in termini della quale la relativa densità lineare di massa si scrive:

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1 Prova scritta di fondamenti di meccanica razionale del.6.17 Esercizio 1 Nel piano Oxy di una terna solidale Oxyz = Oê 1 ê ê un sistema rigido è composto da un disco D, di raggio a e centro Ca, ), e da un asta rettilinea OA con estremi nell origine e nel punto A, ) vedi figura. Le rispettive densità sono date da: σp ) = µ P C πa P D e: λq) = µ Q O Q OA, a dove µ indica una massa caratteristica. Determinare del sistema: a) la massa e la posizione del baricentro G rispetto ad Oxyz; b) la matrice d inerzia relativa a Oxyz; c) i momenti d inerzia rispetto alla retta Cy ed alla retta r di equazione y = x, x = z; d) una terna principale d inerzia in O ed i relativi momenti principali; e) il momento angolare in O e l energia cinetica relativi alla terna dove O è fisso e la velocità angolare del sistema vale ω = ωê 1 ωê, con ω >. Esercizio Nel piano Oxy di una terna Oxyz = Oê 1 ê ê un asta rettilinea omogenea OA, di massa m e lunghezza a, è libera di ruotare attorno all asse Oz. L estremo A è incernierato ad un punto del bordo di un anello circolare omogeneo γ, di centro C, raggio a e massa m. L estremo B del diametro AB di γ scorre lungo l asse verticale Oy ed è connesso ad O da una molla ideale di stiffness k. La terna Oxyz ruota infine con velocità angolare costante ω attorno all asse Oy rispetto ad un riferimento inerziale. Assunti i vincoli ideali e l angolo θ R in figura come parametro lagrangiano, determinare del sistema, rispetto a Oxyz: a) gli equilibri ordinari, precisandone le condizioni di esistenza; b) le proprietà di stabilità degli equilibri ordinari; c) l espressione dell energia cinetica; d) le equazioni di Lagrange; e) gli equilibri di confine, con le relative condizioni di esistenza, se fosse θ [ π/, π/]. 1

2 Soluzione dell esercizio 1 a) Massa e baricentro L asta OA ammette l ovvia parametrizzazione: Qx) O = xê 1, x [, ], in termini della quale la relativa densità lineare di massa si scrive: λx) = µ x, x [, ]. a Per il disco D si ha invece la parametrizzazione in coordinate polari piane, con polo in a, ): P ρ, φ) O = a + ρ cos φ) ê 1 + ρ sin φ ê, ρ, φ), a] [, π), cui corrisponde la densità areale: σρ, φ) = µ ρ, ρ, φ), a] [, π). πa Massa dell asta OA La massa dell asta si ottiene integrando la densità lineare λ sul segmento OA. Se si usa l ascissa x come variabile di integrazione, risulta: m OA = OA λ ds = µ a x ) ê 1 dx = µ a x dx = µ a [ x ] = µ. Massa del disco D La massa del disco è data dall integrale sul dominio D della densità areale σ. Nelle coordinate polari piane precedentemente introdotte si ha: m D = D σ da = a dρ ρ π dφ µ πa ρ = µ πa a ρ dρ π dφ = µ πa a π = µ. Massa del sistema Per definizione, la somma delle masse di asta e disco fornisce la massa del sistema: m = m OA + m D = µ + µ = 8 µ, dal momento che il punto di intersezione {O} = OA D costituisce un insieme di misura nulla tanto per il segmento OA che per il cerchio D. Baricentro dell asta OA L asta OA giace lungo l asse coordinato Ox ed il suo baricentro deve dunque essere individuato da un vettore posizione della forma: G OA O = x OA ê 1

3 in cui figura l ascissa: x OA = 1 m OA OA x λ ds = 1 µ x µ ) a x dx = 1 a x dx = 1 [ x a ] = 4 a in modo che risulta: G OA O = 4 aê 1. Baricentro del disco D Poichè la densità areale del disco è funzione della sola distanza dal centro C, appare evidente che C rappresenta un centro di simmetria della piastra circolare e dunque ne costituisce anche il baricentro: G D O = C O = aê 1. Baricentro del sistema Il baricentro G del sistema costituito dall asta OA e dal disco D si determina ricorrendo al teorema distributivo, che porge: G O = m OAG OA O) + m D G D O) = m OA + m D µ 4 ) = aê 1 + µaê 1 = 8 µ 8µ µaê 1) = 4 aê 1. Come già per la proprietà additiva della massa, l intersezione non vuota {O} = OA D non pregiudica l applicabilità del teorema distributivo in quanto insieme di misura nulla sia per il segmento OA che per il cerchio D. b) Matrice d inerzia in Oxyz Matrice d inerzia dell asta OA Poichè l asta OA si colloca lungo l asse Ox, la sua matrice d inerzia relativa ad Oxyz assume la forma: [L OA O ] = L OA yy L OA yy con il comune valore dei momenti d inerzia relativi ad Oy ed Oz dato da: L OA yy = x λ ds = OA = µ a [ x 4 x µ a x )dx = µ a 4 ] x dx = = µ 4a 16a4 ) = 4µa.

4 Di conseguenza: O ] = µa 4. 4 [L OA Matrice d inerzia del disco D Il disco giace nel piano coordinato Oxy ed i suoi momenti d inerzia relativi agli assi Cx e Cy sono uguali per evidenti ragioni di simmetria. La matrice d inerzia di D rispetto alla terna Cxyz si scrive pertanto: [L D C] = LD Cxx L D Cxx L D Cxx dove il momento d inerzia relativo all asse Cx vale: L Cxx = D y σ da = a dρ ρ π = µ a 5 πa 5 dφ ρ sin φ µ πa ρ = µ πa π 1 cos φ dφ = µa 1π a [ φ π ρ 4 dρ sin φ dφ = ] π sin φ = µa 5 e conduce così all espressione: [L D C] = µa 1/5 1/5. /5 La matrice viene riportata alla terna Oxyz usando le coordinate del baricentro C: d 1 = a d = d = rispetto a tale terna e il teorema di Huygens-Steiner generalizzato: [L D O] = [L D C] + m D d + d d 1 d d 1 d d 1 d d 1 + d d d = d 1 d d d d 1 + d = µa 1/5 1/5 + µ a = µa 1/5 1/15. /5 a 16/15 Matrice d inerzia del sistema Per ottenere la matrice d inerzia del sistema in Oxyz basta sommare le matrici d inerzia 4

5 di asta e disco rispetto alla medesima terna: [L O ] = [L OA O ] + [L D O] = µa 4 + µa 1/5 1/15 = 4 16/15 = µa 1/5 7/15. 1) 76/15 c) Momenti d inerzia relativi alla retta Cy ed alla retta r Momento d inerzia relativo alla retta Cy La retta Cy è parallela all asse coordinato Oy, ma non passa per il baricentro G del sistema. Conviene quindi applicare due volte il teorema classico di Huygens-Steiner, fra le rette parallele Cy e Gy, e fra le rette parallele Oy e Gy. Le informazioni utili allo scopo sono rispettivamente la massa del sistema, l ascissa del baricentro e quella del centro C del disco: m = 8 µ x G = 4 a x C = a. Il teorema di Huygens-Steiner porge allora le relazioni: I Cy = I Gy + mx C x G ) I Oy = I Gy + mx G che sottratte membro a membro per eliminare il momento I Gy conducono all equazione: I Cy I Oy = mx C x G ) mx G a sua volta esprimibile nella forma semplificata equivalente: I Cy = I Oy + mx C x C x G ). Ne deriva che: I Cy = 7 15 µa + 8 µ a + a 4 a ) = ) µa = ) µa = µa. Momento d inerzia relativo alla retta r La retta r si esprime per mezzo dell equazione parametrica: { x = ξ y = ξ ξ R, z = ξ passa evidentemente per l origine ed è individuata dal versore direttore: ˆn = ê1 + ê + ê. 5

6 Il momento d inerzia del sistema rispetto ad r è quindi dato dalla relazione: I r = ˆn L O ˆn) = ) µa 1/5 7/ = 76/15 1 = 1 µa ) = 1 15 µa = µa. d) Terna e momenti principali d inerzia in O Una terna principale d inerzia in O del sistema è costituita dal riferimento cartesiano ortogonale Oxyz, come evidenziato dalla forma diagonale della relativa matrice d inerzia 1). Il risultato era peraltro evidente a priori, data la presenza dell ovvio piano di simmetria Oxy, che assicura l asse Oz essere un asse principale d inerzia in O, e dell altrettanto ovvio asse di simmetria Ox, che a sua volta è un asse principale d inerzia in O del sistema. L essere Oy asse principale d inerzia in O segue infine dal teorema spettrale. I momenti principali d inerzia in O del sistema non richiedono alcun calcolo, poichè sono semplicemente gli elementi diagonali già determinati di [L O ]: A 1 = 1 5 µa A = 7 15 µa A = µa. e) Momento angolare in O ed energia cinetica Momento angolare in O Poichè il sistema rigido ha punto fisso O e velocità angolare istantanea ω = ωê 1 ωê nella terna di riferimento prescelta, con ω >, il momento angolare K O del sistema si scrive: K O = K α ê α α=1 con le componenti date dalla relazione matriciale: K 1 K K per cui: = [L O ] ω ω = µa 1/5 7/15 76/15 1 K O = µa ω 15 ) 5ê1 15 ê. ω ω = µa ω Enegia cinetica Per l energia cinetica del sistema rigido con punto fisso O vale l espressione: T = 1 ω K O = 1 1 ωê 1 ωê ) µa ω 15 ) 5ê1 = 1 µa ω ê ) = = 1 µa ω 7 15 = 7 µa ω. 1/5, 15/15

7 Soluzione dell esercizio a) Equilibri ordinari Occorre determinare preliminarmente i vettori posizione degli estremi A e B dell asta in termini del parametro lagrangiano: A O = a sin θ ê 1 a cos θ ê B O = a cos θ ê = 4a cos θ ê, per poi ricavare i vettori posizione del baricentro G OA dell asta omogenea, che coincide con il punto medio del segmento OA: G OA O = A O = asin θ ê 1 cos θ ê ) e del baricentro C dell anello, che si identifica con il centro geometrico e di simmetria C ed è individuato facilmente come punto medio del diametro AB: C O = A O + B O = a sin θ ê 1 a cos θ ê 4a cos θ ê = a sin θ ê 1 a cos θ ê. = Il sistema è scleronomo e a vincoli ideali, soggetto a sollecitazioni che sono tutte di natura posizionale conservativa: il peso, le forze centrifughe e l interazione elastica imputabile alla molla ideale che collega il punto B all origine. Si osservi che le forze di Coriolis sono ovunque dirette ortogonalmente al piano vincolare Oxy e presentano pertanto componente generalizzata identicamente nulla: Q Cor θ = P OA D m P ω ê P P θ = ω P OA D m P ê P θ θ P θ = P OA D =, dal momento che P e P/ θ sono comunque vettori paralleli a Oxy. Le forze posizionali conservative vengono caratterizzate mediante i rispettivi potenziali. Potenziale gravitazionale Il potenziale delle forze peso è la somma dei contributi relativi all asta ed all anello: U g = mgê G OA O) mgê C O) = = mgê asin θ ê 1 cos θ ê ) mgê asin θ ê 1 cos θ ê ) = = mga cos θ + mga cos θ = 4mga cos θ. Potenziale elastico Il potenziale associato alla molla ideale di costante elastica k che congiunge B con l origine O è dato dalla relazione: U el = k B O = k 4a cos θ ê = 8ka cos θ. 7

8 Potenziale centrifugo Per il calcolo del potenziale centrifugo si deve considerare il contributo dell asta omogenea, che si ricava per integrazione diretta: U OA cf = ω IOA Oy = ω = ω m a sin θ [ s a ] a s sin θ) m a ds = = mω 4a sin θ 8a = ma ω sin θ, e quello dell anello omogeneo γ, che viene invece determinato tramite il teorema di Huygens-Steiner: U γ cf = ω Iγ Oy = ω = ω [ m[c O) ê1 ] + I γ ] Cy = ] [ma sin θ + ma = ma ω sin θ + costante, per cui risulta: U cf = Ucf OA + Ucf D = ma ω sin θ + ma ω sin θ = 7 6 ma ω sin θ, essendosi ignorata la costante additiva inessenziale. Potenziale del sistema Il potenziale del sistema è la somma dei potenziali di tutte le sollecitazioni posizionali conservative applicate, gravitazionale, elastica e centrifuga: U = U g + U el + U cf = 4mga cos θ 8ka cos θ ma ω sin θ. Aggiungendo la costante 8ka si ottiene l espressione equivalente, più compatta: Uθ) = 4mga cos θ + 8k mω) a sin θ, θ R. ) Equilibri Gli equilibri del sistema, scleronomo e a vincoli bilaterali ideali, si identificano con i punti stazionali del potenziale U e si ottengono perciò annullando la derivata prima di questo: U θ) = 4mga sin θ + 16k + 7 mω) a sin θ cos θ ossia risolvendo l equazione trigonometrica: [ sin θ 4mga + 16k + 7 ] mω) a cos θ =. ) 8

9 Da sin θ = si deducono due equilibri banali, definiti incondizionatamente: θ = θ = π. L annullarsi dell espressione entro parentesi quadrate in ) porge invece: cos θ = 4mga 16k + 7 mω) a = mg 4ka maω := λ > 4) e dunque le ulteriori configurazioni di equilibrio: θ = arccos λ = θ θ = θ, definite e distinte dalle precedenti a condizione che per il parametro adimensionale λ risulti λ < 1, nel qual caso si ha peraltro θ, π/). Si osservi che questo risultato è qualitativamente ragionevole dal punto di vista fisico: l insorgere degli equilibri asimmetrici θ = θ e θ = θ è favorito se la forza elastica caratteristica ka o forza centrifuga caratteristica maω risultano sufficientemente grandi rispetto al peso caratteristico mg. b) Stabilità degli equilibri ordinari Il sistema scleronomo è sottoposto esclusivamente a sollecitazioni posizionali conservative. Le proprietà di stabilità possono quindi essere caratterizzate ricorrendo ai teoremi classici di Lagrange-Dirichlet e di inversione parziale. A questo scopo si rende necessario calcolare la derivata seconda del potenziale: U θ) = 4mga cos θ + 16k + 7 mω) a cos θ sin θ ) in ciascuna configurazione di equilibrio. Equilibrio θ = In questo caso, tenuto conto della definizione 4) per il parametro adimensionale λ, la derivata seconda del potenziale vale: U ) = 4mga + 16k + 7 mω) a = 16k + 7 mω) a 1 λ) e non ha segno definito, rendendo così necessario distinguere tre diversi casi: se λ < 1 si ha U ) > e l equilibrio θ = risulta instabile per il teorema di inversione parziale di Lagrange-Dirichlet. Da notare che lo stesso equilibrio rappresenta un massimo relativo proprio dell energia potenziale che, causa la conservazione dell energia meccanica, non può risultare neppure attrattivo l andamento costante dell energia meccanica lungo tutti i moti del sistema esclude che qualsiasi soluzione scelta arbitrariamente vicina a θ, θ) =, ) con energia meccanica strettamente minore di quella assunta dal sistema in θ, θ) =, ) possa tendere asintoticamente allo 9

10 stato di quiete in θ = per t +. attrattivo; L equilibrio risulta dunque instabile e non per λ > 1 vale invece U ) <, per cui l equilibrio viene riconosciuto essere un massimo relativo proprio del potenziale, stabile per la il teorema di Lagrange-Dirichlet; qualora sia infine λ = 1 la derivata seconda del potenziale si annulla e per stabilire la natura del punto stazionario occorre un analisi più approfondita. Si può ricorrere ad uno sviluppo di Taylor del quarto ordine del potenziale nell intorno di θ =, oppure riesprimere U in una forma più conveniente che permetta di riconoscere a vista il tipo di punto stazionario. Vale la pena ricavare da ) il potenziale adimensionalizzato: Ũθ) = 1 8k mω) a Uθ) = 4mga 8k mω) a cos θ + sin θ = λ cos θ + sin θ che per λ = 1 si riduce a: Ũθ) = cos θ + sin θ e con l ausilio di semplici identità trigonometriche diventa: Ũθ) = 1 sin θ ) + 4 sin θ θ cos = 4 θ sin 1 cos θ ) = 4 sin 4 θ. Risulta evidente dall espressione ottenuta che θ = è un massimo relativo proprio di U, massimo la cui stabilità segue dal teorema di Lagrange-Dirichlet. È interessante sottolineare come il passaggio comunemente noto come biforcazione dell equilibrio θ = dalla condizione di stabilità λ 1) a quella di instabilità λ < 1) si accompagni alla generazione degli equilibri asimmetrici θ = θ e θ = θ. Equilibrio θ = π Nella fattispecie la derivata seconda del potenziale risulta sempre strettamente positiva: U π) = 4mga + 16k + 7 mω) a > ed implica l instabilità dell equilibrio in virtù del teorema di inversione parziale di Lagrange-Dirichlet. Resta inteso che l equilibrio, in quanto massimo relativo proprio dell energia potenziale, non può neppure risultare attrattivo circostanza che contrasterebbe con la sola presenza di forze conservative ed il conseguente andamento costante dell energia meccanica Hθ, θ) lungo qualsiasi moto del sistema, compresi quelli di energia iniziale strettamente minore di Hπ, ) che è sempre possibile scegliere in qualsiasi intorno comunque piccolo di θ, θ) = π, ). Equilibri θ = θ, θ, con cos θ = λ < 1 I due equilibri asimmetrici presentano le stesse proprietà di stabilità, dal momento che la 1

11 derivata seconda del potenziale assume in ciascuno di essi lo stesso valore negativo: U ±θ ) = 4mga cos θ + 16k + 7 mω) a cos θ sin θ ) = = 16k + 7 mω) a λ cos θ + cos θ sin θ ) = = 16k + 7 mω) a cos θ cos θ + cos θ sin θ ) = = 16k + 7 mω) a sin θ < in quanto θ, π/). Gli equilibri, quando definiti, sono massimi relativi proprio del potenziale e dunque stabili per Lagrange-Dirichlet. c) Energia cinetica L energia cinetica del sistema relativa alla terna Oxyz è la somma dei contributi di asta e anello, che conviene senz altro calcolare separatamente. Energia cinetica dell asta OA L asta ruota di un angolo θ attorno all asse fisso Oz, che passa per un suo estremo. L energia cinetica corrispondente è quindi data dalla relazione: T OA = 1 IOA Oz ω OA, nella quale il momento d inerzia rispetto ad Oz e la velocità angolare istantanea dell asta si scrivono: in modo che risulta: I OA Oz = ma) T OA = 1 = 4 ma ω OA = θ ê, 4 ma θ ê = ma θ. 5) Energia cinetica dell anello γ L anello γ si muove nel piano Oxy ma è privo di punti fissi; per esprimerne l energia cinetica si rende necessario ricorrere al teorema di König: T γ = m Ċ + 1 Iγ Cz ωγ, dove la velocità del centro geometrico e baricentro C dell anello si ricava dal vettore posizione: C O = asin θ ê 1 cos θ ê ) e vale: con modulo quadrato: Ċ = acos θ ê 1 + sin θ ê ) θ Ċ = a cos θ + 9 sin θ) θ = a sin θ) θ, 11

12 mentre momento d inerzia relativo a Cz e velocità angolare istantanea si scrivono: I γ Cz = ma ω D = θê la rotazione dell anello attorno all asse Cz in una terna baricentrale avviene in senso orario al crescere dell angolo θ, di qui l introduzione del segno negativo in ossequio alla regola della mano destra. Si ha pertanto: T γ = m a sin θ) θ + 1 ma θ ê ma = + 8 sin θ ) θ 6) Energia cinetica del sistema Per ottenere l energia cinetica del sistema non rimane che sommare i contributi parziali 5) e 6)delle due parti rigide OA e γ: T = T OA + T γ = ma θ + ma + 8 sin θ ) θ = ma 1 ) + 8 sin θ θ. d) Equazioni di Lagrange Grazie all ipotesi dei vincoli ideali le equazioni pure del moto possono essere identificate con quelle di Lagrange: d L ) dt θ L θ = in termini della lagrangiana: L = T + U = ma 1 ) + 8 sin θ θ + 4mga cos θ + 8k mω) a sin θ. Il calcolo dei termini che compaiono nel binomio di Lagrange è immediato: d dt L θ = ma 1 ) + 8 sin θ θ L ) θ = ma sin θ ) θ + 16ma sin θ cos θ θ L θ = 8ma sin θ cos θ θ 4mga sin θ + e l equazione di Lagrange del moto risulta pertanto: 16k + 7 mω) a sin θ cos θ ma sin θ ) θ + 8ma sin θ cos θ θ + 4mga sin θ 16k + 7 mω) a sin θ cos θ =. e) Equilibri di confine Se si assume che sia θ [ π/, π/] il sistema risulta a vincoli unilaterali ideali ed ammette possibili equilibri di confine. Al potenziale del sistema: Uθ) = 4mga cos θ + 1 8k mω) a sin θ

13 corrisponde la componente generalizzata delle forze attive: Q θ θ) = U θ) = 4mga sin θ + 16k + 7 mω) a sin θ cos θ alla quale si deve applicare il teorema dei lavori virtuali nelle due configurazioni di confine θ = π/ e θ = π/. Configurazione θ = π/ Il teorema dei lavori virtuali assicura che la configurazione è un equilibrio di confine per il sistema se e soltanto se risulta soddisfatta la condizione Q θ π/) α θ α θ Q θ π/), che scritta esplicitamente diventa: 4mga + 16k + 7 mω) a 1 ossia: 16k + 7 mω) a 4mga. Di qui segue la condizione equivalente, in termini del parametro adimensionale λ: 1 4mga 1 1 a 16k + 7 = mω mg 4ka maω = λ. Ne segue che θ = π/ è un equilibrio di confine del sistema se e solo se λ 1/, vale a dire se la forza elastica caratteristica ka o forza centrifuga caratteristica maω risultano sufficientemente grandi rispetto al peso caratteristico mg. Configurazione θ = π/ La condizione per l equilibrio in questo caso assume la forma: Q θ π/) α θ α θ Q θ π/) e corrisponde alla disequazione: vale a dire alla relazione: 4mga 16k + 7 mω) a 4mga + 16k + 7 mω) a 1, che è la stessa condizione considerata nello studio della configurazione precedente, ed equivale perciò a λ 1/. In conclusione, la configurazione θ = π/ costituisce un equilibrio di confine per il sistema se e soltanto se λ 1/. I due equilibri di confine sussistono simultaneamente, come peraltro suggerito dalla simmetria del potenziale Uθ) e dell intervallo di definizione di questo [ π/, π/]. 1