Prova scritta di fondamenti di meccanica razionale del

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1 Prova scritta di fondamenti di meccanica razionale del Esercizio 1 Nel piano Oxy di una terna cartesiana ortogonale Oxyz = Oê 1 ê ê giacciono, come mostrato in figura, una piastra P e un asta OA. La piastra P, omogenea e di massa µ, è un quadrato OBCD di lato a da cui è stata rimossa una porzione quadrata di lato a in corrispondenza del vertice O. L asta OA, che giace lungo l asse Ox, ha lunghezza a e densità: λ(p = µ P O P OA. a Determinare: (a la massa e la posizione del baricentro del sistema rispetto a Oxyz; (b la matrice d inerzia del sistema relativa a Oxyz; (c i momenti d inerzia del sistema rispetto alla retta OC e alla retta BC; (d una terna principale d inerzia in O della piastra P, con i relativi momenti principali. Esercizio Nel piano cartesiano Oxy = Oê 1 ê si consideri il campo vettoriale F : R R definito da: F (x, y = (x + yê 1 + (x + yê, (x, y R. (a Dire se F è conservativo ed in tal caso determinarne un potenziale. (b Calcolare l integrale del lavoro di F lungo la curva γ Oxy di parametrizzazione (x, y = sin ξ ê 1 + cos ξ ê, ξ [, π]. 1

2 Esercizio Nel piano Oxy di una terna Oxyz = Oê 1 ê ê, con asse verticale Oy, un disco circolare omogeneo e pesante D, di massa m, centro C e raggio a, rotola senza strisciare lungo il bordo interno di una guida circolare fissa γ, di centro A(, 4a e raggio 4a. La terna ruota con velocità angolare costante ω attorno all asse Oy rispetto ad un riferimento inerziale. Una molla ideale di costante elastica k = mω /4 collega C ad O. Assunti i vincoli ideali, si usi l angolo ϑ R in figura come coordinata lagrangiana per determinare del sistema, rispetto ad Oxyz: (a gli equilibri, con le relative condizioni di esistenza; (b le proprietà di stabilità degli equilibri; (c l espressione dell energia cinetica; (d le equazioni di Lagrange del moto; (e gli equilibri di confine, qualora fosse ϑ [ π/, π/].

3 Soluzione dell esercizio 1 (a Massa e baricentro del sistema Massa dell asta OA La massa dell asta si ricava integrando la densità lineare λ sul segmento OA, in termini dell ovvia parametrizzazione P O = xê 1, x [, a]: m OA = λ ds = OA a µ a x dx = µ a a = µ. Massa del sistema Il punto di intersezione A fra la piastra P e l asta OA non dà alcun contributo alla massa totale del sistema, che quindi può essere determinata semplicemente come somma delle masse parziali: m = m P + m OA = µ + µ = 7 µ. Baricentro dell asta OA Il baricentro dell asta deve collocarsi lungo l asse di giacitura e di simmetria Ox, per cui deve essere individuato da un vettore posizione della forma: G OA O = x OA ê 1, dove l ascissa è calcolata usando la definizione: x OA = 1 m OA OA x λ ds = µ a x µ a x dx = a a x dx = a a = a. Pertanto: G OA O = aê 1. Baricentro della piastra P Il modo più diretto per determinare la posizione del baricentro di P consiste probabilmente nel considerare la piastra come composta da tre piastre quadrate uguali di lato a, massa µ e (baricentri rispettivi: C 1 ( a, a C ( a, a C ( a, a Il teorema distributivo, applicabile in quanto i lati di intersezione fra le tre piastre sono insiemi di area nulla, porge allora per il baricentro G P il vettore posizione: G P O = 1 [ a µ( µ ê1 + aê + µ( aê 1 + aê + µ( aê 1 + a ê ] = = 1 7 ( aê aê = 7 6 aê aê..

4 Baricentro del sistema Il baricentro del sistema viene determinato applicando la proprietà distributiva agli elementi OA e P: G O = m OA(G OA O + m P (G P O m = 7( 1 ê1 + 7 ê1 + 7 ê = [ µ 7µ a = ( 7 6 ê1 + 7 ê ( 7 aê 1 + µ 6 aê ] 6 aê = a = 1 aê 1 + aê. (b Matrice d inerzia del sistema Matrice d inerzia dell asta OA Poichè l asta giace lungo l asse coordinato Ox, la matrice d inerzia di OA rispetto alla terna Oxyz assume la forma generale: [L OA O ] = L OA yy L OA yy con il momento d inerzia relativo a Oy dato da: L OA yy = OA x λ ds = a x µ a x dx = µ a a x dx = µ a a 4 4 = µa 4, in modo che risulta: O ] = µa 1/4. 1/4 [L OA Matrice d inerzia della piastra P Per calcolare la matrice d inerzia della piastra P conviene ricorrere alla proprietà additiva dell operatore d inerzia e considerare la piastra quadrata F originariamente rimossa dalla lamina quadrata omogenea OBCD per ottenere P. Poichè la piastra P è omogenea, di densità costante: σ = µ a = µ a ed F è un quadrato di lato a e uguale densità, la massa di F deve risultare: m F = σ a = µ a a = µ. La piastra P viene dunque pensata come differenza tra la piastra completa P F, quadrato omogeneo di lato a e massa 4µ, e quella rimossa F, quadrato omogeneo di lato a e massa µ: la matrice d inerzia di P relativa a Oxyz si scriverà come differenza fra le matrici d inerzia di P F e F calcolate rispetto alla stessa terna di riferimento. Per calcolare le matrici d inerzia parziali non si rende necessario alcun calcolo; basta ricordare che per una piastra 4

5 quadrata omogenea di lato L e massa m collocata nel piano Oxy con due lati lungo gli assi coordinati la matrice d inerzia vale: Di conseguenza: O ] = 4µ(a [L F P 1/ 1/4 [L O ] = ml 1/4 1/. / 1/ 1/4 1/4 1/ / = µa 16/ / / e: 1/ 1/4 [L F O] = µa 1/4 1/, / per cui: 16/ 4 [L P O] = [L F P O ] [L F O] = µa 4 16/ / = µa 5 15/4 15/4 5 1 µa 1/ 1/4 1/4 1/ / =. (1 Matrice d inerzia del sistema La matrice d inerzia del sistema rispetto alla terna Oxyz è la somma delle matrici d inerzia di OA e P rispetto allo stesso riferimento: [L O ] = [L OA O ] + [L P O] = µa 1/4 + µa 5 15/4 15/4 5 = 1/4 1 = µa 5 15/4 15/4 1/4. 41/4 (c Momenti d inerzia rispetto alle rette OC e BC Momento d inerzia rispetto alla retta OC La retta passa chiaramente per l origine ed è individuata dal versore direttore: ˆn = C O C O = aê 1 + aê aê 1 + aê = 1 ê ê = 1 (ê 1 + ê. 5

6 Il momento d inerzia del sistema rispetto ad OC è quindi determinato dalla relazione: I OC = ˆn L O (ˆn = 1 1 (1 1 [L O ] 1 1 = = 1 [ ( 1 Lxx + L yy + L xy = 5µa µa + ( 15 4 µa] = 11 8 µa. Momento d inerzia rispetto alla retta BC La retta BC è parallela all asse coordinato Oy, ma non passa per il baricentro G del sistema. La determinazione del momento d inerzia rispetto a BC richiede dunque un doppio ricorso al teorema di Huygens-Steiner: una volta tra l asse Oy e l asse baricentrale Gy, parallelo al precedente, e una seconda volta tra Gy e BC. Indicata con x G = (/1a l ascissa del baricentro G, il teorema di Huygens-Steiner porge le relazioni: I Oy = I Gy + mx G I BC = I Gy + m(a x G che sottratte membro a membro consentono di ricavare I BC : I BC = I Oy + m(a x G mx G = I Oy + m(4a 4ax G = = 1 4 µa + 7 ( µ 4a 4a ( 1 1 a = µa = 47 1 µa. (d Terna e momenti principali d inerzia in O della piastra P Terna principale d inerzia in O di P L individuazione di una terna principale d inerzia in O della piastra non richiede alcun calcolo. Basta infatti riconoscere che la piastra omogenea P ammette un evidente asse di simmetria di massa, rappresentato dalla retta OC, che costituisce anche un asse principale d inerzia in O. Un secondo asse principale è Oz, ortogonale al piano di giacitura e di simmetria Oxy. Il terzo asse deve risultare ortogonale ai due precedenti, in forza del teorema spettrale, e va quindi identificato con la bisettrice y = x, z = del II e IV quadrante nel piano coordinato Oxy. A questa terna principale d inerzia in O è associata la base ortonormale di versori: ê ξ = 1 (ê 1 + ê ê ê η = 1 ( ê 1 + ê. ( Momenti principali d inerzia in O di P I momenti principali d inerzia in O della piastra sono per definizione gli autovalori della matrice d inerzia [L P O ] ricavata in (1. Non si rende però necessario risolvere il relativo problema agli autovalori, dal momento che una base di autovettori è già stata determinata grazie alle proprietà di simmetria della piastra. I momenti principali associati agli autovettori ê ξ, ê, ê η sono pertanto: A 1 = ê ξ L P O(ê ξ = 1 (1 1 [LP O] 1 1 = 1 ( µa = 5 4 µa 6

7 A = ê L P O(ê = 1µa A = ê η L P O(ê η = 1 ( 1 1 [LP O] 1 1 = 1 ( µa = 5 4 µa. Si osservi che i tre momenti principali d inerzia sono distinti, per cui la terna principale in O risulta determinata univocamente, a meno del solo orientamento degli assi principali. Soluzione dell esercizio (a Potenziale del campo di forze Poichè il campo risulta C 1 e definito su un dominio semplicemente connesso: F x = x + y F y = x + y (x, y R, l esistenza del potenziale è assicurata dalla condizione di irrotazionalità: F y x F x y = x (x + y y (x + y = 1 1 = (x, y R. Un potenziale U in un generico punto (x o, y o R può essere ricavato calcolando l integrale del lavoro di F lungo un qualsiasi percorso che congiunge l origine (, con (x o, y o, ad esempio lungo il segmento di retta Γ che ha tali punti come estremi. Una parametrizzazione del segmento si scrive: (x, y = (ξx o, ξy o, ξ [, 1], ed il corrispondente integrale del lavoro diventa: U(x o, y o = F x (x, y dx + F y (x, y dy = = Γ 1 (x oξ + x o y o ξ + y oξ dξ = x o + x o y o + y o, per cui il potenziale del campo assume la forma: 1 U(x, y = x + xy + y (x, y R. (ξx o + ξy o x o dξ + (ξx o + ξy o y o dξ = (b Integrale del lavoro del campo sulla curva γ Dato il carattere conservativo del campo, l integrale del lavoro su una qualsiasi curva orientata γ si identifica con la variazione del potenziale tra l estremo finale e quello iniziale. Nella fattispecie, dalla parametrizzazione: P (ξ O = sin ξ ê 1 + cos ξ ê, ξ [, π] 7

8 appare evidente che la curva γ è chiusa; poichè gli estremi iniziale e finale coincidono, l integrale del lavoro deve annullarsi. Soluzione dell esercizio (a Equilibri Il sistema, scleronomo e a vincoli bilaterali ideali, è soggetto soltanto a sollecitazioni posizionali conservative: il peso, il sistema delle forze centrifughe e l interazione elastica generata dalla molla che collega O e C. Di tali forze occorre ricavare i relativi potenziali. Si osservi che le forze di Coriolis hanno componente generalizzata identicamente nulla: Q Cor ϑ = P D ωm P ê P P ϑ = ωm P ê P ϑ ϑ P ϑ = = P D P D e non concorrono pertanto né alla dinamica nálla statica del sistema. Potenziale gravitazionale Il potenziale relativo al sistema delle forze peso è dato dall espressione: U g = mgê (C O nella quale il vettore posizione del baricentro C del disco vale: in modo che risulta: C O = A O + C A = 4aê + a sin ϑê 1 a cos ϑê = = a sin ϑê 1 + a(4 cos ϑê U g = mgê [a sin ϑê 1 + a(4 cos ϑê ] = mga cos ϑ + costante. Potenziale elastico Il potenziale associato alla molla ideale di stiffness k = mω /4 tesa fra C ed O si scrive: U el = k C O = mω a sin ϑê1 + a(4 cos ϑê = 8 = ma ω sin ϑê 1 + (4 cos ϑê ma ω = 8 8 = ma ω cos ϑ + costante. Potenziale centrifugo Il potenziale centrifugo si calcola direttamente dalla definizione: U cf = ω ID Oy = ω [ I D Cy + m[(c O ê 1 ] ] [ = ω ma 4 8 (5 4 cos ϑ = ] + m 9a sin ϑ = = 9 ma ω sin ϑ + costante.

9 Potenziale del sistema Il potenziale del sistema è definito come somma dei potenziali parziali, gravitazionale, elastico e centrifugo: U(ϑ = U g + U el + U cf = (mga + ma ω cos ϑ + 9 ma ω sin ϑ, ϑ R. Equilibri Gli equilibri del sistema sono tutti ordinari e vanno identificati con i punti stazionari del potenziale. Si eguaglia quindi a zero la derivata prima del potenziale: U (ϑ = (mga + ma ω sin ϑ + 9ma ω sin ϑ cos ϑ per ottenere l equazione di equilibrio: (mga + ma ω sin ϑ + 9ma ω sin ϑ cos ϑ = che si esprime nella forma fattorizzata equivalente: 9ma ω sin ϑ ( mga + ma ω 9ma ω ossia, semplificando alcuni fattori costanti positivi: sin ϑ ( g + aω aω + cos ϑ =. + cos ϑ = Per sin ϑ = si hanno due equilibri definiti incondizionatamente: ϑ = ϑ = π. Per g + aω aω + cos ϑ = risulta invece: e si ottengono gli ulteriori equilibri: cos ϑ = 1 + g aω ( 1 ϑ = arccos + g aω := ϑ, ϑ = ϑ definiti e distinti dai precedenti a condizione che si abbia: con ϑ (, π/. 1 + g aω < 1 g aω <, 9

10 (b Stabilità degli equilibri Le proprietà di stabilità degli equilibri possono essere caratterizzate ricorrendo ai teoremi standard di Lagrange-Dirichlet e di inversione parziale. Per accertare la natura dei punti stazionari conviene calcolare la derivata seconda del potenziale: U (ϑ = (mga + ma ω cos ϑ + 9ma ω (cos ϑ sin ϑ ( in ciascuna configurazione di equilibrio. Configurazione ϑ = Per ϑ = la derivata seconda ( diventa: U ( = (mga + ma ω + 9ma ω = mga + 6ma ω = ma ω ( e non avendo segno definito obbliga a considerare tre diversi casi: g aω se g/aω > è U ( <, per cui l equilibrio risulta un massimo relativo proprio del potenziale, stabile per Lagrange-Dirichlet; per g/aω < si ha U ( > e l equilibrio è un minimo relativo proprio del potenziale. La circostanza implica l instabilità dell equilibrio per il teorema di inversione parziale di Lagrange-Dirichlet; se infine g/aω = si ottiene U ( = ed occorre considerare le derivate di ordine superiore al secondo: che in ϑ = valgono: U (ϑ = 9ma ω ( cos ϑ + cos ϑ sin ϑ U ( (ϑ = 9ma ω (sin ϑ 4 sin ϑ cos ϑ U (4 (ϑ = 9ma ω (cos ϑ 4 cos ϑ + 4 sin ϑ U ( = U ( ( = U (4 ( = 7ma ω e in un intorno di ϑ = porgono l approssimazione di Taylor: U(ϑ = U( 1 4! 7ma ω ϑ 4 + o(ϑ 4 (ϑ. Se ne deduce che l equilibrio costituisce un massimo relativo proprio del potenziale, stabile per Lagrange-Dirichlet. Configurazione ϑ = π In questo caso la derivata seconda ( del potenziale assume sempre segno positivo: ed assicura l instabilità dell equilibrio. U (π = (mga + ma ω + 9ma ω > 1

11 Configurazione ϑ = ϑ, con cos ϑ = 1 + g aω < 1 La derivata seconda del potenziale ha sempre segno negativo: U (ϑ = (mga + ma ω cos ϑ + 9ma ω (cos ϑ sin ϑ = = 9ma ω ( cos ϑ cos ϑ + cos ϑ sin ϑ = 9ma ω sin ϑ < ed individua l equilibrio come massimo relativo proprio del potenziale, la cui stabilità segue dal teorema di Lagrange-Dirichlet. Configurazione ϑ = ϑ L equilibrio è stabile in quanto massimo relativo proprio del potenziale, come si deduce dal segno negativo della derivata seconda: U ( ϑ = U (ϑ = 9ma ω sin ϑ < ed è peraltro evidente per ragioni di simmetria il potenziale U(ϑ è una funzione pari. (c Energia cinetica Il disco omogeneo è privo di punti fissi e la sua energia cinetica si esprime convenientemente ricorrendo al teorema di König: dove: T D = m Ċ + 1 ID Cz ω D, Ċ = a cos ϑ ϑê 1 + a sin ϑ ϑê = Ċ = 9a ϑ, mentre il momento d inerzia relativo a Cz e la velocità angolare istantanea valgono rispettivamente: ICz D = ma e ω D = 4a a ϑê = a ϑê. L energia cinetica del sistema si scrive pertanto: T = T D = m 9a ϑ + 1 ma ϑê = 9 ma ϑ ma ϑ = 7 4 ma ϑ. (d Equazioni di Lagrange Le equazioni pure del moto si identificano con l unica equazione di Lagrange: nella quale figurano la lagrangiana: d ( L dt ϑ L ϑ = L = T + U = 7 4 ma ϑ + (mga + ma ω cos ϑ + 9 ma ω sin ϑ. 11

12 Dalle ovvie relazioni: d ( L dt ϑ = 7 ma ϑ si deduce dunque l equazione del moto cercata: L ϑ = (mga + ma ω sin ϑ + 9ma ω sin ϑ cos ϑ 7 ma ϑ + (mga + ma ω sin ϑ 9ma ω sin ϑ cos ϑ =. (e Equilibri di confine per ϑ [ π/, π/] Le configurazioni di confine si hanno per ϑ = π/ e ϑ = π/: esse vengono caratterizzate come equilibri di confine per mezzo del teorema dei lavori virtuali. Configurazione ϑ = π/ Per l equilibrio il teorema di lavori virtuali porge la condizione necessaria e sufficiente: α ϑ Q ϑ ( π/ α ϑ Q ϑ ( π/. Il calcolo esplicito della componente generalizzata delle forze attive porge: ( Q ϑ ( π/ = U ( π/ = (mga + ma ω sin π ( + 9ma ω sin π = (mga + ma ω 9ma ω 1 = ( = mga ma ω = ma ω ( g aω 1 e la condizione per l equilibrio diventa: ma ω ( g aω 1 Configurazione ϑ = π/ In questo caso la condizione di equilibrio si scrive: ( cos π = ( mga + ma ω 9 ma ω = g aω 1. α ϑ Q ϑ (π/ α ϑ Q ϑ (π/. D altra parte, dall evidente simmetria del potenziale segue che: Q ϑ (π/ = U (π/ = U ( π/ = Q ϑ ( π/, per cui la condizione di equilibrio diventa la stessa già considerata per la configurazione simmetrica precedente: Q ϑ (π/ Q ϑ ( π/ g aω 1. 1