LA VARIABILE ESPONENZIALE

LA VARIABILE ESPONENZIALE E. DI NARDO 1. Analogia con la v.a. geometria In una successione di prove ripetute di Bernoulli, la v.a. geometrica restituisce il numero di prove necessarie per avere il primo successo. La v.a. esponenziale ha analogo significato, cioè rappresenta un tempo di attesa, ma nel continuo, ossia quando l evento etichettato come successo può verificarsi in un qualsiasi istante temporale t >. Consideriamo il seguente esempio. Sia N t il numero di telefonate che arriva ad un centralino telefonico nell intervallo [,t). Assumiamo che N t sia una v.a. di Poisson di parametro λt, con λ R +. Sia T la variabile aleatoria che descrive l istante in cui arriva la prima telefonata. E lecito assumere P(T t) = per t <. Invece per t si ha Di conseguenza si ha (1.1) P(T t) = P(T > t) = P(N t = ) = exp( λt). {, per t <, 1 exp( λt), per t. La funzione F T (t) = P(T t) gode di tutte le proprietà di una funzione di ripartizione, ossia lim F T(t) = 1, lim F T(t) = t t e inoltre è non decrescente (in particolare è strettamente crescente per t 1 < t 2.) Ammette derivata prima 1 F T (t) per ogni t R {}. In particolare F T (t) = f(t) (quasi ovunque) con {, per t <, (1.2) f(t) = λ exp( λt), per t, funzione non-negativa, continua eccetto che in e integrabile (vedi Appendice.1). Pertanto F T (t) è la funzione di ripartizione di una v.a. assolutamente continua (vedi Appendice.2), che viene denominata v.a. esponenziale 2. Poichè la v.a. esponenziale ha significato di tempo di attesa di un evento, questo evento potrebbe essere il guasto (o la rottura) di un sistema soggetto a stress casuali. 1 In t = ha una discontinuità di I specie, poichè limite destro e sinistro del rapporto incrementale sono diversi. 2 In alcuni testi si parla di v.a. esponenziale negativa, poichè per λ = 1 la funzione f(t) coincide con l esponenziale exp( x). 1

2 E. DI NARDO 2. La v.a. esponenziale La v.a. esponenziale è un modello stocastico impiegato per descrivere l affidabilità di sistemi. Funzione di affidabilità. Nello studio dell affidabilità, la funzione di ripartizione F T (t) è detta funzione di guasto, poichè rappresenta la probabilità che il guasto si verifichi prima dell istante t. Il complementare a 1 di F T (t), ossia R(t) = 1 F T (t) = P(T > t), t rappresenta la probabilità che il guasto si verifichi dopo l istante t, ossia che all istante t il sistema sia ancora funzionante. Viene pertanto denominata funzione di affidabilità. La funzione di affidabilità gode di proprietà speculari alla funzione di guasto: (1) R() = 1 ossia nell istante in cui l osservatore inizia a monitorare il sistema (istante ), questo si suppone funzionante; (2) lim t R(t) =, ossia al trascorrere del tempo, l affidabilità del sistema diminuisce; (3) R(t) è funzione non crescente, ossia comunque scelti t 1 < t 2 risulta R(t 1 ) R(t 2 ). Nel caso esponenziale la funzione di affidabilità è strettamente decrescente poichè R(t) = exp( λt). Esempio. Sia T il tempo di guasto di un componente elettronico in un aereo, descritto da una v.a. esponenziale di parametro 1/1 giorni. Determinare la probabilità di guasto dopo un anno. Si tratta di calcolare F T (365) che risulta essere all incirca del 3%. Determinare il numero massimo di giorni tale che la probabilità di guasto è al più.5. Si tratta di calcolare t = max t {t : F T (t).5}. Trattandosi di funzione strettamente crescente per t, bisogna determinare quel valore t tale che F T ( t) =.5 ossia t 22 giorni. Si assuma che, da valutazioni di natura statistica, si conosca l affidabilità dopo 5 anni dello stesso componente fornito da un altra azienda. Ad esempio si sa che questa affidabilità vale 6%. Quanto vale il parametro λ? Si tratta di determinare quel valore di λ tale che R(5 365) =.6. In tal caso risulta λ 1/22 anni. Il significato del parametro λ. Nell esempio precedente, l affidabilità del 6% veniva raggiunta dal primo componente dopo 1.5 anni. Pertanto è evidente che il componente prodotto dalla seconda azienda ha una maggiore durata di vita. Poichè per la seconda azienda il valore del parametro è inferiore a quello della prima azienda, si intuisce che tempi di vita maggiori corrispondono a valori del parametro λ più piccoli. Infatti, la funzione densità, al diminuire di λ, si schiaccia sull asse delle ascisse. Di conseguenza la media si sposta verso valori più elevati e il sistema si guasta mediamente più tardi. Pertanto λ risulta essere inversamente proporzionale al tempo di vita medio del sistema, come infatti risulta calcolando E[T] : E[T] = λt exp( λt)dt = 1 λ.

LA VARIABILE ESPONENZIALE 3 3. Proprietà della v.a. esponenziale Il parametro λ ha anche un altro significato riconducibile al tasso di guasto del sistema. Tasso di guasto. Si definisce tasso di guasto, la funzione H(t) = f(t), pert. R(t) Per comprendere il significato di H(t) si osservi che H(t) t = f(t) t R(t) t+ t f(s)ds t P(t < T t + t) = = P(t < T t+ t T > t). R(t) P(T > t) La funzione H(t) rappresenta un tasso perchè moltiplicata per t restituisce la probabilità che il sistema si guasti in un intervallo di tempo t successivo all istante t, essendo giunto il sistema funzionante all istante t (si veda Appendice.3). Nel caso della v.a. esponenziale questo tasso è costante e pari a λ. L ipotesi che il tasso di guasto di un sistema si mantenga costante nel tempo appare inverosimile per sistemi reali, soggetti a usura. Come se il sistema dimenticasse il tempo trascorso. Questa proprietà è detta assenza di memoria e caratterizza la v.a. esponenziale come vedremo tra breve. Qui è utile ricordare che si può assumere costante un tasso di guasto relativo ad un sistema/soggetto quando lo si considera nella fase adulta, ossia quando solo fattori accidentali possono provocarne un guasto. Più in generale per descrivere il tasso di guasto di un sistema reale, si usano le curve cosidette a vasca da bagno, come quella di figura 1. Fig.1: Curva a vasca da bagno In questa figura, la prima parte del grafico descrive il tasso di guasto di un sistema durante la sua infanzia, ossia quando viene messo in funzione e si possono verificare guasti di rodaggio o di errata progettazione. Il tasso decresce al crescere del tempo, a testimonianza del buon funzionamento del sistema. Segue la fase adulta, dove si immagina un sistema stabile rispetto a stress casuali, se questi si mantegono al di sotto di una certa soglia. Infine la parte finale del grafico è una curva crescente. In tal caso la probabilità che si verifichino guasti da usura aumenta al trascorrere del tempo, favorendo la rottura del sistema. Un tasso di guasto che può tornare utile per la modellizzazione matematica di una curva a vasca è il seguente H(t) = λβ t β 1, t >,β R +. Infatti per β < 1 il tasso H(t) decresce, per β = 1 il tasso è costantemente uguale a λ (caso esponenziale), per β > 1 il tasso cresce. Il tempo di vita associato a questo tasso di guasto è descritto da una v.a. detta di Weibull che verrà introdotta in seguito. Proprietà di assenza di memoria. Vale il seguente teorema.

4 E. DI NARDO Teorema 3.1. Se T è una v.a. esponenziale allora (3.1) P(T > t + s T > s) = P(T > t) t,s. Il significato dell equazione (3.1) si può così riassumere: se il sistema non si è guastato fino all istante s, evento (T > s), la probabilità che non si guasti in un successivo intervallo temporale di ampiezza s, evento (T > t + s), dipende solo da t e non dalla vita trascorsa s. Proof. P(T > t+s T > s) = P[(T > t + s) (T > s)] P(T > s) Dalla dimostrazione si evince che = P[(T > t + s)] P(T > s) (3.2) R(t + s) = R(t)R(s), s,t, = R(t + s) R(s) = R(t). anche nota come equazione di Cauchy, ulteriore proprietà della funzione di affidabilità delle v.a. esponenziali. Inoltre posto T s = T s, tempo di vita residua del sistema, la proprietà di assenza di memoria equivale a richiedere che la durata di vita residua ha la stessa distribuzione della durata di vita iniziale, come se il sistema non si fosse usurato. Corollario 3.2. Se T è una v.a. esponenziale allora P(T s > t T > s) = P(T > t) per ogni s,t. La proprietà di assenza di memoria era già stata data per la v.a. geometrica, sicchè la analogia come tempo di attesa è ancora più evidente. Più precisamente, una v.a. X si dice senza memoria se a,b I (dove I indica il range di X) tali che a + b I, si ha P(X > a + b X > a) = P(X > b). In realtà si dimostra che se X è una v.a. senza memoria per s,t allora X è una v.a. esponenziale (per la dimostrazione si veda Appendice.4). Se s,t N allora X è una v.a. geometrica. 4. Generalizzazioni Relazione tra tempo medio e affidabilità. Nell esempio, abbiamo visto che più l affidabilità di un sistema decrementa lentamente a zero, maggiore è il tempo medio di vita. Per una v.a. esponenziale, vale ovviamente (4.1) E[T] = R(t) dt per verifica diretta. In realtà questo è un risultato che in teoria dell affidabilità vale qualunque sia la legge della v.a. assolutamente continua che descrive il tempo di vita del sistema. Proposizione 4.1. Se T è v.a. assolutamente continua e non-negativa allora vale l equazione (4.1).

LA VARIABILE ESPONENZIALE 5 Proof. Si ha E[T] = tf(t)dt = ( t ) dx f(t)dt. Il dominio D = {(x,t) R 2 : x t}, normale rispetto all asse x, risulta normale anche rispetto all asse y ossia D = {(x,t) (R + ) 2 : x t < }. Di conseguenza ( ) E[T] = tf(t)dt = f(t)dt dx da cui segue la (4.1). Ci si può chiedere se la relazione tra tempo medio di vita e affidabilità consente un confronto tra tempi di vita di due sistemi. Nel caso di v.a. esponenziale vale la seguente proposizione. Proposizione 4.2. Se T 1 e T 2 sono v.a.esponenziali di parametri rispettivamente λ 1 e λ 2, risulta E[T 1 ] > E[T 2 ] λ 1 < λ 2 R 1 (t) > R 2 (t). Valgono le medesime implicazioni quando i tempi di vita hanno legge diversa da quella esponenziale? Proposizione 4.3. Siano R 1 (t) e R 2 (t) funzioni di affidabilità di T 1 e T 2 v.a. assolutamente continue (tempi di vita). Se R 1 (t) > R 2 (t) per ogni t >, allora E[T 1 ] > E[T 2 ]. Il viceversa non vale. Un semplice controesempio è il seguente: si consideri la v.a. esponenziale T 1 di parametro.25, avente tempo medio di vita pari a 4, e la v.a. uniforme T 2 sull intervallo (4,6), avente tempo medio di vita pari a 5. Sebbene E[T 2 ] > E[T 1 ], si ha R 2 (t) > R 1 (t) solo per < t < t < 6 dove t è quel valore per cui R 2 ( t) = R 1 ( t) (all incirca t 5.5). Per una v.a. esponenziale sussiste la seguente { relazione tra funzione di affidabilità e tasso di guasto: R(t) = exp{ λt} = exp } t λ ds. Come nel caso del tempo medio, questa relazione vale più in generale. Proposizione 4.4. Se T è v.a. assolutamente continua (tempo di vita) allora { t } R(t) = exp Z(s) ds t. Proof. Dall essere H(t) = R (t) R(t) segue che R(t) è soluzione dell equazione differenziale lineare del primo ordine y + yh(t) = con la condizione iniziale y() = 1. Questa equazione è a variabili separabili, con y(t) per t. Integrando ambo i membri si ha t da cui segue il risultato poichè t y (s) y(s) ds = t x Z(s) ds y (s) ds = log y(t). y(s)

6 E. DI NARDO Anche in questo caso, un confronto tra le affidabilità di due sistemi è possibile per tassi di guasto di cui uno superiore all altro. Proposizione 4.5. Siano R 1 (t) e R 2 (t) funzioni di affidabilità di T 1 e T 2 v.a. assolutamente continue (tempi di vita). Se Z 1 (t) > Z 2 (t) per ogni t allora R 1 (t) < R 2 (t). Non vale il viceversa. Ad esempio per Z 1 (t) = 1t e Z 2 (t) = (t 3) 2, tassi di guasto per i quali non si ha Z 1 (t) > Z 2 (t) (l inversione del segno di diseguaglianza si ha in t.58), si può comunque provare che R 1 (t) < R 2 (t) per ogni t >. E sicuramente più significativo stabilire tra due sistemi quale si guasterà prima, ossia indicato con T 1 il tempo di vita del primo sistema e con T 2 il tempo di vita del secondo sistema, determinare P(T 1 > T 2 ). Per v.a. esponenziali di parametri λ 1 e λ 2 si dimostra che P(T 1 > T 2 ) = λ 2 λ 1 + λ 2 ossia questa probabilità decrementa al crescere del tempo medio di vita del secondo sistema. Tuttavia per la dimostrazione di questo risultato si rimanda al capitolo sui vettori di v.a. poichè è necessario aver introdotto la nozione di densità di probabilità congiunta. Estenderemo così questo risultato al caso di n sistemi. Sistemi complessi. La v.a. esponenziale ben si presta a studiare l affidabilità dei sistemi complessi, che si ottengono da sottosistemi composti in serie e/o in parallelo. Si consideri il sistema di Figura 2. Fig.2: Sottosistemi in serie Esso è costituito da n sottosistemi in serie, ciascuno con tempi di vita esponenziali di parametro λ i. Assumendo che il guasto di un sottosistema non induca guasti negli altri e indicato con T il tempo di vita di tutto il sistema risulta { } n n P(T > t) = P [ n (T i > t)] = P(T i > t) = exp t λ i. Pertanto il tempo di vita del sistema è descritto da una v.a. esponenziale di parametro λ 1 + + λ n. Più in generale usando le medesime argomentazioni R(t) = n R i(t) e dunque l affidabilità di un sistema in serie è sempre minore o uguale alla affidabilità dei sottosistemi, R(t) min{r 1 (t),...,r n (t)}. Questi modelli matematici possono essere utili anche in altri contesti, non necessariamente legati al tempo di vita di un sistema. Ad esempio, se i sottosistemi rappresentano sportelli postali con tempi di espletamento del servizio descritti da leggi esponenziali, il tempo T rappresenta l attesa di un cliente che giunge all ufficio e trova tutti gli sportelli occupati ma nessun cliente in coda. E il primo esempio di modello di file di attesa, che ovviamente può essere generalizzato variando le ipotesi sulle code e sui tempi di espletamento del servizio. Per sottosistemi in parallelo, invece, il tempo di vita T del sistema non è esponenziale.

LA VARIABILE ESPONENZIALE 7 Fig.3: Sottosistemi in parallelo Infatti il sistema di Figura 3 resta in vita fino a quando almeno uno dei suoi sottosistemi non si è guastato, e si guasta se e solo se tutti i sottosistemi si sono guastati. Pertanto si ha n n P(T t) = P [ n (T i t)] = P(T i t) = (1 exp { λ i t}). Più in generale il tempo di vita di un sistema in parallelo è caratterizzato da funzione di guasto F T (t) = n F i(t) e la sua affidabilità è sempre maggiore o uguale alle affidabilità dei sottosistemi, R(t) max{r 1 (t),...,r n (t)}. Con le medesime tecniche è possibile studiare affidabilità di sistemi ottenuti componendo sistemi in parallelo e sistemi in serie, quali ad esempio quelli di Figura 4. Fig.4: Sistemi complessi Drenick nel 196 ha comunque provato una sorta di teorema del limite centrale per il tempo di vita di un sistema complesso. Infatti la funzione di affidabilità del sistema decresce a secondo un esponenziale negativa, ossia pur di attendere un tempo sufficientemente lungo, il tempo di vita del sistema diventa esponenziale. Tempo di attesa per il k-esimo guasto. Come nel caso delle prove di Bernoulli, la v.a. di Pascal restituisce il numero di prove per avere il k-esimo successo (e quella binomiale negativa si ottiene da quella di Pascal sottraendo k), anche nel caso di eventi che occorrono nel tempo continuo, vi è un analogo della v.a. binomiale negativa. Si tratta della v.a. gamma (o di Erlang), che contiene come caso particolare la v.a. esponenziale. Sia N t il numero di telefonate che arriva ad un centralino telefonico nell intervallo [,t). Assumiamo che N t sia una v.a. di Poisson di parametro λt, con λ >. Sia A j l evento A j = {in [,t) arriva la j-esima telefonata},j N, per il quale si ha P(A j ) = P(N t = j) = (λt)j j! exp( λt). Gli eventi {A j } sono a due a due disgiunti. Sia T la variabile aleatoria che descrive l istante in cui arriva la k-esima telefonata. E lecito assumere P(T t) = per t <. Invece per t si ha P(T > t) = P ( k 1 k 1 j=1 A ) (λt) j j = exp( λt). j! j=1

8 E. DI NARDO Si dimostra (per induzione) che k 1 j=1 (λt) j exp( λt) = j! t λ k (k 1)! exp( λx)xk 1 dx complementare a 1 della funzione di ripartizione di una v.a. gamma di parametri λ e k (che verrà trattata nei prossimi capitoli). In particolare faremo vedere che una v.a. gamma di parametri λ e k è somma di k v.a. esponenziali indipendenti di parametro λ. Ossia la v.a. gamma descrive tempi di vita di sistemi per i quali si prevede la sostituzione (istantanea) con un sistema analogo, in caso di rottura. E il caso del tempo di funzionamento di un lampadario, quando si hanno a disposizione k lampadine, ciascuna con tempo di vita esponenziale di parametro λ. 5. Appendice 1. Una funzione f(x) limitata su [a,b] è Riemann-integrabile, ossia esiste finito l integrale di Riemann su [a,b]. Se f(x) : (a,b] R è integrabile su ogni intervallo [a + ǫ,b] con ǫ (,b a) ed esiste finito lim ǫ b a+ǫ f(x)dx allora è integrabile (in senso generalizzato) su [a, b]. Allo stesso modo si definisce l integrale generalizzato di f su [a,b] quando f(x) : [a,b) R. E possibile definire l integrale di f su [a,b] quando f : [a,b] {c} R ponendo b a f(x)dx = c a f(x)dx + b c f(x)dx con i due integrali a destra della precedente uguaglianza, integrali generalizzati. Sia ora f : [a, ) R una funzione che assumiamo integrabile (anche nel senso generalizzato) su ogni intervallo [a,c] per il quale esiste finito lim c c a f(x)dx. Allora f è integrabile su [a, ). In modo analogo si definisce l integrabilità su (,a]. Infine f è integrabile su (, ) se è integrabile su (,a] e [a, ) per a R. E il caso della densità esponenziale. Osserviamo che potrebbe essere densità di probabilità di X ogni altra funzione g non-negativa e integrabile su (, ) il cui limite destro (e/o sinistro in ) assume un valore diverso da f(x). Infatti vale comunque x g(t)dt = x f(t)dt. 2. Def. 1 Assegnato uno spazio di probabilità (Ω, F,P) e una v.a. X con funzione di ripartizione F X (x), essa si dice assolutamente continua se esiste una funzione f(x) : R [, ) (nonnegativa) e integrabile su R (in senso generalizzato) tale che (5.1) F X (x) = x f(t)dt. La funzione di ripartizione F T (t) in (5.1) risulta continua, ma si può dimostrare che è anche assolutamente continua (da cui la terminologia).

LA VARIABILE ESPONENZIALE 9 Def. 2 Una funzione g : [a,b] R si dice assolutamente continua su [a,b] se per ogni ǫ > esiste un δ > tale che qualsiasi sia k N e comunque scelti k sottointervalli [a i,b i ] [a,b], che non si sovrappongono (ossia con interni disgiunti), risulta k k g(b i ) g(a i ) < ǫ purchè sia (b i a i ) < δ. In sostanza una funzione assolutamente continua non ha grosse variazioni su insiemi di misura nulla (ossia mappa insiemi di misura nulla in insiemi di misura nulla). Ed è quello che accade a F T (t). Infatti comunque scelti k sottointervalli [a i,b i ] R, per ogni sottointervallo è possibile determinare una costante K i > tale che Scelto dunque K = max i K i si ha k F T (b i ) F T (a i ) < K F T (b i ) F T (a i ) < K i b i a i. k b i a i k F T (b i ) F T (a i ) < ǫ se δ = ǫ/k. La dimostrazione che F T (t) è funzione assolutamente continua segue anche dall essere (5.2) F T (b) F T (a) = b a f(t)dt dove f(t) è assegnata in (1.2), poichè tutte e sole le funzioni di tipo (5.2) sono primitive di f(t) quasi ovunque e sono assolutamente continue. 3. Proprietà del tasso di guasto. Trattandosi di rapporto tra funzioni nonnegative, risulta H(t) per t. Inoltre dall essere R(t) 1 segue che H(t) f(t). Inoltre poichè H(t) = R (t) R(t) t H(s)ds = t R (s) R(s) ds = log[r(a)] t = log[r(t)], l integrale del tasso di guasto è finito su ogni intervallo limitato [, t) ma infinito per t, a ulteriore testimonianza che non si tratta di probabilità. 4. Assenza di memoria. Osserviamo che dalla proprietà di assenza di memoria (3.1), segue R(s) > per ogni s. Infatti dall equazione di Cauchy (3.2) ( s R(s) = R 2 2) + s [ ( s )] 2 = R > 2 a meno che R(s) = per ogni s oppure R(s) = 1. In entrambi i casi la proprietà di assenza di memoria non avrebbe senso (quindi non verranno presi in considerazione). Per induzione risulta ( m ) ( ) 1 R = R m m,n = 1,2,... n n In particolare, per m = n si ha ( ) 1 R = R 1/n (1) n = 1,2,... n da cui risulta ( m ) R = R m/n (1) n = 1,2,... n

1 E. DI NARDO Poichè Q è denso in R, si possono caratterizzare due successioni {q n } e {r n } tali che, comunque fissato x R, si abbia q n < x < r n, per ogni n e Essendo R(x) non crescente, risulta lim n q n = x = lim n r n. [R(1)] qn = R(q n ) R(x) R(r n ) = [R(1)] rn e passando al limite segue che R(x) = [R(1)] x. Osserviamo che R(1) < 1 poichè se fosse R(1) = 1 allora R(x) = 1 per ogni x, ed abbiamo già osservato che questa condizione non è compatibile con l essere R(x) il complementare di una funzione di ripartizione. Posto λ = log R(1) l asserto segue. 5. Spazio campione. Visto che per la v.a. geometrica lo spazio campione è quello di Bernoulli, ci si può chiedere quale sia lo spazio campione associato alla v.a. esponenziale. L argomento attiene a corsi avanzati, tuttavia in questa sede è possibile dare un idea di quale siano i punti campionari dello spazio campione. Lo spazio campione è l insieme delle successioni rade. Le successioni rade sono successioni numeriche {x n } che non si addensano, ossia per le quali, comunque scelti s,t R +, gli elementi della successione {x n } in [s,t) sono in numero finito. Questi punti campionari corrispondono all occorrenza rara degli eventi nel tempo, ipotesi che consente di modellare il relativo processo di conteggio con una v.a. di Poisson. La σ-algebra associata a questo spazio campione è quella generata dagli eventi elementari (o generatori) del tipo [ ] s,t = {successioni rade che hanno k punti in [s,t)}. k Ricordiamo che gli eventi elementari sono quegli eventi la cui composizione mediante unione (numerabile) o intersezione (numerabile) - di essi o dei loro complementari - restituiscono gli elementi della σ-algebra.