Amplificatori operazionali - Amplificatori da strumentazione - Amplificatori a transconduttanza Sistemi dinamici

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1 Amplificatori operazionali - Amplificatori da strumentazione - Amplificatori a transconduttanza Sistemi dinamici

2 Argomenti - Amplificatori operazionali - Amplificatori da strumentazione - Amplificatori a transconduttanza - Sistemi dinamici

3 Amplificatori operazionali La necessità di amplificare un segnale deriva dal fatto che i trasduttori forniscono segnali deboli in ampiezza, dell ordine di µv o mv; essi non sono pertanto adatti ad essere sottoposti ad un elaborazione attendibile e possono facilmente confondersi con il rumore di fondo, sempre presente in qualsiasi sistema elettrico.

4 Amplificatori operazionali Per adattare un segnale in uscita da un sensore al convertitore A/D, spesso si adopera un amplificatore che permette di aumentare il valore di ampiezza del segnale in questione, lasciando inalterate le altre caratteristiche, come periodo, fase iniziale, etc.

5 Amplificatori operazionali Si può pertanto affermare che un amplificatore è un circuito in grado di innalzare il livello del segnale d ingresso conferendo ad esso un ampiezza del modulo maggiore rispetto a quella che aveva in ingresso.

6 Amplificatori operazionali L operazione di amplificazione viene effettuata all interno di un amplificatore per mezzo di componenti elettronici detti transistor (comandati in accensione e spegnimento). Esso può essere schematizzato come segue.

7 Amplificatori operazionali

8 Amplificatori operazionali L amplificatore riceve all ingresso un segnale alternato di bassa tensione e bassa potenza, mentre al secondo ingresso è applicata una tensione continua, in grado di fornire una corrente assai più elevata di quella che circola nel circuito d ingresso.

9 Amplificatori operazionali In questo modo, l amplificatore fornisce in uscita un segnale il cui andamento è lo stesso del segnale d ingresso, ma con una potenza più elevata rispetto a quella del segnale stesso. A tale incremento di potenza provvede interamente la sorgente continua applicata all altro ingresso, che prende il nome di alimentazione.

11 Amplificatori operazionali Detto ciò, prendendo in considerazione un generico amplificatore come: Si possono definire alcuni indici caratteristici degli amplificatori.

12 Amplificatori operazionali Un amplificatore che conservi nei dettagli la forma d onda del segnale è caratterizzato dalla relazione: Dove v0 e vi sono rispettivamente i segnale d uscita e d ingresso e A è una costante chiamata guadagno dell amplificazione, che lega proporzionalmente segnale di ingresso e di uscita.

13 Amplificatori operazionali Una prima classificazione vede gli amplificatori divisi in: Amplificatori di segnale: Sono caratterizzati dall aumento di ampiezza del segnale, mentre la potenza viene mantenuta a livelli non elevati. Amplificatori di potenza: Forniscono una modesta amplificazione di tensione ma una sostanziale amplificazione di corrente. Quindi assorbono una potenza non trascurabile.

14 Amplificatori operazionali In genere, nei sistemi di misura, gli amplificatori ampiamente utilizzati sono quelli per l amplificazione del segnale di misura.

15 Amplificatori operazionali Un semplice amplificatore può essere realizzato da un unico elemento attivo e da resistenze, opportunamente alimentati. Un amplificatore operazionale è invece un circuito integrato, costituito da diversi stadi amplificatori semplici posti in cascata, in grado di amplificare anche tensioni continue.

16 Amplificatori operazionali Idealmente, un amplificatore operazionale presenta amplificazione di tensione infinita, resistenza d ingresso infinita e resistenza d uscita nulla. Nella realtà l amplificazione è molto elevata, così come la resistenza d ingresso, mentre la resistenza d uscita risulta molto piccola.

18 Amplificatori operazionali La relazione tra la tensione d uscita e quella applicata ai morsetti di ingresso, è espressa da: Dove Avf è l amplificazione ad anello aperto, ovvero in assenza di qualsiasi collegamento esterno tra uscita e ingressi. Si può inoltre indicare con vs la tensione differenziale d ingresso v, v+.

19 Amplificatori operazionali La relazione precedente rappresenta la transcaratteristica dell amplificatore operazionale ad anello aperto.

20 Amplificatori operazionali La configurazione ad anello aperto è molto semplice, ma presenta un comportamento non lineare (la sua transcaratteristica è una sorta di gradino), pertanto non è adatta a realizzare circuiti amplificatori. Per ovviare alla problematica, sono stati realizzati degli amplificatori con configurazione ad anello chiuso.

21 Amplificatori operazionali L obiettivo è quello di inserire l amplificatore operazionale in una rete di "controreazione" che consenta di limitare il guadagno complessivo e rendere la risposta del circuito lineare per escursioni relativamente ampie del segnale d ingresso.

22 Amplificatori operazionali Nella pratica, queste tipologie di amplificatori trovano applicazione nei cosiddetti amplificatori invertenti, che forniscono in uscita un segnale amplificato invertito di fase rispetto al segnale in ingresso. L ingresso è quello invertente, mentre quello non invertente è posto a massa.

23 Amplificatori operazionali La rete di reazione è costituita dalle resistenze R e R : in particolare la resistenza R riporta l uscita sull ingresso invertente in modo tale che la reazione risulti negativa. La schematizzazione è riportata di seguito.

25 Amplificatori operazionali Le equazioni che regolano il circuito equivalente sono:

26 Amplificatori operazionali Amplificatori non invertenti L inversione di fase talvolta può costituire un problema. L amplificatore non invertente viene di seguito illustrato.

28 Amplificatori operazionali Le equazioni che regolano il circuito in questo caso sono:

29 Amplificatori operazionali Tutto quanto visto finora è valido nel caso di amplificatori ideali. Nei casi reali, le prestazioni non sono esattamente quelle finora considerate, ma bisogna tener conto di una serie di fattori che possono avere influenza sul comportamento reale del circuito.

30 Amplificatori operazionali Tra i fattori che influenzano il comportamento reale dell amplificatore menzioniamo: Offset di tensione e corrente; Resistenza d ingresso e di uscita; Risposta in frequenza; Slew rate.

31 Amplificatori operazionali Offset di tensione e corrente Nei due terminali d'ingresso scorrono delle correnti, che prendono il nome di correnti di ingresso. Queste correnti producono delle cadute di tensione sulle resistenze che compongono la rete di reazione, o sulla resistenza d'uscita del generatore di segnale collegato all'ingresso.

32 Amplificatori operazionali Offset di tensione e corrente

33 Amplificatori operazionali Offset di tensione e corrente Data Ib2 la corrente che fluisce attraverso la resistenza R, possiamo approssimativamente considerare R ed R in parallelo, e quindi il morsetto 2 si porta alla tensione:

34 Amplificatori operazionali Offset di tensione e corrente Per ovviare alla presenza di questa caduta di tensione indesiderata, si potrebbe bilanciare il carico sui due ingressi, in modo da avere due correnti Ib1 e Ib2 identiche. Tuttavia, è impensabile poter realizzare due ingressi esattamente identici: piccole differenze costruttive sono inevitabili e quindi le due correnti, Ib1 e Ib2, non saranno mai uguali.

35 Amplificatori operazionali Offset di tensione e corrente Ciò significa che, pur in presenza di carichi assolutamente bilanciati, si avrà una tensione d'uscita diversa da zero anche in assenza di un segnale d'ingresso. Si definisce quindi la corrente di offset come:

36 Amplificatori operazionali Offset di tensione e corrente Più in generale, le due giunzioni base-emettitore dei due transistor di ingresso possono avere caratteristiche diverse. Operativamente ciò si traduce in un offset di tensione continua presente all'uscita anche in assenza di segnale d'ingresso.

37 Amplificatori operazionali Offset di tensione e corrente Si definisce tensione di offset d'ingresso Vos, la tensione che occorre porre tra i due ingressi per azzerare perfettamente l'uscita.

38 Amplificatori operazionali Offset di tensione e corrente

39 Amplificatori operazionali Resistenza d ingresso e di uscita Anche le resistenze di ingresso e uscita, che nel caso ideale dovrebbero essere rispettivamente di valore infinito e pari a 0, in realtà hanno valori dell ordine dei MΩ e delle decine di Ω.

40 Risposta in frequenza Amplificatori operazionali Un amplificatore operazionale reale non può avere una banda passante infinita. L'andamento ad alta frequenza dell'amplificazione è dominato dalla presenza di numerosi poli nella funzione di trasferimento, ciò comporta un andamento anomalo di modulo e fase della risposta in frequenza nei diagrammi di Bode.

41 Risposta in frequenza Amplificatori operazionali

42 Risposta in frequenza Amplificatori operazionali Ricordando che il valore di amplificazione per un amplificatore operazionale con rete di reazione negativa vale: Dove è stato posto:

43 Risposta in frequenza Amplificatori operazionali A causa della rotazione di fase, al crescere della frequenza la reazione diviene positiva, cioè β diviene negativo. Se esiste una frequenza per cui βa = -1, l'amplificazione diverge, di conseguenza l'amplificatore può entrare in oscillazione. Può accadere quindi, che i disturbi presenti sullo spettro di frequenza siano sufficienti a trasformare l amplificatore in un oscillatore.

44 Risposta in frequenza Amplificatori operazionali Per risolvere la problematica, si fa riferimento alla cosiddetta compensazione, che nella maggior parte dei casi si traduce fisicamente nell inserimento di un circuito RC per modificare in modo opportuno l'andamento del modulo e della fase di Av. Questo, dal punto di vista della funzione di trasferimento, si traduce invece nell inserimento di opportuni poli e/o zeri.

45 Amplificatori operazionali Slew rate Le prestazioni in frequenza dell'amplificatore vengono valutate anche in base allo slew rate, cioè alla massima velocità con cui la tensione d'uscita varia a fronte di un ampia e rapida variazione dei segnali di ingresso. Analiticamente lo slew rate è definito come:

46 Amplificatori operazionali Si possono ora riportare le caratteristiche reali di alcuni amplificatori operazionali in commercio a confronto.

48 Amplificatori da strumentazione Amplificatore differenziale Lo scopo di un amplificatore differenziale è quello di amplificare soltanto la differenza di potenziale fra due punti. Si possono considerare i due morsetti di un generatore come portatori rispettivamente della tensione v1 e della tensione v2, riferite al punto comune.

49 Amplificatori da strumentazione Amplificatore differenziale

50 Amplificatori da strumentazione Amplificatore differenziale La tensione differenziale Vd è quella che si intende amplificare, con un certo guadagno Ad. La tensione di modo comune Vc è quella presente su entrambi gli ingressi dell amplificatore, e vale:

51 Amplificatori da strumentazione Amplificatore differenziale I due segnali in ingresso possono essere espressi come: Considerando i contributi sull uscita vout dovuti separatamente agli ingressi v1 e v2, possiamo applicare il principio di sovrapposizione degli effetti, in virtù del fatto che un amplificatore operazionale

52 Amplificatori da strumentazione Amplificatore differenziale

53 Amplificatori da strumentazione Amplificatore differenziale La tensione d uscita vout sarà quindi la somma di vout1 e vout2.

54 Amplificatori da strumentazione Amplificatore differenziale Avendo posto:

55 Amplificatori da strumentazione Amplificatore differenziale La condizione necessaria per un comportamento rigorosamente differenziale è:

56 Amplificatori da strumentazione Amplificatore per strumentazione Per risolvere il problema di amplificare la differenza fra due segnali elettrici sono stati sviluppati dei particolari dispositivi, chiamati amplificatori per strumentazione, in cui all'utente viene richiesto solamente di aggiungere un resistore esterno che determina il guadagno del circuito (Rg).

57 Amplificatori da strumentazione Amplificatore per strumentazione

58 Amplificatori da strumentazione Amplificatore per strumentazione L amplificatore per strumentazione è essenzialmente costituito da due stadi non invertenti, montati secondo una struttura bilanciata, seguiti da un amplificatore differenziale.

59 Amplificatori da strumentazione Amplificatore per strumentazione Ai capi degli amplificatori 1 e 2 risulta essere presente un collegamento tramite il resistore Rg, per cui risulta:

60 Amplificatori da strumentazione Amplificatore per strumentazione Le tensioni in uscita dagli amplificatori 1 e 2 sono applicate allo stadio differenziale successivo, contenente l amplificatore 3:

61 Amplificatori da strumentazione Amplificatore per strumentazione La tensione in uscita dall amplificatore differenziale 3, se è ancora rispettata la condizione Risulta essere:

62 Amplificatori da strumentazione Amplificatore per strumentazione Il guadagno differenziale Ad può così essere stabilito agendo sulla sola resistenza Rg. In molti casi tale resistenza può essere variata in modo programmabile.

63 Amplificatori a transconduttanza Negli amplificatori a transconduttanza, il segnale di ingresso è una tensione, mentre il segnale di uscita è una corrente. Esso è caratterizzato da un relazione ingresso-uscita in cui la costante gm ha le dimensioni di una conduttanza ed è nota come transconduttanza.

64 Amplificatori a transconduttanza Gli amplificatori a transconduttanza, detti anche OTA (Operational Transconductance Amplifier), sono caratterizzati dall avere una larghezza di banda elevata e da alto slew-rate. Differentemente dagli amplificatori operazionali semplici, il loro ingresso differenziale non è simmetrico.

65 Amplificatori a transconduttanza Lo schema di principio di base dell OTA prevede che il terminale non-invertente sia l ingresso ad alta impedenza, mentre l ingresso a bassa impedenza, dove si chiuderà la reazione, sia il terminale invertente.

66 Amplificatori a transconduttanza

67 Amplificatori a transconduttanza La differenza di potenziale in ingresso (vin=vin+ - vin-) può essere vista come una variazione bilanciata di vin/2 in M1 e -vin/2 in M2. Una variazione nella tensione di gate si traduce in una variazione della corrente pari a:

68 Amplificatori a transconduttanza La corrente id1 viene copiata tramite lo specchio M3-M4 ed iniettata nel nodo di uscita. La corrente di uscita i0 risulta quindi:

69 Amplificatori a transconduttanza Il punto di polarizzazione dell OTA è definito dalla corrente di polarizzazione Ib che scorre in MB. In assenza di segnale differenziale di ingresso (vin+=vin-) in M1 e M2 scorre una corrente pari a Ib/2. Tale valore di corrente di polarizzazione determina il punto di lavoro del circuito e quindi i parametri del modello.

70 Amplificatori a transconduttanza La corrente di uscita fluisce attraverso la resistenza di uscita dell OTA, dando luogo ad una caduta di tensione:

71 Sistemi dinamici Il problema del controllo Il problema del controllo nasce quando si vuole che un oggetto, la cui natura va di volta in volta precisata, segua un comportamento desiderato, per mezzo di opportune azioni esercitate sull oggetto stesso.

72 Sistemi dinamici Il problema del controllo Si possono distinguere a tal proposito: Controllo automatico: l azione di controllo viene esercitata da dispositivi che operano in modo autonomo senza, o con ridotto, intervento umano; Controllo manuale: l azione di controllo viene esercitata dall operatore umano.

73 Sistemi dinamici Il problema del controllo E possibile definire un sistema, nell ambito dell automazione, come un insieme di oggetti e/o di fenomeni, descrivibili da uno o più modelli matematici, su cui è possibile esercitare l azione di controllo.

74 Sistemi dinamici Il problema del controllo Le problematiche legate ad un sistema di controllo, quindi, sono anzitutto di analisi del sistema da controllare. Sul sistema oggetto dell azione di controllo agiscono delle variabili manipolabili, o di controllo u, delle variabili indipendenti, dette disturbi d, mentre le sue uscite y costituiscono le variabili controllate, di cui interessa conoscere l andamento nel tempo.

75 Sistemi dinamici Il problema del controllo Le variabili y* rappresentano l andamento desiderato delle variabili controllate, ovvero l andamento che le variabili controllate dovrebbero assumere per garantire il funzionamento desiderato del sistema controllato. Esse possono essere anche chiamate valori di riferimento o valori di setpoint.

76 Il problema del controllo Sistemi dinamici

77 Sistemi dinamici Il problema del controllo Il problema di controllo consiste quindi nel determinare, ad ogni istante, il valore delle variabili di controllo u tali che le variabili controllate y assumano un andamento quanto più possibile simile all andamento desiderato y*, qualunque siano gli andamenti dei disturbi d.

78 Sistemi dinamici Il problema del controllo Il controllore può essere quindi definito come l organo che determina ed esercita l azione di controllo. La legge di controllo è la legge implementata nel controllore che permetta ad esso di svolgere la sua azione di controllo.

80 Sistemi dinamici Il problema del controllo Gli esempi di sistemi di controllo sono molteplici, nell ambito dell automazione industriale ma anche, naturalmente, in tutti gli altri ambiti. Basti pensare che il corpo umano rappresenta uno dei sistemi di controllo più efficienti in assoluto, nel controllo di molteplici processi nei più disparati ambiti.

82 Il problema del controllo Sistemi dinamici Un esempio tipico è il controllo della velocità di un automobile. In questo caso possiamo identificare le variabili e i parametri in gioco come segue. Variabile di controllo u : Pressione sull acceleratore; Variabile di uscita y : Velocità dell automobile; Valore di riferimento y* : Velocità desiderata dell automobile;

83 Sistemi dinamici Il problema del controllo Controllore : Cervello umano, centralina automobile; Disturbo d : Inerzia, attrito, vento, etc.. ; Errore ε : Differenza tra valori di velocità y* e y; Trasduttori : Tachimetro, occhi, orecchie, etc.. ; Attuatori : Pistoni, piede, etc.. ;

84 Sistemi dinamici Il problema del controllo Il controllo automatico, in ambito industriale, permette di controllare numerosi processi garantendo sicurezza per l operatore, potenza, ripetibilità, precisione e velocità di esecuzione.

86 Sistemi dinamici Il problema del controllo Come introdotto in precedenza, il controllo su un sistema di qualsiasi natura può essere esercitato solo previa conoscenza approfondita del sistema da controllare. Per questo motivo, il primo passo per la costruzione di un sistema di controllo è la creazione di un modello del sistema da controllare.

87 Sistemi dinamici Il problema del controllo I modelli possono essere di vario tipo, come modelli fisici (realizzazione del sistema in scala per lo studio del suo comportamento), descrittivi (schemi o disegni per la progettazione e la costruzione del sistema) o matematici. I modelli su cui viene concentrata l attenzione nell ambito dell automazione industriale sono questi ultimi.

88 Sistemi dinamici Il problema del controllo Un modello matematico descrive la struttura e l'evoluzione di un sistema mediante grandezze numeriche. Le grandezze caratteristiche che intervengono in un modello matematico sono classificate come: Parametri: Descrivono la struttura fisica del sistema e sono solitamente costanti; valore di una resistenza, massa di una trave, caratteristiche geometriche di un robot, etc...

89 Sistemi dinamici Il problema del controllo Variabili: Descrivono il variare di una grandezza di interesse del sistema; corrente elettrica, posizione o velocità di un corpo nello spazio, temperatura di un forno, livello di un liquido in un contenitore, etc... Le interdipendenze di parametri e variabili sono definite dalle relazioni matematiche.

90 Sistemi dinamici Il problema del controllo I modelli matematici possono essere di due tipologie: Modelli da leggi fisiche: Sono relazioni matematiche che regolano la maggior parte dei sistemi fisici, derivanti da teorie o assiomi consolidati; Modelli black-box : Sono modelli matematici basati sull'osservazione dei soli dati sperimentali,

91 Sistemi dinamici Il problema del controllo A questo punto, si hanno abbastanza elementi per introdurre quelli che sono gli steps di realizzazione di un sistema di controllo.

92 Sistemi dinamici Il problema del controllo 1. Costruire un modello Come si è anticipato, il primo step è la modellizzazione di ciò che si vuole controllare; questo passa attraverso la definizione di ingressi e uscite, dei parametri, dello stato iniziale, del livello di precisione del modello e della validazione del modello tramite simulazione.

93 Sistemi dinamici Il problema del controllo 2. Definire i segnali Ovvero trovare una corrispondenza tra segnali di controllo e uscita fisici e segnali di controllo e uscita del modello creato.

94 Sistemi dinamici Il problema del controllo 3. Specifiche di progetto Definire gli obiettivi da conseguire, la qualità del controllo da attuare, i costi di realizzazione limite, etc..

95 Sistemi dinamici Il problema del controllo 4. Algoritmo di controllo Progettare un algoritmo di controllo in accordo con il modello del sistema che permetta, a fronte di determinati ingressi di controllo, di ottenere l inseguimento e il raggiungimento degli obiettivi da conseguire.

96 Sistemi dinamici Il problema del controllo 5. Verifica dell algoritmo di controllo Effettuare simulazioni che abbiano come oggetto l algoritmo di controllo, in modo da verificarne la validità.

97 Sistemi dinamici Il problema del controllo 6. Sistema fisico Realizzazione del sistema fisico che implementi il controllo progettato.

99 Sistemi dinamici Un sistema dinamico è definibile in prima approssimazione come insieme di elementi variabili, che evolvono in modo interdipendente secondo date leggi. Lo strumento fondamentale a nostra disposizione sarà il modello matematico di questi sistemi.

100 Sistemi dinamici Dal punto di vista analitico, per sistema dinamico si intende un sistema in cui il legame ingresso-uscita è di tipo dinamico: Cioè il valore dell uscita y all istante t dipende da tutti i valori dell ingresso u fino all istante t.

101 Sistemi dinamici Per riassumere la storia del sistema fino all istante T, si può introdurre lo stato x (T ), che racchiude in sé tutta la memoria del sistema:

102 Sistemi dinamici Graficamente, è possibile rappresentare un sistema dinamico con una sequenza ingresso-stato-uscita:

103 Sistemi dinamici Classificazione dei sistemi dinamici I sistemi dinamici possono essere classificati come segue. Un sistema dinamico si dice: SISO (Single Input-Single Output) se ad esso sono applicati un singolo ingresso ed una singola uscita. MIMO (Multi Input-Multi Output) se ad esso sono applicati più ingressi e più uscite.

104 Sistemi dinamici Classificazione dei sistemi dinamici Un sistema dinamico si dice: strettamente proprio o puramente dinamico se l uscita dipende dall ingresso solo attraverso lo stato proprio se l uscita dipende dall ingresso attraverso lo stato e dall ingresso.

105 Sistemi dinamici Classificazione dei sistemi dinamici Un sistema dinamico si dice: Stazionario se le funzioni f e h non dipendono esplicitamente dal tempo, ovvero Tempo variante in caso contrario.

106 Sistemi dinamici Classificazione dei sistemi dinamici Un sistema dinamico si dice: lineare se le funzioni f e h dipendono linearmente dalle variabili di stato e di ingresso, cioè: Dove A, B, C, D sono matrici parametriche del sistema. non lineare in caso contrario.

107 Sistemi dinamici Nella maggior parte dei casi di interesse nell ambito dei fenomeni fisici, i sistemi dinamici sono descrivibili per mezzo di equazioni differenziali, che legano tra loro grandezze variabili in modo continuo in funzione di una o più variabili.

108 Sistemi dinamici Nella descrizione dei modelli dinamici, se possibile, è bene fare delle approssimazioni che permettono di concentrare in uno (o pochi) punti alcune caratteristiche del sistema e quindi ottenere notevoli semplificazioni nelle loro espressioni matematiche. Si hanno i cosiddetti modelli a parametri concentrati.

109 Sistemi dinamici In realtà, le caratteristiche dei sistemi fisici sono distribuite, ad esempio ritenere una porzione di materiale perfettamente omogenea è un approssimazione a parametri concentrati.

110 Sistemi dinamici I modelli a parametri concentrati sono espressi da equazioni differenziali ordinarie (tempo continuo) o equazioni alle differenze (tempo discreto), che sono funzioni solo del tempo.

111 Sistemi dinamici Le equazioni differenziali ordinarie, a tempo continuo, sono esprimibili nella forma:

112 Sistemi dinamici Mentre le equazioni differenziali ordinarie, a tempo discreto, sono esprimibili nella forma:

113 Sistemi dinamici Se non è possibile considerare il modello a parametri concentrati, bisogna ricorrere a equazioni differenziali a derivate parziali. In questo caso, la dinamica non dipenderà solo dal tempo ma anche da altre variabili come, ad esempio, lo spazio.

114 Sistemi dinamici Se le proprietà di un dato sistema sono costanti nel tempo, i relativi parametri sono costanti. In questo caso i modelli sono detti stazionari o invarianti. In realtà, è difficile che i parametri di un sistema non cambino nel tempo, ma essi si possono ritenere in buona approssimazione costanti se non variano in modo apprezzabile in un arco temporale confrontabile alla durata dell'esperimento.

115 Sistemi dinamici Nei modelli stazionari, non ha importanza l'istante di inizio dell'osservazione, che viene quindi solitamente considerato uguale a zero (t0 = 0). In generale, l'uscita y(t) di un sistema dinamico per t >t0 dipende: dall'ingresso u(t) applicato in [t0, t]; dallo stato iniziale x0 che ha il sistema per t =t0.

116 Sistemi dinamici Si dice risposta forzata la risposta di un sistema che, inizialmente in quiete (ingresso ed uscita nulli) viene sollecitato da un ingresso non nullo. Un classico esempio è l applicazione di una forza impulsiva perfettamente perpendicolare ad una biglia a contatto con una superficie con attrito diverso da zero.

117 Sistemi dinamici

119 Sistemi dinamici Si dice risposta libera la risposta di un sistema ad ingresso nullo che abbia un evoluzione libera nel tempo. Ne è un classico esempio l andamento di corrente in un circuito aperto con un condensatore inizialmente carico e un resistore, in cui all istante t = 0 si comandi un interruttore che chiuda il circuito.

122 Sistemi dinamici Si dice risposta completa la risposta di un sistema che si trova inizialmente in condizioni non di quiete ed è sollecitato con ingresso non nullo. In questo caso è necessario conoscere sia l'ingresso applicato che lo stato iniziale in cui si trovava il sistema.