Costruzione di macchine. Modulo di: Progettazione probabilistica e affidabilità. Marco Beghini e Leonardo Bertini. Lezione 4:

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1 Costruzione di macchine Modulo di: Progettazione probabilistica e affidabilità Marco Beghini e Leonardo Bertini Lezione 4: Variabili aleatorie continue

2 Definizione di variabile aleatorie continua Se il risultato di un esperimento casuale (evento) è associato una quantità numerica ma non numerabile (tipicamente reale), la V.A. è detta continua. Esempi: Il tempo intercorrente tra due chiamate telefoniche in un centralino La forza massima applicabile a un provino di trazione Il tempo di vita di un componente L intensità sonora di un disturbo Nota: in genere, ha queste caratteristiche tutto quanto è misurato con strumenti analogici

3 Densità di probabilità Nel caso discreto la distribuzione di probabilità è stata associata al singolo valore della V.A., come la massa in un sistema discreto di punti materiali Per la V.A. continua si ha lo stesso problema di definizione della massa nei corpi continui: deve essere introdotta la nozione di densità Esempio 4.. Nell ora di punta di un centralino le telefonate giungono in modo random senza condizioni preferenziali, determinare la probabilità che una telefonata giunga nell istante centrale dell intervallo

4 f ( x) Definizione di densità di probabilità (probability density distribution) x0 x0 + x ( ) ( ) P x < x< x + x f x x f ( x ) 0 = dp dx = x x 0 x Dimensionalmente la densità di probabilità non è una probabilità ma una probabilità per unità di x. Per esempio, se x è un tempo (secondi) f(x) è tempo alla (probabilità al secondo)

5 Esempio 4.. Una telefonata può giungere in qualsiasi momento della prossima ora, determinare la probabilità che si verifichi ) nei primi 0 minuti ) nei minuti dispari ( ) f t f 0 = min 60 f ( t) 0 60 t ( min) t ( min) P ( 0 t 0) < < = 3

6 f ( u) Distribuzione di probabilità cumulata x ( ) ( ) ( ) F x = P u < x = f u du F( x) x u x

7 Esercizio 4.. Tracciare e quotare la cumulata della distribuzione uniforme dell esempio 4.. f ( t) f 0 = min 60 0 F t ( ) 60 t ( min) 0 60 t ( min)

8 Definizioni ( ) ( ) µ = E X = x f x dx σ ( µ ) µ ( ) ( ) = VAR X = x f x dx f ( x) µ x

9 Moda e mediana (mode, median) f ( x) F( x) m = mode x 0.5 M = median x

10 F( x) Quartili e quantili (quartiles, quantiles) Q Q 3 Distanza interquartile Inter Quartile Range M Q Q3 x 0.6 F( x) 60 mo percentile x

11 Altre proprietà di forma Momento centrale di ordine k (central moment of kth order) ( ) ( ) ( ) µ = µ = E X = x f x dx ( ) k k ( ) ( ) per µ k = E X E X = x µ f x dx k > µ = σ ( ) Skewness: f x γ ; µ 3 > 0 X µ µ 3 γ = E = 3 σ σ 3 f ( x) γ ; µ 3 < 0 Positive or left-skewed Negative or right-skewed x x

12 Altre proprietà di forma Kurtosis: γ X µ µ = E 3= 3 σ σ f ( x) γ > 0 lepto-kurtosis γ = 0 meso-kurtosis γ < 0 plati-kurtosis x

13 Significati dei principali momenti Disuguaglianza di Tchebycheff Sia X una V.A. con media µ e deviazione standard σ σ ε > 0 P( x µ ε) ε Nota: relazione generale vale per ogni VA (continua o discreta) Dimostrazione (per V.A. continua): f ( x) σ = µ ( ) ( ) x f x dx µ ε σ µ + µ ( ) ( ) ( ) ( ) x f x dx x f x dx µ + ε µ ε µ µ + ε x

14 µ ε σ µ µ Per ε x x µ ( ) ( ) ( ) ( ) x f x dx + x f x dx µ + ε {, µ ε} o { µ + ε, } ε f ( x) dx + ε f ( x) dx = ε f ( x) dx + f ( x) dx = µ ε µ ε µ ε µ ε + + ( ) = P x ε µ ε Esempio 4.3. Della V.A. x continua sappiamo solo che ha media 5 e deviazione standard, cosa si può dire sulla probabilità di estrarre un dato compreso tra 3 e 7? ε = σ P( x 5 ) = 0.5 P( x 5 < ) 0.5 = 0.75 si ha necessariamente :

15 Per una VA qualunque quindi, la probabilità di stare in un intervallo centrale di semiampiezza nσ vale (sottostima): f ( x) µ nσ µ µ + nσ x P x µ < n > σ n

16 Significati dei principali momenti: coefficiente di variazione Deviazione standard relativa (Relative standard deviation RSD) CV = σ µ f ( x) f ( x) µ x µ x CV elevato CV basso

17 Distribuzioni notevoli: normale o gaussiana (normal, gaussian) Può essere ottenuta come caso limite della bernoulliana Esempio 4.4 Determinare la probabilità che, in cento lanci di monete, testa compaia almeno 45 volte ma non più di k = 45 ( ) P= B k,00, 0.5 = Il calcolo richiede la valutazione di fattoriali significativi. Notiamo però che: n è grande (00>>) k µ σ è dell'ordine dell'unità ( σ = npq 00 Dobbiamo valutare probabilità bernoulliane per valori centrali della distribuzione con n elevato = = 5

18 Sfruttiamo proprietà asintotiche per evitare il calcolo di fattoriali: Teorema di DeMoivre-Laplace (basato sulla formula di Stirling) se npq B( k, n, >> p) = e n p k k np k npq q n k πnpq ( k np) npq Usando questa formula nel caso precedente si ottiene: e npq P = = 60 5 k = 45 k np e npq e πnpq max ( k np) npq = = Errore relativo dello 0.03%

19 Estensione al continuo: distribuzione di densità normale o gaussiana Tenendo conto che per la bernoullina: come tentativo definiamo: f ( x) = N( x, µσ, ) = e πσ Da cui si ricava immediatamente che: = = µ np e σ x µ σ npq e si verifica che, effettivamente, anche per la V.A. gaussiana continua x appena definita con distribuzione N( x, µσ, ) valgono le relazioni: ( ) ( ) = µ ; E X µ = σ E X ( x, µ, σ ) > 0 e N( x, µ, σ ) dx + x, µ R e σ R N =

20 N( x, µσ, ) Proprietà della Gaussiana Skewness: Kurtosis: γ γ µ 3 = = 0 3 σ = µ = σ µ = m= M x Effetto della modifica di µ

21 Effetto della modifica di σ Proprietà della Gaussiana Consideriamo un dimezzamento

22 Proprietà della Gaussiana Le gaussiane sono quindi tutte uguali a meno di una traslazione e di una dilatazione-contrazione combinata in x y N( z,0,) Curva normale standard: x* = z = x µ σ z

23 Proprietà della Gaussiana La gaussiana cumulata (standard) è data da: u µ x µ z σ σ x F ( x) = e du = e dz πσ π F( z) ( ) ( ) n F n F n z

24 Gaussiana vs Bernoulliana / n= 00; p= 0.5 B( k,00, 0.5) (,, npq ) N k np

25 Gaussiana vs Bernoulliana / n = 0; p= 0.5 B( k,00, 0.5) (,, npq ) N k np

26 Gaussiana vs Poissoniana / µ = 8 Pois ( k, µ ) N( k, µ, µ )

27 Gaussiana vs Poissoniana / µ = 3 Pois ( k, µ ) N( k, µ, µ )

28 Esempio 4.5 La tensione di snervamento di un acciaio è distribuita gaussianamente con parametri: µ = 50 MPa; σ = 0MPa ) Determinare la tensione massima applicabile perché la probabilità di snervamento sia inferiore a % ) Valutare la percentuale di provini che snervano se si applica una tensione di 75MPa z F( z ) = 0.0 ( ) = F 0.0 =.36 x µ =.36 x = 04MPa σ z = = ( ) F z = 0.894

29 Definizioni affidabilistiche variabile aleatoria continua: tempo di guasto Affidabilità (reliability) f ( t) Densità di probabilità di guasto failure probability density function ( ) ( ) P t < t < t = f t dt t t t t t Tempo di vita o di funzionamento operative life

30 t Reliability: the probability that a device will perform its intended function during a specified period of time under stated conditions ( ) = ( ) ( ) g > = g g = ( ) R t P t t f t dt F t t F( t) R( t) Probabilità di non guasto F( t) Probabilità di guasto R( t) Affidabilità al tempo t t

31 Tasso di guasto (hazard rate) Consideriamo una popolazione di N 0 elementi che al tempo t sono N, al tempo t, dopo un intervallo di tempo t, si sono ridotti a N, si definisce tasso di guasto medio nell intervallo t - t il valore: N N N N ht (, t+ t) = = t N t riduzione relativa media di componenti nell unità di tempo. Passando al limite: N ht ( ) = λ ( t) = lim t 0 N t Ma, al limite: N = N0 f ( t) t N = N0 R( t) f ( t) ht ( ) = λ ( t) = R( t)

32 Definizioni affidabilistiche MTTF mean time to failure f ( t) µ = MTTF t Esercizio 4.. Un componente ha una distribuzione di tempo di guasto gaussiana con MTTF=30h e deviazione standard 5h. Considerando di averne posti in esercizio contemporaneamente 500, determinare: ) dopo quanto tempo (t ) l affidabilità si riduce al 70% (ris. 7.4h) ) Il tasso di guasto al tempo t (ris h ) 3) Quanti elementi si presume si rompano nei 5 minuti che seguono t (ris. 4.5)

33 A B C D E F G media sd Prob. Guasaff N elem t=ore per affidab al 70% funzione INV.NORM(C;A;B) 5 6 Tasso di guasto al tempo t FUNZIONE DISTRIB.NORM(A4;A;B;FALSO)/D 8 9 Elementi che si rompono nei 5 minuti che seguono t funzione A7*5/60*E*D

34 ht ( ) 6 Tasso di guasto per la gaussiana ( ) λ ( t) ht = = t e e ( t µ ) σ ( u µ ) σ µ = σ 8 du σ µ = 4 σ µ = t / µ

35 Tasso di guasto per la gaussiana Andamento prima del MTTF ht ( ) σ µ = 8 σ µ = σ µ = t / µ