Scritto di meccanica razionale del Esercizio 1

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1 Scritto di meccanica razionale del Esercizio 1 Un sistema rigido, di massa m, ècostituito da tre lamine quadrate omogenee di lato a saldate fra loro come illustrato in figura e si muove nel piano verticale Oxy mantenendo il vertice O fisso. Il sistema èsoggetto al proprio peso, ad una forza mg cos θ ê applicata nel vertice A eaduna coppia di momento M = 1/mga sin θ ê. Scelto l angolo θ come coordinata generalizzata ed assunto l asse fisso privo di attrito, determinare: a ilmomento d inerzia del sistema rispetto all asse Oz; b le equazioni pure del moto; c tutteesolelecondizioniiniziali per i moti periodici del sistema; d la forza da applicare nel vertice B affinché laconfigurazione θ = π/ sia un equilibrio. 1

2 Esercizio Un asta rigidaomogeneaab, di massam e lunghezza R, hail vertice A vincolato a restare sulla circonferenza di centro O eraggio R nel piano verticale Oxy, mentreilsecondo vertice B ècostrettoamuoversilungo l asse orizzontale Ox. IlpianoOxy ruota attorno all asse Oy con velocità angolare costante ω, rispetto ad una terna inerziale e una molla di costante elastica mω /collega il vertice A con un punto materiale P,dimassa m, vincolato ascorrere lungo l asse Oy. Il sistema èpesante,avincoli ideali e parametrizzato dalle coordinate adimensionali θ ed s in figura. Relativamente alla terna che vede il piano Oxy fisso, determinare: a gli equilibri; b leproprietàdistabilitàdei predetti equilibri; c l energia cinetica; d le equazioni pure del moto; e un integrale primo.

3 Soluzione dell esercizio 1 Si tratta di un sistema rigido con asse fisso privo di attrito e la relativa equazione del moto viene determinata considerando l equazione cardinale del momento angolare rispetto ad un punto dell asse l origine O èilcandidato naturale a tale ruolo e proiettandola lungo lo stesso asse. L angolo di rotazione θ ècompresofrala direzione OA, assegnata sulla lamina rigida, e la direzione verticale condotta da O verso il basso, quest ultima ovviamente fissa rispetto alla terna di riferimento Oxyz. Ne deriva che il vettore velocità angolare istantanea del sistema rigido rispetto a Oxyz si scrive semplicemente ω = θ ê, restando inteso che il versore ê sia orientato in senso uscente rispetto al piano del foglio, in modo da rispettare la nota convenzione sinistrorsa. a Momento d inerzia rispetto all asse Oz Conviene procedere al calcolo del momento d inerzia pensando la lamina come un quadrato omogeneo completo di lato a, lacuidensità arealecoincida con quella della lamina originale e nel quale sia stato asportato un quadrato omogeneo di lato a. Ilmomentod inerzia richiesto, I Oz risulterà comedifferenza fra il momento d inerzia IOz c della lamina quadrata completa ed il momento IOz a del quadrato asportato. La densità costante della lamina èdatadal rapporto fra la sua massa e la relativa area: σ = in modo che il quadrato completo avrà massa: m a m c =4a σ =4a m a = 4 m ed il suo momento d inerzia rispetto all asse baricentrale Az si scriverà: I c Az = 1 m ca = 1 4 m 4a = 8 9 ma. Di qui segue l espressione per il momento d inerzia del quadrato completo, rispetto all asse fisso Oz: I c Oz = m c a + I c Az = 4 m a ma = Analogamente, per la massa della lamina asportata si ha: m a = a σ = a m a = m ma = 9 ma. esesiindicaconm il centro del quadrato asportato, il momento d inerzia calcolato secondo l asse baricentrale Mz diventa: I a Mz = 1 m aa = 1 m a = 1 18 ma

4 e il teorema di Huygens-Steiner implica la seguente espressione per il momento d inerzia rispetto ad Oz: IOz a = m a M O + IMz a = m 1 a + 18 ma = = m 9 a ma = 14 9 ma. Il momento d inerzia della lamina vale pertanto: I Oz = IOz c IOz a = 9 ma 14 9 ma =ma. b Equazioni del moto Trattandosi di sistema pesante, è necessario in primo luogo individuare la posizione del baricentro G, incuisiintenderà applicato l intero peso m g = mg ê.convieneapplicare la proprietà distributiva e scrivere l equazione: m c A O =mg O+m a M O che rispetto alla terna solidale Ox y z, illustrata in figura, può anche porsi nella forma esplicita: 4 m a ê 1 a ê m = mg O+ a ê 1 a ê econsentediricavare le coordinate solidali del baricentro: G O = 4 a ê 1 4 a ê a ê 1 + a ê = 5 a ê 1 5 a ê con G O =5 a/. Indicato con K O il momento angolare del sistema rispetto al punto fisso O, l equazione del moto del sistema diviene: d K O dt ê = G O mg ê +A O mg cos θ ê 1 ] mga sin θ ê ê che con una semplice manipolazione del prodotti misti si riduce a: I Oz θ = mgg O ê1 + mg cos θ A O ê 1 1 mga sin θ e può anche riesprimersi come: 1 I Oz θ = mg G O sin θ + mg cos θ A O sin θ mga sin θ dalla quale si deduce infine, sostituendo i valori ricavati per il momento d inerzia e per la distanza G O : ma θ 5 1 = mga sin θ + mga sin θ cos θ mga sin θ. 4

5 L equazione del moto cercata è pertanto: ma 5 +1 θ = mga sin θ + mga sin θ cos θ. c Condizioni iniziali per i moti periodici Le sollecitazioni agenti sul sistema hanno natura posizionale e, data la presenza di un unico grado di libertà, ammettono potenziale. Quest ultimo èdefinito da: U θ = 5 +1 mga sin θ + mga sin θ cos θ esiscriveperciò: Uθ = 5 +1 mga cos θ mga cos θ. L energia potenziale corrispondente èdatada: con derivata prima: W θ = Uθ = 5 +1 mga cos θ + mga cos θ W θ = 5 +1 mga sin θ 5 +1 mga sin θ cos θ = mga sin θ cosθ. L andamento qualitativo delle soluzioni può essere analizzato per mezzo della discussione di Weierstrass; in particolare, i criteri di Weierstrass consentono di caratterizzare completamente le condizioni iniziali associate a moti periodici del sistema. A questo scopo ènecessario individuare il grafico dell energia potenziale, con particolare riferimento alla ubicazione dei suoi punti critici. I punti critici dell energia potenziale si ricavano annullandone la derivata prima: circostanza quest ultima che ricorre per 5 +1 mga sin θ cosθ sin θ porgendo le soluzioni θ, π, oppure per 5 +1 cosθ 5

6 con le ulteriori soluzioni θ = ±arc cos = ±θ. Delle configurazioni così determinate, θ eθ = π corrispondono a massimi relativi propri, mentre θ =+θ e θ = θ si identificano con minimi relativi propri dell energia potenziale. Si ha infatti: ediconseguenza: 5 +1 W θ =mga cos θ ] cos θ sin θ 5 +1 W 0 = mga W π =mga W ±θ =mga = 1 mga = mga 1 < 0 < 0 cos θ ] cos θ ] > 0. Ivalori della funzione W in corrispondenza dei punti critici: W 0 = mga = mga +1 < W π =mga + = mga 8 +1 > 0 W ±θ = mga < 0 consentono perciò di determinarne qualitativamente il grafico, come illustrato nella figura seguente: =

7 Introdotto l integrale primo dell energia meccanica: Hθ, θ =T + W θ = 1 I Oz θ ê + W θ = 1 ma θ + W θ = = ma θ mga 5 +1 cos θ + mga cos θ icriteri di Weierstrass permettono di concludere che i moti periodici del sistema si hanno tutti e soltanto per le condizioni iniziali θ, θ =θ 0, θ 0 R del tipo: W θ <Hθ 0, θ 0 <W0 e W 0 <Hθ 0, θ 0 <Wπ ed appartenenti quindi all insieme: { θ, θ R : mga < <ma θ mga 5 +1 cos θ + { θ, θ R : mga +1 < <ma θ mga 5 +1 cos θ + ossia: { θ, θ R : 1 { θ, θ R : < a g θ 5 +1 < a g θ 5 +1 mga cos θ< mga mga cos θ<mga 8 cos θ + } +1 } +1 cos θ + cos θ< +1 cos θ< 8 } +1. } d Forza daapplicarsi in B affinché laconfigurazione θ = π/ sia di equilibrio Se F indica la forza applicata al punto B, nella configurazione θ = π/, il suo momento assiale rispetto all asse fisso vale: ê B O F =ê B O F =ê a ê 1 ê F = a ê +ê 1 F elacondizione per l equilibrio diventa: π U + a ê +ê 1 F ovvero: a ê +ê 1 F π = U = mga

8 Di qui, posto F = F 1 ê 1 + F ê + F ê,siconclude che: F 1 + F =ê 1 +ê F = mg 5 +1 per cui la sollecitazione in B deve essere del tipo: F = mg 5 +1 F ê 1 + F ê + F ê con F, F R arbitrarie. Si osservi che la sollecitazione F non deve necessariamente risultare costante, data l arbitrarietà delle componenti F ed F lequalipossono quindi presentare una dipendenza esplicita dal tempo. Soluzione dell esercizio a Equilibri del sistema Considerato che le forze di Coriolis hanno componenti lagrangiane identicamente nulle e che esse pertanto non influenzano in alcun modo i moti del sistema Q Cor θ = i m i ω ê P i P i θ QCor s = i m i ω ê P i P i s, èevidentechetutte le sollecitazioni attive applicate hanno natura posizionale conservativa: il peso, il sistema delle forze centrifughe e l interazione elastica fra i punti A e P.Ilsistema èscleronomo a vincoli bilaterali, posizionale e conservativo, per cui le sue configurzioni di equilibrio si identificano con i punti critici del potenziale totale U. Questo saràdato dalla somma dei contributi gravitazionale, centrifugo ed elastico. Dalle ovvie relazioni geometriche: A O = R sin θ ê 1 R cos θ ê P O = Rs ê si deduce che: A P = R sin θ ê 1 + R cos θ + sê in modo che il potenziale associato all interazione elastica fra i punti A e P segue direttamente dalla definizione: U el = 1 mω A P = mω R sin θ ê 1 + R cos θ + sê = = mω R s s cos θ +1. Per quanto riguarda il potenziale delle forze peso, si distinguono un contributo relativo al punto materiale P : U P g = mg ê P O = mg Rs =mgrs 8

9 ed uno relativo all asta AB, dimassa m ebaricentro G: U AB g = mg ê G O = mg ê A O + B O = mg R cos θ = mgr cos θ. Al potenziale centrifugo il punto P non concorre in alcun modo, dal momento che questo si mantiene sull asse di rotazione Oy U P cf e l unico termine rilevante è dunque quello attribuibile all asta AB: U AB cf = ω ] m G O ê1 + IGy AB che, tenuto conto dell ovvia espressione del momento d inerzia R IGy AB = ξ R sin θ m mr dξ = R 1 sin θ = mr sin θ, diventa: U AB cf 0 = ω m R sin θ mr ] + sin θ = 7 mω R sin θ. Il potenziale del sistema si scrive pertanto, omettendo le costanti additive inessenziali: Uθ, s = mω R s s cos θ+mgrs +cosθ+ 7 mω R sin θ = = mω R s + s cos θ + g ] Rω s +cosθ +7 sin θ ed ammette le derivate parziali prime: U θ = U θ = mω R s sin θ U s = U s = mω R s + cos θ + g 14 sin θ + Rω sin θ cos θ g. Rω Gli equilibri sono tutti e soli i punti critici del potenziale, soluzioni di U θ,u s e dunque del sistema di equazioni: mω R s sin θ mω R s + cos θ + g Rω sin θ + 14 sin θ cos θ 9 g Rω

10 che omessi i fattori costanti assume la forma equivalente: sin θ s g Rω + 14 cos θ s = g Rω +cosθ. Sostituendo la seconda equazione nella prima, questa si riduce ad una equazione trigonometrica nella sola variabile angolare θ: sin θ cos θ g Rω + 14 cos θ ossia: sin θ 4cosθ g Rω per cui gli equilibri del sistema sono individuati da: sin θ cos θ g Rω sin θ cos θ λ s = g Rω +cosθ s = λ +cosθ in cui si èposto,perbrevità, λ = g Rω > 0. La prima equazione si presenta in forma fattorizzata ed è certamente verificata per sin θ = 0, ossia θ,π.neseguono gli equilibri: θ, s = 0, λ +1 e θ, s = π, λ 1 che hanno peraltro una interpretazione geometrica immediata. L altra possibilità èchesi abbia cos θ λ dal che seguono le ulteriori soluzioni λ θ = θ, θ, θ =arccos, definite e distinte dalle precedenti a condizione che risulti λ<. Poiché s = λ +cos±θ = λ +cosθ = λ + λ =λ, icorrispondenti equilibri si scriveranno pertanto θ, s =θ, λ, θ, λ 10

11 con la condizione di esistenza λ<. b Stabilità degliequilibri Trattandosi di sistema scleronomo posizionale conservativo, la stabilità degli equilibri può essere analizzata facendo uso dei teoremi di Lagrange-Dirichlet e di inversione parziale. Aquestoscopoènecessario procedere preliminarmente al calcolo delle derivate parziali seconde del potenziale: U θθ θ, s =mω R s cos θ λ cos θ + 14 ] cos θ sin θ U θs θ, s =U sθ θ, s = mω R sin θ U ss θ, s = mω R in modo che la matrice hessiana di U risulta: H U θ, s =mω R s cos θ λ cos θ + 14 cos θ sin θ sin θ sin θ con U ss θ, s indipendente da θ, s. Si puòora procedere all analisi di stabilitàdelle singole configurazioni di equilibrio individuate al punto precedente. Configurazione θ, s = 0, λ +1 In questo caso le derivante seconde diventano: U θθ 0, λ +1 = mω R λ +1 λ + 14 ] U θs 0, λ +1 elamatricehessiana del potenziale si riduce a: implicando: H U 0, λ +1 = U sθ 0, λ +1 = mω R 4 λ = mω R 4 λ 0 0 / i la stabilità della configurazione per 4 λ <0, ossia λ>, poiché l hessiana risulta definita negativa e permette di riconoscere nell equilibrio dato un massimo relativo proprio del potenziale, stabile per Lagrange-Dirichlet; ii l instabilità della stessa configurazione qualora sia 4 λ >0, ovvero λ<, con una matrice hessiana indefinita che consente di applicare il teorema di inversione parziale di Lagrange-Dirichlet; 11

12 iii il ricorrere di un caso critico per λ =,quando la matrice hessiana si presenta semidefinita, non definita negativa. In effetti, per λ =la configurazione di equilibrio diventa θ, s, 4 eilpotenziale del sistema vale: Uθ, s =mω R s + ] s cos θ +s +cosθ+7 sin θ. Per esaminare il comportamento della funzione potenziale nell intorno della configurazione di equilibrio θ, s, 4, èopportuno introdurre il cambiamento di coordinate θ, s θ, σ definito da: s =4+σ econsiderare quindi la funzione: Uθ, 4+σ = mω R = mω R Questa può porsinella forma equivalente: ] 4 + σ +4+σcosθ +4+σ +cosθ+7sin θ 8 σ 1 cos θσ +14cosθ +7sin θ ]. Uθ, 4+σ = mω R { 8 σ +1 cos θ] +1 cos θ +14cosθ +7sin θ } = = mω R 8 σ +1 cos θ +1 cosθ +cos θ +14cosθ +7sin θ ] = mω R = mω R asuavoltariscrivibile come: 10 σ +1 cos θ +1cosθ +sin θ ] = 1 σ +1 cos θ cos θ +1cosθ ] Uθ, 4+σ = mω R σ +1 cos θ 1 cos θ ] = = mω R σ +sin θ ] 4sin 4 θ ]. Da quest ultima relazione segue che θ, s, 4 èunmassimorelativo proprio di U, inquantol equazione θ ] σ +sin + 4sin 4 θ 1 =

13 con la condizione θ + σ <π implica: sinθ/ = 0 σ +sin θ/ = 0 θ + σ <π equindi { θ σ per cui θ, s, 4 è l unico massimo di U nel disco con centro nello stesso punto e di raggio π oinferiore, evidentemente. Il teorema di Lagrange-Dirichlet comporta la stabilità della configurazione. Configurazione θ, s = π, λ 1 Nella fattispecie le derivate parzialiseconde del potenziale sono date da: U θθ π, λ 1 = mω R λ 1 + λ + 14 ] = mω R λ +4 U θs π, λ 1 elacorrispondente matrice hessiana diventa: H U π, λ 1 = U sθ π, λ 1 = mω R λ / con autovalori: mω R λ +4 e mω R. L essere λ +4 4 > 0implica la presenza di un autovalore positivo dell hessiana e quindi l instabilità della configurazione in forza del teorema di inversione parziale di Lagrange- Dirichlet. Configurazioni θ, s =θ, λ, θ, λ, con θ =arccosλ/ e λ< Le configurazioni in esame presentano le stesse proprietà di stabilità, causa la simmetria del potenziale: Uθ, s =U θ, s θ, s R. Èquindi sufficiente esaminarne una soltanto, ad esempio θ, s =θ, λ. La derivata parziale seconda in θ del potenziale risulta: U θθ θ, λ =mω R λ λ λ λ + 14 ] λ 4 1 = = mω R λ λ + 7 λ 14 1 = 7 mω R λ 4

14 mentre per le derivate parziali seconde miste si ha: U θs θ, λ =U sθ θ, λ = mω R sin θ. La matrice hessiana del potenziale vale allora: 7 H U θ, λ =mω R λ 4 sin θ sin θ con determinante sempre positivo deth U θ, λ mω R = λ 4 9 sin θ = λ λ 4 = 4 λ > 0 etraccia negativa trh U θ, λ = 7 mω R 4 λ < 0. Isegnidi determinante e traccia implicano che gli autovalori di H U θ, λ sianonegativi, assicurando la stabilità della configurazione in virtù delteorema di Lagrange-Dirichlet. c Energia cinetica del sistema L energia cinetica del sistema viene determinata come somma delle energie cinetiche del punto materiale P e dell asta rigida AB. Il punto P ha massa m e vettore posizione P O = Rs ê cui corrisponde la velocità assoluta e l energia cinetica P = Rṡ ê T P = m R ṡ. Quanto all asta AB, questanonpresenta punti fissi e la sua energia cinetica deve essere valutata mediante il teorema di König. A questo scopo si osserva che il baricentro G dell asta omogenea coincide con il punto medio del segmento AB echelasuaposizione nella terna assoluta Oxyz èindividuata dal vettore G O = A O + G A = R sin θ ê 1 R cos θ ê + R sin θ ê 1 + R cos θ ê = = R sin θ ê 1 R cos θ ê come èimmediato verificare considerando il triangolo OAB, isoscele in A. Se nededuce l espressione per la velocità assolutadig: Ġ = R cos θ θ ê 1 + R sin θ θ ê 14

15 ed il relativo modulo quadrato: Ġ = 9 4 cos θ sin θ R θ = in modo che l energia cinetica dell asta diventa 1 4 +cos θ R θ T AB = m Ġ IAB Gz ω = m 4 +cos θ R θ + mr 1 θ 1 = mr +cos θ θ formula nella quale si è fatto uso delle relazioni per il momento d inerzia dell asta rispetto all asse baricentrale Gz e per il vettore velocità angolare istantanea: I AB Gz = mr 1 = mr ω = θ ê. L energia cinetica del sistema vale pertanto: T = T AB + T P = mr 1 +cos θ θ + m R ṡ. d Equazioni pure del moto Nell ipotesi di vincoli ideali, le equazioni pure del moto sono quelle di Lagrange: d L dt θ L θ e d dt L L ṡ s con lagrangiana L = T + U data da: 1 L = mr +cos θ θ + m R ṡ + mω R s + s cos θ + g Rω s +cosθ+ 7 ] sin θ. Èimmediato ricavare le espressioni: L θ =mr 1 +cos θ θ d L 1 dt θ =mr +cos θ θ 8mR cos θ sin θ θ L θ = 4mR cos θ sin θ θ + mω R s sin θ g 14 sin θ + Rω sin θ cos θ equelle analoghe relative alla coordinata generalizzata s: L ṡ = mr ṡ L s = mω R s + cos θ + 15 L ṡ d dt g Rω = mr s

16 in modo che le equazioni di Lagrange diventano: mr 1 +cos θ e θ 4mR cos θ sin θ θ +mω R mr s + mω R s cos θ g 14 ] s sin θ+ sin θ Rω sin θ cos θ g Rω. e Integrale primo Il sistema èscleronomo, posizionale e conservativo, per cui un integrale primo èquello dell energia meccanica H = T U, cheassumela forma: 1 H = mr +cos θ θ + m s R ṡ + mω R s cos θ g Rω s +cosθ 7 ] sin θ. 1