Prova scritta di meccanica razionale del

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1 Esercizio 1 Nel piano Oxy di una terna cartesiana solidale Oxyz = Oê 1 ê ê 3 un sistema rigido risulta composto da un disco circolare D, di raggio a e centro C, a), e da un asta rettilinea OA con estremi nell origine e nel punto A, a) vedi figura. Le rispettive densità sono date da: σp ) = µ P C πa3 P D e: λq) = µ Q O Q OA, a dove µ indica una massa caratteristica. Si determinino del sistema: Prova scritta di meccanica razionale del.6.17 a) la massa e la posizione del baricentro G nel riferimento Oxyz; b) la matrice d inerzia relativa a Oxyz; c) i momenti d inerzia rispetto alla retta Cx ed alla retta s di equazione y = x, z = x; d) una terna principale d inerzia in O ed i relativi momenti principali; e) il momento angolare in O e l energia cinetica relativi alla terna dove O è fisso e la velocità angolare del sistema vale ω = ωê 1 ωê 3, con ω >. 1

2 Esercizio Nel piano Oxy di una terna Oxyz = Oê 1 ê ê 3 un asta rettilinea omogenea OA, di massa m e lunghezza R, è libera di ruotare attorno all asse Oz. L estremo A è incernierato ad un punto del bordo di un disco circolare omogeneo D, di centro C, raggio R e massa m. L estremo B del diametro AB di D scorre lungo l asse verticale Oy ed è connesso ad O da una molla ideale di stiffness k. Resistenze viscose di uguale costante β agiscono sui punti A e B. La terna Oxyz ruota infine con velocità angolare costante ω attorno all asse Oy rispetto ad un riferimento inerziale. Assunti i vincoli ideali e l angolo ϕ R in figura come parametro lagrangiano, determinare del sistema, rispetto a Oxyz: a) gli equilibri, considerando tutte le sollecitazioni; b) le proprietà di stabilità degli equilibri considerare le forze viscose!); c) l espressione dell energia cinetica; d) le equazioni pure del moto; e) i modi normali delle piccole oscillazioni attorno ad un equilibrio stabile per β =.

3 Soluzione dell esercizio 1 a) Massa e baricentro L asta OA ammette un ovvia parametrizzazione in termini dell ordinata y: Qy) O = yê, y [ a, ], per mezzo della quale la relativa densità lineare di massa si scrive: λy) = µ y, y [ a, ]. a Per il disco D si ha invece la parametrizzazione in coordinate polari piane, con polo nel punto, a): P ρ, φ) O = ρ cos φ ê 1 + a + ρ sin φ) ê, ρ, φ), a] [, π), cui corrisponde la densità areale: σρ, φ) = µ ρ, ρ, φ), a] [, π). πa3 Massa dell asta OA La massa dell asta si ottiene integrando la densità lineare λ sul segmento OA. Se si usa l ordinata y come variabile di integrazione risulta: m OA = OA λ ds = a µ a y ) ê dy = µ a a y dy = µ a [ y ] a = µ. Massa del disco D La massa del disco è data dall integrale sul dominio D della densità areale σ. Nelle coordinate polari piane precedentemente introdotte si ha: m D = D σ da = a dρ ρ π dφ µ πa 3 ρ = µ πa 3 a ρ dρ π dφ = µ πa 3 a 3 3 π = 3 µ. Massa del sistema La somma delle masse di asta e disco fornisce la massa del sistema: m = m OA + m D = µ + 3 µ = 8 3 µ. Baricentro dell asta OA L asta OA giace lungo l asse coordinato Oy ed il suo baricentro deve dunque essere individuato da un vettore posizione della forma: G OA O = y OA ê 3

4 in cui figura l ordinata: y OA = 1 m OA OA y λ ds = 1 µ a y µ ) a y dy = 1 a a y dy = 1 [ y 3 a 3 ] a = 4 3 a in modo che risulta: G OA O = 4 3 aê. Baricentro del disco D Poichè la densità areale del disco è funzione della sola distanza dal centro C, appare evidente che C rappresenta un centro di simmetria della piastra circolare e dunque ne costituisce anche il baricentro: G D O = C O = aê. Baricentro del sistema Il baricentro G del sistema costituito dall asta OA e dal disco D si determina facendo uso del teorema distributivo, che porge: G O = m OAG OA O) + m D G D O) = m OA + m D µ 4 ) = 3 aê + 3 µaê 3 = 8 3 µ 8µ µaê ) = 3 4 aê. b) Matrice d inerzia in Oxyz Matrice d inerzia dell asta OA Poichè l asta OA si dispone lungo l asse Oy, la sua matrice d inerzia relativa ad Oxyz assume la forma: [L OA O ] = xx L OA xx LOA con il comune valore dei momenti d inerzia relativi ad Ox ed Oz dato da: L OA xx = y λ ds = OA a = µ a [ y 4 y µ a y )dy = µ a 4 ] a a y 3 dy = = µ 4a 16a4 ) = 4µa. Di conseguenza: O ] = µa 4. 4 [L OA 4

5 Matrice d inerzia del disco D Il disco giace nel piano coordinato Oxy ed i suoi momenti d inerzia relativi agli assi Cx e Cy sono uguali per evidenti ragioni di simmetria. La matrice d inerzia di D rispetto alla terna Cxyz si scrive pertanto: [L D C] = LD Cxx L D Cxx L D Cxx dove il momento d inerzia relativo all asse Cx vale: L Cxx = y σ da = D a dρ ρ π = µ a 5 πa 3 5 dφ ρ sin φ µ πa 3 ρ = µ πa 3 π 1 cos φ dφ = µa 1π e conduce così all espressione: [L D C] = µa 1/5 1/5. /5 a π ρ 4 dρ sin φ dφ = [ φ sin φ ] π = µa 5 La matrice viene riportata alla terna Oxyz usando le coordinate del baricentro C: d 1 = d = a d 3 = riferite alla stessa terna e il teorema di Huygens-Steiner generalizzato: [L D O] = [L D C] + m D d + d 3 d 1 d d 1 d 3 d 1 d d 1 + d 3 d d 3 = d 1 d 3 d d 3 d 1 + d = µa 1/5 1/5 + 3 µ a = µa 13/15 1/5. /5 a 16/15 Matrice d inerzia del sistema Per ottenere la matrice d inerzia del sistema in Oxyz basta sommare le matrici d inerzia di asta e disco rispetto alla stessa terna: [L O ] = [L OA O ] + [L D O] = µa 4 + µa 4 = µa 73/15 1/5 76/ /15 1/5 16/15 =. 1)

6 c) Momenti d inerzia relativi alla retta Cx ed alla retta s Momento d inerzia relativo alla retta Cx La retta Cx è parallela all asse coordinato Ox, ma non passa per il baricentro G del sistema. Conviene quindi applicare due volte il teorema classico di Huygens-Steiner, fra le rette parallele Cx e Gx, e fra le rette parallele Ox e Gx. Le informazioni utili allo scopo sono rispettivamente la massa del sistema, l ordinata del baricentro e quella del centro C del disco: m = 8 3 µ y G = 3 4 a y C = a. Il teorema di Huygens-Steiner porge allora le relazioni: I Cx = I Gx + my C y G ) I Ox = I Gx + myg che sottratte membro a membro per eliminare il momento I Gx conducono all equazione: I Cx I Ox = my C y G ) my G a sua volta esprimibile nella forma semplificata equivalente: I Cx = I Ox + my C y C y G ). Ne deriva che: I Cx = µa µ a + a 3 4 a ) = ) µa = ) µa = µa. Momento d inerzia relativo alla retta s La retta s si esprime per mezzo dell equazione parametrica: { x = ξ y = ξ z = ξ ξ R, passa chiaramente per l origine ed è individuata dal versore direttore: ˆn = ê1 + ê + ê 3 3. Il momento d inerzia del sistema rispetto ad s è quindi dato dalla relazione: I s = ˆn L O ˆn) = ) µa 73/15 1/5 1 1 = 76/15 1 = 1 3 µa ) = 1 15 µa = µa. 6

7 d) Terna e momenti principali d inerzia in O Una terna principale d inerzia in O del sistema è costituita dal riferimento cartesiano ortogonale Oxyz, come evidenziato dalla forma diagonale della relativa matrice d inerzia 1). Il risultato era peraltro evidente a priori, data la presenza dell ovvio piano di simmetria Oxy, che assicura l asse Oz essere un asse principale d inerzia in O, e dell altrettanto ovvio asse di simmetria Oy, che a sua volta è un asse principale d inerzia in O del sistema. L essere Ox asse principale d inerzia in O segue infine dal teorema spettrale. La determinazione dei momenti principali d inerzia in O del sistema non richiede alcun calcolo, poichè si tratta semplicemente degli elementi diagonali già determinati di [L O ]: A 1 = µa A = 1 5 µa A 3 = µa. e) Momento angolare in O ed energia cinetica Momento angolare in O Poichè nella terna di riferimento prescelta il sistema rigido ha punto fisso O e velocità angolare istantanea ω = ωê 1 ωê 3, con ω >, il momento angolare K O del sistema si scrive: 3 K O = K α ê α α=1 con le componenti date dalla relazione matriciale: K 1 K K 3 per cui: = [L O ] ω ω = µa 73/15 1/5 76/15 73 K O = µa ω 15 ) 15ê1 15 ê3. ω ω = µa ω Energia cinetica Per l energia cinetica del sistema rigido con punto fisso O vale l espressione: T = 1 ω K O = 1 73 ωê 1 ωê 3 ) µa ω 15 ) 15ê1 15 ê3 ) = 1 µa ω = = 1 µa ω = µa ω. 73/15, 15/15 Soluzione dell esercizio a) Equilibri Occorre determinare preliminarmente i vettori posizione degli estremi A e B dell asta in termini del parametro lagrangiano si noti che il triangolo OAB è isoscele: A O = R sin ϕ ê 1 R cos ϕ ê B O = R cos ϕ ê = 4R cos ϕ ê, 7

8 per poi ricavare i vettori posizione del baricentro G OA dell asta omogenea, che coincide con il punto medio del segmento OA: G OA O = A O = Rsin ϕ ê 1 cos ϕ ê ) e del baricentro del disco, che si identifica con il centro geometrico e di simmetria C ed è individuato facilmente come punto medio del diametro AB: C O = A O + B O = R sin ϕ ê 1 R cos ϕ ê 4R cos ϕ ê = R sin ϕ ê 1 3R cos ϕ ê. Il sistema è scleronomo e a vincoli ideali, soggetto a sollecitazioni che in parte sono di natura posizionale conservativa il peso, le forze centrifughe e l interazione elastica imputabile alla molla ideale che collega il punto B all origine, e in parte di natura dissipativa le resistenze viscose in A e in B. Si osservi che le forze di Coriolis sono ovunque dirette ortogonalmente al piano vincolare Oxy e presentano pertanto componente generalizzata identicamente nulla: Q Cor ϕ = P OA D m P ω ê P P ϕ = ω P OA D m P ê P ϕ ϕ P ϕ = = P OA D =, dal momento che P e P/ ϕ sono comunque vettori paralleli ad Oxy. Le forze posizionali conservative vengono caratterizzate mediante i rispettivi potenziali, mentre di quelle dissipative si deve determinare la componente generalizzata. Potenziale gravitazionale Il potenziale delle forze peso è la somma dei contributi relativi all asta ed al disco: U g = mgê G OA O) mgê C O) = = mgê Rsin ϕ ê 1 cos ϕ ê ) mgê Rsin ϕ ê 1 3 cos ϕ ê ) = = mgr cos ϕ + 3mgR cos ϕ = 4mgR cos ϕ. Potenziale elastico Il potenziale associato alla molla ideale di costante elastica k che congiunge B con l origine O è dato dalla relazione: U el = k B O = k 4R cos ϕ ê = 8kR cos ϕ. Potenziale centrifugo Per il calcolo del potenziale centrifugo si deve considerare il contributo dell asta omogenea, che si ricava per integrazione diretta: U OA cf = ω IOA Oy = ω = ω R [ m s 3 R sin ϕ 3 s sin ϕ) m R ds = ] R = mω 4R sin ϕ 8R3 3 8 = 3 mr ω sin ϕ,

9 e quello del disco omogeneo D, che viene invece determinato tramite il teorema di Huygens- Steiner: U D cf = ω ID Oy = ω = ω [ m[c O) ê1 ] + ICy D ] = ] [mr sin ϕ + mr 4 = mr ω sin ϕ + costante, per cui risulta: U cf = Ucf OA + Ucf D = 3 mr ω sin ϕ + mr ω sin ϕ = 7 6 mr ω sin ϕ, essendosi ignorata la costante additiva inessenziale. Potenziale del sistema Il potenziale del sistema è la somma dei potenziali di tutte le sollecitazioni posizionali conservative applicate, gravitazionale, elastica e centrifuga: U = U g + U el + U cf = 4mgR cos ϕ 8kR cos ϕ mr ω sin ϕ. Aggiungendo la costante 8kR si ottiene l espressione equivalente, più compatta: Uϕ) = 4mgR cos ϕ + 8k mω) R sin ϕ, ϕ R. ) Componente generalizzata delle forze viscose Le forze viscose agenti sul sistema sono date da: F A = β A FB = βḃ rispettivamente applicate nei punti A e B individuati dai vettori posizione: A O = Rsin ϕ ê 1 cos ϕ ê ) B O = 4R cos ϕ ê cui corrispondono le derivate parziali prime: A ϕ = Rcos ϕ ê 1 + sin ϕ ê ) B ϕ = 4R sin ϕ ê. La componente generalizzata del sistema di forze viscose si scrive perciò: D ϕ = βa A B βḃ ϕ ϕ = β A ϕ ϕ β B ϕ = β A ϕ A ϕ ϕ β B ϕ ϕ B ϕ = ϕ = β 4R ϕ β 16R sin ϕ ϕ = 4βR sin ϕ) ϕ. 9

10 Si tratta di una sollecitazione completamente dissipativa, in quanto di potenza negativa: π = D ϕ ϕ = 4βR sin ϕ) ϕ ϕ, ϕ R, che si annulla solo per velocità generalizzata nulla: π = 4βR sin ϕ) ϕ = ϕ =. Ovviamente, trattandosi di forza a potenza non positiva dipendente in modo continuo dal parametro lagrangiano, la sollecitazione si annulla per velocità generalizzata uguale a zero e non influisce in alcun modo sulla determinazione degli equilibri del sistema. Agli effetti statici le forze viscose possono essere dunque ignorate. Equilibri Gli equilibri del sistema, scleronomo e a vincoli bilaterali ideali, si identificano con i punti stazionali del potenziale U e si ottengono perciò annullando la derivata prima di questo: U ϕ) = 4mgR sin ϕ + 16k mω) R sin ϕ cos ϕ ossia risolvendo l equazione trigonometrica: [ sin ϕ 4mgR + 16k + 7 ] 3 mω) R cos ϕ =. 3) Da sin ϕ = si deducono due equilibri banali, definiti incondizionatamente: ϕ = ϕ = π. L annullarsi dell espressione entro parentesi quadrate in 3) porge invece: cos ϕ = 4mgR 16k mω) R = mg 4kR mrω := λ > 4) e dunque le ulteriori configurazioni di equilibrio: ϕ = arccos λ = ϕ ϕ = ϕ, definite e distinte dalle precedenti a condizione che per il parametro adimensionale λ risulti λ < 1, nel qual caso si ha peraltro ϕ, π/). Si osservi che questo risultato è qualitativamente ragionevole dal punto di vista fisico: l insorgere degli equilibri asimmetrici ϕ = ϕ e ϕ = ϕ è favorito se la forza elastica caratteristica kr o forza centrifuga caratteristica mrω risultano sufficientemente grandi rispetto al peso caratteristico mg. 1

11 b) Stabilità degli equilibri Il sistema è sottoposto a sollecitazioni posizionali conservative e a sollecitazioni completamente dissipative. Tutti gli equilibri del sistema sono inoltre isolati, dato il loro numero finito. Le proprietà di stabilità possono quindi essere caratterizzate completamente ricorrendo alla forma forte del teorema di Lagrange-Dirichlet, basata sui criteri di Barbašin- Krasovskii. A questo scopo si rende necessario calcolare la derivata seconda del potenziale: U ϕ) = 4mgR cos ϕ + 16k mω) R cos ϕ sin ϕ ) in ciascuna configurazione di equilibrio. Equilibrio ϕ = In questo caso, tenuto conto della definizione 4) per il parametro adimensionale λ, la derivata seconda del potenziale vale: U ) = 4mgR + 16k mω) R = 16k mω) R 1 λ) e non ha segno definito, rendendo così necessario distinguere tre diversi casi: se λ < 1 si ha U ) > e l equilibrio ϕ = costituisce un minimo relativo proprio del potenziale. L esclusione del massimo basta ad assicurare l instabilità dell equilibrio per la forma forte del teorema di Lagrange-Dirichlet. Da notare che lo stesso equilibrio rappresenta un massimo relativo proprio dell energia potenziale che, causa la presenza delle sollecitazioni dissipative, non può risultare neppure attrattivo l andamento non crescente dell energia meccanica lungo tutti i moti del sistema esclude che qualsiasi soluzione scelta arbitrariamente vicina a ϕ, ϕ) =, ) con energia meccanica strettamente minore di quella assunta dal sistema in ϕ, ϕ) =, ) possa tendere asintoticamente allo stato di quiete in ϕ = per t +. L equilibrio risulta dunque instabile e non attrattivo; per λ > 1 vale invece U ) <, per cui l equilibrio viene riconosciuto essere un massimo relativo proprio del potenziale, asintoticamente stabile per la forma forte di Lagrange-Dirichlet; qualora sia infine λ = 1 la derivata seconda del potenziale si annulla e per stabilire la natura del punto stazionario occorre un analisi più approfondita. Si può ricorrere ad uno sviluppo di Taylor del quarto ordine del potenziale nell intorno di ϕ =, oppure riesprimere U in una forma più conveniente che permetta di riconoscere a vista il tipo di punto stazionario. Vale la pena ricavare da ) il potenziale adimensionalizzato: Ũϕ) = 1 8k mω) R Uϕ) = 4mgR 8k mω) R cos ϕ+sin ϕ = λ cos ϕ+sin ϕ che per λ = 1 si riduce a: Ũϕ) = cos ϕ + sin ϕ 11

12 e con l ausilio di semplici identità trigonometriche diventa: Ũϕ) = 1 sin ϕ ) + 4 sin ϕ ϕ cos = 4 ϕ sin 1 cos ϕ ) = 4 sin 4 ϕ. Risulta evidente dall espressione ottenuta che ϕ = è un massimo relativo proprio di U, la cui stabilità asintotica segue dalla forma forte del teorema di Lagrange-Dirichlet. È interessante sottolineare come il passaggio comunemente noto come biforcazione dell equilibrio ϕ = dalla condizione di stabilità λ 1) a quella di instabilità λ < 1) si accompagni alla creazione degli equilibri asimmetrici ϕ = ϕ e ϕ = ϕ. Equilibrio ϕ = π Nella fattispecie la derivata seconda del potenziale risulta sempre strettamente positiva: U π) = 4mgR + 16k mω) R > ed escludendo il ricorrere in ϕ = π di un massimo relativo proprio del potenziale, implica l instabilità dell equilibrio in virtù del teorema di Lagrange-Dirichlet forte. Resta inteso che l equilibrio, in quanto massimo relativo proprio dell energia potenziale, non può neppure risultare attrattivo circostanza che contrasterebbe con la presenza di forze dissipative ed il conseguente andamento non crescente dell energia meccanica Hϕ, ϕ) lungo qualsiasi moto del sistema, compresi quelli di energia iniziale strettamente minore di Hπ, ) che è sempre possibile scegliere in qualsiasi intorno comunque piccolo di ϕ, ϕ) = π, ). Equilibri ϕ = ϕ, ϕ, con cos ϕ = λ < 1 I due equilibri asimmetrici presentano le stesse proprietà di stabilità, dal momento che la derivata seconda del potenziale assume in ciascuno di essi lo stesso valore negativo: U ±ϕ ) = 4mgR cos ϕ + 16k mω) R cos ϕ sin ϕ ) = = 16k mω) R λ cos ϕ + cos ϕ sin ϕ ) = = 16k mω) R cos ϕ cos ϕ + cos ϕ sin ϕ ) = = 16k mω) R sin ϕ < in quanto ϕ, π/). Gli equilibri, quando definiti, sono massimi relativi proprio del potenziale, asintoticamente stabili per la forma forte del teorema di Lagrange-Dirichlet, basata sui criteri di Barbašin-Krasovskii. c) Energia cinetica L energia cinetica del sistema relativa alla terna Oxyz è la somma dei contributi di asta e disco, che conviene senz altro calcolare separatamente. Energia cinetica dell asta OA L asta ruota di un angolo ϕ attorno all asse fisso Oz, che passa per un suo estremo. L e- 1

13 nergia cinetica corrispondente è quindi data dalla relazione: T OA = 1 IOA Oz ωoa, nella quale il momento d inerzia rispetto ad Oz e la velocità angolare istantanea dell asta si scrivono: in modo che risulta: I OA Oz = mr) 3 T OA = 1 = 4 3 mr ω OA = ϕ ê 3, 4 3 mr ϕ ê 3 = 3 mr ϕ. 5) Energia cinetica del disco D Il disco D si muove nel piano Oxy ma è privo di punti fissi; per esprimerne l energia cinetica si rende necessario ricorrere al teorema di König: T D = m Ċ + 1 ID Cz ωd, dove la velocità del centro geometrico e baricentro C del disco si ricava dal vettore posizione: C O = Rsin ϕ ê 1 3 cos ϕ ê ) e vale: con modulo quadrato: Ċ = Rcos ϕ ê sin ϕ ê ) ϕ Ċ = R cos ϕ + 9 sin ϕ) ϕ = R sin ϕ) ϕ, mentre momento d inerzia relativo a Cz e velocità angolare istantanea si scrivono: I D Cz = mr ω D = ϕ ê 3 la rotazione del disco attorno all asse Cz in una terna baricentrale avviene in senso orario al crescere dell angolo ϕ, di qui l introduzione del segno negativo in ossequio alla regola della mano destra. Si ha pertanto: T D = m R sin ϕ) ϕ + 1 mr ϕ ê3 mr 3 = ϕ) + 8 sin ϕ. 6) Energia cinetica del sistema Per ottenere l energia cinetica del sistema non rimane che sommare i contributi parziali 5) e 6) delle due parti rigide OA e D: T = T OA + T D = 3 mr ϕ + mr 3 ϕ) + 8 sin 13 ϕ = mr 17 ϕ) sin ϕ.

14 d) Equazioni pure del moto Grazie all ipotesi dei vincoli ideali le equazioni pure del moto possono essere identificate con quelle di Lagrange: d dt L ) L ϕ ϕ = D ϕ in termini della lagrangiana: L = T + U = mr 17 ϕ) sin ϕ + 4mgR cos ϕ + 8k mω) R sin ϕ e della componente generalizzata delle forze viscose D ϕ = 4βR sin ϕ) ϕ. Il calcolo dei termini che compaiono nel binomio di Lagrange è immediato: L ϕ = mr 17 ) sin ϕ ϕ d L ) = mr 17 ) dt ϕ sin ϕ ϕ + 16mR sin ϕ cos ϕ ϕ L ϕ = 8mR sin ϕ cos ϕ ϕ 4mgR sin ϕ + 16k mω) R sin ϕ cos ϕ e l equazione di Lagrange del moto risulta pertanto: mr 17 ) sin ϕ ϕ + 8mR sin ϕ cos ϕ ϕ + 4mgR sin ϕ 16k mω) R sin ϕ cos ϕ = 4βR sin ϕ) ϕ. e) Modi normali delle piccole oscillazioni Per β = le sollecitazioni completamente dissipative vengono rimosse dal sistema, che diventa perciò posizionale conservativo. L equilibrio ϕ = per λ > 1 è ancora un massimo relativo proprio del potenziale, stabile per il teorema di Lagrange-Dirichlet ma non asintoticamente per via della conservazione dell energia meccanica. Se λ < 1 lo stesso equilibrio è instabile per l inversione parziale di Lagrange-Dirichlet, dal momento che U ) >. Anche per λ = 1 l equilibrio risulta un massimo relativo proprio del potenziale e quindi stabile, sia pure non asintoticamente, ma a questo caso la teoria canonica delle piccole oscillazioni non è applicabile visto che U ) =. L equilibrio ϕ = π è sempre instabile e non attrattivo) per l inversione parziale di Lagrange-Dirichlet, in quanto U π) >. Gli equilibri asimmetrici ϕ = ϕ e ϕ = ϕ sono invece definiti e stabili per Lagrange-Dirichlet quando λ < 1, avendosi U ±ϕ ) <. Benchè la teoria standard delle piccole oscillazioni sia applicabile a queste configurazioni, la relativa complessità dei calcoli suggerisce di considerare l equilibrio banale ϕ = per λ > 1. Le matrici dell energia cinetica ed hessiana del potenziale in questo caso sono 1 1, vale a dire dei semplici scalari: Aϕ) = mr 17 ) sin ϕ H U ϕ) = 4mgR cos ϕ + 16k mω) R cos ϕ sin ϕ ) 14

15 che calcolati in ϕ = forniscono: A) = 17 6 mr H U ) = 4mgR + 16k mω) R = 16k mω) R 1 λ). L equazione delle piccole oscillazioni attorno all equilibrio ϕ =, stabile per λ > 1, è pertanto: A) ϕ H U )ϕ = ossia: 17 6 mr ϕ + 16k mω) R λ 1)ϕ = che è ovviamente l equazione di un oscillatore armonico semplice unidimensionale. pulsazione normale delle piccole oscillazioni è data da: La Ω = 6 16 k 17 m + 7 ) 3 ω λ 1) ed il modo normale corrispondente si scrive: ϕ = a cosωt + α) t R, con a ed α costanti reali arbitrarie ampiezza e fase del modo normale, rispettivamente). 15