Z f(x)cosx dx =1. Esercizio 3. Data una funzione convessa f : R n mostrino le seguenti uguaglianze e disuguaglianze:

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1 Scuola Normale Superiore, ammissione al IV anno del corso ordinario Prova scritta di Analisi Matematica 1 Settembre 2011 Esercizio 1. Sia f : R! R una funzione surgettiva con la proprietà che per ogni successione non convergente (x n ), la successione (f(x n )) è anch essa non convergente. Si provi che f è continua. Esercizio 2. Sia M l insieme delle funzioni f : [0, ]! R di Borel e integrabili che verificano Z R Si calcoli min f 2 (x) dx. f2m 0 0 f(x) sin x dx = Z 0 f(x)cosx dx =1. Esercizio 3. Data una funzione convessa f : R n mostrino le seguenti uguaglianze e disuguaglianze: (a) rf (x) = sup y6=x (b) (R [f(x) f(y)] + ; x y r) max rf (x) apple max f { x appler} { x appler}! R di classe C 1, si min f per 0 apple r apple R; { x appler} (c) se f è di classe C 2 e esiste >0 tale che D 2 f(y) I per ogni y 2 R n, allora f ha minimo e f(x) min f apple 1 2 rf 2 (x) 8x 2 R n. Esercizio 4. Sia (, F,P) uno spazio di probabilità. Siano A, B R n due insiemi di Borel limitati di misura di Lebesgue positiva e siano X :! A e Y :! B due variabili aleatorie indipendenti aventi leggi assolutamente continue rispetto alla misura di Lebesgue n-dimensionale. Sia D la variabile aleatoria X Y. Si mostri che la legge di D è assolutamente continua rispetto alla misura di Lebesgue e la si esprima in funzione delle leggi di X e Y. Esercizio 5. Siano F, G : R n! R n campi vettoriali di classe C 1. Si mostri con un esempio che la condizione di uguaglianza dei flussi Z Z F A d = G A d per ogni dominio limitato A con frontiera non implica che F G è costante. Si mostri che se F e G sono irrotazionali e limitati allora la condizione di uguaglianza dei flussi è su ciente per concludere che F G è costante. 1

2 Scuola Normale Superiore Ammissione al IV anno del corso ordinario Prova scritta di Algebra e Geometria per matematici 2 settembre 2011 Attenzione: questa prova consiste di sei esercizi, su due pagine. Esercizio 1. In questo esercizio F 3 è il campo con tre elementi. Nella soluzione dell esercizio si può assumere come noto che il gruppo dei commutatori del gruppo alterno A 4 è il sottogruppo di Klein V = {id, (12)(34), (13)(24), (14)(23)} A 4. (a) Dimostrate che il gruppo SL 2 (F 3 )/{±I 2 } è isomorfo ad A 4. Cenno di soluzione: Considerate l azione GL 2 (F 3 )sup 1 (F 3 ). (b) Calcolate l ordine del gruppo dei commutatori di SL 2 (F 3 ). Esercizio 2. Sia k un campo. Se V è uno spazio vettoriale di dimensione finita su k e T : V! V è un operatore lineare, indichiamo con [V,T] il k[t]-modulo V,incuit agisce tramite T. (a) Sia V _ il duale di V,esiaT _ : V _! V _ l operatore aggiunto. Fate vedere che [V,T] e[v _,T _ ] sono isomorfi come k[t]-moduli. (b) Dimostrate che esiste una funzione bilineare non-degenere h: V V! k tale che h(tv,v 0 )=h(v, Tv 0 )pertuttiiv, v 0 2 V. Esercizio 3. Sia M n (R) l insieme delle matrici n n a coe dotato della usuale topologia euclidea. Poniamo ={A 2 M n (R) A t = A, A 2 = A} cienti reali, (dove A t è la trasposta di A), dotato della topologia di sottospazio. Inoltre, per ciascun i = 0, 1,..., n sia i = {A 2 rk A = i}. (a) Mostrate che 1 e n 1 sono omeomorfi allo spazio proiettivo reale P n 1 (R). (b) Fate vedere che 1,..., n sono le componenti connesse di. Esercizio 4. Sia S il sottoinsieme di R 3 così definito: e siano S = {(x, y, z) 2 R 3 y 2 +2xz =1}, A = S \{x = z}, B = S \{x = z,y > 0}. (a) Dimostrate che S è il supporto di una superficie regolare chiusa. (b) Fate vedere che A è il supporto di una curva regolare periodica, date una parametrizzazione di a velocità costante e mostrate che è una geodetica di S. (c) Fate vedere che B è il supporto di una curva regolare, date una parametrizzazione (non necessariamente a velocità costante) di e mostrate che una opportuna riparametrizzazione di è una geodetica di S. 1

3 2 Esercizio 5. Siano M 1, M 2 due copie del nastro di Möbius, e i il bordo di M i per i =1, 2. Sia inoltre f 2 un omeomorfismo, e si consideri lo spazio topologico X =(M 1 G M2 )/, dove è la relazione di equivalenza generata da p f(p), p 1. Sia infine G il gruppo fondamentale di X. (a) Si dia una presentazione esplicita di G tramite generatori e relazioni. (b) Si mostri che esiste un omomorfismo surgettivo : G! Z 2 Z 2. (c) Si dica se il rivestimento universale di X è compatto. Esercizio 6. Siano f : C! C, g : C! C funzioni olomorfe tali che Dimostrate che f e g sono polinomi. lim f(g(z)) =+1. z!1

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12 Esercizio 1 Si descriva la struttura dei seguenti composti, specificandone la classe di simmetria e giustificando la risposta laddove necessario. Si dica se tali composti presentano attività ottica. H 2 CO Cu(H 2 O) 6 2+ Co(en) 3 3+ H 2 O 2 Fe(cp) 2 P 4 O 10 H 3 BO 3 dove SF 6 en: etilendiammina cp: ione ciclopentadienile Esercizio 2 Si introducano sinteticamente la teoria del campo cristallino e la teoria dell orbitale molecolare. Si confrontino tali teorie per la descrizione di un complesso ottaedrico. Utilizzando quanto esposto, si spieghi perché, nella serie spettroscopica dei ligandi: I < NH 3 < CO Esercizio 3 Si descrivano brevemente le principali interazioni intermolecolari, fornendo un esempio per ciascun tipo avvalendosi di una coppia di molecole per cui tale interazione è dominante. Esercizio 4 Un campione di massa g contenente CaCl 2 (massa molare g mol 1 )ekcl viene sciolto in una soluzione ottenuta aggiungendo g di NH 4 Cl (massa molare

13 53.49 g mol 1 ) a 50 ml di ammoniaca M. La soluzione viene poi titolata con 20.0 ml di EDTA M. Calcolare: a) La percentuale di CaCl 2 presente nel campione di partenza. b) La concentrazione di ioni Ca 2+ non complessati con EDTA presenti in soluzione al punto equivalente. c) La concentrazione di ioni Ca 2+ non complessati con EDTA presenti in soluzione a seguito di un ulteriore aggiunta di 20 ml di titolante dopo il punto equivalente. Vengono fornite le costanti di equilibrio per le seguenti reazioni (la forma neutra dell EDTA viene indicata con H 4 Y): Ca 2+ +Y 4 * ) CaY 2 K = H 4 Y * ) H + +H 3 Y K 1 = H 3 Y * ) H + +H 2 Y 2 K 2 = H 2 Y 2 * ) H + + HY 3 K 3 = HY 3 * ) H + +Y 4 K 4 = NH + 4 * ) H + + NH 3 K a = Esercizio 5! B avviene per via fotochimica secondo il se- Una reazione di isomerizzazione A guente meccanismo: A k1! h R +R A+R k2! B+R R +R k3! R 2 Ricavare la velocità di scomparsa del reagente A e di formazione del prodotto B in funzione della concentrazione di A, dell intensità luminosa, e delle costanti cinetiche. Proporre almeno una tecnica sperimentale che consenta di seguire l andamento della reazione.