SCAMBIO TERMICO PER CONVEZIONE. dq = - k ( T/ n)p ds. dq = h (Tp- Tf) ds

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1 SCAMBIO TERMICO PER CONVEZIONE La trasmissione del calore per convezione si ha quando al meccanismo di scambio proprio della conduzione si sovrappone un trasporto di energia interna da un punto all'altro del sistema, dovuto al fatto che i volumi elementari costituenti il mezzo continuo sono dotati di moto relativo l'uno rispetto all'altro. Ci occuperemo della convezione tra una superficie solida ed un fluido, anche se in generale la convezione può avvenire anche tra un liquido ed un gas o tra due liquidi immiscibili. Anche se il fluido è in movimento, a contatto con la parete si ha sempre uno straterello di fluido con velocità nulla, pertanto la quantità di calore scambiata tra la parete ed il fluido potrebbe essere valutata con la relazione che esprime lo scambio attraverso tale straterello: dq = - k ( T/ n)p ds dove n e' il versore normale alla superficie ed il gradiente deve essere valutato sulla parete. In pratica però si impiega la relazione dq = h (Tp- Tf) ds pag. 1-24

2 detta legge di Newton, che non ha valore di legge fisica, ma definisce il coefficiente h di convezione. Questo risulta pertanto dipendere non solo dalla natura del fluido, ma anche dalle particolari condizioni del sistema (geometria del sistema, regime del moto, ecc.). Il valore da assegnare ad h deve essere determinato caso per caso per via analitica o sperimentale; bisogna notare che il valore di h dipenderà anche dal criterio di scelta della temperatura del fluido T f che dovrà essere precisato. Per la temperatura di riferimento T f nel caso dei fluidi limitati da una sola parete si assume la temperatura del fluido nella zona indisturbata, al di fuori dello strato limite; nella convezione entro condotti, assumere la temperatura del fluido sull'asse del condotto, è una scelta semplicistica priva di fondamento fisico. Si potrebbe definire una temperatura media T f su di una sezione A come: T f = 1 A A TdA In questo caso occorrerebbe conoscere il profilo di temperatura, ma non si terrebbe conto però della distribuzione delle velocità. Fisicamente più corretta è la scelta di una T f ponderata i cui pesi sono dati dalle singole portate dei vari filetti di corrente con velocità v pag. 2-24

3 T f = A ρc A p ρc T ( v) da p ( v) da detta anche temperatura di mescolamento adiabatico. Il valore del coefficiente h è determinabile per via analitica soltanto se si può valutare la distribuzione della temperatura nel mezzo e quindi il valore del gradiente di temperatura alla parete, infatti eguagliando le espressioni dello scambio termico già viste si ha h (Tp- Tf) = - k(dt/dn) p A) In questo caso occorre quindi risolvere l'equazione generale del trasporto di energia nel fluido. L'integrazione di quest'ultima equazione, richiede la conoscenza della distribuzione della velocità, ottenibile attraverso la soluzione dell'equazione di continuità, dell'equazione del moto e dell'equazione di stato che esprime la dipendenza della densità del mezzo dalla pressione e dalla temperatura. Anche per un fluido incomprimibile, per cui la densità dipende solo dalla temperatura, non si può in generale trascurare questa dipendenza, dato che, in presenza di un campo gravitazionale, od in generale di un campo di forze, si hanno delle forze di galleggiamento, dette spinta di Archimede. pag. 3-24

4 La dipendenza della densità dalla temperatura si esprime tramite il coefficiente di dilatazione termica ß definito da: ß = ( v/ T)p /v=- ( ρ/ T)p / ρ che può essere approssimato sostituendo le derivate con il rapporto incrementale, ottenendo: ρ = ρ 0 [1 + ß ( T 0 - T)] Nell'equazione del moto si dovrà tener conto della variazione della densità con la temperatura; se il moto avviene esclusivamente a causa di gradienti di temperatura si parla di convezione naturale. Quando il moto del fluido avviene principalmente a causa di fattori esterni al fenomeno di scambio termico (pompe, ventilatori, differenze di livello, ecc.) si dice che la convezione è forzata. E` evidente che convezione forzata pura in effetti non si ha mai, infatti dovrebbe essere ß = 0, ma quando le forze di galleggiamento possono essere trascurate rispetto alle altre forze in gioco è utile porre ß = 0. Convezione forzata e convezione naturale sono le due condizioni estreme in cui e' spesso utile analizzare i fenomeni per poter ottenere importanti semplificazioni analitiche. Lo studio della trasmissione del calore per convezione è uno dei campi in cui risulta quasi indispensabile l'indagine sperimentale viste le enormi difficoltà analitiche che si frappongono alla soluzione delle equazioni costitutive anche con l'utilizzo di metodi numerici. pag. 4-24

5 Analisi dimensionale dell'equazione del trasporto energetico Per dare un carattere più generale al singolo caso preso in esame sperimentalmente, occorre procedere ad una adimensionalizzazione delle equazioni in modo da definire coefficienti che non dipendono dalle unità di misura ma che comprendano le caratteristiche geometriche e di moto del sistema, rendendo quindi la soluzione valida per ogni altro sistema geometricamente e dinamicamente simile. Dalla relazione A) scelta una lunghezza di riferimento L si può scrivere: Nu = L h/k =(dt/dn) p L/(Tp- Tf) che definisce il numero puro Nu (Nusselt). Analogamente si può procedere adimensionalizzando le equazioni dell'energia, introducendo delle variabili senza dimensioni, ad esempio w/w, e rielaborando le equazioni sostituendo tali variabili. Si può anche utilizzare l'analisi dimensionale col teorema di Buckingham, individuate le variabili che caratterizzano il sistema, dato che si può scrivere ad esempio per un canale: h ( a...) i bi ci d µ ρ w = (,,,,,...) = i f w D β ρ µ B i i D pag. 5-24

6 si impone che la relazione sia dimensionalmente omogenea e quindi si determinano i valori degli esponenti. Oltre al numero di Nusselt si ottengono così il già conosciuto numero di Reynolds: wdρ wd Re = = µ ν ed il numero di Grashoff., il numero di Prandtl Pertanto si vede che per situazioni geometricamente simili e per condizioni al contorno della stessa specie, si ottengono delle soluzioni particolari che risultano uguali tra loro se ciascuno dei numeri puri così definiti assume lo stesso valore nei diversi sistemi: ciò significa che in questi casi i profili di temperatura adimensionali risultano geometricamente simili, la similitudine diventa termofisica. In generale scriveremo, scegliendo una relazione interpolante per i dati sperimentali del tipo semplificato: Nu = C Rea Grb Prc Gr = Pr βgd 3 c µ ν = p = k α ( T T ) p 2 µ 2 ρ pag. 6-24

7 Determinati sperimentalmente il coefficiente e gli esponenti di questa funzione è quindi possibile calcolare il valore del coefficiente di convezione h per situazioni fisicamente simili; potremo quindi eseguire misure su modelli ed estenderne la validità a situazioni reali. Interpretazione fisica dei coefficienti adimensionali Analizziamo come si può interpretare fisicamente la similitudine di due sistemi. Similitudine cinematica: le linee di corrente dei due sistemi sono geometricamente simili. Implica la similitudine geometrica dei contorni ed assicura che sono simili i due campi di velocità. Similitudine dinamica: le forze della stessa specie applicate a qualsiasi coppia di punti corrispondenti nei due sistemi agiscono su direzioni parallele e stanno tra loro in un rapporto costante indipendente dalla natura delle forze. Su di una particella in movimento entro una massa non isoterma di fluido fisicamente e chimicamente omogeneo, trascurando gli eventuali gradienti di pressione o di campi imposti dall'esterno, agiscono le seguenti forze: - d'inerzia (fi) - di attrito viscoso (fa) - di galleggiamento (fg). Nei due sistemi simili A e B dovrà pertanto essere verificato pag. 7-24

8 (fi)a/(fi)b = (fa)a/(fa)b (fg)a/(fg)b = (fa)a/(fa)b B) Facendo una valutazione fenomenologica, riferendosi ad una forza per unità di superficie F/S, si possono scrivere le seguenti relazioni di proporzionalità: f i ρ w 2 ; f a µw/l ; f g ρgβl(t p -T f ) per cui nei due sistemi deve assumere lo stesso valore il raggruppamento adimensionale f i /f a ~ (ρ w 2 )/ (µw/l) = Re per cui si vede che Re è collegato al rapporto tra le forze d'inerzia e quelle d'attrito. Le forze di galleggiamento saranno legate a ß, e dovremo avere una proporzione tra le forze di galleggiamento; d'altronde dovrà valere ancora la relazione precedente, quindi l'uguaglianza di Re nei due sistemi. La contemporanea validità delle B) implica che si possa scrivere: (f i * f g )/f a 2 ~ ρ 2 gβl 3 (T p -T f )]/ µ 2 = Gr si ottiene il nuovo raggruppamento adimensionale Gr (Grashoff) in cui non compare più w pag. 8-24

9 Abbiamo inoltre: (fg)a/(fg)b = (fi)a/(fi)b e quindi f f g i = f g f 2 a f i f f 2 a 2 i = Gr Re 2 pertanto se Gr<<Re2 le fg sono trascurabili rispetto alle fi, per cui si ha praticamente convenzione forzata, se Gr Re² siamo in convezione mista, infine se Gr>>Re2 si ha predominanza delle fg e la convezione è naturale. Similitudine energetica: vuol dire che nei due sistemi A e B dovranno essere simili anche le distribuzioni di temperatura. Si può vedere, tramite l'equazione dell'energia, che il trasporto di calore è legato al trasporto di quantità di moto (q.m.), cioè di masse che hanno una determinata velocità. Quindi perché sia verificata anche la similitudine energetica dovrà essere [ (trasporto q.m.) A / (trasporto q.m.) B ] [ (trasporto calore) A / (trasporto calore) B ] Pertanto ν α A = α ν B = Pr pag. 9-24

10 Il numero Prandtl rappresenta quindi il rapporto tra la disponibilità del fluido a trasportare quantità di moto e quello a trasportare calore e dipende esclusivamente dalla natura del mezzo e dal suo stato fisico. Stabilito che due sistemi geometricamente simili sono anche energeticamente simili quando per entrambi si hanno gli stessi valori di Re, Gr, Pr, ne segue che anche il gradiente della temperatura, reso adimensionale, e quindi il numero di Nusselt deve essere funzione di tali numeri puri Nu = f (Re, Gr, Pr) Vediamo quale può essere il significato fisico di Nu. Immaginiamo uno strato piano di fluido stagnante aderente alla parete avente uno spessore s, una conducibilità termica k e temperatura T f e T p alla parete. Come visto nella A) quindi Nu rappresenta il rapporto tra il calore che si scambia effettivamente per convezione e quello che si scambierebbe per conduzione attraverso uno strato di fluido stagnante di spessore s, a parità di differenza di temperatura. pag

11 Moto interno ed esterno Bisogna anche distinguere tra flussi interni che si svolgono entro un condotto confinato e flussi esterni, nei quali una superficie è lambita da un fluido che si muove in uno spazio virtualmente illimitato. Una distinzione fondamentale è quella tra moto turbolento e moto laminare: in moto turbolento lo scambio termico interno al fluido è fortemente intensificato dalle fluttuazioni di velocità. umd La definizione del numero di Reynolds è diversa per i moti interni Re= ed esterni, Re= u x ν dove x è la distanza dall'inizio della superficie considerata. Corrispondentemente variano anche i valori limiti delle transizioni: se per i condotti il moto è laminare per Re < 2300 e turbolento per Re > 3500, nel caso di una lastra piana si ha transizione per Re = ν pag

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13 Strato limite termico Dalla descrizione del meccanismo del trasporto di energia per convezione ci si accorge che hanno grande importanza sia la conduzione che il trasporto di materia. Poiché la conducibilità termica dei fluidi, tranne che per i metalli liquidi è abbastanza piccola, la velocità del trasporto di energia dipende principalmente dal moto di mescolamento del fluido. Di conseguenza, per trasmettere una certa potenza termica per convezione attraverso un fluido, è richiesto un gradiente di temperatura più grande in una regione a bassa velocità rispetto a quello necessario in una regione ad alta velocità. Quindi in corrispondenza dello strato limite dinamico si viene a generare anche uno strato limite termico. Nello strato di fluido aderente alla parete il calore può fluire soltanto per conduzione, conseguentemente in questo strato si ha di solito una brusca caduta di temperatura; allontanandosi dalla parete, il movimento del fluido facilita il trasporto di energia ed il gradiente di temperatura sarà meno ripido, annullandosi infine nella corrente principale. Convenzionalmente lo strato limite termico è definito dalla temperatura T tale che: ( Tp T) = 0.99 T T ( ) p Convezione forzata Nel caso della convezione forzata trascurando le forze di galleggiamento avremo Nu = f (Re, Pr) e quindi Nu = C Rea Prc pag

14 In particolare se il moto è laminare stazionario a = c per cui Nu è funzione del prodotto Re Pr = Pe (numero di Peclet). Nei casi più semplici è possibile determinare C, a, c analiticamente, altrimenti occorre procedere sperimentalmente. Condizioni al contorno Temperatura parete costante Flusso termico a parete costante T T p T T p T f T f x x pag

15 Valori Nu moto laminare CONDIZIONI AL CONTORNO (parete) SEZIONE DEL Flusso costante Temperatura costante CONDOTTO Circolare Quadrata a=b Rettangolare a=1.4 b Rettangolare a=2 b Rettangolare a=3 b Rettangolare a=4 b Rettangolare a=8 b Rettangolare a= Rett. a= 1 lato adiabatico Triangolare equilatera Sezione di ingresso Nel momento in cui il fluido entra in un condotto sia la velocità che la temperatura hanno valori definiti molto diversi da quelli della parete, si presentano perciò dei gradienti di pag

16 temperatura e velocità tendenti all'infinito all'imbocco, con la tendenza a stabilizzarsi man mano che il fluido entra nel condotto. Essi sono importanti se x/d<50 w Distribuzione velocità T T p <T δ Distribuzione temperatura in raffreddamento h x /h δ t x/d pag

17 Ingresso: Dinamico e Termico oppure Termico Campo Regime Nu = C* Re a *Pr b Re ing. dinam. ing. term. sviluppato C a b Note < (D/x) 1/ L<20 D teorico < (D/x) 1/ < (D/x) 1/ teorico parete piana (D/x) > (D/x) 1/ > (D/x) 1/ liquido riscaldato > (D/x) 1/ liquido raffreddato > (D/x) 1/ teorico > fluido riscaldato > fluido raffreddato > prodotti petroliferi (D i /D e ) anulare, superficie esterna isolata pag

18 Convezione naturale Se consideriamo la trasmissione di energia termica da una parete ad un fluido che occupa un semispazio infinito delimitato dalla parete stessa, dovendo essere nulla la velocità non solo sulla parete, ma anche a distanza infinita dalla stessa, quindi su tutto il contorno del sistema, poniamo uguale a zero la velocità di riferimento, ossia Re = 0, da cui Nu = C Grb Prc nel caso di moto laminare stazionario anche in questo caso sarà b = c. Poiché il numero di Reynolds non compare è necessario stabilire un nuovo criterio per determinare se il moto sia laminare o turbolento. Si definisce allora un nuovo numero puro Gr Pr = Ra (numero di Rayleigh); sperimentalmente si vede che si ha moto laminare solo se Ra < 109. pag

19 Situazione Campo di validità Ra Nu = C* Gr a *Pr b geometrica Ra = Gr * Pr C a b Note Superficie < Nu e Gr in funzione cilindrica del diametro D orizzontale Superficie piana o Nu e Gr in funzione cilindrica verticale della verticale L Superficie piana * flusso termico orizzontale, 2*10 7 3* verso l alto quadrata di lato L * verso il basso Sfera Strato verticale <2000 Pr Nu e Gr calcolati altezza H e Pr*2*10 3 Pr*2* (H/L) -1/ in funzione di L spessore L: una parete Pr*2*10 4 Pr*2* (H/L) -1/ valide per gas verticale più calda < Idem per liquidi dell altra (H/L) -1/ <Pr<30000 pag

20 Fisica Tecnica G. Grazzini Convezione naturale libera su piastra Descrive anche il comportamento su tubo (cilindro) verticale A destra su tubo orizzontale pag

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22 T 1 T2 T 2 > T 1 T 2 T1 T2>T1 (a) (b) Schema del flusso nella cavità: (a) scaldata da sotto e (b) scaldata da sopra Il numero adimensionale di Rayleigh per una cavità assume la forma: Ra = (g. β.dt. δ 3 ).Pr / ν 2 dove: g = accelerazione gravitazionale; β = coefficiente di dilatazione termica; Dt = differenza di temperatura tra le due pareti; δ = distanza tra le pareti; ν = viscosità cinematica; Pr = numero di Prandtl pag

23 Il rapporto d aspetto (AR = L /δ) definito come il rapporto tra la dimensione longitudinale della cavità ed il suo spessore, ossia la distanza tra le pareti. Effetto dell angolo di inclinazione sul numero di Nusselt in cavità [Arnold J.N. et al.,1976]. pag

24 Fisica Tecnica G. Grazzini pag