Insegnamento di Complementi di idrologia. Esercitazione n. 3

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1 Insegnamento di Complementi di idrologia Esercitazione n. 3 Si vogliono determinare le relazioni statistiche che legano i parametri t p (ascissa del picco) e k 1 (costante di tempo dell'esponenziale decrescente che approssima il ramo discendente) dell'idrogramma unitario istantaneo di Nash, utilizzando i dati, relativi a 26 bacini della Pennsylvania, USA, pubblicati da McSparran. Per le elaborazioni è disponibile un programma di calcolo automatico che esegue l'analisi della regressione con il metodo della forward regression analysis. Effettuare le seguenti elaborazioni: 1) Individuare le relazioni cercate con il metodo della regressione lineare, adottando tre diverse procedure: forward regression analysis, backward regression analysis e stepwise regression analysis. 2) Individuare le relazioni cercate con il metodo della regressione logaritmica (applicando cioè la regressione lineare ai logaritmi delle variabili), adottando tre diverse procedure: forward regression analysis, backward regression analysis e stepwise regression analysis. 3) Confrontare i risultati e scegliere le relazioni migliori. 4) Prendere in considerazione la possibilità di scartare le variabili di cui è meno probabile conoscere il valore nelle applicazioni (come la densità di drenaggio, oppure la percentuale dell'area forestata del bacino) e individuare le relazioni monomie corrispondenti. Confrontare i risultati con quelli già trovati.

2 Piccoli bacini della Pennsylvania: dati pubblicati da McSparran t p k 1 A L S D d F W a Elenco delle variabili t p k 1 A L S D d F W a tempo di picco dell'iuh, in ore costante di tempo ottenuta dall'analisi della curva di recessione, in ore area del bacino, in miglia quadrate lunghezza dell'asta principale del bacino, in miglia pendenza media dell'asta fluviale principale, in piedi al migliaio di piedi densità di drenaggio, in miglia al miglio quadrato fattore di forma del bacino, assunto uguale a L/ 4A/π, cioè all'inverso del rapporto di allungamento percentuale dell'area del bacino coperta da foreste

3 Elaborazione I dati sono contenuti nel file DATI. Si sceglie un livello di rischio del 20% (che è decisamente alto) e si effettuano analisi di regressione sia lineare sia logaritmica, utilizzando il programma FORWARD. Il programma FORWARD è espressamente previsto per effettuare l'analisi di regressione nota con il nome di forward regression analysis; però si può adoperare anche per effettuare le analisi note come backward regression analysis e stepwise regression analysis, ripetendo più volte l'esecuzione del programma e scegliendo a ogni passo di calcolo le variabili in accordo con il tipo di procedura adottato. Analisi con regressione lineare In primo luogo si effettua l'analisi adottando il procedimento forward, per cui il programma è predisposto, assegnando come limite all'ingresso di nuove variabili il livello di rischio prefissato 0,20. Considerando come variabile dipendente la variabile t p (ascissa del picco dell'idrogramma unitario istantaneo), al livello di rischio assegnato risultano significative la variabile L (lunghezza dell'asta principale) ed F (fattore di forma). Il coefficiente di correlazione lineare multipla (corrispondente alle stime indistorte delle varianze dell'errore e della variabile dipendente), che nel caso della regressione lineare coincide con l'indice di regressione, risulta uguale a 0,874. Lo scarto quadratico medio dell'errore di regressione (corrispondente alla stima indistorta della varianza) risulta uguale a 1,997 h. Considerando come variabile dipendente la variabile k 1 (costante di tempo dell'esponenziale che approssima la coda dell'idrogramma unitario istantaneo) al livello di rischio assegnato risulta significativa la sola variabile A (area). Il coefficiente di correlazione lineare multipla risulta uguale a 0,745. Lo scarto quadratico medio dell'errore di regressione risulta uguale a 2,959 h. In secondo luogo si adotta il metodo backward. Per effettuare l'analisi con il metodo backward si adopera ancora lo stesso programma FORWARD, ma senza porre alcun limite all'ingresso di nuove variabili. In questo modo l'ultimo passo di calcolo include nella regressione tutte le variabili indipendenti. Considerando come variabile dipendente t p, la variabile indipendente che presenta il livello di rischio maggiore (0,784) tra quelle con un livello di rischio superiore a 0,20 risulta essere W a (percentuale dell'area coperta da foreste). Per escludere la variabile W a non è necessario effettuare un nuovo calcolo, perché la variabile da escludere è anche l'ultima inserita dal programma. Basta quindi prendere in esame il risultato del passo di calcolo precedente. Al passo precedente la variabile che presenta il maggior livello di rischio (0,506) è l'area A. Anche l'area A è l'ultima variabile inserita, quindi per escluderla basta prendere in considerazione il passo precedente. Procedendo in questo modo si escludono successivamente le variabili D d

4 (densità di drenaggio, con livello di rischio 0,521), ed S (pendenza, con livello di rischio 0,300). Il metodo backward produce dunque lo stesso risultato del metodo forward. Considerando come variabile dipendente la variabile k 1, la variabile indipendente che si esclude per prima è ancora W a (percentuale dell'area coperta da foreste). Si escludono quindi, nell'ordine, le variabili F (fattore di forma), L (lunghezza dell'asta principale), D d (densità di drenaggio) ed S (pendenza media dell'asta fluviale), ottenendo ancora, come per la variabile t p, lo stesso risultato prodotto dalla regressione forward. E` importante sottolineare che non sempre capita, come nei due casi appena visti, che l'applicazione del metodo backward consista semplicemente nel ripercorrere a ritroso i passi di calcolo compiuti quando si adotta il metodo forward senza imporre alcuna limitazione all'ingresso di nuove variabili. Qualche volta la variabile con il livello di rischio più alto non è quella entrata nell'ultimo passo, e quindi per escluderla occorre una nuova esecuzione del programma FORWARD. In terzo luogo si adotta il metodo stepwise. Per effettuate l'analisi con il metodo stepwise si adopera ancora lo stesso programma FORWARD, semplicemente controllando che l'inserimento di ogni nuova variabile non faccia superare a nessuna di quelle già inserite il livello di rischio 0,20. Considerando come variabile dipendente t p, dopo l'inserimento della seconda variabile (F, fattore di forma), che è anche l'ultima, il livello di rischio della variabile introdotta per prima (L, lunghezza dell'asta principale) non supera il valore 0,20 (resta anzi uguale a zero). Dunque il metodo stepwise produce lo stesso risultato del metodo forward. Considerando come variabile dipendente t p, dopo l'inserimento della variabile A non risulta più possibile inserire altre variabili. Quindi il risultato del metodo stepwise non può che coincidere con quello del metodo forward. E` importante sottolineare che non sempre l'inserimento di nuove variabili avviene senza che il livello di rischio delle variabili già inserite superi il valore massimo prefissato. Qualche volta succede che una variabile già inserita debba essere esclusa. Analisi con regressione logaritmica Si considerano i logaritmi (naturali, nel programma FORWARD) delle variabili, dipendenti e indipendenti. (La differenza tra regressione lineare e regressione logaritmica consiste nel sostituire alla variabili originarie i loro logaritmi. Alla relazione lineare tra i logaritmi della variabile dipendente e di quelle indipendenti corrisponde così una relazione monomia tra le variabili originarie. L'errore però è calcolato anche come differenza tra valore osservato e valore stimato della variabile originaria: si possono così confrontare direttamente i risultati delle regressioni logaritmiche con quelli delle regressioni lineari.) Si effettua l'analisi adottando in primo luogo il procedimento forward, per cui il programma è predisposto, assegnando come limite all'ingresso di nuove variabili il livello di rischio 0,20.

5 Considerando come variabile dipendente la variabile t p (ascissa del picco dell'idrogramma unitario istantaneo), al livello di rischio assegnato risultano significative le variabili S (pendenza media dell'asta principale), W a (percentuale dell'area coperta da foreste) e D d (densità di drenaggio). L'indice di regressione (corrispondente alle stime indistorte delle varianze dell'errore e della variabile dipendente originaria) risulta uguale a 0,932. Lo scarto quadratico medio dell'errore di regressione (corrispondente alla stima indistorta della varianza dell'errore relativo alla variabile originaria) risulta uguale a 1,489 h. Considerando come variabile dipendente la variabile k 1 (costante di tempo dell'esponenziale che approssima la coda dell'idrogramma unitario istantaneo), al livello di rischio assegnato risultano significative le variabili A (area), D d (densità di drenaggi), S (pendenza media dell'asta principale) e W a (percentuale dell'area coperta da foreste). L'indice di regressione risulta uguale a 0,677. Lo scarto quadratico medio dell'errore di regressione (ricavato dalla stima indistorta della varianza dell'errore relativo alla variabile originaria) risulta uguale a 3,266 h. In secondo luogo si adotta il metodo backward. Considerando come variabile dipendente la variabile t p si ottiene lo stesso risultato del metodo forward. Considerando come variabile dipendente la variabile k 1 (costante di tempo dell'esponenziale che approssima la coda dell'idrogramma unitario istantaneo) e inserendo nella regressione tutte le variabili indipendenti, la variabile con il livello di rischio maggiore (tra tutte quelle con livello di rischio superiore a 0,20) risulta essere l'area A. Quindi si ripete il calcolo, escludendo l'area A. La variabile indipendente con il livello di rischio maggiore (0,253) risulta essere questa volta la lunghezza dell'asta principale L. Si ripete quindi il calcolo, escludendo le variabili A ed L. Ora la variabile indipendente con livello di rischio maggiore (e la sola con livello di rischio superiore a 0,20) risulta essere il fattore di forma F. Si ripete ancora il calcolo, escludendo le variabili A, L ed F. Le restanti variabili S (pendenza media dell'asta principale), W a (percentuale dell'area coperta da foreste) e D d (densità di drenaggio) risultano tutte significative. L'indice di regressione è uguale a 0,655. Lo scarto quadratico medio dell'errore di regressione è uguale a 3,354 h. In terzo luogo si adotta il metodo stepwise. Considerando come variabile dipendente la variabile t p si ottiene lo stesso risultato del metodo forward. Il risultato si ottiene semplicemente esaminando i calcoli effettuati con il metodo forward: quando entra nella regressione una nuova variabile indipendente nessuna di quelle già entrate acquista un livello di rischio superiore al massimo prefissato. Quindi i risultati dei due metodi coincidono. Considerando come variabile dipendente la variabile k 1 (costante di tempo dell'esponenziale che approssima la coda dell'idrogramma unitario istantaneo) si ottiene invece un risultato diverso da quello del metodo forward. Le prime tre variabili che entrano nella regressione sono, nell'ordine, A (area del bacino), D d (densità di drenaggio) ed S (pendenza media dell'asta fluviale). Però quando entra la quarta variabile (W a, percentuale dell'area coperta da foreste), il

6 livello di rischio della variabile A diventa superiore a 0,20. Quindi occorre ripetere il calcolo, escludendo la variabile A. Il risultato è dunque uguale a quello del metodo backward. Scelta delle regressioni migliori Esaminando i risultati ottenuti, le espressioni migliori (alle quali corrispondono i valori più alti dell'indice di regressione) risultano essere: lnt p = 2,4919-0,7973 ln S + 0,2150 ln W a, -0,4234 ln D d, che corrisponde all'espressione monomia t p = 12,08S -0,7973 W a 0,2150D d -0,4234 e k 1 = 2, ,091A. Imposizione delle variabili indipendenti Le variabili A (area) ed S (pendenza media dell'asta principale) sono facili da ricavarsi dalla cartografia. Invece la densità di drenaggio D d dipende dalla scala della carta utilizzata (perché il numero dei corsi d'acqua rappresentati dipende dalla scala) e la percentuale dell'area coperta da foreste è piuttosto laboriosa da determinare. Dunque può essere interessante considerare delle formule che utilizzino, per una scelta effettuata a priori, soltanto l'area A e la pendenza media dell'asta principale S. Come forma comune alle due relazioni si sceglie quella monomia. I coefficienti e gli esponenti delle due monomie si stimano ricorrendo alla regressione logaritmica. Nella regressione logaritmica della variabile t p sulle variabili A ed S entrambe le variabili indipendenti presentano livelli di rischio inferiori a 0,20 (e molto bassi: 0,001 la prima e 0,015 la seconda). Il coefficiente di determinazione è uguale a 0,892. Lo scarto quadratico medio dell'errore di regressione è uguale a 1,854. Anche nella regressione logaritmica della variabile k 1 sulle variabili A ed S entrambe le variabili indipendenti presentano livelli di rischio inferiori a 0,20 (0,017 la prima e 0,195 la seconda). Il coefficiente di determinazione è uguale a 0,742. Lo scarto quadratico medio dell'errore di regressione è uguale a 2,975. Un confronto visivo tra le due formule giudicate migliori (monomia quella che fornisce t p e lineare quella che fornisce k 1 ) e le due formule monomie ricavate imponendo la dipendenza di t p

7 e di k 1 da entrambe (e sole) le variabili A (area) ed S (pendenza media dell'asta principale) si può effettuare riportando in un grafico i punti che hanno come ascissa il valore osservato del parametro (t p oppure k 1 ) e come ordinata il valore stimato, con l'una e con l'altra delle due formule altenative. Il confronto mostra come la differenza di bontà delle due stime (numericamente piccola) sia difficilmente apprezzabile anche a un esame visivo sia per il parametro t p (le cui stime risultano le migliori), sia per il parametro k 1.

8 Regressione Var. dipendente Var. indipendenti η/r s(ε) [h] lineare/forward t p L, F 0,874 1,997 lineare/backward t p L, F 0,874 1,997 lineare/stepwise t p L, F 0,874 1,997 lineare/forward k 1 A 0,745 2,959 lineare/backward k 1 A 0,745 2,959 lineare/stepwise k 1 A 0,745 2,959 log/forward t p S, W a, D d 0,932 1,489 log/backward t p S, W a, D d 0,932 1,489 log/stepwise t p S, W a, D d 0,932 1,489 log/forward k 1 A, D d, S, W a 0,677 3,266 log/backward k 1 S, W a, D d 0,655 3,354 log/stepwise k 1 S, W a, D d 0,655 3,354 logaritmica t p A, S 0,892 1,854 logaritmica k 1 A, S 0,742 2,975 Scelta libera delle variabili indipendenti t p (regressione logaritmica) t p 0,797 0,215 0,423 = 12,08S Wa Dd k 1 (regressione lineare) k = 2,94 5, 09A 1 + Variabili indipendenti imposte, regressione logaritmica imposta t p t p 0,208 0,447 = 5,52 A S k 1 k ,297 0,354 = 3, A S

9 20 15 t p stimato [h] 10 t p = f(a, S) t p = f(s, W a, D d ) t p osservato [h]

10 15 k 1 stimato [h] 10 5 k 1 = f(a, S) k 1 = f(a) k 1 osservato [h]