in situazioni concrete e reali; dal punto di vista tecnico non rappresenta un grosso scoglio; qualche perplessità è stata manifestata sul significato da attribuire all informazione 120% da circa il 20% degli alunni, che non hanno saputo giustificare correttamente. Non è stata presa in considerazione la notazione decimale per rappresentare un rapporto, dato lo scarsissimo uso che se ne fa. 48

e) Rapporti diretti ed inversi 1) (*) Sullo scaffale di un supermercato trovi esposto due tubi di dentifricio della marca che preferisci; uno da 125 ml costa 1,40; quello da 50 ml invece costa 0,62. 0,62 1,40 125 ml 50 ml Qual è più conveniente acquistare? Controlla la tua risposta calcolando: a) il costo per millilitro di ogni confezione b) quanto dentifricio avresti ottenuto con un centesimo di euro per ognuna delle due confezioni 2) (*) Su un altro scaffale trovi esposto due lattine di conserva di pomodoro; una contiene 340 g. e costa 0,36, l altra contiene 454 g. e costa 0,52. Quale delle due lattine di conserva di pomodoro è più conveniente acquistare? Conserva di pomodoro 454g. 0,52 0,36 Controlla la tua risposta calcolando: a) il costo per grammo di ogni lattina b) quanta conserva avresti ottenuto con un centesimo di euro 49

Analisi risposte L attività proposta è risultata stimolante forse perché è correlata ad una consegna reale e è guidata nella risoluzione. Alcune difficoltà sono sorte nell uso dei numeri decimali, che dovevano servire per effettuare un adeguato confronto. La quasi totalità ha seguito la strategia di soluzione chiaramente indicata (calcoli e confronto), mentre un 25% di ragazzi nel primo quesito è riuscito a rispondere in modo a- deguato senza ricorrere ai calcoli con i numeri decimali ( /1ml e ml/0,01 ), controllando quante volte il tubo di dentifricio piccolo è contenuto nel grande e calcolando poi il prezzo corrispondente. È interessante osservare come questi ragazzi risolvano il problema, sfruttando il principio della proporzionalità, del rapporto proporzionale applicato a due grandezze direttamente proporzionali, anche se questo argomento non è stato ancora affrontato e trattato. Questo fatto non deve meravigliarci più di tanto, in quanto questo principio è abbastanza intuitivo, come il rapporto aureo per il gusto estetico; quello che caso mai sorprende è l uso adeguato fatto in situazioni stimolate da problematiche reali. Un errore da segnalare è risultato quello di effettuare il confronto in modo superficiale, facendo riferimento esclusivamente al volume delle sostanze trattate (ben il 14%). Le risposte ai due quesiti nei due problemi hanno avuto lo stesso esito: alla domanda a risponde correttamente 86% del campione alla domanda b risponde correttamente il 70% del campione Gli errori più comuni riscontrati sono: calcoli con i numeri decimali (sembra impossibile poter fare una divisione quando il dividendo è minore del divisore), rapporto inverso e sua interpretazione. 50

3) Scrivi alcuni prodotti di due rapporti, uno l inverso dell altro. Osserva i risultati ottenuti, cosa puoi dire.. 4) Il rapporto fra l età del signor Luigi e quello del figlio Luca potrebbe essere 5/2 oppure 2/5. Spiega quale delle due informazioni può essere ritenuta corretta. Fra 10 anni questo rapporto sarà maggiore, minore o uguale? 5) Scegli due numeri naturali a e b e calcola il loro rapporto. Prendi poi un altro numero naturale c tale che sia c>b; il rapporto fra a e c sarà maggiore, minore o uguale al precedente? Analisi risposte Questa batteria di esercizi, che potremo catalogare di addestramento, non ha evidenziato particolari difficoltà per la parte tecnica di soluzione, anche se l uso delle lettere qualche perplessità la crea sempre; invece ha messo in evidenza come l utilizzo della giustificazione di un ragionamento pulito sia un traguardo difficile da raggiungere. Il 15% è arrivato al risultato senza giustificarlo, il 20% si è fermato a metà percorso, un altro 20% non ha analizzato tutti i casi possibili, arrivando quindi a generalizzare senza aver provato tutte le possibilità e solo il 45% ha eseguito le consegne in modo adeguato. 51

f) Rapporto fra grandezze omogenee 1) (*) Laura e Daniele stanno dipingendo la loro casetta da giardino. Il papà la desidera grigia. Il negozio ha solo barattoli di tinta bianca e barattoli di tinta nera. Laura mescola 2 barattoli di tinta bianca con 7 barattoli di tinta nera. Daniele invece mescola 3 barattoli di tinta bianca con 9 barattoli di tinta nera. a) Le due pareti della casetta avranno lo stesso colore? Una parete sarà più scura? Quale? b) Laura aggiunge 1 barattolo di bianco e 1 barattolo di nero; il suo colore sarà più chiaro o più scuro? c) Laura aggiunge 1 barattolo per ogni colore. Avrà mai lo stesso colore di Daniele? Se questo evento si verifica, quanti barattoli avrà mescolato? d) Dopo un poco, Laura ha mescolato 7 barattoli di bianco e 12 di nero, però i colori proprio non si accordano. Allora prova Daniele e anche lui aggiunge barattoli di tinta, 1 di bianco e 1 di nero ogni volta. Riuscirà ad ottenere il colore di Laura? Se si, quanti barattoli di ogni colore ha mescolato? 52

Analisi risposte L attività, svolta a gruppi di due, si è dimostrata molto accattivante; ha suscitato l interesse di tutti forse perché avere la possibilità di lavorare su situazioni così reali e concrete ha creato negli alunni la convinzione di essere in grado di padroneggiare il processo, nonostante sotto ci siano concetti matematici importanti come il rapporto, la proporzionalità, le proprietà delle operazioni,. Alla risposta a rispondono correttamente il 70%, mentre il 30% sbaglia identificando il rapporto con la differenza fra i barattoli di colore diverso; le strategie utilizzate per rispondere correttamente sono state diverse: la maggior parte ha utilizzato la riduzione all unità e quindi ha controllato quanti barattoli neri avevano i due ragazzi per 1 barattolo bianco, da qui poi la loro decisione; il 30% ha confrontato i due rapporti 2/7 e 3/9 trovando il risultato ricorrendo alle frazioni equivalenti espresse con lo stesso denominatore (2/7 = 18/63 < 3/9 = 21/63); il 20% ha confrontato i due rapporti con l utilizzo del calcolo percentuale (2/7 = 28,5%, 3/9 = 33%). Alla risposta b rispondono correttamente il 70%, il 30% sbaglia e l errore più comune è quello di applicare la proprietà invariantiva all addizione. La maggior parte risolve il quesito analizzando i quozienti fra i due rapporti; quelli che avevano usato le strategie del confronto mediante lo stesso denominatore o le percentuali, riutilizzano le stesse. Alle risposte c e d rispondono correttamente 85% del campione; quel 70% che aveva già giustificato i primi due quesiti, utilizzando le stesse strategie, non ha difficoltà a rispondere anche a questi. Si aggiunge un ulteriore 15%, che sulla base di un ragionamento logico insito nel testo risponde correttamente, anche se non riesce a dare una giustificazione accettabile, perché non sorretta da calcoli adeguati. 53

2) (*) Claudio sta piantando 2 aiuole di tulipani; vuole usare un miscuglio di tulipani rossi e gialli. Nella prima pianta 5 tulipani rossi per ogni 3 tulipani gialli. Nella seconda pianta 3 tulipani rossi per o- gni 2 tulipani gialli a) Quale aiuola di tulipani vedrà più gialla da lontano? b) Quale di questi miscugli userà per vederla più gialla? 4 rossi ogni 7 gialli o 7 rossi ogni 10 gialli c) Quale di questi miscugli userà per vederla più rossa? 3 rossi ogni 10 gialli o 5 rossi ogni 16 gialli. Analisi risposte Le risposte corrette rappresentano 80% del campione, mentre quelle errate sono il 20%. Gli errori più comuni sono dovuti al confronto tra le due informazioni utilizzando la differenza o sparando a caso, mentre le strategie correte usate sono per la maggior parte l utilizzo della divisione, il 25% invece esegue il confronto ricorrendo alle frazioni con lo stesso denominatore e il 20% al calcolo percentuale. Analizzando questi risultati, possiamo notare come siano in linea con l analisi dell esercizio precedente. 3) Ho una fotografia rettangolare con le dimensioni di 6 cm e 10 cm. La voglio ingrandire senza deformare l immagine per inserirla in un album, in modo che la dimensione maggiore diventi 15 cm. Stabilisci quanto dovrà essere lunga l altra dimensione e spiega il ragionamento che hai seguito. Analisi risposte Questo quesito sembra abbastanza banale, se i ragazzi hanno già avuto modo di trattare l argomento proporzioni, al contrario non risulta così semplice se questo meccanismo non fa ancora parte delle loro conoscenze matematiche. Le risposte corrette sono risultate essere il 75%, il restante 25% non ha fatto riferimento al rapporto, ma ha semplicemente addizionato alla dimensione più piccola l incremento dato alla dimensione più grande. La strategia più utilizzata è stata quella di lavorare con le frazioni equivalenti ( 6/10 = 3/5 = 9/15) in maniera da mantenere lo stesso rapporto. Un 20% invece ha utilizzato questo percorso: 6:10 = 0,6 : 15 = 6 per cui 0,6*15 = 9. 54

g) Rapporto fra grandezze non omogenee 1) Il signor Mario ha sparso 5g. di semi di insalata per la sua aiuola di 20 m². Il signor Giuseppe ne ha invece usati 3g. per un pezzo di terreno di 15 m². Supponendo che ci sia in entrambi i casi una distribuzione regolare dei semi, in quale dei due terreni l insalata crescerà presumibilmente più fitta? Spiega il ragionamento che hai fatto. Analisi risposte Il quesito risulta abbastanza semplice, anche se le strategie di soluzione appaiono alquanto diverse; le risposte corrette rappresentano il 95%, il restante 5% si perde nell analisi fuorviante dei numeri che esprimono i grammi di semi e non forniscono alcuna spiegazione della loro risposta. La maggior parte (il 60%) confronta le due informazioni ricorrendo alla riduzione dell unità, controllando quindi mediante una divisione quanti grammi di semi per metro quadrato (5:20 = 0,25 g/m²; 3:15 = 0,20 g/m²). Un altro 25% si aiuta per il confronto con le frazioni equivalenti (proprietà invariantiva), dimostrando che 5/20 = ¼ e 3/15 = 1/5, per cui il terreno più prolifico sarà il primo perché si spargono 1 grammo di semi ogni 4 m² rispetto al secondo dove si spargono 1 grammo di semi ogni 5 m². Il 10% infine utilizza lo stesso metodo, però prendendo come riferimento non la costanza dei semi ma il terreno e dimostra così la sua strategia: primo terreno 5g. su 20 m², secondo terreno 3g. su 15 m², che corrisponde a 4g. su 20 m², infatti 3/15 = 4/20, giungendo così alla stessa conclusione. 55

2) (*) Tom e Sara sono all aeroporto. Il cancello del check-in è lontano 540 m. Tom si trova sul tappeto mobile. La sua velocità è di 1m/s. Sara cammina in modo costante. Lei arriva in 6 minuti. a) Di quanto si sposta Tom ogni secondo? b) Chi è il primo ad arrivare al cancello del check-in? c) Di quanto si sposta al minuto Sara camminando? d) Di quanto si sposta al secondo? e) Qual è la velocità dello spostamento costante di Sara? Analisi risposte Il quesito proposto non presenta grosse difficoltà in quanto l alunno viene indirizzato e accompagnato verso la soluzione. I risultati ottenuti sono stati soddisfacenti per il 90%, mentre il restante 10% ha incontrato qualche intoppo all interno delle varie risposte, dovuto soprattutto alle varie trasformazioni necessarie per arrivare ai risultati che prevedono di lavorare con un sistema sessagesimale. La strategia utilizzata da tutti è stata quella classica, prima l uso diretto e poi inverso della formula che esprime la velocità e la relativa sostituzione dei numeri alle lettere. 56

3) (*) Velocità e grafici Sono qui riportate alcune letture dei tachimetri di due rulli compressori A. Uno dei due non sta certamente viaggiando a velocità costante. Quale? B. Non si può dire se l altro stia viaggiando a velocità costante oppure no. Spiega perché. C. Il grafico si riferisce al rullo compressore 1. Copia il grafico su di un foglio a quadretti e completalo. D. I punti del grafico sono uniti da una linea tratteggiata. Perché pensi sia stato fatto così? Velocità (km/h) 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0 1 2 3 4 5 6 tempo (min) 57