MATEMATICA Prova d'esame 2 Livello superiore. Mercoledì 2 giugno 2004 / 90 minuti

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1 Codice del candidato: *M0440I* I SESSIONE D'ESAME MATEMATICA Prova d'esame Livello superiore Mercoledì giugno 004 / 90 minuti Al candidato è consentito l'uso della penna stilografica o della penna a sfera, della matita, della gomma, della calcolatrice tascabile senza interfaccia grafica e senza possibilità di calcolo algebrico o simbolico, del compasso e di due squadretti e un righello. Al candidato va consegnato il fascicolo con allegate due schede di valutazione e due fogli per la minuta. ESAME DI MATURITÀ LICEALE INDICAZIONI PER I CANDIDATI Leggete attentamente le seguenti indicazioni. Non tralasciate nulla! Non voltate pagina e non iniziate a risolvere gli esercizi prima del via dell'insegnante preposto. Incollate o scrivete il vostro numero di codice nello spazio apposito su questa pagina in alto a destra e sulle schede di valutazione. Questa prova d'esame comprende 3 esercizi strutturati. Risolvete tutti gli esercizi. Gli esercizi vanno risolti nello spazio sotto il testo dell'esercizio e nella pagina che segue. Le pagine 0,, e sono di riserva, usatele solo in caso di carenza di spazio. Non dimenticate di indicare chiaramente quali esercizi avete risolto nelle suddette pagine. I valutatori non terranno conto dei fogli per la minuta. È d'obbligo l'uso della penna stilografica o a sfera. Se ritenete di aver sbagliato tracciate una barra sulle soluzioni errate. Disegnate i grafici delle funzioni con la matita. Fate attenzione che le risoluzioni siano scritte in modo chiaro e leggibile. Nelle risoluzioni mettete ben in evidenza il procedimento, i calcoli intermedi e le vostre deduzioni. A pagina trovate un elenco delle formule più impegnative che non è necessario sapere a memoria. Forse qualcuna vi potrà essere utile. Gli esercizi risolti a matita e le risoluzioni non chiare e illeggibili verranno valutati con zero (0) punti. Se avete risolto l'esercizio con più versioni, indicate in modo inequivocabile la risoluzione da correggere. Leggete attentamente ogni esercizio, risolvete con ponderazione. Abbiate fiducia in voi stessi e nelle vostre capacità. Buon lavoro. Questa prova d'esame ha pagine, di queste 3 sono di riserva. C RIC 004

2 M I Formule n n n n n n n n a b áab a a b a b... a b ab b Teoremi di Euclide e dell altezza di un triangolo rettangolo: a ca, b cb, abc A Raggi delle circonferenze circoscritta ed inscritta ad un triangolo: R, r 4A p, Formule di bisezione: o ; x cos x sen x cos x x senx cos o ; tg cos x Funzioni trigonometriche relative al triplo di un angolo:, 3 sen 3 3 sen 4 sen 3 x x x cos 3 x 4 cos x 3 cos x h c p a b a b c Teoremi di addizione: sen áx y sen x cos y cos x sen y cos áx y cos x cos y sen x sen y tg áx tgx tgy y tgx tgy Formule di prostaferesi o di fattorizzazione:, sen x sen y cos sen x y x y x y, cos x cos y sen sen sen áxo y sen áyo x o tgy, ctgxo ctgy x y x y sen x sen y sen cos cos cos cos cos tgx cos x cos y sen x seny x y x y x y x y Formule di Werner o della scomposizione del prodotto: ; sen x sen y cos áx y cos áx y cos x cos y cos áxy cos áx y ; sen x cos y sen áxy sen áx y Distanza del punto T x, y dalla retta ax by c ax by c 0 0 d T, p 0 a b : Area del triangolo di vertici A x, y, B x, y, C x, y : A x x y y x x y y 3 3 Ellisse: e a b,. ; a b e a 3 3 Iperbole: e,. ; a è il semiasse reale. e a b a p Parabola: y px, fuoco ž,0 Integrali: dx x arctg C, a a x a F ž žÿ dx a x x arc sen a C

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4 4 M I 0. Sono date le funzioni f áx x e g áx x 3 ln e 3. a) Scrivete nella tabella il campo di esistenza e l insieme immagine delle funzioni f e g. (6 punti) b) Calcolate le coordinate del punto appartenente al grafico della funzione f nel quale la retta tangente al grafico è parallela alla retta di equazione x y 4 0. (6 punti) c) Calcolate l area della figura delimitata dall asse delle ascisse, le rette di equazione x e x e il grafico della funzione g. d) Dimostrate che le funzioni f e g sono una inversa dell altra. (8 punti) (4 punti) Campo di esistenza Insieme immagine f g

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6 6 M I 0. Risolvete i seguenti esercizi. a) Siano A x R ; 8x 3 x 6x 0 e B x R ; 3 x x 6 l insieme C AG B elencando tutti i suoi elementi.. Scrivete (7 punti) b) Siano D x < 0, Q> ; cos x sen x 0 e E l insieme delle ascisse dei punti nei quali la funzione f áx sen x raggiunge il massimo nell intervallo < 0, 3 >. Scrivete l insieme S. Quanti elementi ha l insieme potenza dell insieme F? F D E c) Sono dati gli insiemi di punti nel piano: K áx y x y x y L áx, y; yx 3p 0 e M áx, y; y dato l insieme di punti N ák L \ M R. (8 punti), ; ,. Disegnate nel sistema di coordinate (8 punti) y x

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8 8 M I e 03. Sono dati quattro trapezi ABCD. In ogni trapezio le basi misurano AB a 6 cm CD c cm. a) Nel primo trapezio le lunghezze dei lati c, d, b, a stanno in progressione aritmetica. Calcolate le lunghezze dei lati obliqui b BC e d AD. (5 punti) b) Nel secondo trapezio le rette di sostegno dei lati obliqui si intersecano nel punto E. Calcolate la lunghezza del lato b, se i segmenti CE cm e DE cm. c) Nel terzo trapezio l angolo DAB misura * 70,, l angolo ABC Calcolate la lunghezza del lato d. (5 punti) invece + 60,. d) Nel quarto trapezio il lato b è di cm più lungo del lato d, l area del trapezio invece è di 08 cm. Calcolate la lunghezza dei lati b e d. (6 punti) (9 punti)

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