Principles of Constraint Programming Krzysztof R. Apt. Chapter 4 Alcuni risolutori completi

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1 Principles of Constraint Programming Krzysztof R. Apt Chapter 4 Alcuni risolutori completi

2 Obbiettivi Introdurre un semplice framework prooftheoretic. Usarlo per definire risolutori completi. Discutere l algoritmo di unificazione di Martelli e Montanari per risolvere le equazioni di termini. Discutre gli algoritmi di eliminazione di Gauss Jordan e di eliminazione Gaussiana per risolvere equazioni lineari sui reali. 1

3 Framework Proof Theoretic Regole che trasformano CSP Una regola C ; DE C ; DE φ ψ preserva l equivalenza se φ e ψ sono equivalenti. Tutte le regole considerate preservano l equivalenza. 2

4 Tipi di regole Regole di riduzione dei domini DE := x 1 D 1,...,x n D n, DE := x 1 D 1,...,x n D n, per i [1..n] D i D i, C : restrizione di tutti i vincoli in C ai domini D 1,...,D n. Regole di trasformazione Non regole di riduzione dei domini, C, DE estende DE. 3

5 Esempi: regole di riduzione dei domini LINEAR DISEQUALITY x < y ; x [l x..h x ],y [l y..h y ] x < y ; x [l x..h x],y [l y..h y ] dove h x = min(h x,h y 1), l y = max(l y,l x + 1. EQUALITY x = y ; x D x,y D y x = y ; x D x D y,y D x D y DISEQUALITY x y ; x D,y = a ; x D {a},y = a (l espressione y = a sta per y {a}.) 4

6 Esempi: regole di trasformazione DISEQUALITY TRANSFORMATION s t ; DE x t, x = s ; DE,x Z dove s non e una variabile, DE include tutte le variabili presenti in s e in t, x non appare in DE. VARIABLE ELIMINATION C ; DE,x = a C{x/a} ; DE,x = a dove x appare in C. C{x/a}: vincoli ottenuti da C sostituendo ogni occorrenza di x con a. Un istanza: 3xy 2 + 5xy 5yz 6 ; x [0..100],y = 2, z [0..100] 22x 10z 6 ; x [0..100],y = 2,z [0..100] 5

7 Applicazioni di regole Applicazione di una regola (informalmente): rimpiazza in un CSP la parte che e uguale (matches) la premessa con la conclusione. Applicazione rilevante di una regola (informalmente): il risultato differisce dal CSP iniziale. Un CSP P e chiuso sotto le applicazioni di R se R non puo essere applicata a P o nessuna applicazione di R a P e rilevante. 6

8 CSP risolti e falliti (per ricordare) Un vincolo e risolto se e uguale al prodotto Cartesiano dei domini delle sue variabili. Un CSP e risolto se tutti i suoi vincoli sono risolti. Un CSP e fallito se o contiene il vincolo falso o alcuni dei suoi domini o vincoli sono vuoti. 7

9 Derivazioni Dato: un insieme finito di regole di prova. Derivazione: una sequenza di CSP tale che ogni CSP e ottenuto dal precedente con una applicazione di una regola. Una derivazione finita e detta con successo: se l ultimo elemento e il primo CSP risolto in questa derivazione, fallita: se l ultimo elemento e il primo CSP fallito in questa derivazione, stabilizzante: se l ultimo elemento e il primo CSP chiuso sotto le applicazioni delle regole. 8

10 Prendiamo EQUALITY Derivazione: esempio x = y ; x D x,y D y x = y ; x D x D y,y D x D y DISEQUALITY e consideriamo il CSP x = y, y z,z u; x y ; x D,y = a ; x D {a},y = a x {a,b,c},y {a,b,d}, z {a,b}, u = b. 9

11 Derivazione: esempio x = y, y z,z u; x {a,b,c},y {a,b,d}, z {a,b}, u = b. Applichiamo la regola EQUALITY: x = y, y z, z u ; x {a,b}, y {a,b}, z {a, b}, u = b. Applichiamo la regola DISEQUALITY a z u x = y, y z, z u ; x {a,b}, y {a,b}, z = a,u = b. Applichiamo la regola DISEQUALITY a y z x = y, y z, z u ; x {a,b}, y = b,z = a,u = b. Applichiamo la regola EQUALITY x = y, y z, z u ; x = b, y = b,z = a,u = b. L ultimo CSP e risolto: la derivazione ha successo. 10

12 Equazioni di termini Alfabeto Consiste di variabili, simboli di funzione, ognuno con arieta, parentesi: ( and ), virgola, that is:,. Termini Definiti induttivamente come segue. una variabile e un termine, se f e un simbolo di funzione n-ario e t 1,...,t n sono termini, allora f(t 1,...,t n ) e un termine. Nota: ogni costante e un termine. 11

13 Sostituzioni Mappe finite da variabili a termini. Ad ogni variabile x viene assegnato un termine diverso da x. Scritto come dove {x 1 /t 1,...,x n /t n } x 1,...,x n sono variabili diverse, t 1,...,t n sono termini, per i [1,n], x i t i. 12

14 Applicare le sostituzioni Dati: un termine s, una sostituzione θ. sθ: risultato di applicare θ ad s. Rimpiazzare simultaneamente ogni variabile in s con il termine corrispondente da θ. Esempio Il linguaggio delle espressioni aritmetiche in forma prefissa. s := +( (x, 7), (4,y)), θ := {x/0,y/ + (z, 2)} Allora sθ = +( (0, 7), (4, +(z, 2))). 13

15 Comporre le sostituzioni Date: sostituzioni θ e η. θη: composizione di θ e η. (θη)(x) := (xθ)η. Nota: θη e una sostituzione. Esempio Prendiamo θ := {u/z,x/3,y/f(x, 1)}, η := {x/4,z/u}. Allora θη = {x/3,y/f(4, 1),z/u}. θ e piu generale di τ se per una qualche sostituzione η τ = θη. Esempio Prendiamo θ := {y/g(x,a),z/b}, τ := {x/c,y/g(c,a),z/b}. θ e piu generale di τ perche {x/c, y/g(c, a), z/b} = {y/g(x, a), z/b}{x/c}. 14

16 Unificazione θ e un unificatore di s e t se sθ tθ. θ e un unificatore piu generale (mgu) di s e t se θ e un unificatore di s e t, θ e piu generale di tutti gli unificatori di s e t. Esempio Prendiamo f(g(x, a), z) e f(y, b). Allora {x/c,y/g(c,a),z/b} e uno dei loro unificatori. {y/g(x,a),z/b} e un mgu di f(g(x,a),z) e f(y,b). 15

17 Insiemi di equazioni di termini θ e un unificatore di un insieme di equazioni di termini {s 1 = t 1,...,s n = t n } se θ e un unificatore di s i e t i per i [1..n]. θ se un mgu di E se θ e un unificatore di E, θ e piu generale di tutti gli unificatori di E. Due insiemi di equazioni sono equivalenti se hanno lo stesso insieme di unificatori. 16

18 Relazione con i CSP Domini delle variabili: T, l insieme di tutti i termini nell alfabeto considerato. s = t con variabili x 1,...,x n rappresenta il vincolo {(x 1 η,...,x n η) η unificatore di s e t}. {s 1 = t 1,...,s k = t k } con variabili x 1,...,x n rappresenta s 1 = t 1,...,s k = t k ; x 1 T,...,x n T. Nota E: insieme finito di equazioni di termini con variabili x 1,...,x n. Allora Sol( E ; x 1 T,...,x n T ) = {(x 1 η,...,x n η) η unificatore di E}. 17

19 Sistema di prova UNIF DECOMPOSITION f(s 1,...,s n ) = f(t 1,...,t n ) s 1 = t 1,...,s n = t n FAILURE 1 f(s 1,...,s n ) = g(t 1,...,t m ) dove f g, DELETION x = x 18

20 Sistema di prova UNIF TRANSPOSITION t = x x = t dove t non e una variabile, SUBSTITUTION x = t, E x = t, E{x/t} dove x Var(t) e x var(e), FAILURE 2 x = t dove x Var(t) e x t. Lemma Ogni regola di UNIF preserva l equivalen (rispetto alla sequenza di variabili presenti nella premessa della regola). 19

21 Una derivazione in UNIF Le equazioni selezionate sono sottolineate. Prendiamo E := {k(z,f(x,b,z)) = k(h(x),f(g(a),y,z))}. Usando la regola DECOMPOSITION otteniamo {z = h(x),f(x,b,z) = f(g(a),y,z)}. Usando la regola DECOMPOSITION di nuovo otteniamo {z = h(x),x = g(a),b = y,z = z}. Usando la regola TRANSPOSITION otteniamo {z = h(x),x = g(a),y = b,z = z}. Usando la regola DELETION otteniamo {z = h(x),x = g(a),y = b}. Usando la regola SUBSTITUTION otteniamo {z = h(g(a)),x = g(a),y = b}. 20

22 Nessuna regola si puo applicare a questo stadio. {z/h(g(a)), x/g(a), y/b} e un mgu di E. 21

23 Algoritmo di Martelli e Montanari Dati: un CSP P := C ; DE una regola C ; DE R := C ; DE C ; DE e il risultato di applicare R a P. Questa applicazione della regola R e detta globale. Algoritmo di Martelli e Montanari Regole di prova UNIF. Tutte le applicazioni della regola SUBSTI- TUTION sono globali. 22

24 Correttezza Teorema Dato: un insieme finito di equazioni di termini E. L algoritmo Martelli Montanari termina sempre. Se E ha un unificatore, allora ogni esecuzione dell algoritmo termina con un insieme di equazioni che determina un mgu di E. Altrimenti, ogni esecuzione termina con un insieme che contiene il vincolo falso. 23

25 Prova della terminazione Consideriamo l ordine lessicografico 3 su N 3. (m 1,m 2,m 3 ) 3 (n 1,n 2,n 3 )iff m 1 < n 1 or m 1 = n 1 m 2 < n 2 or m 1 = n 1 m 2 = n 2 m 3 < n 3. Una variabile x e risolta in E se per qualche termine t, x = t E e questa e la sola occorrenza di x in E. uns(e) # di variabili non-risolte in E, lfun(e) # totale di occorrenze di simboli di funzione nelle parti sinistre di equazioni in E, card(e) # di equazioni in E. Ogni applicazione di una regola riduce la tripla (uns(e), lf un(e), card(e)) nell ordinamento lessicografico 3. Per la regola SUBSTITUTION vale solo per applicazioni globali. 24

26 Equazioni lineari sui reali Alfabeto ogni numero reale e una costante, per ogni numero reale r, simbolo di funzione unario r, simbolo di funzione binario +, (notazione infissa). Espressioni lineari ed equazioni Espressioni lineari sui reali: un termine in questo alfabeto. Equazione lineare sui reali: s = t, s, t espressioni lineari. 25

27 Forme normali Assumiamo un ordine sulle variabili. Espressione lineare in forma normale: Σ n i=1a i x i + r, dove n 0, x 1,...,x n sono ordinati rispetto a. Equazione lineare in forma normale: Σ n i=1a i x i = r, dove n 0, x 1,...,x n sono ordinati rispetto a. Equazione lineare in forma pivot: x = t se x Var(t) e t e in forma normale. Ogni equazione lineare puo essere riscritta (normalizzata) in un unica equazione lineare in formal normale. 26

28 Sostituzioni Sostituzione: mapping finito da variabili a espressioni lineari in forma normale. Ad ogni variabile x viene assegnata un espressione lineare diversa da x. Applicazione di una sostituzione ad un espressione lineare: come prima. Date: sostituzioni θ e γ. θγ: composizione di θ e γ. Unicamente determinate da η(x) := norm((xθ)γ). θ e un unificatore di s = t se sθ = tθ normalizza a 0 = 0. mgu: definito come prima. 27

29 Forme pivot Tre tipi di forme normali: 1. 0 = 0, 2. 0 = r dove r e un reale non-zero, 3. Σ n i=1a i x i = r, dove n > 0. Forme pivot di equazioni lineari Ogni equazione lineare e normalizza ad una forma normale. Se e di tipo 1 or 2, non ha una forma pivot. Se e di tipo 3, allora ogni equazione x j = Σ i [1..j 1] [j+1..n] a i a j x i + r a j e una forma pivot di e. 28

30 Sistema di prova LIN norm(s): forma normale di s, stand(s = t) norm(s) = norm(t). DELETION s = v se s = v normalizza a 0 = 0, FAILURE s = v se s = v normalizza a 0 = r, r e un reale non-zero, SUBSTITUTION s = v, E x = t, stand(e{x/t}) dove x = t e una forma pivot di s = v. 29

31 Eliminazione di Gauss Jordan Algoritmo per eliminazione di Gauss Jordan Elimination regole di prova LIN. Tutte le applicazioni della regola SUBSTI- TUTION globali e x Var(E). Teorema Dato: un insieme finito di equazioni lineari E. L algoritmo Gauss Jordan Elimination termina sempre. Se E ha una soluzione, ogni esecuzione dell algoritmo termina con un insieme di equazioni lineari che determina un mgu di E. Altrimenti, ogni esecuzione termina con un insieme che contiene il vincolo falso. 30

32 Eliminazione Gaussiana Fase di sostituzione in avanti: Ripetutament, prendiamo la prima equazione non ancora considerata dalla sinistra. Regola DELETION applicabile: cancelliamo l equazione e consideriamo la prossima equazione. FAILURE applicabile: terminazione con fallimento. Regola SUBSTITUTION applicabile: applichiamola prendendo come E l insieme di equazioni alla destra dell equazione corrente. Fase di sostituzione all indietro: Ripetutamente, prendiamo la prima equazione non considerata alla destra. Applichiamo la regola SUBSTITUTION prendendo come E l insieme delle equazioni alla sinistra dell equazione corrente. 31

33 Gaussian Elimination: Correttezza Teorema Dato: un insieme finito di equazioni lineari E. L algoritmo Gaussian Elimination termina sempre. Se E ha una soluzione, ogni esecuzione termina con un insieme di equazioni lineari che determina un mgu di E. Altrimenti, ogni esecuzione termina con un insieme che contiene il vincolo falso. 32

34 Obbiettivi Introdurre un formalismo per i sistemi di prova. Usarlo per definire risolutori completi. Algoritmo di unificazione di Martelli-Montanari per risolvere euqazioni di termini. Algoritmi Gauss Jordan Elimination e Gaussian Elimination per risilvere equazioni lineari sui reali. 33