Trasmissione convettiva del calore

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1 Trasmissione convettiva del calore 1. Convezione naturale e convezione forzata Il trasporto dell energia termica realizzato attraverso meccanismi convettivi si manifesta in fluidi posti a ridosso di pareti. Quando un fluido liquido o gassoso lambisce una parete con una temperatura diversa dalla propria la sua densita perde l iniziale carattere uniforme. Cresce o diminuisce infatti nelle regioni prossime al confine (secondo che la temperatura della parete sia piu bassa o piu alta) per effetto del contatto termico che ivi crea raffreddamento o riscaldamento. Lo squilibrio nella densita suscita movimenti compensativi delle masse fluide, volti a riequilibrarla. Si crea pertanto un mescolamento che rinnova in modo continuo le porzioni del fluido accostate alla parete e coinvolte nello scambio energetico cui essa da luogo. Il loro allontanarsi dopo il contatto realizza la propagazione nel cuore del fluido degli effetti termici ai quali sono state sottoposte. Se i movimenti interni al fluido che rendono possibile il trasporto convettivo del calore sono puramente spontanei, ossia indotti soltanto dai gradienti nella densita dovuti alla differenza di temperatura con la parete, si parla di convezione naturale o spontanea. Se invece al moto spontaneo si sovrappongono moti meccanici comunque originati (presenza di agitatori nel fluido, scorrimento della parete rispetto al fluido,...) la convezione diventa forzata. Poiche sono le migrazioni delle masse fluide a governare gli scambi termici convettivi la convezione forzata possiede una maggior efficacia rispetto alla convezione naturale, per il suo essere contraddistinta da processi di mescolamento piu intensi.. Valutazione dei flussi termici convettivi La quantita di calore istantanea scambiata secondo modalita convettive da un fluido e da una parete adiacente e fornita dall espressione: c hc AT s T (1) Q dove: A = ampiezza della superficie di contatto tra parete e fluido T s = temperatura che sussiste sulla parete T = temperatura del fluido nelle sue regioni lontane dalla parete, dove il valore rilevato e esente dalle influenze di quest ultima riscontrabili in prossimita dell interfaccia = coefficiente convettivo che governa il trasferimento termico. Si giunge ad un risultato numerico positivo quando l energia passa dalla parete al fluido (fluido piu freddo della parete, la sua temperatura che e T s in corrispondenza del confine cala gradualmente al crescere della distanza fino a divenire T ), ad un risultato invece negativo quando l energia passa dal fluido alla parete (fluido piu caldo della parete, la sua temperatura che e T s in corrispondenza del confine sale gradualmente al crescere della distanza fino a divenire T ): 1

2 Il grafico () ha un evidente valore istantaneo: se le temperature cambiano nel tempo evolve in maniera conforme. Sussiste invarianza solo quando e soddisfatta l ipotesi della stazionarieta (che rende invariante anche il risultato ottenibile applicando la relazione (1) per valutare l energia termica trasferita nell unita di tempo).. Ottenimento del coefficiente convettivo Il coefficiente convettivo puo essere valutato sperimentalmente, compiendo misure dirette, o calcolato applicando formule opportune. Le espressioni utilizzabili per calcolare il coefficiente convettivo devono riflettere la sua dipendenza da una molteplicita di parametri energetici, geometrici, fluodinamici. Occorre inoltre che convezione forzata e convezione naturale siano trattate in maniera distinta, per recepire i loro aspetti differenti. a) Convezione forzata Nel caso della convezione forzata dipende da: = conducibilita termica del fluido = densita del fluido = viscosita dinamica del fluido c p = calore specifico a pressione costante del fluido = un opportuna dimensione geometrica che possa caratterizzare la parete lambita dal fluido (il diametro equivalente interno od esterno se lo scambio termico si svolge all interno od all esterno di una conduttura, la lunghezza se il contatto riguarda una barra, l estensione del lato rispetto al quale il fluido scorre parallelo se ad intervenire e una lastra piana,...) = velocita del moto impresso al fluido. Per giungere a formule piu agili i parametri selezionati vanno raccolti entro alcuni termini adimensionali utilizzabili come elementi costitutivi di relazioni adatte a fornire il coefficiente convettivo. I termini adimensionali che riguardano la convezione forzata sono tre: Nu = numero di Nusselt =

3 Re = numero di Reynolds = (3) Pr = numero di Prandtl = c p Se si riesce a valutare il numero di Nusselt lo scopo di conoscere e raggiunto. Esiste infatti l evidente identita : Nu (4) Espressioni che permettono di dedurre il numero di Nusselt quando siano noti i numeri di Reynolds e di Prandtl sono riportate sui manuali che riguardano il trasporto convettivo del calore. E necessario volta per volta selezionare tra le tante disponibili la formula meglio applicabile alla concreta situazione trattata. A titolo esemplificativo verranno riportate alcune delle alternative offerte dalla manualistica: - fluido che scambia calore con una lastra piana, scorrendo sulla sua superficie: 1/ Nu Pr Re () - fluido che scambia calore con una tubazione, scorrendo all esterno di essa: Nu 0.38Pr Re (6) - fluido che scambia calore con una tubazione, scorrendo all interno di essa: Nu 0.03Pr Re (7) b) Convezione naturale Nel caso della convezione naturale dipende da: = conducibilita termica del fluido = densita del fluido = viscosita dinamica del fluido c p = calore specifico a pressione costante del fluido = un opportuna dimensione geometrica che possa caratterizzare la parete lambita dal fluido (il diametro equivalente interno od esterno se lo scambio termico si svolge all interno od all esterno di una conduttura, la lunghezza se il contatto riguarda una barra, l altezza se la superficie contigua al fluido e una lastra disposta secondo un assetto verticale, la semisomma dei lati se la lastra ha una giacenza orizzontale,...) g T = prodotto tra il coefficiente di dilatazione termica del fluido, l accelerazione di gravita g ed il valore assoluto T della differenza T s - T tra le temperature della parete e del 3

4 fluido nelle sue regioni lontane dall interfaccia. Il coefficiente di dilatazione termica misura come varia in percentuale la densita del fluido se si verificano cambiamenti nella temperatura: 1 T (8) Assume valori sono quasi sempre positivi, poiche il segno algebrico negativo compensa l apporto di solito altrettanto negativo della derivata (densita e temperatura manifestano infatti per lo piu tendenze contrapposte: la crescita dell una corrisponde a decrescita dell altra). Paragonando convezione forzata e convezione naturale si osserva che gli insiemi dei parametri dai quali dipende il coefficiente convettivo presentano molte analogie ed alcune differenze. Sono intanto non del tutto coincidenti le definizioni della dimensione lineare riferita alla parete. In entrambi i casi si utilizza il diametro interno od esterno se interviene una conduttura o la distanza tra gli estremi qualora ad essere lambita sia una barra. Quando pero lo scambio termico riguarda una lastra va scelta la lunghezza del lato parallelo al moto della massa fluida nella convezione forzata, mentre in convezione naturale acquistano rilievo altezza o semisomma dei lati secondo che la superficie sia verticale oppure disposta orizzontalmente. Cambia poi il parametro che deve rispecchiare l effetto dei movimenti dai quali viene garantito il rimescolamento del fluido. Nella convezione forzata compare la velocita indotta da agenti esterni. Se pero la convezione e naturale manca una velocita indotta ed il moto nasce soltanto da gradienti di densita dovuti al profilo non uniforme della temperatura. L effetto trova riscontro nel prodotto g T, dove appunto sono presenti il valore assoluto dello scarto riscontrabile nella temperatura ed il coefficiente di dilatazione termica che valuta come la densita del fluido sia influenzata da variazioni termometriche. Anche nella convezione naturale il coefficiente convettivo ed i parametri dai quali dipende vengono raccolti entro alcuni termini adimensionali, per agevolare la successiva costruzione di relazioni appropriate. I termini adimensionali che riguardano la convezione naturale sono tre: Nu = numero di Nusselt = 3 g T Gr = numero di Grashof = (9) Pr = numero di Prandtl = c p Rispetto alla convenzione forzata si riscontra il permanere dei numeri di Nusselt e di Prandtl, mentre il numero di Reynolds e stato sostituito dal numero di Grashof. Tra l uno e l altro esiste una certa affinita fisica. E infatti noto come il numero di Reynolds riesca a prevedere se in un fluido sottoposto a movimento sia presente turbolenza (Re > 4000) od invece la turbolenza manchi (Re < 100). Il numero di Grashof svolge funzioni analoghe nell ambito di fluidi non in moto ma statici, proprio come quelli che intervengono nella convezione naturale. Numeri di Grashof superiori ad un valore critico di soglia comportano turbolenza, mentre la turbolenza e 4

5 assente per valori piu bassi. Il valore di soglia dipende dallo specifico assetto geometrico che caratterizza il contatto tra parete e fluido, ma va generalmente a cadere nell intervallo Anche in convezione naturale, come nella convezione forzata, e importante disporre del numero di Nusselt, presupposto per risalire al coefficiente convettivo attraverso l identita (4). Espressioni che permettono di dedurre il numero di Nusselt quando siano noti i numeri di Grashof e di Prandtl sono riportate sui manuali che riguardano il trasporto convettivo del calore. E necessario volta per volta selezionare tra le tante disponibili la formula meglio applicabile alla concreta situazione trattata. A titolo esemplificativo verranno riportate alcune delle alternative offerte dalla manualistica: - fluido che scambia calore con una superficie verticale: Gr 0. Nu 0. Pr (Gr < 10 9, turbolenza assente) (10) Gr 0. 4 Nu 0.01 Pr (Gr > 10 9, turbolenza presente) (11) - fluido che scambia calore con una superficie orizzontale: Gr 0. Nu 0.4 Pr (Gr < 10 7, turbolenza assente) (1) Gr 1/ 3 Nu 0.14 Pr (Gr > 10 7, turbolenza presente) (13) Esercizio Il basamento del motore in un autovettura che sta procedendo alla velocita di 4 m h -1 e costituito da un rettangolo orizzontale metallico i cui lati sono lunghi 7 cm e 3 cm, rispettivamente secondo le direzioni parallela e perpendicolare nei confronti della traiettoria seguita. Si vuol stabilire quanta energia termica viene ceduta dal basamento all aria durante ogni secondo, nell ipotesi che le temperature dell uno (61 C) e dell altra (1 C) permangano costanti. Va anche previsto il risultato che la medesima valutazione fornirebbe se l autovettura si fermasse, con il motore mantenuto acceso ad un regime di giri tale da non comportare variazioni nella temperatura del basamento. Ai parametri significativi per caratterizzare il comportamento termico dell aria (conducibilita termica, viscosita dinamica µ, calore specifico a pressione costante c p, densita, coefficiente di dilatazione termica ) sono assegnabili le seguenti valutazioni, appropriate entro l intervallo delle temperature 1 C / 61 C cui ci si sta riferendo: = 0.03 cal ora -1 m -1 C -1 = g m -3 = 1.91 x 10 - N m - s = 3. x 10-3 K -1 c p = J g -1 K -1 * * * Lo scambio termico tra la piastra metallica su cui poggia il motore e l aria segue le modalita di una convezione forzata quando l autovettura si muove (l aria scorre all indietro con una velocita identica a quella dell auto, 4 m h -1 ovvero 1. m s -1 ), mentre la convezione diventa naturale non appena il movimento si arresta. Nell uno e nell altro caso la quantita di calore trasferita istantaneamente dalla piastra all aria e deducibile attraverso la formula: Q c h c A T s T dove:

6 T s T K A 0.7 x m Nu Alla dimensione che caratterizza la piastra spettano valutazioni diverse quando il trasporto termico convettivo e forzato (autovettura in moto) o naturale (autovettura ferma): 0. 7m nella convezione forzata (lunghezza del lato parallelo al moto) 0. m nella convezione naturale (semisomma dei lati) Il valore della conducibilita dell aria, noto perche fornito, va sottoposto a conversione per riferirlo ad unita internazionali e poter quindi operare combinando valutazioni omogenee: 0.03cal h 1 m 1 C x W m K 1 Il numero di Nusselt, Nu, deve essere ottenuto applicando relazioni in cui trovi opportuno riscontro l assetto geometrico dello specifico sistema considerato. Finche la convezione puo definirsi forzata (ossia finche l autovettura e in movimento) torna utile la identita () reperibile tra quelle riportate nelle pagine precedenti: 1/ Nu Pr Re (convezione forzata su lastra piana) Passando alla convezione naturale (che subentra ad autovettura ferma) divengono invece proponibili le identita (1) e (13). Rappresentano alternative tra le quali occorre scegliere basandosi sul valore assunto dal numero di Grashof: Gr 0. Nu 0.4 Pr (convezione naturale su lastra piana, Gr < 10 7 ) Gr 1/ 3 Nu 0.14 Pr (convezione naturale su lastra piana, Gr > 10 7 ) Oltre al numero di Grashof sono apparsi i numeri di Reynolds e di Prandtl. Valutarli tutti e tre diventa il presupposto per ricavare il coefficiente convettivo nelle due situazioni prospettate, passando attraverso il numero di Nusselt. evono essere applicate le relazioni: Pr c p Re 6

7 3 g T Gr Utilizzando i dati disponibili per i parametri che caratterizzano il comportamento termico dell aria si ottengono valutazioni di Pr, Re e Gr: x10 x Pr Re x1. x0.7.8 x x Gr 3 x0. x3. x x x x x10 8 E ora possibile completare i calcoli relativi al calore ceduto nell unita di tempo dalla piastra metallica all aria, sia con l autovettura in movimento: Nu x Pr 1/ 3 x Re x0.71 1/ 3 x x Qc Nu A Ts sia ad autovettura ferma: Nu 0.14 x T 171x x0.6 x W 3 8 1/ 3 Gr Pr 1/ 0.14 x8. x10 x Qc Nu A Ts T 119 x x0.6 x W Si rileva facilmente come il confronto tra convezione forzata e convezione naturale risulti nettamente favorevole alla prima per quanto riguarda l efficacia nell asportare calore. 7