ẋ + x 2 + y 2 5 = 0 ẏ + 3x + y 1 = 0

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1 Prova scritta di meccanica razionale del Esercizio 1 Nel piano verticale Oxy di una terna inerziale Oxyz una piastra rettangolare omogenea ABCD, di massa m, centro O e lati A D = a e A B = 1a, ruota senza attrito attorno all asse fisso Oz. Un punto materiale P di massa m scorre senza attrito lungo il lato AB ed è collegato al punto O della piastra da una molla ideale di costante elastica k. Il sistema è pesante. Assumendo reazioni vincolari concentrate in O e in P, si usino le coordinate generalizzate s 6, 6, φ R in figura per determinare del sistema: a le equazioni cardinali statiche necessarie e sufficienti per l equilibrio; b le configurazioni di equilibrio, usando le equazioni cardinali; c le reazioni vincolari concentrate per tutti gli stati di quiete; d le configurazioni di equilibrio assumendo i vincoli ideali. Esercizio Nel piano Oxy si consideri il seguente sistema di equazioni differenziali: e se ne caratterizzino: a i punti fissi; b le proprietà di stabilità dei punti fissi. ẋ + x + y 5 = 0 ẏ + x + y 1 = 0 1

2 Esercizio Nel piano verticale Oxy di una terna inerziale Oxyz si muove un sistema composto da un disco circolare omogeneo D, di centro C, raggio a e massa m, e da un anello circolare omogeneo γ, di massa m e raggio a. Il disco rotola senza strisciare lungo l asse orizzontale Ox, mentre γ ruota attorno al suo punto fisso O. Il sistema è pesante e una molla ideale di costante elastica k collega C con il punto A di γ diametralmente opposto ad O. Resistenze viscose di eguale costante β sono inoltre applicate in C ed A. Nell ipotesi di vincoli ideali, si faccia uso delle coordinate lagrangiane ξ, ϕ R in figura per determinare del sistema: a gli equilibri; b le caratteristiche di stabilità degli equilibri; c l espressione dell energia cinetica; d le equazioni pure del moto; e per β = 0 e k = mg/18a, i modi normali delle piccole oscillazioni attorno ad un equilibrio stabile.

3 Soluzione dell esercizio 1 a Equazioni cardinali statiche Sul punto materiale P agiscono le forze di seguito elencate: il peso mgê ; la forza elastica kp O; una reazione vincolare Φ P esercitata dalla piastra. L ipotesi che il concatto fra P e il lato AB sia privo di attrito comporta che Φ P possa essere un qualsiasi vettore ortogonale ad AB, la cui forma generale si scrive: con Φ P fattore scalare arbitrario. Le forze esterne agenti sulla piastra ABCD sono invece: il peso mgê nel baricentro O; la forza elastica kp O in O; Φ P = Φ P sin φ ê 1 + cos φ ê, 1 una reazione vincolare arbitraria Φ O in O, dovuta all asse fisso; la reazione Φ P che rende conto dell interazione di contatto con il punto P. Il vettore posizione di P rispetto all origine O si può esprimere facilmente considerando la proiezione ortogonale Q di P lungo l asse di simmetria della piastra parallelo ad AB: P O = Q O + P Q = as cos φ ê 1 + as sin φ ê a sin φ ê 1 + a cos φ ê = = as cos φ sin φê 1 + as sin φ + cos φê Le equazioni cardinali statiche utili a caratterizzare completamente gli equilibri del sistema sono quelle scritte separatamente per il punto P e per la piastra ABCD. Si ricorda che per il punto P solo la prima equazione cardinale è rilevante, in quanto essa implica la seconda tutte le forze agiscono nello stesso punto. Prima equazione cardinale statica per il punto P La somma di tutte le forze agenti su P deve essere nulla nello stato di quiete: mgê + Φ P kp O = 0, per cui è certamente: Φ P = mgê + kp O. Prima equazione cardinale statica per la piastra ABCD Deve annullarsi la somma di tutte le forze applicate alla piastra: mgê + kp O + Φ O Φ P = 0,

4 e deve quindi aversi: Φ O = mgê kp O + Φ P. 4 Seconda equazione cardinale statica in O per la piastra ABCD Si annulla il momento risultante in O di tutte le forze agenti sulla piastra. I momenti del peso, della forza elastica kp O e della reazione Φ O, tutte sollecitazioni applicate in O, sono chiaramente nulli. Di conseguenza, l equazione richiesta si riduce a: P O Φ P = 0. 5 Equazioni di equilibrio del sistema Le equazioni che caratterizzano gli equilibri sono le equazioni, 4 e 5, unitamente alla condizione 1 sulla reazione vincolare Φ P : Φ P = mgê + kp O Φ O = mgê kp O + Φ P P O Φ P = 0 Φ P = Φ P sin φ ê 1 + cos φ ê. 6 b Equilibri usando le equazioni cardinali Sostituendo la prima equazione 6 nella seconda si ottiene la reazione vincolare in O: Φ O = mgê 7 che corrisponde a considerare la prima equazione cardinale della statica per l intero sistema le sole forze esterne al sistema sono infatti i pesi e la reazione in O. La prima equazione 6, sostituita nella terza, porge l equazione pura di equilibrio: ossia: P O [ mgê kp O] = 0 P O mgê = 0, che in virtù della diventa: [ as cos φ sin φê1 + as sin φ + cos φê ] ê = 0 e quindi: as cos φ sin φê = 0. Ovviamente, la condizione equivale all equazione scalare: s cos φ sin φ =

5 Se infine si sostituisce la prima equazione 6 nella quarta si ottiene la relazione: mgê + kp O = Φ P sin φ ê 1 + cos φ ê che per l arbitrarietà dello scalare Φ P equivale alla condizione di compatibilità: cos φ ê 1 + sin φ ê [mgê + kp O ] = 0 ovvero: mg sin φ + cos φ ê 1 + sin φ ê k [ ] as cos φ sin φê 1 + as sin φ + cos φê = 0 ed infine: mg sin φ + kas = 0. 9 Le equazioni pure di equilibrio sono pertanto la 8 e la 9: s cos φ sin φ = 0 mg sin φ + kas = 0 10 la seconda delle quali fornisce: e sostituita nella prima la riduce a: s = mg ka sin φ 11 mg ka sin φ cos φ sin φ = 0. Fattorizzando e cambiando i segni si ottiene così l equazione: sin φ cos φ + ka = 0 mg dalla quale seguono due soluzioni definite incondizionatamente: φ = 0 φ = π e altre due definite e distinte dalle precedenti per ka/mg < 1: φ = arccos ka π = φ mg, π φ = φ. Tenuto conto della 11, gli equilibri del sistema sono pertanto: φ, s = 0, 0 φ, s = π, 0, 5

6 sempre definiti, e: φ, s = φ, mg ka sin φ φ, s = φ, mg sin φ ka definiti per ka/mg < 1. Si osservi che, a rigore, questi ultimi due equilibri richiedono l ulteriore requisito che sia: mg ka sin φ < 6 dovendo risultare comunque s 6, 6. Si ha perciò: mg 1 cos ka φ < 6 mg ka 1 < 6 ka mg vale a dire: ed infine: mg ka mg 1 < 6 1 < 6 ka mg ka < 7 ka mg > 1, 7 in modo che ka/mg deve essere compreso strettamente fra 1/ 7 e 1. c Reazioni vincolari concentrate per tutti gli stati di quiete Le reazioni vincolari concentrate indipendenti sono date dalla prima delle 6 e dalla 7. Soltanto Φ P dipende dalla configurazione di equilibrio prescelta: Φ P = mgê + kp O = = mgê + kas cos φ sin φê 1 + kas sin φ + cos φê = = kas cos φ sin φê 1 + [ mg + kas sin φ + cos φ ] ê mentre è sempre Φ O = mgê. Si ottiene così: Φ P = mg + kaê per φ, s = 0, 0; Φ P = mg kaê per φ, s = π, 0; Φ P = 0 per φ, s = φ, mg/ka sin φ ; Φ P = 0 per φ, s = φ, mg/ka sin φ ; Nel primo caso il punto P è ha riposo nel punto medio del lato AB, perfettamente orizzontale e collocato al di sopra dell asse Ox: il peso di P e la forza elastica su P sono diretti verticalmente verso il basso, e vengono bilanciati dalla reazione vincolare Φ P. Il secondo caso è analogo, salvo che il lato AB si situa orizzontalmente al di sotto dell asse Ox, per cui la forze elastica su P risulta diretta verso l alto. La reazione Φ P equilibra la somma di due forze antiparallele. 6

7 Nel terzo e nel quarto caso, infine, il punto P pende lungo l asse Oy e il suo peso è bilanciato esattamente dalla sola forza elastica. La reazione vincolare Φ P risulta perciò annullarsi. d Equilibri usando i vincoli ideali Nell ipotesi di vincoli ideali, gli equilibri del sistema scleronomo a vincoli bilaterali posizionale conservativo si caratterizzano come tutti e soli i punti critici del potenziale, somma di un contributo relativo alla molla ideale che congiunge O con P e di un contributo gravitazionale. Potenziale gravitazionale Il potenziale delle forze peso relativo alla piastra si mantiene costante in qualsiasi configurazione, dal momento che il baricentro della piastra omogenea coincide con il suo centro di simmetria O, attorno al quale ABCD ruota. Si ha pertanto il solo contributo del punto P : U g = mgê P O = mgas sin φ + cos φ in cui si è fatto uso della relazione per il vettore posizione P O. Potenziale elastico Il potenziale associato alla molla ideale è espresso dalla relazione: U el = k P O = k a + a s = ka s + 1. Potenziale del sistema La somma dei potenziali parziali porge il potenziale del sistema, che omesse le costanti additive diventa: Us, φ = mgas sin φ + cos φ ka s e deve intendersi definito per s, φ 6, 6 R. Equazioni di equilibrio e relative soluzioni Le equazioni di equilibrio vengono ricavate annullando le derivate parziali prime del potenziale: U s s, φ = mga sin φ ka s U φ s, φ = mgas cos φ sin φ e si riducono quindi alle seguenti: s = mg ka sin φ s cos φ sin φ = 0 nelle quali è immediato riconoscere le equazioni pure di equilibrio 10. Stesse equazioni di equilibrio, stessi equilibri. La condizione dei vincoli ideali riproduce esattamente gli stessi equilibri ricavati dalle equazioni cardinali statiche. 7

8 Soluzione dell esercizio a Punti fissi I punti fissi sono le soluzioni costanti del sistema di equazioni considerato, che quindi si riduce a: x + y 5 = 0 x + y 5 = 0 x + y 1 = 0 y = x + 1. Sostituendo la seconda relazione nella prima si perviene all equazione nella sola variabile x: x + x = 0 ossia: x + 9x 6x = 0 ed infine, semplificando: 10x 6x 4 = 0 5x x = 0. Le soluzioni dell equazione di secondo grado sono reali e distinte: x = ± = ± = /5 ed essendo rispettivamente: y = = y = + 1 = porgono i due punti fissi: x, y = 1, x, y = 5, b Stabilità dei punti fissi La stabilità dei punti fissi può essere studiata usando il teorema di analisi lineare della stabilità. A questo scopo occorre scrivere il sistema in forma normale del primo ordine: ẋ = x y + 5 ẏ = x y + 1 e calcolare la matrice jacobiana dei secondi membri: fx, y = x y + 5 gx, y = x y + 1 8

9 determinata dalle derivate parziali prime: f f x, y = x x g g x, y = x La matrice jacobiana diventa perciò: Jx, y = x, y = y y x, y = 1. y x y 1 e se ne deve determinare lo spettro in ciascun punto fisso. Punto fisso x, y = 1, In questo caso la matrice jacobiana del sistema linearizzato vale: 4 J1, = 1 e la corrispondente equazione caratteristica diventa: λ 4 0 = det = λ + λ = λ + λ λ con le radici complesse coniugate: λ = ± = ± i 47. Poichè entrambi gli autovalori presentano parte reale negativa, si deve concludere che il punto fisso è asintoticamente stabile. Punto fisso x, y = /5, 11/5 Nella fattispecie la matrice jacobiana del sistema linearizzato risulta: 4/5 /5 J /5, 11/5 = 1 con equazione caratteristica: 4/5 λ /5 0 = det = 1 λ λ 4 λ = λ λ 14 e autovalori reali di segno opposto: λ = 1 15 ± = 1 15 ± Il ricorrere di un autovalore con parte reale positiva implica l instabilità del punto fisso. 9

10 Soluzione dell esercizio a Equilibri Il sistema è sottoposto a due tipi di sollecitazioni posizionali conservative, il peso e l interazione elastica mediata dalla molla ideale fra A e C. Queste sollecitazioni sono dunque descritte per mezzo dei relativi potenziali. Vanno poi considerate le forze viscose agenti in A e C, delle quali si devono calcolare le componenti generalizzate e verificare la natura dissipativa. Potenziale elastico Gli estremi della molla sono individuati dai vettori posizione: A O = 4a sin ϕ ê 1 4a cos ϕ ê C O = aξê 1 + aê che forniscono il vettore posizione di un estremo rispetto all altro: e il relativo potenziale elastico: A C = a4 sin ϕ ξê 1 a4 cos ϕ + 1ê U el = k A C = ka [ 4 sin ϕ ξ + 4 cos ϕ + 1 ] = = ka 16 sin ϕ + ξ 8ξ sin ϕ + 16 cos ϕ cos ϕ = = ka 17 + ξ 8ξ sin ϕ + 8 cos ϕ. Potenziale gravitazionale Il potenziale gravitazionale del disco D è costante come l ordinata del baricentro C. Il solo contributo rilevante al potenziale gravitazionale è dunque fornito dall anello γ, il cui baricentro coincide con il centro geometrico, punto medio del diametro OA: U g = mgê A O = mga cos ϕ. Potenziale del sistema Il potenziale del sistema è definito come somma dei potenziali gravitazionale ed elastico che, omesse le costanti additive, diventa: Uξ, ϕ = mga cos ϕ ka ξ 8ξ sin ϕ + 8 cos ϕ = = ka mg ka cos ϕ ξ + 4ξ sin ϕ 4 cos ϕ = ka [ ξ + 4ξ sin ϕ + mg ka 4 cos ϕ 10 ] = ξ, ϕ R. 1

11 Resistenze viscose Sul punto C individuato da C O = aξê 1 + aê agisce la resistenza viscosa: F C = βċ = βa ξê 1. Analogamente, il punto A individuato da A O = 4asin ϕ ê 1 cos ϕ ê è soggetto alla resistenza viscosa: F A = βȧ = 4βacos ϕ ê 1 + sin ϕ ê ϕ. Le componenti generalizzate del sistema delle forze viscose si scrivono pertanto: Q rv ξ Q rv ϕ = F A A ξ + F C C ξ = F A 0 + F C aê 1 = βa ξ = F A A ϕ + F C C ϕ = F A 4acos ϕ ê 1 + sin ϕ ê + F C 0 = 16βa ϕ ed è immediato verificare che si tratta di una sollecitazione completamente dissipativa. La potenza delle resistenze viscose è infatti non positiva: π = Q rv ξ ξ + Q rv ϕ ϕ = βa ξ 16βa ϕ = βa ξ + 16 ϕ 0 ξ, ϕ R annullandosi unicamente per velocità generalizzata nulla: π = βa ξ + 16 ϕ = 0 = ξ, ϕ = 0, 0. Come ben noto, le sollecitazioni di potenza non positiva si annullano a velocità generalizzata nulla e sono perciò irrilevanti ai fini dell equilibrio. Equilibri Gli equilibri del sistema scleronomo a vincoli bilaterali ideali sono tutti ordinari e vanno identificati con i punti critici del potenziale 1. Si tratta quindi di equagliare simultaneamente a zero le derivate parziali prime di U: e di risolvere il sistema di equazioni: U ξ ξ, ϕ = ka ξ + 4 sin ϕ [ U mg ] 1 ξ, ϕ = ka 4ξ cos ϕ ϕ ka 4 sin ϕ ξ + 4 sin ϕ = 0 mg 4ξ cos ϕ ka 4 sin ϕ = 0 la prima delle quali fornisce il valore di equilibrio di ξ in funzione di quello di ϕ: ξ = 4 sin ϕ 14 11

12 che sostituito nella seconda conduce ad una equazione di equibrio nella sola variable angolare: mg 16 sin ϕ cos ϕ ka 4 sin ϕ = 0. Un semplice raccoglimento a fattor comune consente di scrivere l equazione nella forma equivalente: [ 16 sin ϕ cos ϕ 1 mg ] 16 ka 4 = 0 che porta a considerare due casi. i Per sin ϕ = 0 si hanno le radici: ϕ = 0 ϕ = π le quali, grazie alla 14, conducono agli equilibri: ii Per cos ϕ 1 16 ξ, ϕ = 0, 0 ξ, ϕ = 0, π. mg ka 4 = 0 si ha invece: cos ϕ = mg 8ka 1 4 := λ e quindi: ϕ = arccos λ := ϕ ϕ = arccos λ = ϕ, radici definite e distinte dalle precedenti a condizione che risulti λ 1, 1. Si osservi che comunque, per definizione, deve risultare: Ne seguono gli ulteriori equilibri: λ = mg 8ka 1 4 > 1 4. ξ, ϕ = 4 sin ϕ, ϕ ξ, ϕ = 4 sin ϕ, ϕ mg con ϕ = arccos 8ka 1 e definiti per mg 4 8ka 1 4 1/4, 1. b Stabilità degli equilibri La compresenza di sollecitazioni posizionali conservative e completamente dissipative agenti sul sistema scleronomo consente di caratterizzare le proprietà di stabilità degli equilibri facendo ricorso alla forma forte del teorema di Lagrange-Dirichlet, basata sui criteri di Barbasin-Krasovskii: gli equilibri sono infatti tutti isolati, in quanto in numero finito. Si tratta di distinguere gli equilibri che sono massimi relativi propri del potenziale da quelli 1

13 che non lo sono. A tale scopo, come sempre, si calcolano le derivate parziali seconde del potenziale: U ξξ ξ, ϕ = ka U ϕξ ξ, ϕ = 4ka cos ϕ U ξϕ ξ, ϕ = 4ka cos ϕ U ϕϕ ξ, ϕ = ka [ 4ξ sin ϕ e la corrispondente matrice hessiana: H U ξ, ϕ = ka 1 4 cos ϕ 4 cos ϕ 4ξ sin ϕ 16λ cos ϕ in ciascuna configurazione di equilibrio. Configurazione ξ, ϕ = 0, 0, definita incondizionatamente La matrice hessiana del potenziale risulta in questo caso: 1 4 H U 0, 0 = ka 4 16λ con determinante e traccia di segno non definito: mg ] ka 4 cos ϕ deth U 0, 0 = ka 16λ 1 trh U 0, 0 = ka 1 16λ essendo λ > 1/4. Si distinguono tre casi: se λ < 1 si ha deth U 0, 0 < 0 e l hessiana è indefinita, con autovalori di segno opposto. La presenza di un autovalore positivo esclude che l equilibrio sia un massimo relativo punto di sella e ciò basta ad assicurare l instabilità dell equilibrio per la forma forte del teorema di Lagrange-Dirichlet; per λ > 1 vale invece deth U 0, 0 > 0 e trh U 0, 0 < 0, di modo che la matrice hessiana risulta definita negativa. L equilibrio costituisce perciò un massimo relativo proprio del potenziale, asintoticamente stabile; qualora sia λ = 1 si ottiene infine deth U 0, 0 = 0 e trh U 0, 0 < 0, con hessiana semidefinita non definita negativa. Un analisi più dettagliata mostra che l equilibrio è un massimo relativo proprio del potenziale, che infatti può riesprimersi nella forma ridotta: 1 ξ Uξ, ϕ = + 4ξ sin ϕ + 16 cos ϕ = ka = ξ + 4ξ sin ϕ + 16 ϕ sin = = ξ + 8ξ sin ϕ 64 sin ϕ = = [ ξ 4 sin ϕ + 16 sin ϕ 64 sin ϕ ] = = [ ξ 4 sin ϕ + 64 sin ϕ ϕ cos 64 ϕ ] sin = = 16 1 [ ξ 4 sin ϕ + 64 sin 4 ϕ ] 1

14 con l espressione entro parentesi quadre strettamente positiva per ogni ξ, ϕ 0, 0 sufficientemente vicino al punto critico. L equilibrio è dunque asintoticamente stabile. Configurazione ξ, ϕ = 0, π, definita incondizionatamente La matrice hessiana del potenziale assume la forma: con determinante negativo: 1 H U 0, π = ka λ deth U 0, π = 16ka λ + 1 < 16ka = 1ka < 0 e quindi indefinita. L equilibrio è un punto di sella, che non costituisce massimo relativo. Ne segue l instabilità della configurazione. Configurazione ξ, ϕ = 4 sin ϕ, ϕ, con cos ϕ = λ, definita per λ 1/4, 1 In questo punto critico l hessiana del potenziale diventa: H U 4 sin ϕ, ϕ = ka 1 4 cos ϕ 4 cos ϕ 16 sin ϕ 16λ cos ϕ ossia, ricordando la definizione di ϕ : H U 4 sin ϕ, ϕ = ka 1 4 cos ϕ 4 cos ϕ. 16 La matrice ha sempre determinante positivo: e traccia negativa: deth U 4 sin ϕ, ϕ = ka cos ϕ = ka 16 sin ϕ > 0 trh U 4 sin ϕ, ϕ = ka 1 16 = 17ka < 0 e risulta pertanto definita negativa, individuando l equilibrio come massimo relativo proprio del potenziale. La stabilità asintotica segue dalla forma forte del teorema di Lagrange- Dirichlet. Configurazione ξ, ϕ = 4 sin ϕ, ϕ, con cos ϕ = λ, definita per λ 1/4, 1 La matrice hessiana è identica a quella calcolata nella configurazione simmetrica precedente: H U 4 sin ϕ, ϕ = ka 1 4 cos ϕ 4 cos ϕ = H 16 U 4 sin ϕ, ϕ ed implica la stabilità asintotica anche di questa configurazione. 14

15 c Energia cinetica L energia cinetica del sistema è data dalla somma dei contributi relativi all anello e al disco. Energia cinetica dell anello L anello omogeneo ruota attorno all asse fisso Oz e la sua energia cinetica può scriversi nella forma: T γ = 1 Iγ Oz ϕ ê = 1 I γ Gz + m G O ϕ = 1 m4a + m4a ϕ = 4ma ϕ ricordando che il baricentro coincide con il centro geometrico di γ e facendo uso del teorema di Huygens-Steiner. Energia cinetica del disco Il disco rotola senza strisciare sull asse Ox; la velocità del baricentro è Ċ = a ξê 1 e di conseguenza la velocità angolare del disco vale ω D = aξ/aê = ξê. Il teorema di König porge allora: T D = m Ċ + 1 ID Cz ω D = ma ξ + 1 ma ξ = 4 ma ξ. Energia cinetica del sistema La somma delle energie cinetiche parziali calcolate fornisce l energia cinetica del sistema: T = T D + T γ = ma ξ + 8 ϕ. d Equazioni pure del moto Le equazioni pure del moto sono quelle di Lagrange: d L dt ξ in cui figurano la lagrangiana: L ξ = Qrv ξ d L L dt ϕ ϕ = Qrv ϕ L = T + U = ma ξ [ + 8 ϕ + ka ξ mg ] + 4ξ sin ϕ + ka 4 cos ϕ e le componenti generalizzate delle forze viscose Q rv ξ = βa ξ e Q rv ϕ = 16βa ϕ. Le espressioni utili al calcolo dei binomi di Lagrange sono le seguenti: d L dt ξ = ma ξ d L = 8ma ϕ dt ϕ L ξ = ka ξ + 4 sin ϕ [ 4ξ cos ϕ L ϕ = ka 15 mg ka 4 sin ϕ ].

16 Si ottiene così il sistema di equazioni richiesto: ma ξ ka ξ + 4 sin ϕ = βa ξ mg ] 8ma ϕ ka [4ξ cos ϕ ka 4 sin ϕ = 16βa ϕ. e Modi normali delle piccole oscillazioni Per β = 0 le sollecitazioni completamente dissipative vengono rimosse e gli equilibri giudicati asintoticamente stabili in quanto massimi relativi propri del potenziale risultano ora soltanto stabili la conservazione dell energia meccanica esclude l attrattività. Analogamente, gli equilibri instabili in presenza di sollecitazioni completamente dissipative rimangono instabili, corrispondendo tutti a punti critici nei quali la matrice hessiana del potenziale presenta un autovalore positivo. Ciò premesso, se k = mg/18a si ha: λ = mg 8ka 1 4 = = valore per il quale l unico equilibrio stabile del sistema ricorre in ξ, ϕ = 0, 0 è infatti λ > 1, mentre gli equilibri simmetrici ξ, ϕ = ±4 sin ϕ, ±ϕ non sono definiti. In questa configurazione le matrici dell energia cinetica ed hessiana del potenziale assumono la forma: per cui risulta: / 0 A0, 0 = ma H U 0, 0 = ka 4 / ω A0, 0 + H U 0, 0 = ma ω + ka = ka µ µ con µ := mω /k. Omesso il fattore costante ka, l equazione caratteristica si scrive: 0 = det µ 1 4 = 4 8µ µ 1 8µ 16 ossia: 0 = µ 1 µ 4 = µ 6µ µ + 4 = µ 7µ + e quindi: Ne seguono le radici reali positive: µ 14µ + 4 = 0. µ = 14 ± = 14 ± = 14 ± = 7 ± 7 16

17 vale a dire: µ 1 = 7 7 µ = cui corrispondono le pulsazioni normali delle piccole oscillazioni: ω 1 = µ 1 k m = 7 7 k m ω = µ k m =, k m e le relative frequenze normali: f 1 = ω 1 π = k π m f = ω π = k π m. Per determinare i vettori delle ampiezze dei due modi normali si considera il sistema lineare omogeneo: [ ω i A0, 0 + H U 0, 0 ] a i = 0 b i ovvero: µ i 1 4 ai = 0 4 8µ i b i che equivale a due equazioni scalari linearmente dipendenti. E così sufficiente considerare una sola di esse, ad esempio la seconda: 4a i + 8µ i b i = 0 a i + µ i 8b i = 0 e ricavarne una soluzione non banale nella forma: a i = 8 µ i b i = 1. L ampiezza in ξ per il primo modo normale diventa: a 1 = 8 µ 1 = mentre per il secondo modo normale si ha invece: = a = 8 µ = 10 7 Modo basso, di pulsazione ω 1 < ω Il primo modo normale di oscillazione è espresso da:. ξ = A ϕ 1 cos 7 7 k m t + φ 1 t R 17

18 con A 1 0 e φ 1 costanti reali arbitrarie e con l intesa che A 1 sia piccolo. Si osservi che in questo modo normale le ampiezze di oscillazione dei due moti armonici hanno lo stesso segno, per cui i due parametri lagrangiani oscillano in fase attorno ai rispettivi valori di equilibrio. Modo alto, di pulsazione ω > ω 1 Il secondo modo normale di oscillazione si scrive: ξ 10 7 = A ϕ cos k m t + φ t R essendo A 0 e φ costanti reali arbitrarie. Si sottolinea che è 10 7 < 0, per cui in questo caso le ampiezze dei due moti armonici sono di segno opposto e i due parametri lagrangiani oscillano in opposizione di fase attorno ai rispettivi valori di equilibrio. 18