Laboratorio di trattamento numerico dei dati sperimentali

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1 Laboratorio di trattamento numerico dei dati sperimentali Maurizio Tomasi turno A2 Giovedì 30 Novembre 2017

2 Calendario delle prossime lezioni Giovedì prossimo è la festa di Sant'Ambrogio, quindi non ci sarà lezione. La settimana successiva faremo quindi due lezioni, dedicate ai metodi Monte Carlo: 1. Giovedì 14/12, ore 13:30 16:30 2. Venerdì 15/12, ore 13:30 16:30 Resteranno poi due appuntamenti: 1. Giovedì 21/12/2017, ore 13:30 16:30 2. Giovedì 18/01/2018, ore 13:30 16:30

3 Riprendiamo brevemente l'algoritmo di selezione. Esso è un metodo molto semplice per estrarre una sequenza di numeri casuali con una distribuzione di probabilità f(x) nota.

4 Supponiamo che il supporto della funzione f(x) sia [a, b], e che in questo intervallo la funzione assuma valori nell'intervallo [0, f ]. L'algoritmo richiede l'uso di un generatore di numeri casuali con distribuzione uniforme, e genera una lista di N numeri casuali così: 1. Si estrae un numero uniforme x in [a, b]; questo è il candidato; 2. Si estrae un numero uniforme y in [0, f ]; 3. Se y < f(x ), il candidato viene accettato, altrimenti viene 0 0 respinto; 4. Si ripete finché non si hanno N candidati. 0 0 max max

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18 Così com'è implementato, l'algoritmo richiede che f(x) sia diversa da zero in un intervallo limitato. Ma questo non è sempre vero! In questo caso si può risolvere il problema considerando un intervallo [a, b] abbastanza grande da supporre che f(x) 0 al di fuori di esso.

19 Algoritmo di inversione Un secondo algoritmo per la selezione di numeri casuali da una distribuzione arbitraria fa uso dell'inversa F della funzione cumulativa 1 F (x) = x f(ξ) dξ, che ha le seguenti proprietà: lim x F (x) = 0, lim F (x) = 1, x + se f(x) è normalizzata ad 1.

20 Algoritmo di inversione Se è possibile trovare una forma analitica per F, funzione definita da [0, 1] a R, allora il seguente algoritmo genera una sequenza di numeri casuali con distribuzione descritta da f : 1. Si genera un numero casuale uniforme x nell'intervallo [0, 1]; 1 x 2. Il numero casuale ȳ = F ( ) segue la distribuzione f(x). 1

21 Algoritmo di inversione Esempio: se f(x) = e con x 0, allora e la funzione inversa è F (x) = f(ξ) dξ = 1 e, F x 1 0 (x) = log(1 x). Se la variabile x è casuale con distribuzione uniforme, allora log(1 x) è casuale con distribuzione f(x) = e. x x x

22 Algoritmo di Box Muller Per distribuzioni non invertibili come quella Gaussiana, esistono di solito metodi appositi che sono più efficienti dell'algoritmo di selezione. Il metodo Box Muller è stato spiegato a lezione, e consiste nel combinare due numeri casuali uniformi x ed y mediante la formula x = 2 log x cos(2πy). La variabile σ = 1. x ha allora distribuzione Gaussiana con media nulla e

23 Creazione di istogrammi Sul sito ci sono le istruzioni per creare istogrammi usando Root. Per gli interessati, è possibile anche usare Python con la libreria matplotlib. Può sembrare comodo implementare un programma C++ che faccia i conti e crei contemporaneamente i grafici, ma anche usare due programmi separati uno per i calcoli e uno per i grafici ha dei vantaggi.

24 Creazione di istogrammi Salvate questo codice nel file histogram.py : #! * encoding: utf 8 * import sys import numpy as np import matplotlib matplotlib.use('agg') import matplotlib.pylab as plt if len(sys.argv)!= 4: print('usage: histogram.py DATA_FILE NBINS IMAGE_FILE') sys.exit(1) data = np.loadtxt(sys.argv[1]) plt.hist(data, int(sys.argv[2])) plt.savefig(sys.argv[3], bbox_inches='tight')

25 Creazione di istogrammi Supponendo che abbiate un file chiamato normal.dat con alcune migliaia di numeri casuali con distribuzione gaussiana, il comando python histogram.py normal.dat 100 histogram.pdf produrrà un file PDF contenente l'istogramma:

26 Creazione di istogrammi È facile automatizzare la produzione di istogrammi usando il Makefile. Se il programma C++ che produce i numeri casuali li salva in un file numbers.dat, nel Makefile si possono usare questi comandi: histogram.png: numbers.dat python histogram.py $< 100 $@ numbers.dat: myprog./myprog Il comando make histogram.png produrrà l'immagine con l'istogramma, compilando di nuovo il programma C++ ed eseguendolo se necessario. Notate che è possibile creare immagini PNG, PDF, JPEG, etc., cambiando l'estensione del file di destinazione.