*M I03* 3/16. Formule. , se n è un numero naturale dispari. Teoremi di Euclide e dell'altezza di un triangolo rettangolo: a 2.

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3 *M I03* 3/16 Formule n n n n n n n n a b ab a a ba b... a b ab b, se n è un numero naturale dispari n n n n n n n n a b a b a a b a b... a b ab b, se n Teoremi di Euclide e dell'altezza di un triangolo rettangolo: a 2 ca 1, b 2 cb 1, 2 hc a1b1 Raggio della circonferenza circoscritta e raggio della circonferenza inscritta a un triangolo: R abc, 4A r A, p abc p 2 Formule di bisezione: sen x 1 cosx, cos x 1 cosx, tan x sen x cos x Teoremi di addizione: sen x y sen xcos y cos xsen y cosx y cos xcos y sen xsen y tan x tan y tanx y 1 tanxtany Formule di prostaferesi o di fattorizzazione: x y x y x y x y sen x sen y 2sen cos, sen x sen y 2cos sen x y x y x y x y cos x cos y 2cos cos, cos xcos y 2sen sen sen x y tan x tan y cos x cos y Formule del Werner o della scomposizione del prodotto: sen xsen y 1 cosxycosx y 2 cos xcos y 1 cosx ycosx y 2 sen xcos y 1 senx ysenx y 2 ax0 by0 c Distanza del punto T0 x0, y0 dalla retta ax by c 0: dt0, p 2 2 a b,, C x, y : Area del triangolo di vertici A x y Bx y 1 1, 2 2, A 1 x2 x1y3 y1x3 x1y2 y1 2 Ellisse: e a b, e, a b a 2 2 Iperbole: e a b 2 e,, a è il semiasse reale a Parabola: 2 p y 2px, fuoco F,0 2 Compositum di funzioni: ( g f )( x) g( f( x)) n k n k Formula di Bernoulli: Pnpk (,, ) k p (1 p) Integrale: d 1 x arc tan x C 2 2 x a a a 3 3

4 4/16 *M I04* Il quesito strutturato 1 è obbligatorio. 1. Sono date le funzioni con le corrispondenze f ( x) = cos( 2x) + a e ( ) ( ) 2 g x = b x - p, a Î, b > Scrivete nella tabella gli insiemi di definizione e gli insiemi immagine delle funzioni f e g. La funzione espressa con la corrispondenza Insieme di definizione Insieme immagine f ( x) = cos( 2x) + a ( ) p ( ) 2 gx = bx- 4 (3 punti) 1.2. Determinate i valori dei coefficienti a e b in modo che le funzioni f e g si intersechino in x 1 = 0 e x2 = p. 4 (4 punti) 1.3. Siano a = 0 e b = 16. Calcolate l'area della figura delimitata dai grafici delle funzioni f e p 2 g tra le loro intersezioni. (6 punti)

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6 6/16 *M I06* Il quesito strutturato 2 è obbligatorio. 2. Il dodecaedro è un poliedro regolare delimitato da 12 pentagoni regolari. Scriviamo su ogni faccia un numero da 1 a 12 senza ripeterlo Immaginiamo di lanciare contemporaneamente due dodecaedri, entrambi numerati. Qual è la probabilità dell'evento A, che la somma dei due numeri sulle due facce superiori sia un numero primo minore o uguale a 5? (4 punti) 2.2. Lanciamo per venti volte un dodecaedro numerato. Qual è la probabilità dell'evento B, che ripetendo la prova 20 volte il numero 7 compaia sulla faccia superiore esattamente 3 volte? Arrotondate il risultato a tre posti decimali. (4 punti) 2.3. Sia la lunghezza dello spigolo del dodecaedro a = 6 cm. Calcolate la somma delle lunghezze di tutti gli spigoli e l'area della superficie totale del dodecaedro. (6 punti)

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8 8/16 *M I08* Il quesito strutturato 3 è a scelta. Potete scegliere tra i quesiti strutturati 3 e 4. Indicate la vostra scelta nella prima pagina della prova d'esame Sia { a n } una successione geometrica di ragione q = e e con il primo termine a 1 = 1. È data inoltre la successione con il termine generale b = ln( a ). n 3.1. Scrivete il termine generale della successione { a n } e dimostrate che la successione { b n } è aritmetica con la ragione d = Calcolate la somma dei primi 100 termini della successione { b n }. n (4 punti) (2 punti) 3.3. Dimostrate che per la coppia di numeri naturali qualsiasi m, n vale che b m e b n non sono numeri primi fra loro Per ogni numero naturale n sia pn un polinomio definito con la corrispondenza ( ) 2 n pn x = b1+ b2x + b3x bn+ 1x. Dimostrate che per ogni numero naturale n il polinomio p n ha nell'intervallo [ 0, ) esattamente uno zero. (3 punti) (4 punti)

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10 10/16 *M I10* Il quesito strutturato 4 è a scelta. Potete scegliere tra i quesiti strutturati 3 e 4. Indicate la vostra scelta nella prima pagina della prova d'esame. 4. Nel triangolo ABC siano a = BC, b = CA e c = AB. Costruiamo i punti A ', B ' e C ' in modo che AB ' = 2AB, BC ' = 2 BC e CA ' = 2 CA. C ' A b c C a B B ' A' 4.1. Esprimete i vettori A' B', BC ' ' e C' A' come combinazioni lineari dei vettori a, b e c. (3 punti) 4.2. Calcolate l'area e il perimetro del triangolo BBC ' ' se a = 2, c = 3 e l'angolo CBB ' misura 133. Scrivete il risultato a quattro cifre significative In quale rapporto stanno le aree dei triangoli ABC e ABC ' ' '? (7 punti) (3 punti)

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