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1 $GGL]LRQDWRULPHWRGR &DUU\/RRNDKHDG Salvatore Orlando & Marta Simeoni Arch. Elab. - S. Orlando 1 $GGL]LRQDWRUL Il circuito combinatorio che implementa l addizionatore a n bit è costruito collegando in sequenza un numero n di 1-bit adder il circuito usa lo stesso metodo usato dall algoritmo carta e penna il segnale deve attraversare più livelli di logica si può realizzare con porte con fan-in limitato Arch. Elab. - S. Orlando 2

2 ELW$/8 Catena di 1-bit ALU propagazione del Riporto (Carry da un 1-bit ALU al successivo 1-bit ALU Operation segnale di controllo per determinare l operazione che l ALU deve eseguire: propagato a tutte le 1-bit ALU Arch. Elab. - S. Orlando 3 $/8H6RPPDYHORFH Considerazioni sulla velocità dell ALU nell eseguire la somma: l ingresso CarryIn di ogni 1-bit adder dipende dal valore calcolato dall 1-bit adder precedente il bit più significativo della somma deve quindi attendere 32 volte il tempo di attraversamento del segnale attraverso i vari sommatori LENTO... ci sono metodi per velocizzare il calcolo del riporto, si cerca di far passare il segnale per un numero minore di porte metodo Carry Lookahead per anticipare il riporto Arch. Elab. - S. Orlando 4

3 &DOFRORULSRUWLFRQOLYHOOLGLORJLFD L equazione per il calcolo di CarryOut è CarryOut = (B CarryIn + (A CarryIn + A B Il CarryOut di un 1-bit adder diventa il CarryIn del 1-bit adder successivo: c 1 = (b 0 + (a 0 + a 0 b 0 c 2 = (b 1 c 1 + (a 1 c 1 + a 1 b 1... Sostituendo in c 2 l espressione relativa a c 1 si ottiene c 2 = (b 1 a 0 b 0 +(b 1 a 0 +(b 1 b 0 +(a 1 a 0 b 0 +(a 1 a 0 +(a 1 b 0 +(a 1 b 1 Si può continuare ad espandere i vari c i in modo da esprimerli solo in funzione di c o e dei vari a i e b i con soli 2 livelli di logica troppo costoso Arch. Elab. - S. Orlando 5 &DUU\/RRNDKHDG Come semplificare il calcolo di c i+1? c i+1 = (b i c i + (a i c i +(a i b i = (a i b i + (a i +b i c i = = g i + p i c i g i = GENERATORE se g i = 1 allora c i+1 = g i + p i c i = 1 + p i c i = 1 cioè il sommatore genera 1 indipendentemente dal valore di c i p i = PROPAGATORE se g i = 0 e p i = 1, allora c i+1 = 0 + 1c i = c i cioè il sommatore propaga il CarryIn sul CarryOut Quindi: c i+1 = 1 se g i = 1 oppure p i = 1 e c i = 1 c i+1 = 0 altrimenti Arch. Elab. - S. Orlando 6

4 &DUU\/RRNDKHDG Per un sommatore a 4 bit si ha: c 1 = + p 0 c 2 = g 1 + c 1 = g 1 + ( + ( p 0 c 3 = g 2 + c 2 = g 2 + ( g 1 + ( + ( p 0 c 4 = g 3 + p 3 c 3 = g 3 + (p 3 g 2 + (p 3 g 1 + (p 3 + (p 3 p 0 Nota che il segnale di riporto i-esimo (c i vale 1 se qualche sommatore precedente ha generato un riporto, e tutti i sommatori intermedi lo propagano Possiamo calcolare in parallelo i vari p i e g i, e sulla base di questi possiamo poi calcolare parallelamente i vari c i Non possiamo calcolare tutti i riporti in parallelo su più di 4 bit equazioni troppo lunghe e complesse Arch. Elab. - S. Orlando 7 $GGL]LRQDWRUHDELWFRQ &DUU\/RRNDKHDG a 0 b 0 + p 0 ris 0 c 1 a 1 b 1 a 2 b 2 c g 1 g 2 Carry Lookahead ris 1 ris 2 c 3 a 3 b 3 + p 3 g 3 ris 3 c 4 Arch. Elab. - S. Orlando 8

5 &DUU\/RRNDKHDG Per realizzare sommatori a più di 4 bit e con Carry Lookahead, senza pagare un alta complessità del circuito di calcolo del riporto introduciamo un unità di Carry Lookahead di livello superiore Realizziamo così un sommatore a 16 bit con Carry Lookahead composto da 4 sommatori a 4 bit (con logica interna di Carry Lookahead ciascun sommatore a 4 bit diventa un blocco elementare verifichiamo se ogni blocco elementare (sommatore a 4 bit propaga o genera un riporto Superpropagatore e Supergeneratore Usiamo i Superpropagatori e Supergeneratori come input della nuova unità di carry-lookahead per velocizzare il calcolo dei riporti in input ai 4 blocchi elementari (sommatori a 4 bit Arch. Elab. - S. Orlando 9 6XSHUSURSDJDWRULH6XSHUJHQHUDWRUL Per eseguire il Carry Lookahead con 4 sommatori a 4 bit è necessario considerare i segnali genera e propaga di ordine superiore Supergeneratori e Superpropagatori Un sommatore a 4 bit propaga un eventuale CarryIn solo se ciascuno dei bit del gruppo propaga un riporto Superpropagatori: = p 3 p 0 = p 7 p 6 p 5 p 4 = 1 0 p 9 p 8 P 3 = Arch. Elab. - S. Orlando 10

6 6XSHUSURSDJDWRULH6XSHUJHQHUDWRUL Un sommatore a 4bit genera un riporto se il riporto viene generato in una certa posizione, e viene propagato in tutte le posizioni intermedie Supergeneratori = g 3 + (p 3 g 2 + (p 3 g 1 + (p 3 G 1 = g 7 + (p 7 g 6 + (p 7 p 6 g 5 + (p 7 p 6 p 5 g 4 G 2 = g 11 + (1 g 10 + (1 0 g 9 + (1 0 p 9 g 8 G 3 = g 15 + (5 g 14 + (5 4 g 13 + (5 4 3 g 12 Arch. Elab. - S. Orlando 11 &DUU\ORRNDKHDG I Superpropagatori e Supergeneratori possono essere usati, analogamente ai propagatori e generatori di ordine inferiore, per calcolare i vari riporto in ingresso a ciascun blocco elementare (sommatore a 4 bit: C 1 = + C 2 = G 1 + ( + ( C 3 = G 2 + ( G 1 + ( + ( C 4 = G 3 + (P 3 G 2 + (P 3 G 1 + (P 3 + (P 3 Arch. Elab. - S. Orlando 12

7 6RPPDWRUHDELWFRQ &DUU\ORRNDKHDG Sommatore a 16bit composto di quattro ALU a 4bit, con logica interna di Carry-Lookahead Si osservi la carry-lookahead unit esterna i riporti alle varie ALU a 4 bit provengono dall unità di carrylookahead esterna l unità di carry-lookahead esterna lavora in base ai vari P i e G i, e di c o Il meccanismo del Carry Lookahead rende il calcolo dei riporti più veloce, perché riduce il numero porte che i segnali devono attraversare per calcolare la somma abbiamo però un limitato aumento nel numero di porte impiegate Arch. Elab. - S. Orlando 13 (VHPSLR&DUU\/RRNDKHDG Calcolare g i, p i G i P i per i seguenti due numeri a b g i = a i b i p i = a i + b i I segnali P i per gruppi di 4bit sono dati dall AND dei relativi p i P 3 = = 0 = = 1 = = 1 = = 0 I segnali G i sono invece dati da: = g 3 +(p 3 g 2 +(p 3 g 1 +(p 3 = 0+(1 0+( ( =0 G 1 = g 7 +(p 7 g 6 +(p 7 p 6 g 5 +(p 7 p 6 p 5 g 4 = 1+(1 1+( ( =1 G 2 = g 11 +(1 g 10 +(1 0 g 9 +(1 0 p 9 g 8 =0+(1 0+( ( =0 G 3 = g 15 +(5 g 14 +(5 4 g 13 +(5 4 3 g 12 =0+(0 0+( ( =0 Arch. Elab. - S. Orlando 14

8 (VHPSLR &DUU\/RRNDKHDGFRQWLQXD La somma a+b genera riporto? E' sufficiente calcolare C 4 : C 4 = G 3 + (P 3 G 2 + (P 3 G 1 + (P 3 + (P 3 = = 0 + (0 0 + ( ( ( = = = = 0 Arch. Elab. - S. Orlando 15