CORRENTI IN PRESSIONE. Si devono risolvere le equazioni indefinite del moto: Navier, Continuità, Stato, Termodinamica, con condizioni al contorno

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1 CORRENTI IN PRESSIONE INTEGRAZIONE DELL EQUAZIONE DI NAVIER-STOKES Per le applicazioni pratiche bisogna conoscere lo sforzo, ovvero il campo di moto (distribuzione della velocità): V x, y, z Si devono risolvere le equazioni indefinite del moto: Navier, Continuità, Stato, Termodinamica, con condizioni al contorno () f A grad ( P) V grad div V 3 div( V ) 0 t d dp P, 1 num. eq.: = 6 num. incognite: u, v, w, p,, = 6 Posso risolvere il sistema

2 CASO 1: MOTO LAMINARE CORRENTI IN PRESSIONE Ipotesi: condotta cilindrica, moto uniforme, moto laminare, liquido incomprimibile, =cost J () Sistema () si semplifica in: ( ) f A grad P V div V 0 cost r 0 u P 1 x P z r y D + condizioni al contorno: alla parete V=0; sull asse V=max ovvero sforzo nullo Integrando sistema si ha: J u Eq. di POISSON

3 CORRENTI IN PRESSIONE Alla fine si ottiene: 1 J u r r 4 0 Distribuzione parabolica della velocità z r z r n 0 u x x r 0 n Quanto allo sforzo: u u r i i J n r i Distribuzione lineare dello sforzo

4 CORRENTI IN PRESSIONE Dalla definizione di Vmedia si ottiene infine: Q 1 18 J D 4 Formula di Poiseuille che consente di verificare e progettare le condotte che convogliano liquido o gas incomprimibile in condizione di moto uniforme e laminare (Re < 500) In altre condizioni si procede: - integrando con METODI NUMERICI le equazioni differenziali del moto; Oppure, se ciò è impossibile: - mediante MODELLI FISICI realizzati in laboratorio o in campo

5 CORRENTI IN PRESSIONE Risoluzione del moto turbolento con le equazioni indefinite CASO : MOTO TURBOLENTO Scambi di quantità di moto tra i filetti più veloci e meno veloci (macrovortici) Dissipazioni di energia (microvortici) Occorre integrare le equazioni discretizzando il campo con elementi più piccoli delle dimensioni dei microvortici Attualmente è impossibile, in futuro forse con calcolatore più potenti Non riuscendo ad integrare numericamente le equazione si cerca di risolvere tecnicamente il problema, effettuando l integrazione delle equazioni mediate sul periodo di turbolenza

6 Azione di trascinamento TURBOLENZA VD Se: Re dove: V () t u() t i v() t j w() t k Possiamo rappresentare l andamento della velocità nel tempo: u(t) u'( t) u t

7 TURBOLENZA Possiamo cioè considerare: ut () u u'() t 1 u T u ' ( t) T 0 u() t dt Valore medio Fluttuazioni di velocità (scarti) Si definisce T il periodo di turbolenza Periodo sufficientemente lungo, in modo che, in tale periodo, le fluttuazioni di velocità siano mediamente nulle E analogamente si scrivono: ut () u u'() t vt () v v'() t wt () w w'() t

8 TURBOLENZA Se mediamo sul periodo di turbolenza l eq. di Navier (indefinita del moto) si ottiene: f A div T div R Dove, oltre al tensore degli sforzi, compare un altro tensore detto tensore degli sforzi turbolenti o di Reynolds T R u ' uv ' ' uw ' ' div R uv ' ' v vw ' ' ' u' w ' v ' w ' w ' e che è determinato dai macrovortici che scambiano quantità di moto tra i filetti più e meno veloci.

9 TURBOLENZA z r Distribuzione della velocità per il moto turbolento u x r 0 Si appiattisce il diagramma Cioè nell eq. di Navier si introducono 6 ulteriori incognite: u', v', w', u' v', u' w', v' w' Non c è più bilancio tra num. equazioni e num. incognite nel sistema, che quindi non si può risolvere analiticamente. ALLORA???

10 TURBOLENZA Analogamente se mediamo sul periodo di turbolenza l eq. globale dei fluidi reali: G M I T 0 G M V '( t) Vn '( t) da I T 0 A Trascinamento/resistenza: di Reynolds Si introduce un termine aggiuntivo che deriva dalla media di M e che rappresenta l azione di resistenza al moto dovuta agli sforzi di Reynolds. V '( t) V '( t) Noi non conosciamo: ALLORA??? n

11 TURBOLENZA Distribuzione degli sforzi per il moto turbolento z r 0 RJ n z r 0 x y D uw ' ' Sforzo turbolento o di Reynolds u z Sforzo laminare o viscoso u uw ' ' z con = spessore del substrato laminare

12 Legge di NIKURADSE: LEGGI PER IL MOTO TURBOLENTO u * 11.5 cost avendo definito velocità di attrito 1 1 ~ Re VD u * 0 Quindi: D Re Moto laminare: sforzo tutto laminare Re 0 Moto assolutamente turbolento: sforzo non dipende da Moto laminare Moto turbolento Moto assolutamente turbolento D Re 500 Re u z uw ' '

13 LEGGI PER IL MOTO TURBOLENTO Né l eq di Navier, né l eq globale del moto medio ci permettono di trovare la distribuzione di sforzi e velocità, per il moto turbolento, in maniera esatta. ALLORA si fa riferimento a PROVE SPERIMENTALI. FORMULE SPERIMENTALI di cui dobbiamo ricordare bene il CAMPO DI APPLICABILITA Ogni problema si può ricondurre alla seguente legge, che si riferisce a condotti a sezione trasversale circolare: J V D g LEGGE DI DARCY - WEISBACH (grandezze del fenomeno) Indice di resistenza

14 LEGGI PER IL MOTO TURBOLENTO Moto laminare transizione Moto turbolento Re=500 Re= Re (Re, D,forma) LEGGE ESATTA LEGGE da trovare SPERIMENTALMENTE dove: D D = Diametro = Scabrezza parete condotta = Scabrezza relativa

15 SCABREZZA Che cosa è la scabrezza???? m Rugosità della parete Non è possibile misurare la scabrezza, si determina sperimentalmente Vi sono tabelle che riportono in funzione: del tipo e della lavorazione del materiale; dell uso della condotta (nuova, usata)

16 INFLUENZA SCABREZZA sul MOTO MOTO LAMINARE Il substrato laminare è maggiore di (D/), quindi le rugosità non influenzano il moto (infatti leggi ricavate per integrazione diretta eq. Navier) z Sforzo laminare u z Rugosità D x D

17 INFLUENZA SCABREZZA sul MOTO MOTO TURBOLENTO 1 Re > 3000, ma non molto alto La rugosità è ricoperta da un flusso laminare, quindi la scabrezza non ha influenza sul moto Moto turbolento in Tubazione Idraulicamente Liscia z Sforzo laminare Rugosità D x 1 ~ Re Sforzo turbolento

18 INFLUENZA SCABREZZA sul MOTO MOTO TURBOLENTO Re > 3000, molto alto Le rugosità più grandi escono dal substrato laminare e, quindi, la scabrezza ha influenza sul moto Moto turbolento in tubazione Idraulicamente scabra z Sforzo laminare Rugosità D x 1 ~ Re Sforzo turbolento

19 INFLUENZA SCABREZZA sul MOTO MOTO TURBOLENTO 3 Re e 0 Gli sforzi laminari diventano trascurabili, rimane un substrato limite laminare Moto assolutamente turbolento Rugosità 0 z D x Sforzo turbolento

20 ABACO DI MOODY Sperimentalmente si è ricavato: log ( ) Laminare Transizione Lam-Turb * * u Re 70 Turbolento tubo scabro Assolutamente turbolento D Turbolento tubo liscio log (Re) MOTO LAMINARE MOTO TURB. DI TUBO LISCIO MOTO TURB. DI TUBO SACBRO MOTO ASSOLUTA- MENTE TURB. 64 Re (Re) Re, D D

21 LEGGI PER IL MOTO TURBOLENTO In generale, per il moto turbolento, si usa: FORMULA DI COLEBROOK - WHITE log Re 3.71 D Formula di Prandtl-Karman (se tubo liscio) Formula di Nikuradse (se moto assolutamente turbolento) Insieme alla suddetta: LEGGE DI DARCY - WEISBACH J V D g

22 LEGGI PRATICHE Per il moto assolutamente turbolento si può utilizzare una legge ricavata prima per i canali a pelo libero, ma poi estesa alle condotte: V RJ LEGGE DI CHEZY valida solo per: Re*>70 con: scabrezza e da questa si ricava: J u Q LEGGE DI DARCY valida solo per: Re*>70 con: u u ( scabrezza, D) (valori tabellati)

23 LEGGI PRATICHE Esistono varie formule per calcolo di FORMULA DI BAZIN, tra cui: 87 1 R, D 1 m Indice di scabrezza di Bazin FORMULA DI MANNING 1 ar 6 a a

24 PERDITE DI CARICO LOCALIZZATE PERDITE di carico DISTRIBUITE: perdita di energia per unità di peso è: Y = JL PERDITE di carico LOCALIZZATE: IMBOCCO: SBOCCO: allargamento restringimento H V 0.5 g H V g Trascurabili se L > 1000 D