Una molla ideale di costante elastica k>0congiunge P con il punto medio B del raggio OA, parallelo a Oy vedifigura.

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1 Scritto di meccanica razionale 1 A-L del 7..6 Esercizio 1 Nel piano Oxy di una terna inerziale un punto P,dimassa m, èvincolato a scorrere senza attrito sulla circonferenza γ di raggio R e centro O parametrizzata da P (θ O R sin θ ê 1 R cos θ ê, θ R. Una molla ideale di costante elastica k>congiunge P con il punto medio B del raggio OA, parallelo a Oy vedifigura. (a Scrivere le equazioni del moto del punto. (b Individuare le posizioni di equilibrio. Esercizio In una terna solidale Oxyz una lamina rigida S ha la forma di un quarto di cerchio, con centro O, raggio R eilatipostisugliassi Ox e Oy. All estremità A del lato lungo Oy e ortogonalmente a questo èsaldata rigidamente un asta rettilinea AB di lunghezza R. Le densità dis ed AB sono date dalle espressioni σ(x, y µy R (x, y S λ(x µ x(r x x [,R] R Determinare: (a la massa del sistema; (b il baricentro G del sistema rispetto alla terna solidale; (c l inviluppo convesso C del sistema, verificando che G C. 1

2 Esercizio Dopo averne verificato le condizioni di esistenza, calcolare il centro del sistema di vettori: v 1 ê 1 ê +ê,applicato in P 1 (, 1, 1, e v 6ê 1 +ê ê,applicato in P (1, 1,. Esercizio Nel piano verticale Oxy di una terna inerziale si muove un sistema rigido pesante formato da due aste rettilinee OM e AB, ciascuna di massa m elunghezza L, saldateperpendicolarmente nel punto medio M di AB. Il punto O èfisso ed una molla ideale di costante elastica k collega M con la proiezione ortogonale C di questo sull asse orizzontale Ox. Assunti i vincoli ideali, si usi l angolo θ R compreso fra OM ed il semiasse negativo Oy per determinare (a l energia cinetica del sistema; (b gli equilibri (ordinari del sistema; (c le proprietàdistabilità degli equilibri; (d le equazioni pure del moto del sistema; (e la velocitàdelpunto B per θ e θ k/m.

3 Soluzione dell esercizio 1 (a Equazioni del moto La parametrizzazione del vincolo èdatadalla funzione P (θ O R sin θ ê 1 R cos θ ê, θ R che ammette in R la derivata prima P (θ R(cos θ ê 1 +sinθ ê. Il vettore posizione dell estremo B della molla ideale si scrive per cui la molla si dispone secondo il vettore B O R ê P B R sin θ ê 1 + ( R R cos θ ê esulpunto materiale P esercita la forza ( F k(p B krsin θ ê 1 + kr cos θ 1 ê. Per un generico moto possibile del sistema, individuato da una funzione reale arbitraria θ(t inunintervallo reale, la velocità istantaneadelpunto assume la forma P P (θ θ mentre l accelerazione istantanea è fornita dall espressione P P (θ θ + P (θ θ R(cos θ ê 1 +sinθ ê θ + R( sin θ ê 1 +cosθ ê θ che deve essere sostituita nel postulato delle reazioni vincolari m P F + Φ. L equazione pura del moto si deduce proiettando lungo la direzione tangente P (θ m P P (θ F P (θ evaleperciò ( mr θ [ krsin θ ê 1 + kr cos θ 1 ] ê R(cos θ ê 1 +sinθê ( kr [ sin θ cos θ + cos θ 1 ] sin θ 1 kr sin θ.

4 In definitiva, l equazione richiesta diventa mr kr θ sin θ. (b Posizioni di equilibrio Le configurazioni di equilibrio del sistema, che èavincoliindipendenti dal tempo, corrispondono alle soluzioni statiche delle equazioni del moto θ(t θ, costante, per le quali si ha kr sin θ e dunque θ,θ π. Gli equilibri del sistema si hanno per θ e θ π. Soluzione dell esercizio (a Massa del sistema La massa del sistema èdatadalla somma delle masse della lamina S edell asta AB, entrambe calcolate integrando le rispettive densità areale e di linea sui rispettivi domini. L integrale di σ su S può essere convenientemente espresso in coordinate polari piane (x, y (ρ cos φ, ρ sin φ, (ρ, φ [,R] [,π/] erisultacosì m S π/ dφ R dρ ρ µρ sin φ R µ R π/ sin φdφ R ρ dρ µ R [ cos φ ] π/ [ ρ ] R µ. Per lamassa dell asta si ha invece l integrale m AB R µ R x(r x dx µ R R (Rx x dx µ [ Rx R x ] R µ R ( R R µ 6 che sommata a quella del settore circolare fornisce la massa totale richiesta m m S + m AB µ + µ 6 µ. (b Baricentro Il sistema si compone di una superficie materiale piana il settore circolare e di una curva materiale l asta rettilinea. Per determinare il baricentro G del sistema è dunque

5 necessario calcolare i baricentri del settore circolare S e dell asta AB, per poi applicare il teorema distributivo. Baricentro del settore circolare La lamina piana si colloca nel piano coordinato Oxy eilsuobaricentro G 1 deve quindi essere individuato da un vettore posizione della forma G 1 O x 1 ê 1 + y 1 ê essendo certamente nulla la quota z 1 di G 1 ilbaricentro deve appartenere al piano Oxy in quanto piano di giacitura, e dunque di simmetria, della figura. L ascissa del baricentro si calcola con un integrale di superficie, applicando la definizione, x 1 R 1 m S S π/ xσdxdy µ sin φ cos φdφ π/ R dφ R ρ dρ dρρρcos φ R [ sin φ µρ sin φ R ] π/ [ ρ ] R 8 R mentre per l ordinata si ha y 1 1 m S R S π/ R 1 yσdxdy µ sin φdφ π/ Se ne deduce il vettore posizione R π/ dφ R ρ dρ R dρρρsin φ π/ 1 cos φ (1 cos φ dφ R [ 8 R φ G 1 O 8 R ê 1 + π 16 R ê. µρ sin φ R [ ρ dφ ] π/ sin φ ] R π 16 R. Baricentro dell asta L asta giace lungo la retta di equazione y R, z,cheperlaproprietàdell inviluppo convesso deve contenere anche il corrispondente baricentro G.Ilvettore posizione di G viene quindi è dato quindi dall espressione G O x ê 1 + R ê, 5

6 nella quale la sola ascissa x deve essere calcolata ricorrendo alla definizione x 1 m AB R 6 [ Rx R x xλ(x dx 6 µ ] R R 6 R ( R µ R x (R x dx 6 R R R. R (Rx x dx Si ha così: G O R ê1 + R ê. Baricentro del sistema Per calcolare il baricentro complessivo del sistema non rimane che applicare il teorema distributivo, che fornisce G O m S (G 1 O+m AB (G O m S + m AB µ ( 8 R ê 1 + π 16 R ê + µ ( R 6 ê1 + R ê µ ( 8 R ê 1 + π 16 R ê + 1 ( R ê1 + R ê 5 ( π 1 R ê R ê. (c Inviluppo convesso L inviluppo convesso C del sistema èdatodal quadrato chiuso [,R],ilpiùpiccolo insieme chiuso e convesso che include il dominio S AB. Èevidente che O 5 ( π 1 R R e R R per cui il baricentro appartiene all inviluppo convesso C, comedeveessere. Soluzione dell esercizio Il sistema di vettori v 1 ê 1 ê +ê, applicato in P 1 (, 1, 1, e v 6ê 1 +ê ê,applicato in P (1, 1, ammette centro in quanto i vettori sono paralleli elalororisultanteènonnulla v 6ê 1 +ê ê ( ê 1 ê +ê v 1 v 1 + v ê 1 ê +ê 6ê 1 +ê ê ê 1 +ê ê. 6

7 Ivettori si scrivono: v 1 ê 1 ê +ê n f 1 n v ( ê 1 ê +ê n f n, per cui il vettore posizione in O del centro C del sistema è dato dalla formula generale C O f 1(P 1 O+f (P O ê +ê +( (ê 1 +ê f 1 + f 1 ê +ê ê 1 ê ê 1 ê +ê Il centro del sistema di vettori applicati è dunque il punto ( C,, 1. ê1 +ê 1 ê. Soluzione dell esercizio (a Energia cinetica Il momento d inerzia dell asta OM rispetto all asse fisso Oz si scrive immediatamente, essendo l asta omogenea, di lunghezza L e massa m, I OM Oz ml. Per l asta AB èopportuno ricorrere al teorema di Huygens-Steiner I AB Oz m M O + I AB Mz ml + ml ml ricordando che I AB Mz ml /1. Il momento d inerzia del sistema relativamente allo stesso asse si ricava infine sommando i contributi delle due aste, per la proprietà diadditività, I Oz I OM Oz + I AB Oz ml ml 17 1 ml. Essendo poi θ ê il vettore velocità angolare istantanea del telaio, la corrispondente energia cinetica risulta T 1 I Oz θ ê ml θ 17 ml θ. (b Equilibri ordinari Il sistema èsoggetto alla forza peso ed all interazione elastica fra il punto M elaproiezione ortogonale C di questo sull asse delle ascisse: si tratta di sollecitazioni posizionali conservative, che vengono descritte per mezzo degli appropriati potenziali. 7

8 Potenziale gravitazionale Il potenziale gravitazionale del sistema èlasomma dei potenziali gravitazionali delle due aste U g mg ê M O mg ê (M O mg ê (L sin θ ê 1 L cos θ ê mgl cos θ. Potenziale elastico Il potenziale associato alla molla ideale che congiunge i punti M e C èdatodalla relazione generale U el k M C k (L cos θ kl cos θ. Potenziale del sistema Il potenziale del sistema si ottiene sommando tutti i potenziali parziali, gravitazionale ed elastico, e risulta perciò U(θ kl mgl cos θ cos θ θ R. Equilibri Gli equilibri di questo sistema scleronomo a vincoli bilaterali ideali, soggetto unicamente a sollecitazioni posizionali conservative, si identificano con i punti stazionari del potenziale U evanno quindi ricavati ponendo uguale a zero la derivata prima ovvero risolvendo l equazione trigonometrica U (θ mgl sin θ + kl cos θ sin θ mgl sin θ + kl cos θ sin θ che può anche porsi nella forma equivalente ( sin θ cos θ mg kl. Le configurazioni di equilibrio che soddisfano l equazione parziale sin θ sonodefinite per qualsiasi scelta dei coefficienti caratteristici del sistema θ, θ π. All equazione parziale cos θ mg/kl sono inoltre associate due ulteriori configurazioni di equilibrio ( mg ( mg θ arccos θ e θ arc cos θ, kl kl 8

9 definite e distinte dalle precedenti a condizione che si abbia mg kl < 1. (c Stabilità degliequilibri ordinari Le caratteristiche di stabilità oinstabilitàdegli equilibri ordinari del sistema vengono analizzate facendo ricorso ai teoremi di Lagrange-Dirichlet e di inversione parziale, dato il carattere scleronomo del sistema vincolato e la natura posizionale conservativa di tutte le sollecitazioni attive applicate. Un ruolo centrale nell analisi gioca la derivata seconda del potenziale U (θ mgl cos θ + kl (cos θ sin θ che deve essere calcolata in ciascuna delle configurazioni di equilibrio. Configurazione θ In questa configurazione la derivata seconda del potenziale non ha segno definito U ( ( mgl + kl kl 1 mg kl erichiedeche si distinguano diversi casi: se mg/kl < 1laderivata seconda del potenziale in θ èpositiva ed implica l instabilità della configurazione per il teorema di inversione parziale di Lagrange- Dirichlet; per mg/kl > 1sihainveceU ( < elaconfigurazione risulta un massimo relativo proprio del potenziale, la cui stabilità seguedal teorema di Lagrange-Dirichlet; se infine mg/kl 1laderivataseconda del potenziale si annulla in θ,circostanza che esclude l applicabilità delteorema di inversione parziale. Per brevità si può qualificare questo caso come critico, sebbene vi sia la possibilità chelaconfigurazione costituisca un massimo relativo proprio del potenziale e che dunque sia stabile per Lagrange-Dirichlet. In effetti, per mg/kl 1 la derivata seconda del potenziale si riduce a per cui le derivate terza e quarta diventano U (θ kl ( cos θ +cos θ sin θ U ( (θ kl (sin θ sinθ cos θ e U ( (θ kl (cos θ cos θ +sin θ einθ valgono U ( ( U ( ( kl assicurando il ricorrere in θ diun massimo relativo proprio del potenziale. Anche nel caso critico, la configurazione di equilibrio èinrealtàstabile. 9

10 Configurazione θ π La derivata seconda del potenziale è sempre strettamente positiva in questa configurazione U (π mgl + kl >, che risulta perciò instabile per il teorema di inversione parziale di Lagrange-Dirichlet. Configurazione θ θ La configurazione èdefinita per mg/kl < 1esoddisfa cos θ mg/kl. Laderivata seconda del potenziale in θ ha sempre segno negativo U (θ mgl cos θ + kl (cos θ sin θ kl ( mg kl cos θ +cos θ sin θ kl sin θ <. La configurazione, quando definita, costituisce un massimo relativo proprio del potenziale ed è dunque stabile per il teorema di Lagrange-Dirichlet. Configurazione θ θ Le proprietà di stabilità di questa configurazione sono identiche a quelle della configurazione simmetrica θ θ,inquantoilpotenzialeu è una funzione pari U( θ U(θ θ R e le derivate seconde coincidono U ( θ U (θ. (d Equazioni pure del moto Il sistema èolonomoavincoli bilaterali ideali, con un solo grado di libertà, per cui le corrispondenti equazioni pure del moto si riducono all unica equazione di Lagrange dove la lagrangiana vale d dt ( L θ L θ (.1 L(θ, θ T + U 17 ml θ + kl mgl cos θ cos θ. Se ne deducono facilmente le espressioni L 17 θ 1 ml θ d ( L dt θ 17 1 ml θ L θ mgl sin θ + kl sin θ cos θ 1

11 che sostituite nella (.1 porgono l equazione del moto richiesta 17 1 ml θ + mgl sin θ kl sin θ cos θ. (e Velocitàdelpunto B Il telaio rigido ha un punto fisso in O, per cui l atto di moto corrispondente è di tipo rotatorio, con velocità angolare θ ê.perlavelocità istantaneadelpunto B in una generica configurazione il teorema di Poisson porge allora l espressione Ḃ θ ê (B O θ ê (M O + B M [ θ ê L sin θ ê 1 L cos θ ê + L cos θ ê 1 + L ] sin θ ê [ ( L θ ê sin θ + 1 cos θ ê 1 + ( cos θ + 1 ] sin θ ê [ ( L θ cos θ 1 sin θ ê 1 + (sin θ + 1 ] cos θ ê che nella fattispecie, essendo θ e θ k/m, siriduce a k ( Ḃ L ê m ê. 11