MATEMATICA Prova d'esame 1 Livello superiore. Lunedì 29 agosto 2005 / 90 minuti

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1 Codice del candidato: *M0540I* SECONDA SESSIONE D'ESAME MATEMATICA Prova d'esame Livello superiore Lunedì 9 agosto 005 / 90 minuti Al candidato è consentito l'uso della penna stilografica o della penna a sfera, della matita, della gomma, della calcolatrice tascabile senza interfaccia grafica e senza possibilità di calcolo algebrico o simbolico, del compasso e di due squadretti e un righello. Al candidato va consegnato il fascicolo con allegate due schede di valutazione e due fogli per la minuta. MATURITÀ GENERALE INDICAZIONI PER I CANDIDATI Leggete attentamente le seguenti indicazioni. Non tralasciate nulla! Non voltate pagina e non iniziate a risolvere gli esercizi prima del via dell'insegnante preposto. Incollate o scrivete il vostro numero di codice nello spazio apposito su questa pagina in alto a destra e sulle schede di valutazione. Questa prova d'esame comprende esercizi, vanno risolti tutti nello spazio sotto il testo dell'esercizio. I valutatori non terranno conto dei fogli per la minuta. È d'obbligo l'uso della penna stilografica o a sfera. Se ritenete di aver sbagliato tracciate una barra sulle soluzioni errate. Disegnate i grafici delle funzioni con la matita. Fate attenzione che le risoluzioni siano scritte in modo chiaro e leggibile. Nelle risoluzioni mettete ben in evidenza il procedimento, i calcoli intermedi e le vostre deduzioni. A pagina trovate un elenco delle formule più impegnative che non è necessario sapere a memoria. Forse qualcuna vi potrà essere utile. Gli esercizi risolti a matita e le risoluzioni non chiare e illeggibili verranno valutati con zero (0) punti. Se avete risolto l'esercizio con più versioni, indicate in modo inequivocabile la risoluzione da correggere. Il punteggio totale massimo conseguibile è di 80 punti. Leggete attentamente ogni esercizio, risolvete con ponderazione. Abbiate fiducia in voi stessi e nelle vostre capacità. Buon lavoro. Questa prova d'esame ha 6 pagine, di cui vuote. C RIC 005

2 M I Formule n n n nг nг nг nг n NÛ a b áab a Гa b a b Г... a b Гab b NÛ Teoremi di Euclide e dell altezza di un triangolo rettangolo: a ca, b NÛ NÛ NÛ cb, abc A Raggi delle circonferenze circoscritta ed inscritta ad un triangolo: R, r 4A p, Formule di bisezione: o Г ; cos sen cos sen cos o ; tg cos Funzioni trigonometriche relative al triplo di un angolo: Г, 3 Г sen 3 3 sen 4 sen 3 cos 3 4 cos 3 cos h c p a b a b c NÛ NÛ Teoremi di addizione: sen á y sen cos y cos sen y cos á y cos cos y sen sen y tg á Г tg tgy y Г tg tgy Formule di prostaferesi o di fattorizzazione: Г, sen Г sen y Г cos sen y y y Г, cos Г cos y Г Г sen sen sen áo y sen áyo o tgy, ctgo ctgy y y sen sen y sen cos cos cos cos cos tg cos cos y sen seny y y y y NÛ Formule di Werner o della scomposizione del prodotto: Г Г Г ; sen sen y cos á y cos á y cos cos y cos áy cos áг y ; sen cos y sen áy sen áг y NÛ Distanza del punto T, y dalla retta a by c Г a by c 0 0 d T, p 0 a b Г : NÛ Area del triangolo di vertici A, y, B, y, C, y : Г Г Г Г Г A y y y y 3 3 NÛ Ellisse: e a Гb,. ; a b e a 3 3 NÛ Iperbole: e,. ; a è il semiasse reale. e a b a p NÛ Parabola: y p, fuoco ž,0 NÛ Integrali: d arctg C, a a a F ž žÿ d Г a arc sen a C

3 M I 3 0. Nel sistema coordinato sono disegnate due rette. Scrivete le loro equazioni e calcolate l'area del triangolo delimitata dalle due rette e dall'asse. (6 punti) y 0

4 4 M I 0. Nella figura DE AB, DEA 45,, ADE 8, e la distanza AE è l'altezza sul lato BC del triangolo ABC. Calcolate gli angoli interni *, + e 0 del triangolo ABC. Calcolate inoltre la lunghezza del lato AB se BE 3 cm. C (8 punti) D 8, 45, E A B

5 M I Tracciate il grafico della funzione f á Г Г 3. Scrivete l'intervallo dove la funzione decresce. (8 punti) y

6 6 M I 04. Siano e le soluzioni dell'equazione. dell'espressione á Г Г. Calcolate il valore 4 0 (6 punti)

7 M I Al quadrato di verticiaá0, Г, B á4, Г, C á4, e D á0, inscriviamo e circoscriviamo due circonferenze. Per ogni circonferenza determinate il centro, il raggio e la sua equazione. Fate lo schizzo nel sistema coordinato dato. y (6 punti) 0

8 8 M I 06. Scrivete i primi tre termini della successione il cui termine generale è a 00 n n Г. Dimostrate che la successione è aritmetica e calcolate la somma dei primi 5000 termini. (7 punti)

9 M I Scrivete il numero complesso á á 5 Г0i Г i nella forma a bi ;, a b Y R. (7 punti)

10 0 M I 08. Scrivete l'equazione della retta tangente al grafico della funzione á 3 f nel punto di ascissa Г. (6 punti)

11 M I 09. Calcolate l'area della figura delimitata dal grafico della funzione f 3cos (vedi sotto), dall'asse delle ascisse e dalle rette 0 e 3. (6 punti) f á 0 3

12 M I 0. Calcolate l'intersezione tra i grafici delle funzioni á f e á 65 g Г. (6 punti)

13 M I 3 Q. È data la funzione f á tan ž Г. Scrivete il suo dominio, calcolate gli zeri e žÿ 3 l'intersezione del grafico con l'asse delle ordinate. (8 punti)

14 K K K K K 4 M I K. L'angolo tra i vettori a e b K prodotto scalare dei vettori a del vettore b. misura 60, K. Il prodotto scalare dei vettori a e a b e b K invece 5. Calcolate il modulo del vettore a è uguale a 5, il e il modulo (6 punti)

15 M I 5 PAGINA VUOTA

16 6 M I PAGINA VUOTA