Meccanica dei Fluidi

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1 Politecnico di Milano Dipartimento di Ingegneria Idraulica, Ambientale e del Rilevamento (DIIAR) sezione Idraulica Note degli insegnamenti di: Meccanica dei Fluidi Corso di Studi in Ingegneria Meccanica - IV Facoltà di Ingegneria Capitolo 08 : Correnti in pressione A cura di : prof. S. Malavasi, ing. C. Piccinin

2 Riferimenti Bibliografici di questa sezione: CITRINI NOSEDA: 5.7, 5.8 (solo definizione di ), 5.9, 5.10, 5.11; 7.1 (pagg ), 7.5 (pagg ), 7.5.3, 7.6, 7.7 (senza dimostrazioni), 7.8, 7.9; CENGEL-CIMBALA: 8.1, 8., 8.3, 8.4; 8.5 (pagg.6 63 e da 71 in poi), 8.6, 8.7, 8.8.

3 Correnti in pressione Fluidi Ideali - Modelli mono-dimensionali (1-D) Fluidi Reali - Modelli mono-dimensionali (1-D) stazionari Valutazione delle perdite di carico continue moto uniforme Regimi di moto : Esperienza di Reynolds Leggi di resistenza e Abaco di Moody Perdite di carico Localizzate Calcolo di una condotta Formule pratiche per il calcolo delle perdite di carico Macchine motrici (turbine) e operatrici (pompe)

4 Bilancio indefinito: Massa q.tà di moto Schemi modelli 3D, fluidi reali 3D, fluidi ideali Problemi 3D: Progettazione veicoli (auto, aerei, navi, ) Dispersione inquinanti in mare / atmosfera Meteorologia Progettazione fluidomacchine (pompe turbine, ) Processi chimici (motore a scoppio, ) Climatizzazione ambiente Bernoulli Bernoulli + J 1D, fluidi ideali 1D, fluidi reali Problemi 1D: Moto in tubi o sistemi di tubi: - acquedotto, oleodotto - condotta forzata - impianti industriali - impianto aerazione - Corrente a superficie libera (fiumi)

5 Fluidi Ideali - Modelli mono-dimensionali (1-D) v1 = p1 = 0 Moto stazionario Corrente lineare LCT (1) v/g LP v3/g z p/ H = z1 p3 = 0 p h (Costante sulla sezione) vi Vi (Velocità media) () (3) A z A B z3 B p3 v3 v z z3 g g p Fluido ideale ha distribuzione uniforme delle velocità sulla sezione: flusso 1-D. V3 V h h3 g g Equazione di Bernoulli estesa alla corrente Implicazioni Unica piezometrica per la corrente Unica velocità rappresentativa per la corrente Perdita dettagli nello spazio Attenzione a tronchi di convergente / divergente...

6 Fluidi Reali Distribuzioni di velocità e Modelli mono-dimensionali (1-D) v1 = p1 = 0 Moto stazionario Corrente lineare (1) v/g p3/ p/ H = z1 z v3/g p=0 (3) () z z3 p h (Costante sulla sezione) Distribuzione di v riassunta da una V media. V v da A V=v A Fluido reale: velocità non uniformi sulla sezione v Viscosità attrito condizione di aderenza profilo Unica Piezometrica su sezione Corrente lineare v / ( g) LCT varia per ogni traiettoria V g 1- in funzione del tipo di moto

7 Coefficiente di Ragguaglio della potenza cinetica Pc dp c v dq m A v 1 vda v 3 da A V V 1 Pc Qm VA V 3 A Pc Pc Per fluidi v 3 da A V A 3 v 3 da A 3 V A 3 1 A V A da in moto laminare: =.0 in moto turbolento: = in pratica si usa: = 1.0 p V H z g g

8 Fluidi Reali - Modelli mono-dimensionali (1-D) stazionari (A) H costante (B) (E) (F) LJ V/g (D) Y (C) s Qu Qe L Fluido ideale LCT (AB); LP (CD) Fluido reale (dissipazioni di energia) LCT (AE); LP (FD) Equazione del moto: Equazione del moto: H/ s = 0 H/ s = J Equazione di continuità: Equazione di continuità: Qe = Qu Ve Ae = Vu Au Qe = Qu Ve Ae = Vu Ae Viscosità Sforzi tangenziali calore Carico totale corrente H = h + V / (g) Cadente J = H/ s Cadente Piezometrica J = h/ s

9 Fluidi Reali - Modelli mono-dimensionali (1-D) stazionari (1) Quota H=cost LCT LP Cadente J JL V/g Y Perdita di energia per unità di peso e di percorso, adimensionale () s L J s* s* H s dh J(s)ds 0 0 Perdite di carico Equazione del moto s* H(s*) H0 J(s)ds H(s*) H0 = J s* Localizzate JL Hloc 0 In generale Moto uniforme J = costante (LP LCT) Continue V Y J L g s* H ( s*) H 0 J ( s ) ds ( H loc ) i 0 i

10 Valutazione delle perdite di carico continue moto uniforme MOTO UNIFORME - condotto cilindrico J = f (grandezze geometriche, cinematiche, fisiche) area forma scabrezza, comprimibilità V La formulazione di J dipende anche dal regime di movimento In un condotto a sezione circolare J = J(D ; S ; V ; ; ) D: diametro del condotto S: scabrezza delle pareti del condotto V: velocità media della corrente : viscosità del fluido : densità del fluido z y x

11 Regimi di moto : Esperienza di Reynolds Tre modalità di movimento o REGIMI DI MOTO. Numero di Reynolds, Re = VD/, indice del grado di turbolenza Reynolds V1 molto bassa MOTO LAMINARE Re < 300 V > V1 TRANSIZIONE LAMINARETURBOLENTA 300 < Re < 4000 V3 > V MOTO PURAMENTE TURBOLENTO Re > 4000 profili

12 Esempi di calcolo del numero di Reynolds Re VDi Di 4.0 Ri 4.0 D è il diametro idraulico = 4.0 * Raggio idraulico A C D ab (a b) D Ri 4 D 4 a a Ri 4a 4 Ri Di 4 Ri D Di 4 Ri a Di 4 Ri ab ( a b) R Re VDi VDi Q?? V A A v(r ) da A v(r ) r dr 0 R R v(r ) r dr R 0

13 REGIONE DI INGRESSO

14 Moto Laminare: Re=0 Li=D Re=300 Li=115D Moto Turbolento: Li 10D

15 MOTO LAMINARE Equilibrio in X: p r dr ( p dp ) r dr r dx ( d ) (r dr ) dx g[( r )drdx ]sen( ) 0 dp dr d r r r g sen( ) 0 dx dr dr dv dp d ( r ) r r g sen( ) 0 dr dx dr dp d dv g sen( ) r dx r dr dr Integrando in r posso ricavare v(r) e poi ricavare la velocità media V: R dp r v(r ) gsen( ) 1 4 dx R R dp V v(r ) r dr gsen( ) R 0 8 dx R La velocità cambia dunque a seconda della lunghezza della tubazione: tra sezioni ho: R p x D p glsen( ) V g sen( ) 8 x x L 3 v max v(r 0).0 V D 4 p glsen( ) Q VA 18 L

16 LEGGI DI RESISTENZA p p1 p p1 p p glsen( ) g Lsen( ) g (z z1) g z1 z g g g g V1 V cost. g(h1 h ) g(h1 H ) gjl D 4 p glsen( ) D 4 gjl g 4 Q Q JD 18 L 18 L 18 D gjl V V J 3 3 L g D Formula di Poiseuille Formula di Poiseuille

17 V 1 J g D Formula di Darcy-Weisbach =??? (moto laminare ) ( p1 p ) R RL 0 g RLsen( ) 0 R p p D 0 g z1 1 z g J RL g g 4 gdj V Poiseuille gdj V gd 3 V V gd VD Re 8 0 gd 4 0 V gd V

18 Leggi di resistenza tubi di forma diversa Formula di Poiseuille V J 3 g D V J kf g Di Formula di Darcy-Weisbach V 1 J g D V 1 J g Di Sostituendo la prima nella seconda, si ottiene: gd i k V V f gd Valori numerici in tabella 8.1 i k f VD i k Re f cf Re =???

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20 MOTO TURBOLENTO

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22 Sforzi tangenziali: Velocità: u um u' lam turb dv m ( u ' v 'r ) m dr

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25 Leggi di resistenza Sperimentalmente: V J g D (Darcy-Weisbach) Coefficiente di resistenza Re ; D dove Re V D Numero di Reynolds (adimensionale) [m] = scabrezza media della superficie D [m] = diametro del condotto Moto laminare 64 Re Moto turbolento di transizione e puramente turbolento 1.51 log Re 3.71 D 1 (Colebrook) N.B. : questa è una formula implicita

26 Moto laminare 64 Re Moto turbolento formula di Colebrook 1.51 log Re 3.71 D 1 1 log 3.71 D 1 Abaco di Moody D.51 log Re 1

27 Perdite di carico Localizzate Cambiamenti di geometria (valvole, giunti, curve) Possono essere molto importanti nella regolazione della portata! LCT H H = z + p/ + V/g brusco allargamento (Borda) Mescolamento turbolento e dissipazione localizzata di energia

28 Perdite di carico Localizzate H loc n V g divergente dove n dipende dalla geometria brusco allargamento V1 V D1 H loc m V D1 V1 g D V1 V D brusco restringimento Hloc g V1 V A1 V1 1 A g D1 V V1 D H loc n con n= 0.5 per D1> D n< 0.5 per D1< D V g

29 Perdite di carico Localizzate V/g Vc/g Vc V pc/ V Sbocco in un serbatoio Imbocco da serbatoio H loc 0.5 V g H loc V g

30 Perdite di carico Localizzate Saracinesche completamente aperte n = 0.15 V Curve: n < 0.6 n = f(curvatura, diametro tubo, regime moto) Allargamenti con raccordo conico: n < 0.75 n = f(rapporto di allargamento) Confluenze: 0.5 < n <.0 n = f(forma confluenza, divisione portate)

31 Tracciamento delle linee dei Carichi Totali e Pieziometrica V1 0.5 g ZA L1 J1 V 0.5 g L J 1 V V 3 m g V g V1 g ZB (A) L1, D1 L, D D3 Eq. 1-D (condotto tra i serbatoi (A) e (B)): Z A Z B (B) 3 V V 1 V V3 V J1 L1 0.5 J L m g g g g Q Q Q 1 1 Q Z A Z B 0.5 J1 L1 0.5 J L m ga1 ga g A A3 ga3 esprimendo J1 e J in funzione di Q V 3 g

32 Esempio: 0.5 ZM V Noti: ZM, Q, g, L, D,,, g Det. : il livello ZV del serbatoio di valle V g LJ Modello 1-D tra i due serbatoi: ZV Z M ZV 0.5 Q Z M ZV 0.5 Re ; ga D moto laminare ga Q gda L Q Noti : ga ga moto turbolento log di transizione 3.71 D moto puramente 1 log 1 turbolento 3.71 D V D con l abaco di Moody definisco il regime di Moto e quindi la legge di resistenza da utilizzare 64 Re Re e Re D funzione da definire in funzione del regime di movimento JL Q V Q J gd gda L, D, Q Q moto in tubi lisci.51 log Re Re 0.5formula di Blasius valida per Re=

33 (1) Z M Z V 0.5 (1) 64 Re Q ga Q gda L Q ga (3b) () D (3a) Z M Z V 0.5 () Q gda L Q ga.51 log Re Q ga (1) Re < 000 Q gda 1 L Q () (3) Re V D Re > 000 Re > 000 due casi /D = 0 /D = basso o /D = alto ga.51 log Re 3.71 D 1 Z M Z V 0.5 (3b) ga 1 Z M Z V 0.5 (3a) Q Q ga 1 log 3.71 D Q gda L Q ga 1 Programmino in Excel Sistemi di due equazioni in due incognite ZV e ; Attenzione che nei sistemi () e (3a) le leggi di resistenza sono implicite, quindi si può determinare solo con metodi iterativi!!!

34 Formule pratiche per il calcolo delle perdite di carico Solo per moto assolutamente turbolento Formula di Chézy Formule monomie dalla struttura V J C R Qb J a c D R = raggio idraulico = A / P; condotti circolari in pressione R = D/4 C è dimensionale [m1/ / s]. Q: portata D: diametro della condotta a, b, e : parametri che dipendono dal tipo di materiale. Espressione (monomia) di Strickler C ks R 1 6 ks è dimensionale [m1/3 / s] e dipende dal materiale Contessini (tubi in acciaio bitumato) Q J a c D a = c = 5.6 tubi nuovi a = c = 5.44 tubi usati

35 Macchine Motrici (Turbine) e Operatrici (Pompe) L1 J1 V/g) L J H V1/g) La portata Q non dipende solo da Y ma anche dalla regolazione della macchina HA Q T L1 (A) HB HM HV L (B) z=0 HM = HA J1 L1 Y = salto disponibile = HA- HB H = salto utile = HM HV Energia ceduta dalla corrente alla macchina nell unità di tempo HV = HB + V/g) + J L Wd = Q Y potenza disponibile problema tipo: WT = T Q H potenza ceduta alla turbina noti: HA ; HB ; Li ; Di ; i ; Q WP [W] ; T Det: Lct ; Lp ; WT

36 Schema di impianto di sollevamento prevalenza geodetica H Y V g prevalenza totale H = HV HM Potenza ceduta al fluido Y HV V1 g L Q P HA A Wc = Q H B Condotta di mandata HB Potenza assorbita dalla pompa WP = ( Q H) / P L1 Condotta di aspirazione HM WP [W] ; P z=0 problema tipo: noti: HA ; HB ;Q ; Li ; Di ; i ; P Det: Lct ; Lp ; WP

37 Reti di distribuzione a maglia NODO IDRAULICO: H=cost e Qi=0

38 N nodi: M maglie: Se la rete è a maglie chiuse, le incognite sono: N+m-1 (5+3-1)=7 H k H k 1 J k Lk Ai nodi: Lungo i lati di una maglia: Qk Qi 0 k H m 0 m 1 k Qk gdk Ak Lk k k Qk k k Qk Qk 5 equazioni nelle 7 incognite Qk; le Qi (portate erogate al nodo) sono note equaz. Nelle 7 incognite Qk

39 Misuratori di Velocità/Portata TUBO DI PITOT V g (H h)

40 H1 H H Q C p Ad d m ; D d g h ; 1 m boccagli: Cp=0.96 Re>30000 diaframmi: Cp=0.61 Re>30000 Venturimetri: Cp=

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42 Noti: ZM, ZV, Q,, L, Dimensionamento delle condotte ZM Dimensionare la condotta Determinare il diametro (D?) specificando il tipo di condotta che si intende utilizzare ( ) ZV Applico Bernoulli tra i due serbatoi: Q Z M ZV 0.5 L Re ; Incognite: D ; ; regime di moto Q D g 4 L Q D gd 4 Q D g 4 D lo impongo quando scelgo il tipo di tubazione ( vedi Manuali; es: Acciaio 10-4 ; cls 10-3 ) regime di moto lo ipotizzo (di solito Puramente Turbolento) Z M ZV 0.5 Q D g 4 1 log 3.71 D 1 L Q D gd 4 Q sistema di eq. in incognite da cui ottengo D g 4 e DTEORICO devo verificare l Hp di MPT! devo verificare se esiste il diametro calcolato cp16

43 ZM = 35 [m], ZV = 10 [m], Q = 0. [m3/s], Noti: ZM L= 1000 [m] ZV = 9806 [N/m3] = 1.00E-06 [m/s] Dimensionare la condotta 1) scelgo il tipo di tubazione: tubi in Acciaio con = 10-4 Q ) ipotizzo il moto : Puramente Turbolento L 3) applico Bernoulli ( =1) Z M Z V 0.5 Q D g 4 1 log 3.71 D L Q D gd 4 Q D g 4 1 DT = 0.3 m /D = Re = 7.87 E+5 4) devo verificare se l Hp di moto P.T. è verificata (Abaco di Moody) 5) devo verificare che in commercio esista il diametro che ho calcolato se il moto PT non è verificato devo riscrivere il sistema con l eq. di Colebrook se DT dai diametri commerciali: 6) scelgo il primo diametro commerciale DP superiore a DT 7) calcolo la perdita di carico localizzata H da imporre al sistema per ottenere la portata di progetto DP = 0.35 m se calcolo la portata effluente con DC ottengo un valore superiore alla portata di progetto cp17

44 calcolo la perdita di carico localizzata H da imporre al sistema per ottenere la portata di progetto Z M Z V 0.5 Q DP g 4 L Q DP gd C 4 Q DP g 4 H H = 6.04 m 1 log D P 1 DP = 0.35 m 8) devo verificare che il regime di movimento si mantenga coerente all Hp. fatta /DP = ) devo stabilire come realizzare la perdita H (di solito una saracinesca) Re = 8.49 E+5 ZM saracinesca ZV AP = m A AS AC Q L V 1 H 1 g m CC AsP = 0.01 m m = 0.3 cp18

45 Politecnico di Milano Dipartimento di Ingegneria Idraulica, Ambientale e del Rilevamento (DIIAR) sezione Idraulica Note degli insegnamenti di: Meccanica dei Fluidi II Corso di Studi in Ingegneria Meccanica - IV Facoltà di Ingegneria Problematiche relative alle correnti in depressione A cura di : C. Piccinin, S. Malavasi

46 Tensione di vapore e cavitazione Fasi di una sostanza chimica: Linee di coesistenza delle fasi a volume costante

47 Se p < pv il liquido vaporizza pv [hpa] Tensione di vapore pv: pv pressione di equilibrio tra vapore e liquido alla temperatura T. ACQUA BOLLE DI CAVITAZIONE T [ C] CAVITAZIONE Causa: bolle di vapore: Effetti: - onde di pressione - rumore, vibrazioni - erosione - fatica e collasso

48 a) Un fluido sta bollendo alla pressione di 304 kpa: determinare la temperatura di ebollizione Te pv [hpa] 4000 Esempio: b) Lo stesso fluido, a 000 m di quota, bolle alla pressione di 81 kpa: rideterminare Te Risultato: b) Te=93 C (17 se interpolo linearmente) T [ C] a) Te=134 C 00

49 Esempio: Dell acqua corre nella condotta di aspirazione di un sistema di pompaggio, con temperatura pari a 30 C e pressione pari a 0.05 bar. Determinare se vi è rischio di cavitazione. Dalla tabella. (vedi grafico) ricavo: pv [hpa] (nota: 1 bar Pa) 50 = 4.5 hpa = 10 T [ C] non si sa quando, ma succederà!! Quindi si formeranno bolle di cavitazione che ridurranno il rendimento o danneggeranno le pale della pompa Siccome p<pv c è cavitazione = bar 0 = 450 Pa = Pv( T=30 C )

50 Principio di funzionamento

51 Effetti tipici Girante di una turbina Francis

52 Esempio di condotta a gravità in depressione (cfr. Citrini, par 7.9) H A HB J L H A za; V g ; H B zb ; cosa succede se il livello di valle diminuisce???

53 situazione critica nel punto M: pressione assoluta nulla. Come faccio a calcolare la portata?? Considero il tratto AM, lungo L : H A H B J L '; H A za p *A ; H M zm V max V max 0 ; J L ' g D g Ricavo Vmax, e quindi Q. Posso ricavare la quota z* del serbatoio di valle per la quale si verifica la situazione di pressione nulla: V max V max z z A L ' g D g * ; J max V max D g

54 situazione fisicamente IMPOSSIBILE p*<0!!! Il liquido vaporizza, ho quindi un cambiamento di fase e quindi le equazioni del moto non sono più le stesse moto a pelo libero come faccio a calcolare la condotta???

55 MOTO A CANALETTA J max V max D 1. La portata massima transitante è la Qmax calcolata con la Vmax;. Nel tratto con moto a canaletta si ha: H M zx p * x x x V g J x dx ; 0 3. Dato che nel tratto MS*, a pressione p*=cost=pv*, il fluido accelera, per continuità la sezione trasversale deve diminuire!! g

56 Riassumendo: J max V max D g

57 Caso n.: sistemi di pompaggio L unica preoccupazione è che in ogni punto: p* > tensione di vapore

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60 CONDOTTA DI ASPIRAZIONE DEPRESSA Punto di funzionamento H Ya P Y Q Curva caratteristica dell impianto H = Y+ J1L1+ Q/gA H Curva caratteristica della pompa Y punto di funzionamento Q Verifica alla cavitazione NPSHimp NPSHp devo verificare che nel punto di minor pressione non si raggiunga la tensione di vapore del liquido NPSH dell impianto (Net Positive Suction Head) NPSH imp pi patm ps Vi JL Ya g g pi = pressione alla condizione di ingresso Vi = velocità alla condizione di ingresso ps = tensione di vapore del liquido Ha = perdite in aspirazione Ya = prevalenza geodetica in aspirazione cp15

61 Criteri di sicurezza pratica (manuale Hoepli - macchine)

62 In pratica: NPSH disponibile > FS * NPSH richiesto con FS = 1.15 per: HO alta temperatura, fluidi con bassa densità, idrocarburi leggeri, fluidi che hanno bassa variazione di Pv con la temperatura; e con FS = 1.5 per: HO a temperature normali, fluidi con alta densità, fluidi che hanno alta variazione di Pv con la temperatura. Inoltre [m HO]: NPSH disponibile > NPSH richiesto + 0.5