Figure 1: Sviluppo dello strato limite idrodinamico in un flusso laminare interno a un tubo circolare. Re D = ρu md

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1 FLUSSO INTERNO Un flusso interno come quello che passare nel piping di un impianto è caratterizzato dall essere confinato da una superficie. Questo fa sì che lo sviluppo dello strato limite finisca per essere vincolato dalle condizioni geometriche. La configurazione di flusso interno rappresenta una geometria conveniente per quel che riguarda il riscaldamento e raffreddamento di un liquido usato in processi chimici, controlli ambientali e teconologie di conversione dell energia. Considerazioni idrodinamiche Nel moto di flusso interno oltre alle considerazioni di moto laminare o turbolento è importante considerare l esistenza di una zona d ingresso idrodinamico e una zona di moto completamente sviluppato. Condizioni di flusso Parlando di moto di flusso interno è importante conoscere la lunghezza della regione d ingresso idrodinamico, che cambia se il flusso è laminare o turbolento. Figure 1: Sviluppo dello strato limite idrodinamico in un flusso laminare interno a un tubo circolare Nel caso di flusso in un tubo circolare 1 il numero di Reynolds è definito come: Re D = ρu md µ Dove u m è la velocità media attraverso la sezione D del diametro del tubo. In un flusso completamente sviluppato il numero di Reynolds per il transito a zona turbolenta è Re D,c 2300 anche se per ottenere un moto completamente turbolento è necessario un numero di Reynolds molto maggiore Re D Per moto laminare (Re D 2300) la lunghezza della zona d ingresso idrodinamica può essere definita come: ( xfd,h ) 0.05Re D (2) D lam Questa equazione considera una zona d ingresso come quella indicata in figura 1 e quindi che la velocità all ingresso sia fondamentalmente uniforme. Per quel che riguarda il moto turbolento non è disponibile un equazione generale soddisfacente, tuttavia quello che sappiamo è che la lunghezza della regione d ingressp è indipendente dal numero di Reynolds e all incirca: ( xfd,h ) (3) D turb 1 (1)

2 per cui generalmente si fa riferimento a moto turbolento ipotizzando (x/d) > 10. Velocità media La velocità media di un flusso interno viene definita come la velocità che moltiplicata che moltiplicata per ρ e per la sezione traversa del tubo A c fornisce la stessa portata in massa: ṁ = ρu m A c (4) Profilo di velocità, gradiente di pressione e coefficiente d attrito nel moto completamente sviluppato Caratteristica importante del comportamente idrodinamico di un flusso in condotto circolare è che la componente radiale della velocità v e la componente ( u x ) = 0. Figure 2: Bilancio di forze su un elemento infinitesimom per moto laminare completamente sviluppato interno a un tubo circolare Risolvendo il bilancio delle forze sull elementino di liquido di figura 2 si ottiene: { τ r (2πrdx) τ r (2πrdx) + d } { dr [τ r(2πrdx)] dr + p(2πrdr) p(2πrdr) + d } [p(2πrdr)] dx = 0 (5) dx che si riduce a d dr (rτ r) = r dp dx Sostituendo alla legge di viscosità di Newton y = r 0 r: La 6 diventa quindi: µ r d dr τ r = µ du dr ( r du ) = dp dr dx Siccome il gradiente di pressione è indipente da r è possibile integrare due volte ottenendo: (6) (7) (8) u(r) = 1 ( ) dp r 2 µ dx 4 + C 1 ln r + C 2 (9) Le costanti possono essere ottenute imponendo le condizioni al contorno u(r 0 ) = 0 e u r=0 = 0: u(r) = 1 4µ ( ) [ ( ) ] 2 dp r r0 2 1 dx r 0 Dalla 10 si deduce che il profilo di velocità è parabolico e che il gradiente di pressione è sempre negativo. Sostituendo Ac la 10 nella formula per la velocità media u m = ρu(r,x)dac ρa c = 2πρ r0 2 r0 u(r, x)rdr = u(r, x)rdr e integrando si ρπr0 2 0 r0 2 0 ottiene: r (10) Sostituendo ora 11 nella 10 si ottiene: u m = r2 0 dp 8µ dx (11) 2

3 [ ( ) ] 2 u(r) r = 2 1 u m r 0 (12) Essendo u m ricavabile dalla portata in massa si può utilizzare la 11 per ottenere il gradiente di pressione. Con lo scopo di trovare le cadute di pressione si fa spesso uso in ingegneria del fattore d attrito di Moody f: f = (dp/dx)d ρu 2 m/2 (13) Figure 3: Fattore d attrito per moto laminare completamente sviluppato in un tubo circolare Definiamo invece il coefficiente d attrito nel seguente modo: C f = Siccome τ s = µ (du/dr) r=r0 otteniamo dalla 10 che: τ s ρu 2 m/2 C f = f 4 (14) (15) Sostituendo la 1 e la 11 nella 13 otteniamo: f = 64 Re D (16) Fattore d attrito in funzione della forma del tubo: Per moto completamente sviluppato in regime turbolento e tubi lisci si può esprimere f come: f = 0.184Re 1/5 D Re D (17) 3

4 Figure 4: Numeri di Nusselt e fattori d attrito per tubi di diversa sezione in moto laminare Considerazioni termiche In analogia con le considerazioni fluidinamiche, il flusso interno è caratterizzato da una zona d ingresso termico e dalla formazione di uno strato limite termiche. Inoltre se le condizioni alla superficie del tubo impongono una temperatura costante o unflusso di calore costante a una certa d istanza dall ingresso del tubo si avrà la condizione di flusso completamente sviluppato termicamente. Temperatura media Si definisce temperatura media del flusso in una sezione qualsiasi in termini di energia trasportata dal flusso attraverso la sezione stessa. La quantità di energia trasportata E t si ottiene integrando il prodotto della massa di flusso (ρu) e l energia interna per unità di massa attraverso la sezione (c v T ): ˆ E t = ρuc v T da c (18) A c Da cui se si definisce la temperatura media come da cui T m = Ac ρucvt dac ṁc v E t = ṁc v T m (19) che per fluidi incomprimibili in un tubo circolare con c v costante risulta: Legge di raffreddamento di Newton T m = 2 ˆr 0 u m r0 2 ut rdr (20) 0 q s = h(t s T m ) (21) Dove h è il coefficiente locale di convezione per il trasferimento di calore. Questa formula è in analogia con la legge del raffreddamento per il flusso libero ma c è una sostanziale differenza tra T e T m in quanto T m non è costante ma varia nella direzione delle diverse sezioni. 4

5 Bilancio energetico Figure 5: Strato limite termico in flusso riscaldato in tubo circolare Siccome il flusso interno è completamente racchiuso in una superficie è possibile applicare il bilancio dell energia per determinare come la temperatura media varia lungo la direzione longitudinale del tubo e per correlare la differenza di temperatura tra l inizio del tubo e la fine con il il calore locale scambiato per convezione. Con riferimento alla figura 6 per un fluido ideale si può scrivere: che con buona approssimazione è valida per fluidi incomprimibili. In rapporto all intera lunghezza del tubo è: Dove q conv è il calore scambiato per la lunghezza totale del tubo dq conv = dt m (22) q conv = (T m,0 T m,i ) (23) Flusso scambiato costante lungo la superficie Per flusso di calore scambiato costante lungo l intera superficie si tratta solo di determinare lo scambio termico totale per cui vale: q conv = q s (P L) (24) Dove q s è indipendente da x e P = πd. Combinando la 24 e la 23 è possibile determinare le temperature medie all inzio e alla fine del tubo. Per un elementino differenziale risulta dq conv = q s P dx, da cui dtm dx = qs P che sostituita a sua volta nella 21 porta a: Che integrata a partire da x = 0 fornisce: dt m dx = q s = P h(t s T m ) (25) T m (x) = T m,i + q s P x (26) In accordo con la 21 la temperatura media varia linearmente mentre (T s T m ) varia lungo x come mostrato in figura 7. 5

6 Figure 6: Volume di controllo per moto interno a un tubo Figure 7: Variazioni di temperatura assiale per flusso di calore trasferito a un tubo nel caso di flusso di calore costante sulla superficie Temperatura alungo la superficie costante come. Definendo T come (T s T m ) l equazione 25 può essere espressa che seprando le variabili e integrando tra l inizio e la fine del tubo diventa: dt m dx = d( T ) = P h T (27) dx T ˆ o T i d( T ) T ln T o T i = P L dove h L è il valore media di h lungo il tubo. Riordinando: = P ˆL hdx (28) 0 ˆL 0 1 L hdx (29) ln T o T i = P L hl (30) T o = T s T m,o = e P L h ṁcp T i T s T m,i (31) 6

7 Integrando tra zero e una generica posizione x: da cui: T s T m(x) T s T m,i = e P x ṁcp h (32) T m (x) = T s + (T m,i T s )e P x ṁcp h (33) Figure 8: Variazioni di temperatura assiale per flusso di calore trasferito a un tubo nel caso di temperatura costante sulla superficie Zona d ingresso Nel caso in cui la zona di ingresso dinamico della velocità e della temperatura sia simultanea è possibile sfruttare la relazione di Sieder e Tate: ( ) 1/3 ( ) 0.14 T s = cost ReD P r µ Nu D = < P( r < ) L/D µ s < µ µ s < 9.75 (34) Moto completamente sviluppato Un espressione classica per ricavare il valore locale di Nusselt per moto completamente sviluppato (idrodinamicamente e termicamente) in un flusso turbolento in un tubo liscio è ottenuta dall analogia di Chilton-Colburn: Un espressione preferibile alla precedente è l equazione di Dittus-BOelter: Nu D = 0.023Re 4/5 D P r1/3 (35) Nu D = 0.023Re 4/5 D P rn (36) dove n = 0.4 per un tubo scaldato e n = 0.3 per un tubo reffreddato. Queste equazioni son state confermate sperimentalmente alle seguenti condizioni: 0.7 P r 160 Re D L D 10 (37) 7

8 Figure 9: Riassunto di correlazioni di convezione per flusso in tubo circolare 8

9 Esercizio Per un tubo di diametro D = 0.03m lunghezza L = 5m, T i = 15 C; T o = 65 C e portata in volume v = 10l/min. Da tabelle: T mf = Ti+To 2 λ = W m C ν = m 2 /s c p = 4178 J/kg C P r = 4.3 Svolgimento: A t = 1 4 πd2 = m 2 A = P L = 0.471m 2 v = 10l/min = m 3 /s ṁ = ρv = 0, 1658kg/s Q = (T o T i ) = , 178(65 15) = 34.6KW 9