Elementi di Informatica

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1 Elementi di Informatica Luigi Catuogno Operazioni aritmetiche in binario 1

2 omma e prodotto di cifre binarie omma tra numeri binari (senza segno) = = = = = =1 1+1=0 riporto=1 (carry) 1(c)+0+0=1 1+0=1 2

3 ottrazione tra numeri binari (senza segno) = = = = = =0 1-0=1 10-1=1 Con il «prestito» 0-0=0 omma tra numeri binari (C2) = = = = = =

4 Calcolare la somma dei numeri binari di 8 bit (in C2) corrispondenti a seguenti interi con segno 16+(-42)= (-5)+(-28)= Calcolare la somma dei numeri binari di 8 bit (in C2) corrispondenti a seguenti interi con segno 16+(-42)= = = (-5)+(-28)= = =Overflow? 4

5 Overflow L Overflow è una condizione che si verifica quando il risultato di una operazione di somma, supera la capacità di rappresentazione (il numero di cifre consentite). Operando in una aritmentica con numeri interi di lunghezza limitata a l cifre binarie, il calcolo «prosegue» sin quando è possibile rappresentarne il risultato. Al termine, una sequenza di l cifre è comunque fornita, ma in caso di overflow, questa è da considerarsi scorretta. omma di numeri positivi, risultato negativo omma di numeri negativi, risultato positivo Overflow? = = = = =1 1+0=1 0+1=1 1+0=1 1+0=0 1+1=0 iporto= =1 iporto= =1 iporto=1 (nove bit?) 5

6 Overflow? = 33 Il risultato atteso appartiene all intervallo dei numeri rappresentabili. Nella somma in binario, gli ultimi due riporti sono concordi. Gli otto bit meno significativi del risultato indicano un valore corretto. No overflow! = = 6

7 = = = =

8 = = ? +?? =?? = = = 64 No overflow! 8

9 = = = = ? +?? =?? 9

10 = = = 187 Gli ultimi due riporti sono discordi, Il risultato non è corretto. INFATTI: ,127 Overflow! = = 10

11 = = = 185 Gli ultimi due riporti sono discordi, Il risultato non è corretto. INFATTI: ,127 Overflow! Circuiti per la somma di interi (cenni) 11

12 omma di due bit A B C* * iporto: (C)arry omma di due bit A B * * con riporto A B 12

13 omma di due bit A B * A B A B omma di due bit A B A B half adder 13

14 omma di due interi di n bit La somma della cifra meno significativa è calcolata come già visto La somma della cifra i-esima si calcola tenendo conto del riporto eventualmente generato nella somma della cifra (i-1)-esima 0 = A 0 B 0 i = (A i B i ) i 1 La somma delle due cifre al passo i più il riporto, vale 1 solo se è dispari il numero di uno presenti tra gli operandi (or esclusivo su tre bit) omma di due interi di n bit Al passo i, il riporto vale 1 quando: La somma di A i e B i dà direttamente il riporto Quando la somma di A i e B i vale 1 e il riporto i 1 vale uno 0 = 0 i =? 14

15 omma di due interi di n bit Al passo i, il riporto vale 1 quando: La somma di A i e B i dà direttamente il riporto Quando la somma di A i e B i vale 1 e il riporto i 1 vale uno 0 = 0 i = A i B i + (A i B i ) i 1 omma di due interi di n bit Al passo i, il riporto vale 1 quando: La somma di A i e B i dà direttamente il riporto Quando la somma di A i e B i vale 1 e il riporto i 1 vale uno 0 = 0 i = A i B i + (A i B i ) i 1 Questa esprime l uscita «riporto» di un half adder i cui ingressi sono A i e B i Questa esprime l uscita «somma» di un half adder i cui ingressi sono A i e B i 15

16 omma di due interi a n bit i 1 A i (A i B i ) B i half adder A i B i i = (A i B i ) omma di due interi a n bit Per sommare il riporto generato precedentemente e la somma «corrente», uso un altro half-hadder i 1 (A i B i ) i 1 i A i (A i B i ) half adder B i half adder A i B i i = (A i B i ) i 1 i = A i B i 16

17 omma di due interi a n bit i 1 (A i B i ) i 1 i A i (A i B i ) half adder (A i B i ) i 1 B i half adder A i B i i i = (A i B i ) i 1 i = A i B i + (A i B i ) i 1 omma di due interi a n bit full adder i 1 (A i B i ) i 1 i A i (A i B i ) half adder (A i B i ) i 1 B i half adder A i B i A i B i i 1 +A i B i i i = (A i B i ) i 1 i = A i B i + (A i B i ) i 1 17

18 omma di interi a tre bit? 1 = 0 A 0 0 B 0 full adder 0 omma di interi a tre bit? 1 = 0 A 0 0 B 0 full adder 0 A 1 B 1 full adder A B 2 full adder 2 18

19 Circuiti per la somma di interi Per approfondimenti sui circuiti sommatori: Giacomo Bucci, «Calcolatori elettronici, Architettura e organizzazione», McGraw-Hill (2017), EAN ez. 3.9, 3.9.1, 3.9.2, Esempi: Prodotto tra numeri binari