Nei linguaggi di programmazione

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1 Nei linguaggi di programmazione Alcuni linguaggi come il C permettono al programmatore di stabilire: Su quanti bit deve essere rappresentato un intero short, long,... Specificare se: il numero deve essere interpretato come intero (con segno, in complemento a due) valori [ 2 (n-1).. 2 (n-1) 1 ], oppure se: il numero deve essere interpretato come naturale (senza segno, in binario) valori [0.. 2 n -1]. Architettura degli elaboratori Nei linguaggi di programmazione Rappresentazioni più usate 8 bit : byte (o char ) 16 bit (2 bytes) : short int o short 32 bit (4 bytes) : integer o int (o word, in un sistema a 32-bit) 64 bit (8 bytes) : long int o long (o word, in un sistema a 64-bit) Di default, in complemento a due. Se numeri naturali: specificare unsigned ( senza segno ) es: unsigned char, (8 bit senza segno) unsigned int (32 bit senza segno) Valori massimi e minimi esprimibili? Architettura degli elaboratori Architettura degli elaboratori - Rappresentazione dei numeri e aritmetica binaria 1

2 Una scomoda ambiguità «Endedness»! integer a 32 bit integer a 32 bit 0A0B0C0D Memoria Memoria 0A0B0C0D a: a+1: a+2: a+3: Little-endian 0D 0C 0B 0A a: a+1: a+2: a+3: 0A 0B 0C 0D Big-endian Architettura degli elaboratori Rappresentazione in codice eccesso N con N = 2 k-1 Variante della rappresentazione in complemento a 2 In questa rappresentazione il numero N da rappresentare viene prima sommato ad una base prefissata («offset»), qui pari a 2 k-1 (dove k è il numero di bit a disposizione), in questo modo il valore risultante è sempre positivo o nullo questo valore viene codificato come un intero privo di segno. nota: l offset è il valore associato al bit più significativo Es: su tre bit (k = 3, offset = 2 2 = 4) «codice eccesso 4» per rappresentare -1 codifico (-1)+4 = 3 in binario, cioè codifica 6 4 cioè 2 Si può anche vedere come una rappresentazione in complemento a 2 in cui il MSB (quello del segno) viene invertito Architettura degli elaboratori Architettura degli elaboratori - Rappresentazione dei numeri e aritmetica binaria 2

3 Notazione in codice eccesso 2 k-1 : proprietà Intervallo di valori rappresentabili: stessa del CP2! Van Architettura degli elaboratori Notazione in codice eccesso N, con N = 2 k-1 (k=3) N N Codifica -4 (-4 +4) (-3 +4) (-2 +4) (-1 +4) (0 +4) (1 +4) (2 +4) (3 +4) 111 Il primo bit rappresenta il segno, ma a differenza del complemento a 2 i numeri negativi hanno il bit del segno a 0 ed i positivi, zero incluso, hanno il bit del segno a 1. Vantaggio: i numeri sono tutti ordinati in ordine crescente Svantaggio: il numero zero NON è più rappresentato da tutti 0 Architettura degli elaboratori Architettura degli elaboratori - Rappresentazione dei numeri e aritmetica binaria 3

4 Paragone delle rappresentazioni di interi (su tre bit) codifica (i tre bits) interpretato come nautrale interpretato come intero in CP2 interpretato in codice eccesso Architettura degli elaboratori Paragone delle rappresentazioni di interi (su tre bit). Osservazioni In CP2 lo 0 è rappresentato da tutti 0 (comodo!) (e il -1 è sempre rappresentato da tutti 1) In codice di eccesso N, con N = 2 k-1 tutti 0 rappresenta il minore dei numeri rappresentabili tutti 1 rappresenta il maggiore dei numeri rappresentabili l ordinamento è lo stesso dei numeri naturali! (cioè è immediato identificare il maggiore dei due numeri dati) rispetto al CP2, il bit di segno (MSB) è invertito (0 = -, 1 = + o zero) il resto dei bit coincide Usi tipici: (motivazioni: vedi scritte in verde) Il codice di eccesso è usato per l esponente dei numeri in virgola mobile (vedi poi). CP2 si usa praticamente in tutti gli altri casi (codifica numeri +/- ) Architettura degli elaboratori Architettura degli elaboratori - Rappresentazione dei numeri e aritmetica binaria 4

5 Numeri binari frazionari Come si esprime un numero frazionario in binario? Esattamente come in base dieci: = 2x x x x x centinaia + 3 decine + 5 unità + 1 decimi + 3 centesimi. Es in base 2: = 1x x x x x x x2-4 = /2 + 1/16 = Architettura degli elaboratori Conversione da decimale a binario di numeri frazionari: esempio raddoppio della parte frazionaria (quella dopo la virgola) = Architettura degli elaboratori Architettura degli elaboratori - Rappresentazione dei numeri e aritmetica binaria 5

6 Conversione da decimale a binario di numeri frazionari: esempio raddoppio della parte frazionaria (quella dopo la virgola) = Architettura degli elaboratori Conversione da decimale a binario di numeri frazionari: algoritmo Implementazione dell algoritmo in C int convert (int d[], float v, int k) { i = k-1; while (i>=0) { if (2v >= 1) d[i] = 1; else d[i]=0; v = 2v-d[i]; i--; } Architettura degli elaboratori Architettura degli elaboratori - Rappresentazione dei numeri e aritmetica binaria 6

7 Note matematiche sullo sviluppo di numeri con la virgola Tutti (e soli) i numeri razionali ( Q, le frazioni) hanno sempre sviluppi che sono o finiti o periodici: finiti: es. ½ = 0.5, ¼ = 0.25 periodici: es 1/3 = /9 = I numeri non razionali ( Q ) hanno sviluppi infiniti e NON periodici es: sqrt(2) = pi = Questo vale a prescindere dalla base ma una stessa frazione puo avere uno sviluppo periodico in una base e finito in un altra es: 1/5 = 0.2 in base 10, 1/5 = in base 2 Architettura degli elaboratori Troncamento e arrotondamento I numeri frazionari possono avere un numero infinito di cifre. Ne scriveremo solo un numero finito k. Troncamento = ignoro tutte le cifre dopo k (quindi, arrotondo sempre per difetto) Arrotondamento = idem, ma prima arrotondo per eccesso o per difetto, per minimizzare l errore dipende solo della prima cifra che scarto (la (k+1)-esima) in base 10: 0,1,2,3,4 per difetto. 5,6,7,8,9 per eccesso in base 2: 0 per difetto 1 per eccesso Es, k = 3, in base 10: arrotondamento di = arrotondamento di = Es, k = 3, in base 2: arrotondamento di = arrotondamento di = = Architettura degli elaboratori Architettura degli elaboratori - Rappresentazione dei numeri e aritmetica binaria 7

8 Rappresentazione di numeri frazionari «in virgola fissa» Idea: per rappresentare un numero frazionale: converto in base 2 memorizzo la parte intera in k bits, la parte dopo la virgola in h bit (totale bits usati = k + h) arrotondo a h cifre la parte decimale con h e k decisi una volta per tutte Esempio. Su un byte (8 bit), k = 4 e h = 4: = posizione della virgola (implicita e prefissata) rappresentazione di (su 4+4 bits) Architettura degli elaboratori Rappresentazione di numeri frazionari «in virgola fissa»: proprietá nota: arrotondo = commetto un errore (precisione numerica limitata) Limiti: Max numero esprimibile: 2 k (quasi) 1 = (quasi) 2 k Min numero esprimibile > 0 : 2 -h ( la «precisione»!) (i numeri più piccoli sono arrotondati a 0!) Questi limiti sono molto stretti. Vorremmo poter rappresentare numeri sia MOLTO più grandi che MOLTO più vicini a zero. La rappresntaz in virgola fissa non viene quasi mai usata Vediamo una rappresentazione più potente ed espressiva Architettura degli elaboratori Architettura degli elaboratori - Rappresentazione dei numeri e aritmetica binaria 8

9 Rappresentazione dei numeri reali I numeri reali sono nell intervallo ( ) Nella pratica ci interessa un intervallo magari non infinito ma molto esteso, per es: dalla massa dell elettrone 9.1 x grammi alla massa del sole: 1.9 x grammi Nota: anche se questi numeri cadono in un intervallo di circa 60 ordini di grandezza, nessuno in pratica usa mai numeri di 60 cifre. Il motivo è che la precisione richiesta è bassa ad es. nessuno sa quale sia la cifra giusta corrispondente alle tonnellate quando si esprime la massa del sole. Ne consegue che di solito si adotta la notazione scientifica quella usata anche qui sopra: es: 1.9 x scrivibile anche come: 1.9e33 Architettura degli elaboratori Virgola mobile Corrisponde alla notazione scientifica (usata nelle discipline tecniche e scientifiche): v = f 10 e Soddisfa alla necessità di manipolare numeri di ordini di grandezza diversi Il nome virgola mobile (o floating point) indica che la presenza dell esponente sposta la posizione della virgola. v = f 10 e = 0.1*f 10 e+1 = 10*f 10 e-1 Si riferisce a numeri espressi nella forma: X.YYY 10 w X: parte intera Y: parte frazionaria W: esponente Architettura degli elaboratori Architettura degli elaboratori - Rappresentazione dei numeri e aritmetica binaria 9

10 Virgola mobile Terminologia: N = M * B E M: mantissa B: base E: esponente Sia la mantissa che l esponente hanno un segno es: numeri negativi di valore assoluto grande (mantissa negativa ed esponente positivo) es: numeri positivi vicini allo zero (mantissa positiva ed esponente negativo) Architettura degli elaboratori Virgola mobile: forma normalizzata La forma normalizzata prevede che la mantissa sia un valore compreso tra 0 incluso ed 1 escluso: 0 M < 1 Esempi di valori in forma normalizzata (in base 10) sono: = = = Architettura degli elaboratori Architettura degli elaboratori - Rappresentazione dei numeri e aritmetica binaria 10

11 Virgola mobile capacità di rappresentazione Una considerazione fondamentale (per quanto ovvia) è che i numeri reali sono infiniti, mentre sappiamo che utilizzando k bit possiamo rappresentare solo 2 k valori. Ne consegue che dobbiamo rassegnarci a priori a una rappresentazione approssimata e limitata dei numeri reali. Ad esempio, esisterà una configurazione corrispondente ad un numero M più grande di quelli rappresentati dalle altri configurazioni: i numeri ancora più grandi di M non saranno rappresentabili Alcuni numeri reali (come π o 2 1/2 o 1/3) non sono rappresentabili con un numero finito di cifre. Saranno approssimati. Del resto tra due reali qualunque ce ne sono infiniti altri, mentre tra due configurazioni no. NB: bastano i razionali a mettere in difficoltà la precisione di rappresentazione con un numero finito di bit Architettura degli elaboratori Virgola mobile limiti di rappresentazione Per capire meglio le limitazioni, pensiamo ad una rappresentazione decimale normalizzata con mantissa di tre cifre (più segno) ed esponente di due cifre (più segno). Possiamo rappresentare numeri come Limitazioni: non possiamo rappresentare numeri aventi le seguenti caratteristiche Troppo grandi (> ) o troppo piccoli (< ) Troppo piccoli in valore assoluto (positivi < o negativi > ) NB: questi numeri non possono proprio essere rappresentati: un tentativo in tal senso porterebbe ad un overflow. Architettura degli elaboratori Architettura degli elaboratori - Rappresentazione dei numeri e aritmetica binaria 11

12 Virgola mobile limiti di rappresentazione Possono essere rappresentati, ma con limitazioni, i numeri appartenenti agli intervalli citati. Per questi numeri, i limiti sono dati dalla precisione con cui possiamo rappresentarli. Il valore 1/3 verrà rappresentato come Naturalmente è solo un arrotondamento di 1/3. Il valore π verrà rappresentato come Di nuovo, un arrotondamento. In generale questo genere di arrotondamenti non causano grossi problemi (soprattutto se si dispone di più cifre per la mantissa). Però bisogna tenerne conto: 1/3 3 = 1, ma ( ) ( ) = che è diverso da 1. Architettura degli elaboratori Virgola mobile Nei calcolatori si usa la forma normalizzata (0 M < 1) perché consente una migliore precisione (non si sprecano bit della mantissa) ed è più facilmente gestibile. L esponente è espresso generalmente in eccesso 2 7 o 2 10 L esponente è interpretato come potenza di 2, non di 10 per facilitare la normalizzazione: spostare la virgola equivale a decrementare o incrementare l esponente XX.YY * 2 e = X.XYY * 2 e+1 = XXY.Y * 2 e-1 La mantissa è espressa in modulo e segno. Architettura degli elaboratori Architettura degli elaboratori - Rappresentazione dei numeri e aritmetica binaria 12

13 Lo standard IEEE 754 È lo standard (quasi) universalmente adottato per la rappresentazione di numeri in virgola mobile (floating point) Definisce alcuni formati, fra cui i più usati: Singola precisione (32 bit) --- spesso detti float Doppia precisione (64 bit) --- speso detti double segno esponente mantissa Singola precisione 1 bit 8 bit 23 bit segno esponente mantissa Doppia precisione 1 bit 11 bit 52 bit Architettura degli elaboratori Lo standard IEEE 754 Include numeri in virgola mobile a 32 bits («singola precisione») e a 64 bits («doppia precisione») Il bit di segno è 0 per i positivi e 1 per i negativi L esponente singola precisione: 8 bit, in «eccesso 127» doppia precisione: 11 bit, in «eccesso 1023» Le configurazioni degli esponenti fatte di tutti 0 e tutti 1 hanno significati speciali: +/- infinito, +/- zero, NAN (not a number), numero-non-normalizzato La mantissa è espressa come una frazione binaria in un modo leggermente diverso da quello visto prima (solo per i numeri normalizzati) Architettura degli elaboratori Architettura degli elaboratori - Rappresentazione dei numeri e aritmetica binaria 13

14 Lo standard IEEE 754 Comprende la rappresentazione normalizzata e altre quattro rappresentazioni. Normalizzato Denormalizzato +/- Zero +/- Infinito Not A Number +/- 0 < esp < Max qualsiasi combinazione +/- 0 qualsiasi combinazione 0 +/ / / qualsiasi combinazione 0 esponente mantissa Architettura degli elaboratori Numeri denormalizzati Quando un calcolo dà un risultato inferiore al più piccolo (in valore assoluto) numero rappresentabile, prima dello standard IEEE 754 c erano due possibilità: Azzerare il risultato (un numero molto piccolo è quasi 0) Causare un eccezione di «underflow» Entrambi gli approcci sono poco soddisfacenti: lo standard IEEE 754 introduce i numeri denormalizzati per rappresentare numeri più piccoli (vicini allo zero). Per i numeri non normalizzati non vale la regola «assumiamo la mantissa cominci con un 1 implicito» (scriviamo tutti i bit della mantissa esplicitamente) Serve a poter rappresentare numeri molto piccoli, per es segno mantissa esponente (il minimo) Architettura degli elaboratori Architettura degli elaboratori - Rappresentazione dei numeri e aritmetica binaria 14

15 Numeri denormalizzati Per i numeri denormalizzati non vale la regola che il bit: sono frazioni pure con uno zero a sinistra della virgola. Il numero denormalizzato più grande ha esponente 0 e tutti uni nella mantissa, e vale circa , quindi quasi come il più piccolo normalizzato è dato dalla mantissa, il fattore è convenzionale. È però possibile comporre numeri denormalizzati progressivamente più piccoli azzarando i bit a sinistra della mantissa. Il più piccolo numero denormalizzato ha la mantissa composta di zeri, con il solo LSB pari a uno ( ). Il suo valore è dato dalla mantissa e convenzionale Architettura degli elaboratori Numeri denormalizzati In pratica i numeri denormalizzati permettono una transizione morbida verso i valori che causano l underflow. Lo zero è rappresentato esplicitamente da una configurazione apposita. Si può rappresentare il valore infinito Che consente operazioni del tipo infinito + costante = infinito Se si fanno operazioni del tipo infinito / infinito si ottiene la codifica di qualcosa che non è un numero (NAN = not a number). Architettura degli elaboratori Architettura degli elaboratori - Rappresentazione dei numeri e aritmetica binaria 15

16 I numeri reali nei linguaggi di programmazione In linguaggi come il C si possono dichiarare variabili in singola o doppia precisione Singola precisione: float x; Doppia precisione: double y; I letterali frazionari sono double per default: 0.5 viene rappresentato come numero in doppia precisione. Architettura degli elaboratori Operazioni in virgola mobile Somma e sottrazione: si uguagliano gli esponenti le mantisse vengono sommate rinormalizzazione della mantissa (con aggiustamento dell esponente) Moltiplicazione e divisione: si moltiplica o si dividono le mantisse in modo consueto si sommano o si sottraggono gli esponenti si normalizza Architettura degli elaboratori Architettura degli elaboratori - Rappresentazione dei numeri e aritmetica binaria 16

17 Operazioni in virgola mobile I significati speciali sono gestiti correttamente dalle op. Es: / +zero +infinity -1.1 / +zero -infinity zero / zero NaN indefinito! (non conta il segno degli 0) +infinity infinity +zero * zero infinity infinity NaN indefinito! sqrt( -10 ) NaN radice quadrata di neg 14.0 / +infinity +zero 15.1 / -infinity -zero / +infinity -zero zero infinity / infinity NaN indefinito! NaN + 12 NaN il NaN si progaga in tutte le op -zero < +zero true zero > false NaN == NaN false il NaN da sempre false, persino qui Architettura degli elaboratori Paragonare numeri in virgola mobile fra loro Disequazioni: tutto ok, funziona bene maggiorea>b minorea<b maggiore o ugualea>=b minore o ugualea<=b Ugualianze secche: a==b non ha molto senso: due numeri in floating-point possono essere diversi solo come conseguenza di minuscole approssimazioni Molto piu robusto testare se la differenza fra i due sia QUASI zero: -epsilon < (a-b) < epsilon, con un epsilon piccolo es: ( -1e-10 < a-b ) AND ( a-b < 1e-10 ) Architettura degli elaboratori Architettura degli elaboratori - Rappresentazione dei numeri e aritmetica binaria 17

18 Operazioni in virgola mobile Operazioni in virgola mobile >> più complesse delle op sui numeri interi (con o senza segno) spesso anche più ottimizzate in molti contesti, sono le op più utili e comuni dell elaborazione Potenza di calcolo «pura»: spesso espressa in FLOPS FLoating-pont OPeration per Second (op in virgola mobile al secondo) K-FLOPS (kilo-flops) : migliaia di op al sec (anni 50) M-FLOPS (mega-flops): milioni di op al sec (anni 60-70) G-FLOPS (giga-flops): miliardi di op al sec (anni 80-90) T-FLOPS (tera-flops): migliaia di miliardi di op al sec (anni 2000) P-FLOPS (peta-flops): milioni di miliardi di op al sec (anni 2010) Architettura degli elaboratori Architettura degli elaboratori - Rappresentazione dei numeri e aritmetica binaria 18