Esercizio sugli automi di Moore

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1 Esercizio sugli automi di Moore. Sintesi di un automa di Moore: Riconoscitore di stringhe binarie Si costruisca la macchina di Moore che riconosce in ingresso le sequenze e. La macchina riceve in ingresso bit per volta. Considerare sia il caso di parole sovrapposte ssia il caso di parole non sovvrapposte. Consideriamo il seguente esempio di segnale binario: Clock No Uscita (Non sovv.)... Si... Si Si Uscita (Sovv.)... Si Si.. Si Si Si Il sistema deve ricordare il più lungo prefisso utile per il riconoscimento delle due parole. Consideriamo il caso di parole non sovrapposte. Gli stati possibili: Stato N Descrizione Nessun prefisso utile Riconosciuto il prefisso Riconosciuto il prefisso Riconosciuto il prefisso Riconosciuto il prefisso R Riconoscuita una delle due parole Poiché le parole non sono sovvrapposte e non devo generare un uscita diversa per ognuna delle due parole da riconoscere, possiamo usare un solo stato per generare l uscita nel caso di riconoscimento. In aggiunta, per come sono fatte le stringhe da riconoscere, si nota che, passato il transitorio iniziale, ogni valore in input è sempre prefisso possibile per una delle due parole. Ne segue che lo stato N, utile come stato iniziale, non sarà mai raggiunto durante il funzionamento normale.

2 Gli ingressi sono due corrispondenti ai due livelli possibili in cui si può trovare il segnale durante il campionamento: Ingressi Descrizione Livello logico basso Livello logico alto Il sistema quindi ha le seguenti possibili uscite: Uscite No Si Descrizione Parola non riconosciuta Parola riconosciuta L STG del sistema è il seguente: N No No No No No R Si

3 La STT corrispondente è la seguente: δ λ Stato O N No No No R No R No R Si Per rappresentare i 6 stati possibili occorrono ceil(log 2 6) = 3 bit. Analogamente per rappresentare i 2 ingressi possibili occorre bit così come per le 2 uscite possibili occorre bit. Un automa di Moore è realizzabile tramite un circuito sequenziale così formato: Clk I n Rete combinatoria che realizza δ Vettore di m latch DT Rete combinatoria che realizza λ m m t O Il circuito che realizza il sistema dell esempio è quindi: Clk I Q * D Q Q δ Q * D Q λ O Q Q 2 Q 2 * D 2 Q 2

4 Per sintetizzare le funzioni stato prossimo e di uscita occorre definire una corrispondenza tra gli stati del sistema e le configurazioni possibili dei latch, così come occorre definire una mappatura per le configurazioni in ingresso ed uscita. Una possibile mappatura per gli stati può essere: Stato Q 2 Q Q N R In questa mappatura Q Q conservano l informazione sul numero di caratteri riconosciuti mentre Q 2 tiene traccia di quale parola l automa sta riconoscendo. Una possibile mappatura per le uscite può essere: Uscite O No Si Una possibile mappatura per gli ingressi può essere: Ingressi I

5 Ora è possibile trascrivere la STT sostituendo alle etichette la corrispondente configurazione: δ = Q * 2Q * Q * λ Q 2 Q Q O N R Per come sono state scelte le mappature, la funzione minima per λ risulta: O = Q Q Per calcolare δ è più comodo riscrivere la STT in forma tabellare: IQ 2 Q Q Q * 2 Q * Q * X X X X X X X X X X X X

6 Sintetizzo una funzione algebrica per Q * 2: IQ 2 Q Q Q * 2 X= X = X= X= Assegno le configurazioni indeterminate di Q * 2 in modo da semplificare la funzione risultante. E possibile notare che la parte alta della tabella è una AND sitetizzabile come ~I Q 2 ~Q. Le quattro configurazioni seguenti è una OR come I~Q 2 (Q +~Q ). Semplificando: Q * 2 = ~I Q 2 ~Q + I ~Q 2 (Q +~Q ) + I Q 2 ~Q = ~I Q 2 ~Q + I Q 2 ~Q + I ~Q 2 (Q +~Q ) = (~I + I)Q 2 ~Q + I~Q 2 (Q +~Q ) = Q 2 ~Q + I~Q 2 (Q +~Q )

7 Sintetizzo una funzione algebrica per Q * : IQ 2 Q Q Q * X= X= X= X= Si può notare che la parte alta della tabella come la parte bassa sono speculari. Ne segue che è probabile che la funzione minima coinvolga delle porte XOR: Q * = ~I (Q 2 XOR Q ) (Q 2 XOR ~Q ) + I (Q 2 XOR ~Q ) (Q 2 XOR Q ) = ~I (Q 2 XOR Q ) ~ (Q 2 XOR Q ) + I ~ (Q 2 XOR Q ) (Q 2 XOR Q ) Da notare che le XOR possono essere accorpate nel circuito allo scopo di abbassare la complessità: = ~I X ~ X 2 + I ~X X 2, X =(Q 2 XOR Q ), X 2 =(Q 2 XOR Q )

8 Sintetizzo una funzione algebrica per Q * : IQ 2 Q Q Q * X= X= X= X= Si può notare che la parte alta della tabella, corrispondente a I= coincide con Q 2 +~Q. Nella parte in basso, corrispondente a I=, invece si individua il max-termine, Q 2 +Q +~Q. Ne segue che Q * può essere scritto come: Q * = ~I (Q 2 + ~Q ) + I (Q 2 +Q +~Q.)

9 Consideriamo il caso di parole sovrapposte. Gli stati possibili: Stato Descrizione N Nessun prefisso utile Riconosciuto il prefisso Riconosciuto il prefisso Riconosciuto il prefisso Riconosciuto il prefisso R Riconosciuta la parola R Riconoscuita la parola In questo caso le parole possono essere sovvrapposte; dobbiamo usare due stati diversi per ricordare che prefisso utile abbiamo già visto. Come per il caso precedente, per come sono fatte le stringhe da riconoscere, si nota che, passato il transitorio iniziale, ogni valore in input è sempre prefisso possibile per una delle due parole. Ne segue che lo stato N, utile come stato iniziale, non sarà mai raggiunto durante il funzionamento normale. Gli ingressi sono due corrispondenti ai due livelli possibili in cui si può trovare il segnale durante il campionamento: Ingressi Descrizione Livello logico basso Livello logico alto Il sistema quindi ha le seguenti possibili uscite: Uscite No Si Descrizione Parola non riconosciuta Parola riconosciuta

10 L STG del sistema è il seguente: N No No No No No R Si R Si La STT corrispondente è la seguente: δ λ Stato O N No No No R No R No R R Si R R Si Per rappresentare i 7 stati possibili occorrono ceil(log 2 7) = 3 bit. Analogamente per rappresentare i 2 ingressi possibili occorre bit così come per le 2 uscite possibili occorre bit.

11 Un automa di Moore è realizzabile tramite un circuito sequenziale così formato: Clk I n Rete combinatoria che realizza δ Vettore di m latch DT Rete combinatoria che realizza λ m m t O Il circuito che realizza il sistema dell esempio è quindi: Clk I Q * D Q Q δ Q * D Q λ O Q Q 2 Q 2 * D 2 Q 2

12 Per sintetizzare le funzioni stato prossimo e di uscita occorre definire una corrispondenza tra gli stati del sistema e le configurazioni possibili dei latch, così come occorre definire una mappatura per le configurazioni in ingresso ed uscita. Una possibile mappatura per gli stati può essere: Stato Q 2 Q Q N R R In questa mappatura Q Q conservano l informazione sul numero di caratteri riconosciuti mentre Q 2 tiene traccia di quale parola l automa sta riconoscendo. Una possibile mappatura per le uscite può essere: Uscite O No Si Una possibile mappatura per gli ingressi può essere: Ingressi I

13 Ora è possibile trascrivere la STT sostituendo alle etichette la corrispondente configurazione: δ = Q * 2Q * Q * λ Q 2 Q Q O N R R Per come sono state scelte le mappature, la funzione minima per λ risulta: O = Q Q Per calcolare δ è più comodo riscrivere la STT in forma tabellare: IQ 2 Q Q Q * 2 Q * Q * X X X X X X

14 Sintetizzo una funzione algebrica per Q * 2: IQ 2 Q Q Q * 2 X= X= Assegno le configurazioni indeterminate di Q * 2 in modo da semplificare la funzione risultante. E possibile notare che la parte alta della tabella è una AND sitetizzabile come ~I Q 2 ~Q. La parte bassa invece è sintetizzabile come I(Q 2 +Q +~Q ). Semplificando: Q * 2 = ~I Q 2 ~Q + I (Q 2 +Q +~Q ) = ~IQ 2 ~Q + IQ 2 +I(Q +~Q ) = ~IQ 2 ~Q + IQ 2 ~Q + IQ 2 +I(Q +~Q ) = (~I+ I)Q 2 ~Q + I(Q 2 +Q +~Q ) = Q 2 ~Q + I(Q 2 +Q +~Q )

15 Sintetizzo una funzione algebrica per Q * : IQ 2 Q Q Q * X= X= Si può notare che la parte centrale della tabella, corrispondente a (I Xor Q 2 )=, segue Q. La parte esterna, corrispondente a (I Xor Q 2 )=, segue Q ~Q : Q * = (I XOR Q 2 ) Q + ~(I XOR Q 2 ) Q ~Q Q * = X Q + ~X Q ~Q, X =(I XOR Q 2 )

16 Sintetizzo una funzione algebrica per Q * : IQ 2 Q Q Q * X= X= Assegno le configurazioni indeterminate di Q * in modo da semplificare la funzione risultante. E possibile notare che la parte alta della tabella è una OR sitnetizzabile come ~I (~Q 2 + Q ) = ~I ~(Q 2 ~Q ). La parte bassa invece è sintetizzabile come I(Q 2 +Q +~Q ). Q * 2 = ~I ~(Q 2 ~Q ) + I (Q 2 +Q +~Q ) Da notare che molti termini sono in comune con la sintesi di Q* 2.