I modelli lineari generalizzati per la tariffazione nel ramo RCA: applicazione

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1 I modelli lineari generalizzati per la tariffazione nel ramo RCA: applicazione Giuseppina Bozzo Giuseppina Bozzo

2 Considerazioni preliminari La costruzione di un GLM è preceduta da alcune importanti fasi: Raggruppamento Territoriale: negli ultimi anni le imprese di assicurazione utilizzano per ogni CAP un coefficiente tariffario. Questo comporta una sovra parametrizzazione del modello, con conseguenti problemi di significatività dei parametri e conseguente AIC alto dato l elevato numero di parametri. Inoltre, è naturale pensare che zone vicine siano similmente rischiose. Per tale raggruppamento, quindi, utilizzeremo le tecniche di cluster analysis, sfruttando delle variabili rappresentative del rischio, ma anche variabili volte a tener conto della vicinanza territoriale. Selezione delle variabili: i modelli di regressione sono spesso utilizzati in situazioni in cui ci sono numerose variabili esplicative potenzialmente influenti sulla valutazione della variabile risposta. La costruzione di un modello con molte variabili comporta l introduzione di molti parametri, mentre una desiderabile proprietà di ogni modello statistico è quella della parsimonia nel numero dei parametri. I procedimenti di selezione delle variabili hanno l obiettivo di determinare un sottoinsieme di variabili esplicative significative, in modo che il modello stimato realizzi un buon adattamento ai valori osservati, ma che dipenda da un numero relativamente basso di parametri.

3 Descrizione del database Il database è costituito da record: Le variabili considerate sono: PROVINCIA CLASSE BONUS-MALUS ETA DEL VEICOLO ETA DEL CONDUCENTE Le variabili numeriche che saranno modellate con i GLM: numero dei sinistri NO CARD costo NO CARD MIN MAX MEDIA TOTALE NUMERO SX 0 3 0, COSTO SX Ricordiamo che La CARD, ovvero la Convenzione tra gli Assicuratori per il Risarcimento Diretto, è la convenzione tra le compagnie assicuratrici con lo scopo di regolamentare i rapporti tra esse nell'ambito dell RC Auto. Consente al proprietario dell'auto che subisce un danno, causato da un incidente stradale, di rivolgersi direttamente alla propria agenzia per ottenere il rimborso dei danni. Vi sarà poi una compensazione tra le Imprese.

4 Analisi territoriali e cluster analysis La cluster analysis è una tecnica di analisi multivariata attraverso la quale è possibile raggruppare le unità statistiche, in modo da minimizzare la lontananza logica interna a ciascun gruppo e di massimizzare quella tra i gruppi. La lontananza logica viene quantificata per mezzo di misure di similarità/dissimilarità definite tra le unità statistiche. La regola in base alla quale si formano i gruppi dipende dal tipo di dati. Infatti, per dati quantitativi si hanno misure di distanza, mentre per dati qualitativi si hanno misure di associazione. DISTANZA EUCLIDEA Le tecniche di cluster analysis possono essere gerarchiche e non gerarchiche. Queste a sua volta possono essere di tipo aggregativo o divisivo. L algoritmo che utilizzeremo per creare i gruppi è l algoritmo di Ward, un algoritmo di tipo gerarchico aggregativo, che mira a minimizzare la varianza all interno dei gruppi. Per tale motivo, questo algoritmo può essere utilizzato solo per variabili quantitative.

5 I cluster ottenuti Nel database sono presenti le 110 provincie italiane. Si è scelto di suddividerle in gruppi sulla base di tre variabili: Latitudine Longitudine VICINANZA TERRITORIALE Quota danni media per provincia, definita come il rapporto tra il costo e il numero dei veicoli. I cluster vengono creati in modo iterativo con l algoritmo di Ward. Tra i diversi raggruppamenti ottenuti, è necessario scegliere quello più appropriato. Per fare fronte a questa delicata scelta, si utilizza un criterio di arresto noto come criterio di Elbow. In particolare, si stabilisce una «soglia di aumento» della varianza spiegata (ev) e si sceglie il numero di cluster che garantisce una differenza sulla varianza spiegata inferiore alla soglia di aumento.

6 I risultati del test di Elbow ll numero di classi derivante dal test di Elbow è pari a 11 e corrisponde al numero di classi, che comporta un incremento della varianza spiegata inferiore a 0,01 k ev differenze , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,

7 Il dendogramma AVELLINO, BENEVENTO, CAMPOBASSO, CESENA, ISERNIA, NAPOLI, SALERNO

8 Il modello per il numero sinistri e la selezione delle variabili Ricordiamo che, per la variabile risposta «numero dei sinistri», il relativo GLM avrà le seguenti caratteristiche: Regressori: PROVINCIA, CLASSE BONUS-MALUS, ETA DEL VEICOLO, ETA DEL CONDUCENTE. Distribuzione della variabile risposta: Poisson Link: Logaritmo Offset: Logaritmo delle esposizioni Passando alla fase di selezione delle variabili, solitamente si utilizzano dei procedimenti automatici di selezione. Quest ultimi hanno una duplice funzione: Riducono il numero di modelli da analizzare Guidano nella selezione I più diffusi sono procedimenti automatici iterativi di tipo forward, backward e stepwise e si basano sul confronto tra modelli, uno annidato nell'altro. Questi modelli sono guidati dall Akaike Information Criterion e dal p-value.

9 Procedimento forward Si parte dal modello con sola intercetta e si aggiunge una variabile ad ogni passo, partendo dalla più significativa. Le variabili vengono aggiunte tramite l AIC: Si parte dal modello con sola intercetta e si calcola il primo AIC, che chiameremo AIC0 Si fanno girare 4 modelli di tipo intercetta+variabile1 (un modello per ognuna delle 4 variabili da scegliere) e si vede quello che tra questi genera l AIC minimo. Indichiamo tale valore con AIC1 Successivamente, si guarda alla Differenza tra i due AIC, scegliendo come soglia il valore 5 In particolare, se la differenza AIC0 AIC1> 5 allora si procede con il passo 2, inserendo una nuova variabile tra quelle rimanenti e si fanno girare 3 modelli del tipo intercetta+variabile1+variabile2, altrimenti mi fermo alle variabili selezionate fino a quel momento

10 Procedimento backward e procedimento stepwise Il procedimento backward è il procedimento opposto rispetto al «forward». Infatti, in questo caso, si parte dal modello completo con tutte le variabili inserite. Successivamente, al primo passo, si toglie dal modello la variabile meno significativa, ovvero quella tra le non significative (con p-value α) e alla quale corrisponde il p- value più elevato Anche in questo tipo di procedimento, è sempre doveroso guardare all AIC del modello, o meglio alla differenza di AIC sui modelli che si vanno a creare. Infine, il procedimento stepwise, combina il procedimento forward con il procedimento backward. In un generico passo, quello che si fa è considerare un passo forward, quindi inserire una nuova variabile, e un passo backward per verificare se la variabile appena inserita renda superflua qualcuna delle variabili precedentemente inserite nel modello. Il procedimento termina quando si trova un modello uguale ad uno già ottenuto.

11 Il modello GLM Mediante il software R, è possibile creare il modello utilizzando la seguente sintassi Effettuiamo in modo automatico la procedura stepwise

12 La variabile Bonus-Malus La variabile Bonus-Malus è una variabile particolare, perché ne conosciamo l andamento «a priori». Essa infatti, deve essere crescente al crescere delle classi Ho a disposizione due approcci: Scelgo dei parametri fissati dall impresa e li inserisco nel modello Effettuo un variate, ovvero trasformo la variabile da qualitativa a quantitativa e inserisco un polinomio con andamento crescente

13 Variate per la variabile Bonus-Malus FASE 1 FASE 2 FASE 3

14 Modello finale AIC(FINALE)=12610

15 Il predittore lineare Ricordiamo le ipotesi alla base dei GLM OFFSET Per ogni combinazione di variabili è possibile calcolare il predittore lineare e quindi E N, ovvero il numero atteso di sinistri VALORI OTTENUTI DALLA VARIATE POLINOMIALE

16 Modello per il costo medio Ricordiamo le scelte fatte per la costruzione del glm per il costo medio dei sinistri: VARIABILE RISPOSTA: costo medio dei sinistri VARIABILI ESPLICATIVE: province(cluster), classi bonusmalus, età del veicolo, età del conducente DISTRIBUZIONE DELLA VARIABILE RISPOSTA: Gamma FUNZIONE LINK: logaritmo PESI: numero dei sinistri

17 Stepwise regression

18 Variate per la variabile Bonus-Malus FASE 1 FASE 2 FASE 3 FASE 1

19 Modello finale AIC(FINALE)=61333