Introduzione a Cabri 3D

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1 Università degli Studi di Ferrara Corso di Laurea Magistrale in Matematica Laboratorio di Didattica della Matematica Anno accademico Introduzione a Cabri 3D un software per la geometria dello spazio Luigi Tomasi luigi.tomasi@unife.it Dicembre 2011

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3 Introduzione In queste pagine si farà riferimento all ultima versione di Cabri 3D (versione 2.1, settembre 2007). L installazione di Cabri 3D crea l icona del programma (figura 1), a forma di icosaedro regolare, sul desktop di Windows (o sulla scrivania del Macintosh). Figura 1. Icona di Cabri 3D versione2 Se con un doppio clic su questa icona si avvia Cabri 3D, appare una finestra (figura 2) che contiene i seguenti elementi: - La barra del titolo: presenta l icona del programma e la scritta Cabri 3D - [Documento1]. - La barra dei menu, che contiene sei voci: File, Edita, Visualizza, Documento, Finestra,? (Aiuto). - La barra degli strumenti, che è formata da nove caselle: Puntatore, Creazione Punti, Creazione Linee, Creazione Superfici, Costruzioni, Trasformazioni, Poligoni regolari, Poliedri, Poliedri regolari, Misura. - Un documento aperto con una pagina contenente una vista su un piano in prospettiva (in Cabri 3D questa prospettiva viene chiamata prospettiva naturale ). - Il cursore verticale a destra della finestra della vista. - Il cursore orizzontale sotto la finestra della vista. - Altre finestre più piccole, inizialmente disposte a destra della vista, chiamate rispettivamente Aiuto per gli strumenti, Stili degli oggetti, Vista corrente, Animazione, Ricostruzione passo a passo, Coordinate. Queste ultime finestre possono essere spostate, staccate, ecc. Se durante una sessione di lavoro vengono chiuse, Cabri 3D ripropone questa stessa configurazione nella sessione successiva. o La finestra Aiuto per gli strumenti contiene un aiuto contestuale sullo strumento che si sta utilizzando (si fa apparire premendo il tasto funzionale F1). o La finestra Vista corrente (F8) serve per gestire gli oggetti nascosti, per la rotazione automatica della figura (se la vista permette la rotazione) e per fissare il colore di sfondo. o La finestra Stili degli oggetti (F9) serve per scegliere gli stili degli oggetti (punti, linee, superfici, ecc.). o La finestra Animazione (F10) permette di gestire l animazione di un punto appartenente a un segmento oppure a una circonferenza e di regolarne la velocità. o La finestra Ricostruzione passo a passo (F11) permette di ricostruire manualmente o automaticamente una figura. o La finestra Coordinate (F12) permette di editare le coordinate di un punto. La finestra di Cabri 3D, come per tutte le altre applicazioni, si può eventualmente ridimensionare o disporre sull intero schermo. 3

4 La finestra di lavoro di Cabri 3D vers.2 Figura 2 La finestra di lavoro di Cabri 3D vers.2. Nella finestra è possibile osservare una vista su un foglio a quadretti che rappresenta una pagina A4. La vista è una zona di lavoro quadrata in cui è rappresentato un piano in prospettiva. Questo piano è rappresentato nello stesso modo in cui apparirebbe un foglio appoggiato su un tavolo se si facesse una foto collocando la macchina fotografica ad una certa distanza. Il piano è rappresentato da un quadrilatero. Questo piano è visto da una certa distanza, guardandolo dall alto (20 verso l alto: si chiama angolo di elevazione), e un po lateralmente (15 verso destra: angolo di azimut). Si vede infatti che i lati opposti del quadrilatero non sono paralleli; tuttavia si scoprirà che questo quadrilatero è un quadrato. Possiamo quindi concludere che il piano è quindi rappresentato in prospettiva e non in assonometria. Questo piano possiamo chiamarlo piano di riferimento o piano di base. Si tratta del piano XY che ha equazione z=0. Nel piano di base osserviamo inoltre tre vettori di riferimento applicati a uno stesso punto che è l origine del riferimento. I vettori sono rispettivamente di colore rosso, verde e blu ed hanno la stessa lunghezza (1 cm). Si tratta quindi dei versori i, j e k degli assi cartesiani X, Y e Z. La sequenza dei colori è facile da ricordare perché è formata dai tre colori primari nel sistema RGB (da Red=rosso, Green=verde, Blue=blu). Alla base di questa rappresentazione del piano di riferimento iniziale vi è dunque un certo modello, che in Cabri 3D è chiamato Prospettiva naturale. La rappresentazione del piano è contenuta in una vista, una zona quadrata della pagina nella quale sono disegnati degli oggetti geometrici (punti, rette, piani, ecc.) che compongono una figura. In ogni momento si può modificare il punto di vista sul piano mediante delle rotazioni, ottenute trascinando il mouse e tenendo contemporaneamente premuto il pulsante destro. Se si tiene premuto anche il tasto Ctrl la rotazione avviene con incrementi di 15 sia in azimut che in elevazione. Si noti che durante la rotazione il punto origine del sistema di riferimento rimane fisso. 4

5 All inizio della sessione di lavoro, Cabri 3D apre un documento (chiamato Documento1) che contiene una sola pagina e un unica vista. Ogni documento di Cabri 3D è formato da una o più pagine contenenti a loro volta una o più viste, a meno che non si cambino le impostazioni iniziali (menu Edita>Preferenze ). La barra degli strumenti e le prime costruzioni In questa sezione saranno presentate alcune costruzioni con Cabri 3D scelte in modo da usare immediatamente alcuni degli strumenti proposti e prendere confidenza con la filosofia del software. Per costruire gli oggetti in Cabri 3D si hanno a disposizione degli strumenti - detti anche primitive geometriche - contenuti in dieci caselle (figura 3), che devono essere selezionati prima di costruire o agire su un qualunque oggetto, nello stesso modo in cui si opera in Cabri Géomètre. Figura 3 - Barra degli strumenti di Cabri 3D e nomi delle caselle degli strumenti. Angolo formato da una retta con un piano Nella prima costruzione si vuole disegnare una retta - che non appartenga al piano di base (piano XY )- e mettere in evidenza l angolo formato dalla retta con il piano. Sul piano di base creiamo un punto A. Per fare questo si apre la casella degli strumenti Punti: si usa il mouse, che assume la forma di una freccia (puntatore), si clicca sulla casella di strumenti Punti e si seleziona lo strumento Punto. Si porta il cursore sul piano di base e il piano si attiva. Questo è segnalato da dei punti che si muovono periodicamente sulla sua superficie. Compare la scritta un nuovo punto (sul piano) e appare un punto sul piano. Con un clic viene creato il punto. D ora in poi indicheremo convenzionalmente con la scrittura [Casella]Strumento il fatto che all interno della casella di strumenti di nome Casella abbiamo selezionato lo strumento Strumento. Così, ad esempio, la scrittura [Punti]Punto significa che nella casella di strumenti Punti è stato selezionato lo strumento Punto. 5

6 Figura 4 - Casella Punti con lo strumento Punto selezionato. Creazione di punti Lo strumento Punto (figura 4) è uno strumento multiplo. Con questo strumento si possono inizialmente creare due tipi di punti: - punti che appartengono al piano di base: sono punti liberi nel piano ed hanno quindi due gradi di libertà. Si tratta di punti che rimarranno per sempre su questo piano e sarà solo possibile spostarli nel piano stesso. Questi punti si creano portando il puntatore del mouse sul piano di riferimento, ossia all interno del quadrilatero di colore grigio che rappresenta il piano di riferimento. Il puntatore assume la forma di una matita che scrive e appare un punto e la scritta un nuovo punto (sul piano). Con un clic il punto viene creato. - punti che invece potranno essere trascinati fuori dal piano di base; sono punti nello spazio ed hanno tre gradi di libertà. Questi punti possono essere creati: o posizionando il puntatore del mouse nelle vicinanze del quadrilatero che rappresenta il piano di base. Apparirà un punto e il messaggio un nuovo punto (nello spazio). Il punto viene creato con un clic. o posizionando il puntatore del mouse sul quadrilatero che rappresenta il piano di base, ma tenendo contemporaneamente premuto il tasto Maiuscolo (Maiuscolo+clic). Appare il messaggio un nuovo punto (nello spazio). Il punto viene creato con un clic. Inizialmente, però, anche questi punti vengono creati nel piano di riferimento. Per trascinarli fuori dal piano di base si deve premere il tasto Maiuscolo e contemporaneamente trascinare il punto. Si vedrà allora apparire una sorta di filo a piombo, che visualizza il cambiamento della sola coordinata z, mentre il cursore del mouse assume l aspetto di una doppia freccia in verticale. Tornando al problema iniziale, abbiamo creato un punto sul piano di base. Se da tastiera si scrive immediatamente A, questa lettera diventa il nome, o etichetta, del punto. Si è detto che questo punto A ha due gradi di libertà e quindi può essere spostato solo nel piano di base. Per spostarlo occorre selezionare lo strumento Puntatore che è il primo strumento contenuto nella casella Puntatore. Lo strumento Puntatore, come in Cabri Géomètre II, viene usato per selezionare, manipolare e spostare gli oggetti. Figura 5 - Casella Puntatore nella barra degli strumenti. 6

7 Dopo aver selezionato lo strumento Puntatore, per spostare il punto A si fa avvicinare il cursore al punto A fino a quando non compare la scritta il punto A e il cursore assume l aspetto di una mano che indica (come in Cabri Géomètre II). I messaggi di aiuto che appaiono quando si avvicina il cursore ad un oggetto e si usa uno strumento sono chiamati tooltips. Hanno la funzione di rendere più interattivo l uso del programma e di fornire dei suggerimenti sull uso degli strumenti e relativi agli oggetti sui quali si sta operando. Si può anche attivare l aiuto per l uso degli strumenti. Per questo basta premere il tasto F1, oppure la voce del menu Finestra>Aiuto per gli strumenti. Compare una finestra che contiene un testo con delle immagini di aiuto all uso dello strumento selezionato. Quando si lancia Cabri 3D questa finestra è di solito aperta. Se non lo è basta premere il tasto F1. Se si seleziona il punto A e si tiene premuto il pulsante sinistro del mouse, si osserva che il cursore assume la forma di una mano che afferra. Tenendo premuto il pulsante sinistro del mouse, e trascinando, è possibile spostare il punto. Si vede però che questo punto continua a rimanere nel piano di base. Anche se il punto A è trascinato fuori dal quadrilatero - che in Cabri 3D rappresenta il piano di base - il punto continua ad appartenere a questo piano. Per constatare che il punto A appartiene ancora al piano di base, possiamo usare una delle caratteristiche più interessanti di Cabri 3D. Muoviamo la camera virtuale in modo da osservare il piano XY da un altra angolazione, sollevando o abbassando il punto di vista, oppure facendolo ruotare attorno all origine (punto al quale sono applicati i tre versori di riferimento). Con una telecamera, il cambiamento del punto di vista si ottiene sollevandola oppure abbassandola o ancora facendola ruotare attorno a un oggetto. In Cabri 3D il cambiamento del punto di vista è ottenuto tenendo premuto il pulsante destro del mouse e contemporaneamente trascinandolo. Si vedrà allora che il quadrilatero - che rappresenta il piano di riferimento in prospettiva - cambia la sua forma, fornendo l impressione di vederlo da più in alto o da più in basso e di poterci ruotare attorno. Con il piano vediamo ruotare anche il sistema di riferimento e la figura eventualmente costruita su di esso. Sfruttando il cambiamento del punto di vista, si può anche osservare il quadrilatero - che rappresenta il piano di base - nelle sue dimensioni reali, ovvero non in prospettiva. Per questo basta premere, e tenere premuto, il tasto destro del mouse e trascinarlo verso il basso. L icona del cursore, in questa modalità, assume la forma di una croce dando l idea del trascinamento. Ad un certo punto il quadrilatero, che rappresenta il piano di riferimento, assume la forma di un quadrato. È come se il quadrilatero fosse visto dall alto, con il punto di osservazione appartenente all asse Z. Questo lo si riconosce anche dal sistema di riferimento. I vettori i (rosso) e j (verde) sono visti nella loro vera lunghezza, tra loro perpendicolari, mentre la proiezione del vettore k (blu) è ridotta a un punto, perché il piano è visto dall alto (figura 6). 7

8 Figura 6 - Il piano di base visto dall alto. Il quadrato che si vede dall alto nella figura precedente, ha il lato di 12 cm ed è ruotato di 15 (angolo di azimut) in senso orario attorno al suo centro. Se si sposta il puntatore del mouse sopra il piano di base, su tutta la superficie del quadrilatero che lo rappresenta si vedono apparire dei punti colorati, con una leggera variazione periodica della loro posizione e della tonalità del colore, in modo da segnalare all utente che ora il piano è attivo ed è possibile agire su di esso. Se a questo punto si tiene premuto il tasto destro del mouse e contemporaneamente lo si trascina verso l alto del foglio di lavoro, allora il piano di base verrà visto dal basso. Si potrà notare che il vettore k ora si vede più sottile, perché è nascosto dalla superficie del piano. In Cabri 3D le superfici non sono trasparenti, anche se si può scegliere di visualizzare le parti nascoste. Quest ultima caratteristica viene globalmente regolata tramite la voce Preferenze del menu Edita (Edita>Preferenze>Stili delle parti nascoste). In seguito si vedrà che si possono cambiare tutte le caratteristiche degli oggetti, oltre che in altri modi, usando il menu contestuale degli oggetti stessi, oppure usando la voce Stili del menu Finestra. Riportiamo il punto di vista sul piano di base nella situazione iniziale e creiamo un altro punto B, tramite lo stesso strumento [Punti]Punto usato in precedenza. Questa volta, però, creiamo il punto tenendo premuto contemporaneamente il tasto Maiuscolo. Anche il punto B viene inizialmente creato sul piano di riferimento XY. Trascinando il punto B; si vede però che in questo caso, durante lo spostamento, appare una griglia attorno al punto e il cursore del mouse assume la forma di quattro frecce (figura 7). Queste frecce segnalano che il punto B si sta muovendo su un piano parallelo al piano di base. 8

9 Figura 7 - Trascinando il punto B, si sposta solo orizzontalmente. Per spostare verticalmente il punto B, occorre premere il tasto Maiuscolo e contemporaneamente trascinare il punto B con il mouse. In questo caso compare un cursore a forma di due frecce (figura 8) verticali, che suggerisce che il punto si sposterà solo in direzione perpendicolare al piano di base. Figura 8 - Premendo il tasto Maiuscolo e trascinando, B si sposta verticalmente. Durante lo spostamento di un punto libero nello spazio, Cabri 3D visualizza sempre un riferimento (griglia orizzontale e un segmento verticale) graduati in cm. Se durante lo spostamento si mantiene premuto il tasto Ctrl, le coordinate del punto B sono arrotondate a dei multipli di 5 mm. È ancora da notare che lo spostamento in verticale del punto B è possibile solo perché B è stato creato come un punto nello spazio, ossia con tre gradi di libertà. Al contrario, il punto A è un punto libero sul piano di base, e non può essere spostato fuori da questo piano. Abbiamo imparato a creare i punti in due modi. Per cancellare un oggetto, occorre selezionarlo con il puntatore - si fa clic sull oggetto - e poi premere il tasto Canc. La cancellazione si può anche ottenere portando il puntatore del mouse sopra l oggetto. In questo modo l oggetto si attiva e comincia a variare periodicamente tonalità di colore. Si clicca sul pulsante destro e appare il menu contestuale dell oggetto. Selezionando la voce Cancella di questo menu è possibile eliminare l oggetto. 9

10 Prima di procedere ulteriormente con la costruzione, cancelliamo i vettori di riferimento e il punto origine perché non servono per la costruzione. Per cancellarli si selezionano ad uno a uno e si preme Canc, oppure si usa il menu contestuale. Per selezionare più oggetti, si tiene premuto il tasto Ctrl e contemporaneamente si clicca sugli oggetti (Ctrl+clic). Dopo aver trascinato il punto B fuori dal piano di base, disegniamo la retta definita dai punti A e B. Per fare questo apriamo - con un clic - la casella degli strumenti Linee e scegliamo lo strumento Retta. Indicheremo questa scelta con la sequenza: [Linee]Retta. Nel nostro caso i due punti A, B sono già stati creati; possiamo quindi cliccare sul punto A (appare la scritta Retta per il punto A ) e sul punto B (appare la scritta e per il punto B ). Figura 9 - La casella degli strumenti Linee e lo strumento Retta. Una retta, in Cabri 3D, può essere costruita in vari modi: - a partire da due punti già esistenti; è lo strumento che abbiamo utilizzato in precedenza; - la retta può essere creata direttamente con un paio di clic, costruendo al volo due punti. Si seleziona lo strumento [Linee]Retta e si fanno due clic in due punti diversi della zona di lavoro. - come intersezione di due piani. Si seleziona lo strumento [Linee]Linea di intersezione e si indicano i due piani. - per intersezione implicita di due piani. Si seleziona lo strumento [Linee]Retta e ci si avvicina alla zona in cui i due piani si intersecano. Si vedrà allora apparire una retta; per crearla basterà fare un clic. Immediatamente dopo avere costruito la retta AB, scriviamo r in modo da assegnare il nome al volo alla retta AB. Se si vuole cambiare il nome a un oggetto basta fare un doppio clic sull etichetta. Eventualmente l etichetta si può trascinare con il mouse in un altra posizione. Nel momento della selezione, l etichetta appare in una cornice rettangolare con un segno che la collega all oggetto del quale è il nome. Dell etichetta si può cambiare il tipo di carattere, lo stile (normale, corsivo, grassetto) e le dimensioni. Per dare il nome a un oggetto, lo si seleziona con un clic e si scrive il nome da tastiera; se il nome contiene un numero dopo una lettera, allora questo numero è trasformato automaticamente in un pedice. Ad esempio, se si scrive r1, si ottiene r 1. 10

11 Figura 10 - La retta r per i punti A e B. Si noti che gli oggetti costruiti o presenti fin dall inizio nella figura, hanno uno spessore notevole. Si vede inoltre che gli oggetti hanno uno spessore variabile e più accentuato nelle parti che sono in primo piano. Questo modo di disegnare gli oggetti può essere eventualmente cambiato usando il menu contestuale di questi oggetti. Nel seguito vedremo inoltre altri modi per cambiare le proprietà di un oggetto. Se si vuole, ad esempio, cambiare lo spessore della retta, ci si avvicina con il puntatore alla retta. Si vede che quando il puntatore del mouse è sulla retta, il cursore cambia di forma e diventa una mano che indica e la retta assume una tonalità di colore più chiaro, lampeggiando lentamente. Il software sta segnalando che la retta è sotto il cursore del mouse ed è attiva. Se ora si fa un clic con il tasto destro del mouse, si apre il menu contestuale relativo alla retta (vedi figura 11) con le seguenti voci: - Colore delle linee - Raggio delle linee - Stile delle linee - Mostra le parti nascoste - Copia (Ctrl+C) - Incolla (Ctrl+V) - Cancella (Canc) - Nascondi/Mostra (Ctrl+H). Queste voci, naturalmente, sono contestuali all oggetto selezionato: in questo caso si è cliccato su una retta. Una retta fa parte degli oggetti Linee e pertanto è apparso un menu contestuale che accomuna tutti gli oggetti che rientrano nelle Linee (rette, segmenti, semirette, circonferenze, coniche, ). Se si fosse cliccato su un altro oggetto della figura - un punto o una superficie - si sarebbero ottenuti dei menu contestuali diversi, almeno per quanto riguarda le prime voci elencate. Se si apre il menu contestuale di un altro oggetto - un punto o una superficie - le ultime cinque voci rimangono le stesse viste in precedenza: - Mostra le parti nascoste - Copia (Ctrl+C) - Incolla (Ctrl+V) - Cancella (Canc) - Nascondi/Mostra (Ctrl+H). 11

12 Figura 11 - Il menu contestuale di una retta. Torniamo al menu contestuale della retta AB: le prime tre voci del menu segnalano, a loro volta, che esiste un sottomenu. Ad esempio, il triangolino che compare a destra della voce Colore delle linee segnala che selezionando questa voce del menu contestuale si accede a un ulteriore menu, in questo caso alla tavolozza di colori di Cabri 3D. Tramite il menu contestuale, pertanto, è possibile cambiare agevolmente gli attributi e gli stili operando sui singoli oggetti che compongono la figura. Per quanto riguarda lo spessore degli oggetti disegnati, la scelta di usare, come valori predefiniti, spessori così accentuati e maggiori quando gli oggetti sono in primo piano, serve per aiutare la visione prospettica e spaziale della figura. Figura 12 - Costruzione della retta per B perpendicolare al piano di base. Per il punto B costruiamo la retta s perpendicolare al piano di base. Per fare questo si usa la casella degli strumenti Costruzioni e si sceglie lo strumento Perpendicolare; si tratta di uno strumento multiplo che costruisce sia piani che rette perpendicolari: si clicca sul punto B e sul piano di base. 12

13 Figura 13 - Casella Costruzioni con lo strumento Perpendicolare. Nel momento in cui si porta il cursore del mouse su B, il punto si attiva. Con un clic si seleziona il punto e poi, ancora con un clic, il piano al quale la retta deve essere perpendicolare. Anche il piano, quando si porta il cursore del mouse sopra la sua superficie, si evidenzia tramite dei puntini colorati che oscillano debolmente, in modo da suggerire all utente quali sono gli oggetti che Cabri 3D utilizzerà per costruire la retta s perpendicolare al piano di base passante per B. Intersechiamo ora la retta s con il piano di base. Per far questo occorre usare lo strumento [Punti]Punto(i) di intersezione e indicare la retta s e il piano di base; si ottiene il punto H. Usiamo infine lo strumento [Linee]Retta e disegniamo la retta AH. La retta ottenuta, indicata con r, è la proiezione ortogonale della retta r sul piano di base. Figura 14 - Costruzione della retta r, proiezione di r sul piano di base. Il triangolo ABH è ovviamente rettangolo nel punto H e giace su un piano perpendicolare al piano di base. L angolo BAH si chiama angolo tra la retta r e il piano di base. Per rappresentare tale angolo possiamo usare lo strumento [Superfici]Angolo convesso e cliccare sui punti A, B, H. Si noti che, contrariamente a Cabri Géomètre II, occorre indicare prima il vertice A e successivamente i punti B e H. 13

14 Figura 15 - Casella Superfici con lo strumento Angolo convesso. Figura 16 - Angolo tra la retta r e il piano di base. Si può anche costruire il piano che contiene il triangolo rettangolo ABH. Questo piano è ovviamente perpendicolare al piano di base. Per fare questo occorre selezionare lo strumento [Superfici]Piano e cliccare sui punti A, B e H. Il piano si può anche costruire in altri modi, selezionando le rette r ed r oppure la retta r e il punto H. Anche qui si potrebbe usare la costruzione implicita del piano, selezionando lo strumento [Superfici]Piano e spostando il cursore del mouse sopra la superficie dell angolo convesso. In questo modo l angolo convesso si attiva e, per segnalarlo, su tutta la superficie compaiono dei punti che lentamente lampeggiano. Contemporaneamente all attivazione dell angolo convesso, Cabri 3D crea il piano di supporto dell angolo. A questo punto, con un clic si crea il piano perpendicolare al piano di base e passante per A, B e H. Nella figura 17 è stato cambiato il colore del piano ABH. Per fare questo si sposta il cursore del mouse sopra la superficie del piano. La superficie si attiva con il solito tremolio dei suoi punti. Se si fa un clic con il tasto destro del mouse, appare il menu contestuale che permette di cambiare le varie proprietà della superficie. 14

15 Figura 17 - Costruzione del piano per i tre punti A, B e H. Selezionando, nel menu contestuale, Colore della superficie, appare la tavolozza di colori di Cabri 3D, di forma esagonale, che contiene 127 colori e una riga sottostante con 11 gradazioni di grigio. Figura 18 - Tavolozza dei colori di Cabri 3D. Tra i vari attributi di una superficie vi è anche lo stile di una superficie. Selezionando Stile della superficie>righe sottili, si può ad esempio ottenere un piano quasi trasparente. Questo stile della superficie ha il vantaggio di permettere di vedere anche la parte di figura nascosta dal piano. Al termine della costruzione salviamo il documento (si usa File>Salva con nome ). Costruzione di una particolare piramide a base quadrata Continuando nella conoscenza dei primi elementi di Cabri 3D, in questa sezione vogliamo costruire una piramide retta a base quadrata, in modo che le facce laterali siano dei triangoli 15

16 equilateri. Invitiamo il lettore a seguire al computer la costruzione procedendo come indicato di seguito. - Si entra in Cabri 3D e si crea un nuovo file (File>Nuovo). - Si cancellano i vettori del riferimento e si lascia soltanto il punto origine del sistema di riferimento; chiamare O questo punto (selezionare il punto con un clic e scrivere O da tastiera). Disegniamo ora sul piano di base, con un clic del mouse, un punto A; per fare questo si usa lo strumento [Punti]Punto. Il punto A è un punto libero nel piano di riferimento. - Tracciamo con lo strumento [Linee]Retta la retta OA e la chiamiamo r. Trasciniamo eventualmente l etichetta r in modo da rendere la figura più chiara. Per fare questo si seleziona l etichetta e la si trascina nella posizione voluta. Figura 19 - Circonferenza di centro O passante per un punto A. - Disegniamo la circonferenza di centro O e passante per A; per fare questo dobbiamo usare lo strumento [Linee]Circonferenza in una delle sue quattro modalità d uso: si fa un clic sul piano (per indicare che la circonferenza deve appartenere al piano di base), un clic sul punto O (per scegliere questo punto come centro della circonferenza) e un clic sul punto A (per indicare che la circonferenza deve passare per il punto A). Ad ogni passo della costruzione assegniamo un nome ai nuovi oggetti creati. Chiamiamo a la circonferenza. Se per l etichetta della circonferenza si vuole usare una lettera greca; si fa un doppio clic sull etichetta (inizialmente la lettera a ) e si cambia il tipo di carattere in Symbol. - Intersechiamo (si usa lo strumento [Punti]Punto(i) di intersezione) la circonferenza con la retta OA, ottenendo il punto C (oltre al punto A). - Costruiamo il piano perpendicolare alla retta r (strumento [Costruzioni]Perpendicolare) e passante per O e lo intersechiamo con la circonferenza. Si usa lo strumento [Punti]Punto(i) di intersezione, selezionando la retta r e la circonferenza α. Si ottengono i punti B e D. Creiamo anche la retta s di intersezione tra il piano di base e il piano perpendicolare alla retta r passante per O. Al termine si nasconde il piano perpendicolare a r passante per O. - Si disegnano i segmenti AB, BC, CD e DA, usando lo strumento [Linee]Segmento. 16

17 Figura 20 Costruzione della retta s perpendicolare alla retta r per O. Figura 21 Il piano perpendicolare è stato nascosto. - Si costruisce la retta n perpendicolare al piano di base passante per O. Si usa lo strumento [Costruzioni]Perpendicolare cliccando sul piano di base e sul punto O. 17

18 Figura 22 - Retta n per O e perpendicolare al piano di base Figura 23 - Circonferenza γ di asse la retta s e passante per A. - Si costruisce la circonferenza γ che ha per asse (retta perpendicolare al piano della circonferenza passante per il centro) la retta r e passa per il punto B. Qui abbiamo usato lo strumento [Linee]Circonferenza in un altra modalità d uso, che è molto utile per le costruzioni geometriche nello spazio: si indica una retta (o una parte di retta) che diventa l asse della circonferenza e un punto della circonferenza. Per asse della circonferenza si intende la retta perpendicolare al piano della circonferenza e passante per il suo centro. - Si interseca (strumento [Punti]Punto(i) di intersezione) la retta n con la circonferenza ottenendo il punto V e il suo simmetrico V rispetto al piano di base. V è il vertice della piramide da costruire. 18

19 Figura 24 - Costruzione degli spigoli della piramide. - Si completa la piramide disegnando gli spigoli AV, BV, CV e DV; per questo si usa lo strumento [Linee]Segmento. - Si completa la costruzione disegnando le facce laterali della piramide e il poligono di base: per fare questo si usa lo strumento [Superfici]Triangolo. Si noti che questo strumento disegna una superficie, a differenza dello strumento Triangolo di Cabri Géomètre II. Per disegnare il poligono di base, un quadrato, si usa lo strumento [Superfici]Poligono. Figura 25 - Costruzione degli spigoli e delle facce laterali della piramide. - Al termine, per rendere più chiara la figura, si possono nascondere alcuni degli oggetti utilizzati durante la costruzione e lasciare soltanto la piramide e il piano di base. Per questo si può usare il menu contestuale degli oggetti, spostando il puntatore dei mouse sui vari oggetti e facendo un clic su di essi con il tasto destro. Nel menu contestuale si seleziona Nascondi/Mostra. Per nascondere un oggetto si può anche procedere 19

20 selezionando l oggetto (con un clic) e usare il menu Edita>Nascondi/Mostra, oppure la scorciatoia da tastiera Ctrl+H. - Terminata la costruzione, salviamo il file della figura (File>Salva con nome ). Assegniamo al file il nome piramide-quadrata.cg3. I file vengono salvati con l estensione *.cg3 (che significa Cabri Géomètre 3 ). Figura 26 La piramide finale ottenuta. Per costruire la piramide precedentemente ottenuta, si sarebbe potuto procedere in altri modi; usando lo strumento [Poliedri]Piramide, oppure usando lo strumento [Poliedri]Poliedro convesso. Figura 27 Casella di strumenti [Poliedri]Poliedro convesso. Se si usa lo strumento [Poliedri]Piramide, occorre prima costruire il poligono di base ABCD, usando lo strumento [Superfici]Poligono oppure lo strumento [Poligoni regolari]quadrato e poi si costruisce la piramide che ha per base il quadrato ABCD e vertice V. Per usare invece lo strumento [Poliedri]Poliedro convesso, basta selezionare i punti A, B, C, D e V e premere Invio per terminare. Si può anche terminare la costruzione del poliedro selezionando di nuovo uno dei punti precedenti. Viene costruito il minimo poliedro convesso generato dai punti indicati. 20

21 Figura 28 Casella di strumenti [Poligoni regolari]quadrato. Costruzione di un ottaedro regolare Osservando le figure precedenti è facile dimostrare che le facce laterali della piramide costruita sono dei triangoli equilateri. Gli spigoli della piramide sono quindi tutti uguali. La piramide costruita in precedenza è pertanto la metà di un ottaedro regolare, uno dei cinque poliedri regolari, detti anche solidi platonici. Per costruire un ottaedro regolare occorre costruire la piramide simmetrica di ABCDV rispetto al piano di base. Per fare questo si può procedere usando una delle isometrie dello spazio messe a disposizione da Cabri 3D. Si seleziona lo strumento [Trasformazioni]Simmetria rispetto a un piano, che opera la riflessione di un oggetto rispetto ad un dato piano. Per usare questo strumento si deve indicare prima il piano che definisce la simmetria e poi l oggetto da trasformare. Questo modo di operare è l opposto di quello che si ha in Cabri Géomètre II, in cui si indica prima l oggetto da trasformare e poi gli oggetti che definiscono la trasformazione. Figura 29 - Casella Trasformazioni, strumento Simmetria rispetto a un piano. Nel nostro caso occorre simmetrizzare gli spigoli e le facce della piramide ABCDV. Si ottiene la piramide ABCDV, dove V è il punto simmetrico di V rispetto al piano di base. L unione delle due piramidi fornisce un nuovo solido, che si chiama ottaedro regolare (8 facce a forma di triangolo equilatero, 6 vertici, 12 spigoli). Si noti tuttavia che Cabri 3D non vede questo solido come un unico oggetto, perché è formato da più oggetti (punti, segmenti, poligoni). 21

22 Al termine della costruzione, usando il menu contestuale, possiamo cambiare lo stile del piano di base scegliendo di tratteggiare la superficie (Stile della superficie>righe sottili). Cambiamo inoltre l opzione riguardante le parti nascoste, selezionando la voce Mostra le parti nascoste. Si vedranno quindi apparire anche gli spigoli nascosti dell ottaedro. Al termine salviamo il file ottenuto chiamandolo otta-reg.cg3. Figura 30 - Ottaedro regolare ottenuto dalla piramide ABCDV. Abbiamo in precedenza eseguito la costruzione a mano di un ottaedro regolare. Tuttavia in Cabri 3D un ottaedro regolare oltre agli altri solidi platonici si può ottenere in modo più rapido utilizzando l ultima casella di strumenti di Cabri 3D chiamata Poliedri regolari. 1. Creiamo un nuovo file (File>Nuovo) 2. Apriamo, con un clic, la casella di strumenti [Poliedri regolari] e selezioniamo lo strumento Ottaedro regolare. Per costruire questo solido, basta fare tre clic sul piano di base. Il primo clic seleziona il piano di una faccia dell ottaedro regolare, il secondo fissa il centro della circonferenza circoscritta alla faccia e il terzo clic seleziona uno dei vertici della faccia. Si vedrà comparire immediatamente un ottaedro regolare con una delle sue facce disposta sul piano di base e sopra il piano di base (nel semispazio z>0 ). Se contemporaneamente si tiene premuto il tasto Crtl, il poliedro viene costruito sotto il piano di base, nell altro semispazio di origine il piano di base (nel semispazio z<0 ). 3. Salvare il file con il nome ottaedro-reg.cg3. Figura 31 - Casella Poliedri regolari, strumento Ottaedro regolare. 22

23 Figura 32 - Strumento [Poliedri regolari]ottaedro regolare. È interessante osservare che l ottaedro regolare creato in questo modo è diverso dal precedente che abbiamo costruito a mano, perché ora Cabri 3D vede il poliedro come un oggetto unico, formato da un insieme strutturato di punti (i vertici), di linee (gli spigoli) e di superfici (le facce). Di quest ultimo ottaedro è possibile ottenere il menu contestuale, mentre questa richiesta non produce alcun effetto per l ottaedro che abbiamo costruito passo a passo in precedenza. Più esattamente, nella costruzione dell ottaedro ottenuto come unione di due piramidi, il menu contestuale non riguarda globalmente il solido, ma è limitato all elemento situato sotto il puntatore del mouse. Il menu contestuale di un poliedro costruito con la casella di strumenti Poliedri regolari (vedi figura 33) è uno dei più complessi appunto perché si tratta di un oggetto di Cabri 3D che è formato da punti, linee e superfici. Tramite il menu contestuale del poliedro è possibile gestire globalmente gli stili degli oggetti che compongono il poliedro. Se, ad esempio, si sceglie un diverso Raggio delle linee, selezionando Grande invece di Normale, si vedrà che tutti gli spigoli del poliedro diventeranno di spessore maggiore. Si consiglia di provare a cambiare i vari attributi dei punti, delle linee e delle superfici. In particolare, per quanto riguarda le superfici, è possibile scegliere diversi stili (detti anche textures ) tra i seguenti: - Vuoto - Uniforme - Fori piccoli - Fori grandi - Cerchi piccoli - Cerchi grandi - Righe sottili - Righe larghe. Questi possono servire per ottenere diversi effetti, non ultimo quello di poter osservare quel che c è all interno di un solido, pur dando l idea della superficie del solido. 23

24 Figura 33 - Menu contestuale dell ottaedro regolare. L ottaedro ottenuto è disposto in modo diverso a quello che abbiamo costruito a mano in precedenza perché una delle facce appartiene al piano di base. Per disporlo nello stesso modo rispetto al piano di base si deve ricorrere ad una rotazione. Ci si può chiedere infine quale sia stata l utilità di costruire un poliedro regolare a mano, se in Cabri 3D si ha già a disposizione uno strumento che permette di costruire un poliedro regolare in modo quasi immediato. Si è ritenuto opportuno presentare anche la costruzione a mano perché è molto interessante dal punto di vista didattico e permette di arrivare ad una conoscenza più approfondita delle proprietà delle figure e delle costruzioni nello spazio. Sfera inscritta nell ottaedro regolare Si chiede infine di costruire, partendo dalla figura finale ottenuta nella precedente sezione, la sfera inscritta nell ottaedro regolare,. Per far questo seguiamo i seguenti passi: 1. Salviamo il file della figura dell ottaedro regolare con un nuovo nome (File>Salva con nome ): ottaedro-sfera-inscritta.cg3. 2. Cambiamo lo stile della superficie dell ottaedro regolare, scegliendo dal menu contestuale del poliedro Stile della superficie>vuoto. Con questo stile di superficie rimangono visibili solo gli spigoli e i vertici dell ottaedro. 3. Si determina il centro O del poliedro costruendo il punto medio tra due vertici opposti del poliedro (si usa lo strumento [Costruzioni]Punto medio). 4. Si costruisce la retta n perpendicolare al piano di base passante per O (strumento [Costruzioni]Perpendicolare). 5. Si interseca la retta n con il piano di base (strumento [Punti]Punto(i) di intersezione): si ottiene il punto H. 6. Si costruisce la sfera di centro O e passante per H, usando lo strumento [Superfici]Sfera. 24

25 Figura 34 - Sfera inscritta nell ottaedro regolare. Esercizi 1. Aprire le varie caselle di strumenti e la finestra di aiuto per gli strumenti; premere F1 se questa finestra non è già aperta. Rivedere i vari strumenti usati in questo capitolo e costruire nuovi oggetti con Cabri 3D. 2. Disegnare dei punti appartenenti al piano di base e punti non appartenenti al piano di base. Trascinare questi punti in modo da osservare i loro gradi di libertà. 3. Disegnare una retta contenuta nel piano di base, una retta che intersechi il piano di base in un punto, una retta parallela al piano di base (e che non appartenga al piano di base). 4. Disegnare due punti sul piano di base e un punto che non appartenga al piano di base. Costruire il piano definito dai tre punti dati. 5. Disegnare due rette che si intersechino in un punto non appartenente al piano di base. Costruire il piano definito da queste due rette. Costruire la retta di intersezione tra questo piano e il piano di base. 6. Costruire un triangolo equilatero usando diverse modalità. 7. Costruire un esagono regolare usando diverse modalità. 8. Costruire un prisma retto con base un triangolo equilatero. 9. Costruire una piramide retta con base un esagono regolare. 10. Costruire un tetraedro qualunque. 11. Costruire un cubo usando diverse modalità; costruire la sfera inscritta nel cubo. 12. Costruire un parallelepipedo rettangolo con i lati paralleli ai vettori di riferimento. 13. Costruire un tetraedro regolare, un dodecaedro regolare, un icosaedro regolare. 14. Costruire un ottaedro regolare usando lo strumento [Poliedri]Piramide. 15. Costruire un ottaedro regolare usando lo strumento [Poliedri]Poliedro convesso. 25

26 Riferimenti bibliografici e siti Internet Un manuale rapido, in formato PDF, su Cabri 3D, si può scaricare da questo sito: Installando Cabri 3D (anche la versione di prova) si ha a disposizione il manuale in PDF. Basta seguire il menu?(aiuto)>manuale Utente. Su Cabri 3D è disponibile in italiano il seguente libro: -L. Tomasi - E. Bainville, Introduzione a Cabri 3D. Un software per esplorare la geometria dello spazio, Media Direct, Bassano del Grappa, Siti Internet su Cabri 3D Il sito ufficiale su Cabri 3D è quello della Cabrilog, Grenoble (Francia). In questo sito si possono scaricare gli aggiornamenti del programma e la versione di valutazione: In Italia si veda il seguente sito: Nel seguente sito è possibile scaricare altri materiali su Cabri 3D: In questo sito si possono trovare alcune figure di geometria dello spazio realizzate con Cabri 3D oltre a vari link a siti su Cabri 3D: 26