Prova scritta di fondamenti di meccanica razionale del Esercizio 1 Nel piano Oxy di una terna inerziale Oxyz =

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1 Prova scritta di fondamenti di meccanica razionale del Esercizio 1 Nel piano Oxy di una terna inerziale Oxyz = Oê 1 ê ê con l asse Oy diretto verso l alto si considera il sistema rigido S composto da: (i un disco circolare D di centro C(, a, raggio a e densità σ(q = m Q C πa Q D e (ii un asta rettilinea OA di lunghezza a e densità λ(q = m a A Q Q OA, disposti come illustrato in figura. Un punto pesante P, di massa m, può scorrere senza attrito lungo il bordo D del disco ed è collegato ad A da una molla ideale di costante elastica k. Determinare: (a massa e baricentro G S del sistema S, verificando che G S conv(s; (b la matrice d inerzia di S rispetto a Oxyz; (c il momento d inerzia di S relativo alla retta r di equazione x = s, y = s, z = s; (d il momento d inerzia di S rispetto alla retta Ay, passante per A e parallela ad Oy; (e le equazioni pure del moto del punto P usando come variabile l angolo θ in figura. Esercizio Nel piano verticale Oxy di una terna inerziale Oxyz = Oê 1 ê ê una piastra quadrata P, di massa m, ha il lato AB vincolato a scorrere lungo l asse orizzontale Ox. Un disco circolare omogeneo D, di raggio a, centro C e massa m, rotola senza strisciare lungo il bordo interno di una guida circolare fissa γ, di raggio 4a e centro O. Il sistema è pesante e soggetto all interazione elastica prodotta da una molla ideale di stiffness k che collega C ad A. Usare le coordinate lagrangiane ξ, ϕ R in figura per determinare del sistema: (a gli equilibri ordinari, precisandone le condizioni di esistenza; (b le proprietà di stabilità degli equilibri ordinari; (c l espressione dell energia cinetica; (d le equazioni di Lagrange; (e gli equilibri di confine, specificandone le condizioni di esistenza, qualora fosse ϕ [ π/, π/]. 1

2 Soluzione dell esercizio 1 (a Massa e baricentro di S Massa dell asta OA L asta è descritta dalla parametrizzazione: Q O = xê 1, x [, a]. Poichè inoltre A O = aê 1, la densità lineare dell asta in termini del parametro x assume la forma: λ(x = m a aê 1 xê 1 = m a (a x, x [, a] ed il suo integrale su OA fornisce la massa richiesta: m OA = λ ds = OA a m a (a x dx = m a [ ] a (a x = m 8a a = 8 m. Baricentro dell asta OA L asta si colloca lungo l asse coordinato Ox, che deve anche accogliere il relativo baricentro G OA. Questo sarà perciò individuato da un vettore posizione della forma: con ascissa: x OA = 1 m OA OA = 8a x λ ds = 8m a [4a x + x4 4 4ax G OA O = x OA ê 1 x m a (a x dx = 8a ] a a (4a x + x 4ax dx = = (8a 4 8a + 4a 4 a4 = ( 1 a = a 8 per cui: G OA O = a ê1. Massa del disco D Il disco viene descritto per mezzo della parametrizzazione in coordinate polari: Q O = ρ sin ϕ ê 1 (a + ρ cos ϕ ê (ρ, ϕ [, a] [, π], mentre il centro C è individuato dal vettore posizione: C O = aê, per cui: Q C = ρ sin ϕ ê 1 ρ cos ϕ ê (ρ, ϕ [, a] [, π]

3 e la densità areale risulta: σ(ρ, ϕ = m Q C = m πa ρ (ρ, ϕ [, a] [, π]. πa Integrata sul dominio D questa densità fornisce la massa richiesta: m D = D σ da = a dρ ρ π dϕ m πa ρ = m πa a π ρ dρ dϕ = m a πa π = m. Baricentro del disco D Siccome la densità areale del disco è funzione della sola distanza dal centro C, questo rappresenta un ovvio centro di simmetria e va identificato con il baricentro G D del disco. Si ha pertanto: G D O = C O = aê. Massa del sistema S La massa del sistema S è la somma delle masse di asta e disco, dal momento che l unico punto di intersezione O costituisce un insieme di misura nulla per entrambi: m S = m OA + m D = 8 m + m = 1 m. Baricentro del sistema S La posizione del baricentro G S del sistema si deduce dal teorema distributivo, applicato alle parti OA e D: G S O = m OA(G OA O + m D (G D O = m S = [ 8 1m m a ê1 + ] m ( aê = 1 1 (4aê 1 aê = 5 aê aê. Inviluppo convesso Dal vettore posizione del baricentro si ricava immediatamente che: G S C = (G S O (C O = 5 aê aê ( aê = 5 aê aê per cui risulta: G S C = a = 5 a < a. Ne deriva che G S D S conv(s, come imposto dal teorema dell inviluppo convesso. (b Matrice d inerzia di S relativa a Oxyz Matrice d inerzia dell asta

4 Poichè l asta giace lungo l asse Ox, la sua matrice d inerzia relativa a Oxyz è del tipo: [L OA O ] = L OA yy L OA yy con l unico momento d inerzia non banale dato da: = m a L OA yy = a OA x λ ds = a x m a (a x dx = m a a (4a x + x 4 4ax dx = m a [ 4a x + x5 5 ax4 x (4a + x 4ax dx = = m ( a a5 + 5 a5 16a 5 ( = 16 + ( 5 1 ma = 16 ma 5 = ma, in modo che: [L OA O ] = ma 16/15. 16/15 Matrice d inerzia del disco La matrice d inerzia del disco si determina facilmente rispetto alla terna baricentrale Cxyz, evidente terna centrale d inerzia per via degli assi di simmetria Cx, Cy, Cz. La presenza dell ulteriore asse di simmetria y = x nel piano di giacitura Cxy implica che siano uguali i momenti d inerzia relativi agli assi Cx e Cy, mentre il momento d inerzia relativo ad Cz deve identificarsi con la somma dei due precedenti, visto che il disco si colloca nello stesso piano Cxy. La matrice d inerzia ha dunque la forma diagonale: [L D C] = LD Cxx L D Cxx L D Cxx con il momento d inerzia rispetto a Cx dato da: L D Cxx = y σ da = D = m a 5 πa 5 in modo che risulta: π a dρ ρ π 1 + cos ϕ dϕ ρ cos ϕ m πa ρ = [ dϕ = ma ϕ + 1π m πa ] a a ] π sin ϕ [L D C] = ma 1/5 1/5. /5 4 = π ρ 4 dρ cos ϕ dϕ = = ma 1π π = ma 5

5 D altra parte, le coordinate del baricentro G D = C rispetto ad Oxyz sono: d 1 = d = a d =, e la matrice d inerzia del disco relativa alla terna Oxyz si scrive per mezzo del teorema di Huygens-Steiner generalizzato: [L D O] = [L D C] + m D [D] = [L D C] + m d + d d 1 d d 1 d d 1 d d 1 + d d d = d 1 d d d d 1 + d = [L D C] + m a = ma 1/5 1/5 + ma / = a /5 / = ma 1/15 1/5. 16/15 Matrice d inerzia del sistema S La matrice d inerzia relativa a Oxyz di S si scrive come somma delle matrici d inerzia, relative alla stessa terna, di asta e disco: [L S O] = [L OA O ] + [L D O] = ma 16/15 16/15 = ma 1/15 19/15 /15 (c Momento d inerzia di S rispetto alla retta r La retta r è individuata dalle equazioni parametriche: { x = s y = s s R, z = s + ma 1/15. 1/5 16/15 passa chiaramente per l origine (basta porre s = ed ammette il versore direttore: ˆn = ê1 + ê ê ê 1 + ê ê = ê1 + ê ê 6. Il momento d inerzia rispetto ad r del sistema S si può quindi scrivere nella forma: = I r = I Oˆn = ˆn L S O(ˆn = 1 6 ( 1 1 [LS O] 1 = 1 = 1 ( 1 1 ma 1/15 19/15 1 = 6 /15 1 = 1 [ 1 6 ma ] 15 ( 1 = ma 6 15 = 11 9 ma. 5

6 (d Momento d inerzia di S rispetto alla retta Ay La retta Ay è parallela all asse coordinato Oy, ma non passa per il baricentro G S del sistema S. Conviene quindi calcolare il momento d inerzia relativo ad Ay applicando due volte il teorema di Huygens-Steiner classico: le rette parallele da considerare sono Ay, Oy e G S y. Indicata con x S l ascissa del baricentro G S, il teorema di Huygens-Steiner porge le equazioni: L S yy = I S Gy + m S x S I S Ay = I S Gy + m S (a x S che sottratte membro a membro conducono a: ossia: I S Ay L S yy = I S Gy + m S (a x S I S Gy m S x S IAy S = L S yy + m S (4a 4ax S = L S yy + m S 4a(a x S = = ma + 1 ( m 4a a 5 a = ma + 4 ma 5 = ma + 8ma = ma. (e Equazione del moto di P La dinamica del punto materiale è governata dal postulato delle reazioni vincolari: m P = mgê + k(a P + Φ in cui la reazione vincolare risulta costantemente ortogonale alla circonferenza D per via della condizione di vincolo liscio. La posizione del punto P è individuata in termini dell angolo θ dalla parametrizzazione: P O = C O + P C = aê + a sin θ ê 1 a cos θ ê = a sin θ ê 1 a(1 + cos θê che derivata in θ fornisce il vettore tangente: P (θ = a(cos θ ê 1 + sin θ ê al quale corrisponde il versore tangente: ˆτ(θ = P (θ P (θ = cos θ ê 1 + sin θ ê. L ascissa curvilinea di P lungo D, misurata a partire dal punto più basso della circonferenza, si determina immediatamente a partire dall elemento infinitesimo di lunghezza: ds = P (θ dθ = adθ = s = aθ. D altra parte, il vettore posizione dell estremo A della molla è dato da: A O = aê 1 6

7 e porge: A P = a( sin θê 1 + a(1 + cos θê. L equazione pura del moto di P si ottiene proiettando il postulato delle reazioni vincolari lungo il versore tangente: m s = [ mgê + k(a P ] ˆτ e andando a sostituire le espressioni esplicite di A P e di ˆτ diventa: ma θ = [ mgê + ka( sin θê 1 + ka(1 + cos θê ] (cos θ ê1 + sin θ ê = = ka( sin θ cos θ mg sin θ + ka(1 + cos θ sin θ = = ka cos θ ka sin θ cos θ mg sin θ + ka sin θ + ka cos θ sin θ = = ka cos θ + (ka mg sin θ. L equazione richiesta è pertanto: ma θ = ka cos θ + (ka mg sin θ. Soluzione dell esercizio (a Equilibri ordinari Il sistema, scleronomo e a vincoli bilaterali ideali, è soggetto esclusivamente a sollecitazioni posizionali conservative, costituite dal sistema delle forze peso e dall interazione elastica fra gli estremi A e C della molla ideale. Gli equilibri sono dunque tutti ordinari e vanno identificati con i punti critici del potenziale del sistema, che risulta dalla somma dei potenziali gravitazionale ed elastico; la determinazione di questi richiede i seguenti vettori posizione: C O = a sin ϕ ê 1 a cos ϕ ê A O = aξê 1. Potenziale delle forze peso Al sistema delle forze peso è associato un potenziale gravitazionale del disco D ed uno della piastra P; per il potenziale complessivo vale dunque l espressione: U g = mgê (C O mgê (G P O nella quale però il contributo della piastra è chiaramente costante, visto il moto traslatorio di questa lungo l asse orizzontale Ox (si osservi che l effettiva collocazione del baricentro G P della piastra non influenza il risultato. Si ha pertanto: U g = mga cos ϕ. Potenziale elastico Il potenziale elastico della molla ideale si scrive: U el = k C A 7

8 con: e quindi: C A = a( sin ϕ ξê 1 a cos ϕ ê in modo che: C A = a ( sin ϕ ξ + 9a cos ϕ = a (9 + ξ 6ξ sin ϕ, U el = ka (9 + ξ 6ξ sin ϕ = ka ( ξ + ξ sin ϕ + costante. Potenziale del sistema La somma dei potenziali gravitazionale ed elastico definisce, omesse le costanti additive irrilevanti, il potenziale del sistema: U(ξ, ϕ = U g + U el = mga cos ϕ + ka ( ξ + ξ sin ϕ Equilibri Le derivate parziali prime del potenziale si scrivono: (ξ, ϕ R. (1 U ξ (ξ, ϕ = ka ( ξ + sin ϕ U ϕ (ξ, ϕ = mga sin ϕ + ka ξ cos ϕ ed eguagliate simultaneamente a zero porgono le equazioni di equilibrio: ka ( ξ + sin ϕ = mga sin ϕ + ka ξ cos ϕ = che equivalgono alle seguenti: ξ = sin ϕ mg sin ϕ + kaξ cos ϕ =. ( Sostituendo la prima equazione ( nella seconda, questa diventa: mg sin ϕ + ka sin ϕ cos ϕ = ossia, raccolti i fattori comuni: ( ka sin ϕ cos ϕ mg ka Per sin ϕ = si hanno le soluzioni distinte: =. ϕ = ϕ = π 8

9 cui corrispondono, tramite la prima delle equazioni (, due equilibri definiti incondizionatamente: (ξ, ϕ = (, (ξ, ϕ = (, π. ( Per cos ϕ mg ka e dunque gli equilibri: = si ottengono invece le soluzioni: ( mg ϕ = arccos := ϕ ϕ = ϕ ka (ξ, ϕ = ( sin ϕ, ϕ (ξ, ϕ = ( sin ϕ, ϕ (4 definiti e distinti dai precedenti a patto che si abbia: Si osservi che in tal caso è sempre ϕ (, π/. mg ka < 1. (5 (b Stabilità degli equilibri ordinari La stabilità degli equilibri può essere discussa facendo uso dei teoremi di Lagrange-Dirichlet e di inversione parziale. A questo scopo si rende necessario calcolare le derivate parziali seconde del potenziale: U ξξ (ξ, ϕ = ka U ξϕ (ξ, ϕ = ka cos ϕ U ϕξ (ξ, ϕ = ka cos ϕ U ϕϕ (ξ, ϕ = mga cos ϕ ka ξ sin ϕ e la corrispondente matrice hessiana: ( 1 cos ϕ H U (ξ, ϕ = ka cos ϕ mg cos ϕ ξ sin ϕ ka dei cui autovalori si dovrà determinare il segno in ciascuna configurazione di equilibrio. Equilibrio (ξ, ϕ = (, In questo caso la matrice hessiana del potenziale assume la forma: con traccia sempre negativa: H U (, = ka 1 mg ka trh U (, = ka ( 1 mg < ka 9

10 ma determinante di segno non definito: deth U (, = (ka ( mg ka 9 = 9(ka ( mg ka 1 che obbliga a considerare tre diversi casi: (i se mg/ka > 1 il determinante assume segno positivo e, unitamente al segno negativo della traccia, consente di concludere che entrambi gli autovalori dell hessiana sono negativi. L equilibrio viene perciò riconosciuto come un massimo relativo proprio del potenziale, la cui stabilità segue dal teorema di Lagrange-Dirichlet; (ii per mg/ka < 1 il determinante risulta di segno negativo, per cui gli autovalori dell hessiana sono di segno opposto. Il ricorrere di un autovalore positivo implica l instabilità dell equilibrio per il teorema di inversione parziale di Lagrange-Dirichlet; (iii qualora sia infine mg/ka = 1 il determinante si annulla. Dato il segno negativo della traccia, gli autovalori dell hessiana sono uno nullo e uno negativo: l hessiana è semidefinita non definita negativa e non consente di concludere direttamente che l equilibrio sia un massimo relativo proprio del potenziale, nè di escluderlo. In realtà, una conveniente riscrittura del potenziale adimensionalizzato consente di verificare che in questo caso l equilibrio costituisce un massimo relativo proprio del potenziale, di cui Lagrange-Dirichlet assicura la stabilità. Si ha infatti: U(ξ, ϕ ka = mg ka cos ϕ ξ + ξ sin ϕ = 9 cos ϕ ξ + ξ sin ϕ = = 1 (ξ 6ξ sin ϕ + 9 cos ϕ = 1 (ξ sin ϕ + 9 sin ϕ + 9 cos ϕ = = 1 (ξ sin ϕ + 18 sin ϕ ϕ cos ϕ sin = = 9 1 (ξ sin ϕ + 18 sin ϕ (cos ϕ 1 = = 9 1 (ξ sin ϕ 18 sin 4 ϕ per cui: U(ξ, ϕ < U(, (ξ, ϕ R ( π, π \ {(, }. Equilibrio (ξ, ϕ = (, π Per questa configurazione la matrice hessiana si riduce a: H U (, π = ka 1 mg ka e risulta indefinita per via del suo determinante negativo: deth U (, π = (ka ( mg ka 9 <. 1

11 La matrice presenta dunque un autovalore negativo ed uno positivo, il secondo dei quali assicura l instabilità dell equilibrio in virtù dell inversione parziale di Lagrange-Dirichlet. Equilibrio (ξ, ϕ = ( sin ϕ, ϕ, con cos ϕ = mg/ka < 1, ϕ (, π/ Nella fattispecie si ha l hessiana: ( 1 cos ϕ H U ( sin ϕ, ϕ = ka cos ϕ mg ka cos ϕ 9 sin ϕ con determinante positivo si ricordi che < ϕ < π/: deth U ( sin ϕ, ϕ = (ka ( mg ka cos ϕ + 9 sin ϕ 9 cos ϕ = e traccia negativa: = (ka ( 9 cos ϕ cos ϕ + 9 sin ϕ 9 cos ϕ = 9(ka sin ϕ > trh U ( sin ϕ, ϕ = ka ( 1 mg ka cos ϕ 9 sin ϕ = = ka ( 1 9 cos ϕ 9 sin ϕ = 1ka < e dunque definita negativa. Il punto stazionario è un massimo relativo proprio del potenziale e risulta stabile per il teorema di Lagrange-Dirichlet. Equilibrio (ξ, ϕ = ( sin ϕ, ϕ, con cos ϕ = mg/ka < 1, ϕ (, π/ La matrice hessiana è uguale a quella calcolata nella configurazione precedente, in quanto il potenziale è una funzione pari dei propri argomenti (ξ, ϕ e pertanto: H U ( ξ, ϕ = H U (ξ, ϕ (ξ, ϕ R. Anche questo equilibrio, quando definito, risulta stabile per Lagrange-Dirichlet. (c Energia cinetica Energia cinetica della piastra P La piastra è vincolata a muoversi di moto traslatorio (rettilineo, per cui ad ogni istante tutti i suoi punti presentano la stessa velocità. Indipendentemente dalla sua distribuzione di massa, che infatti non è specificata nel testo, l energia cinetica è pari a 1/ il prodotto della massa totale di P per il modulo quadrato della velocità di un suo punto qualsiasi. Poichè: A = a ξê 1, ne deriva che l energia cinetica della piastra vale: T P = m A = m a ξê 1 = ma 11 ξ.

12 Energia cinetica del disco D Il disco è privo di punti fissi e per determinarne l energia cinetica conviene ricorrere al teorema di König: T D = m Ċ + 1 ID Cz ωd dove la velocità istantanea del baricentro è data da: Ċ = a(cos ϕ ê 1 + sin ϕ ê ϕ, il momento d inerzia del disco rispetto all asse baricentrale Cz vale ICz D velocità angolare istantanea di D si ricava per mezzo della nota relazione: ( 4a ω D = a 1 ϕ ê = ϕ ê. = ma / e la Sostituendo questi dati, l energia cinetica del disco diventa: T D = m 9a ϕ + 1 ma ϕ ê = 9 ma ϕ ma ϕ = 7 4 ma ϕ. Energia cinetica del sistema La proprietà di additività dell energia cinetica consente di esprimere l energia cinetica del sistema scleronomo come somma delle energie cinetica di piastra e disco: (d Equazioni di Lagrange La lagrangiana del sistema si scrive: L = T + U = ma T = T P + T D = ma ξ ma ϕ. ξ ma ϕ + mga cos ϕ + ka ( ξ + ξ sin ϕ e se ne traggono le espressioni seguenti, utili per calcolare i binomi di Lagrange: d ( L dt ξ = ma L ξ ξ = ka ( ξ + sin ϕ d ( L = 7 L dt ϕ ma ϕ ϕ = mga sin ϕ + ka ξ cos ϕ. Le equazioni di Lagrange del sistema: d ( L dt ξ L ξ = diventano pertanto: ma ξ + ka (ξ sin ϕ = d ( L L dt ϕ ϕ = 7 ma ϕ + mga sin ϕ ka ξ cos ϕ =. 1

13 (e Equilibri di confine Nell ipotesi che sia ϕ [ π/, π/] il sistema scleronomo diventa a vincoli unilaterali ideali e può presentare equilibri di confine, che vengono caratterizzati mediante il teorema dei lavori virtuali. Le componenti generalizzate delle forze attive sono ovviamente: Q ξ (ξ, ϕ = U ξ (ξ, ϕ = ka ( ξ + sin ϕ Q ϕ (ξ, ϕ = U ϕ (ξ, ϕ = mga sin ϕ + ka ξ cos ϕ. Il dominio di definizione della parametrizzazione del sistema scleronomo è ora la striscia chiusa: {(ξ, ϕ R [ π/, π/]} la cui frontiera è tutta contenuta nel dominio e risulta costituita dai tratti rettilinei ϕ = π/ e ϕ = π/, che vanno esaminati separatamente per individuare gli eventuali equilibri di confine. Configurazioni di confine (ξ, ϕ = (ξ o, π/, ξ o R In queste configurazioni il teorema dei lavori virtuali fornisce la seguente condizione necessaria e sufficiente per l equilibrio: α ξ Q ξ (ξ o, π/ + α ϕ Q ϕ (ξ o, π/ α ξ R α ϕ che equivale al sistema di disequazioni: Q ξ (ξ o, π/ = Q ϕ (ξ o, π/ e scritta esplicitamente diventa: ka ( ξ o = mga + 1 ka ξ o. Dalla prima equazione si deduce un valore univoco di ξ o : ξ o = che sostituito nella seconda disequazione la riduce a: mga ka ossia: mga ka mga ka ed infine: mg ka 1. 1

14 Lungo questo tratto di frontiera si ha perciò un unico equilibrio di confine: ( (ξ, ϕ =, π definito a condizione che si abbia mg/ka 1/. Configurazioni di confine (ξ, ϕ = (ξ o, π/, ξ o R Nella fattispecie la condizione necessaria e sufficiente per l equilibrio è data da: α ξ Q ξ (ξ o, π/ + α ϕ Q ϕ (ξ o, π/ α ξ R α ϕ ed equivale al sistema di disequazioni: Q ξ (ξ o, π/ = Q ϕ (ξ o, π/ ossia: ka ( ξ o + = mga + 1 ka ξ o. L equazione determina univocamente il valore di ξ o : ξ o =, per cui la disequazione assume la forma: mga + ka e si riduce alla stessa condizione considerata in precedenza: mg ka 1. Lungo questa porzione della frontiera si individua pertanto un ulteriore equilibrio di confine, simmetrico al precedente rispetto all asse Oy: ( (ξ, ϕ =, π e definito come il suo simmetrico per mg/ka 1/. Il risultato si poteva desumere direttamente dal carattere pari del potenziale: U( ξ, ϕ = U(ξ, ϕ (ξ, ϕ R [ π/, π/]. Si noti che, come è peraltro intuitivo dal punto di vista fisico, gli equilibri di confine risultano definiti a patto che il termine elastico di forza ka sia sufficientemente grande rispetto al peso mg del disco. 14